Bruchungleichungen

Bruchungleichungen
Bruchungleichungen (eine Nennernullstelle)
Die Definitionsmenge ist die Grundmenge ohne die Nullstelle des Nenners.
Man unterscheidet zwei Fälle: Nenner ist positiv oder negativ.
Fall 1: (Nenner positiv)
D1: Definitionsmenge von Fall 1 (Zahlenbereich in dem der Nenner positiv ist)
Man multipliziert die Ungleichung mit dem Nenner (positiv), das
Ungleichheitszeichen bleibt gleich
Lösung der Ungleichung, man erhält die Lösungsmenge L1*
Lösungsmenge Fall 1: L1=D1∩L1*
Fall 1: (Nenner negativ)
D2: Definitionsmenge von Fall 2 (Zahlenbereich in dem der Nenner negativ ist)
Man multipliziert die Ungleichung mit dem Nenner (negativ), das
Ungleichheitszeichen dreht sich um
Lösung der Ungleichung, man erhält die Lösungsmenge L2*
Lösungsmenge Fall 1: L2=D2∩L2*
Bestimmung der Lösungsmenge der Ungleichung:
L=L1∪L2
Gerechnetes Beispiel:
Gegeben ist die Ungleichung:
4x + 1
≤3
x +1
Die Grundmenge ist die Menge der reellen Zahlen. Bestimme die
Definitionsmenge und die Lösungsmenge der gegebenen Ungleichung.
Lösung:
Definitionsmenge: Die Ungleichung ist überall definiert außer bei den
Nennernullstellen. Man bestimmt also die Nullstelle des Nenners.
x+1=0 ⇒x=-1
Definitionsmenge: D=R/{-1}
Bei der Lösung der Ungleichung werden zwei Fälle unterschieden: Nenner
positiv und Nenner negativ.
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Bruchungleichungen
1. Fall: Nenner positiv: x>-1, Definitionsmenge für diesen Fall: D1=]-1;∞[
4x + 1
≤3
x +1
4x+1≤3.(x+1)
4x+1≤3x+3
x+1≤3
x≤2
L1*=]-∞;2]
|.(x+1)
|-3x
|-1
Lösungsmenge für den 1.Fall: L1=D1∩L1*=]-1;2]
2. Fall: Nenner negativ: x<-1, Definitionsmenge für diesen Fall: D1=]-∞;-1[
4x + 1
≤3
x +1
|.(x+1)
4x+1≥3.(x+1)
4x+1≥3x+3
x+1≥3
x≥2
|-3x
|-1
Ungleichheitszeichen dreht sich um
Es gibt keine Zahlen, die gleichzeitig kleiner als -1 und größer gleich 2 sind. Die
Lösungsmenge für den zweiten Fall ist also die leere Menge L2={}
Lösungsmenge: L=L1∪L2=]-1;2]∪{}=]-1;2]
Darstellung der Lösungsmenge in der Intervallschreibweise:
L=]-1;2]
Darstellung der Lösungsmenge in der Mengenschreibweise:
L={x∈R|-1<x≤2}
Darstellung der Lösungsmenge auf dem Zahlenstrahl:
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Bruchungleichungen
Die Grundmenge für die folgenden Beispiele ist die Menge der reellen Zahlen.
1. Bestimme die Lösungsmengen folgender Ungleichungen:
x+2
>4
x −1
5− x
c.) 1 ≤
x−3
a.)
b.)
d.)
2x + 1
<1
x+4
3x + 5
≥2
2x + 4
2. Löse folgende Ungleichungen:
a.)
2x + 3
≥ 12
x −1
c.)
7<
4 x + 11
>6
x +1
2x + 1
≤2
d.)
2−x
b.)
x +1
x −1
3. Gesucht sind die Lösungsmengen folgender Ungleichungen:
x+5
<6
2−x
4x − 2x
≥3
c.)
x +1
a.)
b.)
d.)
3x − 2
> −4
x+4
x+2
≤5
x−2
4. Gesucht sind die Lösungsmengen der gegebenen Ungleichungen:
4x + 3 5
≤
2x + 1 2
x +1 1
≥
c.)
6+ x 4
a.)
b.)
3x + 2 3
>
1+ x
2
d.)
2x + 3
≤2
2− x
5. Löse die folgenden Ungleichungen:
6x + 7
3x − 2 3
>3
<
a.)
b.)
2x + 3
2x − 1 2
x +1
4+ x 1
≥ −1
≤
c.)
d.)
4−x
2 + 3x 3
Lösungen:
1 a.) ]1;2[
2 a.) ]1;3/2]
3 a.) ]-∞;1[∪]2; ∞[
4 a.) ]-∞;-1/2[∪[1/2; ∞[
5 a.) ]-∞;-3/2[
b.) ]-4;3]
b.) ]-1;5/2[
b.) ]-∞;-4[∪]-2; ∞[
b.) ]-∞;-1[∪]-1/3; ∞[
b.) ]1/2;∞[
c.) ]3;4]
c.) ]1;4/3[
c.) ]-∞;-1[∪[5; ∞[
c.) ]-∞;-6[∪[2/3; ∞[
c.) ]-∞;-4]
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d.) [-3;-2[
d.) [3/4;2[
d.) ]-∞;2[∪[3; ∞[
d.) ]1/4;2[
d.) ]-∞;-2/3[