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Prof. Liedl
13.11.2012
Übungsblatt 4 zu PN1
Übungen zur Vorlesung PN1
Lösungsblatt 4
Besprochen am 13.11.2012
Aufgabe 1: Verschlafen
Um pünktlich in die Uni zu kommen fahren sie mit dem Auto.
a) Sie fahren aus der Tiefgarage und beschleunigen danach auf einer Strecke von 50
Metern mit 4 m/s2 auf 75 km/h. Mit welcher Geschwindigkeit sind Sie aus der Tiefgarage gefahren?
Lösung:
v1 = 75km/h = 20, 8m/s, x1 = 50m, a1 = 4m/s2
v1 = a1 t1 + v0
v1 − v0
⇒ t1 =
a1
2
(v1 − v0 )
1 2
v 2 − v02
1
v1 − v0
+ v0
⇒ x1 = a1 t1 + v0 t1 = a1
= 1
2
2
a1
a1
2a1
q
⇒ v0 = v12 − 2a1 x1 = 5, 7m/s ≈ 21km/h
Gerade noch rechtzeitig bemerken Sie den Blitzer, der in 60 m Entfernung von ihnen
aufgestellt ist. Nach einer Reaktionszeit von 0,3 s steigen Sie voll in die Bremsen und
genau nach 60 Metern haben Sie das Auto auf 50 km/h abgebremst. Mit wievielen m/s2
haben Sie gebremst?
Lösung:
x1 = 60m − (20, 8m/s2 · 0, 3s) = 53, 76m
Also:
v0 = 75km/h = 20, 8m/s, x1 = 53, 76m, v1 = 50km/h = 13, 9m/s
Aus a):
q
v0 =
⇒ a1 =
v12 − 2a1 x1
(13, 9)2 − (20, 8)2
m
v12 − v02
=
= −2, 23 2
2x1
2 · 53, 76
s
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Aufgabe 2: Affenjagd
Sie sitzen im Regenwald auf einem Baum in Höhe h von 40m und wollen einen Affen
betäuben, der sich in einer Entfernung s von 45m auf einen Baum ebenfalls in der Höhe
h befindet. Sie schießen einen Betäubungspfeil mit einer Geschwindigkeit v von 50 m/s
auf den Affen ab. Zum Zeitpunkt als Sie den Schuss abgeben, lässt sich der Affe vom
Baum fallen.
a) Begründen Sie, warum der Affe auf diese Weise dem Pfeil nicht entkommt. Skizzieren
Sie die Flugbahn des Pfeils in der x-y-Ebene. Stellen Sie die Flugbahn des Pfeils als
zeitabhängigen Vektor
x(t)
~ =
d(t)
y(t)
dar.
Lösung:
x(t) = vt
1
y(t) = − gt2 + h
2
~ =
⇒ d(t)
x(t)
y(t)
=
vt
− 21 gt2 + h
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b) Nach welcher Flugzeit t trifft der Pfeil den Affen und in welcher Höhe H über dem
Boden befindet sich der Affe zu diesem Zeitpunkt? Berechnen Sie den Winkel zur Horizontalen, unter dem der Pfeil den Affen trifft.
Lösung:
t=
45m
= 0, 9s
50m/s
⇒ H = y(0, 9s) = 36, 0m
Steigung → 1.Ableitung:
~˙ =
d(t)
ẋ(t)
ẏ(t)
=
v
−gt
vx = v = 50m/s
vy = −gt = −8, 8m/s
⇒ tan(α) =
−8, 8m/s
vy (t)
=
= −0, 18
vx (t)
50m/s
⇒ α = tan−1 (−0, 18) = −10, 2◦
c) In welcher Entfernung von Ihnen würde der Pfeil auf den Boden fallen, wenn Sie
daneben geschossen hätten?
Lösung:
1
y(t) = − gt2 + 40m = 0 ⇒ t = 2, 9s
2
⇒ x(2, 9s) = 50m/s · 2, 9s = 145m
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Aufgabe 3: Kraftegleichgewicht am Bilderhaken
Ein großes Bild wiege 5 kg und sei an
zwei Drähten aufgehängt. Damit das ganze auch nach moderner Kunst aussieht, ist
die Aufhängung nicht symmetrisch. Auf die
Drähte wirken dabei die Zugkräfte Z~1 , Z~2 .
