1.2. Mengen, Zahlen, Intervalle und Produkte

1.2. Mengen, Zahlen, Intervalle und Produkte
Zahlen
Einige Zahlenmengen werden mit besonderen Buchstaben bezeichnet.
Die kleinste aller Mengen ist die leere Menge { } , die überhaupt kein Element enthält. Sie wird
auch mit Hilfe eines durchgestrichenen Kreises symbolisiert. Aus diesem entstehen durch einige
geometrische Basteleien unsere beiden Leitfiguren, Mathe und Inge.
Ganz nett, aber viel wichtiger ist: Aus der leeren Menge ("aus dem Nichts") lassen sich
schrittweise alle natürlichen Zahlen gewinnen, indem man setzt:
0:= {}, 1:= {0}, 2:= {0,1} , 3:= {0,1,2} usw.
Dies liefert die Menge
N der natürlichen Zahlen (ohne Null),
sowie die Menge
N0 der natürlichen Zahlen einschließlich Null.
Durch Hinzunahme der negativen Zahlen erhält man die Menge
Z der ganzen Zahlen,
sodann durch Bildung von Quotienten (Brüchen) die Menge
Q der rationalen Zahlen,
und durch Füllen aller "Lücken" zwischen rationalen Zahlen die Menge
R der reellen Zahlen.
Schließlich hat man in Form der reellen Ebene die Menge
C der komplexen Zahlen.
Durch jeden Erweiterungsschritt werden neue Gleichungen lösbar:
In Z ist jede Gleichung a + x = b eindeutig lösbar.
Lösung: x = b − a ;
In Q ist jede Gleichung a x = b eindeutig lösbar, sofern a nicht 0 ist.
b
Lösung: x =
a
In R ist z. B. jede Gleichung x2 = b lösbar, falls 0 ≤ b .
Lösungen: x = b und x = − b .
In C ist die Gleichung x2 = b sogar für negative b lösbar (später mehr davon).
Geometrische Konstruktion von Wurzeln mittels Höhensatz:
h= a
Mengenoperationen
Aus gegebenen Mengen A und B bildet man mit Hilfe von Mengenoperationen neue Mengen, z.B.
die Vereinigung,
die aus allen Elementen besteht, welche in A oder in B (oder beiden) liegen,
den Durchschnitt,
der aus allen Elementen besteht, die sowohl in A als auch in B liegen,
die Differenz,
die aus allen Elementen besteht, welche in A, aber nicht in B liegen.
Intervalle
sind Mengen reeller Zahlen, die mit je zwei Zahlen auch alle dazwischenliegenden enthalten
(Konvexität). Jedes Intervall hat eine der folgenden Formen:
Offene Intervalle:
]−∞, b[ = {x : x < b}
] a, b [ = {x : a < x , x < b}
] a, ∞[ = {x : a < x}
Abgeschlossene Intervalle:
]−∞, b] = {x : x ≤ b}
[ a, b ] = {x : a ≤ x , x ≤ b}
[ a, ∞[ = {x : a < x}
Halboffene Intervalle:
] a, b ] = {x : a < x , x ≤ b}
[ a, b [ = {x : a ≤ x , x < b}
Hinzu kommt R als einziges nicht leeres, zugleich offenes und abgeschlossenes Intervall.
Für b < a sind die Intervalle ]a, b[ , ]a, b] , [a, b[ und [a, b] leer!
Intervalle, bei denen beide Endpunkte aus R sind, heißen beschränkt.
Beispiele:
Die folgenden Skizzen zeigen natürlich immer nur Ausschnitte der ganzen Zahlengeraden.
Um Mengen in der Ebene und im Raum beschreiben zu können, brauchen wir
Kartesische Produkte
Das (kartesische) Produkt
AxB
zweier Mengen A und B besteht aus allen Paaren (a,b), wobei a in A und b in B liegt. Entsprechend
ist das Produkt
AxBxC
die Menge aller Tripel (a, b, c) mit a aus A, b aus B und c aus C.
Allgemeiner ist das n-fache Produkt
A1 x ... x An
die Menge aller n-Tupel (a1,...,an) mit ai aus Ai für alle i = 1...n. Sind alle Ai die gleiche Menge A,
so schreibt man An für das n-fache Produkt und nennt es die n-te Potenz von A.
Speziell ist also R2 die reelle Ebene und R3 der dreidimensionale reelle Raum.
Produkte von zwei bzw. drei Intervallen nennt man Quader oder ebenfalls Intervalle (in der
Ebene R2 oder im Raum R3). Je nach Wahl der Ausgangsintervalle in R (offen, abgeschlossen,
halboffen) gehören Kanten bzw. Seitenflächen zu solchen mehrdimensionalen Intervallen dazu
oder nicht.
Beispiele:
Rechteck
mit den Ecken (a,b) und (c,d):
[ a, c ] [ b, d ]
Auch in den nachfolgenden Bildern ist natürlich immer nur ein Ausschnitt der Ebene dargestellt!
Halbebenen
sind Produkte einseitig unbeschränkter Intervalle mit R.
Quadranten
sind Produkte zweier einseitig unbeschränkter Intervalle
Streifen
sind Produkte beschränkter Intervalle mit R.
Halbstreifen
sind Produkte eines beschränkten Intervalls mit einem einseitig unbeschränkten Intervall.
Rechtecke sind Produkte zweier beschränkter Intervalle.
Schachbrett
und seine Beschreibung mit Hilfe von Intervallen:
Die linke untere Ecke sei [0,0], die rechte obere Ecke [8,8].
Ist A die Vereinigung der Intervalle [0,1], [2,3], [4,5], [6,7]
und B die Vereinigung der Intervalle [1,2], [3,4], [5,6], [7,8] ,
so ergibt sich die Schachbrettfläche (mit Rand) als Vereinigung der Mengen
A2 , B2 , {0,8} x [0,8] und [0,8] x {0,8} !
Wir zeichnen sie dreidimensional:
Quader
im Raum, also Produkte von drei beschränkten Intervallen:
Zylinder
sind Produkte eines Kreises mit einem Intervall.
Bauer
Nach diesem ersten Ausflug ins Institut für Kolbenmaschinen sind wir schon fast Profis im
Rotieren und drechseln eine Schachfigur, deren Profilkurve aus vier Stücken zusammengesetzt
ist.
f( z ) = 1.9 − ( z − .2 )2 ,
0 ≤ z und z < .4
f( z ) = 2.6 − 1.2
.4 ≤ z und z < 2.6
z
,
f( z ) = 1 − 4 ( z − 2.9 ) , 2.6 ≤ z und z < 3.2
2
f( z ) =
1 − ( z − 4 )2 , 3.2 ≤ z und z ≤ 5 .
Wir drehen die Schablone in die Senkrechte und dann um die Zentralachse.
Die Figur läßt sich auch in beliebigen anderen Richtungen drehen: