Brillouin-Streuung Ein Versuch für das Fortgesc

Zulassungsarbeit zur wissenschaftlichen
Prüfung für das Lehramt an Gymnasien:
Brillouin-Streuung
Ein Versuch für das
Fortgeschrittenenpraktikum II
vorgelegt von Mario Bannwarth
9. Februar 2006
Inhaltsverzeichnis
1 Zusammenfassung
3
2 Aufgaben
4
3 Theorie
3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Brillouinstreuung in Flüssigkeiten . . . . . . . . . .
3.3 Der kubische Kristall . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Millersche Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Brillouin-Streuung im kubischen Kristall . . . . . .
3.6 Tyndallstreuung, Rayleighstreuung . . . . . . . . .
3.7 Elastizitätstensor, Spannungstensor und Hookesches
3.7.1 Elastizitätstensor . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Spannungstensor . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.3 Hookesches Gesetz . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Die allgemeine Wellengleichung . . . . . . . . . . .
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Gesetz
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6
6
6
8
8
10
14
14
14
16
17
19
4 Aufbau
23
5 Gerätebeschreibungen
5.1 Der Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Das Fabry-Perot-Interferometer . . . . . . . . . . .
5.3 Der Photomultiplier . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Ratemeter und Diskriminator . . . . . . . . . . . .
5.5 Datenerfassung und Ansteuerung der FPI-Spannung
26
26
27
32
33
35
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6 Justierung
39
7 Messungen, Auswertung, Ergebnisse
7.1 Eichung . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Brombenzol . . . . . . . . . . . . . .
7.3 KBr-Kristall . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Fehlerdiskussion . . . . . . . . . . . .
7.5 Ergebnisse und Zusammenfassung . .
42
42
44
47
50
52
8 Erklärung
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53
9 Anhang
54
9.1 Messungen und Fits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9.2 Fits zu den Brechungsindizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10 Danksagung
72
1
Zusammenfassung
In einem Versuch des Fortgeschrittenenpraktikums II wird die Brillouinstreuung in Flüssigkeiten und Kristallen untersucht. Dabei handelt es sich um
inelastische Streuung von Licht an thermisch angeregten Schwankungen der
Dichte des betreffenden Mediums (Schallwellen). Im Spektrum des gestreuten
Lichts tauchen neben der zentralen Komponente des Streulichts Streupeaks
mit gleichem Freuenzabstand vom Zentralpeak auf, die durch Streuung an
diesen Schwankungen entstehen, der Brillouinstreuung. Aus dieser Frequenzverschiebung kann man die Schallgeschwindigkeit in den betrachteten Medien
berechnen. Zusätzlich ist es möglich, elastische Konstanten des Streumediums aus der Frequenzverschiebung zu berechnen.
Ziel dieser Arbeit war es, den Versuch neu aufzubauen, so dass er einige
neue Kriterien erfüllt:
• Die Studenten sollten selbst in der Lage sein, Justierungen am Strahlengang selbst vorzunehmen.
• Statt eines x-t-Schreibers sollte ein PC zur Protokollierung der Meßdaten verwendet werden. Dazu war auch das Programmieren einer
Schnittstelle zwischen Computer und den im Versuch angesteuerten
Geräten notwendig.
3
2
Aufgaben
• Vorkenntnisse: Bragg-Streuung, Kubisches Gitter, Phononen, Wechselwirkung Photon - Phonon, Grundlagen der Elastizitätstheorie, allgemeines Hookesches Gesetz, Elastische Konstanten, Funktionsweise der
verwendeten Geräte, insbesondere des Fabry-Perot-Interferometers.
• Messungen
1. Justieren Sie die optischen Komponenten des Versuchs. Gehen Sie
dazu wie in der Justieranleitung vor.
2. Schwächen Sie den Laserstrahl mit Filtern soweit ab, dass das Ratemeter im höchsten Zählbereich nicht übersteuert wird. Nehmen
Sie ein Eichspektrum des direkten Laserstrahls für das FPI auf.
