(ggT) Primzahlen

Teilbarkeitsregeln
Natürliche Zahlen
Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Einerziffer durch 2 teilbar ist.
Natürliche Zahlen
Größter gemeinsamer Teiler (ggT)
Der größte gemeinsame Teiler ist die größte natürliche Zahl, die in den gegebenen Zahlen enthalten ist.
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die Einerziffer durch 5 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 3 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 9 teilbar ist.
Natürliche Zahlen, die nur 1 als gemeinsamen Teiler haben, nennt man teilerfremd.
Bei größeren Zahlen findet man den ggT rascher über die Primfaktorzerlegung.
Der ggT muss alle gemeinsamen Primfaktoren enthalten.
Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 10 bzw. 100 teilbar, wenn sie eine Zehnerzahl oder Hunderterzahl ist.
Sind zwei Zahlen durch dieselbe Zahl teilbar, so sind auch ihre Summe und ihre
Differenz durch diese Zahl teilbar.
Schreibweise:
4 ist Teiler von 16
5 ist kein Teiler von 16
⇔
⇔
4 | 16
5 | 16
Natürliche Zahlen
Primzahlen
Natürliche Zahlen
Primfaktorzerlegung
Natürliche Zahlen größer als 1, die nur durch 1 und durch sich selbst
teilbar sind, heißen Primzahlen.
Natürliche Zahlen größer als 1, die keine Primzahlen sind, kann man als
Produkt von Primzahlen anschreiben.
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, …}
Z.B. 24 = 2 . 2 . 2 . 3 = 2³ . 3
Es gibt unendlich viele Primzahlen und unendlich viele „Primzahlzwillinge“, das
sind Primzahlen mit der Differenz 2 (z.B. 41 und 43).
Werden größere Zahlen zerlegt, ist eine Tabelle hilfreich:
Das „Sieb des Erathostenes“ ist ein Verfahren,
um Primzahlen herauszufinden.
* Schreib die natürlichen Zahlen mit 1 beginnend auf.
* 1 ist keine Primzahl und wird gestrichen.
* Lass 2 stehen und streiche alle Zahlen, die durch 2 teilbar sind
* Lass 3 stehen und streiche alle Zahlen, die durch 3 teilbar sind
* Lass 5 stehen und streiche alle Zahlen, die durch 5 teilbar sind
* usw.
* Nur die Primzahlen bleiben übrig.
Erathostenes war ein griechischer Mathematiker und lebte im 3. Jh. v.Chr .
156 2
78 2
39 3
13 13
1
solange die Zahl gerade ist, wird durch 2 geteilt
dann durch die nächst größere Primzahl
usw.
bis am Ende 1 steht
156 = 2 . 2 . 3 . 13 = 2² . 3 . 13
Natürliche Zahlen
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
Das kleinste gemeinsame Vielfache ist die kleinste natürliche Zahl (>0), in
der die gegebenen Zahlen enthalten sind.
Bei größeren Zahlen findet man das kgV rascher über die Primfaktorzerlegung.
Das kgV muss alle vorkommenden Primfaktoren enthalten, die gemeinsamen
Primfaktoren sind aber jeweils nur einmal im kgV enthalten.
Das kgV zweier teilerfremder Zahlen ist gleich dem Produkt dieser Zahlen.
Definition
Bruchzahlen
5
—-
Zähler
Bruchstrich
Beim Anschreiben eines Bruches setze zuerst den
Bruchstrich waagrecht in Höhe des Gleichheits-
8
Nenner
zeichens. Trage dann Zähler und Nenner ein.
Man darf Brüche auch mit einem schiefen Bruchstrich schreiben: 5 / 8
Der Nenner gibt an, in wie viele Teile ein Ganzes zerlegt wird,
der Zähler zählt die Teile.
.
Arten von Brüchen
Bruchzahlen
3
4 <1
Ein echter Bruch ist kleiner
als ein Ganzes.
Der Zähler ist kleiner als der
Nenner
5
4 >1
Ein unechter Bruch ist größer
als ein Ganzes
Der Zähler ist größer als der Nenner
Ein unechter Bruch kann in eine
gemischte Zahl (einen gemischten
Bruch) verwandelt werden:
5
4
= 44 + 14 = 1 + 14 = 1 14
* Ist der Zähler gleich dem Nenner oder ein Vielfaches davon, dann spricht man
von einem uneigentlichen Bruch.
* Ist der Zähler = 1, so spricht man von einem Stammbruch
* Ist der Nenner 10, 100, 1000, …, so handelt es sich um einen Dezimalbruch.
Erweitern
Bruchzahlen
Multipliziert man Zähler und Nenner eines Bruches mit derselben Zahl, so
bleibt der Wert des Bruches gleich.
Man nennt dies Erweitern eines Bruchs.
Z
Z .k
=
N
N .k
(k ≠ 0)
Beispiele:
•
erweitern auf einen Nenner
•
Erweitern mit einer Zahl