3. Relationen - Hochschule Trier

3. Relationen
Rolf Linn
3.1 Kartesische Produkte
3.2 Zweistellige Relationen
3.3 Äqivalenzrelationen
3.4 Halbordnungen
3.5 Hüllen
3. Relationen
GM 3-1
Wozu Relationen?
Rolf Linn
Mathematik
Theoretische Informatik
Kryptographie
Beispiel:
Sei m∈IN. Für x∈Z und y∈Z wird die Relation ≡m definiert durch
x≡my ⇔ ∃z∈Z: x-y = z⋅m
Relationale Datenbanken
Beispiel: Relationen der Datenbank einer Autovermietung
Wagennummer
Typ
Kundennummer
Wagennummer
Mietbeginn
Mietende
12 VW Golf
13
12
1.1.2007
10.1.2007
90 Audi A4
146
90
4.5.2007
15.5.2007
87 VW Golf
13
87
5.5.2007
13.5.2007
115 Citroën C2
21
115
11.5.2007
26.5.2007
21
90
27.6.2007
5.7.2007
3. Relationen
GM 3-2
3.1 Kartesische Produkte
Rolf Linn
Geordnetes Paar
Tripel
n-tupel
Kartesisches Produkt
René Descartes (Renatus Cartesius, 1596-1650): französischer Philosoph
und Naturwissenschaftler, Wegbereiter der analytischen Geometrie
(Kartesische Koordinaten).
3.1 Kartesische Produkte
GM 3-3
Geordnetes Paar, Tripel, n-tupel
Rolf Linn
Das „Gebilde“ ( a1, a2, a3, …, an ) heißt n-tupel.
Ist n=2 spricht man von einem geordneten Paar, ist n=3 von einem
Tripel.
Beispiel:
Relation als Menge
geordneter Paare
Wagennummer
Typ
Relation als Menge von 4-tupeln
Kundennummer
Wagennummer
Mietbeginn
Mietende
12 VW Golf
13
12
1.1.2007
10.1.2007
90 Audi A4
146
90
4.5.2007
15.5.2007
87 VW Golf
13
87
5.5.2007
13.5.2007
115 Citroën C2
21
115
11.5.2007
26.5.2007
21
90
27.6.2007
5.7.2007
3.1 Kartesische Produkte
GM 3-4
Definition 3.1.1: Kartesisches Produkt
Rolf Linn
Seien A1, A2, …, An Mengen.
A1×A2×…×An = { (a1, a2, … an) | a1∈A1 ∧ a2∈A2 ∧ … ∧ an∈An } heißt
kartesisches oder auch direktes Produkt von
A1, A2, …, An .
Ist A1 = A2 = … = An = A, setzt man An = A1×A2×…×An.
Beispiel:
Sei A = { a0, a1 } und B = { b0, b1, b2 }. Dann ist
A×B = { (a0,b0), (a0,b1), (a0,b2), (a1,b0), (a1,b1), (a1,b2) }
A
A×B = { a0, a1 } × { b0, b1, b2 }.
a1 ●
a0 ●
●
●
●
(a1,b0) (a1,b1) (a1,b2)
●
●
●
(a0,b0) (a0,b1) (a0,b2)
3.1 Kartesische Produkte
●
●
●
b0
b1
b2
B
GM 3-5
Beispiel: Punkt in der Ebene
Rolf Linn
Nach Wahl eines Nullpunktes und eines Maßstabes ist jeder Punkt
in der Ebene eindeutig durch ein geordnetes Paar von reellen
Zahlen festgelegt:
y
● P = ( x p , yp )
yp
xp
3.1 Kartesische Produkte
x
GM 3-6
Beispiel: Punkt im Raum
Rolf Linn
Nach Wahl eines Nullpunktes und eines Maßstabes ist jeder Punkt im
Raum eindeutig durch ein Tripel von reellen Zahlen festgelegt:
y
yp
● P = ( x p , yp , zp )
zp
z
3.1 Kartesische Produkte
xp
x
Übungsaufgaben 3.1.1 und 3.1.2
GM 3-7
3.2 Zweistellige Relationen
Rolf Linn
Reflexivität
Symmetrie
Antisymmetrie
Asymmetrie
Transitivität
3.2 Zweistellige Relationen
GM 3-8
Relation: Teilmenge eines Kartesischen Produktes
Wagennummer
Typ
12 VW Golf
Rolf Linn
Typ
VW Golf ●
●
●
●
●
Audi A4 ●
●
●
●
●
Citroën C2 ●
●
●
●
●
●
12
●
90
90 Audi A4
87 VW Golf
115 Citroën C2
●
●
87 115
Wagennummer
{ (12, VW Golf), (90, Audi A4), (87, VW Golf), (115, Citroën C2) }
3.2 Zweistellige Relationen
GM 3-9
Definition 3.2.1: Relation
Rolf Linn
Seien A und B Mengen. Eine Teilmenge R ⊆ A×B heißt
(zweistellige oder binäre) Relation zwischen A und B. Ist
A=B, so heißt R Relation auf A.