Das Spektrum soll mindestens vier Peaks des Lasers beinhalten.
Wählen Sie dazu sinnvolle Periodendauer, Spannungsbereich, Integrationszeit und Scananzahl.
3. Ersetzen Sie den Spiegel S2 durch die Streuzelle. Stellen Sie den
Kristall auf 45◦ und bewegen Sie ihn aus dem Strahlengang. Nehmen Sie mindestens vier Spektren von Brombenzol auf. Um die
Anfangsspannung U1 und Endspannung U2 sinnvoll zu wählen,
fahren Sie die Sägezahnspannung zuerst in einem großen Intervall
schnell durch (T ≈ 10s), wählen dann U1 und U2 so, dass ein
Brillouin-Triplett (Stokespeak - Rayleighpeak - Antistokespeak)
vollständig auf dem Spektrum zu erkennen ist. Wählen Sie für die
Messungen eine Sägezahndauer von T ≈ 30s. Nehmen Sie so insgesamt mindestens vier Brillouinspektren auf.
Prüfen Sie, ob die Brillouinpeaks symmetrisch zum Rayleighpeak
sind. Bestimmen Sie die Schallgeschwindigkeit in Brombenzol und
den adiabatischen Kompressionsmodul von Brombenzol.
4. Drehen Sie den Kristall in den Strahlengang. Nehmen Sie für
ein festes Spannungsintervall, dass Sie gleich wie bei Brombenzol bestimmen, die Streulichtspektren für Winkel ϕ zwischen 30◦
und 90◦ in 5◦ -Schritten auf. Wählen Sie hier in den Messungen
T ≈ 100s. Bedenken Sie, dass Sie beim Kristall einen größeren
Spannungsbereich wählen müssen als bei Brombenzol, um sicher
gehen zu können, dass die Brillouinpeaks noch innerhalb des freien
Spektralbereichs des FPI liegen. Wiederholen Sie diese Messungen
für zwei weitere Spannungsintervalle.
5. Berechnen Sie für jeden gemessenen Winkel den Mittelwert der
4
Schallgeschwindigkeiten und überprüfen Sie die Formel von Benedek und Fritsch.
6. Bestimmen Sie die elastischen Konstanten von KBr und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den theoretischen Werten.
• Vorgegebene Daten:
Brechungsindex nKBr = 1, 564 bei λ0 = 543, 5 nm
Brechungsindex nBrombenzol = 1, 566 bei λ0 = 543, 5 nm
Massendichte ρKBr = 2, 740 cmg 3
Massendichte ρBrombenzol = 1, 495 cmg 3
Streuwinkel Θ = 90◦
Wellenlänge des Lasers in Vakuum: λ0 = 543, 5 nm
Freier Spektralbereich des FPI: δϑ = 30 GHz
5
3
3.1
Theorie
Einleitung
Wenn ein Lichtstrahl eine Flüssigkeit oder einen Kristall durchläuft, wird
ein Teil des Lichts aufgrund thermischer Fluktuationen der Dichte, und damit des Brechungsindex des Streumediums, in alle Richtungen gestreut [1].
Man kann diese Schwankungen in eine Fourierreihe, das heisst in sinusförmige Dichteschwankungen zerlegen. So kann man sich vorstellen, dass durch die
Flüssigkeit bzw. den Kristall ständig sinusförmige Dichteschwankungen, also
Schallwellen (akustische Schwingungen) laufen. Breitet sich die Fluktuation
im Medium aus (Schallwelle), so erfährt das einfallende Licht bei der Reflexion an der Welle eine Dopplerverschiebung, das Streulichtspektrum enthält ein
Doublet, das nach seinem Entdecker Brillouindoublet (1914) genannt wird.
