Tabellen für statistische Tests: A. Test für den Parameter µ einer
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Prof. Dr. Timm Sigg Statistik Tabellen für statistische Tests: A. Test für den Parameter µ einer Normalverteilung bei bekannter Varianz (Gauß-Test): Stichprobe x1 , . . . , xn Messwerte sind Realisierungen von n unabhängigen N (µ, σ 2 ) verteilten Zufallsvariablen mit unbekanntem Erwartungswert µ, aber bekannter Varianz σ 2 . Signifikanzniveau α H0 H1 Zufallsstreubereich (ZSB) für x, H0 verwerfen falls H0 zutrifft falls µ = µ0 µ 6= µ0 [µ0 − z1−α/2 · µ ≥ µ0 µ < µ0 [µ0 − z1−α · µ ≤ µ0 µ > µ0 √σ ; n √σ ; n µ0 + z1−α/2 · √σ ] n ∞) (−∞; µ0 + z1−α · x 6∈ ZSB x 6∈ ZSB √σ ] n x 6∈ ZSB B. Test für den Parameter µ einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz (t-Test): Stichprobe x1 , . . . , xn Messwerte sind Realisierungen von n unabhängigen N (µ, σ 2 ) verteilten Zufallsvariablen mit unbekanntem Erwartungswert µ und unbekannter Varianz σ 2 . Die unbekannte Standardabweichung σ wird durch die empirische Standardabweichung s aus der Stichprobe geschätzt. Signifikanzniveau α H0 µ = µ0 H1 µ 6= µ0 Zufallsstreubereich (ZSB) für x, H0 verwerfen falls H0 zutrifft falls [µ0 − tn−1;1−α/2 · √s ; n √s ; n µ ≥ µ0 µ < µ0 [µ0 − tn−1;1−α · µ ≤ µ0 µ > µ0 (−∞; µ0 + tn−1;1−α · µ0 + tn−1;1−α/2 · ∞) √s ] n √s ] n x 6∈ ZSB x 6∈ ZSB x 6∈ ZSB Prof. Dr. Timm Sigg Statistik C. Vergleich der Parameter (Zweistichproben-t-Test): µ1 und µ2 zweier Normalverteilungen Zwei Stichproben x1 , . . . , xm und y1 , . . . , yn Die m Messwerte x1 , . . . , xm sind Realisierungen von N (µ1 , σ 2 ) verteilten Zufallsvariablen; die n Messwerte y1 , . . . , yn sind Realisierungen von N (µ2 , σ 2 ) verteilten Zufallsvariablen. Alle Zufallsvariablen sind voneinander unabhängig mit der gleichen unbekannten Varianz σ 2 . Aus den beiden empirischen Varianzen s2x der ersten Stichprobe und s2y der zweiten Stichprobe muss zunächst die folgende Hilfsgröße berechnet werden: r q m+n sd = (m − 1)s2x + (n − 1)s2y · m · n · (m + n − 2) Signifikanzniveau α H0 H1 Zufallsstreubereich (ZSB) für x − y, H0 verwerfen falls H0 zutrifft falls µ1 = µ2 µ1 6= µ2 [−tm+n−2;1−α/2 · sd ; tm+n−2;1−α/2 · sd ] x − y 6∈ ZSB µ1 ≥ µ2 µ1 < µ 2 [−tm+n−2;1−α · sd ; ∞) x − y 6∈ ZSB µ1 ≤ µ2 µ1 > µ 2 (−∞; tm+n−2;1−α · sd ] x − y 6∈ ZSB D. Test für den Parameter p einer Binomialverteilung Hier wird ein Test für ein Ereignis, das mit unbekannter Wahrscheinlichkeit p auftritt, durchgeführt. Hierbei ist q0 = 1 − p0 . Signifikanzniveau α H0 H1 p = p0 p 6= p0 p ≥ p0 p < p0 p ≤ p0 p > p0 Zufallsstreubereich (ZSB) für k/n, falls H0 zutrifft p p p0 q0 [p0 − z1−α/2 · p0nq0 − 0,5 ; p + z · + 0 1−α/2 n p p0 q0 0,5 n [p0 − z1−α · − n ; 1] n p [0; p0 + z1−α · p0nq0 + 0,5 ] n H0 verwerfen falls 0,5 ] n k n k n k n 6∈ ZSB 6∈ ZSB 6∈ ZSB