Taylorreihen

Taylorreihe für den Logarithmus
ln(1 + x) =
∞
X
(−1)ν+1
ν=1
ν
xν
für x ∈ (−1, 1]
Gleichbedeutend:
ln(1 − x) = −
∞
X
xν
ν=1
ν
für x ∈ [−1, 1).
Mathematik I für Informatiker – Satz von Taylor – Taylorreihen (Fortsetzung) – p. 1
Auf dem Rand
Aus
ln(1 + x) =
∞
X
(−1)ν+1
ν=1
ν
xν
für x ∈ (−1, 1]
erhält man für x = 1
ln(1 + 1) =
∞
X
(−1)ν+1
ν=1
also
ν
,
1 1 1 1
ln 2 = 1 − + − + − . . . .
2 3 4 5
Mathematik I für Informatiker – Satz von Taylor – Taylorreihen (Fortsetzung) – p. 2
Exponentialreihe
ex =
∞
X
xν
ν=0
ν!
.
Für x := 3 erhält man z.B.
e3
31 32 33 34 35 36 37 38
+
+
+
+
+
+
+
+ ...
= 1+
1!
2!
3!
4!
5!
6!
7!
8!
9 27 81 243 729 2187
= 1+3+ +
+
+
+
+
+ ...
2
6
24 120 720 5040
≈ 20.
Mathematik I für Informatiker – Satz von Taylor – Taylorreihen (Fortsetzung) – p. 3
α
f (x) := (1 + x)
Erster Fall: α eine nicht negative ganze Zahl.
Dann gilt der binomische Satz
(1 + x)α =
α X
α
n=0
n
xn
für alle x ∈ R.
Man darf die
Summe ruhig bis ∞ laufen lassen, denn für
n > α ist αn = 0.
Mathematik I für Informatiker – Satz von Taylor – Taylorreihen (Fortsetzung) – p. 4
α
f (x) := (1 + x)
Zweiter Fall: α ∈
/ N \ {0}
Dann gilt die Taylor-Formel
∞ X
α n
α
x
(1 + x) =
n
für alle x ∈ (−1, 1).
n=0
α
0
Dabei ist
:= 1 und
α · (α − 1) · · · (α − n + 1)
α
=
n
n!
für n ∈ N.
Mathematik I für Informatiker – Satz von Taylor – Taylorreihen (Fortsetzung) – p. 5
Approximation (n − 1)–ten Grades
Satz: Die Potenzreihe
f (x) =
∞
X
aν xν
ν=0
habe den Konvergenzradius R > 0. Es sein n eine feste
natürliche Zahl und an 6= 0.
Dann gilt für x ≈ 0:
f (x) −
n−1
X
aν xν ≈ an xn .
ν=0
Mathematik I für Informatiker – Satz von Taylor – Taylorreihen (Fortsetzung) – p. 6
vor dem Beweis
Vorbemerkung: Wie will man eigentlich beweisen, dass
etwas „ungefähr gleich“ ist? Das ist doch eine schwammige
Formulierung!
Antwort: Man kann der Formulierung ihre Schwammigkeit
nehmen und „ungefähr gleich“ exakt definieren. Das geht
z.B. so:
Definition: Zwei Funktionen g(x) und h(x) heißen in der
Nähe von x0 ungefähr gleich, wenn
g(x)
=1
lim
x→x0 h(x)
gilt. Wir schreiben dann
g(x) ≈ h(x) für x ≈ x0 .
Mathematik I für Informatiker – Satz von Taylor – Taylorreihen (Fortsetzung) – p. 7
Beweis des Satzes (1)
Wir kürzen ab:
g(x) := f (x) −
n−1
X
aν xν .