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit dieser Schallwellen beträgt in Flüssigkeiten
3 km
− 10 km
, in Kristallen 10 km
− 50 km
und ist damit deutlich kleiner als
s
s
s
s
die Lichtgeschwindigkeit in Vakuum. Der Einfluss der Dopplerverschiebung
ist damit gering, man benötigt zum Nachweis eine monochromatische Lichtquelle und hochauflösende spektrale Interferometer. Mit der Erfindung des
Lasers wurde das Problem der Lichtquelle gelöst.
Bei Kristallen kann man die Schallgeschwindigkeit mithilfe der Elastizitätstheorie mit den Moduln (elastische Konstanten) des Kristalls verbinden,
und so die Größen bestimmen, die den Einfluß von Kräften auf den Kristall
beschreiben. Bei Brillouinstreuung in Flüssigkeiten kann man hingegen den
adiabatischen Kompressionsmodul bestimmen.
3.2
Brillouinstreuung in Flüssigkeiten
In einer Flüssigkeit ist die Dichte nicht an allen Orten und zu allen Zeiten
konstant, sondern sie unterliegt Schwankungen [1]. Der Brechungsindex n ist
abhängig von der Dichte der Flüssigkeit, die Streuung einer Lichtwelle und
die Dichtefluktuation sind also gekoppelt. Ein Teil der Dichteschwankungen
&
setzt sich aus thermisch erregten Schallwellen zusammen. Wellenvektor K
und Frequenz Ω dieser Wellen sind von Richtung und Betrag her statistisch
verteilt. Die Schallgeschwindigkeit ist im betrachteten Frequenzbereich als
konstant anzusehen. Wenn ein Lichtstrahl (Wellenlänge im Vakuum λ0 ) also
durch eine Flüssigkeit hindurchtritt, wird er an diesen Schallwellen reflektiert. Man registriert Streumaxima, wenn sich die an den Dichteschwankungen reflektierten Wellen phasenrichtig überlagern, das heisst, die Braggsche
6
Abbildung 1: Brillouinstreuung an einer Schallwelle in einer Flüssigkeit
Streubedingung muss erfüllt sein (siehe Abbildung 1):
Θ
λ0
2Λ sin( ) = m
2
n
(1)
für eine ganze Zahl m. Hier ist Λ die Wellenlänge der Schallwelle und Θ
der Streuwinkel, das heisst der Winkel zwischen einfallender und gestreuter
Lichtwelle. Bei Brillouinstreuung ergibt sich nur für m = ±1 eine wesentlich
von 0 verschiedene Intensität. Aus (1) folgt, dass bei fester Lichtwellenlänge
λ0 und Beobachtungswinkel Θ nur konstruktive Interferenz an einer Schallwelle mit einer festen Wellenlänge Λ auftreten kann. Bei einem Streuwinkel
von Θ = 90◦ , einer Wellenlänge λ = 500 nm und einem Brechungsindex
n = 1, 5 beträgt die Wellenlänge der Schallwelle Λ = 236 nm. Die einlaufende
Lichtwelle erfährt eine Dopplerverschiebung, da sie an einer Schallwelle gestreut wird, die sich mit der Geschwindigkeit V durch die Flüssigkeit bewegt.
Gleichung (1) gilt dennoch, da die Schallgeschwindigkeit V der Schallwelle
klein gegen die Vakuumlichtgeschwindigkeit c0 ist. Der Dopplereffekt kommt
folgendermassen zustande: die erste Frequenzverschiebung erfährt das Licht
beim Auftreffen auf den bewegten Empfänger Schallwelle, die dann bei der
Reflexion als bewegter Sender wirkt, und somit eine zweite Frequenzänderung
bewirkt. Für die Kreisfrequenz des gestreuten Lichts gilt:
"2
!
n V sin Θ2
n V sin Θ2
≈ ω0 ± 2ω0
,
(2)
ω = ω0 1 ±
c0
c0
7
da V # c0 . Mit ωc00 = 2π
, 2πV
= Ω und (1) ergibt sich die Frequenzverschieλ0
Λ
bung des gestreuten Lichts zu:
# $
Θ
ω0
∆ω = ±V 2n sin
c0
2
# $
2π
Θ
= ±V 2n sin
λ0
2
2πV
= ±
Λ
= ±Ω.
