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13. Boltzmann-Systeme
13.1
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Boltzmann-Gesetz
n
Zwei Nebenbedingungen:
Normierung von P :
Mittlere Energie = E :
0 = f0(P) ≡ 1 –
∑
i=1
0 = f1(P) ≡ E –
Pi
n
∑ Ei Pi
i=1
Suche lokales Maximum von S(P) unter den Nebenbedingungen 0 = f0(P) = f1(P) :
0 = -κ (ln( Pi ) + 1) – λ0 +
⇒
Setze:
λ1
Pi
∂
f (P)
∂Pi 1
= -κ (ln( Pi ) + 1) – λ0 –
λ1
λ0
= exp(-1- κ ) exp(- κ Ei )
kB = Boltzmann-Konstante
1/λ1 = absolute Temperatur [K]
κ ≡
T≡
λ1 Ei
Diese Temperatur mißt
das Gas-Thermometer
Ludwig Boltzmann
(1844-1906)
Normierung von P
⇒
Pi =
Merke:
13.2
Ei
1
exp(–
)
k
T
Z
B
n
mit
Z ≡
∑
i=1
exp(–
Ei
kBT
)
Das Besetzungsverhältnis zweier Zustände der Energien Ei, Ej bei der
Temperatur T ist durch den Boltzmann-Faktor exp(( Ej – Ei )/ kBT ) gegeben
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Fluktuationen der Energie für ein Boltzmann-System:
Energie E ist nur im Mittel konstant. Wie groß sind die Fluktuationen?
n
Varianz:
Es gilt:
ΔE =
∑
i=1
ΔE2 = kBT2
n
ΔE2 + E2 =
=
=
=
i=1
1 ∂
–
Z ∂β
∑
i=1
∂E
+ E
∂β
Physik III, WiSe 2016/17
(Ei – E)2 Pi
Z Ei Pi
i=1
∑
=
–
i=1
Ei2 exp(-β
i=1
= –
Ei)
1 ∂
(Z E)
Z ∂β
exp(-β Ei)
n
∑ Ei Pi
– E2
i=1
n
1
Z
n
∑
∑ Ei2 Pi
=
∂E
∂T
n
E ∂
∂E
–
–
∂β
Z ∂β
= –
13.3
∑ Ei2 Pi
n
1 ∂
–
Z ∂β
=
=
E
∂E
= –
+
∂β
Z
–
n
∑
i=1
Ei exp(-β Ei)
β = 1/kBT
E ∂Z
∂E
–
∂β
Z ∂β
n
∑
i=1
Ei exp(-β Ei)
∂E
+ E2
∂β
Andreas Hemmerich 2016 ©
N Teilchen mit gleichem Einteilchen-Energiespektrum:
En
E1
1
2
3
N
4
Betrachte N Kopien eines Teilchens mit Zuständen der Energie Ei , i=1,...,n
Annahme: Alle Teilchen verhalten sich thermodynamisch äquivalent
Einteilchenzustände seien gi-fach entartet mit Energie Ei , Ei ≠ Ej für i ≠ j
Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Teilchen die Einteilchenenergie Ei besitzt:
Pi =
gi
Z
exp(–
Ei
kBT
n
),
Z ≡
Mittlere Anzahl von Teilchen Ni mit Energie Ei:
∑
i=1
gi exp(–
Ei
kBT
Ni = N Pi =
) Zustandssumme
Ngi
Z
exp(–
Ei
kBT
)
(1)
(2)
n
Innere Energie U des Systems aus N Teilchen:
U =
∑ Ei Ni
i=1
13.4
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Bestimmung der inneren Energie aus der Zustandssumme
(3)
U = N kBT2
∂
ln(Z)
∂T
n
Aus Z ≡
∑
gi exp(–
i=1
und damit
N kBT2
Ei
kBT
)
∂
ln(Z) =
∂T
∂
1 ∂Z
ln(Z) =
∂T
Z ∂T
folgt
N
Z
n
∑
i=1
giEi exp(–
=
1
Z
n
∑
i=1
gi exp(–
Ei
kB T
)
Ei
kBT2
n
Ei
kB T
)
=
(2)
∑
i=1
NiEi
= U
Bestimmung der Entropie aus der Zustandssumme
Fall 1: N unterscheidbare Teilchen
n
(4)
Aus
S = - N kB
S = - kB
∑
i=1
∑
Pi ln(Pi/gi) =
U
T
+ N kB ln(Z)
Pikl ln(Pikl) , Pikl = Pi/gi
folgt
k=1,...,gi summiert die Entartung
i=1,...,n summiert die Zustände mit versch. Energie
l=1,...,N summiert die beteiligten Teilchen
n
= - N kB
∑
gi (Pi/gi) ln(Pi/gi)
i=1,...,n
13.5
Physik III, WiSe 2016/17
= - N kB
(1)
∑
i=1
Pi ( –
∑
S = - N kB
Ei
– ln(Z) )
kB T
(Pi/gi) ln(Pi/gi)
k=1,...,gi
i=1,...,n
=
U
T
+ N kB ln(Z)
Andreas Hemmerich 2016 ©
Fall 2: Entropie für N ununterscheidbare Teilchen:
für ein Teilchen:
S[1]
= kB ln(Mn[P]1/n) ,
Mn[P] =
K
= - kB
∑
i=1
n!
= Multiplizität von P
(nP1)! ··· (nPK)!
Pi ln(Pi)
hängt nicht von der Anzahl der Beobachtungen “n” ab
[P]1/n
[P]1/n
für N unterscheidbare Teilchen: Mn
→ Mn
N
S[N] = kB ln(Mn[P]N/n) = kB N ln(Mn[P]1/n) = N S[1]
für N ununterscheidbare Teilchen: Mn[P]1/n → Mn[P]1/n
N
/ N!
S’[N] = kB ln(Mn[P]N/n/ N!) = kB ln(Mn[P]N/n) – kB ln(N!) = S[N] – kB ln(N!)
Der Term N! berücksichtigt, dass alle N! möglichen Permutationen der Teilchen denselben
Zustand darstellen, und somit die Multiplizität um N! kleiner ist als für N unterscheidbare Teilchen
13.6
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
S’ =
S’ ≡
U
T
S
+ N kB ln(Z/N) + N kB
Sackur-Tetrode Entropie (1912)
(5)
H. Tetrode, Ann. Phys., 343: 434–442 (1912)
–
Otto Sackur
1880-1914
kB ln(N!)
Hugo Tetrode
1895-1931
n
=
- N kB
∑ Pi ln(Pi/gi)
i=1
– kB ( N ln(N) – N)
[ verwende (4) Stirlingsche Formel: ln(k!) ≈ k ln(k) – k ]
n
=
- N kB
∑ ( Pi ln(Pi/gi)
i=1
+ Pi ln(N) )
+ N kB
n
=
- N kB
∑ Pi ln(N Pi/gi)
i=1
n
=
(2)
13.7
- kB
∑
i=1
Physik III, WiSe 2016/17
Ni ( –
n
+ N kB
Ei
– ln(Z/N) )
kBT
=
- kB ∑ Ni ln(Ni/gi)
i=1
+ N kB
=
U
T
+ N kB
+ N kB ln(Z/N) + N kB
Andreas Hemmerich 2016 ©
1. Hauptsatz für ein System aus N Teilchen
n
U =
∑
i=1
n
Ni Ei
⇒
dU =
n
∑
∑
Ni dEi +
i=1
i=1
dW
(6a)
Ei dNi
dQ
dQ: Die Änderung der Besetzungszahlen Ni entspricht einer Änderung der im System gespeicherten
Wärme. dQ bezeichnet eine infinitesimale Änderung der Wärme.
dW: Die Änderung der Einteilchen-Energiewerte Ei ist mit mechanischer Arbeit dW verbunden
Es sei V ein Kontrollparameter über den die Energiewerte Ei verändert werden können,
also Ei = Ei(V) (in einem Kastenpotential z.B. das Volumen, in einem harmonischen Potential
die Krümmung). Wir bezeichnen V als “verallgemeinertes Volumen”.
reduziere V
Ei wachsen an
n
Wir definieren den “verallgemeinerten” Druck zu
p = – ∑ Ni
i=1
Behauptung:
13.8
Physik III, WiSe 2016/17
∂U
= T,
∂S V
∂U
= – p ,
∂V S
dEi
dV
)
dW = - p dV
(6b)
dQ = T dS
dU = T dS – p dV
Andreas Hemmerich 2016 ©
Beweis:
U = T S – N kBln(Z) + N kB f(N)
(4,5)
f(N) =
S = U/T + N kB ln(Z) – N kB f(N)
∂Z
∂S V =
n
∑
i=1
)
Ei
∂
g exp(–
) =
∂S i
kBT
N kBT
)
n
∑
i=1
Physik III, WiSe 2016/17
Ei
kBT
)
für unterscheidbare Teilchen
ln(N) – 1
für ununterscheidbare Teilchen
Ei
kBT2
∂T
∂S
∂T
=
∂S
Z U
N kBT2
∂
∂T U
ln(Z) =
∂S T
∂S
∂U
∂S V
=
S – N kB ln(Z) + NkB f(N)
= T +
13.9
gi exp(–
0
S – N kB ln(Z) –
U
T
∂T
∂S
+ T (1 –
+ NkB f(N)
∂T
∂S
U ∂T
)
T2 ∂S
=
T
Andreas Hemmerich 2016 ©
∂Z
=
∂V S
=
)
∂U
∂V S
=
=
=
n
Ei
∂
g exp(–
) =
kBT
∂V i
∑
i=1
Z
N
∂
∂V
∂T U
+
∂V kBT2
p
kB T
n
∑
gi exp(–
i=1
Ei
kB T
)
N kBT
)
Ei
kBT2
1 ∂Ei
∂T
–
kBT ∂V
∂V
∂
∂T U
ln(Z) =
+ p
∂V
∂V T
T S – N kBln(Z) + N kB f(N)
S – N kB ln(Z) + NkB f(N)
S – N kB ln(Z) –
∂T
∂V
– N kBT
U
∂T
+ NkB f(N)
∂V
T
∂
∂V
ln(Z)
– p = – p
Merke:
Die innere Energie U(S,V) als Funktion der Entropie S und des Volumens V charakterisiert
das System vollständig.