Beispiel:
Typ
VW Golf ●
●
●
●
●
Audi A4 ●
●
●
●
●
Citroën C2 ●
●
●
●
●
●
12
●
90
●
●
87 115
Wagennummer
{ (12, VW Golf), (90, Audi A4), (87, VW Golf), (115, Citroën C2) }
3.2 Zweistellige Relationen
GM 3-10
Weiteres Beispiel für eine Relation
Rolf Linn
Lackfarbe
Mondsilber
Meteorgrau
Dschungelgrün
Tiefseeblau
Vulkanrot
Schneeweiß
Ziegelrot
Oasengrün
Petrol
Kaskadenblau
Blauviolett
Floraviolett
Glutrot
Polsterfarbe
Schiefergrau
" " " " " " " " " "
"
"
" "
"
" " "
" "
" "
{ (Glutrot, Schiefergrau), (Floraviolett, Schiefergrau), (Kaskadenblau, Schiefergrau),
(Oasengrün, Schiefergrau), (Schneeweiß, Schiefergrau), (Schneeweiß, Blauviolett),
(Schneeweiß, Petrol), …, (Mondsilber, Ziegelrot) }
3.2 Zweistellige Relationen
GM 3-11
Visualisierung einer Relation zwischen A und B
Rolf Linn
A = { a 1, a 2, a 3 , a 4 }
B = { b 1, b 2, b 3 }
R = { (a2, b1), (a2, b2), (a3, b3), (a4, b2) }
Matrix
Tabelle
b1 b2 b3
a1
a2
●
●
a3
a4
●
●
3.2 Zweistellige Relationen
Graph
A
B
a1
a2
b1
a2
a2
b2
a3
b3
a4
b2
a3
a4
b1
b2
b3
GM 3-12
Visualisierung einer Relation auf A
Rolf Linn
A = { a 1, a 2, a 3 , a 4 }
R = { (a1, a2), (a1, a4), (a3, a1), (a3, a3), (a4, a4) }
Matrix
Tabelle
a1 a2 a3 a4
a1
●
●
a2
a3
●
●
a4
3.2 Zweistellige Relationen
●
A
A
a1
a2
a1
a4
a3
a1
a3
a3
a4
a4
Graph
a2
a1
a4
a3
GM 3-13
Die Relation x ≥ y auf den reellen Zahlen
Rolf Linn
y
≥
x
Entsprechend sind auch <, ≤, >, = und ≠ Relationen auf den reellen Zahlen (und auch
auf den natürlichen, ganzen sowie den rationalen Zahlen).
Statt (x,y)∈R schreiben wir wie üblich xRy
3.2 Zweistellige Relationen
Übungsaufgabe 3.2.1
GM 3-14
Definition 3.2.2: Reflexivität
Rolf Linn
Eine zweistellige Relation R auf der Menge A heißt reflexiv, falls gilt
∀x∈A: xRx.
Beispiel:
Sei A = { a1, a2, a3 , a4 }
Eine reflexive Relation auf A
R = { (a1,a1), (a1,a2), (a1,a4), (a2,a2), (a3,a1), (a3,a3), (a4,a4) }
a1 a2 a3 a4
a1
●
a2
a3
a4
3.2 Zweistellige Relationen
●
●
●
a2
●
a1
●
●
a4
a3
GM 3-15
Eine nicht reflexive Relation
Rolf Linn
Eine zweistellige Relation R auf der Menge A heißt reflexiv, falls gilt
∀x∈A: xRx.
Sei A = { a1, a2, a3 , a4 }
R = { (a1,a2), (a1,a4), (a3,a1), (a3,a3), (a4,a4) }
a2
a1 a2 a3 a4
a1
●
●
a2
a3
●
●
a4
●
a1
a4
a3
∃x∈A: ¬xRx
3.2 Zweistellige Relationen
GM 3-16
Definition 3.2.3: Symmetrie
Rolf Linn
Eine zweistellige Relation R auf der Menge A heißt symmetrisch,
falls gilt ∀x∈A, ∀y∈A: xRy ⇒ yRx.
