Musterlösungen zum 1. Aufgabenblatt

Musterl?sung zu Blatt1 der Vorlesung Analysis I WS08/09
Schriftliche Aufgaben
Aufgabe 1. Inspektor Barrick ermittelt in einem Todesfall. Onkel Kuno wurde
tot in seinem Haus aufgefunden, wo er zusammen mit Onkel Bodo und einem
Gärtner lebte. Barrick hat folgende Fakten zusammengetragen:
(a) Kuno, Bodo und der Gärtner waren die einzigen Hausbewohner. Nur
einer von ihnen kann Kuno getötet haben.
(b) Derjenige, der Kuno getötet hat, hat diesen gehasst und war nicht
reicher als Kuno.
(c) Bodo hasst niemanden, den Kuno gehasst hat.
(d) Kuno hat sich selbst und Bodo gehasst.
(e) Der Gärtner hasst jeden, der nicht reicher als Kuno war oder von Kuno
gehasst wurde.
(f) Kein Hausbewohner hasst(e) alle Hausbewohner.
Welche der nachfolgenden Schlussfolgerungen sind richtig (mit Begründung)?
(1) Wenn der Gärtner sich nicht selbst hasst, dann hat er Kuno nicht
getötet.
(2) Der Gärtner war nicht reicher als Kuno.
(3) Aus den Fakten folgt nicht, ob Bodo reicher als der Gärtner ist oder
nicht.
(4) Wenn der Gärtner Kuno getötet hat, dann hasst er Bodo nicht.
(5) Bodo hat Kuno getötet.
Lösung: Aussage (1) ist wahr: Aus (e) folgt, dass der Gärtner jeden hasst, der
von Kuno gehasst wurde. Nach (d) hat Kuno sich selbst und Bodo gehasst.
Damit hasst der Gärtner Kuno und Bodo. Aus (f) folgt dann aber, dass der
Gärtner sich nicht selbst hasst. Dann folgt aber aus (e), dass der Gärtner
reicher war als Kuno. Nach (b) kann er daher nicht der Mörder sein! Damit
sind beide Teilaussagen in (1) wahr, und somit auch die in (1) gemachte
Folgerung.
Ein anderer, etwas leichterer Beweis von (1) geht wie folgt: Die Aussage ist äquivalent zur Aussage “Wenn der Gärtner Kuno getötet hat, dann
hasst er sich selbst.” Setzen wir nun voraus, da der Gärtner Kuno getötet
hat. Nach (b) war der Gärtner damit nicht reicher als Kuno. Nach (e) hasst
der Gärtner also sich selber. Fertig!
Allerdings gibt der erste Beweis mehr Aufschlüsse, die wir unten noch
benötigen. Wir wissen aus dem Beweis bereits, dass der Gärtner Kuno nicht
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getötet hat, und dass er reicher war als Kuno. Dies liefert damit schon den
Beweis dafür, dass (2) unwahr ist.
Die Aussage (3) ist wahr. Aus (b) und (c) folgt, dass Bodo Kuno nicht
gehasst hat. Damit war Bodo auch nicht der Mörder. Da der Gärtner auch
nicht der Mörder war, folgt hieraus, dass Kuno Selbstmord begangen hat.
Wir kommen nun zur Frage des Reichtums: Aus (a) folgt hier nichts. Aus
(b) auch nicht, da Kuno der Mörder war. Auch die anderen Aussagen liefern
keine Anhaltspunkte darüber, ob Bodo reicher ist als der Gärtner oder nicht
(beide Möglichkeien stehen nicht im Widerspruch zu den gegebenen Fakten).
Die Aussage (4) ist wahr: Wir wissen bereits, dass der Gärtner nicht
der Mörder ist. Ist daher A die Aussage “Der Gärtner hat Kuno getötet”, so
ist die Folgerung A⇒B für jede Aussage B wahr. Die Aussage in (4) ist eine
solche Folgerung.
Die Aussage in (5) ist unwahr, da Kuno Selbstmord begangen hat!
Aufgabe 2. Zu finden sind zwei natürliche Zahlen die echt zwischen 1 und
100 liegen. “Herr Produkt” kennt das Produkt der Zahlen und “Herr Summe”
kennt die Summe der Zahlen. Herr Produkt und Herr Summe führen die
folgende Unterhaltung:
Herr Produkt: “Ich kenne die beiden Zahlen nicht.”
