Geometrische Algebra

Geometrische Algebra
Florian Jung
Institut für Physik, WA THEP
Universität Mainz
Klausurtagung des Graduiertenkollegs
Bullay, 13. September 2006
Florian Jung: Geometrische Algebra
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Gliederung
Grundlagen
Was ist Geometrische Algebra?
Mathematischer Formalismus
Spiegelungen und Drehungen
Spiegelung an einer Ebene
Von Spiegelungen zu Drehungen
Anwendungen
Klassische Physik
Quantenmechanik
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Gliederung
Grundlagen
Was ist Geometrische Algebra?
Mathematischer Formalismus
Spiegelungen und Drehungen
Spiegelung an einer Ebene
Von Spiegelungen zu Drehungen
Anwendungen
Klassische Physik
Quantenmechanik
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Was ist Geometrische Algebra (GA)?
H. Grassmann: Äußere Algebra
Verallgemeinerung von Vektoren
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Was ist Geometrische Algebra (GA)?
H. Grassmann: Äußere Algebra
Verallgemeinerung von Vektoren
Florian Jung: Geometrische Algebra
W. R. Hamilton: Quaternionen
Invertierbarkeit (→ Division)
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Was ist Geometrische Algebra (GA)?
H. Grassmann: Äußere Algebra
Verallgemeinerung von Vektoren
W. R. Hamilton: Quaternionen
Invertierbarkeit (→ Division)
W. K. Clifford: Geometrische Algebra
Universelle Sprache der Geometrie
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Was ist Geometrische Algebra (GA)?
H. Grassmann: Äußere Algebra
Verallgemeinerung von Vektoren
W. R. Hamilton: Quaternionen
Invertierbarkeit (→ Division)
W. K. Clifford: Geometrische Algebra
Universelle Sprache der Geometrie
M. Riesz, P. Lounesto, D. Hestenes:
Weiterentwicklung und Anwendungen
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Motivation
• Universelle Sprache der Geometrie!
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Motivation
• Universelle Sprache der Geometrie!
• GA taucht (versteckt) überall in der Physik auf
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Motivation
• Universelle Sprache der Geometrie!
• GA taucht (versteckt) überall in der Physik auf
• Erlaubt geometrische Interpretation
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Motivation
• Universelle Sprache der Geometrie!
• GA taucht (versteckt) überall in der Physik auf
• Erlaubt geometrische Interpretation
• Sehr nah an der klassischen Vektoranalysis,
aber in beliebigen Dimensionen gültig.
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Definition der Geometrischen Algebra
• Grundlage ist ein reeller Vektorraum V mit Skalarprodukt · und
2
Normquadrat k · k .
• Die Clifford-Algebra G(V, k · k2 ) ist eine reelle, assoziative Algebra
(wie die Tensor-Algebra).
• Für Vektoren gilt aber zusätzlich die „Kontraktionsregel“:
a2 = aa = kak2 ,
oder äquivalent (wie von Pauli-/Dirac-Matrizen bekannt):
ab + ba = 2 a · b .
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Definition der Geometrischen Algebra
• Grundlage ist ein reeller Vektorraum V mit Skalarprodukt · und
2
Normquadrat k · k .
• Die Clifford-Algebra G(V, k · k2 ) ist eine reelle, assoziative Algebra
(wie die Tensor-Algebra).
• Für Vektoren gilt aber zusätzlich die „Kontraktionsregel“:
a2 = aa = kak2 ,
oder äquivalent (wie von Pauli-/Dirac-Matrizen bekannt):
ab + ba = 2 a · b .
• Notation:
Skalare: α, β, . . . Vektoren: a, b, . . . Allg. Elemente: A, B, . . .
• Was noch fehlt, ist die geometrische Interpretation!
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Geometrische Bedeutung der Pauli-Matrizen
• Die Pauli-Matrizen σi erfüllen:
σi σj + σj σi = 2δij .
• Kontraktionsregel für eine ONB (σ i ) des
3:
σ i σ j + σ j σ i = 2 σ i · σ j = 2δij .
• Algebraisch gibt es keinen Unterschied zwischen σi und σ i .
σ3
⇒ Die Pauli-Matrizen sind Darstellungen
der Basisvektoren des
3!
σ1
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σ2
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Universalität des Geometrischen Produkts
Im Clifford-Produkt ist die vollständige geometrische Beziehung zweier
Vektoren relativ zueinander enthalten!
• Betrachte zwei Vektoren a, b und deren Produkt P = ab.
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Universalität des Geometrischen Produkts
Im Clifford-Produkt ist die vollständige geometrische Beziehung zweier
Vektoren relativ zueinander enthalten!