Beispiel:
Sei A = { a1, a2, a3 , a4 }
Eine symmetrische Relation auf A
R = { (a1,a2), (a1,a3), (a1,a4), (a2,a1), (a3,a1), (a3,a3), (a4,a1), (a4,a4) }
a2
a1 a2 a3 a4
a1
3.2 Zweistellige Relationen
●
a2
●
a3
●
a4
●
●
●
●
●
a1
a4
a3
GM 3-17
Eine nicht symmetrische Relation
Rolf Linn
Eine zweistellige Relation R auf der Menge A heißt symmetrisch,
falls gilt ∀x∈A, ∀y∈A: xRy ⇒ yRx.
Sei A = { a1, a2, a3 , a4 }
R = { (a1,a2), (a1,a4), (a3,a1), (a3,a3), (a4,a4) }
a2
a1 a2 a3 a4
a1
●
●
a2
a3
●
a4
●
●
a1
a4
a3
∃x∈A, ∃y∈A: ¬ (xRy ⇒ yRx)
3.2 Zweistellige Relationen
GM 3-18
Definition 3.2.4: Antisymmetrie
Rolf Linn
Eine zweistellige Relation R auf der Menge A heißt
antisymmetrisch, falls gilt ∀x∈A, ∀y∈A: (xRy ∧ yRx) ⇒ x=y.
Beispiel:
Sei A = { a1, a2, a3 , a4 }
Eine antisymmetrische Relation auf A
R = { (a1,a2), (a1,a4), (a3,a1), (a3,a3), (a4,a4) }
a2
a1 a2 a3 a4
a1
●
●
a2
a3
a4
3.2 Zweistellige Relationen
●
●
●
a1
a4
a3
GM 3-19
Eine nicht antisymmetrische Relation
Rolf Linn
Eine zweistellige Relation R auf der Menge A heißt
antisymmetrisch, falls gilt ∀x∈A, ∀y∈A: (xRy ∧ yRx) ⇒ x=y.
Sei A = { a1, a2, a3 , a4 }
R = { (a1,a2), (a1,a4), (a2,a1), (a3,a1), (a3,a3), (a4,a4) }
a2
a1 a2 a3 a4
a1
●
a2
●
a3
●
a4
●
●
●
a1
a4
a3
∃x∈A, ∃y∈A: ¬ ((xRy ∧ yRx) ⇒ x=y)
3.2 Zweistellige Relationen
GM 3-20
Eine symmetrische und antisymmetrische Relation
Rolf Linn
Eine zweistellige Relation R auf der Menge A heißt symmetrisch,
falls gilt ∀x∈A, ∀y∈A: xRy ⇒ yRx.
Eine zweistellige Relation R auf der Menge A heißt
antisymmetrisch, falls gilt ∀x∈A, ∀y∈A: (xRy ∧ yRx) ⇒ x=y.
Sei A = { a1, a2, a3 , a4 }
R = { (a1,a1), (a2,a2), (a3,a3), (a4,a4) }
a1 a2 a3 a4
a1
a2
a3
a4
3.2 Zweistellige Relationen
●
a2
●
a1
●
●
a4
a3
GM 3-21
Definition 3.2.5: Asymmetrie
Rolf Linn
Eine zweistellige Relation R auf der Menge A heißt asymmetrisch,
falls gilt ∀x∈A, ∀y∈A: xRy ⇒ ¬yRx.
Beispiel:
Sei A = { a1, a2, a3 , a4 }
Eine asymmetrische Relation auf A
R = { (a1,a2), (a1,a4), (a3,a1) }
a2
a1 a2 a3 a4
a1
●
a2
a3
a4
3.2 Zweistellige Relationen
●
●
a1
a4
a3
GM 3-22
Eine nicht asymmetrische Relation
Rolf Linn
Eine zweistellige Relation R auf der Menge A heißt asymmetrisch,
falls gilt ∀x∈A, ∀y∈A: xRy ⇒ ¬yRx.
Sei A = { a1, a2, a3 , a4 }
R = { (a1,a2), (a1,a4), (a2,a1), (a3,a1), (a3,a3), (a4,a4) }
a2
a1 a2 a3 a4
a1
●
a2
●
a3
●
a4
●
●
●
a1
a4
a3
∃x∈A, ∃y∈A: ¬(xRy ⇒ ¬yRx)
3.2 Zweistellige Relationen
GM 3-23
Definition 3.2.6: Transitivität
Rolf Linn
Eine zweistellige Relation R auf der Menge A heißt transitiv, falls gilt
∀x∈A, ∀y∈A, ∀z∈A: (xRy ∧ yRz) ⇒ xRz.