Herr Summe: “Ich kenne die beiden Zahlen auch nicht, aber ich wusste,
dass Sie die Zahlen nicht kennen.”
Herr Produkt: “Dann kenne ich die beiden Zahlen jetzt.”
Herr Summe: “Dann kenne ich die beiden Zahlen jetzt auch.”
Welches der folgenden Zahlenpaare ist die richtige Lösung? (Wir setzen
voraus, dass eines der angegebenen Paare richtig ist!)
3 und 5,
2 und 7,
8 und 11,
4 und 13.
Lösung: Die erste Aussage des Herrn Produkt heißt einfach: das Produkt p
der gesuchten Zahlen ist nicht Produkt zweier Primzahlen oder q 3 für eine
Primzahl q.
Was Herr Summe dann sagt, bedeutet, dass die Summe s sich nicht additiv in zwei Primzahlen zerlegen oder als s = q 2 + q für eine Primzahl q
schreiben läßt. 1
1Nach der Goldbachschen Vermutung läßt sich jede gerade Zahl > 2 als Summe zweier
Primzahlen schreiben, was für die ersten paar Millionen Zahlen schon verifiziert ist. Also
ist s nicht gerade. Dieses liefert ein weiteres allgemeins Kriterium, welches wir aber nicht
benötigen!
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Nach diesen Kriterien fallen alle Paare bis auf “4 und 13” weg (3,5,2,7
sind alles Primzahlen, 19 = 8 + 11 ist Summe der Primzahlen 2 und 17).
17 = 4 + 13 ist nicht Summe zweier Primzahlen und nicht von der Form q 2 + q.
Somit wäre die Aufgabe insofern gelöst, dass ja in der Aufgabenstellung
gesagt ist, dass eines der Paare die richtige Lösung ist.
Wir machen trotzdem noch ein bißchen weiter:
Zur zweiten Aussage von Herrn Produkt: Ist p = 4 · 13, dann weiß
Herr Produkt, dass die Zahlen entweder 4 und 13 oder 2 und 26 sind. Herr
Produkt weiß also von vorneherein, dass s = 17 oder s = 28 gilt. Nun ist
28 = 5 + 23 eine Summe zweier Primzahlen. Diese Summe kommt nach
der ersten Aussage von Herrn Summe nicht mehr in Frage. Also weiß Herr
Produkt nun Bescheid.
Nun zur zweiten Aussage von Herrn Summe: Bei s = 17 = 4 + 13
kämen folgende Paare für Herrn Summe in Betracht: 2 und 15, 3 und 14, 4
und 13, 5 und 12, 6 und 11, 7 und 10, 8 und 9. Aber nur bei 4 und 13 weiß
Herr Produkt Bescheid, denn bei p = 30 = 2 · 15 könnte neben p = 2 · 15 auch
p = 6 · 5 eine mögliche Zerlegung sein, denn 11 = 6 + 5 ist auch nicht Summe
zweier Primzahlen (und nicht von der Form q 2 + q für eine Primzahl q, man
beachte, dass ungerade Zahlen nie von dieser Form sein können). Analog:
• Bei 3 und 14 und somit p = 3 · 14 = 42 könnte Herr Produkt p auch in
2 · 21 zerlegen und s = 21 + 2 = 23 vermuten, was ungerade und nicht
Summe zweier Primzahlen ist.
• Bei 5 und 12 und somit p = 60 könnte Herr Produkt p auch in 3 · 20
zerlegen und s = 20+3 = 23 vermuten, was ungerade und nicht Summe
zweier Primzahlen ist.
• Bei 6 und 11 und somit p = 66 könnte Herr Produkt p auch in 2 · 33
zerlegen und s = 33+2 = 35 vermuten, was ungerade und nicht Summe
zweier Primzahlen ist.
• Bei 7 und 10 und somit p = 70 könnte Herr Produkt p auch in 2 · 35
zerlegen und s = 35+2 = 37 vermuten, was ungerade und nicht Summe
zweier Primzahlen ist.
• Bei 8 und 9 und somit p = 72 könnte Herr Produkt p auch in 3 · 24
zerlegen und s = 24+3 = 27 vermuten, was ungerade und nicht Summe
zweier Primzahlen ist.
Also muß bei s = 4 + 13 die Zerlegung 4 und 13 sein, damit Herr Produkt
Bescheid weiß, und deshalb weiß Herr Summe am Ende auch Bescheid.