Thema 12-2

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Mathematik 2: Thema 12.2 - Zusammenfassung
(3D-)Extrema unter Nebenbedingungen
Wir beschränken uns wieder (meistens) auf Funktionen von zwei Variablen
x, y. Bei drei oder mehr Variablen x1 , . . . , xn sind die gleichen Techniken
analog“ anwendbar, aber schreib- und rechentechnisch weit aufwendiger.
”
Wir reden manchmal allgemeiner von Optimierung, wenn bei einer Fragestellung (zunächst) unklar ist, ob eine Minimierung oder Maximierung vorliegt.
Oft können wir uns auf die Darstellung/Besprechung einer Maximierung beschränken, weil
Minimierung von z = Maximierung von −z
Problemstellung (lokale Maximierung)
(x, y) ∈ D(f )
Zu maximieren ist eine Zielfunktion z = f (x, y),
unter einer
Nebenbedingung in Gleich-Null-Form: b(x, y) = 0,
d.h. gesucht ist die Lösungsmenge aller Stellen (x0 , y0 ) ∈ D(f ), die
1. z = f (x, y) maximieren, d.h.
f (x0 , y0 ) ≥ f (x, y) für alle (x, y) ∈ D(f ) in der Nähe“ von (x0 , y0 ),
”
2. die Nebenbedingung erfüllen, d.h. b(x0 , y0 ) = 0,
3. nicht an einem Rand“ des Definitionsbereichs liegen.
”
Bei ökonomischen Fragestellungen mit n Variablen kommen solche
Extremwertaufgaben meist mit 1 ≤ m ≤ n − 1 relevanten“ Neben”
bedingungen vor, bei zwei Variablen also mit einer Nebenbedingung.
Bsp. 1 Maximiere z = x1/3 · y 2/3 bei der Restriktion/Bedingung y = 15
2 − x,
d.h. x + y − 15
2 = 0 (NB in Gleich-Null-Form)
Vorweg ein Hilfsmittel für Extremwertbestimmungen, das in dem Versuch besteht, zunächst die zu maximierende Funktion in eine Form zu bringen, die
leichter handhabbar ist (d.h. einfachere“ Ableitungen, eine einfachere Me”
thode anwendbar machen):
118 Monotone Transformation der Zielfunktion
Monotone Transformation heißt jede strikt monoton wachsende Funktion h(z) einer Variable z, z.B. für z > 0, d.h. D(h) = R>0 ,
h(z) = z 2 , h(z) = z 1/2 , h(z) = ln(z), h(z) = ez .
Wegen der strengen Monotonie gilt für alle Zahlenvergleiche im Definitionsbereich von h:
z ≤ z0 ⇔ h(z) ≤ h(z0 ),
. Nr. 18 (MF2)
d.h. z0 maximiert eine Menge zulässiger Zahlen z genau dann, wenn die Zahl
h(z0 ) die monoton transformierten Zahlen h(z) maximiert.
Wenn die zulässigen Zahlen z Funktionswerte z = f (x, y) sind, so bedeutet
dies: Jede Maximalstelle (x0 , y0 ) von zulässigen Zahlen z = f (x, y) ist auch
eine Maximalstelle der Zahlen h(z) = h(f (x, y)), und umgekehrt.
+
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Es kann nun (insbesondere auch beim Programmieren) rechnerisch vorteilhaft
sein, diese Maximalstelle(n) (x0 , y0 ) für eine monoton transformierte Zielfunktion
zu bestimmen — es sind ja die gleichen Stellen. Aber:
+
Der zu Extremstellen (x0 , y0 ) gehörige Extremwert ergibt sich immer
durch Einsetzen in die ursprüngliche Funktion: z0 = f (x0 , y0 ).
Bsp. 1 Im (typischerweise durch Nebenbedingung(en) weiter eingeschränkten) Bereich x, y > 0 haben die drei Zielfunktionen z1 := x1/3 · y 2/3 und
z2 := z 3/2 = (x1/3 · y 2/3 )3/2 = x1/2 · y, z3 := ln z = 31 ln x + 32 ln y
identische Maximalstelle(n) (x0 , y0 ), wenn es überhaupt solche gibt.
