Bruchrechnen - nf

Dipl.-Kaufm.
Wolfgang Schmitt
Aus meiner Skriptenreihe: " Keine Angst vor ... "
Bruchrechnen
(Grundlagen)
Vorkenntnisse:
Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren
www.nf-lernen.de
1
1. Begriff Bruch
Ein Bruch ist ein Teil eines Ganzen.
Er besteht aus einem Zähler, einem waagerechten Bruchstrich und einem Nenner.
Der Bruchstrich ist immer waagerecht auf Höhe der Operatoren zu schreiben.
Beispiel:
Zähler 3

Nenner 4
Der Nenner gibt den Bruchteil an, der Zähler gibt an, wieviele Bruchteile es gibt.
Der Bruchstrich ist das Symbol für das Geteilt-Zeichen " : "
Im Beispiel werden 3 Viertel eines Ganzen angezeigt.
2. Kürzen
Wenn man den Zähler und den Nenner eines Bruches durch die gleiche Zahl dividiert,
dann ändert sich der Wert des Bruches nicht.
Beispiel:
6
6:2 3
=

8
8:2 4
Beweis:
6
= 6 : 8 = 0,75
8
und
3
= 3 : 4 = 0,75
4
Diesen Vorgang nennt man "Kürzen"
Ein Bruch wird gekürzt, indem man Zähler und
Nenner durch die gleiche Zahl dividiert.
3. Erweitern
Wenn man den Zähler und den Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl
multipliziert, dann ändert sich der Wert des Bruches nicht.
Beispiel:
2 23 6


5 5  3 15
Beweis:
2
6
= 2 : 5 = 0,4 und
= 6 : 15 = 0,4
5
15
Diesen Vorgang nennt man Erweitern.
Ein Bruch wird erweitert, indem man Zähler und
Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert.
2
4. Addition und Subtraktion
Brüche können nur addiert und subtrahiert werden, wenn sie "gleichnamig" sind.
Gleichnamig heißt, dass sie den gleichen Nenner haben.
Beispiele:
1 3 1 3 4
 

5 5
5
5
6 2 62 4
 

7 7
7
7
Wenn die Brüche nicht gleichnamig sind, so müssen sie vor der Addition oder
Subtraktion gleichnamig gemacht werden.
"Gleichnamig machen" heißt, man muß den sog. Hauptnenner suchen.
Der Hauptnenner (HN) ist das sog. kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) aller Nenner.
Beispiel:
3 1
 =?
4 8
Das kgV der Nenner 4 und 8 ist 8
Jetzt muß der Bruch
3
so erweitert werden, dass sein
4
Nenner 8 lautet. Wie lautet der Erweiterungsfaktor?
Wie ist oft ist 4 in 8 enthalten? 2 Mal.
Der Erweiterungsfaktor des Bruches
32 1 6 1 7
   
42 8 8 8 8
Noch ein Beispiel:
2 1
  ?
3 4
also:
3
ist also 2.
4
3 1 7
 
4 8 8
Das kgV ist 12, also
2 1 2  4 1 3
8
3 11
 




3 4 3  4 4  3 12 12 12
Brüche werden addiert oder subtrahiert, indem man sie
gleichnamig macht, die Zähler addiert oder subtrahiert
und durch den Hauptnenner dividiert.
3
5. Multiplikation
Brüche werden miteinander multipliziert, in dem man alle
Zähler miteinander und alle Nenner miteinander multipliziert
Beispiele:
3 2 32 6
 

7 5 7  5 35
2 3 23 6
3
 

=
7 4 7  4 28 14
6. Division
Zwei Brüche werden durcheinander dividiert, indem man
den 1. Bruch mit dem Kehrwert des 2. Bruches multipliziert.
Der Kehrwert eines Bruches
Zähler
Nenner
ist
Nenner
Zähler
Beispiel:
2 4 2 5 10 5

:   
3 5 3 4 12 6
7. Doppelbruch
Ein Doppelbruch ist nichts anderes, als die Division zweier Brüche.
Ein Doppelbruch wird aufgelöst, indem man den Zählerbruch
mit dem Kehrwert des Nennerbruches multipliziert.
Beispiel:
1
7  1  10  10
3
7 3 21
10
4
8. Unechte Brüche
Brüche, deren Zähler größer als der Nenner ist, nennt man unechte Brüche.
7
3
Beispiel:
das sind 2 Ganze +
1
, weil 3 in 7
3
2 Mal ganz enthalten ist.
also:
7
1
2
3
3
(gemischter Bruch)
9. Brüche mit Formvariablen
Formvariable sind z. B. Platzhalter oder Parameter, z. B. a, b, c oder t oder x
Es gelten die gleichen Rechenregeln wie bei Brüchen mit Zahlen.
x2 x2
16
(x  2)(x  2)  (x  2)(x  2)  16

 2

=
x2 x2 x 4
(x  2)(x  2)
Beispiel:
x 2  4x  4  (x 2  4x  4)  16 x 2  4x  4  x 2  4x  4  16


(x  2)(x  2)
(x  2)(x  2)
8x  16
8(x  2)
8


(x  2)(x  2) (x  2)(x  2) x  2
10. Dezimalbrüche
Bruchzahlen können auch als Dezimalbrüche geschrieben werden.
1
1
 1, 2 5
4
3
 0, 3 7 5
8
1 Einer
0 Einer
2 Zehntel
3 Zehntel
5 Hundertstel
7 Hundertstel
5 Tausendstel
Periodische Dezimalbrüche können auch als Bruchzahlen geschrieben werden.
_
0,3 
3 1

9 3
____
0, 27 
27
99