• Betrachte zwei Vektoren a, b und deren Produkt P = ab.
• Wenn sich b eindeutig aus P und a rekonstuieren ließe, dann folgt die
Behauptung.
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Universalität des Geometrischen Produkts
Im Clifford-Produkt ist die vollständige geometrische Beziehung zweier
Vektoren relativ zueinander enthalten!
• Betrachte zwei Vektoren a, b und deren Produkt P = ab.
• Wenn sich b eindeutig aus P und a rekonstuieren ließe, dann folgt die
Behauptung.
• In der GA ist der Vektor a invertierbar:
a−1 =
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a2
kak2
a
−1
=⇒
aa
=
=
=1.
kak2
kak2
kak2
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Universalität des Geometrischen Produkts
Im Clifford-Produkt ist die vollständige geometrische Beziehung zweier
Vektoren relativ zueinander enthalten!
• Betrachte zwei Vektoren a, b und deren Produkt P = ab.
• Wenn sich b eindeutig aus P und a rekonstuieren ließe, dann folgt die
Behauptung.
• In der GA ist der Vektor a invertierbar:
a−1 =
a2
kak2
a
−1
=⇒
aa
=
=
=1.
kak2
kak2
kak2
• Damit ergibt sich b mittels:
a−1 P = a−1 (ab) = (a−1 a)b = b .
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Universalität des Geometrischen Produkts
Im Clifford-Produkt ist die vollständige geometrische Beziehung zweier
Vektoren relativ zueinander enthalten!
• Betrachte zwei Vektoren a, b und deren Produkt P = ab.
• Wenn sich b eindeutig aus P und a rekonstuieren ließe, dann folgt die
Behauptung.
• In der GA ist der Vektor a invertierbar:
a−1 =
a2
kak2
a
−1
=⇒
aa
=
=
=1.
kak2
kak2
kak2
• Damit ergibt sich b mittels:
a−1 P = a−1 (ab) = (a−1 a)b = b .
⇒ Alle weiteren Produkte lassen sich aus Clifford-Produkt ableiten!
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Skalar- und Dachprodukt
• Das Skalarprodukt ist der symmetrische Anteil:
a · b = 21 ab + ba = b · a .
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Skalar- und Dachprodukt
• Das Skalarprodukt ist der symmetrische Anteil:
a · b = 21 ab + ba = b · a .
• Das Dachprodukt ergibt sich aus dem antisymmetrischen Anteil:
a ∧ b = 12 ab − ba = −b ∧ a .
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Skalar- und Dachprodukt
• Das Skalarprodukt ist der symmetrische Anteil:
a · b = 21 ab + ba = b · a .
• Das Dachprodukt ergibt sich aus dem antisymmetrischen Anteil:
a ∧ b = 12 ab − ba = −b ∧ a .
⇒ Fundamentale Zerlegung des Clifford-Produkts:
ab = a · b + a ∧ b .
• Skalar- oder Dachprodukt allein sind nicht invertierbar!
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Dachprodukte als orientierte Flächenelemente
• Das Dachprodukt lässt sich als orientiertes Flächenelement eines
k -dim. Untervektorraums (k -Spat) auffassen:
a∧b∧c
a∧b
a
• 0-Spat = Skalar, 1-Spat = Vektor, . . .
• Die Antisymmetrie steckt in der Orientierung:
a∧b
b
= −
b∧a
a
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Mit Hodge-Dualität zu Kreuzprodukt und Determinante
a×b
• Hodge-Dualität ? übersetzt zwischen
k -Spaten und (n − k)-Spaten mittels
orhogonalem Komplement
• Der Betrag ist unter ? erhalten
• Orientierung mit „Rechter-Hand-Regel“
b
a
c
a∧b∧c
b
a
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Mit Hodge-Dualität zu Kreuzprodukt und Determinante
a×b
• Hodge-Dualität ? übersetzt zwischen
k -Spaten und (n − k)-Spaten mittels
orhogonalem Komplement
• Der Betrag ist unter ? erhalten
• Orientierung mit „Rechter-Hand-Regel“
b
a
• In 3 Dimensionen gilt:
?(a ∧ b) = a × b ,
?(a ∧ b ∧ c) = det(a, b, c) .
c
a∧b∧c
b
a
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Mit Hodge-Dualität zu Kreuzprodukt und Determinante
a×b
• Hodge-Dualität ? übersetzt zwischen
k -Spaten und (n − k)-Spaten mittels
orhogonalem Komplement
• Der Betrag ist unter ? erhalten
• Orientierung mit „Rechter-Hand-Regel“
b
a
• In 3 Dimensionen gilt:
?(a ∧ b) = a × b ,
?(a ∧ b ∧ c) = det(a, b, c) .