Eine Änderung dS bzw. dV führt zu einer Änderung der inneren Energie U(S,V) :
dU = T dS – p dV
13.10
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Freie Energie:
F ≡ U – TS
Es gilt:
=
a.
F
heißt freie Energie
– N kBT (ln(Z) – f(N) )
b.
∂F
=
∂T V
–S
c.
∂F
=
T
∂V
–p
0
für unterscheidbare Teilchen
ln(N) – 1
für ununterscheidbare Teilchen
f(N) =
a. Mit S = U/T + N kB (ln(Z) – f(N)) folgt F = – N kBT (ln(Z) – f(N))
b.
∂F
∂T
= – N kB(ln(Z) – f(N)) – N kBT
∂
ln(Z)
∂T
Mit S = U/T + N kB (ln(Z) – f(N)) und U = N kBT2
(3)
(4,5)
S = N kBT
∂
ln(Z) + N kB (ln(Z) – f(N))
∂T
∂F
c.
=
∂V T
– N kBT
=
1
N kBT
Z
13.11
Physik III, WiSe 2016/17
∂
ln(Z) folgt
∂T
∂
∂V
ln(Z) =
n
∑
i=1
gi exp(–
1
– N kBT
Z
Ei
kBT
)
n
∑
i=1
1 ∂Ei
kBT ∂V
E
∂
gi exp(– i )
kBT
∂V
= –p
Andreas Hemmerich 2016 ©
Merke I:
Die freie Energie F(T,V) als Funktion der Temperatur T und des Volumens V charakterisiert
das System vollständig.
Eine Änderung dT bzw. dV führt zu einer Änderung der freien Energie F(T,V) :
dF = – p dV – S dT
b., c.
Merke II:
Aus F ≡ U – TS und
∂F
=
∂V T
– p folgt:
p = –
∂U
∂S
+ T
∂V T
∂V T
Entropie-Term bei Gasen
entscheidend
13.12
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
2. Hauptsatz:
für die Gesamtentropie S abgeschlossener Systeme gilt
dS = 0 für reversible Prozesse
dS > 0 für irreversible Prozesse (Prozesse die von selbst ablaufen)
13.13
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
BSP Einatomiges ideales Gas in einem Kasten mit Volumen V = L3 :
Bestimmung der Zustandsdichte für ein Teilchen in einem Kasten mit Volumen V = L3
Wellenfunktionen im Kasten: ψ(x,y,z) = L-3/2 exp(-i (kxx + kyy + kzz))
periodische Randbedingungen
Energiewerte: En =
dn
d3k
=
n2
ki L = 2π zi, zi ∈ Z , i = x,y,z
2π2
n2 = (nx2 + ny2 + nz2) , nx,ny,nz ∈ N
,
2m V2/3
Anzahl von Zuständen
k-Raum Volumen
=
1
(2π/L)3
=
(7a)
ky 2π/L
2π/L
V
(2π)3
kx
Mit E = p2/2m, p = k folgt
d3k = 4π |k|2 d|k| = -3 4π p2 d|p| = -3 4π 2m E d|p| = -3 4π 21/2 m3/2 E1/2 dE
⇒
13.14
Zustandsdichte:
Physik III, WiSe 2016/17
g(E) ≡
dn
dE
dn d3k
=
d3k dE
=
(2m)3/2 E1/2 V
(7b)
4 3 π2
Andreas Hemmerich 2016 ©
Zustandssumme, Innere Energie, Entropie des idealen Gases im Kasten mit Volumen V:
n
Z ≡
∑
i=1
= V
gi exp(–
mkBT
2π
3/2
2
Ei
kBT
) =
∞
dE g(E) exp(–E/kBT)
0
∞
2
1/2 e–z
dz
z
π1/2 0
=
V
mkBT
=
=
∞
dE E1/2 exp(–E/kBT)
43 π2
(7b)
3/2
2π 2
(2m)3/2 V
V
Λ3
∂
3
ln(Z) =
N kBT
Innere Energie des Gases: U = N kB
∂T
2
3
∂U
Spezifische Wärme:
N kB
=
CV =
2
∂T V,N
T2
0
(8)
2π 2
mkBT
Λ ≡
1/2
thermische deBroglieWellenlänge:
(9)
1 mv2 = π k T
B
2

mv =
2π
Λ
Entropie des einatomigen idealen Gases:
In der quantenmechanischen Beschreibung sind die Teilchen in einem Gas prinzipiell
ununterscheidbar, i.e., die Entropie aus (5) ist anzuwenden
S =
(5)
U
T
+ N kB ln(Z/N) + N kB =
(9)
5
N kB
2
+ N kB ln(Z/N) =
5
1
N kB + N kB ln(
)
3
2
ρΛ
ρ ≡ N/V Teilchendichte, ρΛ3 Phasenraum-Dichte
=
(8)
13.15
T3/2 V
5
N kB (
+ ln( χ
))
2
N
Physik III, WiSe 2016/17
=
(9)
N kB (
5
+ ln( ζ
2
U3/2 V
N5/2
))
ζ ≡
m
3π 2
χ ≡ mkB
2π 2
3/2
(10)
3/2
Andreas Hemmerich 2016 ©
1. Hauptsatz für ein System aus N Teilchen im Kasten mit Volumen V
n
U =
n
∑
i=1
Ni Ei
dU =
⇒
∑
i=1
n
Ni dEi +
dW
∑
i=1
Ei dNi
(11a)
dQ
Für ein ideales Gas in einem Kasten mit Volumen V geschieht die Änderung dEi der EinteilchenEnergiewerte Ei durch eine Volumenänderung dV.
Ei =
i2
(7a)
2π2
,
2m V2/3
dEi = – Ei
2
dV
3V
Für den Druck gilt dann
n
dEi
p = – ∑ Ni
=
dV
i=1
2
3V
n
∑ Ni Ei
i=1
=
2U
3V
(11b)
⇒
13.16
Physik III, WiSe 2016/17
3 pV = 2 U
Andreas Hemmerich 2016 ©
Zustandsgleichung des idealen Gases im Kasten mit Volumen V:
mit pV =
(11b)
3
2
U und U = N
k T
2 B
3
(9)
folgt
(11c)
p V = N kB T
Gas-Thermometer:
Die Zustandsgleichung des idealen Gases ermöglicht eine direkte Messung von T über
die leicht messbaren mechanischen Größen p (Druck) und V (Volumen)
es gilt p = –
∂S
∂U
+ T
∂V T
∂V T
Nur Entropie-Term ≠ 0
Fluktuationen der inneren Energie:
Es gilt für Boltzmannsysteme: (ΔU)2 = kBT2
⇒
∂U
=
∂T
ΔU/U
3
N (kBT)2
2
= (2 / 3N)1/2
Für große Teilchenzahl N ist ΔU/U extrem klein
13.17
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Expansion & Mischung idealer Gase
Die korrekte Beschreibung der Mischung
gleicher bzw. verschiedener Gase erfordert
die Verwendung des Entropieausdrucks für
ununterscheidbare Teilchen
mkB
3/2
S = N kB 5/2 + ln(T V/N) + 3/2 ln
(10)
2π 2
S(N,V)
S(N,2V)
S(N,2V) - S(N,V) = ln(2) N kB > 0
S(N,V) + S(N,V)
S(2N,2V)
S(2N,2V) - 2 S(N,V) = 0
S(N,V) + S(N,V)
S(N,2V) + S(N,2V)
2 S(N,2V) - 2 S(N,V) = 2 ln(2) N kB > 0
13.18
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Zweiatomige Gase: Rotation
Klassische Mechanik: E = L2 / 2Θ , L = Drehimpuls
2 ( +1)
E =
= kB
2Θ
2
≡
2 Θ kB
Θ = Trägheitsmoment ,
1 Rotationsachse
P =
Zustandssumme:
Innere Rotationsenergie:
Spezifische Rotationswärme:
Urot
2
Zrot =
∑
1
Zrot
g exp(–
=0
Urot = N kBT2
(3)
Crot =
∂Urot
∂T
E
kBT
kBT
) =
)
∑ (2
+1) exp(-
T/
∞
dx
0
N
Für T >>
∞
d 2
=
0
Crot
Urot
NkB
( +1))
=0
∂
ln(Zrot)
∂T
NkBTrot
1
E
g exp(–
Rotationstemperatur
∂
ln(T) - ln(
∂T
) = N kB T
T/Trot
1
13.19
Physik III, WiSe 2016/17
2
Für T <<
Andreas Hemmerich 2016 ©
Zweiatomige Gase: Vibration
En = Ω (n + 1/2) , n = 0,1,....
Keine Entartung: gn = 1 , α ≡
Ω/ kBT
Zustandssumme:
Zvib =
∑
exp(–
n
1 Vibrationsachse
=
Vibrationstemperatur
Ei
kBT
)
= e-α /2
∑
e-α n = e-α /2
n
(3)
N kB
T2
eα + 1
∂
1
N Ω α
ln(Zvib) =
∂T
2
e –1
=
Für
13.20
bzw. 1 ¿ α : Uvib
Thermische Anregung
1
–1
Uvib
2
1
≈
N kB
2
¿ T bzw. α ¿ 1 : Uvib ≈ NkBT , Cvib ≈ N kB
Physik III, WiSe 2016/17
eα – 1
1
+
2
e
N kB
spezifische Vibrationswärme:
α2 eα
Cvib = ∂Uvib
= N kB α
(e – 1)2
∂T N
Für T ¿
=
1 – e-α
eα /2
Nullpunktsenergie
Innere Vibrationsenergie:
Uvib =
1
NkBTvib
Cvib
1
NkB
T/Tvib
1
2
Andreas Hemmerich 2016 ©
Zweiatomige Gase: Translation, Rotation, Vibration
( Ctrans + Crot + Cvib )/ NkB
3
H2
CO
O2
Cl2
85.5
2.77
2.09
0.35
6140
3120
2260
810
2
Tvib = 100 Trot
1
-2
log(T/Trot)
-1
0
1
2
Äquipartitionssatz: Die mittlere Energie pro Teilchen ist kBT /2 pro Freiheitsgrad.
