Abstract

A White Noise Approach to Self-intersection Local
Times and Feynman Integrals for Quantum Particles
in Random Media
Herry P. Suryawan
Abstract
This thesis is motivated by a problem coming from quantum systems in
disordered media. Using the Feynman path integral representation of quantum mechanics it is possible to derive a model of a quantum particle in a random system containing dense and weakly-coupled scatterers. The scattering
potential employed in the model is assumed to be a Dirac delta distribution,
i.e. the weak limit of Gaussian functions. The main goal of this thesis is
to give a mathematically rigorous realization of the corresponding Feynman
integrand obtained in the model in dimension one. Our investigation is based
on the theory of white noise analysis. The first part of the thesis deals with
the investigation of the concept of local times and self-intersection local times
of Brownian bridge using classical stochastic analysis as well as white noise
analysis. As a main result, we establish the existence and convergence of the
exponential of the self-intersection local times of the one-dimensional Brownian bridges which plays essential roles regarding the potential energy part in
the Feynman integrand. In the second part we apply a refinement of a Wick
formula for the product of a square-integrable function of white noise with
a Donsker’s delta distribution combined with the complex scaling method of
Cameron-Doss. We prove that the Feynman-Kac-Cameron-Doss integrand
for the quantum particles in random media exists as a regular distribution of
white noise. In particular, we obtain a neat formula for the propagator with
identical start and end point of the quantum particle-scatterers interaction
system. Thus, we have a well-defined mathematical object which is used to
calculate the density of states of the system.
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Zusammenfassung
Diese Dissertation ist durch ein Problem motiviert, dass sich bei der Behandlung von Quantensystemen in ungeordneten Medien ergibt. Mit Feynmans Darstellung der Quantenmechanik mit Hilfe von Pfadintegralen ist
es möglich, das Modell eines Quantenteilchens in einem zufälligen System
mit hoher Dichte und schwach gekoppelten Streuern anzugeben. Das Streuungspotential in diesem Modell ist eine Dirac’sche Deltadistribution, d.h. ein
schwacher Grenzwert Gauss’scher Funktionen. Das Hauptziel dieser Arbeit
ist es, eine mathematisch rigorose Umsetzung des entsprechenden Feynman
Integranden in einer Dimension zu erhalten. Diese Untersuchung basiert
auf der Theorie der White Noise Analysis. Im ersten Teil dieser Arbeit werden Methoden der klassischen stochastischen Analysis sowie der White Noise
Analysis angewandt um Lokalzeiten der Brown’schen Brücke und Lokalzeiten
des Prozesses in sich selbst zu untersuchen. Als wichtiges Ergebnis können
wir die Existenz und Konvergenz des Exponentials der Lokalzeiten in einer
Dimension nachweisen, mit dem die potentielle Energie im Feynman Integranden dargestellt werden kann. Im zweiten Teil wenden wir eine Verfeinerung einer Wick-Formel an, um das Produkt einer quadrat-integrierbaren
Funktion des weißen Rauschens mit einer nach Cameron und Doss komplex skalierten Donsker’s Deltadistribution zu definieren. Wir beweisen, dass
der Feynman-Kac-Cameron-Doss Integrand für Quantenteilchen in zufälligen
Systemen als reguläre Distribution des weißen Rauschens existiert. Insbesondere erhalten wir eine explizite Formel für den Propagator mit identischen
Anfangs- und Endpunkten für die Streuungen von Quantenteilchen. Somit
erhält man ein wohldefiniertes mathematisches Objekt mit dem die Zustandsdichte des Systems berechnet werden kann.
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