Gravitationswellen von Binärsystemen

Gravitationswellen von
Binärsystemen
Binäre Schwarze Löcher in der Astrophysik
Bachelorarbeit
zur Erlangung des akademischen Grades
Bachelor of Science
vorgelegt von
Elke Aeikens
geboren in Leer (Ostfriesland)
Lehrstuhl für Experimentelle Physik V
Fakultät Physik
Technische Universität Dortmund
2011
1. Gutachter : Prof. Dr. Wolfgang Rhode
2. Gutachter : Jun.-Prof. Dr. Julia K. Becker
Datum des Einreichens der Arbeit: 25.08.2011
Kurzfassung
In dieser Arbeit soll ein Einblick in die theoretische und analytische Physik der Gravitationswellen von Binärsystemen, speziell von binären schwarzen Löchern, gegeben werden.
Die Arbeit gliedert sich dabei in folgende Teile. Zunächst wird kurz ein Überblick in die
Entwicklungs-Stadien eines Binärsystems Schwarzer Löcher und ihrer derzeitigen Berechnungsmethoden gegeben.
Der Hauptteil befasst sich im ersten Abschnitt mit der Herleitung und Berechnung von
Gravitationswellen im Allgemeinen und im Speziellen für binäre Sternsysteme. Der zweite Abschnitt gibt Aufschluss über die Berechnung von relativistischeren Quellen, wie
Neutronensternen und Schwarzen Löchern, in ihrer "Inspiral-" Phase. Dabei wird das
Post-Newtonian Verfahren in erster Ordnung skizziert.
Es folgt eine explizite Berechnung einiger Quellen.
Im letzten Abschnitt werden Zusammenhänge zwischen der Gravitationswellendetektion und der Detektion von Binärsystemen über elektromagnetische Strahlung diskutiert.
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
1.1. Binäre Schwarze Löcher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Gravitationswellen
2.1. Berechnung von Gravitationswellen . . . . . . . . . . . .
2.1.1. linearisierte Einsteingleichungen . . . . . . . . . .
2.1.2. Lösung der linearisierten Einsteingleichung . . .
2.1.3. Schwache Gravitationswellen . . . . . . . . . . . .
2.1.4. Quellen von Gravitationswellen . . . . . . . . . .
2.2. Energie von Gravitationswellen . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. TT-Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Energie, Energiefluss und Luminosität . . . . . . .
2.2.3. Quadrupol Formel oder totale Strahlungsleistung
2.3. Gravitationsstrahlung Binärer Sterne . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Berechnung der Gravitationswellen . . . . . . . .
2.3.2. Energiefluss und Luminosität . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Energieverlust durch Strahlung . . . . . . . . . . .
2.4. Gravitationswellen von binären Schwarzen Löchern . . .
2.5. Post-Newton Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1. slow-motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2. weak-field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Gravitationswellen in der Post-Newtonian Entwicklung
2.6.1. Berechnung der PN-Gravitationswellen . . . . . .
2.6.2. Berechnung der PN-Energiestrahlung . . . . . . .
2.7. Größenordnungen und Messgrößen . . . . . . . . . . . .
2.8. Detektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1. Detektion über Testmassenbewegung . . . . . . .
2.8.2. Gravitationswellendetektoren . . . . . . . . . . . .
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1
1
3
3
3
4
5
6
6
6
7
8
9
9
10
11
12
13
13
14
16
17
19
20
22
22
23
3. Elektromagnetische Wellen und Gravitationswellen
3.1. Zusammenhang zwischen EM-Strahlung und Gravitationsstrahlung . . .
3.2. Detektion von binären Schwarzen Löchern über elektromagnetische Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
25
4. Zusammenfassung und Ausblick
4.1. Danksagung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
27
A. Anhang
28
25
1. Einleitung
Gravitationswellen bewegen sich nahe zu ungestört durch das Universum, werden also
kaum von irgendeiner Materie gestreut. Im Gegensatz zu elektromagnetischen Wellen ist
es also möglich Wellen aus sehr entfernten Regionen zu untersuchen und so Rückschlüsse
auf die frühe Phase des Universums zu erhalten. Man hofft, dass Gravitationswellendetektoren LIGO, Virgo, GEO und vorallem LISA in naher Zukunft Gravitationswellen im
Frequenzbereich von 10 − 104 Hz [20] und mehr detektieren können. In diesem Frequenzbereich liegen viele Bahnperioden binärer Systeme, sowie Spinperioden von Neutronenesternen etc., 1/ f ∼ Porb , Prot .
Die Gravitationswellen können Informationen über die Quellen enthalten, wie Masse, Radius, Standort und z.B. bei Neutronensternen über deren kristalline Struktur, Viskosität
usw., die unter elektromagnetischen Beobachtungen schwierig oder kaum abzuschätzen
sind [20]. Dies kann neue Erkenntnisse in der Physik extrem dichter Materie, Teilchenphysik und Astrophysik verschaffen.
Um neue Erkenntnisse zu erlangen, spielt die theoretische Physik von Gravitationswellen besonders von Binärsystemen eine tragende Rolle. Im Folgenden werden Gravitationswellen in der allgemeinen Relativitätstheorie hergeleitet, auf spezielle Binärsysteme
angewendet und explizit berechnet.
1.1. Binäre Schwarze Löcher
Häufig entsteht ein System aus zwei massiven Schwarzen Löchern bei der Verschmelzung von zwei Galaxien, die beide Schwarze Löcher im Kern beinhalten und zusätzlich im
äußeren Bereich Schwarze Löcher enthalten können [6]. Es wird angenommen, dass die
meisten Galaxien supermassive Schwarze Löcher im Kern besitzen und Wechselwirkungen zwischen diesen Schwarzen Löchern besonders in Galaxiehaufen häufig auftreten[7].
Im letzten Abschnitt, der "Beruhigungsphase", nach der Kollision und Verschmelzung
zweier Galaxien, sind die zwei schwarzen Löcher beider Kerne unter dynamischer Reibung und Gasakkretion zusammengetrieben bis zu einer Entfernung, an der sie Gravitationswellen ausstrahlen. Ab diesem Abstand durchläuft das Sytem aus den Schwarzen
Löchern im groben drei Phasen bis zur Kollision (siehe [8]).
In der ersten Phase, der "inspiral"-Phase, ist die inverse Frequenz der Gravitationswellen,
1/ f , sehr viel größer als eine Bahnperiode der Massen umeinander. Die zwei schwarzen
Löcher beschreiben unter Abgabe von Gravitationswellen eine spiralförmig ins Massenzentrum verlaufende Bahn. Die Phase endet bei einer Distanz von r ∼ 6MG
, ab der die
c2
Schwarzen Löcher relativistische instabile Bahnen beschreiben.
Der allmähliche Übergang von gravitationswellengetriebenen Spiralbahnen zum frei fallenden Zusammensturz mit anschließender Kollision beider Schwarzer Löcher charakterisiert die zweite Phase, die "merger "-Phase. Dieser Phase entspricht ein hoch instabiler,
nichtlinearer, dynamischer Verlauf relativistischer Materie.
In der letzte Phase, der "ringdown"-Phase, geht die nichtlineare Dynamik langsam über
in den Zustand eines normalen, oszillierenden Kerr-Schwarzen Lochs. Die Gravitationswellen gleichen einer exponentiell gedämpften Superposition aus Sinusschwingungen
und sind gleichzeitig die stärksten in diesem Prozess.
1
Bis 1999 war die Merger-Phase in Übergang zum Ringdown nicht richtig verstanden
[8]. Die Inspiral-Phase zweier Schwarzer Löcher oder/und auch Neutronensterne konnte
und kann indes gut beschrieben werden über die Post-Newtonian Entwicklung in der
Relativitätsteorie. Sie ist eine Erweiterung der Einsteinschen Formeln, wie sie in Kapitel
2.3 dargestellt werden, und basiert auf einer Entwicklung in Ordnungen ∼ (v/c)2n der
Bahngeschwindigkeit des Binärsystems.
Die Ringdown-Phase enthält Informationen über die Masse und den Spin des entgültigen
Schwarzen Lochs und ist ebenfalls gut approximierbar durch oben genannte Superposition.
Ab 2000 haben Physiker eine neue vielversprechende analytische Theorie aufgebaut, den
"effective-one-body "oder kurz (EOB) Ansatz [12], der ein Binärsystem in allen Phasen
inspiral, merger und ringdown komplett beschreiben soll.
Der EOB-Ansatz arbeitet ebenfalls mit Post-Newtonian-Theorie, jedoch mit einer etwas
zusammengefassteren Form der Taylorentwicklung.
Die Dynamik der zwei Massen m1 , m2 und deren Spins S1 , S2 wird auf die Dynamik
eines Testkörpers mit reduzierter Masse µ und Spin S∗ abgebildet. Dieser bewegt sich in
einer deformierten Kerr-Metrik mit Masse M = m1 + m2 , Spin SKerr und einem Deformationsparameter µ/M.
In den folgenden Kapiteln wird die Beschreibung von Gravitationswellen von Anfang an
aufgebaut. Der Hauptschwerpunkt liegt in der grundlegenden Beschreibung von Gravitationswellen binärer Sternsysteme durch linearisierte Einsteingleichungen im Limes
kleiner Geschwindigkeiten und schwacher Felder. Daran knüpft die Post-NewtonianTheorie an, die es erlaubt die inspiral-Phase von binären Neutronensternen und/oder
Schwarzen Löchern zu beschreiben.
2
2. Gravitationswellen
Der erste indirekte Nachweise von Gravitationswellen wurde von Russell Hulse und
Joseph Taylor von der Universität Princeton erbracht. Sie sagten die Abnahme der Spiralbahn des Doppelpulsars PSR 1913+16 vorraus, die auf Energieverlust durch Gravitationswellenemission basiert.
Mögliche Quellen für Gravitationswellen sind außer Binärsystemen von Sternen und
Schwarzen Löchern, Super-novae-Explosionen, Gammastrahlenexplosionen (Gammaray bursts) und die vermutete gravitative Hintergrundstrahlung, verursacht durch den
Big Bang. Je schneller die Bewegung der Quellen wird, desto schwieriger wird die Beschreibung der entstehenden Wellen.
2.1. Berechnung von Gravitationswellen