(für mehratomigen Gase müssen neben den drei Translationsfreiheitsgraden Rotations- und
Vibrationsfreiheitsgrade berücksichtigt werden)
Zweiatomiges Gas:
3 Translationsfreiheitsgrade:
2 Rotationssfreiheitsgrade: Festlegung der Rotationsachse erfordert zwei Winkel
⇒ 3 ∗ kBT/2
⇒ 2 ∗ kBT/2
2 Vibrationsfreiheitsgrade: Festlegung der Vibrationsachse erfordert zwei Winkel ⇒ 2 ∗ kBT/2
13.21
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung:
Gesucht: die Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen in einem Gas in einem Kasten
(Potentielle Energie = 0)
Ngi
Ei
⇒
exp(–
)
Ni =
kB T
(2)
Z
P(E) dE =
1
g(E) exp(–E/kBT) dE
Z
=
(7,8)
π1/2
2
E1/2 exp(–E/kBT) dE
3/2
(kBT)
Energie = kinetische Energie:
E = m v2/2
dE = m v dv
⇒
P(v) dv
P(v)
m
= 4π
2π kBT
3/2
v2 exp(–mv2 / 2kBT) dv
für Stickstoff N2 , m = 28 * 1.66 10-27 kg
T = 100 K
T = 1000 K
500
13.22
Physik III, WiSe 2016/17
1000
1500
2000
v [m/s]
Andreas Hemmerich 2016 ©
∞ ∞ ∞
dvxdvydvz = 4π
-∞ -∞ -∞
∞
v2 dv
→
P(v) =
⇒
0
P(v) = 4π v2
Maxwell-Boltzmann-Verteilung:
m
2π kBT
3/2
m
2π kBT
3/2
exp(–mv2 / 2kBT)
exp(–mv2 / 2kBT)
Gesucht: die Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen in einem Gas in einem Potential
Ngi
Ni =
Z
E =
exp(–
mv2/2
Ei
kBT
)
→
+ W(r )
→
1
exp(–mv2 / 2kBT) exp(–W(r )/kBT)
Zr Zv
→ →
P(r, v) =
⇒
→
Zr =
→ →
Zustandsdichte g(r, v) = 1
exp(–W(r )/kBT)
V
, Zv =
2π kBT
m
3/2
BSP: Barometrische Höhenformel
Gravitationspotential: W(h) = m g h
⇒
P(h) = (mg / kBT) exp(– mgh /kBT)
1/e-Höhe (T = 300 K, O2 (m = 32 amu)): h1/e = kBT/ mg
⇒ h1/e = 7800 m
7800 m
6000 m
13.23
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
3N harmonische (1D) Oszillatoren (Einsteins Modell der spez. Wärme):
Betrachte N Teilchen mit je drei harmonischen Oszillationsfreiheitsgraden. Die Teilchen
seien an verschiedenen Orten lokalisiert und damit unterscheidbar. Ein mögliches Beispiel
sind die Atome in einem Kristallgitter.
Ek
E0
3
2
1
En = Ω (n + 1/2) , n = 0,1,....
N´ = 3N
Keine Entartung: gn = 1 , α ≡
Ω/ kBT
Zustandssumme:
(12)
Z ≡
∑
n
13.24
Physik III, WiSe 2016/17
exp(–
En
kBT
)
= e-α /2
∑
n
e-α n = e-α /2
1
1 – e-α
=
eα /2
eα – 1
Andreas Hemmerich 2016 ©
Innere Energie:
eα + 1
∂
1
=
N´ Ω α
U = N´ kBT2
ln(Z) (12)
(3)
∂T
2
e –1
(13)
1
N´ Ω +
2
=
N´ Ω
eα – 1
Thermische Anregung
Nullpunktsenergie
spezifische Wärme:
∂U
∂T
CΩ ≡
(14)
=
Ω,N
(13)
N´ Ω
1
∂
∂α eα – 1
∂α
∂T
=
N´kB
α2 eα
(eα – 1)2
Entropie:
(15)
13.25
S
=
(4)
U
T
Physik III, WiSe 2016/17
+ N´kB ln(Z)
=
(13,12)
N´kB
α
eα – 1
– N´kB ln(1 – e-α )
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Grenzfälle:
Für kBT ¿ Ω bzw. 1 ¿ α
folgt U ≈ N´kB Ω /2
Für Ω ¿ kBT bzw. α ¿ 1
folgt U ≈ 3NkBT , CΩ ≈ 3N kB , S ≈ 3NkB ln( kBT/Ω)
= Nullpunktsenergie, CΩ , S → 0
12N Ω
Innere Energie
U
3N Ω /2
1
2
3
3NkB
CΩ
S
1
2
Alle Teilchen → Grundzustand
13.26
Physik III, WiSe 2016/17
kBT / Ω
4
3
4
Spezifische Wärme
Entropie
kBT / Ω
Klassisches Regime
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14. Bose-Einstein – und Fermi-Dirac-Statistik
14.1
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Quantenstatistik von Vielteilchensystemen
Bisher:
En
E1
1
2
3
N
4
N-Teilchen-System wurde als N Kopien eines Ein-Teilchen-Systems behandelt.
Besetzung des i-ten Zustands: Ni = N Pi
n
Innere Energie:
U =
∑ Ei Ni
i=1
Entropie: unterscheidbare Teilchen
n
S = - kB N
∑
i=1
Pi ln(Pi/gi)
ununterscheidbare Teilchen ⇒ Sackur-Tetrode Entropie
n
S’ = - kB N
∑ Pi ln(N Pi/gi)
i=1
+ N kB
Gesucht: Neue Buchhaltung für Vielteilchensystem aus ununterscheidbaren Teilchen, sodass
die Anzahl der Teilchen nicht apriori festgelegt sondern echte Systemvariable ist.
14.2
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Quantenstatistik von Vielteilchensystemen
Beschreibe System durch Einteilchenzustände mit Energie εi , i = 0,1,2...
Vielteilchenzustände mit ununterscheidbaren Teilchen werden durch Besetzungszahlen ni
für die Einteilchenzustände charakterisiert, i.e. |n0 ,n1, ....i.
Fermionen: ni ∈ {0,1},
Bosonen: ni ∈ {0,1,2,...}
Wechselwirkungen zwischen den Teilchen (z.B. durch Stöße) werden hier vernachlässigt.
εi
E[n0 ,n1, ....] = n0ε0 + n1ε1 + ...
Energie von |n0 ,n1, ....i
ε0
N[n0 ,n1, ....] = n0 + n1 + ...
Gesamtteilchenzahl von |n0 ,n1, ....i
Für großes N ist es unmöglich die Besetzungen ni für alle Zeiten exakt zu kennen.
Stattdessen beschreibt man das System durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P[n0 ,n1, ....]
P[n0 ,n1, ....] ∈ [0,1] mit
∑
P[n0 ,n1, ....]
= 1
n0 ,n1, ....
