Theoretische Informatik I

Übung zur Vorlesung
Theoretische Informatik I
Prof. Christoph Kreitz / Jens Otten
Universität Potsdam, Theoretische Informatik — Sommersemester 2004
Blatt 2 — Abgabetermin: 30. April 2004, 11.00 Uhr
Quiz 2
Markieren Sie die nachfolgenden Aussagen als ”wahr” oder ”falsch”.
[
[
[
[
[
] Ein Beweis ist ein Argument, das nur mich und meinen Freund/in überzeugen
muss.
] Der Diagonalisierungsbeweis zur Unentscheidbarkeit der Terminierung von beliebigen Programmen ist ein Widerspruchsbeweis.
] Es gibt Programme, deren Terminierung bewiesen werden kann.
] Die vollständige Induktion ist ein Spezialfall der strukturellen Induktion (über
den natürlichen Zahlen) und enthält immer einen Induktionsanfang.
] Ein endlicher Automat kann nur endliche Sprachen erkennen.
Aufgabe 2.1 (Deterministische endliche Automaten)
Die nachfolgende Abbildung zeigt ein Spiel, in dem Murmeln bei A oder B in die Spielbahn gefallen lassen werden. Je nach Stellung der Hebel H1 und H2 rollen die Murmeln
in der Spielbahn nach links oder rechts. Sobald eine Murmel auf einen dieser Hebel trifft,
wird der Hebel nach dem Passieren der Murmel umgestellt, so dass die nächste Murmel
in die andere Richtung rollt.
A
B
r @
@
H@
1 @
@
@
@
@
@
@
@
@ @
@ @
@
@
C
r @
@
H@
2 @ @
@ @
@ @
D
1. Modellieren Sie dieses Spiel als endlichen Automaten AM urmel , der als Eingabe eine
Zeichenreihe aus den Buchstaben a und b erhält. Diese Eingaben entsprechen dem
Fallenlassen von Murmeln bei A oder B. Wenn die (letzte) Murmel durch die Öffnung D aus dem Spiel rollt, dann soll der Automat einen akzeptierenden Zustand
einnehmen, andernfalls einen nicht akzeptierenden Zustand. Der Startzustand soll
dem Zustand in der Abbildung entsprechen. Geben Sie das Übergangsdiagramm für
diesen Automaten an.
2. Geben Sie den endlichen Automaten als Tupel AM urmel ={Q, Σ, δ, q0 , F } an, wobei
die Funktion δ als Übergangstabelle dargestellt werden soll.
3. Geben Sie die Sprache L(AM urmel ) des Automaten AM urmel an.
Übung zur Vorlesung Theoretische Informatik I
Blatt 1
Aufgabe 2.2 (Deterministische endliche Automaten)
Gegeben sei eine Sprache Labc die genau alle Wörter aus {a, b, c}∗ enthält, die auf abc enden
und deren Länge ein Vielfaches von 3 ist, d.h. Labc ={w∈{a, b, c}∗ | ∃v∈{a, b, c}∗ : w=vabc
und |w| mod 3 = 0}.
Geben Sie einen Automaten Aabc =(Q, Σ, δ, q0 , F ) an, der die Sprache Labc akzeptiert. Die
Funktion δ kann als Übergangsdiagramm oder Übergangstabelle angegeben werden.
Aufgabe 2.3 (Deterministische endliche Automaten)
[3 Punkte]
Geben Sie die Sprache Lrad an, die der endliche Automat Arad ={{q0 , q1 , q2 , q3 , q4 }, {r, a, d},
δrad , q0 , {q1 , q3 , q4 }} akzeptiert, wobei die Zustandsübergangsfunktion δrad durch folgendes
Diagramm gegeben ist.
a
/
R q
@
n d
- q2
0
@d, r
r,'$
a, d 6QQr
I
@
R
@
'$
d, r a a@
Q s ma
Q
q1
q4
q3 d, r &%
&%
Start
Aufgabe 2.4 (Induktive Beweise: Strukturelle Induktion)
[3 Punkte]
Ein binärer Baum sei rekursiv wie folgt definiert:
(1) Ein Knoten N ist ein binärer Baum; N ist gleichzeitig die Wurzel des Baumes.
(2) Falls T1 und T2 binäre Bäume sind, dann ist auch die folgende Konstruktion ein
binärer Baum, bei dem ein neuer Knoten (die neue Wurzel) N mit den Wurzeln der
Bäume T1 und T2 durch Kanten verbunden wird.
Beweisen Sie mit der strukturellen Induktion, d.h. über den rekursiven Aufbau von binären
Bäumen, die folgende Aussage: Ein binärer Baum T mit n inneren Knoten besitzt insgesamt genau 2n+1 Knoten. (Ein innerer Knoten ist ein Knoten mit mehr als einer Kante.)
Aufgabe 2.5 (Deterministische endliche Automaten)
[3 Punkte]
Geben Sie das Übergangsdiagramm eines (deterministischen) endlichen Automaten an,
der alle Wörter über dem Alphabet {0, 1} akzeptiert, die, wenn sie in umgekehrter Reihenfolge als Binärdarstellung einer ganzen Zahl interpretiert werden, durch 3 teilbar sind.
Tipp: Schauen Sie sich die Wertigkeit der einzelnen Ziffern in der Binärdarstellung an und
benutzen Sie die Restklassen modulo 3 für die Modellierung der Zustände.
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