Dieses Kapitel skizziert, wie Gravitationswellen reeller Quellen beschrieben werden können, zunächst ganz allgemein und im Weiteren für schwache Wellen, d.h. geringe Amplitude und Frequenz, aus nichtrelativistischen Quellen (Kapitel 2.1.3).
Die hier aufgeführten Berechnungen aus Kapitel 2.1.1, 2.1.3 bis 2.2.3 sind an den Hartel
[1] angelehnt.
2.1.1. linearisierte Einsteingleichungen
Gravitationswellen werden über linearisierte Einsteingleichungen berechnet, die in diesem Abschnitt hergeleitet wird. In den Einsteingleichungen wird die Raumkrümmung
über den Ricci-Tensor, d.h. die Metrik gαβ und dessen Ableitungen, beschrieben, sowie
die gravitative Quelle über den Energie-Impuls-Tensor Tαβ .
1
8πG
Rαβ − gαβ R = 4 Tαβ
2
c
(2.1)
(Im weiteren Verlauf werden wir in natürlichen Einheiten mit c=1, G=1 rechnen.)
Die wichtigste Annahme ist, dass sehr schwache Wellen als kleine Störung hαβ (x) der
flachen Metrik ηαβ beschrieben werden können, mit |hαβ | 1 für alle Komponenten α, β:
gαβ(x) = ηαβ + hαβ (x)
, ηαβ = diag(−1, 1, 1, 1)
(2.2)
Linearisieren bedeutet, die zehn nichtlinearen komplizierten Einsteingleichungen durch
1.Ordnung Störungsrechnung in der Metrik hαβ abzuschätzen, alle Ordnungen O(h2 )
werden damit vernachlässigt. Es folgt:
γ
γ
Γαβ = 12 ηγδ (∂β hδα + ∂α hδβ − ∂δ hαβ )1 ,
⇒
Rαβ = ∂γ Γαβ − ∂β Γααγ
Rαβ = 21 (−hαβ + ∂α Vβ + ∂β Vα )
(2.3)
(2.4)
~ 2 ) dem d’Alembertoperator, der Wellenoperator des flachen
Mit = ηαβ ∂α ∂β = (−∂2t + ∇
Raumes und weiteren Kombinationen der Störung,
1
γ
γ
Vα = ∂γ hα − ∂α hγ
2
1
γ
, hα = ηγδ hδα .
(2.5)
Ableitungen von ηαβ sind null, da die Komponenten der Metrik konstant sind.
3
Mit einer geeigneten Koordinatenwahl hαβ → h̄αβ kann die Gleichung weiter vereinfacht
werden, indem die Störung Vα ≡ 0 gesetzt wird. Die folgende Eichtransformation, auch
Lorentzeichung genannt, erhält in 1. Ordnung Näherung die Form von gαβ , lässt ηαβ
invariant und verursacht nur kleine Variationen ξα in hαβ . Sie lässt sich äquivalent zur
Lorentzeichung in der Elektrodynamik verstehen, in der das Potential verändert wird bei
gleichzeitiger Erhaltung der Felder.
β
β
Vα (x) = ∂β hα − 21 ∂α hβ ≡ 0
(Lorentz-Eichbedingung)
h̄αβ = hαβ − ∂α ξβ − ∂β ξα
⇒
Rαβ =
, ξα (x) willkürliche
1
− 2 hαβ , R = − 12 h
Störung
(2.6)
(2.7)
(2.8)
Eine einfache mögliche Wahl der noch allgemeinen Lorentzeichung (2.7) für h̄αβ , die (2.6)
erfüllt, ist:
1
h̄αβ = hαβ − ηαβ h
⇒ ∂β h̄αβ = 0
(2.9)
2
Die zweite Gleichung aus (2.9) ist gleichbedeutend mit der Energie-Impulserhaltung
(2.16).
Damit ergibt sich die linearisierte Einsteingleichung, in der jede Komponente von h̄αβ
einer inhomogenen Wellengleichung gehorcht:
h̄αβ = −16πTαβ
(2.10)
2.1.2. Lösung der linearisierten Einsteingleichung
αβ
Die Gleichung (2.10) kann über die tensorielle Greensfuntion Gγδ des d’Alem-bertoperators
ausgewertet werden [11].
Z ∞
αβ
αβ
h̄ = −16π
Gγδ (t, ~
x; t0 , x~0 )Tγδ (t0 , x0 )dt0 d3 x0
(2.11)
−∞
Die Lösung entspricht der Faltung der Greensfunktion mit dem Energie-Impulstensor.
Über eine Betrachtung im Fourierraum lässt sich die Greensfunktion berechnen.
˜ G̃ =
1
(2π)4/2
αβ
Gγδ (t, ~
x; t0 , x~0 ) =
⇒
1
1
(2π)2 ~k2 −ω2
αβ
1
i(~k~
x−ωt) d3 k dω
e
−∞ ~k2 −ω2
γδ
0 |−t0 )
∗
β
δ(t±|~
x
−~
x
1 α
2
4π δγ δδ
|~
x−~
x0 |
1
(2π)4
αβ
Gγδ (t, ~
x; t0 , x~0 ) =
G̃ =
R∞
(2.12)
(2.13)
(2.14)
Man erhält eine Funktion für das Störfeld der Metrik, die Gravitationswellen, ausgewertet
2∗
G(t, ~
x; t0 , x~0 )
=
=
=
=
4
ε→0
1
(2π)4
Z
∞
1
~
ei(k~x−ωt) d3 kdω ε>0, klein
~k2 − ω2 + iε
Z ∞ Z π
Z 2π
k2 sin(θ) i(kr cos(θ)−ωt) 3
1
lim
dω
dk
dθ
dφ
e
d kdω
4
ε→0 (2π)
~k2 − ω2 + iε
−∞
0
0
0
Z ∞
Z ∞
Z ∞
2π
k2
ei(kr−ωt)
1
eikr
Residuensatz
dω e−iωt
lim
dω
dk
−→
=
−
2 − ω2 + iε
3/2
ε→0 (2π)4
ikr
k
r
2(2π)
−∞
−∞
−∞
0
0
x−~
x |−t )
1 δ(t ± |~
4π
|~
x−~
x0 |
lim
−∞
Z ∞
für eine Quelle in retardierter Zeit:
h̄αβ (t, ~
x) = −4
Z
Tαβ (t
|~
x−~
x0 |, ~
x0 )
−
|~
x−~
x0 |
Z
d3 x0 = −4
d3 x0
h
i
Tαβ (t0 , x0 )
ret
|~
x−~
x0 |
(2.15)
Die hier gefundene generelle Lösung für auslaufende Wellen aus einer vorgeschriebenen
Quelle, erfüllt auch die in (2.9) aufgestellte Lorentzbedingung. Dies lässt sich nachvollziehen, indem man die Lösung in die Eichbedingung einsetzt. Nach partieller Integration
erhält man ein Integral über den Energie-Impuls-Erhaltungssatz,
∂β Tαβ = 0
(2.16)
der die Gleichung auf null setzt und damit (2.9) erfüllt.
2.1.3. Schwache Gravitationswellen
Im Limes schwacher Quellen, d.h. in weiter Entfernung der Quelle und großer Wellenlänge (r, λ Rquelle ), erhalten wir die vereinfachte Lösung einer flachen Welle im Sinne
einer Multipolentwicklung:
Z
4
−→
αβ
d3 x0 Tαβ (t − r, ~
x0 )
r = |~
x|
(2.17)
h̄ (t, ~
x) r → ∞
r
Diese Entwicklung wird auch "weak-field" Approximation genannt, da sie einen weiten
Abstand r zum Beobachter und damit ein schwaches Feld fordert.
Zur Analyse der Welle in der annähernd flachen, ungestörten Raumzeit sind nur die räumlichen Komponenten von Bedeutung3 . Unter Zuhilfenahme der Energie-Impulserhaltung
(2.16) kann eine besser verwendbare Form der Gleichung hergeleitet werden:
∂Ttt
∂t
+
∂Ttk
∂xk
=0
R
, ∂T∂t +
kt
d3 x T i j =
∂Tkl
∂xl
R
1 d2
2
2 dt
=0
⇒
∂2 Ttt
∂t2
=
∂2 Tkl
∂xl ∂xk
(2.18)
d3 xxi x j Ttt (x)
(2.19)
An dieser Stelle geht eine weitere Näherung für den Energie-Impuls-Tensor ein, die
"slow-motion" Approximation. Darin beschreibt Tαβ eine schwache Quelle, in der die
Geschwindigkeit in allen Komponenten v c ist, also ein System aus ruhender Materie
(Staub).
Tαβ = ρuα uβ
; u=Vierergeschwindigkeit,
ˆ
ρ=Massendichte
ˆ
(2.20)
Daher besteht die Energiedichte Ttt = ρ(x) hauptsächlich aus der Massendichte und es
ergibt sich schließlich für die Beschreibung der Gravitationswellen:
Z
2 d2
2
−→
ij
h̄ (t, ~
x) r → ∞
(2.21)
d3 x ρ(t, ~
x)xi x j = Ï i j (t − r)
r dt2
r
|
{z
}
Iij (t−r)
Das Integral über die Massendichte gewichtet zum Abstand xi , x j kann als reduziertes
Trägheitsmoment I i j der Quelle verstanden werden4 .
3
Die zeitlichen Komponenten beschreiben bei nichtrelativistischen Geschwindigkeiten die Massenenergie
und den Gesamtviererimpuls pα der Massenverteilung:
!T
!T
Z
dt d~
x dτ≈dt
d~
x
4
4
4
αβ
α β
α
tt
αt
T = ρu u ; u =
,
≈ 1,
⇒ h̄ = m ges , h̄ =
d3 xρuα = pα
dτ dτ
dt
r
r
r
4
Hierbei ist zubeachten, dass der eigentliche Trägheitstensor von Iij abweicht, mit Jij =
xi x j ].
R
d3 x ρ(t, ~
x)[δij r2 −
5
2.1.4. Quellen von Gravitationswellen
Birkhoffs-Theorem macht erste Einschränkungen unter welchen Bedingungen Gravitationswellen abgestrahlt werden können. Es sagt aus, dass jedes Feld einer sphärisch
symmetrischen Massenverteilung außerhalb der Masse statisch ist. Das bedeutet, unter
Rotation um eine Symmetrieachse wirkt der Körper wie eine Punktmasse und emittiert
daher keine Gravitationswellen.
Wie im Elektromagnetismus gibt es keine Monopolstrahlung, die von Gravitationswellen ausgeht, da Ladung und, bei der Gravitation, Masse erhalten bleibt und somit eine
sphärische Strahlung, über eine geschlossene Oberfläche integriert, sich immer zu null
weghebt.
Ebenso gibt es keinen Dipolbeitrag in der Gravitationsstrahlung. Intuitiv begründet man
dies dadurch, dass Gravitation nur anziehend, nicht aber abstoßend wirkt. Eine andere
Erklärung wäre eine Koordinatentransformation,
in der man den Nullpunkt ins MasseR
3
i
zentrum setzt und der Dipolmoment d ρx sich dadurch weghebt.
Quellen von Gravitationsstrahlung sind also immer Systeme, die einen Quadropolmoment besitzten, wie z.B. ein Binärsystem aus Sternen, Pulsaren, Schwarzen Löchern oder
Supernoven, die aller Wahrscheinlichkeit nach nicht perfekt symmetrisch ablaufen oder
der vermuteten Hintergrundstrahlung, ausgelöst durch den Big Bang.
2.2. Energie von Gravitationswellen
2.2.1. TT-Eichung
Um im nachfolgenden Kapitel 2.2.2 den Energiefluss einer Gravitationswelle zu bestimmen, ist es nötig, die Lösung h̄i j der linearisierten Wellengleichung für schwache Quellen
in einer bestimmten Eichung (TT-Eichung genannt) auszuwerten.
Diese Eichung ermöglicht die seperate Betrachtung der Wellenlösung in den drei Raumrichtungen und stellt gleichzeitig die generelle Lösung der linearisierten homogenen
Einsteingleichung dar.
Die allgemeine Form einer flachen Welle kann durch eine Linearkombination aus (2.27)
dargestellt werden, dies ist ein Effekt der linearisierten Gleichung.
Zunächst soll eine Lösung der homogenen Wellengleichung betrachtet werden.
hαβ = 0
(2.22)
Diese ist immer dann sinnvoll, wenn man Gravitationswellen sehr weit weg von ihrer
Quelle betrachtet und sie deshalb annähernd als Punktquelle in einem ansonsten quellfreien Raum beschrieben werden kann. Eine generelle Lösung der linearen Wellengleichung
ist:
µ
hαβ (x) = aαβ eikµ x
(2.23)
Diese muss ebenfalls die Lorentz-Eichbedingung (2.6) erfüllen. Die TT-Eichung (tracelesstransversal) führt zusätzlich zwei Bedingungen ein: Spurlosigkeit und Transversalität der
β
β
Welle, d.h. hti = 0 , hβ = 0 und damit ati = aβ = 0.
β
Vα = ∂β hα = 0
β
Vt = ∂β ht = iωk att eikx −
(2.24)
X
ik j a jt eikx = 0
⇒ att = ait = 0
(2.25)
j
Vi =
β
∂β hi
=−
X
j
6
ikx
ik j ai j e
=0
⇒ k j ai j = 0
(2.26)
Betrachten wir beispielshalber die Ausbreitung einer Welle in z-Richtung erhalten wir
eine Lösung folgender Form, mit zwei verschiedenen Polarisationsrichtungen (+, ×):
hαβ