Entsprechend läßt sich jede Funktion der Form
z = x1−β · y β ; x, y > 0; β > 0 fix
Cobb-Douglas-Funktion
durch die monotone Transformation z 1/β auf eine allgemeine Form bringen,
in der eine der Variablen (hier y) in der ersten Potenz auftaucht:
z1 := z 1/β := xα · y, wobei α =
1−β
β
>0
umgekehrt: β =
1
1+α
Diese allgemeine Form haben wir als Zielfunktion im Rahmen von Linearen Ungleichungssystemen (LUGS, Thema 3) behandelt, unter einer linearen
Nebenbedingung ( relevante Gerade“), die sich halbgraphisch“ ergab.
”
”
Bsp. 2 Lineare Ungleichungssysteme (LUGSe)
. Thema 3
15
−
x
(d.h.
x
+
y
−
z = x1/3 · y 2/3 mit der Restriktion y = 15
2
2 = 0)
und dem zulässigen Bereich
1
5
D(f ) = {(x, y) : y ≤ 15
2 − x; y ≥ 6 + 6 x; y ≤ 6; x ≥ 1}.
2/3 , also
2a Einsetzen der Restriktion in die ZF liefert g(x) = x1/3 ( 15
2 − x)
eine einfache, aber rechnerisch eher aufwendige Maximierungsaufgabe:
2/3 + x1/3 · 2 ( 15 − x)−1/3 · (−1) u.s.w. ... mit genau
−
x)
g 0 (x) = 31 x−2/3 ( 15
2
3 2
einer Lösung für die Maximalstelle: x0 = 52 , d.h.
1/3
2/3
5
(x0 , y0 ) = (x0 , 15
−
x
)
,
5)
∈
D(f
).
z
=
x
=
(
Maximalwert:
·
y
0
0
0
0
2
2
2b Monotone Transformation der Zielfunktion: z2 = z 3/2 = x1/2 · y.
Einsetzen der Restriktion in die ZF liefert g(x) = x1/2 ( 15
2 − x) mit der
gleichen Lösung, aber rechnerisch einfacher als 1a). Diese einfache Form
von Zielfunktionen haben wir für LUGSe benützt. Hier ist aber der Ma1/3 2/3
ximalwert wie oben: z0 = x0 · y0 (weil z = x1/3 y 2/3 ursprüngliche ZF)
Beim Thema Lineare Ungleichungssysteme haben wir also (auf einfachem Weg) die
3D-Maximierung spezieller Funktionen unter einer linearen Nebenbedingung vorgenommen. Wir haben dort allerdings (um den Ansatz etwas zu vereinfachen, aber
bei einem leicht erkennbar äquivalenten ZF-Typ zu belassen) als ursprüngliche“
”
Zielfunktion immer gleich den Typ z = xα · y (α > 0 fix) betrachtet.
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2c Monotone Transformation der Zielfunktion: z3 = ln z = 31 ln x + 32 ln y.
Einsetzen der Restriktion in die ZF liefert g(x) = 13 ln x + 32 ln( 15
2 − x) mit
der gleichen Lösung, aber rechnerisch besonders einfach:
4
1 1
(
−
) u.s.w. ... Maximalwert wie oben.
=
g 0 (x) = 13 x1 + 32 15−1
3
x
15−2x
−x
2
Die eben mehrfach praktizierte Methode des Einsetzens von Nebenbedingungen ist nicht immer, aber in vielen Anwendungsfällen anwendbar.
Einsetzen der NB
119 Methode: Variablensubstitution
Reduktion der Fragestellung auf eine äquivalente mit weniger Variablen,
indem die Nebenbedingung(en) eindeutig nach jeweils einer Variablen (z.B. y)
oder einer für das Einsetzen (evtl. nach monotoner Transformation der ZF)
günstigen Form dieser Variablen (z.B. y 2 ) aufgelöst und in die ursprüngliche
Funktion eingesetzt werden: Die entsprechenden Variablen bzw. die Variablen-Ausdrücke werden in der Zielfunktion substituiert“.
”
Bsp. 3a Für x > 0 und y > 0 ist unter der nicht-linearen NB x2 + y 2 = b
√
(b > 0 konstant) der Extremwert von z = f (x, y) = x · y gesucht.