ENTROPIE:
Für das uns interessierende Vielteilchensystem sind die Zustände durch einen vektoriellen
→
Index n ≡ [n0,n1, ...] gekennzeichnet
14.3
⇒
S(P) = – κ
∑
P n ln(Pn )
n
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Grosskanonisches Ensemble:
Die mittlere Energie und die mittlere Teilchenzahl sei (durch Kopplung an ein Wärmebad und
ein Teilchenbad) vorgegeben:
Drei Nebenbedingungen sind zu erfüllen:
0 = f0(P) ≡ 1 –
Normierung von P :
∑
Pn
n
0 = f1(P) ≡ U –
Mittlere Energie = U :
∑
(G1)
E n Pn
(G2)
N n Pn
(G3)
n
0 = f2(P) ≡ N –
Mittlere Teilchenzahl = N :
∑
n
Suche lokales Maximum von S(P) unter den Nebenbedingungen 0 = f0(P) = f1(P) = f2(P):
0 = -κ (ln(P ) + 1) – λ0 +
n
= -κ (ln(P ) + 1) – λ0 –
n
⇒
14.4
Pn
λ1 ∂ f1(P)
∂Pn
λ1 E n
–
+
λ2
∂
f2(P)
∂Pn
λ2 N n
λ2
λ1
λ0
= exp(-1- κ ) exp(- κ En ) exp(- κ N n)
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
λ2
λ0
λ1
= exp(-1- κ ) exp(- κ E n ) exp(- κ N n)
Pn
⇒
Normierung von P ⇒
λ2
λ
1
exp(– κ1 E n ) exp(– κ N n )
Z
Pn =
Z =
∑
n
setze
Zustandssumme
κ ≡
kB = Boltzmann-Konstante
T ≡ 1/λ1 = absolute Temperatur [K]
µ ≡ - T λ2 = chemisches Potential
⇒
Pn =
λ2
λ
exp(– κ1 E n ) exp(– κ Nn )
λ0
mit Z ≡ exp(1 +
)
κ
En
µ Nn
1
exp(–
)
exp(
)
k
T
kBT
Z
B
mit
Z =
∑
n
En
µ Nn
exp(–
)
exp(
)
k
T
kBT
B
(16)
Die natürlichen Variablen der Zustandssumme Z sind T und µ: Z = Z(T, µ)
14.5
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Innere Energie und mittlere Teilchenzahl:
U =
(G2)
N =
(G3)
∑
E n Pn
=
n
n
∑
N n Pn
∑ ∑
=
n
n
ni εi P[n0,n1, ... ] =
∑
i=0
i=0
∞
∞
∑ ∑
i=0
∞
∞
∞
ni P[n0,n1, ... ]
=
εi
∑
n
ni P[n0,n1, ... ] =
∑
i=0
∞
∑
∑
i=0
n
ni P[n0,n1, ... ] =
∑
i=0
εi –
ni
(17a)
–
ni
(17b)
Entropie & Innere Energie:
S = – kB
∑
P n ln(Pn )
n
=
=
1
T
∑
U
T
–
n
Pn E n
µN
T
–
– kB
=
(16)
µ
T
∑
n
∑
n
Pn Nn
+ kB ln(Z)
Pn ( –
+
En
kBT
+
kB ln(Z)
µ Nn
kBT
∑
n
– ln(Z) )
Pn
(17c)
(G2,G3,G1)
⇒
14.6
U =
Physik III, WiSe 2016/17
µN + TS – kBT ln(Z)
(17d)
Andreas Hemmerich 2016 ©
Nützliche Beziehungen zwischen S, U, N, Z als Funktionen von T und µ
∂
ln(Z)
∂T
(18)
U =
(19)
N =
(20)
U =
kBT ( µ
S =
∂
kBT
ln(Z) + kB ln(Z)
∂T
(21)
µN + kB
T2
∂
kBT ∂µ ln(Z)
(22) J(T, µ) ≡
∂
∂
+ T
) ln(Z)
∂µ
∂T
U(T, µ) – TS(T, µ) – µN(T, µ)
J = – kBT ln(Z)
S = –
⇒
U =
14.7
dJ = – S dT – N dµ
T
J(T, µ) – T
Physik III, WiSe 2016/17
Das grosskanonische Potential J(T, µ) als Funktion
der Temperatur T und des chemischen Potentials µ
charakterisiert das System vollständig. Es gilt
∂J
∂T µ
N = – ∂J
∂µ
heißt grosskanonisches Potential
∂J
∂J
–
µ
∂µ
∂T µ
T
In den Variablen T, µ können S, U, N, Z durch J
dargestellt werden
Andreas Hemmerich 2016 ©
BEW (18)
Z =
∑
U =
exp(
µN
n
kBT2
µN + kB
n
kBT
) exp(–
En
kBT
∂
1 ∂Z
ln(Z) = kBT2
∂T
Z ∂T
BEW (19)
1 ∂Z
kBT
ln(Z) = kBT
∂µ
Z ∂µ
U =
(18)
14.8
U =
µN +
Physik III, WiSe 2016/17
∂
ln(Z)
∂T
)
⇒
1
=
Z
∑
n
( E n – µ Nn ) exp(
µ Nn
kB T
) exp(–
En
kBT
)
=
U – µN
∂
kBT ∂µ ln(Z)
N =
∂
BEW (20)
T2
1
=
Z
∑
n
Nn exp(
µN
n
kBT
) exp(–
En
kBT
) =
N
∂
kBT ( µ ∂ + T
) ln(Z)
∂µ
∂T
kBT2
∂
ln(Z)
∂T
=
(19)
∂
µ kBT
ln(Z)
∂µ
+ kB
T2
∂
ln(Z)
∂T
Andreas Hemmerich 2016 ©
BEW (21)
S =
kBT
∂
ln(Z) + kB ln(Z)
∂T
S – kB ln(Z) = (U – µN)/T
(17c)
=
(18)
kBT
∂
∂T
ln(Z)
BEW (22)
(a) J(T, µ) ≡
U(T, µ) – TS(T, µ) – µN(T, µ) = kBT2
(18)
(b)
(c)
∂J
∂T µ
∂J
∂T µ
= – kBT
(a)
= – kBT
(a)
(d) mit (b) und (c) folgt
14.9
Physik III, WiSe 2016/17
∂
ln(Z) – kB ln(Z)
∂T
∂
∂µ
ln(Z)
U =
=
=
∂
ln(Z) – TS
∂T
= – kBT ln(Z)
(21)
–S
(21)
–N
(19)
J(T, µ) – T
∂J
∂J
–
µ
∂µ
∂T µ
T
Andreas Hemmerich 2016 ©
Innere Energie als Funktion von S und N:
BEH:
a)
a)
∂U
∂N S
=
b)
∂U
∂S N
= T
Aus (17) :
U =
∂U
=
∂N S
Z = Z( T(S,N), µ(S,N) )
klärt die Bedeutung des chemischen Potentials
µ
U = µ dN + TdS
µN + TS – kBT ln(Z)
µ + N
∂µ
∂T
+ S
– kBln(Z) ∂T
∂N S
∂N S
∂N S
∂
=
ln(Z)
∂N
S
⇒
=
(18,19)
⇒
∂U
∂N S = µ +
∂T
∂N S
b) ähnliche Rechnung wie in a)
14.10
Physik III, WiSe 2016/17
⇒
– kBT
∂µ
∂
ln(Z)
∂µ
T ∂N S
∂µ
N
kBT ∂N S
∂
∂T
+
ln(Z) µ
∂T
∂N S
U – µN ∂T
+
∂N S
kB T 2
S – kBln(Z) – (U – µN)/T
∂
ln(Z)
∂N
S
= µ
(17d)
Ü
Andreas Hemmerich 2016 ©
Mittlere Besetzung des i-ten Einteilchenzustands:
ni k
n0 ,n1, ....
∑
hniki ≡
∑
n0 ,n1, ....
nik P[n0,n1, ... ]
=
(16)
∑
exp(
n0 ,n1, ....
nik
n0 ,n1, ....
∑
=
∑
∞
En =
∑ ni ε i
kBT
exp(
i=0
∑
i=0
Ai ≡ exp(
ni
∑
=
kBT
) exp(–
µ– εi
kBT
kBT
n0ε 0
kB T
n
kB T
µN
n
kBT
) exp(–
) exp(–
) .... exp(
) .... exp(
En
µ ni
kBT
µ ni
kBT
kB T
) exp(–
) exp(–
)
)
kBT
En
P
)
niεi
kBT
niεi
kBT
) ....
) ....
)
n0 ,n1, ....
n0 ,n1, ....
Physik III, WiSe 2016/17
µ n0
) exp(–
n0ε0
n
n
nik A0 0 .... Ai i ....
∑
14.11
µ n0
n0 ,n1, ....
∞
Nn =
exp(
exp(
µN
(Herleitung
∑
=
n
n
A0 0 .... Ai i ....
n0
∑
n0
n
A0 0 ....
∑ nik Aini
n
A0 0 ....
∑
....
ni
ni
n
Ai i
....
Andreas Hemmerich 2016 ©
∑
=
n0
n
A0 0 ....
∑ A0n0
n0
....
∑
ni
∑
ni
n
ni k A i i
n
Ai i
....
∑
=
....
ni
Physik III, WiSe 2016/17
∂
Ai
∂Ai
nik Ai
=
ni
∑
∑ Ai
ni
ni
Ai ≡ exp(
14.12
ni
µ– εi
kB T
k
∑ Aini
ni
ni
(23a)
Ai
)
Andreas Hemmerich 2016 ©
P
Zustandssumme Z :
Z
=
(16)
exp(
∑
n
∑
=
µN
kBT
exp(
n0 ,n1, ....
=
n0
=
n
En
) exp(–
µ n0
kBT
kBT
) exp(–
kBT
Nn =
) .... exp(
µ ni
kBT
∑
i=0
) exp(–
ni
niεi
kBT
En =
∑ ni εi
i=0
) ....
ni(µ– εi)
n0(µ– ε0)
....
exp(
) ....
∑ exp(
)
kBT
kBT
,n , ....
1
∑
n0
n0
A0
....
∑
ni
ni
....
Ai
⇒
ln(Z) =
∑
i=0
Physik III, WiSe 2016/17
ln
=
∞
∏
i=0
∞
14.13
)
n0ε 0
∞
∞
∑
ni
n
Ai i
Ai ≡ exp(
∑
ni
n
Ai i
µ– εi
kBT
)
(23b)
Andreas Hemmerich 2016 ©
Fermionen:
ni = 0,1
n
nik Ai i
∑
hniki
ni
=
ni ≡ hnii
ni
(23a)
Ai
=
=
1 + Ai
∑ Ai
1
–1
Ai + 1
=
exp(
ni
1
εi–µ
kBT
(24)
) +1
unabhängig von k
ni
=
exp(
1
εi–µ
kBT
∞
i=0
14.14
Physik III, WiSe 2016/17
) +1
⇒ Δni2 = hnii (1-hnii)
hni2i = hnii
ln(Z) (23b)
= ∑
Fermi-Dirac Verteilung
ln
∑
ni
ni
Ai
∞
∞
=
∑
i=0
ln(1 + Ai)
=
∑
i=0
ln
1
1 – ni
(25)
Andreas Hemmerich 2016 ©
Bosonen:
ni = 0,1,2,....
verwende
∞
∑ qn =
1/(1 - q) falls q <1
n=0
hniki
=
(23a)
= hnii
∑ Aini
ni
=
n
Ai i
∑
ni
ni
k
∂
Ai
∂Ai
(1 – Ai) Ai ∂
∂Ai
1
1 – Ai
= (1 – Ai) Ai ∂
∂Ai
k
1
1 – Ai
Ai
=
1 – Ai
=
1
Ai–1 – 1
=
exp(
1
εi–µ
kBT
(26)
) –1
Bose-Einstein Verteilung
hni2i
=
Ai (1+Ai)
=
(1 – Ai)2
∞
ln(Z) (23b)
=
14.15
∑
ln
i=0
Physik III, WiSe 2016/17
∑
ni
ni
Ai
Ai
(1 – Ai)2
+
Ai2
(1 – Ai)2
∞
=
∑
i=0
ln
1
1 – Ai
= hnii ( 1+ 2 hnii)
(26)
⇒ Δni2 = hnii (1+hnii)
∞
=
(26)
∑
i=0
ln(1 + ni )
(27)
Andreas Hemmerich 2016 ©
Ü
(1)
i≠j ⇒ hniq njpi = hniqi hnjpi
(2)
nε ≡
(3)
∑ nε,ν
ν
⇒
Δnε2 =
(23c)
∑ Δnε,ν2
ν
hnεi = gεhnε,νi, Δnε,ν2 = hnε,νi (1±hnε,νi)
⇒
Δnε2 = hnεi (1± gε-1hnεi)
gε = Entartungsgrad
14.16
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
15. Bose-Systeme
15.1
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Bose-Systeme
Bose-Einstein-Verteilung:
ni
=
gi
-1
ξ exp(εi/kBT) – 1
ε , i = 0,1,2....