0
0 0

0 a+ b×
= 
0 b× −a+

0 0
0

0

0 iω(z−t)
e
0

0
+: Plus-Polaristation
×: Kreuz-Polaristation
(2.27)
Um eine Metrik in TT-Eichung zu bringen, werden alle nichttransversalen Komponenten
=
auf null gesetzt und die Diagonalelemente auf eine spurlose Form gebracht (z.B. hTT
ii
1
1
TT
2 (hii − h j j ) und h j j = 2 (h j j − hii )).
2.2.2. Energie, Energiefluss und Luminosität
Die Allgemeinen Relativitätstheorie beschreibt die Raumzeit aus verschiedenen Bezugssystemen, daher existiert keine allgemeingültige Energieerhaltung und damit keine lokale
Energiedichte an einem Punkt.
In einer nahezu flachen newtonschen Raumzeit kann jedoch eine approximative Energiedichte GW angegeben werden. Für Wellenlängen λ, die viel kleiner sind als die Skala der
Raumkrümmung R (λ/R klein), und weit weg von der Quelle beobachtet werden, wird
über ein Raumzeit-Volumen gemittelt. Die hier hergeleitete Energiedichte ist also keine
lokale Größe.
Die bisher gefundene Wellengleichung (2.10) oder (2.22) hat lineare Ordnung in der
Störung bzw. Wellenamplitude. Die Energieimpulsdichte einer Gravitationswelle würde
jedoch selbst eine Raumkrümmung verursachen und wird deshalb durch die 2. Ordnung
in der Wellenamplitude beschrieben.
Der Energiefluss (Energiestromdichte) fGW in j-Richtung wird allgemein über die Komtj
ponente des Energie-Impulstensors TGW beschrieben, dieser soll im Folgenden hergeleitet
werden.
Die Metrik setzt sich nun also aus einer Hintergrund-Metrik γαβ und einer Amplitude kleiner Krümmungswellen hαβ , mit einer Wellenlänge viel kleiner als die Krümmung
von γαβ , zusammen. Die Hintergrund-Metrik ist fast flach und nur durch die Energie der
Gravitationswellen sehr schwach geschwungen.
gαβ = γαβ + hαβ
(2.28)
Kleine Wellenlängen lassen die Skala von γαβ stark schwanken, dies ist ein weiterer Grund,
weswegen zur Beschreibung des Energieflusses und damit des Energieimpulstensors nur
eine gemittelte Raumzeitkrümmung Sinn ergibt.
Der Teil der Raumkrümmung, der zur Beschreibung des Energieimpulses wichtig ist,
besteht, wie vorher angedeutet, nur aus quadratischer Ordnung in hαβ . Lineare Terme
verschwinden (wg. (2.25)), alle höheren Ordnungen O(h3 ) werden vernachlässigt. Damit
ergibt sich:
1
1
GW
Tαβ
=−
hRαβ (h2 )i − γαβ hR(h2 )i
(2.29)
8π
2
Für eine in z-Richtung laufende Gravitationswelle berechnet sich die Energiestromdichte
wiefolgt, mit Γαtt = Γαtz = Γαzz = 0 (da h nur Komponenten in x,y besitzt) und γαβ ≈ ηαβ .
1
1
GW
2
2
Ttz = −
hRtz (h )i − ηtz hR(h )i
(2.30)
8π
2
1
1
j
j
Γαtα = Γti = (ηi j + hi j )∂t hi j
, Γαzα = Γzi = (ηi j + hi j )∂z hi j ; i, j ∈ x, y
(2.31)
2
2
1∂
∂
1
∂2
β
⇒ Rtz = −∂z Γαtα − Γαzβ Γtα =
hi j hi j + hi j
hi j ,
hR(h2 )i = 0 (2.32)
4 ∂t ∂z
2 ∂t∂z
7
Mit (2.27) der TT-Eichung als Lösung für hi j erhalten wir einen Energiefluss in nk -Richtung
der Form ([29], S.969):
GW
Ttz
=
1 z
ω2 TT i j
ij
n h∂t hTT
hh h i
∂
h
i
=
z
ij
TT
32π
32π i j TT
GW
Tαβ
=
⇒
1 k
ij
n h∂α hTT
∂β hTT i
i
j
32π
(2.33)
GW
z ist der Energiefluss einer linearisierten flachen Welle in z-Richtung, mit defiTtz
= fGW
nierter Frequenz ω und + oder/und × Polarisation. Der Fluss der Energie fGW durch eine
Einheitsoberfläche senkrecht zur Ausbreitungsrichtung k der Welle, mit der Geschwindigkeit c=1 gesetzt, hat dieselbe Formel wie die Energiedichte GW :
k
fGW
=
ω2 a2k
= kGW
ij
, mit a2k = nk hhTT
ˆ Amplitude
i j hTT i=
(2.34)
32π
Die Luminosität oder auch Strahlungsleistung der Gravitationswelle (Energie/Zeit) im
Raumwinkel Ωra und die differentielle Luminosität berechnet sich demnach über:
LkGW
=r
2
k
dΩra fGW
dLkGW
dΩra
k
= r2 fGW
(2.35)
2.2.3. Quadrupol Formel oder totale Strahlungsleistung
Die Quadrupolformel der Strahlungsleistung von Gravitationswellen beschreibt die totale Energieverlustrate einer strahlenden Quelle.
Über die Berechung des Energieflusses in den verschiedenen Raumrichtungen kann abgeschätzt werden, wieviel Gesamtenergie eine strahlende Quelle pro Zeit verliert und
damit z.B. um wieviel der Radius und die Periodendauer, bei einem sich umkreisenden
binären System, pro Zeit schrumpft. Dazu wird hi j (2.21) in fGW (2.33) eingesetzt und
summiert. Für den Energiefluss in z-Richtung unter TT-Eichung ergibt sich dann:
ω2
1
ij
2
2
2
h2(Ïxx − Ï yy )2 + 8Ïxy
i
, hhTT
(2.36)
i j hTT i = h 2 (hxx − h yy ) + 2hxy i
2
32πr
In Voraussicht auf das Ergebnis, erhalten wir eine elegantere Form unter der Transformation auf ein reduziertes Quadrupolmoment, welches auch der Massen-QuadropulmomentTensor5 genannt wird łi j = Ii j − 13 δi j Ikk mit verschwindener Spur łkk = 0.
z
fGW
=
z
=
fGW
ω2
ij
i
2
h2łi j ł̈ − 4ł̈zi ł̈z − ł̈zz i
16πr2
(2.37)
und verallgemeinert:
ω2
ij
i
h2ł̈i j ł̈ − 4(ł̈mi nm )(ł̈l nl ) − (ł̈i j ni n j )2 i
(2.38)
16πr2
Die totale Strahlungsleistung berechnet sich nun über die Integration des gesamten Raumbereichs (vergleich [5]):
Z
dE
k
= Ltot
=
r2 d Ω~n fGW
nk
(2.39)
−
GW
dt
Z
Z
ω2
ij
i
m l
=
h8πł̈i j ł̈ − 4ł̈mi ł̈l ( dΩ~n n n ) −ł̈i j ł̈lm ( dΩ~n ni n j nm nl )i (2.40)
16π
|
{z
}
|
{z
}
k
fGW
nk =
4
ij
3 πδ
=
4π ij kl
il jk
ik jl
15 (δ δ +δ δ +δ δ )
ω2
1 ... ...i j
1 X ...
1 X ... 2
ij
hł̈i j ł̈ i = h ł i j ł i = h(
I ij −
I ii ) i
5
5
5
3
ij
(2.41)
i
R
R
ł gleicht mit łij = 13 ρ(t, x)(3xi x j − δij r2 )d3 x der Form eines Quadrupols mit Qij = ρ(t, x)(3xi x j − δij r2 )d3 x
und kann als solcher verstanden werden.
5 ij
8
ω2 kann nach (2.33) wieder durch die Ableitung nach der Zeit ersetzt werden.
dJ
Die Drehimpulsänderung dti lässt sich angelehnt an die Herleitung der Strahlungsleistung
Formel (2.41) ebenfalls über die Quadrupolmomente ausdrücken (siehe [5] und [21]):
... ...mk
dJi 2
= hi jk ł m j ł i
dt
5
(2.42)
2.3. Gravitationsstrahlung Binärer Sterne
Es hat sich gezeigt, dass die Näherungslösung aus (2.21) eine gute Approximation für sich
langsam bewegende Quellen darstellt [1]. In diesem Kapitel soll sie auf ein Binärsystem
von Sternen angewendet werden, die mit der Gesamtmasse M, der Periodendauer P in
xy-Ebene umeinander kreisen, siehe Abbildung 2.1, angelehnt an die Arbeiten von Peters
und Mathews[4] und [5].
Abbildung 2.1.: Orbit des Binärsystems
Die Bedingung der Näherungslösung für schwache Quellen und kleine Wellenlängen
kann über Keplers 3. Gesetz mit der Kreisfrequenz Ω = 2π/P abgeschätzt werden.
a3 =
M
MP2
=
Ω2 (2π)2
SI: a3SI = G · a3
(2.43)
a ist dabei die große Halbachse der Ellipse. Die Verbindungslinie ~r = ~r1 −~r2 beider Massen
umläuft diese Ellipse in der Periode P.
Nehmen wir der Einfachheit halber eine Kreisbahn mit Radius R an und für die Sternradi
R∗ , dann gilt:
R3 =
MP2
32π2
1/3
Mπ
M
8Ω2
⇒ R/λ = RΩ =
=
4P
(2.44)
, R∗ <R
(2.45)
Die Bedingung R∗ /λ 1 ist erfüllt für kleine Massen M mit Radien größer als der
Schwarzschildradius R∗ >2M, große Periodendauern und große Entfernungen R der Massen.
2.3.1. Berechnung der Gravitationswellen
Für die Berechnung der Gravitationswellen und ihrer Amplitude nach Formel (2.21) ist
unter R∗ R eine Näherung als Punktquellen möglich. Die Koordinaten der Umlaufbahnen der Körper sind:
xi (t) = ri (t) cos(Φ) , yi (t) = ri (t) sin(Φ)
, z(t) = 0
Im Schwerpunktsystem ergeben sich die einzelnen Trägheitsmomente nach:
m2
m1
~r = ~r1 − ~r2
~r
, ~r2 = − ~r
, ~r1 =
M
M
xx
2
2
2
2
I = m1 r1 cos (Φ) + m2 r2 cos (Φ) = µr2 cos2 (Φ)
(2.46)
(2.47)
(2.48)
I
xy
= µr cos(Φ) sin(Φ)
(2.49)
I
yy
= µr sin (Φ)
(2.50)
2
2
2
9
1 m2
ist die reduzierte Masse. Wobei über ~r(t) und Φ(t) über die Bewegungsgleichung
µ = mM
des Zweikörperproblems nach Kepler bestimmt sind:
r(t) =
Halbparameter p =
L2
2Gµ2 M
p
1−cos(Φ)ε
=
= a(1 − ε2 )
a(1−ε2 )
1−cos(Φ)ε
(2.51)
, Exzentrizität ε2 =
2EL2
G2 µ3 M2
+1
(2.52)
#1/2
"
(Ma(1 − ε2 ))1/2
L
A
M
Φ̇ = 2 = 2 2 =
(1 + ε cos Φ)2
= 3
µr
Pr
r2
a (1 − ε2 )3
(2.53)
√
L
Nach dem 2. Keplerschen Gesetz, mit A = 2µ
P = πa2 1 − ε2 der Ellipsenfläche und (2.43).
Die zweite Ableitung der Trägheitsmomente und die Wellenfunktion ergeben damit zu:
d2
Ixx =
dt2
d2
I yy =
dt2
d2
Ixy =
dt2
2µM 3
2
−
cos
Φ
ε
−
2
cos
Φ
+
1
a(1 − ε2 )
2µM 2
ε + cos Φ3 ε + ε cos Φ + 2 cos Φ2 − 1
2
a(1 − ε )
2µM d2
2
I
=
−
ε
cos
Φ
+
ε
+
2
cos
Φ
sin Φ
yx
dt2
a(1 − ε2 )
(2.54)
(2.55)
(2.56)