c
a∧b∧c
• In n 6= 3 Dimensionen ist das
b
Kreuzprodukt nicht definiert!
a
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Beispiel zur Hodge-Dualität
• Gegeben (σ i ) ONB von 3
• Wegen Orthonormalität gilt: σ i σ j = σ i ∧ σ j + δij
• Definiere den „Pseudoskalar“ I = σ1 σ 2 σ 3 = σ 1 ∧ σ 2 ∧ σ 3
• Hodge-Dualität berechnet man mittels:
?A = A I −1 .
• Damit ergibt sich:
?(σ 1 ∧ σ 2 ) = (σ 1 σ 2 )I −1 = (σ 1 σ 2 )σ 3 σ 2 σ 1
= σ1 σ2 σ2 σ1 σ3 = σ1 σ1 σ3 = σ3
= σ1 × σ2 .
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Gliederung
Grundlagen
Was ist Geometrische Algebra?
Mathematischer Formalismus
Spiegelungen und Drehungen
Spiegelung an einer Ebene
Von Spiegelungen zu Drehungen
Anwendungen
Klassische Physik
Quantenmechanik
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Spiegelung an einer Ebene
• Wir möchten v an der Ebene
senkrecht zum Vektor s spiegeln.
s
v
·
S(v)
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Spiegelung an einer Ebene
s
• Wir möchten v an der Ebene
senkrecht zum Vektor s spiegeln.
• Zerlege dazu v = v ⊥ + v k
senkrecht und parallel zu s:
v
s
,
ksk2
v⊥ = v − vk .
v k = (v · s)
vk
·
v⊥
S(v)
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Spiegelung an einer Ebene
s
• Wir möchten v an der Ebene
senkrecht zum Vektor s spiegeln.
• Zerlege dazu v = v ⊥ + v k
senkrecht und parallel zu s:
v
s
,
ksk2
v⊥ = v − vk .
v k = (v · s)
vk
·
v⊥
−v k
S(v)
• Damit ergibt sich der gespiegelte
Vektor S(v) = v ⊥ − v k zu:
S(v) = v − 2(v · s)
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s
.
ksk2
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Spiegelung an einer Ebene (GA-Version)
• In der GA lassen sich die Formeln weiter vereinfachen:
s
= (v · s)s−1 ,
ksk2
v ⊥ = v − v k = (vs − v · s)s−1 = (v ∧ s)s−1 .
v k = (v · s)
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Spiegelung an einer Ebene (GA-Version)
• In der GA lassen sich die Formeln weiter vereinfachen:
s
= (v · s)s−1 ,
ksk2
v ⊥ = v − v k = (vs − v · s)s−1 = (v ∧ s)s−1 .
v k = (v · s)
• Damit erhält man den gespiegelten Vektor:
S(v) = v ⊥ − v k = (v ∧ s − v · s)s−1
= −(s ∧ v + s · v)s−1
= −svs−1 .
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Spiegelung an einer Ebene (GA-Version)
• In der GA lassen sich die Formeln weiter vereinfachen:
s
= (v · s)s−1 ,
ksk2
v ⊥ = v − v k = (vs − v · s)s−1 = (v ∧ s)s−1 .
v k = (v · s)
• Damit erhält man den gespiegelten Vektor:
S(v) = v ⊥ − v k = (v ∧ s − v · s)s−1
= −(s ∧ v + s · v)s−1
= −svs−1 .
• Viel kompakter als die alte Formel ( S(v) = v − 2(v · s)
• Komposition von Spiegelungen ist sehr einfach!
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s
ksk2
).
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Von Spiegelungen zu Drehungen
• Satz von Cartan–Dieudonné:
Jede Drehung lässt sich
in Spiegelungen zerlegen.
w
• Betrachte Drehung, die den
Vektor v in w überführt.
n
v
−nvn−1
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Von Spiegelungen zu Drehungen
• Satz von Cartan–Dieudonné:
Jede Drehung lässt sich
in Spiegelungen zerlegen.
w
• Betrachte Drehung, die den
Vektor v in w überführt.
• Zuerst Spiegelung senkrecht zu n:
n
v
v 7→ −nvn−1 .
−nvn−1
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Von Spiegelungen zu Drehungen
• Satz von Cartan–Dieudonné:
Jede Drehung lässt sich
in Spiegelungen zerlegen.
w
• Betrachte Drehung, die den
Vektor v in w überführt.