Beispiel:
Sei A = { a1, a2, a3 , a4 }
Eine transitive Relation auf A
R = { (a1,a2), (a1,a4), (a3,a1), (a3,a2), (a3,a3), (a3,a4), (a4,a4) }
a2
a1 a2 a3 a4
a1
●
●
a2
a3
a4
3.2 Zweistellige Relationen
●
●
●
●
●
a1
a4
a3
GM 3-24
Eine nicht transitive Relation
Rolf Linn
Eine zweistellige Relation R auf der Menge A heißt transitiv, falls gilt
∀x∈A, ∀y∈A, ∀z∈A: (xRy ∧ yRz) ⇒ xRz.
Sei A = { a1, a2, a3 , a4 }
R = { (a1,a2), (a1,a4), (a3,a1), (a3,a3), (a4,a4) }
a2
a1 a2 a3 a4
a1
●
●
a2
a3
a4
●
●
●
a1
a4
a3
∃x∈A, ∃y∈A, ∃z∈A: ¬ ((xRy ∧ yRz) ⇒ xRz)
3.2 Zweistellige Relationen
Übungsaufgaben 3.2.2 bis 3.2.6
GM 3-25
3.3 Äquivalenzrelationen
Rolf Linn
Äquivalenzklassen
Partition
Zerlegung
Klasseneinteilung
3.4 Äquivalenzrelationen
GM 3-26
Klassifikation und Abstraktion
Rolf Linn
Zerlegung einer Menge in Teile, deren Elemente in bestimmten
Eigenschaften übereinstimmen. Diese Elemente heißen dann äquivalent
(gleichwertig).
Beispiele:
Personen – gleicher Beruf
Personen – gleiches Alter
Brüche – gleicher Wert, z.B.
4 12
=
9 27
Berechnungsverfahren – bei gleicher Eingabe gleiches Ergebnis
Innere Zustände eines Automaten – bei gleicher nachfolgender
Eingabe gleiche Ausgabe
1. 
2. 
3. 
3.4 Äquivalenzrelationen
Jedes Element ist zu sich selbst gleichwertig.
Ist A zu B gleichwertig, dann auch B zu A.
Ist A zu B gleichwertig und B zu C, dann auch A zu C.
GM 3-27
Definition 3.3.1: Äquivalenzrelation
Rolf Linn
Eine zweistellige Relation heißt Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv,
symmetrisch und transitiv ist.
1. Beispiel:
Sei A = { a1, a2, a3 , a4 }
R = { (a1,a1), (a1,a2), (a1,a4), (a2,a1), (a2,a2), (a2,a4), (a3,a3), (a4,a1), (a4,a2), (a4,a4) }
a1 a2 a3 a4
a1
●
●
●
a2
●
●
●
a3
a4
2. Beispiel:
●
●
●
a2
a1
●
a4
a3
Sei m∈IN.
Für x∈Z und y∈Z wird die Relation ≡m auf Z definiert durch
3.4 Äquivalenzrelationen
x≡my ⇔ ∃z∈Z: x-y = z⋅m
GM 3-28
Äquivalenzrelation und Klasseneinteilung
Rolf Linn
Sei A = { x∈IN | x<10 }.
Für x∈A und y∈A ist die Relation ≡3 auf A definiert durch
x≡3y ⇔ ∃z∈Z: x-y = z⋅3
0
1
3
6
2
4
7
5
8
9
3.4 Äquivalenzrelationen
GM 3-29
Definition 3.3.2: Äquivalenzklasse
Rolf Linn
Seien ~ eine Äquvalenzrelation auf der Menge A und a∈A.
[a]~ = { x∈A | x~a } heißt Äquvalenzklasse von a bezüglich ~.
Wenn die Äquivalenzrelation ~ aus dem Kontext eindeutig
hervorgeht, schreiben wir wie üblich statt [a]~ einfach nur [a].
Beispiel:
A = { x∈IN | x<10 }
≡3
0
1
3
6
[6] = { x∈A | x≡36 }
3.4 Äquivalenzrelationen
2
4
7
5
8
9
GM 3-30
Satz 3.3.1: Eigenschaften von Äquivalenzklassen
Rolf Linn
Sei ~ eine Äquivalenzrelation auf der Menge A.