Einteilchen-Energien, wähle ε0 = 0
gi , i = 0,1,2....
Entartungsgrade
i
ξ = exp( µ/kBT)
εi
ε0
µ = chemisches Potential ∈ [-∞,0], ξ = Fugazität ∈ [0, 1]
T = Temperatur
Fluktuationen:
Aus (23c): Δni2 ≡ hni2i – hnii2 = hnii (1+ gi-1hnii)
Ü
ni >>1 ⇒ Δni ≈ ni gi-1/2
thermisches Rauschen
g1
g2
g3
g
g4 g5 6
g7
µ ε0 ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 ε7
Energie
15.2
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Bose-Einstein-Kondensation:
ni
=
gi
ξ-1 exp(εi/kBT) – 1
g1
(28)
N
=
(17b)
∑
i=0
g3
g7
µ ε0 ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 ε6 ε7
Energie
Normalisierung für N Teilchen:
∞
g2
g
g4 g5 6
ni = n0 + G(ξ)
Für hinreichend vernünftige Einteilchen-Parameter ε , gi
i
wächst G(z) monoton und ist beschränkt auf [0,1]
Bose-Einstein-Kondensation: N > Nc ≡ G(1), ξ = 1
⇒ Alle zusätzlichen N – N Teilchen bevölkern den Grundzustand
c
15.3
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Bose-Einstein-Kondensation: physikalische Interpretation
kühlen bei hoher Dichte
Dreikörperstöße führen
zu Molekülbildung
kühlen bei geringer Dichte
π k BT ≈
1 mV2
2
⇒
Thermische de Broglie Wellenlänge:
2 1/2
Λ = 2π/mV = ( 2π )
mkBT
Luis Victor de Broglie 1923
KritischeTemperatur:
de Broglie Wellenlänge Λ ≈ mittlerer Teilchenabstand d ≈ 1/ρ1/3
⇒
2π22ρ2/3
T =
m kB
Bose-Einstein-Kondensat
15.4
Physik III, WiSe 2016/17
vergl. (30b)
Satyendra Nath Bose, Albert Einstein
S. N. Bose, Z. Phys. 26, 178 (1924)
A. Einstein, Sitzber. Kgl. Akad. Wiss. 3 (1924/25)
Andreas Hemmerich 2016 ©
Herstellung und Beobachtung eines Bose-Einstein-Kondensats
Nobelpreis 2001
E. Cornell, C. Wieman, W. Ketterle
→ Laserkühlung
15.5
M. Anderson et al., Science 269,198 (1995)
C. Bradley, et al.,Phys. Rev. Lett. 75, 1687 (1995)
K. Davis et al., Phys. Rev. Lett. 75,3969 (1995).
Andreas Hemmerich 2016 ©
Bose-Einstein-Kondensate interferieren
Laser für Abbildung
BEK-Herstellung: 106 Atome
Teilen & Warten
Fallenlassen
Optisches Markieren
einer Scheibe
Linse
M. Andrews et al., Science 275, 637 (1997).
CCD Kamera
15.6
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Bose-Einstein-Kondensate sind superfluid
Anregungen bei kleinen Energien haben lineare Dispersionsrelation wie Phononen
Klassische Teilchen bewegen sich unterhalb der Schallgeschwindigkeit reibungsfrei
Einbringung von Rotationsenergie führt zu reibungsfreien Wirbeln mit quantisiertem Drehimpuls
Vortex-Gitter (NIST)
15.7
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
BSP1: N Bosonen in einem (großen) Kasten mit Volumen V
∞
(29a)
G(ξ) =
gi
∑
i=1
ξ exp(εi/kBT) – 1
Zustandsdichte:
V
Λ3
=
≈
-1
ξ-1exp(ε/kBT) – 1
0
ε0
dx
0
x1/2
=
ξ-1 exp(x) – 1
V g (ξ)
3/2
Λ3
2 1/2
Thermische deBroglie Wellenlänge: Λ ≡ ( 2π ) , k ≡ 2π /Λ
mkBT
P
⇒
2k2
= π kBT
2m
Die Funktion g3/2(ξ):
g3/2(ξ)
≡
(29b)
2
π1/2
∞
0
dx
x1/2
-1
ξ exp(x) – 1
∞
∑
=
n=1
g3/2(ξ) ist monoton auf [0,1], g3/2(1) ≈ 2.61
15.8
εi
43 π2
(7)
∞
g(ε)
dε
(2m)3/2 ε1/2 V
g(ε) =
2
π1/2
∞
Physik III, WiSe 2016/17
ξn
2.61
g3/2(ξ)
n3/2
1
ξ
Andreas Hemmerich 2016 ©
Bose-Einstein-Kondensation in einem Kasten mit Volumen V:
Normalisierung für N Teilchen:
Kritische Teilchenzahl Nc :
V
N = n0 + 3 g3/2(ξ) ,
Λ
(28,29a)
N > Nc ≡ g3/2(1) V3
Λ
Kritische Temperatur Tc bzw. Λc : k T =
B c
ρ
2/3
2π2
(
)
m g3/2(1)
n0 =
g0
ξ-1–1
bzw.
=
g0ξ
(30a)
1–ξ
ρΛ3 > g3/2(1) ≈ 2.61
ρ ≡ N/V Dichte, ρΛ3 Phasenraum-Dichte
,
ρΛc3 = g3/2(1)
(30b)
( BSP: Λ-Punkt 4He: Tc = 2.177 K, 87Rb bei ρ=1014 cm-3 ⇒ Tc = 400 nK )
Bose-Kondensat
Berechnung des chemisches Potentials µ(T,V,N):
Mit (30a) folgt
g0ξ
1 g (ξ)
1
1 =
+
ρΛ3 3/2
N 1–ξ
⇒
ξ(T,V,N) =
0
g3/2(1)
0
1
g3/2-1 (ρΛ3) falls ξ < 1 bzw. ρΛ3 < g3/2(1)
1
15.9
ξ für N = 105
ξ = ξ(T,V,N)
Thermodynamischer Limes: V, N → ∞ so, dass ρΛ3 konstant:
⇒
ξ für N → ∞
1
falls ρΛ3 > g3/2(1)
2
3
4
5
ρΛ3
(30c)
i.e. für Bose-Kondensat
µ(T,V,N) = kBT ln( ξ(T,V,N) )
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Besetzung des Grundzustands:
Mit (30a) folgt
n0
= 1 –
N
1 g (ξ)
ρΛ3 3/2
g3/2-1 (ρΛ3)
Einsetzen von (30c) ξ(T,V,N) =
1
falls ρΛ3 > g3/2(1)
falls ρΛ3 < g3/2(1)
0
n0
N
führt zu
=
1–
falls ρΛ3 < g3/2(1)
g3/2(1)
ρΛ3
T 3/2
= 1 –
falls ρΛ3 > g3/2(1)
Tc
(30d)
Bose-Kondensat
n0
N
1
0
15.10
Physik III, WiSe 2016/17
0
1
2
T
Tc
Andreas Hemmerich 2016 ©
Innere Energie, Zustandsgleichung:
∞
∑
U =
i=0
ni ε i
≈
g5/2(ξ)
h(ξ)
2
π1/2
∞
≡ 4 1/2
3π
≡
g(ε) ε
dε
0
∞
ξ exp(ε/kBT) – 1
dx
0
dx
x3/2
-1
∞
ξ exp(x) – 1
h(ξ) =
g5/2(ξ)
=
1 –
43 π2
∑
n=1
ξn
n5/2
ξ
25/2
0.513 ≤ h(ξ) ≤ 1
g3/2(ξ)
∞
dε
0
ε3/2
ξ-1exp(ε/kBT) – 1
3 k T V g (ξ)
5/2
2 B
Λ3
=
ξ-1 exp(x) – 1
x3/2
(2m)3/2 V
=
-1
0
V k T
Λ3 B
=
∞
+ ...
(31a)
monoton auf [0,1], g5/2(1) ≈ 1.34
1.2
0.8
0.4
0
0
h(ξ)
g5/2(ξ)
1
ξ
P
Für kleine Werte von ξ erhält man die Relationen für ein Boltzmann-Gas:
V
Λ3
=
(30a)
pV =
(11b)
15.11
N – n0
g3/2(ξ)
⇒
(31a)
U =
3 k T (N – n ) h(ξ)
0
2 B
ξ
=
3 k T (N – n ) 1 –
+ ...
0
25/2
2 B
ξ
V
2
g5/2(ξ) = kBT (N – n0 ) h(ξ) = k T (N – n0 ) 1 – 5/2 + ...