Wir wählen eine monotone Transformation der ZF, die leicht auflösbare“ Ab”
leitungen liefert und zur Nebenbedingung passend“ ist ( direktes Einsetzen“
”
”
ermöglicht). Ein solches Vorgehen ist nicht immer möglich, lohnt aber einen
Versuch. Hier ist offensichtlich z 2 = x2 · y geeignet. Als Extremstelle ergibt
sich, nach Einsetzen der NB x2 = b−y 2 in die ZF: g(y) = (b−y 2 )·y = b·y−y 3 ,
g 0 (y) = b − 3y 2 , g 00 (y) = −6y < 0 ; g 0 (y) = 0 ⇔ y = (b/3)1/2 . Also ist
y0 = (b/3)1/2 und aus der NB folgt x20 = b − (b/3), d.h. x0 = 21/2 (b/3)1/2 .
Da offensichtlich (x0 , y0 ) ∈ D(f ), ist also (x0 , y0 ) Maximalstelle mit dem
√
Maximalwert: z0 = x0 y0 = 21/2 · (b/3)3/4 . Für b = 48 ergibt sich als Maxi√
malstelle (y0 = 4, x0 = 25/2 ), und als Maximalwert: z0 = x0 y0 = 27/2 .
√
Bsp. 3b Für x > 0 und y > 0 ist unter der nicht-linearen NB x· y = c (mit
c > 0 konstant) der Extremwert von z = f (x, y) = x2 + y 2 gesucht.
Dieses Mal wird die NB einsetzbar umgeformt zu x2 = c2 /y und damit
g(y) = c2 /y + y 2 optimiert: g 0 (y) = −c2 /y 2 + 2y, g 00 (y) = 2 · c2 /y 3 + 2 > 0;
g 0 (y) = 0 ⇔ 2y = c2 /y 2 ⇔ y 3 = c2 /2 ⇔ y = (c2 /2)1/3 ; also liefern
−1/2
y0 = (c2 /2)1/3 und x0 = c · y0
= 2−1/6 · c2/3 = 21/2 (c2 /2)1/3 eine Minimalstelle der ZF mit Minimalwert z0 = x20 + y02 = 3 · (c2 /2)2/3 .
Für c = 27/2 , d.h. c2 /2 = 26 ergibt sich wie in (3a): y0 = 22 , x0 = 25/2 , nun
aber als Minimalstelle, mit Minimalwert: z0 = x20 + y02 = 25 +24 = 3·24 = 48.
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In den Beispielen 3a/3b haben wir die folgende ökonomisch interessante Situation:
√
Ist dort z.B. P (x, y) = x y eine Produktionsfunktion und K(x, y) = x2 + y 2 eine
Kostenfunktion, so liefert die Outputmaximierung (P ist ZF) unter vorgegebener
Kostenrestriktion K(x, y) = K0 (NB) eine bestimmte Inputkombination (x0 , y0 )
als Extremalstelle mit zugehörigem Outputmaximum P0 ; gleichzeitig ist genau
diese outputmaximierende Inputkombination (x0 , y0 ) kostenminimal (die ZF ist
nun K), mit dem Minimalwert K0 , wenn dieser Output-Maximalwert vorgegeben
wird (die NB ist dann P (x, y) = P0 ).
!
t
Vorsicht Obige Eigenschaft bedeutet nicht etwa, dass derartige
Lösungen gleichzeitig den Output maximieren und die Kosten minimieren würden — dies ist i.A. unmöglich.
Sie besagt aber (wenn sie vorliegt),
• dass ein unter einer Kosten-NB gefundenes Outputmaximum mit einem niedrigeren Kosteneinsatz als den in der NB betrachteten nicht erreicht werden
kann (und insofern gleichzeitig kostenminimierend ist),
• dass ein unter einer Output-NB gefundenes Kostenminimum bei einer höheren
Outputvorgabe als der in der NB betrachteten nicht erreicht werden kann (und
insofern gleichzeitig outputmaximierend ist).
Bsp. 3c Für x > 0 und y > 0 sind gegeben:
. Bsp. 3a/3b
√
2
2
Die Funktionen P (x, y) = x y und K(x, y) = x + y und ein Paar von Vorgaben
b > 0 und c > 0, das die Bedingung (b/3)1/2 = (c2 /2)1/3 =: d erfüllt.