Für a∈A und b∈A gilt:
a)  a∈[a]
b)  a~b ⇔ [a] = [b]
c)  ¬(a~b) ⇔ [a]∩[b] = Ø
Übungsaufgaben 3.3.1 bis 3.3.3
Beispiel:
A = { x∈IN | x<10 }
≡3
0
1
3
6
2
4
7
5
8
9
[0]=[3]=[6]=[9]={0,3,6,9}
3.4 Äquivalenzrelationen
[1]=[4]=[7]={1,4,7}
[2]=[5]=[8]={2,5,8}
GM 3-31
Definition 3.3.3: Partition
Rolf Linn
Es sei M eine Menge und P eine Menge von nichtleeren
Teilmengen von M. Die Menge P heißt Partition, Zerlegung oder
Klasseneinteilung von M, wenn gilt:
a)
(A∈P ∧ B∈P ∧ A≠B) ⇒ A∩B = Ø
b)
∀m∈M ∃A∈P: m∈A
Beispiel:
A3
A1
A2
A5
A7
A4
A6
3.4 Äquivalenzrelationen
GM 3-32
Definition 3.3.4: Quotientenmenge
Rolf Linn
Sei ~ eine Äquivalenzrelation auf der Menge A.
A/~ = { [a]~ | a∈A } heißt Quotient oder Quotientenmenge von A
bezüglich ~.
Die Elemente der Quotientenmenge sind die Äquivalenzklassen.
Beispiel:
A = { x∈IN | x<10 }
≡3
0
1
3
6
2
4
7
5
8
9
[0]=[3]=[6]=[9]={0,3,6,9}
3.4 Äquivalenzrelationen
A/~ = { {0,3,6,9}, {1,4,7}, {2,5,8}}
[1]=[4]=[7]={1,4,7}
[2]=[5]=[8]={2,5,8}
GM 3-33
Satz 3.3.2: Äquivalenzrelation und Partition
Rolf Linn
Sei ~ eine Äquivalenzrelation auf der Menge A.
Der Quotient A/~ ist dann eine Partition von A.
Beispiel:
A = { x∈IN | x<10 }
≡3
0
1
3
2
4
6
7
5
8
9
[0]=[3]=[6]=[9]={0,3,6,9}
[1]=[4]=[7]={1,4,7}
[2]=[5]=[8]={2,5,8}
A/~ = { {0,3,6,9}, {1,4,7}, {2,5,8}}
3.4 Äquivalenzrelationen
GM 3-34
Äquivalenzrelation und Partition
Rolf Linn
Zu jeder Partition P auf einer Menge A gibt es eine eindeutig
bestimmte Relation ~ auf A, sodass P = A/~. Wir bezeichnen diese
Relation mit ~P. Es gilt
~ A/~ = ~
Übungsaufgaben 3.3.4 und 3.3.5
A/ ~P = P
(ohne Beweis)
A3
A1
A2
A5
A7
A4
A6
3.4 Äquivalenzrelationen
GM 3-35
3.4 Halbordnungen
Rolf Linn
Strikte Halbordnung
(Nicht strikte) Halbordnung
Hasse-Diagramm
3.4 Halbordnungen
GM 3-36
Strikte Halbordnungen
Rolf Linn
Anordnung der Elemente einer Menge nach bestimmten Kriterien, wie
„kleiner - größer“, „früher - später“ oder „langsamer - schneller“.
Beispiele:
Personen: kleiner - größer
Studierende: nach absolvierten Modulen
Auto: langsamer – schneller
Einträge im Telefonbuch: lexikographisch
1. 
2. 
3.4 Halbordnungen
Ist A vor B, dann ist nicht B vor A.
Ist A vor B und B vor C, dann ist auch A vor C.
GM 3-37
Definition 3.4.1: Strikte Halbordnung
Rolf Linn
Eine Relation R heißt strikte Halbordnung, wenn sie
asymmetrisch und transitiv ist.
Beispiel:
Anna
(Digitaltechnik, Mathematik, Theoretische Informatik)
Hans
Petra
(Mathematik, Theoretische Informatik)
(Digitaltechnik, Theoretische Informatik)
Karl
Heiner
(Mathematik)
(Theoretische Informatik)
3.4 Halbordnungen
GM 3-38
Halbordnung
Rolf Linn
Nimmt man zu einer strikten Halbordnung auf A für alle x∈A die
Elemente (x,x) hinzu, erhält man eine (nicht strikte) Halbordnung.