U = kBT
B
3
2
3
(31b)
Λ
(31a)
Physik III, WiSe 2016/17
(31b)
(31c)
Andreas Hemmerich 2016 ©
Spezifische Wärme:
Cv
N
≡
1 ∂U
N ∂T
V,N
=
(31a)
d
dT
3
d T g ( ξ(T,V,N) )
kB
5/2
2
dT ρΛ3
=
15
1 g ( ξ(T,V,N) )
kB
5/2
4
ρΛ3
d g ( ξ(T,V,N) )
5/2
dξ
∂ξ
∂T
V,N
Physik III, WiSe 2016/17
=
=
P
)
1 g ( ξ(T,V,N) )
3
kB T
5/2
ρΛ3
2
=
d g ( ξ(T,V,N) )
3/2
dξ
15.12
(Herleitung
d
dξ
d
dξ
∞
∑
n=1
∞
∑
n=1
+
3 kBT d g ( ξ(T,V,N) )
2 ρΛ3 dT 5/2
+
3 kB T
2 ρΛ3
ξn
n3/2
d g ( ξ(T,V,N) )
5/2
dξ
∞
=
ξn
n5/2
d
d
(ρΛ3) =
g3/2-1(ρΛ3)
=
dT
dy
ξ-1 ∑
n=1
∞
=
ξ-1
∑
n=1
ξn
n1/2
ξn
n3/2
d
(ρΛ3)
dT
d g ( ξ)
3/2
dξ
∂ξ
∂T
(32a)
V,N
=
ξ-1 g1/2( ξ(T,V,N) )
=
ξ-1 g3/2( ξ(T,V,N) )
=
3 ρΛ3 ξ
–
2 T g1/2(ξ)
(32b)
Andreas Hemmerich 2016 ©
⇒
Cv
=
N
ξ(T,V,N)
1 g (ξ)
15
5/2
kB
4
ρΛ3
=
(30c)
–
9 k g3/2(ξ)
4 B g1/2(ξ)
g3/2-1 (ρΛ3)
falls T > Tc
1
falls T < Tc
(32c)
ρΛ3
=
N 2π2 3/2
(
)
V mkBT
Grenzfälle:
ρΛ3 = g3/2(ξ)
T > Tc ⇒
T < Tc ⇒ 1 = ξ, g1/2(1) = ∞
T→ ∞
ρΛ3
⇒
ξ =
→ 0 ⇒
Cv
⇒
kBN
⇒
g3/2-1 (ρΛ3)
Cv
kB N
→ 0
=
15 g5/2(ξ)
4 g3/2(ξ)
g3/2(ξ)
9
–
4 g1/2(ξ)
=
15 g5/2(1)
4
ρΛ3
15 g5/2(1)
=
4 g3/2(1)
⇒
Cv
kBN
=
15
– 9
4
4
=
T 3/2
Tc
3
2
Cv
kBN
vergl. klassisches ideales Gas
3/2
0
15.13
Physik III, WiSe 2016/17
Cv
0
1
2
T
Tc
kBN
= 3/2
Andreas Hemmerich 2016 ©
Λ-Punkt von 4He
15.14
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
P
Nützliche Darstellung von g±n+1/2(ξ), n =0,1,... :
für n ∈ {1,2, ... } sei (n - 1/2)! ≡ (n - 1/2)(n - 3/2)
...
1/2 ,
!
( - 1/2)! ≡ 1
für n ∈ {0,1, ... } :
g±n+1/2(ξ) ≡
1
(n - 1/2)!
1
π1/2
∞
dx
0
x(n - 1/2)
-1
ξ exp(x) ± 1
ξ ≡ e-α
1
=
1
π1/2
(n - 1/2)!
∞
( q)ν = 1 mit q = e-(x+α)
1±q
ν=0
∞
∞
1
(ν-1) -ν(x+α)
e
=
dx x(n - 1/2) ∑ ( 1)
geometrische Reihe
=
1
(n - 1/2)!
1
π1/2
∞
x(n - 1/2) e-(x+α)
dx
1 ± e-(x+α)
0
∑
0
(n - 1/2)!
ν=1
1
π1/2
∞
∑
(
1)(ν-1)
ξν
∞
dx x(n - 1/2) e-νx
0
ν=1
n -fache partielle Integration
=
1
(n - 1/2)!
1
π1/2
∞
∑(
1)(ν-1) ξν
∞
dx (n - 1/2)! x
0
ν=1
Variablentransformation z = νx
∞
=
∑
ν=1
15.15
∞
( 1)(ν-1) ξν 1
dz z -1/2 e-z
1/2
(n
+
1/2)
π
ν
Physik III, WiSe 2016/17
0
-1/2
e-νx
νn
∞
=
1
∑ ( 1)(ν-1) ξν
1/2
π ν=1
∞
dx x
0
-1/2
e-νx
νn
Variablentransformation y2 = z
∞
=
∑
ν=1
∞
( 1)(ν-1) ξν 2
-y 2
dy
e
1/2
ν(n + 1/2) π
0
=1
∞
=
∑
ν=1
( 1)(ν-1) ξν
ν(n + 1/2)
Andreas Hemmerich 2016 ©
P
Nützliche Darstellung von g±n(ξ), n = 1,2... :
∞
1
g±n(ξ) ≡
(n - 1)!
x(n - 1)
dx
-1
ξ exp(x) ± 1
0
ξ ≡ e-α
=
∞
1
(n - 1)!
!
dx
0
x(n - 1) e-(x+α)
1 ± e-(x+α)
geometrische Reihe
=
∞
1
(n - 1)!
∞
dx
∑(
x(n - 1)
0
1)(ν-1) e-ν(x+α)
=
ν=1
∞
1
(n - 1)!
∑
=
∞
∑
(
1)(ν-1)
ξν
=
∑
(
1)(ν-1)
ν=1
ξν
∞
νn
dx (n - 1)!
0
∞
e-νx
ν(n -1)
=
∞
dz e-z
dx x(n - 1) e-νx
0
Variablentransformation z = νx
0
ν=1
∞
∞
∞
ξν
ν=1
(n-1) -fache partielle Integration
1
(n - 1)!
(
1)(ν-1)
=
∑
ν=1
( 1)(ν-1)
∑
ν=1
( 1)(ν-1) ξν
∞
0
e-νx
dx (n -1)
ν
ξν
νn
=1
15.16
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
BSP2: N Bosonen in einem 3D harmonischen Potential
1
2
Zustände: |ix,iy,izi , ix,iy,iz = 0,1,2,....
Enartungsgrade:
Zustandsdichte:
∞
G(ξ) =
dε
0
P
g3(ξ) ≡
1
2
ε2
εi = i Ω , i = (ix+iy+iz) = 0,1,...
2
1
1 2
1 εi
gi = 2 (i+1)(i+2) ≈ 2 i = 2 Ω
gi
ε2
(33a)
g(ε) = Ω =
2 (Ω)3
Energiewerte:
∞
g(ε)
ξ exp(ε/kBT) – 1
dx
0
-1
kBT
=
-1
ξ exp(x) – 1
=
Kritische Temperatur Tc :
15.17
Physik III, WiSe 2016/17
ξn
∑
n=1
Normalisierung auf N Teilchen: N = n0 +
Bose-Einstein-Kondensation:
3
Ω
∞
x2
mΩ2(x2+y2+z2)
N > Nc ≡
kBTc ≡ (N /g3
kBT
3
kBT
3
Ω
(1))1/3
Ω
ε0
1
2
∞
0
dx
x2
ξ-1 exp(x) – 1
monoton auf [0,1] mit g3(1) ≈ 1.202
n3
Ω
ε1
(33b)
g3(ξ)
g3(1) bzw. Θ > g3(1) , Θ ≡ N
3
kBT
Θ Phasenraum-Dichte
Ω
(vergl. Boltzmann:
Ω
k Tc = Ω )
B
Andreas Hemmerich 2016 ©
Chemisches Potential µ(T,Ω,N):
Mit (33b) folgt
ξ
1
1 =
+
N 1–ξ
1
Θ
g3(ξ)
⇒
ξ = ξ (T,Ω,N)
(33c)
Thermodynamischer Limes: N → ∞ so, dass Θ konstant:
⇒
ξ(T,Ω,N) =
g3-1 (Θ)
falls Θ
< g3(1)
1
falls Θ
> g3(1)
(34a)
µ(T,Ω,N) = kBT ln( ξ(T,Ω,N) )
n0
N
0
=
1–
falls Θ
g3(1)
Θ
Bose-Einstein-Kondensat aus Rubidiumatomen
T 3
= 1 –
Tc
falls Θ
< g3(1)
> g3(1)
(34b)
1
J. Ensher et al. Phys. Rev. Lett. 77, 4984 (1996)
0
15.18
0
T/Tc
1.8
Andreas Hemmerich 2016 ©
(Herleitung
Innere Energie, Zustandsgleichung:
∞
ni εi
∑
U =
i=0
=
g4(ξ)
f(ξ)
≈
≡
dε
0
N
k T
Θ B
≡ 1
6
∞
1
2
∞
0
g4(ξ)
g3(ξ)
dx
∞
dx
0
g(ε) ε
=
-1
ξ exp(ε/kBT) – 1
(33a)
x3
ξ exp(x) – 1
∞
x3
-1
ξ exp(x) – 1
f(ξ)
=
=
∑
n=1
1 –
ξ
16
0.9004 ≤ f(ξ) ≤ 1
2(Ω)3
3 kBT N
Θ
=
-1
1
ξn
n4
∞
dε
0
Physik III, WiSe 2016/17
)
ε3
ξ-1exp(ε/kBT) – 1
g4(ξ)
(35a)
monoton auf [0,1] mit g4(1) ≈ 1.082
+ ...
P
f(ξ)
1.2
0.8
0.4
0
g3(ξ)
g4(ξ)
0
ξ
1
Für kleine Werte von ξ erhält man den Ausdruck für ein klassisches Boltzmann-Gas:
ξ
N – n0
N
+ ...
