Universität des Saarlandes Lehrstuhl für Statistik und ¨Okonometrie

R
S
IS
S
UN
E R SIT
A
SA
Universität des Saarlandes
Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie
Prof. Dr. Volker Steinmetz
Dipl. Kfm. Dipl. Math. Stefan Klößner
IV
A VIE N
8. Übungsblatt zur Vorlesung Schließende Statistik WS 2003/2004
Aufgabe 49
Es sei X = (X1 , ..., Xn ) eine einfache Stichprobe zu einer eindimensionalen Zufallsvariablen Y .
Zeigen Sie, daß X erschöpfend ist
(a) für λ, falls Y Poisson-verteilt ist mit Parameter λ,
(b) für µ, falls Y ∼ N (µ, σ02 ) , σ02 > 0 bekannt.
Geben Sie bei der Benutzung des Faktorisierungslemmas von Neyman die Funktionen g und h
explizit an.
Aufgabe 50
Die ZV Y sei gleichverteilt auf {1, . . . , ϑ} (ϑ ∈ N). Bei vorgegebener einfacher Stichprobe
X = (X1 , . . . , Xn ) (n ∈ N) zu Y werde für ϑ der Schätzer δ : X → N , X 3 x 7→ max xi
i=1,··· ,n
betrachtet.
(a) Zeigen Sie, daß für die Verteilungsfunktion von δ(X)


0
: y<1


 µ [y] ¶n
Fδ(X) (y) =
:1≤y≤ϑ

ϑ



1
: y>ϑ
gilt, falls ϑ der tatsächliche Parameter ist. (Dabei steht [y] für die sog. Gauß-Klammer von
y, welche als die größte ganze Zahl, die noch kleiner oder gleich y ist, definiert ist.)
(b) Hat δ(X) eine Dichte ?
(c) Wie groß ist für k ∈ {1, . . . , ϑ} die Wahrscheinlichkeit P {δ(X) = k} ?
(d) Ist δ(X) erwartungstreu, asymptotisch erwartungstreu, konsistent im quadratischen Mittel
µµ ¶n µ
µ ¶
¶n ¶
ϑ
ϑ−1
P
P k n
k
k−1
bzw. konsistent für ϑ ? Hinweise:
k
−
=ϑ−
,
ϑ
ϑ
ϑ
k=1
k=1
µµ ¶n µ
¶n ¶
µ ¶n
ϑ
ϑ−1
P
P
k
k−1
k
2
2
k
−
.
=ϑ −
(2k + 1)
ϑ
ϑ
ϑ
k=1
k=1
(e) Untersuchen Sie δ auf Suffizienz für ϑ !
Aufgabe 51
(a) Berechnen Sie die Maximum-Likelihood-Schätzfunktion für den Erwartungswert der PoissonVerteilung.
(b) Eine Zufallsvariable X sei normalverteilt mit unbekannter Varianz σ 2 und bekanntem Erwartungswert µ. Berechnen Sie die Maximum-Likelihood-Schätzfunktion für σ 2 .
Aufgabe 52
Gegeben seien die Daten aus Aufgabe 48.
(a) Zeigen Sie, daß δ ein suffizienter Schätzer für ϑ ist.
(b) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für ϑ.
(c) Bestimmen Sie den Momenten-Schätzer für ϑ. Zeigen Sie, daß dieser Schätzer für n ≥ 3
mit positiver Wahrscheinlichkeit ’unsinnige’ Ergebnisse liefert, d.h. daß es mit positiver
Wahrscheinlichkeit dazu kommt, daß der Schätzer einen Wert für ϑ liefert, bei dem die
Stichprobenrealisation unmöglich gewesen wäre.
ϑ
Hinweis: Untersuchen Sie die Realisationen x = (x1 , . . . , xn ) mit x1 , . . . , xn−1 ∈ [0, 16
],
2
xn ∈ [(1 − n )ϑ, ϑ].
Aufgabe 53
Eine Urne enthält weiße und rote Kugeln. Der Anteil ϑ der weißen Kugeln ist unbekannt. X sei
eine Stichprobe mit Zurücklegen im Umfang n ∈ N. Das Ergebnis der i-ten Ziehung wird mit
Xi = 0 für eine rote und mit Xi = 1 für eine weiße Kugel bezeichnet (i = 1, ..., n).
(a) Bestimmen Sie die Zufallsvariable Y , die den Umweltausschnitt beschreibt, die Verteilungsannahme, die Stichprobe und den Stichprobenraum.
(b) Bestimmen Sie die Likelihood-Funktion (allgemein) sowie für die Stichprobe X = (1, 0, 0, 0, 0)
einen ML-Schätzwert für ϑ.
(c) Es sei bekannt, daß mindestens 2 rote, mindestens 2 weiße Kugeln und insgesamt 5 Kugeln
in der Urne sind. Wiederholen Sie für diesen Fall (a) und (b).
Aufgabe 54
Y sei eine über dem Intervall [−ϑ, ϑ] gleichverteilte Zufallsvariable, wobei ϑ > 0 unbekannt sei.
X = (X1 , ..., Xn ) sei eine einfache Stichprobe zu Y vom Umfang n > 3.
(a) Ermitteln Sie den Momenten-Schätzer für ϑ.
(b) Zeigen Sie, daß der Momenten-Schätzer für ϑ mit einer positiven Wahrscheinlichkeit zu
einem ’unsinnigen’ Ergebnis führt.
(c) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für ϑ.
Aufgabe 55
Let X1 , . . . , Xn be independent r.v.’s, each with density
µ 2¶

 x exp −x
:x>0
ϑ
2ϑ
f (x | ϑ) =

0
:x≤0
,
where ϑ is unknown, ϑ ∈ Θ = {z : z > 0}. [This is called the Rayleigh distribution.] Find
the method of moments estimator of ϑ.
(vgl. Dudewicz, E.J.: Introduction to Statistics and Probability, New York et al. 1976, p.260)