Grundwissen Mathematik: 5. Klasse
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Karl-Theodor-v.-Dalberg-Gymnasium Grundwissen Mathematik: 10. Jahrgangsstufe Lerninhalte Definitionen und Gesetze Musterbeispiele Potenzen -Natürliche Exponenten: für -Ganzzahlige Exponenten: für gilt: gilt: - Rationale Exponenten: für und gilt: - Reelle Exponenten werden mit Hilfe von Intervallschachtelungen rationaler Exponenten eingeführt. Potenzgesetze Gleiche Basis Gleicher Exponent: Potenzieren: Potenzgleichungen Lösungen der reinen Gleichung über Gerader Exponent Potenzfunktionen Eine Funktion . Ungerader Exponent bzw. für heißt Potenzfunktion. Für positiven Exponent nennt man ihren Graphen Parabel n-ter Ordnung, für negativen Exponent Hyperbel n-ter Ordnung. Positiver Exponent -alle Graphen gehen durch die Punkte (1;1) und (0;0) - für sind die Funktionen streng monoton zunehmend - Für gerades n ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, für ungerades n ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Negativer Exponent - alle Graphen gehen durch den Punkt (1;1) - für sind die Funktionen streng monoton abnehmend - Für gerades n ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, für ungerades n ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 27.07.04 Lerninhalte Definitionen und Gesetze Polynome und Polynomdivision Ein Term der Form Koeffizienten Musterbeispiele mit reellen heißt Polynom. Eine Funktion mit einem derartigen Funktionsterm heißt Polynomfunktion oder ganzrationale Funktion. Ist eine Lösung der Gleichung so gilt mit geeigneten Koeffizienten Wurzelfunktion und Umkehrfunktion , : Die Umkehrfunktion einer Potenzfunktion heißt Wurzelfunktion. Allgemeines Rezept: 1. Schreibe die Funktionsgleichung der Funktion auf. 2. Vertausche x und y. 3. Löse nach y auf. Es ergibt sich die Gleichung der Umkehrfunktion. (Ggf Fallunterscheidung berücksichtigen.) Beachte: Die Graphen von Funktion und Umkehrfunktion liegen bezüglich der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten spiegelbildlich. Exponentialfunktion Eine Funktion heißt Exponentialfunktion. Eigenschaften: - Alle Exponentialfunktionen gehen durch den Punkt (0;1). - Für sind die Exponentialfunktionen streng monoton abnehmend, für sind sie streng monoton zunehmend. - Die Graphen der Exponentialfunktionen Achse spiegelbildlich. und liegen bezüglich der y- Lerninhalte Definitionen und Gesetze Logarithmus Für und Musterbeispiele versteht man unter dem Logarithmus (=Exponent) von c zur Basis a diejenige Zahl x, für die In Zeichen: gilt. Bestimme x! . Umgangssprachlich: Der Logarithmus von c zur Basis a ist diejenige Zahl, die man als Exponent an die Basis a schreiben muss, um als Ergebnis der so entstandenen Potenz c zu erhalten. Vereinfache! Rechengesetze Logarithmusfunktion Die durch für alle positiven reellen Zahlen definierte Funktion heißt Logarithmusfunktion zur Basis a. Sie ist die Umkehrfunktion von der Exponentialfunktion . Eigenschaften: - Alle Graphen gehen durch den Punkt (1;0). - Für verlaufen ihre Graphen fallend, für - Die Graphen der Funktionen spiegelbildlich. und hingegen steigend. liegen bezüglich der x-Achse