Dann ist die Stelle (x0 , y0 ) mit x0 = 21/2 d und y0 = d Extremalstelle für die
beiden dualen“ Ansätze:
”
(A) Maximierung von P , NB: K(x, y) = b ⇒ Max’wert: P (x0 , y0 ) = 21/2 ·d3/2 = c
(B) Minimierung von K, NB: P (x, y) = c ⇒ Min’wert: K(x0 , y0 ) = 3d2 = b
Für eine beliebige Zahl c > 0 und b := 3 · (c2 /2)2/3 gelten also obige Aussagen (•).
! Eine solche ”Minimum-Maximum-Dualität“ bei einem Austausch von
t
Zielfunktion und Nebenbedingung ist i.A. nicht gegeben. Bei bestimmten (anwendungsrelevanten) Problemstellungen/Funktionstypen ist sie aber
doch gegeben, nämlich immer dann, wenn als ZF und NB-Funktion eine konvexe und eine konkave Funktion zusammenkommen — konvex/konkav, wenn
beide als Niveaukurvenschar ( Isoquanten“) gesehen werden, d.h. wenn sie
”
nach y aufgelöst sind (wie etwa bei LUGS).
[Beachte hierbei: Geraden sind konvex und konkav]
2
2
Bsp. 4 Für x > 0, y > 0 und f (x, y) = e21−x /8 − y /8 und g(x, y) = x2/4 + y
liefert die Maximierung von f unter der NB g(x, y) = 6 die Maximalstelle
(x0 , y0 ) = (4, 2). Umgekehrt liegt unter der NB f (x, y) = f (4, 2) = e37/2 bei
(x0 , y0 ) = (4, 2) aber nicht nur kein (lokales) Minimum von g vor, sondern
g(4, 2) = 6 ist sogar ein lokaler Maximalwert von g.
. Aufgabe H 72
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Die folgende, immer anwendbare Methode ist in der Darstellung und (meistens) auch in den Folgerechnungen aufwendiger bzw. schwieriger handhabbar. Andererseits ist sie schon deswegen interessant, weil die dabei vorkommenden Multiplikatoren“ (meist) ökonomisch illustrativ interpretiert werden
”
können (hier nur ansatzweise, vorbereitend“ für die . Mikroökonomie).
”
Bsp. 5 Begleitendes Beispiel
Interessierender Bereich: x > 0, y > 0
ZF: K(x, y) = kx ·x+ky ·y = Variable Faktorkosten, wobei x, y die variablen
Inputmengen ( Faktormengen“) und kx , ky > 0 die zugehörigen fixen
”
Preise ( Faktorpreise“) der beiden Produktionsfaktoren darstellen.
”
NB: P (x, y) = P0 > 0, wobei P (x, y) eine Produktionsfunktion ist.
(P ist zunächst nicht näher bestimmt, die Auflösbarkeit nach x oder y zum
Zwecke einer Variablensubstitution also nicht gewährleistet). Für konkretere Beispielrechnungen verwenden wir, weil so vieles noch leichter einsehbar
wird, die auflösbare Cobb-Douglas-Funktion P (x, y) = x1/3 · y 2/3 und, noch
1/3
1
2
1
1
mehr vereinfachend, mit α = 1−β
β = 2/3 = 2 d.h. β = 1+α = 1+1/2 = 3 die
3/2
äquivalente, monoton transformierte NB: x1/2 y = P0
120
statt x1/3 y 2/3 = P0 .
Multiplikatoren-Methode von Lagrange
Die Optimierung der Zielfunktion f (x, y) unter einer (relevanten) Nebenbedingung in Gleich-Null-Form: b(x, y) = 0, wird äquivalent zusammengefasst
in die Optimierung der
Lagrange-Funktion L(x, y, λ) := f (x, y) + λ · b(x, y)
mit dem (zunächst unbekannten) Lagrange-Multiplikator λ.
1 Bringe die Nebenbedingung in Gleich-Null-Form (NB=0): b(x, y) = 0
und bilde damit, zusammen mit der Zielfunktion (ZF):
f (x, y)
L(x, y, λ) = f (x, y) + λ · b(x, y)
die Lagrange-Funktion (LF):
B NB=0: b(x, y) = P (x, y) − P0
ZF: K(x, y) = kx · x + ky · y
LF: L(x, y) = kx x + ky y + λ b(x, y)
3/2
b(x, y) = x1/2 y − P0
K(x, y) = kx · x + ky · y
3/2
L(x, y) = kx x + ky y + λ (x1/2 y − P0 )
2 Bilde die partiellen Ableitungen von L und setze diese simultan gleich Null:
deshalb die (NB=0)-Form !