Zeichnen Sie die entsprechenden Kraftvektoren für den Gleichgewichtsfall. Welchen
Zugkräften müssen die Drähte standhalten?
Tipp:
cos 60◦ = sin 30◦ = 12
und
√
sin 60◦ = cos 30◦ = 23
Lösung:
Z3 = m · g = 5kg · 9,8 m/s2 = 49N
Z~1 + Z~2 + Z~3 = 0 (Kräftegleichgewicht)
(1)Z1x + Z2x + Z3x = −Z1 cos 60◦ + Z2 cos 30◦ + 0
=0
(2)Z1y + Z2y + Z3y = Z1 sin 60◦ + Z2 sin 30◦ − Z3
= Z1 sin 60◦ + Z2 sin 30◦ − 49N
=0
Jetzt z.B. (1) nach Z2 auflösen...
Z2 = Z1 · 21 ·
...und in (2) einsetzen:
√2
3
= Z1 ·
√1
3
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√
1
3
+ Z2 − 49N = 0
2√
2
3
1 1
Z1
+ Z1 √ · = 49N
2
3 2
2
Z1 √
= 49N
3
Z1
√
3
⇒ Z1 = 49N ·
2
= 42, 4N
√
⇒ Z2 = 49N ·
3
2
·
√1
3
= 24.5N
Aufgabe 4: Winterausflug
Zwei Freunde fahren mit einer Kutsche an einen zugefrohrenen See zum Schlittschuhlaufen.
a) Die beladene Kutsche wiegt 500kg und wird von dem Pferd in 10 Sekunden auf 10
km/h beschleunigt. Wieviel Kraft muss das Pferd dazu kontinuierlich aufbringen?
Lösung:
m = 500kg; v = 10km/h = 2, 8m/s; t = 10s
2, 6 ms
kgm
v
= 140 2 = 140N
F = m · a = m · = 500kg ·
t
10s
s
Das dritte Newtonschen Axiom (Reaktionsprinzip) beinhaltet folgende Aussage:
Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen
”
Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen
gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).“
b) Die Kraft, die das Pferd auf die Kutsche ausübt ist nach oben genanntem Axiom
genau so groß wie die Kraft, die die Kutsche auf das Pferd ausübt. Man könnte nun
argumentieren, dass sich beide Kräfte aufheben und Pferd und Kutsche stehen bleiben.
Diese Argumentation ist natürlich falsch. Wieso?
Lösung:
Das Pferd kann die Kutsche bewegen, weil die beiden Kräfte nicht an dem selben Körper
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angreifen. Die Kraft, die das Pferd auf die Kutsche ausübt greift an der Kutsche an und
die Kraft, die die Kutsche auf das Pferd ausübt am Pferd. Um die Kutsche bewegen
zu können, muss das Pferd nun eine Kraft gegen den Boden ausüben, so dass es durch
die dazugehörige Reaktionskraft, die der Boden auf das Pferd ausübt beschleunigt wird.
Die Kraft, die dann auf das Pferd wirkt setzt sich zusammen aus der von der Kutsche
ausgeübten und der vom Boden ausgeübten Kraft.
Zum Beispiel beim sich an den eigenen Haaren hochziehen greifen die Kräfte am gleichen
Körper an, heben sich auf und deshalb geht sowas leider nicht.
c) Am See angekommen ziehen beide ihre Schlittschuhe an, stellen sich auf dem Eis
einander gegenüber auf und halten ein Seil in den Händen. Beide sind gleich schwer.
Was passiert und wo treffen sich die beiden, wenn einer am Seil zieht und der andere
das Seil nur festhält? Was passiert wenn beide ziehen?
Lösung:
Nach dem dritten Newtonschen Axiom ist die Kraft, die auf beide wirkt immer gleich.
Das heißt sie treffen sich in beiden Fällen in der Mitte und beide bewegen sich mit der
gleichen, von Fall zu Fall unterschiedlichen, Geschwindigkeit aufeinander zu.