ε cos Φ2 + ε + 2 cos Φ sin Φ
0
 − cos Φ3 ε − 2 cos Φ2 + 1

4µM 
 ε cos Φ2 + ε + 2 cos Φ sin Φ ε2 + cos Φ3 ε + ε cos Φ + 2 cos Φ2 − 1 0
h̄i j = −


2
ra(1 − ε ) 

0
0
0
Für die Annahme ε = 0 von Kreisbewegungen vereinfacht sich die Gleichung zu r =
const. = R und Φ = Ωt. Als Lösung erhält man eine Wellengleichung einfacherer Form,
mit Berücksichtigung der Zeit r/c, die die Welle zur Erde benötigt:
2Ω2 µR2
h̄i j = −
r


cos(2Ω(t − r)) sin(2Ω(t − r)) 0
 sin(2Ω(t − r)) − cos(2Ω(t − r)) 0




0
0
0
SI: h̄
ij
SI
G2
= 4 · h̄i j
c
!
(2.57)
2.3.2. Energiefluss und Luminosität
Im Folgenden wird ein Einblick in die explizite Berechnung des Energieflusses, der differentiellen und totalen Luminositäten gegeben.
Für den speziellen Fall einer Kreisbahn nach Formel (2.34) lässt sich der Energiefluss
der Gravitationswelle in z-Richtung mit der Amplitude az = −
ω = 2Ω aus (2.57) errechnen:
z
fGW
2Ω2 µR2
ω2 a 2
=
=
32π
r
!2
2Ω2 µR2
r
(2Ω)2
32π
und der Frequenz
(2.58)
Für die Energieflüsse und Luminositäten in x- und y-Richtung muss die Amplitude
und Frequenz der Lösung (2.57) in der jeweiligen TT-Eichung genommen werden (siehe
Kapitel 2.2.1). Für die x-Richtung erhält man z.B. eine um den Faktor 2 kleinere Amplitude:
Ω2 µR2
ax =
r
10
,
x
fGW
Ω2 µR2
=
r
!2
(2Ω)2
32π
(2.59)
Die differentielle Luminosität beider Polarisationen ergibt sich dann mit (2.43) zu:
!
µ 2 dLGW
4
πM 10/3
1
z
(2.60)
= 2r2 fGW
= (Ω3 µR2 )2 = 42/3
dΩra z
π
π
M
P
!
dLGW
1 2/3 µ 2 πM 10/3
1
x
(Ω3 µR2 )2 =
4
(2.61)
= r2 fGW
=
dΩra x
4π
2π
M
P
Für die totale Luminosität, also die gesamte Leistungsabstrahlung, kann man nun entweder die differentiellen Luminositäten in x, y, z-Richtung aufaddieren oder nach Formel
(2.41) berechnen:
dE
1 ... ...i j
32
128 2/3 µ 2 πM 10/3
−
= LGW = h ł i j ł i = µ2 R4 Ω6 =
4
(2.62)
dt
5
5
5
M
P
Bewegen sich die Körper auf Ellipsenbahnen, gilt nach Formel (2.41) für die Gesamtstrahlungsleistung über die dritten Ableitungen:
d3
Ixx = β cos Φ sin Φ (3ε cos Φ + 4)
dt3
d3
2
I
=
−β
sin
Φ
3ε
cos
Φ
+
ε
+
4
cos
Φ
yy
dt3
d3
d3
I
=
Ixy = −β −ε cos Φ + 3 cos Φ3 ε − 2 + 4 cos Φ2
yx
3
3
dt
dt
(2.63)
(2.64)
(2.65)
3/2
M
2
β = 2µ (a(1−ε
2 ))5/2 (1 + e cos Φ)
dE
dt
(2.66)
µ2 M3
8
4
2
2
2
12(1
+
ε
cos
φ)
−
ε
sin
Φ
i
h(1
+
ε
cos
Φ)
15 a5 (1 − ε2 )5
Z2π
µ2 M3
8
dt
1
4
2
2
2
dΦ
(1
+
ε
cos
Φ)
12(1
+
ε
cos
φ)
+
ε
sin
Φ
15 a5 (1 − ε2 )5
dΦ 2π
0
!
!
µ2 M3
G4 dE
73 2 37 4
dE
32
= 5 ·
1+ ε + ε
SI:
5 a5 (1 − ε2 )7/2
24
96
dt SI
dt
c
=
=
=
(2.67)
(2.68)
(2.69)
An der Formel erkennt man, dass die Strahlungsleistung rapide mit der Größe der Exzentrizität ansteigt.
2.3.3. Energieverlust durch Strahlung
Durch die Gravitationsstrahlung verliert das kreisende System Energie, im Fall einer Ellipsenbahn besonders am Perihel, da dort die Krümmung und damit die Bremsverluste
auf die Körper am stärksten ist. Daher nimmt die Exzentrizität, sowie der relative Abstand
der Massen zueinander, und damit auch die Periodendauer, ab. Die damit einhergehende
Zuhnahme der Frequenz wird auch als "Zwitschern" der Binäre bezeichnet.
Im Folgenden werden besagte variable Größen und die mit ihnen einhergehende Kollapszeit berechnet.
Die Geschwindigkeit der Annäherung ṙ = ȧ beider Massen ist gegeben über:
Mµ
a = − 2E
da
dt
=
2a2
dE
µM dt
=
µM2
− 64
5 a3 (1−ε2 )7/2
Ṗ
P
=
3 ȧ
2a
(2.70)
da
2 + 37 ε4
ε
SI:
1 + 73
24
96
dt SI =
µM2
73 2
37 4
= 96
5 a4 (1−ε2 )7/2 1 + 24 ε + 96 ε
G3
da
c5 dt
(2.71)
(2.72)
11
Über die Drehimpulsänderung nach Gleichung (2.42) und mit (2.52) kann die Abnahme
der Exzentrizität bestimmt werden:
... ...mk
dJz 2
32 µ2 M5/2
7 2
= hz jk ł m j ł i = −
ε
1
+
dt
5
5 a7/2 (1 − ε2 )2
4
dJz
SI:
dt
!
SI
G7/2 dJz
= 5
c dt
J2 = µ2 Ma(1 − ε2 )
!
!
µM2
dε
dε
304
121 2
G3 dε
SI:
=−
ε 1+
ε
= 5
dt
15 a4 (1 − ε2 )5/2
304
dt SI
c dt
!
(2.73)
(2.74)
(2.75)
Die bisher aufgezeigten Größen sind mindestens quadratischer Ordnung in ε ab, d.h. die
Abnahme von a, P, Jz , ε verläuft umso schneller, je größer die Exzentrizität der Bahn ist.
Für eine Kreisbahn ergibt sich mit (2.62) eine Bahnänderung und Periodendaueränderung
von:
da
64 µM2
=−
dt
5 a3
Ṗ 3 ȧ
96
=
= − 4 µM2
P 2a
5a
(2.76)
Um die Zeit zu bestimmen, bis zu der die zwei Massen bei a = 0 aufeinanderstoßen, die
Kollapszeit oder Lebenszeit τGW , folgt aus (2.76):
a3 da
dt = −β
⇒
a(t) = a0 (1 −
τGWc (a0 ) =
a40
4β
4β 1/4
t)
a40
,β =
= a0 (1 − t/τGW )1/4
64
2
5 µM
(2.77)
(2.78)
Bei einer elliptischen Bahn bedarf es die Integration von (2.71) und (2.75) [5]:
da
dt
= −β(ε(t))a3
τGW '
768
425 τGWc (1
⇒
− ε20 )7/2
R
R
dt
a3 da = − β(ε(t)) dε
dε
5
SI: (τGW )SI = Gc 3 τGW
(2.79)
(2.80)
2.4. Gravitationswellen von binären Schwarzen Löchern
Im vorigen Kapitel ist es gelungen, Gravitationswellen von binären Sternsystemen akkurat zu beschreiben. Darunter fallen Massekörper, die eine große Distanz zueinander
haben im Vergleich zu ihrer Größe, das heißt, ein schwaches Gravitationsfeld besitzen
("weak-field") und mit kleinen Bahngeschwindigkeiten in nichtrelativistischen Bewegungen ("slow motion") umeinander kreisen.
Bei Gravitationswellen von Neutronensternen in kürzerem Abstand und vorallem von
binären Schwarzen Löchern sind stärkere Gravitationsfelder und höhere Geschwindigkeiten vorhanden.
Das Post-Newton Verfahren, kurz PN, stellt eine Möglichkeit dar, auch diese Systeme,
zumindest in ihrer inspiral-Phase, zu beschreiben. Sie entwickelt und erweitert dabei die
linearen Einsteingleichungen, wie sie in den Kapiteln 2.1 bis 2.3 beschrieben werden in
Ordnungen der Bahn- zur Lichtgeschwindigkeit ∼ (v/c)2n oder der Größe des Körpers im
Verhältnis zum Abstand.
Grenzen des PN-Verfahrens zur Beschreibung der inspiral-Phase bis zur merger-Phase des
Binärsasystems sind dann gegeben, wenn die Bahn beider Körper instabil wird und/oder
Massenübertragung stattfindet.
12
2.5. Post-Newton Verfahren
Die Einsteinschen Feldgleichungen beinhalten sechs unabhängige nichtlineare Gleichungen. Exakte Lösungen sind deswegen nur unter bestimmten Symmetriebedingungen
erreichbar, zu ihnen gehören unter anderem die Schwarzschildlösung oder die RobertsonWalker-Metrik.