2-1 L0λ (x, y, λ) = b(x, y) = 0
!
0
0
0
2-2 Lx (x, y, λ) = fx (x, y) + λ · bx (x, y) = 0
!
2-3 L0y (x, y, λ) = fy0 (x, y) + λ · b0y (x, y) = 0
B L0λ (x, y, λ) = P (x, y) − P0 = 0
!
L0x (x, y, λ) = kx + λ · Px0 (x, y) = 0
!
L0y (x, y, λ) = ky + λ · Py0 (x, y) = 0
3/2
L0λ (x, y, λ) = x1/2 · y − P0
L0x (x, y, λ) = kx + λ ·
1
2
=0
!
· x−1/2 · y = 0
!
L0y (x, y, λ) = ky + λ · x1/2 = 0
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3 [Notwendiges Kriterium] Löse dieses (meist nicht-lineare) Gleichungssystem von drei Gleichungen nach den drei Variablen λ, x, y auf. Lösungen
bestehen aus je drei Werten (x0 , y0 ) und λ0 , wobei dann (x0 , y0 ) eine Kandidatin für eine Extremstelle von f ist: eine (bedingte) stationäre Stelle.
3a [Interpretativ] Der Multiplikator λ spielt hierbei (mathematisch) die
Rolle einer Hilfsvariablen, deren konkreter Wert letztendlich nur für ökonomische Interpretationen gefragt ist. Aus 2-2 und 2-3 folgt:
0
f 0 (x ,y )
0
0
y
0
(x0 ,y0 )
fx (x0 ,y0 )
bx (x0 ,y0 )
y 0 0
− fb0x(x
=
λ
=
−
und
−
=
−
0
0
b (x ,y )
f (x ,y )
b0 (x ,y )
,y )
x
0
0
y
0
0
0
y
0
0
Nenner 6= 0
Der linke Ausdruck besagt, dass an der Basisstelle (x0 , y0 ) gilt:
dfx ≈ fx0 ·dx = −λ·b0x ·dx ≈ −λ·dbx , d.h. dfx ≈ −λ · dbx und dfy ≈ −λ · dby
d.h. kleine“ (absolute) Änderungen des Bedingungsniveaus übertragen
”
sich — partiell und in Addition der Einzeleffekte — mit dem gleichen
Multiplikator −λ (dessen Wert sich aus der linken Gleichung ergibt) auf
die Änderung der ZF gegenüber dem Wert f (x0 , y0 ) (= mögl. Extremwert).
Der rechte Ausdruck besagt, dass an der Basisstelle (x0 , y0 ) die Grenzraten
der Substitution dy/dx (also auch dx/dy) entlang der konstanten Bedingungskurve und entlang der ZF-Kurve auf dem konstanten Niveau-Wert
f (x0 , y0 ) (= möglicherweise Extremwert) übereinstimmen müssen.
! vorsicht bei Interpretationen des Wertes von λ mit dem Vorzeichen!
t
Dieses hängt davon ab, wie die Nebenbedingung aufgeschrieben wird:
Mit b(x, y) = 0 gilt auch −b(x, y) = 0 und dies ist eine äquivalente Nebenbedingung. Alle obigen Ausdrücke bleiben richtig und werden korrekt interpretiert, solange dabei b und b0 auftreten. Wenn dies aber — wie im begleitenden
Beispiel — in P und P 0 übersetzt“ wird, muss sehr genau darauf geachtet
”
werden, ob die Nebenbedingung wie oben oder in negativer Form (hier wäre
3/2
dies P0 − P (x, y) = 0 bzw. P0 − x1/2 · y = 0) angesetzt wurde. Bei Letzterem
wechselt das Vorzeichen von λ, nicht aber der Wert von −λ · b0x bzw. −λ · b0y .