⇒ U = 3 k T (N – n0 ) f(ξ) = 3 kBT (N – n0 ) 1 –
=
B
Θ
16
g
(ξ)
3
(33c)
(35a)
15.19
P
P
(35b)
Andreas Hemmerich 2016 ©
(Herleitung
Spezifische Wärme:
CΩ
N
≡
=
1 ∂U
N ∂T
Ω,N
d T
3kB
dT Θ
=
(31a)
g4( ξ(T,Ω,N) )
d g ( ξ(T,Ω,N) )
4
dξ
d g ( ξ(T,Ω,N) )
3
dξ
∂ξ
∂T
=
15.20
12kB
Physik III, WiSe 2016/17
Ω,N
d
3 kBT 1
dT
Θ
=
=
=
d
dξ
d
dξ
∑
n=1
∞
∑
n=1
ξn
n4
ξn
n3
d -1
dΘ
g3 (Θ)
dΘ
dT
)
g4( ξ(T,Ω,N) )
+ 3kB
∞
P
T d g ( ξ(T,Ω,N) ) ∂ξ
Θ dξ 4
∂T
∞
=
ξ-1
∑
n=1
∞
=
ξ-1 ∑
n=1
=
ξn
n3
ξn
n2
dΘ
dT
d g (ξ)
3
dξ
V,N
=
ξ-1 g3( ξ(T,Ω,N) )
=
ξ-1 g2( ξ(T,Ω,N) )
= –3
ξΘ
T g2(ξ)
1 g ( ξ(T,Ω,N) ) – 9k g3( ξ(T,Ω,N) )
B g ( ξ(T,Ω,N) )
Θ 4
2
Andreas Hemmerich 2016 ©
CΩ
⇒
N
12kB
=
ξ(T,Ω,N) =
(34a)
g4(ξ)
g3(ξ)
– 9kB
Θ
(36a)
g2(ξ)
g3-1 (Θ)
falls Θ
< g3(1)
1
falls Θ
> g3(1)
Grenzfälle:
T > Tc ⇒
Θ = g3(ξ)
T < Tc ⇒
T→ ∞
1 = ξ, g2(1) = ∞
⇒ Θ→ 0
⇒
CΩ
⇒
kBN
⇒
kB N
ξ = g3-1 (Θ) → 0
⇒
CΩ
CΩ
kBN
k BN
3
0
15.21
CΩ
=
=
g4(ξ)
12
g3(ξ)
12
CΩ
kBN
–
g3(ξ)
9
g2(ξ)
g4(1) T
g4(1)
12
=
g3(1) Tc
Θ
0
Physik III, WiSe 2016/17
1
2
(36b)
= 12 – 9 = 3
k T = Ω
B
vergl. ideales Boltzmann-Gas
in Gleichung (14)
N=300
3
T
Tc
3
0
0
(g3(1)/N)1/3
T
Tc
Andreas Hemmerich 2016 ©
Kanonisches Ensemble:
Mittlere Teilchenzahl nicht erhalten ⇒ Nebenbedingung (G3) entfällt, i.e. µ = 0 in Gleichung (16)
⇒
Pn =
En
1
exp(–
)
k
T
Z
B
mit
Z =
En
exp(–
∑
kBT
n
)
(37a)
Mittlere Besetzung des Einteilchenzustands mit Energie εi :
∑
∑
ni ≡
n0 ,n1, ....
∞
En =
i=0
exp(–
∑
ni exp(–
n0 ,n1, ....
n0 ,n1, ....
Physik III, WiSe 2016/17
exp(–
n0ε 0
kBT
n0ε 0
kBT
) .... exp(–
) .... exp(–
kBT
n0 ,n1, ....
=
∑ ni ε i
∑
15.22
ni exp(–
n0 ,n1, ....
∑
=
ni P[n0,n1, ... ]
En
niεi
kBT
niεi
kBT
kB T
∑
) ....
=
) ....
En
)
)
(Herleitung P )
εi
Ai ≡ exp( –
)
kBT
0 .... Ani ....
ni An
0
i
n0 ,n1, ....
∑
n0 ,n1, ....
n
n
A0 0 .... Ai i ....
Andreas Hemmerich 2016 ©
0 .... Ani ....
ni An
0
i
∑
=
n0 ,n1, ....
n0
=
n
n
A0 0 .... Ai i ....
∑
n0 ,n1, ....
∑
=
∑
ni
Ai
∑
ni
n
∂
Ai i
∂Ai
ni
=
∑
n0
∂
Ai
∂Ai
∑
Ai
ni
n
A0 0 ....
n
A0 0 ....
ni
Ai
∑ Ai
ni
=
ni
∑ ni Aini
....
ni
n
ni Ai i
∑
n
Ai i
ni
=
∑
ni
n
Ai i
....
ni
1
∂
∂Ai 1– Ai
=
1
1– Ai
Ai
∑
1
Ai-1– 1
=
1
e εi/kBT –
1
(37b)
BSP: Photonengas (thermische Photonen)
Mittlere Photonenzahl bei der Frequenz ω ≡ ε / :
n(ω) =
1
e ω/kBT – 1
Spektrale Energiedichte (Plancks Strahlungsformel):
1 dE =
V dω
1 dρ n(ω)
ω
V dω
spektrale
Modendichte
15.23
Physik III, WiSe 2016/17
=
ω2
π 2 c3
mittlere Anzahl von
Photonen pro Mode
1
(eω/kBT - 1)
ω
(37c)
Energie pro Photon
Andreas Hemmerich 2016 ©
Debye-Modell der spezifischen Wärme eines Festkörpers:
Die Atome eines Festkörpers sind durch starke elektrische Kräfte verbunden.
Deshalb muss die Wärmebewegung eines Festkörpers durch kollektive Schwingungen des ganzen Gitters beschrieben werden (Schallwellen). Die Quantisierung
dieser Schallwellen führt (analog zu den Photonen) zum Begriff der Phononen.
Peter Debye
(1884 - 1966)
Nobelpreis 1936
Modendichte der Phononen in einem Kasten mit Volumen V:
ki L = 2π zi, zi ∈ Z , i = x,y,z
Wie viele Phononen gibt es pro Frequenzintervall?
ky 2π/L
dg
2π/L
kx
d3k
d3k
⇒
Anzahl von Moden
k-Raum Volumen
=
= 4π
1 dg
=
V dν
transversale und longitudinale Moden:
15.24
Physik III, WiSe 2016/17
|k|2 d|k|
(2π)3
= 4π
4π
ν2
c3
=
1
(2π/L)3
ν2
c3
dν
=
V
, V = L3
(2π)3
c = Schallgeschwindigkeit
spektrale Modendichte
1 dg
=
V dν
4π ν2
1 + 2
cl3 ct3
1 dg
=
V dω
ω2
2π2
1 + 2
cl3 ct3
Schallgeschwindigkeiten
cl bzw. ct für longitudinale
bzw. transversale Wellen
Andreas Hemmerich 2016 ©
Die maximale Anzahl kollektiver Schwingungen von N Teilchen mit je 3 Freiheitsgraden ist 3N:
ωD
⇒
3N =
V
1 dg
dω
V dω
0
ωD3
=
6π2
1 + 2
cl3 ct3
⇒
dg
dω
ρ= N/V = Teilchendichte
⇒
ωD3 = 18π2 ρ
1 + 2
cl3 ct3
-1
=
9N ω2
ωD3
Debye-Grenzfrequenz
Phononen gehorchen Bose-Statistik analog zu Photonen:
ωD
Innere Energie:
dω
U =
0
ω
9N ω2
ωD3
e ω/kBT –
spez. Wärme/Teilchen:
Cv
N
15.25
Physik III, WiSe 2016/17
=
1 ∂U
N ∂T
ωdb
V,N
=
0
9ω2
dω
ωD3
(ω)2
kBT2
1
e ω/kBT
(e ω/kBT –
1)2
Andreas Hemmerich 2016 ©
ωD
dω
=
e ω/kBT
92ω4
ωD3 kBT2
0
(e ω/kBT –
θD ≡ ωD/kB
θD[K]
=
= Debye-Temperatur
N
≈ 9kB
dx
0
= /kB
1 + 2
cl3 ct3
Cs
Pb
Cd
Ag
Cu
Al
Fe
Be
C*
38
88
168
215
315
398
453
1440
2230
Cv / kBN
3
θD/T
T 3
θD
dx x2
= 3kB
Ag (Silber)
Al
(Aluminium
C
(Graphit)
Al2O3 (Saphir)
KCl
2
0
0
15.26
(38)
1)2
(Herleitung P )
Verhalten bei niedrigen Temperaturen: T ¿ θD
N
(ex –
1/3
1
Cv
x4 ex
(18π2 ρ)1/3
Gesetz von Dulong/Petit: θD¿ T
Cv
T 3
θD
9kB
1)2
θD/T
≈ 9kB
Physik III, WiSe 2016/17
T 3
θD
∞
dx
0
x4ex
(ex –
1)2
= 9kB
1
2
T/θD
T 3 π4
θD 15
Andreas Hemmerich 2016 ©
16. Fermi-Systeme
16.1
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Fermi-Systeme
Fermi-Dirac-Verteilung:
ni
gi
=
exp(
Fluktuationen:
εi– µ
) +1
kBT
Δni2 = hnii (1– gi-1hnii)
(24)
Für die Zustände mit εi << µ folgt hnii → gi, Δni → 0
Normierung für N Teilchen:
∞
N = ∑ ni
⇒
µ(N,T)
i=0
Notationen:
F(ε,µ,T) ≡
1
ε–µ
exp(
) +1
kBT
Fermi-Funktion
εi , i = 0,1,2.... Einteilchen-Energien
gi , i = 0,1,2.... Entartungsgrade
µ ∈ ]-∞,∞[ chemisches Potential
(39)
ξ = exp(µ/kBT) ∈ [0, ∞[ Fugazität