Unter diesen Voraussetzungen ist man gezwungen, genäherte Lösungen der Feldgleichungen zu suchen. Darunter fallen auch die bereits erwähnte und verwendete "weakfield" Approximation, die zu einer Linearisierung der Einsteinschen Feldgleichungen
führt und die "slow-motion" Approximation, welche zusätzlich kleine Geschwindigkeiten der Materieteilchen (v c) voraussetzt. And beide knüpft die "post-Newtonian"
Dynamik an. Sie entwickelt die Gleichungen, wie vorher schon erwähnt, nach Potenzen
von (v/c)2n . Wobei die Rechnung mit dem Grad der Näherung schnell sehr kompliziert
wird [14].
In der allgemeinen Relativitätstheorie ist das Post-Newtonian Verfahren eine der wichtigsten Näherungsverfahren [15]. Bei der akkuraten Beschreibung von ineinanderlaufenden
kompakten Binärsystemen (insprial-Phase) hat sich gezeigt, dass man mindestens PNTherme dritter Ordnung mitnehmen muss [15].
Betrachten wir zunächst die Erweiterung der linearisierte Einsteingleichung (2.10). Diese
kann unter Erhaltung der Divergenzfreiheit verallgemeinert geschrieben werden. Dies ist
nötig um alle Terme höherer Ordnungen in den Einsteingleichungen mitzunehmen.
h̄αβ = −16π(Tαβ + Λαβ )
| {z }
(2.81)
ταβ
ταβ beschreibt nun den Quellterm, zusammengesetzt aus dem Energie-Impulstensor der
Quelle und einem Energie-Impuls Pseodotensor Λαβ , der alle nicht-Linearitäten in mindestens quadratischer Ordnung von h̄ enthält und sozusagen die Verteilung von gravitativer Feldenergie darstellt.
1
1
16πΛµν = − ∂µ h̄αβ ∂ν h̄αβ − h̄αβ (∂µ ∂ν h̄αβ + ∂α ∂β h̄µν − ∂ν ∂β h̄αµ − ∂µ ∂β h̄αν ) + h̄∂µ ∂ν h̄
2
2
(2.82)
+ ∂α h̄∂α h̄µν − · · · + O(h̄3 )
(siehe [16])
Übergehend in die TT-Eichung, ist die Lösung dieser Gleichung, wie in (2.15) schon
beschrieben:
Z αβ
τTT (t − |~
x−~
x0 |, ~
x0 ) 3 0
αβ
h̄TT (t, ~
x) = 4
d x
(2.83)
|~
x−~
x0 |
Der weitere Verlauf beinhaltet die Entwicklung der slow-motion Approximation und der
weak-field Approximation und ist angelehnt an Epstein und Wagoner [16], sowie Poisson
[11].
2.5.1. slow-motion
An Gleichung (2.83) kann, wie bekannt (nur in Termen höherer Ordnung), eine Multipolentwicklung durchgeführt werden, indem Terme in τ entwickelt werden mit ~
x −~
x0 ≈ ~
x ≡ ~r
13
und n = xi /r:
1 ∂2 i j
∂ ij
τ |~
x−~
x0 | +
τ |~
x−~
x0 |2 . . .
2 ∂t2
∂t
Z
∞
4 X 1 ∂m
ij
τTT (t − r, ~
x0 )(n · x0 )m d3 x0
m
r
m! ∂t
m=0
"
#
Z
2
∂ i j k ∂2 i j k1 k2
ij
3
d x 2τTT − 2 τTT x + 2 τTT x x − . . .
r
∂t
∂t
τi j (t − |~
x−~
x0 |, ~
x 0 ) = τi j −
ij
h̄TT (t, ~
x) =
=
(2.84)
(2.85)
Diese Entwicklung bildet den Kern des PN-Verfahrens. Hieraus kann, wie wir später
in (2.96) und (2.97) sehen werden, hαβ in Termen des Potentials und zusammen mit
(2.82) auch die Metrik gαβ entwickelt werden, aus der sich die Geschwindigkeiten, der
Energie-Impulstensor, Trägheitsmomente und alle relevanten weiteren Terme in höheren
Ordungen schreiben lassen.
Mit weiteren Identitäten, die aus dem Erhaltungssatz (2.16) resultieren (vgl. auch (2.18)
und (2.19)), kann die Wellengleichung wieder über bekannte reduzierte Trägheitsmomente I ausgedrückt werden, wobei die Integrale über die Oberflächen verschwinden:
∂α ταβ = 0 ⇒ ∂t τtt = 0
1 ∂2 tt i j
∂
1 ∂ ∂ kl i j
τi j =
(τ x x ) + (τki x j + τk j xi ) −
(τ x x )
2
2 ∂t
2 ∂k ∂l
∂k
1 ∂ ti j k
1 ∂ li j k
τi j x k =
(τ x x + τt j xi xk − τtk xi x j ) +
(τ x x + τi j xl xk − τlk xi x j )
2 ∂t
2 ∂l
Die reduzierten Trägheitsmomente ergeben sich zu:
Z
ij
I (t) =
τtt (t, x)xi x j d3 x
Z h
i
i jk
I (t) =
τti (t, x)x j xk + τt j (t, x)xi xk − τtk (t, x)xi x j d3 x
Z
2 dm−2
i jk1 ...km
τi j (t, x)xk1 xk2 . . . xkm d3 x
I
=
m! dtm−2
(2.86)
(2.87)
(2.88)
(2.89)
(2.90)
,m ≥ 2
(2.91)
Der Ausdruck in (2.85) erhält dann die Form:
ij
h̄TT (t, ~
x)
Z
∞
h
i
2 ∂2 X
2 ∂2
i jk1 ...km
3 0 ij
i jk
i jk1 k2
=
d
x
I
−
I
+
I
.
.
.
n
n
.
.
.
n
I
(t
−
r)
=
k
k
k
m tt
2
1
r ∂t2
r ∂t2
m=0
Z
(2.92)
2 ∂2
3 0 tt
0 0i 0 j
ti
j k
tj
i k
tk
i j
~
=
(
d
x
τ
(t,
x
)
x
x
−
τ
(t,
x)x
x
+
τ
(t,
x)x
x
−
τ
(t,
x)x
x
r ∂t2
ij
+ τTT (t, ~
x0 )xk1 xk2 − . . . )
2.5.2. weak-field
In dieser Entwicklung wird die Materie als einen perfekte Flüssigkeit angenommen,
beschrieben durch den Energie-Impuls-Tensor:
Tµν = (ρ + p)uµ uν + pgµν
(2.93)
Dabei stellt uµ die Vierergeschwindigkeit, p die Energieimpulsdichte und ρ die Energiedichte dar. Diese Annahme trifft auf die meisten astrophysikalischen Körper zu, die von
Interesse sind.
14
Für die Post-Newton-Näherung wird in Einheiten des dimensionslosen Parameters entwickelt:
2 ∝ U, v2 , p/ρ
(2.94)
Ein Term der Ordnung 2 entsprich der Newtonian oder 0-PN-Entwicklung, ein Term
von 3 der 21 -PN und einer von 4 der 1-PN-Entwicklung usw.
Um den Energie-Impuls-Tensor Tαβ in höheren Ordnungen zu beschreiben, ist es nötig,
wie vorher schon angedeutet, vorerst hαβ zu entwickeln und damit die Vierergeschwindigkeit uα in Termen höherer Ordnung herzuleiten.
Beschreiben wir hαβ in Einheiten des Newtonschen Potentials U und der Potentiale χ und
V i , mit ∆U = −4πρ, ∆χ = 2U und ∆V i = −4πρvi , entsteht folgender Ausdruck unter einer
leicht anderen Schreibweise von (2.84) und (2.85):
Z
Z 0i
ρ(t, ~
x0 ) 3 0
τ (t, ~
x0 ) 3 0
0
0 3 0
i
~
~
⇒ U=
d
x
,
χ
=
ρ(t,
x
)|~
x
−
x
|d
x
,
V
=
d x
(2.95)
|~
x−~
x0 |
|~
x−~
x0 |
#
"Z αβ
Z
Z
τ (t, ~
x0 ) 3 0 ∂
1 ∂2
αβ
0
0 3 0
αβ
0 3 0
αβ
τ (t, ~
x )|~
x−~
x |d x . . .
d x −
τ (t, ~
x )d x +
h (t, ~
x) = 4
2 ∂t2
∂t
|~
x−~
x0 |
∂2
htt (t, ~
x) = 4U + 2 2 χ + O(5 ) = 4U + O(4 )
(2.96)
∂t
hti (t, ~
x) = 4V i + O(5 ) = O(3 )
, hi j (t, ~
x) = O(4 )
(2.97)
Z
Der zweite Therm in (2.96) verschwindet unter dem Erhaltungssatz (2.86). Bei der Wahl
der Lorentzeichung in (2.9), kann hαβ noch zusätzlich in weitere Terme (üblich in Ordnungen von G, der Gravitationskonstanten) entwickelt werden, die alle die Eichbedingung
und Divergenzfreiheit erfüllen [11]. Hier soll jedoch an der ursprünglichen Wahl festgehalten werden. Damit kann die Metrik gαβ mit abgeschätzt werden zu:
gαβ = ηαβ + h̄αβ = ηαβ + hαβ − 21 ηαβ h + O(h2 )
gtt = −1 + 2U +
O(4 )
, gti =
O(3 )
, gi j =
(2.98)
O(4 )
(2.99)
Die Vierergeschwindigkeit folgt dann aus der Identität:
dxα dxβ
= −gαβ vα vβ = 1 − v2 − 2U + O(4 )
dt dt
r
−1
dxα dxβ 
1
dτ 
t
 = 1 + v2 + U + O(4 )
u =
=  −gαβ
dt 
dt dt 
2
r
−1
α dxβ 