• Zuerst Spiegelung senkrecht zu n:
n
v
v 7→ −nvn−1 .
• Danach Spiegelung senkrecht zu w :
−nvn−1
R(v) = −w(−nvn−1 )w−1
= (wn)v(wn)−1
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Von Spiegelungen zu Drehungen
• Satz von Cartan–Dieudonné:
Jede Drehung lässt sich
in Spiegelungen zerlegen.
w
• Betrachte Drehung, die den
Vektor v in w überführt.
• Zuerst Spiegelung senkrecht zu n:
n
R
v
v 7→ −nvn−1 .
• Danach Spiegelung senkrecht zu w :
−nvn−1
R(v) = −w(−nvn−1 )w−1
= (wn)v(wn)−1 = RvR−1 ,
mit dem Rotor R = wn.
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Geometrische Relevanz des Halbwinkels
Der halbe Drehwinkel des Rotors R (zwischen w und n) hat eine zutiefst
geometrische Bedeutung bei der Komposition von Drehungen:
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Geometrische Relevanz des Halbwinkels
Der halbe Drehwinkel des Rotors R (zwischen w und n) hat eine zutiefst
geometrische Bedeutung bei der Komposition von Drehungen:
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17 / 24
Geometrische Relevanz des Halbwinkels
Der halbe Drehwinkel des Rotors R (zwischen w und n) hat eine zutiefst
geometrische Bedeutung bei der Komposition von Drehungen:
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17 / 24
Gliederung
Grundlagen
Was ist Geometrische Algebra?
Mathematischer Formalismus
Spiegelungen und Drehungen
Spiegelung an einer Ebene
Von Spiegelungen zu Drehungen
Anwendungen
Klassische Physik
Quantenmechanik
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Maxwell-Gleichungen
∇·E =%
∇·B =0
∇ × B − ∂t E = j
∇ × E + ∂t B = 0
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Maxwell-Gleichungen
∇·E =%
∇·B =0
∇ × B − ∂t E = j
∇ × E + ∂t B = 0
SRT mit Tensor-Analysis
∂µ F µν = j ν
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εµν%σ ∂ν F%σ = 0
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Maxwell-Gleichungen
∇·E =%
∇·B =0
∇ × B − ∂t E = j
∇ × E + ∂t B = 0
SRT mit Tensor-Analysis
∂µ F µν = j ν
εµν%σ ∂ν F%σ = 0
Geometrische Algebra
∇·F =j
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∇∧F =0
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Maxwell-Gleichungen
∇·E =%
∇·B =0
∇ × B − ∂t E = j
∇ × E + ∂t B = 0
SRT mit Tensor-Analysis
∂µ F µν = j ν
εµν%σ ∂ν F%σ = 0
Geometrische Algebra
∇·F =j
∇∧F =0
∇F = j
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Pauli-Schrödinger-Gleichung
Die übliche Pauli-Schrödinger-Gleichung lautet:
i~∂t Ψ =
π̂ 2
~q
+ qΦ −
(σ · B) Ψ .
2m
2m
Kritikpunkte:
• Viele Räume nebeneinander: (
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3 , ·, ×) ,
2,
Mat(2, )
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Pauli-Schrödinger-Gleichung
Die übliche Pauli-Schrödinger-Gleichung lautet:
i~∂t Ψ =
π̂ 2
~q
+ qΦ −
(σ · B) Ψ .
2m
2m
Kritikpunkte:
• Viele Räume nebeneinander: ( 3 , ·, ×) , 2 , Mat(2, )
• Die Bedeutung der komplexen Zahlen ist unklar!
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Pauli-Schrödinger-Gleichung
Die übliche Pauli-Schrödinger-Gleichung lautet:
i~∂t Ψ =
π̂ 2
~q
+ qΦ −
(σ · B) Ψ .
2m
2m
Kritikpunkte:
• Viele Räume nebeneinander: ( 3 , ·, ×) , 2 , Mat(2, )
• Die Bedeutung der komplexen Zahlen ist unklar!
• σ = (σ1 , σ2 , σ3 ) ist ein formaler Vektor.
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Pauli-Schrödinger-Gleichung
Die übliche Pauli-Schrödinger-Gleichung lautet:
i~∂t Ψ =
π̂ 2
~q
+ qΦ −
(σ · B) Ψ .
2m
2m
Kritikpunkte:
• Viele Räume nebeneinander: ( 3 , ·, ×) , 2 , Mat(2, )
• Die Bedeutung der komplexen Zahlen ist unklar!
• σ = (σ1 , σ2 , σ3 ) ist ein formaler Vektor.