T = Temperatur
für konstantes chemisches Potential µ
µ
1
T1 > T2 > T3
1/2
εF(N) ≡ µ(T=0, N) Fermi-Energie
{Zi: E(Zi) ≤ εF} Fermi-Kugel
{Zi: E(Zi) = εF} Fermi-Fläche
16.2
Physik III, WiSe 2016/17
0
Energie ε
Andreas Hemmerich 2016 ©
Fermi-Gas in einem Kasten mit Volumen V:
Normalisierung:
∞
N = ∑ ni
≈
i=0
=
∞
dε
0
V (2s+1) 2
π1/2
Λ3
∞
g(ε)
-1
ξ exp(ε/kBT) + 1
dx
0
x1/2
-1
ξ exp(x) + 1
=
(2m)3/2 V
43 π2
Spin-Entartung
(2s+1)
∞
dε
0
V
= (2s+1) 3 f3/2(ξ)
Λ
ε1/2
ξ-1exp(ε/kBT) + 1
2 1/2
2

π
Λ ≡ (
)
mkBT
(40a)
Thermische deBroglie Wellenlänge
Chemisches Potential:
mit Invertierung von Gl. (40a) folgt
µ(T, ρ) = kBT ln( f3/2-1(Θ) ) ,
Θ ≡ ρΛ3/(2s+1) Phasenraumdichte
ρ ≡ N/V Teilchendichte
P
Die Funktionen f3/2(ξ), f5/2(ξ):
∞
f3/2(ξ) = –
∑
n=1
(-ξ)n
n3/2
∞
, f5/2(ξ) = –
∑
n=1
(-ξ)n
Physik III, WiSe 2016/17
f3/2(ξ)
n5/2
f3/2(ξ), f5/2(ξ) sind monoton steigend auf [0,∞[
16.3
f5/2(ξ)
3
5
(40b)
ξ
Andreas Hemmerich 2016 ©
Fermi-Energie im Kasten mit Volumen V:
Grenzfall T → 0 bzw. ξ → ∞ :
µ(T, ρ) → εF(ρ) = µ(T=0, ρ)
1
F(ε, µ(T, ρ), T) =
exp
ε – µ(T, ρ)
exp
=
(2m)3/2 V
43 π2
(2m)3/2 V
43 π2
+1
1
→
N =
kBT
ε – εF(ρ)
kBT
∞
(2s+1)
dε ε1/2 F(ε, µ(T, ρ),T)
dε
ε1/2
=
(2m)3/2 V
43 π2
⇒ εF = (2s+1)-2/3 (9/2)1/3 2 π4/3 ρ2/3 /m
16.4
Physik III, WiSe 2016/17
charak. Funktion auf [0,εF ]
≈
(2m)3/2 V
kBT → 0
εF
0
F
+1
0
(2s+1)
χ [0, ε ] (ε)
→
(2s+1)
43 π2
∞
(2s+1)
0
dε ε1/2 χ [0, ε ] (ε)
F
2 ε 3/2
3 F
hängt nur von Teilchendichte ab
(41)
Andreas Hemmerich 2016 ©
Innere Energie:
∞
U =
∑
i=0
=
∞
ni ε i ≈
g(ε) ε
dε
-1
ξ exp(ε/kBT) + 1
0
3 V k T 4 (2s+1)
2 Λ3 B 3π1/2
V (40a)
N
=
Λ3
(2s+1)f3/2(ξ)
0
U =
⇒
h(ξ) ≡ f5/2(ξ)/f3/2(ξ)
pV =
dx
43 π2
x3/2
ξ-1 exp(x) + 1
3 N k T h(ξ)
B
2
=
(2s+1)
∞
0
=
dε
ε3/2
ξ-1exp(ε/kBT) + 1
3 k T (2s+1) V f (ξ)
2 B
Λ3 5/2
3 Nk T
B
2
2
U = N kBT h(ξ) = N kBT
3
ξ
1+
25/2
ξ
1+
25/2
(42a)
– ...
(42b)
– ...
f5/2(ξ)
3
f3/2(ξ)
h(ξ)
1
5
16.5
∞
=
(2m)3/2 V
Physik III, WiSe 2016/17
ξ
Im Grenzfall kBT → ∞ bzw. ξ → 0 erhält man die Relationen
für ein Boltzmann-Gas:
U =
3 Nk T,
B
2
pV = N kBT
Andreas Hemmerich 2016 ©
Grenzfall T → 0 bzw. ξ → ∞ :
µ(T, ρ) → εF = µ(T=0, ρ)
1
F(ε, µ(T, ρ), T) =
exp
ε – µ(T, ρ)
kBT
∞
U(T=0) =
∑
i=0
=
(41)
p(T=0) =
ni ε i
=
3
N εF-3/2
2
2
U(T=0) / V
3
(2m)3/2 V
43 π2
→ χ
(ε)
[0, εF]
+1
(2s+1)
∞
dε ε3/2 F(ε,µ,T)
0
=
(2m)3/2 V
43 π2
εF
dε ε3/2
(2s+1)
0
εF
dε ε3/2
3
N εF
5
=
0
=
2 N εF
5 V
=
(43)
1
(6/(2s+1))2/3 2 π4/3 ρ5/3 / m
5
Pauli-Prinzip führt bei Fermi-Gasen zu endlichem Druck bei T=0: Quantendruck bzw. Nullpunktsdruck
16.6
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
Näherung für tiefe Temperaturen
für kBT << εF hat die Fermi-Verteilung nahezu Kastenform (blaue Kurve: F(ε,µ,T) ≈ F(ε,εF,T)).
Pauli-Prinzip: die meisten Elektronen finden keine freien Zustände, nur Elektronen in unmittelbarer
Umgebung der Fermi-Fläche (grauer Bereich: Breite ≈ kBT π2/2) tragen zur thermischen Anregung bei.
⇒ U ≈
3
N εF + N (π2 k T / 2εF) (k T/2)
B
B
5
⇒
Cv
kBN
≈ π2/2
T/TF
Anteil der Teilchen im grauen Bereich
⇒
spezifische Wärme CV → 0 für T → 0
Halbe Breite des grauen Bereichs ≈ kBT π2/4 :
1
ε – εF
exp(
) +1
kBT
16.7
Physik III, WiSe 2016/17
1
≈ 0.08
=
2
π
exp( ) + 1
4
Andreas Hemmerich 2016 ©
Spezifische Wärme:
Cv
N
≡
1 ∂U
N ∂T
V,N
(40a)
=
3
d T
kB
2
dT Θ
=
15
1
kB
4
Θ
d
dT
1 f ( ξ(T,V,N) )
3
kBT
5/2
Θ
2
f5/2( ξ(T,V,N) )
f5/2( ξ(T,V,N) )
∞
(-ξ)n
d f (ξ)
3/2
dξ
d
-∑
=
dξ n=1 n3/2
d f (ξ)
5/2
dξ
∞
(-ξ)n
d
-∑
=
dξ n=1 n5/2
∂ξ
∂T
16.8
=
(Herleitung P )
V,N
Physik III, WiSe 2016/17
=
dΘ
d
f3/2-1(Θ)
dT
dy
+
3 kBT
2 Θ
d f ( ξ(T,V,N) )
5/2
dT
+
3 kB T
2 Θ
d f ( ξ(T,V,N) )
5/2
dξ
∞
=
-
∑
ξ-1
n=1
∞
=
Θ = ρΛ3/(2s+1)
- ξ-1∑
n=1
=
(-ξ)n
n1/2
(-ξ)n
n3/2
=
ξ-1 f1/2(ξ)
=
ξ-1 f3/2(ξ)
dΘ
dT
d f ( ξ)
3/2
dξ
∂ξ
∂T
V,N
(43a)
(43b)
ξΘ
= – 3
2 T f (ξ)
1/2
Andreas Hemmerich 2016 ©
Cv
⇒
15 1
4 Θ
=
NkB
f5/2(ξ)
–
9 f3/2(ξ)
4 f1/2(ξ)
=
15 f5/2(ξ)
4 f3/2(ξ)
–
9 f3/2(ξ)
4 f1/2(ξ)
ξ(T,V,N) = f3/2-1(Θ)
Grenzfälle:
T→ ∞
⇒ Θ → 0, ξ → 0
⇒
T→ 0
⇒ Θ → ∞, ξ → ∞
⇒
Cv
kBN
Cv
kBN
=
15
– 9
4
4
=
15 f5/2(ξ)
4 f3/2(ξ)
=
3
2
–
9 f3/2(ξ)
4 f1/2(ξ)
→
0
Cv
kBN
3/2
1
K: Klassischer Bereich
jedes Elektron trägt im Mittel 3/2 kBT bei
K
Q
Q: Quantenentarteter Bereich
nur wenige Elektronen nahe an der Fermi-Fläche
können angeregt werden
1/2
0
16.9
Physik III, WiSe 2016/17
-5
0
5
10
15
20
25
log(ξ)
Andreas Hemmerich 2016 ©
Beispiele für entartete Fermi-Gase
1. Elektronen in Metallen: Fermi-Energien der Elektronen in Metallen liegen im eV-Bereich.
BSP Kupfer → εF = 7 eV , εF / kB = 82.000 K
2. Weiße Zwerge
2 N εF
1
Erloschene Sterne, deren Quantendruck p(T=0) =
(6/(2s+1))2/3 2 π4/3 ρ5/3 / m
=
5 V
5
die Gravitation kompensiert: → Radius3 * Masse = konstant
Fermi-Energie des Elektronengas des Stern-Plasmas im Bereich 300 keV.
Relativistische Behandlung → Chandrasekhar-Grenze: Masse < 1.4 MSonne
3. Kernmaterie: Fermi-Energie der Nukleonen im Kern im Bereich 30 MeV.
4. Neutronensterne: Fermi-Energie der Neutronen im Bereich 300 MeV.
16.10
Physik III, WiSe 2016/17
Andreas Hemmerich 2016 ©
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