Stochastik SS13, Serie 1 Lösungen 1 Aufgabe a) Anzahl 35 37 38

Stochastik SS13, Serie 1
Lösungen
1 Aufgabe
a)
Anzahl
abs. Häuf.
Rel. Häuf.
35
1
0.05
37
3
0.15
38
6
0.30
40
5
0.25
41
3
0.15
42
1
0.05
43
1
0.05
b) Histogramm
Anzahl Werte ≤ x
n
< 35 35≤ x <37 37≤ x <38
0
1/20
4/20
42≤ x <43 x≥ 43
19/20
1
empir. VF F (x) =
F (x)
x
F (x)
38≤ x <40
10/20
40≤ x <41
15/20
c) Mittelwert = 39.2
Standardabweichung = 1.98
Variationskoeffizient = 0.05
d) 10%-Quantil = 37
25%-Quantil = 38
Median = 40
75%-Quantil = 40.5 (abweichend zu MATLAB-Algorithmus)
95%-Quantil = 41.50 (abweichend zu MATLAB-Algorithmus)
2 Aufgabe
4
41≤ x <42
18/20
a)
N
Mittelwert
Median
Standardabweichung
Quantile
25
75
Quartilsabstand
99
397934
1.0815
1.0000
1.3303
0.0000
2.0000
2.0000
5.0000
b)
3 Aufgabe
a) Histogramm
b) Empirische VF
c) Boxplot
5
keine ausreißerverdächtigen Werte
4 Aufgabe
a) Kontingenztabelle
Naturwissenschaft
Geisteswissenschaft
Wirtschaftswissenschaft
für Streik
20
10
10
40
gegen Streik
5
5
20
30
neutral
15
5
10
30
40
20
40
100
Randverteilungen:
Einstellung zum Streik: 40% für Streik, 30% gegen Streik, 30% neutral
Verteilung auf Fachgruppen: 40% Natur-, 20% Geistes-, 40% Wirtschaftswissenschaften
b) Verteilung des Einstellung zum Streik in den Fachgruppen.
bedingte Verteilung der Streikeinstellung
20
5
15
, 50% dafür,
, 12.5% dagegen,
, 37.5%
Naturwissenschaften:
40
40
40
neutral
10
5
5
, 50% dafür,
, 25% dagegen,
, 25% neutral
Geisteswissenschaft:
20
20
20
10
20
10
, 25% dafür,
, 50% dagegen,
, 25% neutral
Wirtschaftswissenschaft
40
40
40
c) Besetzung bei Unabh.
Naturwissenschaft
Geisteswissenschaft
Wirtschaftswissenschaft
für Streik
16
8
16
40
gegen Streik
12
6
12
30
neutral
12
6
12
30
40
20
40
100
χ2 = 14.583
(Schwellwert von 9.49 wird überschritten, somit Streikeinstellung abh. von Fachgruppe)
s
r
χ2
14.583
Kontingenzkoeffizient: K =
=
= 0.357
2
χ +n
14.583 + 100
r
d
K mit d = min(p, q) = 3
korrigierter Kontingenzkoeffizient: Kcorr =
d
−
1
r
3
Kcorr =
· 0.357 = 0.437
3−1
5 Aufgabe
Chi-Quadrat = 32.72
6
Kontingenzkoeffizient = 0.564
korrigierter Kontingenzkoeffizient =
6 Aufgabe
r
3
· 0.564 = 0.691
2
a) r = 0.994
b) y = −0.582 + 0.037x
2
c) Total: SSY = (n
P− 1)sy =2 5.029
Restvarianz (yP
i − ŷi ) = 0.057,
P
erklärte Varianz (ȳ − ŷi )2 = SSY − (yi − ŷi )2 = 5.029 − 0.057 = 4.972
d) R2 = r2 = 0.989
7 Aufgabe
a)
b) Pearson: r = −0.872,
x
y
x2
y2
xy
6 30.2
36
912.04 181.2
18
9.8
324
96.04 176.4
30
4.7
900
22.09 141.0
42
1.8 1764
3.24
75.6
54
0.8 2916
0.64
43.2
Summe 150 47.3 5940 1034.05 617.4
r = −0.872
Spearman: rs = −1 wegen strenger Monotonie
x
y Rg(x) Rg(y) di
6 30.2
1
5 -4
18
9.8
2
4 -2
30
4.7
3
3 0
42
1.8
4
2 2
54
0.8
5
1 4
rs = −1
7
c)
y
lny
30.2
3.4078
9.8
2.2824
4.7
1.5476
1.8
0.5878
0.8
-0.2231
Pearson-Korrelation r = −0.998, Logarithmieren bewirkt Linearisierung.
d) y = 26.16 − 0.5567x, R2 = 0.7607
Exponentiale Regression
y = 50.37 · e−0.0862x , R2 = 0.9956
8 Aufgabe
a)
Pearson-Korrelation: r = −0.984
b) Regressionsfunktion: y = 92.8 − 9.6x
c) R2 = 0.968
96.8% der Varianz von y wird durch Regression erklärt, Restvarianz ist 3.2%
Gesamt SSYP= 238
Restvarianz (yi − ŷi )2 P
= 7.6
erklärte Varianz SSY − (yi − ŷi )2 = 230.4
R2 = 0.968
9 Aufgabe
zu Fuß:
8
Linearisierung: z = ln y = ln b0 + b1 T = a0 + a1 T
Schätzug der Regressionskoeffizienten von z = a0 + a1 T mit Formeln für lineare Regression
a1 = −0.048243
a0 = 5.971 2
folglich b1 = −0.048243, b0 = ea0 = e5.971 2 = 391.97576
gesuchte Funktion: y = 391.97576 · e−0.048243T
Reststreuung im Exponentialmodell
Viskosität y
3.0
5.3
8.2
14.7
20.1
Prognose ŷ
3.148 4 5.100 5 8.262 8 13.386 21.685
Residuenquadr. 0.0220 0.039 8 0.0039 1.726 6 2.512 2
Reststreuung 0.0220 + 0.039 8 + 0.0039 + 1.726 6 + 2.512 2 = 4.3045
Gesamtstreuung von y: (3.0 − 10.5589)2 + (5.3 − 10.5589)2 + (8.2 − 10.5589)2 + (14.7 −
10.5589)2 + (20.1 − 10.5589)2 = 198.54
4.3045
= 0.978 32
Bestimmtheitsmaß: R2 = 1 −
198.54
im Vergleich dazu bei Zwischenrechnung der lin Reg.: R2 = 0.992(diese Reststreuung
wird bei der Schätzung minimiert)
zum Vergleich: nichtlineare Regression mit MATLAB
Schätzung des exponentiellen Modells mit größerer Genauigkeit
y = 288.8 · e−0.04396T
Bestimmtheitsmaß R2 = 0.9861
10 Aufgabe
9
Urdaten
Transformation von x zu 1/x
Linearisierung: ln S = ln A − m ln N , entspricht y = a0 + a1 x mit y = ln S, x = ln N
ergibt a0 = 3.927, a1 = −0.072
somit A = ea0 = 50.75, m = −0.072 und S = 50.75 · N 0.072
zum Vergleich: mit MATLAB
ŷ = 50.52 ∗ x0.07033
Bestimmtheitsmaß R2 = 0.9755
10