B −kx /Px0 = λ = −ky /Py0
−1/2
−kx /( 21 · x0
1/2
y0 ) = λ = −ky /x0
−kx /ky = − 21 · (y0 /x0 )
−kx /ky = −Px0 /Py0
d.h. −λ = (Faktorpreis/Faktor-Grenzprodukt) für jeden der beiden Faktoren,
und (Verhältnis Faktorpreise = entspr. Verhältnis Faktor-Grenzprodukte)
bzw. dy/dx entlang ZF mit Niveau f (x0 , y0 ) = dy/dx entlang konstanter NB.
3b [Rechnerisch] Die Auflösung eines nicht-linearen Gleichungssystems
kann sehr einfach sein, aber auch beliebig schwierig werden, eine generelle Lösungs-Methode ist nicht angebbar. Für die wichtigsten (durch
Variablensubstitution nicht lösbaren) Problemstellungen im Anwendungsbereich sind aber Lösungen bekannt.
. Ökonomische Veranstaltungen
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B Im konkreteren Beispiel folgt wie in 3a aus 2-2 und 2-3: y0 = 2 ·
kx
· x0 (∗)
ky
kx
); also erfüllt jede stationäre Stelle
ky
2-1
kx
kx
−1/2
2/3
·(2 kx )1/3 ·ky .
(x0 , y0 ): x0 = P0 · (2· )−2/3 , y0 = P0 · (2· )1/3 ; λ0 = −P0
ky
ky
3/2
und damit P0
= x1/2 · y = x3/2 · (2 ·
4 [Hinreichendes Kriterium]
Bestimme für jede stationäre Stelle (x0 , y0 ) mit zugehörigem λ0 die zweiten partiellen Ableitungen von f und b und damit den Wert
D0 := D(x0 , y0 , λ0 ) :=
00 +λ ·b00 )·(b0 )2 −2·(f 00 +λ ·b00 )·b0 ·b0 +(f 00 +λ ·b00 )·(b0 )2
(fxx
0 xx
0 xy
0 yy
y
xy
x y
yy
x
wobei alle Ableitungen an der stationären Stelle (x0 , y0 ) gebildet werden.
4a Falls D0 > 0, so ist (x0 , y0 ) lokale Minimalstelle
der ZF f unter der NB b(x0 , y0 ) = 0 ; Minimalwert: f (x0 , y0 ).
4b Falls D0 < 0, so ist (x0 , y0 ) lokale Maximalstelle
der ZF f unter der NB b(x0 , y0 ) = 0 ; Maximalwert: f (x0 , y0 ).
4c Falls D0 = 0, so ist keine Entscheidung möglich.
B Im Beispiel sind die zweiten Ableitungen der ZF f = K alle gleich Null,
also haben wir an jeder stationären Stelle (wenn es solche überhaupt gibt) eine
Bedingung an die Ableitungen der NB-Funktion b(x, y) = P (x, y) − P0 an der
Stelle (x0 , y0 ):
00
00
00
D0 = λ0 · ( Pxx
· (Py0 )2 − 2 · Pxy
· Px0 · Py0 + Pyy
· (Px0 )2 ) mit −kx /Px0 = λ0 = −ky /Py0
3a
3a
Nur durch allgemeine (inhaltlich ökonomisch begründete) Annahmen über die
Ableitungen der NB-Funktion P kann damit für stationären Stellen Minimalität bzw. Maximalität gefolgert werden! (Wird hier nicht weiter ausgeführt.)
3/2
Im konkreteren Beispiel mit b(x, y) = x1/2 y − P0
sind:
b0x (x, y) = 21 x−1/2 y, b0y (x, y) = x1/2 , b00xx (x, y) = − 41 x−3/2 y, b00yy (x, y) = 0,
(und alle zweiten Ableitungen von f gleich Null), also
b00xy (x, y) = 21 x−1/2 ,
D0 = λ0 ( − 41 x−3/2 yx − 2 · 21 x−1/2 · 12 x−1/2 y · x1/2 + 0) = − 43 · λ0 · x−1/2 y > 0,
−1/2
da λ0 = − P0
3b
2/3
· (2 kx )1/3 · ky
< 0. Die oben in (3b) angegebene Stelle
(x0 , y0 ) ist also lokale Minimalstelle der Kosten unter der NB: x1/3 y 2/3 = P0 .