dx
1 2

i
i
i
4



u =  −gαβ
 v = 1 + v + U v + O( )
dt dt 
2
−gαβ
(2.100)
(2.101)
,
dτ
dτ dxi ui
= i
= i (2.102)
dt
dx dt
v
mit dτ als Eigenzeit der Materieteilchen.
Unter Verwendung des Potentials U, der Energiedichte ρ und der Geschwindigkeit v
erhält der Energie-Impuls-Tensor folgende Ausdrücke:
T00 = ρ 1 + v2 + 2U + O(4 )
Ti0 = ρ 1 + v2 + 2U vi + pvi + O(5 )
Ti j = ρ 1 + v2 + 2U vi v j + p[vi v j + (1 − 2U)δi j ] + O(4 )
(2.103)
(2.104)
(2.105)
15
Über die Gleichung (2.82) kann ebenso der Impuls-Energie Pseudotensor Λαβ hergeleitet
werden. Damit lässt sich dann der Quellterm ταβ über Tαβ + Λαβ bestimmen:
16πΛµν = −4∂µ U∂ν U − 8U∂µ ∂ν U + (8U∇2 U + 6∇U∇U)ηµν . . .
(2.106)
3
τtt = ρ 1 + v2 + 4U −
∂k U∂k U + O(4 )
(2.107)
8π
1
1
3
∂t U∂i U +
∂k U∂i Vk −
Vk ∂k ∂i U − 2ρVi + O(5 )(2.108)
τti = ρ 1 + v2 + 4U vi + pvi +
4π
2π
2π
1
1
3
τi j = ρvi v j −
∂i U∂ j U −
U∂i ∂ j U + δi j p +
∂k U∂k U − 2ρU + O(4 )
(2.109)
4π
2π
8π
Die folgende Darstellung von ρ ermöglicht eine einfachere Schreibweise für nachfolgende
Rechnungen:
√
1
ρ∗ ≡ ρ −gut = ρ 1 + v2 + 3U + O(4 )
2
,
√
1
−g = 1 − h + O(4 ) = 1 + 2U + O(4 )
2
(2.110)
2.6. Gravitationswellen in der Post-Newtonian Entwicklung
Die Gravitationswellen von binären Schwarzen Löchern und/oder Neutronensternen in
der inspiral-Phase werden in diesem Kapitel nur über die 1PN-Entwicklung beschrieben.
Der Grund liegt darin, dass die 2. bis 3. PN-Ordnung Terme über mehrere Seiten beinhaltet und diese teilweise numerisch berechnet werden. Hier soll dagegen nur eine kurze
Einführung in die PN-Entwicklung gegeben werden, die auf dem Paper von Will und
Wagoner basiert [17].
Wie im vorherigen Kapitel 2.5 schon ersichtlich, werden neue Erweiterungen im PostNewtonian Verfahren an den folgenden Größen der Newtonschen Formulierung ergänzt:
Metrik, Vierergeschwindigkeit, Energie-Impuls-Tensor, Masse, Bewegungsgleichungen
der Massen, die allgemeine Form der Wellengleichung.
Bis auf deren Herleitung verlaufen alle weiteren Berechnungen geradlinig nach dem
bekannten Schema: Aus der Vierergeschwindigkeit und der Masse folgt der EnergieImpuls-Tensor (EIT), für die Beschreibung der Quelle. Mit dem EI-Pseudotensor, für die
Beschreibung der Felder, folgt der totale EIT. Damit können die reduzierten Trägheitsmomente hergeleitet werden. Deren explizite Ausdrücke und deren zeitliche Ableitung,
folgend aus den Bewegungsgleichungen, erzeugen die Wellengleichung und die Luminosität.
Aus den nachfolgenden Gleichungen können sich Bahnverläufe mit starker Drehung des
Perihels ergeben, siehe Abbildung 2.2, nach [28].
Abbildung 2.2.: Orbit des Binärsystems [28]
16
2.6.1. Berechnung der PN-Gravitationswellen
Für ein Zweikörperproblem werden wieder die bekannten Beziehungen aus Kapitel 2.3
verwendet:
M = m1 + m2
µ=
m1 m2
M
r = r1 − r2
m = m1 − m2
(2.111)
Das externe Potential U ist gegeben über U = m1rm2 .
Der Schwerpunkt des Systems in der PN-Formulierung ist nunmehr das Zentrum der
gravitativen Felder und wird über die erweiterten Gravitationsmassen m∗A der Körper
A=1,2 (siehe (2.110)) festgelegt:
1
1
1 mA mB
1
m∗A = mA 1 + v2 − U + O(4 ) = mA + mA v2 −
2
2
2
2 r
m∗1 r1 + m∗2 r2
0=R=
m∗1 + m∗2
µm 2 M µm 2 M m2
m1
+
v
−
+
v −
r1 =
r
r
=
−
r
2
M 2M2
r
M 2M2
r
(2.112)
(2.113)
(2.114)
ij
Im vorigen Kapitel 2.5 wurde die Gravitationswellenfunktion hTT in der PN-Entwicklung
allgemein hergeleitet (2.92). Um diese für ein binäres System zu berechnen, muss zunächst die explizite Form der reduzierten Trägheitsmomente Ii jk... und damit des totalen
Energie-Impuls Tensors ταβ gefunden werden.
In dieser PN-Entwicklung werden die Körper als Punktmassen angenommen, d.h. alle Effekte, die aus der endlichen Größe der Körper resultieren, werden vernachlässigt.
Die Körper sind nichtrotierende, sphärisch symmetrische perfekte Fluide im statischen
Gleichgewicht.
Die nunmehr relativistische Vierergeschwindigkeit der Punktmassen mA , die einer Weltlinie folgen, kann in ihrer Eigenzeit beschrieben werden. Der Energie-Impulstensor mehrerer Punktmassen, muss also leicht anders behandelt werden als in (2.103) bis (2.105)
gezeigt. Er stellt die Summe der einzelnen Energie-Impulstensoren dar [11] und ist somit:
T
αβ
=
X
Z
m∗A
β
uαA uA
A
δ3 (xt − xtA (t))δ3 (x − xA (t))
dτ
√
−g
,
dτ t
dx
dxt
(2.115)
δ3 (x − xA (t))
, vα = uα /ut
(2.116)
√
−g
A
X
Xm
√
1
B 3
Ttt =
m∗A (1 + v2A −
)δ (x − xA (t))
, [ut , −g : (2.107), (2.110)] (2.117)
2
rAB
A
A,B
X
X
j
Tti =
m∗A viA δ3 (x − xA (t))
Ti j =
m∗A viA vA δ3 (x − xA (t))
(2.118)
Tαβ =
X
β
m∗A vαA vA ut
A
A
Daheraus und über Formel (2.106) bis (2.109) lassen sich die effektiven Energie-Impuls
Tensoren ταβ bestimmen und durch diese ergeben sich die Momente Ii jk... , (2.89) bis (2.91):
Ii j =
P
A
Xm
B
)
rAB
A,B
| {z }
j
m∗A xiA xA (1 + 12 v2A −
Ii jk =
P
A
h
i
j
j
j
m∗A viA xA xkA + vA xiA xkA − vkA xiA xA (2.119)
U
Ii jkl
=
P
A
j
m∗A viA vA xkA xlA −
1
4π
R
U∂i ∂ j UxkA xlA d3 x
(2.120)
17
Die Wellengleichung erhält damit nach (2.92) unter Betrachtung eines Zweikörperproblems die vorläufige Form:
ij
h̄TT =
2µ ∂2 i j µ
µ M m 1
i j
j i
i j
(r
r
1
+
1
−
3
nr(v
r
+
v
r
)
−
nvr
r
Ẽ
+
1
−
6
−
r ∂t2
M
3 !
M r
M
(2.121)
ir j
µ
Mr
1
(nr)2 vi v j −
)
+ 1−3
M
3 r3
Mit n = rr und Ẽ = E/µ als negative Bahnbindungsenergie pro reduzierter Masse (siehe
(2.126)).
Um die zeitlichen Ableitungen der Trägheitsmomente zu generieren, die für die Bestimij
mung von h̄TT und der Luminosität LGW nötig sind, müssen wie zuvor in Kapitel 2.3 die
Bewegungsgleichungen aufgestellt werden.
In der PN-Entwicklung erhält die Formel für r(Φ) und Φ̇, aus dem klassischen keplerschen Zweikörperproblem, eine Erweiterung. Diese Erweiterung der Bewegungsgleichung wird über die Lagrangefunktion (siehe [11]), hergeleitet, die in die Euler-LagrangeGleichungen eingesetzt wird. Hierzu wird eine Entwicklung in höhere Ordnung von Formel (2.100) und damit von g (2.99) und h (2.96)-(2.97) benötigt, die hier aber nicht explizit
berechnet werden soll.
q
∂L
∂L
L = − −gαβ vα vβ = −1 + 21 v2 + U + 81 v4 + 32 Uv2 − 21 U2 . . . , dtd ∂v
(2.122)
α − ∂xα = 0
1 + 12 v2 + 3U + O(4 ) aα = ∂α U 1 + 32 v2 − U − vα vβ aβ − 3vα vβ ∂β U − 3vα U̇ . . . (2.123)
α
Nachdem der Faktor mit aα = dvdt auf die rechte Seite gebracht wurde, über die Substitution aα = ∂α U + O(2 ), erhält man eine Formel für die Beschleunigung des jeweiligen
Körpers in Einheiten des externen Potentials.
d2 r
dt2
aα = ∂α U 1 + v2 − 4U − 4vα vβ ∂β U − 3vα U̇ . . .
2 µ
µ Mrv
µ M
2 − 3µ vr
v
+
1
+
3
+
4
−
2
= a = − Mr
1
−
4
+
2
v
3
M
r
M
2M
r
M
r
r3
(2.124)
(2.125)
Aus der Lagrangefunktion können ebenfalls die Gesamtenergie E = v ∂L
− L und der
∂v
∂L
Drehimpuls J = r× ∂v pro reduzierter Masse abgeleitet werden:
E=
E
µ
= 12 v2 −
M
r
2
µ
µ
µ vr 2
+ O(4 )
+ 38 v4 (1 − 3 M ) + 12 Mr + 3v2 M
2r (1 + 3M ) + 2r r
h
i
µ
µ
J
J̃ = µ = |r×v| 1 + 12 v2 1 − 3 M + Mr 3 − M
(2.126)
(2.127)
Wie vorher bereits erwähnt, wird eine Erweiterung der klassischen Keplergleichungen
hergeleitet und die Formel (2.51) und (2.53) mit höheren PN-Ordnungen ergänzt.
Eine explizite Herleitung der Gleichung bezieht sich auf Arbeiten von Damour und
Deruelle [18] (siehe auch Portilla und Villareal [19]), in denen Φ̇ über den Drehimpuls J,
und ṙ über in die Gesamtenergie E mit v2 = ṙ2 +r2 Φ̇2 berechnet wird. Durch Transformation
und Intergration erhält man eine Gleichung für r, die abhängig von zwei Exzentrizitäten
εt , εr , einer großen Halbachse ar und verschobenem Winkel Φ ist.
Will und Wagoner [17] dagegen erhalten Formeln für r und Φ̇ in Abhängigkeit von
den klassischen Keplerparametern ε, p, die für uns greiflicher sind, jedoch unter der
PN-Theorie eine andere Bedeutung bekommen. Sie gelangen ausschließlich durch die
Beschleunigung a (2.125) und Erweiterung der keplerschen Ausdrücke von r und Φ̇ ans
Ergebnis, welches hier kurz skizziert wird.
18
Angelehnt an (2.46), (2.51) und (2.53) gilt:
r = r(cos Φex + sin Φe y )
r=
p
1 + ε cos Φ
p
dΦ
= |r×v| = Mp(1 + δh)
dt
s
i
Mh
dr dΦ dr
v=
=
=
− sin Φex + (ε + cos Φ)e y + δv
dt
dt dΦ
p
r2
(2.128)
(2.129)
(2.130)
Setzt man in die Indentität dtd r2 dΦ
dt = |r×a| (2.125) für a ein und substituiert Formel (2.130)
in (2.125), können δh und δv über Integration bestimmt werden.
h
i
p
µ
r2 dΦ
Mp 1 − mε
(2.131)
p 4 − 2 M cos Φ
dt =
s
µ
M
M
v=
[− sin Φex + (ε + cos Φ)e y + [ex (−3εΦ + 3 −
sin Φ
p
p
M
!
µ
µ 2
21µ 2
1
(2.132)
ε sin Φ + 1 − 2
ε sin 2Φ −
ε sin 3Φ)
− 1+
8M
2
M
8M
!
µ
31µ 2
µ
µ 2
1
ε cos Φ − 1 − 2
ε cos 3Φ)]]
+ e y (− 3 −
cos Φ − 3 −
ε cos 2Φ +
M
8M
2
M
8M
Eine Gleichung für r erhält man dann über Substituieren von (2.131) und (2.132) in die
Beziehung (2.133) und anschließender Intergration:
−1
d −1
rv
2 dΦ
r
=
−
r
(2.133)
r
dΦ
dt
!
!
µ
9µ 2 1
2µ
p
M
=1 + ε cos Φ + [− 3 −
ε +
7−
ε cos Φ
+ 1+
r
p
M
4M
2
M
(2.134)
µ 2
+ 3εΦ sin Φ −
ε cos 2Φ]
4M
Setzt man diesen Ausdruck in die reduzierten Trägheitsmomente (2.119) und (2.120) ein,
ergibt sich nach zweifacher Differentiation über die Zeit die Formel der Gravitationswellen:
!
!
!!
2µ
Mri r j
m i j
Mri r j
m
ri r j
ij
i j
i j
j i
hTT = [2 v v − 3
3(nr) 3 v r + v r − ṙ
− nv 2v v − 3
+
r
M
r
r
r
r
!
(2.135)
i
j
µ M
rr
M
1
i j
2
i j
j i ṙ
2v v − 2 2Ẽ + 3 − 3ṙ − 2 v r + v r ] . . .
+ 1−6
3
M r
r
r
r
2.6.2. Berechnung der PN-Energiestrahlung
Die erweiterten Trägheitsmomente mit mehreren Komponenten erlauben keine Anwen... ...i j
dung der üblichen Formel für die Luminosität LGW = 15 h ł i j ł i (2.41) aus Kapitel 2.2.3.
Einige Schritte in der Herleitung zurück gegangen, finden wir nach Gleichung (2.33) und