ν=0
Zu zeigen ist dann
g(x) ≈ an xn
für x ≈ 0,
also
g(x)
= 1.
lim
n
x→0 an x
Mathematik I für Informatiker – Satz von Taylor – Taylorreihen (Fortsetzung) – p. 8
Beweis des Satzes (2)
Also los!
g(x) =
=
∞
X
ν=0
∞
X
aν xν −
n−1
X
aν xν
ν=0
aν xν
ν=n
= an xn +
∞
X
aν xν
ν=n+1
= an xn + xn+1
∞
X
aν xν−(n+1)
ν=n+1
Mathematik I für Informatiker – Satz von Taylor – Taylorreihen (Fortsetzung) – p. 9
Beweis des Satzes (3)
Aus
g(x) = an xn + xn+1
∞
X
aν xν−(n+1)
ν=n+1
erhalten wir
∞
x X
g(x)
ν−(n+1)
a
x
=
1
+
ν
an xn
an
ν=n+1
P∞
Die Potenzreihe ν=n+1 aν xν−(n+1) konvergiert ebenfalls
mit Konvergenzradius R (denn sie unterscheidet sich von
der ursprünglichen nur um endlich viele Terme).
Mathematik I für Informatiker – Satz von Taylor – Taylorreihen (Fortsetzung) – p. 10
Beweis des Satzes (4)
Deshalb gibt es eine Konstante M mit
|
∞
X
aν x
ν−(n+1)
|<M
ν=n+1
R
für x <
2
und aus
∞
x X
g(x)
ν−(n+1)
a
x
=
1
+
ν
an xn
an
ν=n+1
wird
g(x)
|x|
|
− 1| ≤
M →0
n
an x
|an |
für x → 0.
Quod erat demonstrandum.
Mathematik I für Informatiker – Satz von Taylor – Taylorreihen (Fortsetzung) – p. 11
Etwas aus der Physik
Ein Körper der Masse m0 wird auf die Geschwindigkeit v
gebracht.
Die Newtonsche kinetische Energie des Körpers ist dann
m0 v 2
.
Ekin =
2
Mit zunehmender Geschwindigkeit ändert sich die Masse
des Körpers nach der Formel
m= q
m0
1−
v2
c2
.
Die erhöhte kinetische Energie führt zur Masseerhöhung.
Mathematik I für Informatiker – Satz von Taylor – Taylorreihen (Fortsetzung) – p. 12
Massenzuwachs
m = q
m0
v2
c2
1−
− 21
2
v
= m0 1 − 2
c
1
v2
= m0 (1 + x)
mit x = − 2 und α = −
c
2
ν
∞ 1 2
X
−2
v
= m0
· − 2
ν
c
ν=0
∞ 1
2ν
X
−2
v
= m0
· (−1)ν · 2ν
c
ν
α
ν=0
Mathematik I für Informatiker – Satz von Taylor – Taylorreihen (Fortsetzung) – p. 13
Lineare Approximation
∞ 1
X
−
2ν
v
2 · (−1)ν ·
m = m0
ν
c2ν
ν=0
1 2
−2 v
für v ≈ 0
≈ m0 · (1 −
) 2
c
1
1 v2
= m0 (1 − 2 )
2c
m0 v 2 1
= m0 −
· 2
2
c
Mathematik I für Informatiker – Satz von Taylor – Taylorreihen (Fortsetzung) – p. 14
Ergebnis
Daher
m0 v 2 1
· 2
∆m := m − m0 ≈
2
c
und das ergibt
∆m · c2 ≈ Ekin
für v ≈ 0.
Mathematik I für Informatiker – Satz von Taylor – Taylorreihen (Fortsetzung) – p. 15
x
e wächst schneller
Wegen
ex
xn
∞
X
xν
=
xn ν!
ν=0
1
1
1
1
x
+
+
= n+
+
+ ...
n−1
n−2
x
1!x
2!x
n! (n + 1)!
x
>
( für x > 0)
(n + 1)!
gilt
ex
→ ∞ für x → ∞.
n
x
Die Exponentialfunktion wächst also schneller als jedes
Polynom.
Mathematik I für Informatiker – Satz von Taylor – Taylorreihen (Fortsetzung) – p. 16