Minimalwert: K(x0 , y0 ) = kx · x0 + ky · y0
[Allgemeine Darstellung des Minimalwerts:
1/3 2/3
K(x0 , y0 ) = kx ·x0 +ky ·y0 = 32 ·ky ·y0 = 3·kx ·x0 = 3·2−2/3 ·P0 ·kx ·ky ]
(∗)
(∗)
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Allgemeiner: Die Optimierung einer Funktion von n Variablen f (x1 , . . . , xn )
unter den m Nebenbedingungen in Gleich-Null-Form
b1 (x1 , . . . , xn ) = 0, . . . , bm (x1 , . . . , xn ) = 0
wird äquivalent zusammengefasst in die Optimierung der sogenannten
Lagrange-Funktion Lf (x1 , . . . , xn ; λ1 , . . . , λm ) :=
f (x1 , . . . , xn ) + λ1 · b1 (x1 , . . . , xn ) + . . . + λm · bm (x1 , . . . , xn )
d.h. zu jeder Nebenbedingungsfunktion bj gibt es einen eigenen, noch näher
zu bestimmenden Parameter λj , der als Faktor in der Lagrange-Funktion
auftritt. Diese Parameter λ1 , . . . , λm heißen Langrange-Multiplikatoren des
Extremwertproblems für f unter den m Nebenbedingungen b1 . . . , bm .
Bei drei Variablen und zwei Nebenbedingungen:
. Aufgabe H 73
Lf (x, y, z; λ, µ) := f (x, y, z) + λ · b(x, y, z) + µ · c(x, y, z)
Für das Aufsuchen der Kandidatinnen für optimale Stellen sind dann 5 partielle Ableitungen zu bilden und ein (meist nicht-lineares) Gleichungssystem
von 5 Gleichungen mit drei Variablen x, y, z und zwei Hilfsvariablen λ, µ zu
lösen — nicht schwieriger, nur aufwendiger. Aber schon die Formulierung des
hinreichenden Kriteriums würde (wie bei unbedingten Extrema) den Rahmen
dieses Basiskurses sprengen.
Das obige begleitende Beispiel auf n Inputvariable (Produktionsfaktoren) erweitert, aber weiterhin mit nur einer Nebenbedingung (Outputvorgabe), liefert:
Bsp. 6 (Aufsuchen stationärer Stellen. Bei diesem Typ Fragestellung kann wegen
ökonomisch begründeter Annahmen über die Produktionsfunktion davon ausgegangen werden, dass nur mögliche Kostenminima vorliegen).
(ZF) Minimiere K(x1 , . . . , xn ) = k1 ·x1 +. . .+kn ·xn ; (NB) P0 − P (x1 , . . . , xn ) = 0.
L(x1 , . . . , xn ; λ) = k1 · x1 + . . . + kn · xn + λ(P0 − P (x1 , . . . , xn ))
L0xj (x1 , . . . , xn ; λ) = kj − λ · Px0 j (x1 , . . . , xn ) für 1 ≤ j ≤ n und L0λ = N B.
Für stationäre Stellen muss somit gelten: kj /Px0 j = λ für 1 ≤ j ≤ n. Wenn
also (x∗1 , . . . , x∗n ) die NB erfüllt, dann muss für Kostenminimalität das Verhältnis
von je zwei partiellen Grenzproduktivitäten an der Stelle (x∗1 , . . . , x∗n ) gleich dem
Verhältnis der entsprechenden Faktorpreise sein: Px0 i /Px0 j = ki /kj (1 ≤ i, j ≤ n).
Beim folgenden Produktionsfunktionstyp folgt aus dieser Bedingung schon die
(einzig mögliche) stationäre Stelle:
Px0 i
αi xj
α1
α2
α3
α4
Bsp. 6a NB: P0 − x1 · x2 · x3 · x4 = 0 mit αj > 0. Dann ist 0 =
· , also
P xj
αj xi
kj αi
αi k1
ki
αi xj
· x1
(∗)
xi =
=
· , d.h. xi =
·
· xj . Für (j = 1):
·
kj
αj xi
ki αj
ki α1
α2
α3
α4
k1
α +α +α +α
und somit nach NB: P0 = x1 1 2 3 4 · ( )α2 +α3 +α4 · ( )α2 · ( )α3 · ( )α4
α1
k2
k3
k4
Dies wird nach x1 aufgelöst und danach ergeben sich x2 , x3 , x4 aus x1 mittels (∗).
Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg
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