ij
(2.39) einen Ausdruck über die zeitliche Ableitung von hTT :
LGW
LGW
r2
=
32π
Z
h
ij
ij
∂t
∂t
∂hTT ∂hTT
idΩ
µ
µ M
8 µ2 M2
M
2
2
=
[(12v − 11ṙ ) + 24 Ẽ +
14 Ẽ − 6 − 9
15 r4
r
M
M r
µ
µ M 3
µ 2
+ ṙ 2 33 − 43
Ẽ + 3 8 + 21
+ 20 − 3
ṙ . . . ]
M
M r
2
M
(2.136)
(2.137)
19
µ2 M2
8
Man erkennt, dass diese Formel der Luminosität eine einfache Erweiterung von 15
(12v2 −
r4
11ṙ2 ), der klassischen Formel aus (2.69) ist, wenn man v und r über (2.132) und (2.134)
umformt.
Für Kreisbewegungen mit ε = 0 vereinfacht sich die Gleichung:
LGW
"
!#
5µ
1024 µ 2 5
13
=
|Ẽ| 1 + |Ẽ|
−
5
M
168 M
(2.138)
Für Schwarze Löcher, die nahe des Gültigkeitsbereiches rotieren und in 3ter PN-Näherung
beschrieben werden, spielt zusätzlich der Eigendrehimpuls oder Spin der Körper S1 , S2
eine wichtige Rolle. Spin-Spin oder Spin-Orbi-Kopplungen beeinflussen die Bewegungsgleichungen und Strahlungsfelder [15].
2.7. Größenordnungen und Messgrößen
In diesem Abschnitt werden diskrete Rechnungen zu den Kenngrößen von Gravitationswellen binärer Systeme vorgestellt.
Die dabei verwendeten Messwerte aus Tabelle 2.1 wurden größtenteils dem ATMF-Pulsar
Catalogue [27] sowie [26] entnommen. Es ist zu beachten, dass für die Massen der letzten
vier Sternsysteme nur Werte mit großem Variationsbereich vorliegen und hier nur grobe
Abschätzungen verwendet wurden.
Name
r [kpc]
PSR 1913+16
PSR 1534+12
PSR J1811-1736
PSR B1957+20
7,13
0,68
5,93
1,53
PSR J1141-6545
B2303+46
3,20
4,35
Erde-Sonne
1E-18
mp [M]
mc [M]
0,6171
0,2737
0,8280
0,0000
1,44
1,32
2,29
1,40
1,39
1,36
0,28
0,02
1,7E+33
1,8E+33
1,3E+31
1,6E+35
Weißer Zwerg - Pulsar Systeme
0,39390
0,1977 0,1719
1,06637
12,3395 0,6584
1,30
1,34
1,00
1,30
2,8E+33
1,9E+31
1,00
3,0028E-06
3,8E+19
88092,0
31556952,0
0,0000
LEM [
Tabelle 2.1.: Parameter ausgewählter Sternsysteme nach [9], [26] und [27]; r: Distanz des
Sternsystems zu Erde; Prot : Periodendauer der Eigenrotation des Pulsars;
Porb : Periodendauer des Schwerpunktsystems; mp : Masse des Pulsars, mc :
Masse des Begleitsterns (companion);LEM : elektromagnetische Luminosität
des Pulsars
Die Berechnungen zu den Parametern der Gravitationswellen, Tabelle 2.2 und 2.3,
wurden mit den Gleichungen aus Kapitel 2.3 durchgeführt. Für die Bestimmung des
zeitlichen Verlaufs der Periodendauer Ṗorb wurde, über Gleichung (2.72), die nachfolgende
Gleichung hergeleitet.
192 · π G5/3 2π 5/3 µM2/3
73 2 37 4
dP
=−
1+ ε + ε
dt
5
P
24
96
c5
(1 − ε2 )7/2
20
erg
s ]
ε
Prot [s]
Porb [s]
Radio-Pulsare
0,05903
27907,0
0,03790
36351,7
0,10418
67605,0
0,00161
0,3820
(2.139)
Name
PSR 1913+16
PSR 1534+12
PSR J1811-1736
PSR B1957+20
PSR J1141-6545
B2303+46
Erde-Sonne
A ·10−20
0,0039
0,0183
0,0019
0,2919
8,9424
1,0896
8,75604E+09
f ·10−4 [Hz]
4,5029
3,4569
1,8588
328991,3
635786,0
10183,8
0,0040
LGW [erg/s]
7,1268E+23
3,3629E+22
6,4731E+22
3,0442E+35
5,1792E+39
1,2677E+35
1,8009E+01
dJ/dt [kg m2 /s2 ]
-3,8713E+11
-5,3103E+10
-2,7581E+10
-6,1730E+18
-5,0120E+22
-2,6048E+19
-3,0171E-08
Tabelle 2.2.: Berechnete Parameter der Gravitationswellen; A: Amplitude der Gravitationswelle parallel zur Bahn-Ebene, f: Frequenz der Gravitationswelle bei
angenommener zirkularer Bahn
Name
PSR 1913+16
PSR 1534+12
PSR J1811-1736
PSR B1957+20
PSR J1141-6545
B2303+46
Erde-Sonne
dPorb /dt [s/s]
-2,4027E-12
-1,9264E-13
-2,8793E-12
-4,5605E-07
-6,5456E-05
-1,2299E-06
-3,5077E-24
a ·106 [km]
1,94917
2,28352
3,40544
0,00089
0,00067
0,01106
149,60294
da/dt [m/yr]
-3,5306
-0,2546
-3,0513
-2,2266E+07
-4,6749E+09
-2,3185E+07
-3,4984E-13
τGW [Gyr ]
-0,5523
-2,2424
-1,6470
-1,7985E-11
-7,0691E-14
-5,1507E-10
-1,0691E+14
Tabelle 2.3.: Berechnete Parameter der Gravitationswellen
ij
Die Amplitude wurde durch die Mittelung der Wellengleichung h̄TT über eine Periode
berechnet, nach Gleichung (2.34) und der Gleichung für den zirkularen Fall A =
siehe Anfang Kapitel 2.3.2.
A=
G2 2µM
1 4 15 2
1
+
ε
+
ε
4
16
c4 ra(1 − ε2 )
G2 2µM
,
c4 ra
(2.140)
Für die Strahlungsleistung LGW und die zeitliche Änderung des Drehimpulses dJ/dt wurde in den traditionellen MLT (mass-lenght-time)-Einheiten gerechnet. Das bedeutet u.a.,
dass mit der Masse M g in Einheiten des halben Schwarzschildradius gearbeitet wird. Von
geometrischen Einheiten zu MLT Koordinaten gelten folgenden grundlegenden Ersetzungen für Masse und Zeit:
M = Mg
⇒
E = Eg
c2
G
c4
G
Pg
,P =
c !
c
dE
dE c5
c3
,
=
, J = Jg
dt
dt g G
G
,t =
tg
(2.141)
,
dJ
dJ
=
dt
dt
!
g
c4
G
(2.142)
So kann auch die Obergrenze jeglicher Gravitationsstrahlung angegeben werden durch
die Einheiten der Luminosität (2.69):
LG = c5 /G = 3, 629 · 1059
erg
s
(2.143)
Man erkennt, dass Exzentrizitäten schnell alle relevanten Größen, A, LGW , dJ/dt, da/dt,
dP/dt und τGW , wachsen lassen, siehe Anhang Abbildung A1. Genau umgekehrt verhält
es sich mit der Periodendauer mit allerdings stärkeren Auswirkungen, Abbildung A3
21
und A4: Bei Systeme mit sehr kurzer Periodendauer, steigen alle oben genannten Größen.
Ebenso ist die Frequenz eng an der umgekehrten Bahnperiode orientiert und hängt im
zirkularen Fall ausschließlich von ihr ab. Besteht das System aus allgemein kleineren
Massen, sind auch Amplitude und Luminosität (und mit ihr dJ/dt, da/dt, dP/dt) kleiner.
Dabei strahlen Körper mit nahezu gleichem Gewicht mehr und erzeugen größere Amplituden als unterschiedlich gewichtige, siehe Abbildung A5, A6. Bei allen genannten
Veränderungen, der Exzentrizität, der Massen, der Periodendauer, wird die Luminosität
immer stärker beeinflusst als die Amplitude. Ein gut messbares System hoher Amplitude,
hoher Frequenz und hoher Luminosität müsste demnach große Massen besitzen, einen
kleinen Abstand voneinander haben und in kleiner Periodendauer umeinander kreisen.
Da bisherige Bestimmung von Massen, Periodendauern, Abständen der Körper, in binären Schwarzen Löchern noch sehr ungenau sind, vgl. [25], und das hier hergeleitete
Modell der 1PN-Ordnung noch zuwenig Informationen enthält im Vergleich zur 3PNOrdnung, wird hier auf eine konkrete Berechnung der Gesamtenergie, Luminosität, Amplitude usw. von massiven Binärsystemen verzichtet.
Dennoch kann eine Abschätzung der relevanten Größenordungen durchgeführt werden.
Bei einem System mit m1 = m2 = 1 · 108 M, einem Abstand von r = 106 kpc und einer
relativen Distanz von a = p = 103 · 2MG
Schwarzschildradien, welches sich auf einer Kreisc2
bahn befindet, errechnet sich eine Luminosität (2.138) von LGW ∼ 8 · 1046 erg/s und eine
Amplitude von A ∼ 4·10−33 . Dabei vereinfachen sich die 1PN-Formeln der Energie (2.126)
und der Wellengleichung (2.135) für den zirkularen Fall und unter der Verwendung der
Indentitäten für v (2.132) und r (2.134) (siehe [17]).
r = p + 3m − µ
1/2 h
i µ
M
1− M
− sin Φex + cosΦe y
p
p 3− M
µ
M
M
Ẽ = − 2p
1 − 4p
19 − 5 M
,v =
⇒
A∼
ij
hTT
∼
4µ
r Ẽ
(2.144)
(2.145)
(2.146)
Bei Verkleinerung des Abstandes beider Massen wächst die Luminosität rapide an. Eine Verkleinernung um den Faktor 2 gibt eine Strahlungsleistung der Größenordnung
1050 erg/s.
Typische elektromagnetische Luminositäten binärer Schwarzer Löcher liegen im Bereich
von 1042 erg/s bis 1045 erg/s. Im Vergleich dazu liegen die der Pulsare bei 1033 ers/s, siehe
Tabelle 2.1. Es zeigt sich anscheinend, dass mit einem Anstieg der Luminosität der Gravitationswellen, ebenfalls ein Anstieg der elektromagnetischen Luminosität einhergeht.
2.8. Detektion
2.8.1. Detektion über Testmassenbewegung
Wie aus den vorigen Kapiteln ersichtlich, sind folgende Eigenschaften der linearisierten
Gravitationswellen hervorgetreten: Sie sind transversal, bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit und können zwei verschiedene Polarisationen annehmen + und × Polarisation
(vgl. Kapitel 2.2.1). Deshalb werden sie über die relativistische Bewegung zweier Testmassen detektiert.
Eine sich entlang der z-Achse bewegende Welle verändert die Distanz zwischen zwei
Testpartikeln mit Abstand L∗ in transversaler Richtung (hier z.B. x-Richtung) zueinander.
ds2 = gαβ dxα dxβ = [1 + hxx ] dx2
ZL∗
L(t) =
ds =
0
22
ZL∗
0
, dxα = (0, dx, 0, 0)T
1
dx [1 + hxx ]1/2 ≈ L∗ 1 + hxx (t, 0)
2
(2.147)
(2.148)
Dabei stellt die minimale Längenänderung δL(t)/L∗ , auch minimale Dehnung einer Gravitationswelle genannt, die charakteristische Größe für Wellenlängenmessungen dar.
L(t) = L∗ + δL(t)
⇒
δL(t) 1
= hi j (t, 0)ni n j
L∗
2
(2.149)
Aus diesen Überlegungen kann man folgern, wie Wellenmuster in + ,× Polarisation durch
einen Ring aus Testmassen verlaufen würden, siehe Abbildung 2.3.
Abbildung 2.3.: [30] Testmassen unter dem Einfluss von Gravitationswellen mit definierter Amplitude und Frequenz
Abbildung 2.4.: [1] Schematisches Diagramm eines Michelson-Interferometer-WellenDetektors; L:Laser, S:Halbdurchlässiger Spiegel, M:Spiegel, D:Detektor
Bei einem Michelson-Interferometer wird die relative Längenänderung (Li ) zweier Strahlengänge zueinander in z.B. x- und y-Richtung über Interferenz gemessen, siehe Abbildung 2.4 dabei gilt:
∆L = Lx − L y = nλ, konstruktiv
δL(t)
L
∆L = Lx − L y = (n + 12 )λ, destruktiv
= 12 hxx (t, 0)
(2.150)
Man erkennt an (2.150), je länger das Interferometer ist, desto größer die Interferenzmuster
bei gegebener Wellenamplitude.
2.8.2. Gravitationswellendetektoren
Bisherige Gravitationswellendetektoren haben noch keine Ergebnisse gebracht. Zu ihnen
gehört der Versuch, mittels eines vakuumgekühlten Resonanzdetektors Schwingungen
zu messen. Modernere Detektoren arbeiten mit Michelson-Interferometrie, wie GEO600