Beispiel:
Anna
Petra
Hans
Karl
3.4 Halbordnungen
Heiner
GM 3-39
Definition 3.4.2: Halbordnung
Rolf Linn
Eine Relation R heißt (nicht strikte) Halbordnung (auch (nicht
strikte) partielle Ordnung), wenn sie reflexiv, antisymmetrisch und
transitiv ist.
Beispiel:
Anna
Petra
Hans
Karl
3.4 Halbordnungen
Heiner
GM 3-40
Satz 3.4.1: Strikte Halbordnung und Halbordnung
Rolf Linn
Sei S eine strikte Halbordnung auf der Menge A.
Dann ist H = S ∪ { (x,x) | x∈A } eine Halbordnung auf A.
Sei H eine Halbordnung auf der Menge A.
Dann ist S = H \ { (x,x) | x∈A } eine strikte Halbordnung auf A.
Übungsaufgabe 3.4.1 bis 3.4.3
3.4 Halbordnungen
GM 3-41
Definition 3.4.3: unmittelbarer Nachfolger
Rolf Linn
Sei R eine Halbordnung oder eine strikte Halbordnung auf A. y
heißt unmittelbarer Nachfolger von x, falls xRy, x≠y und ¬∃z∈A:
(x≠z ∧ xRz ∧ z≠y ∧ zRy).
Beispiel:
Anna
Petra
Hans
Karl
3.4 Halbordnungen
Hans ist unmittelbarer Nachfolger von Karl,
Anna ist nicht unmittelbarer Nachfolger von Karl.
Heiner
GM 3-42
Hasse-Diagramm
Rolf Linn
Halbordnungen oder strikte Halbordnungen können durch HasseDiagramme dargestellt werden, hierbei wird jedes Element nur mit
seinen unmittelbaren Nachfolgern durch einen Strich verbunden.
Beispiel:
Anna
Petra
Hans
Karl
Heiner
Übungsaufgabe 3.4.4
3.4 Halbordnungen
GM 3-43
3.5 Hüllen
Rolf Linn
Reflexive Hülle
Symmetrische Hülle
Transitive Hülle
3.5 Hüllen
GM 3-44
Definition 3.5.1: Hülle
Rolf Linn
Sei R eine Relation auf A und E eine Eigenschaft von Relationen.
Die Relation R* heißt Hülle (oder Abschluss) von R bezüglich E,
wenn gilt:
a)
R* besitzt die Eigenschaft E
b)
R ⊆ R*
c)
Für alle Relationen S mit den Eigenschaften E und
R⊆S gilt R*⊆S
Beispiele:
Sei R eine Relation auf A
R ∪ { (x,x) | x∈A } ist die reflexive Hülle von R (die Hülle von R
bezüglich der Reflexivität).
R ∪ { (x,y) | (y,x)∈R } ist die symmetrische Hülle von R.
Transitive Hülle von R ?
3.5 Hüllen
GM 3-45
Transitive Hülle
Rolf Linn
A = { a, b, c, d, e, f, g, h }
R = { (b,f), (c,a), (d,g), (e,h), (f,c), (g,f), (h,h) }
a
b
c
f
d
e
g
h
R* = { (b,a), (b,c), (b,f), (c,a), (d,a), (d,c), (d,f), (d,g), (e,h), (f,a), (f,c), (g,a), (g,c), (g,f), (h,h) }
Übungsaufgabe 3.5.1
3.5 Hüllen
GM 3-46
Definition 3.5.2: Durchschnitt vieler Mengen
Rolf Linn
Sei A eine nichtleere Menge von Mengen. Wir definieren
den Durchschnitt 
A = { x | ∀A∈A: x∈A }
A durch 
∈
∈
A A
Beispiel:
A A
Sei A = { {1,5,8,9}, IN, {-1,5,8} }
 A = { 5, 8 }
A∈ A
3.5 Hüllen
GM 3-47
Satz 3.5.1: Durchschnitt transitiver Relationen
Rolf Linn
Sei R eine Menge transitiver Relationen auf der Menge A.
R ist dann auch eine transitive Relation auf A.
S= 
∈
R R
3.5 Hüllen
GM 3-48
Satz 3.5.2: Transitive Hülle
Rolf Linn
Sei R eine Relation auf der Menge A. S sei die Menge aller
transitiven Relationen S auf A, für die R⊆S gilt.
S ist dann die transitive Hülle von R.
T= 
∈
S S
3.5 Hüllen
GM 3-49