• Die Rechenregel:
(σ · a)(σ · b) = (a · b) + iσ · (a × b) ,
ist eben nur eine Rechenregel.
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Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra?
• Interpretiere die Pauli-Matrizen σi als Basisvektoren, dann ist:
σ · a = σi ai = ai σi ∼
= ai σ i = a ∈
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3
⊂ G3 .
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Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra?
• Interpretiere die Pauli-Matrizen σi als Basisvektoren, dann ist:
σ · a = σi ai = ai σi ∼
= ai σ i = a ∈
3
⊂ G3 .
• Damit wird die obige Rechenregel
(σ · a)(σ · b) = (a · b) + iσ · (a × b) ,
zu:
ab = a · b + I(a × b) = a · b + a ∧ b .
• Das ist die fundamentale Zerlegung des Clifford-Produkts!
• Die imaginäre Einheit i vermittelt hier die Hodge-Dualität!
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Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra?
• Interpretiere die Pauli-Matrizen σi als Basisvektoren, dann ist:
σ · a = σi ai = ai σi ∼
= ai σ i = a ∈
3
⊂ G3 .
• Damit wird die obige Rechenregel
(σ · a)(σ · b) = (a · b) + iσ · (a × b) ,
zu:
ab = a · b + I(a × b) = a · b + a ∧ b .
• Das ist die fundamentale Zerlegung des Clifford-Produkts!
• Die imaginäre Einheit i vermittelt hier die Hodge-Dualität!
• (
3 , ·, ×)
ist unnötig, weil in G3 enthalten.
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Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra!
Die Pauli-Schrödinger-Gleichung:
i~∂t Ψ = ĤS Ψ −
~q
(σ · B)Ψ ,
2m
wird ersetzt durch die Pauli-Schrödinger-Hestenes-Gleichung:
∂t ψ ~Iσ 3 = ĤS ψ +
Florian Jung: Geometrische Algebra
q
(IB)ψ ~Iσ 3 .
2mc
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Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra!
Die Pauli-Schrödinger-Gleichung:
i~∂t Ψ = ĤS Ψ −
~q
(σ · B)Ψ ,
2m
wird ersetzt durch die Pauli-Schrödinger-Hestenes-Gleichung:
∂t ψ ~Iσ 3 = ĤS ψ +
q
(IB)ψ ~Iσ 3 .
2mc
• Nur noch reelle Größen mit geometrischer Interpretation!
Florian Jung: Geometrische Algebra
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Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra!
Die Pauli-Schrödinger-Gleichung:
i~∂t Ψ = ĤS Ψ −
~q
(σ · B)Ψ ,
2m
wird ersetzt durch die Pauli-Schrödinger-Hestenes-Gleichung:
∂t ψ ~Iσ 3 = ĤS ψ +
q
(IB)ψ ~Iσ 3 .
2mc
• Nur noch reelle Größen mit geometrischer Interpretation!
• Die Wellenfunktion ψ ist jetzt ein (verallgemeinerter) Rotor
und beschreibt lokal eine Drehstreckung.
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Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra!
Die Pauli-Schrödinger-Gleichung:
i~∂t Ψ = ĤS Ψ −
~q
(σ · B)Ψ ,
2m
wird ersetzt durch die Pauli-Schrödinger-Hestenes-Gleichung:
∂t ψ ~Iσ 3 = ĤS ψ +
q
(IB)ψ ~Iσ 3 .
2mc
• Nur noch reelle Größen mit geometrischer Interpretation!
• Die Wellenfunktion ψ ist jetzt ein (verallgemeinerter) Rotor
und beschreibt lokal eine Drehstreckung.
• Der Faktor ~Iσ 3 ersetzt i~ und hängt eng mit dem Spin zusammen.
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Zusammenfassung
• Geometrische Algebra ist eine Universelle Sprache der Geometrie!
Andere geometrische Formalismen sind darin enthalten.
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Zusammenfassung
• Geometrische Algebra ist eine Universelle Sprache der Geometrie!
Andere geometrische Formalismen sind darin enthalten.
• Die Pauli-Matrizen lassen sich in der Geometrischen Algebra als
Darstellungen der Basisvektoren des
Florian Jung: Geometrische Algebra
3
auffassen.
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Zusammenfassung
• Geometrische Algebra ist eine Universelle Sprache der Geometrie!
Andere geometrische Formalismen sind darin enthalten.
• Die Pauli-Matrizen lassen sich in der Geometrischen Algebra als
Darstellungen der Basisvektoren des
3
auffassen.
• Es gibt viele fruchtbare Anwendungen (nicht nur) in der Physik.
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Danke für die Aufmerksamkeit.