(Deutschland/Großbritannien), VIRGO (Italien), TAMA300 (Japan) und LIGO (USA).
23
Kleinste Schwingungen verschieben dabei das Interferenzmuster von exakt ausgerichteten Laserstrahlen. Vielversprechenstes Projekt zum Nachweis von Gravitationswellen
ist das geplante Laser Interferometer Space Antenna (LISA), welches, im All stationiert,
nicht den Störeinflüssen der Erde ausgesetzt ist.
24
3. Elektromagnetische Wellen und
Gravitationswellen
3.1. Zusammenhang zwischen EM-Strahlung und
Gravitationsstrahlung
Supermassive Schwarze Löcher in Aktiven Galaxien strahlen meist hohe elektromagnetische Strahlung aus, die, wie die der Sternsysteme, von Teleskopen in den verschiedenen
Frequenzbereichen gemessen werden kann.
Eine weitere Methode, um die theoretischen Modelle für Gravitationswellen von Sternsystemen oder Massiven Schwarzen Löchern neben den zurzeit erfolglosen Gravitationswellendetektoren experimentell zu überprüfen, ist der Vergleich mit den Ergebnissen aus
der Elektromagnetischen Astrophysik.
Dies war auch die Vorgehensweise beim Pulsar PSR 1913+16 1974 [9], der unter anderem
einen der ersten Nachweise der Allgemeinen Relativitätstheorie geliefert hat. An diesem
Pulsar wurde die, über die Quadrupolformel relativistisch berechnete, Abnahme der Periodendauer (siehe Kapitel 2.3.3) direkt mit den Ergebnissen des Arecibo-Observatoriums
verglichen und mit 0.21œ Abweichung bestätigt.
Über die Ergebnisse aus der elektromagnetischen Astrophysik von charakteristischen
Größen bestimmter Systemen aus Sternen oder Schwarzen Löchern, können Gravitationswellen berechnet werden. Dies ermöglicht präzise Vorhersagen über Gravitationswellen von binären Systemen, wodurch Detektoren besser auf die relevanten Bereiche
kallibriert werden können (z.B. mit "matched filtering "[8]). Damit steigen die Chancen
der Detektion der Gravitationswellen mit Amplituden in der Größenordnung h~10−30 ,
LIGO schaffte bereits die Grenze h~2.3 · 10−26 .
Ebenso kann die Detektion von Gravitationswellen dazu führen, einen entscheidenen Beitrag zur Theorie der elektromagnetischen Wellen zu leisten, denn die Form der Gravitationswellen wird u.a. durch Eigenschaften charakterisiert, die auch die elektromagnetische
Strahlung ausmachen, wie die Masse von Neutronenesternen, ihrer Zustandsgleichung,
Viskosität, Photonen und Neutrino Luminositäten.
3.2. Detektion von binären Schwarzen Löchern über
elektromagnetische Strahlung
Binäre Schwarze Löcher sind in ihrer elektromagnetischen Strahlung meist nur indirekt
zu erkennen. Bei weiter Entfernung beider Körper, vor dem Gravitationsstrahlung relevant wird, sind sie nur zu indentifizieren, wenn beide EM-Wellen aussenden wie bei
NGC 1128 oder NGC 6240 [23]. In der inspiral-Phase kann die Strahlung eines schwarzen
Loches periodische Schwankungen haben, "wackeln"oder Maxima in der Luminosität
aufweisen. So wurden z.B. in 3C273, Mkn 501 [24], 3C449 und 3C345 im Radio- und Röntgenspektrum Perioden beobachtet (vgl. Mkn 501, ), die wahrscheinlich auf Präzessionen
des Jets basieren. Während bei OJ287 [23] im optischen Bereich zwei Strahlungspeaks
pro Bahnperiode auftreten, was vermutlich auf die Interaktion des zweiten Schwarzen
Loches mit der Akkretionsscheibe des ersten zurückzuführen ist.
25
In den letzten beiden Phasen (merger, ringdown) treten Beobachtungen von "X-förmigen
Radiogalaxien" und "doppel doppel" Radiogalaxien auf [22]. Bei X-förmigen Radiogalaxien entsteht ein abrupter Richtungswechsel der EM-Strahlung aus einem zusätzlichen
Drehimpuls, den ein Schwarzes Loch bei der Verschmelzung vom anderen erhält und der
einen Spin-Flip auslöst, wie am Bsp. NGC 326 gezeigt.
Im Falle der doppel doppel Radiogalaxien wird eine Unterbrechung der Strahlung dadurch ausgelöst, dass das zweite Schwarze Loch innere Teile der Akkretionsscheibe entfernt und eine Jetunterbrechung bis zur Neuauffüllung entsteht.
26
4. Zusammenfassung und Ausblick
Gravitationswellen können als kleine Störungen in der flachen Raumzeit aufgefasst werden. Ihre Frequenz, Amplitude und Luminosität, die charakteristischen Größen, sind
durch die Eigenschaften der Quelle bestimmt. Bei Binärsystemen werden sie durch die
Bewegungsgleichungen der zwei Massen beschrieben. In der Newtonschen und PostNewtonschen Formulierung sind die Quellen Punktmassen, deren zeitliche Änderung
der Trägheitsmomente die Wellengleichung, damit die Amplitude und die Strahlungsleistung vollständig bestimmt. Bei Gravitationswellen von Körpern mit schwachen Feldern,
die in kleinen Geschwindigkeiten umeinander kreisen, werden diese Änderungen in der
Newtonschen Darstellung allein durch das keplersche Zweikörperproblem beschrieben.
Die Frequenz ist an die Bahnperiode der Massen orientiert.
Liegen dagegen größere Geschwindigkeiten und stärkere Felder vor, wie bei Neutronensternsystemen und binären Schwarzen Löchern, werden über das Post-Newton-Verfahren
die Parameter aus der Newtonschen Darstellung schlicht durch Terme höherer Ordnung
in (v/c)2n des Verhältnisses Bahn- zur Lichtgeschwindigkeit ergänzt.
Exzentrizität der Bahn, Bahngeschwindigkeit und Distanz der Körper, aber im Prinzip
hauptsächlich die Massen und eventuell der Spin machen die Form der Gravitationswellen aus.
Bei der Detektion der Gravitationswellen müssen in der Berechnung noch weitere Effekte berücksichtigt werden, z.B. wurde in dieser Arbeit die relativistische Dopplerverschiebung und Auslöschungseffekte durch Materie vernachlässigt. Hugo Wahlquist [10]
berücksichtigt in seinem Paper zusätzlich zu Dopplereffekten die relative Erdrotation, die
zum Empfang der Signale der Gravitationswellen eines binären Sternsystems wichtig ist.
Numerische Verfahren zur Berechnung von Gravitationsstrahlung Schwarzer Löcher haben in den letzten Jahren Fortschritte erziehlt. Bei der Berechnung der vollen Einsteinschen
Gleichungen, ohne jegliche Symmetrieannahmen, durch stabile leitugsfähige 3D-Codes
wurden neue Techniken entwickelt. Zu ihnen gehört z.B. die Einführung neuer Formulierungen der Gleichungen, höhere Ordnungen der Finite-Differenzen-Methode, spekrale
Methoden, adaptive Netzgenerierung "adaptive mesh refinement" [13].
Wie in Kapitel 1.1 bereits angedeutet, wird neben den numerischen Durchbrüchen, an
einer neuen Methode zur Beschreibung der inspiral-merger-rigdown Phasen von Schwarzen Löchern und Neutronensternen, dem "effective-one-body" (EOB) Ansatz [12], geforscht.
Analytische Theorien, die nicht exakt aus den Einsteingleichungen hergeleitet werden
können, sondern mit Näherungsverfahren arbeiten, bedürfen einer Kallibrierung an akkuraten numerischen Simulationen. EOB zeigt sich im Vergleich mit numerischen Berechnungen auf gutem Weg besonders die hoch nichtlineare merger-Phase gut zu beschreiben
[12].
Es ist verblüffend bei dieser Art der analytischen Theorienfindung über rigorose Approximationsverfahren sehr genaue Beschreibungen von gravitativen Systemen zu finden.
4.1. Danksagung
Hiermit möchte ich Herrn Wolfgang Rhode für die Betreuung der Bachelorarbeit danken.
27
A. Anhang
Abbildung A.1.: Funktion der Luminosität und Amplitude zur Exzentrizität ε bei folgenden Grundannahmen: r = 1 kpc; Porb = 10000 s; m1 = m2 = 1, 2 M
Abbildung A.2.: Funktion der Amplitude zur Distanz r bei folgenden Grundannahmen:
Porb = 10000 s; m1 = m2 = 1, 2 M; ε = 0
Abbildung A.3.: Funktion der Luminosität zur Periodendauer Porb bei folgenden Grundannahmen: r = 1 kpc; m1 = m2 = 1, 2 M; ε = 0
28
Abbildung A.4.: Funktion der Amplitude zur Periodendauer Porb bei folgenden Grundannahmen: r = 1 kpc; m1 = m2 = 1, 2 M; ε = 0
Abbildung A.5.: Funktion der Luminosität zur Masse m bei folgenden Grundannahmen:
r = 1 kpc; Porb = 10000 s; ε = 0; m ges = m1 + m2 = 2m
Abbildung A.6.: Funktion Amplitude zur Masse m bei folgenden Grundannahmen: r =
1 kpc; Porb = 10000 s; ε = 0; m ges = m1 + m2 = 2m
29
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Francisco W. H. Freeman
[30] Bernard F.Schutz, Franco Ricci Gravitational Waves, Sources, and Detectors (2010),
arXiv:1005.4735v1
Eidesstattliche Versicherung
Ich versichere hiermit an Eides statt, dass ich die vorliegende Bachelorarbeit mit dem
Titel ”Gravitationswellen von Binärsystemen
Binäre Schwarze Löcher in der Astrophysik” selbständig und ohne unzulässige fremde Hilfe erbracht habe. Ich habe keine anderen als die angegebenen Quellen
und Hilfsmittel benutzt sowie wörtliche und sinngemäße Zitate kenntlich gemacht. Die
Arbeit hat in gleicher oder ähnlicher Form noch keiner Prüfungsbehörde vorgelegen.
Ort, Datum
Unterschrift
Belehrung
Wer vorsätzlich gegen eine die Täuschung über Prüfungsleistungen betreffende Regelung
einer Hochschulprüfungsordnung verstößt handelt ordnungswidrig. Die Ordnungswidrigkeit kann mit einer Geldbuße von bis zu 50.000,00 e geahndet werden. Zuständige
Verwaltungsbehörde für die Verfolgung und Ahndung von Ordnungswidrigkeiten ist
der Kanzler/die Kanzlerin der Technischen Universität Dortmund. Im Falle eines mehrfachen oder sonstigen schwerwiegenden Täuschungsversuches kann der Prüfling zudem
exmatrikuliert werden (§ 63 Abs. 5 Hochschulgesetz - HG - ).
Die Abgabe einer falschen Versicherung an Eides statt wird mit Freiheitsstrafe bis zu
3 Jahren oder mit Geldstrafe bestraft.
Die Technische Universität Dortmund wird ggf. elektronische Vergleichswerkzeuge (wie
z.B. die Software ”turnitin”) zur Überprüfung von Ordnungswidrigkeiten in Prüfungsverfahren nutzen.
Die oben stehende Belehrung habe ich zur Kenntnis genommen.
Ort, Datum
Unterschrift