(3)
Die Lichtfrequenz wird also gerade um die Frequenz der Schallwellen in der
Flüssigkeit verschoben. Diesen Streuprozess nennt man Brillouinstreuung.
Im Spektrum sieht man auch eine unverschobene Linie, die durch elastische
Streuung an stehenden Schallwellen entsteht.
3.3
Der kubische Kristall
Ein idealer Kristall baut sich durch unendliche Wiederholung identischer
Struktureinheiten im dreidimensionalen Raum auf.
Die Struktur des Kristalls wird durch ein Gitter beschrieben, dessen Gitterpunkte mit Atomen, der sogenannten Basis, besetzt sind.
In diesem Versuch handelt es sich um ein kubisches Gitter, es ist gekennzeichnet durch |&a1 | = |&a2 | = |&a3 | und ∠(&a1 , &a2 ) = ∠(&a2 , &a3 ) = ∠(&a1 , &a3 ) = 90◦ . Die
Atome bilden die sogenannte Basis, sie sitzen auf den Ecken des von &a1 , &a2
und &a3 aufgespannten Würfels (siehe Abbildung 2).
Abbildung 2: Das kubische Gitter links ohne, rechts mit Basis
3.4
Millersche Indizes
Drei Punkte des Gitters, die nicht auf einer Geraden liegen, definieren eine Gitterebene. Wegen der Translationsinvarianz werden mit allen zu dieser
Ebene parallelen Ebenen alle Gitterpunkte des Kristalls erfasst.
Zur Kennzeichnung von Gitterebenen und Kristallrichtungen verwendet man
die sogenannten Millerindizes.
8
Abbildung 3: Einige Ebenen mit zugehörigen Millerindizes
Zu einer gegebenen Gitterebene seien a der Schnittpunkt dieser Ebene mit
der x1 -Achse, b der Schnittpunkt mit der x2 -Achse und
% 1 1 1c& der Schnittpunkt
mit der x3 -Achse. Nun multipliziert
man
das
Tupel
mit einer ganzen
abc
%p p p&
Zahl p so, dass (h, k, l) = a b c teilerfremde ganze Zahlen sind. Die Zahlen
(h, k, l) heissen Millerindizes der Gitterebene (siehe Abbildung 3). Hat die
Ebene keinen Schnittpunkt mit einer der Achsen, so ist der entsprechende
Millerindex 0.
Zur Unterscheidung von kartesischen Koordinaten werden die Millerindizes in
eckige Klammern geschrieben, negative Zahlen werden als positiv mit einem
Strich über der Zahl geschrieben. Ein Beispiel: Die Ebene, die die x1 -Achse
in 1, die x2 -Achse in -1 schneidet und parallel zur x3 -Achse verläuft, hat die
Millerindizes [11̄0].
Eine einfache Rechnung zeigt, dass die Millerindizes (als Vektor aufgefasst)
parallel zum Normalenvektor der Ebene sind.
9
3.5
Brillouin-Streuung im kubischen Kristall
Im vorliegenden Experiment wird inelastische Streuung von Licht im kubischen Kristall untersucht. Da ein Kristall nicht isotrop ist, sind die Schall& statistisch
wellen im Kristall nicht wie bei Flüssigkeiten bezüglich Ω und K
verteilt. Der nächste Abschnitt soll einen Einblick in den Streuprozess geben.
Hierbei folge ich weitgehend [2].
Abbildung 4: Streugeometrie
Licht aus einer weit entfernten Quelle Q wird am Streuzentrum P gestreut
und am Detektor B beobachtet. Die Quelle emittiere eine monochromatische
Kugelwelle (Amplitude A0 , Frequenz ω0 ), wobei die Streuzentren so weit von
Q entfernt liegen sollen, dass die einfallende Welle dort eine ebene Welle ist.
Die Amplitude in P zum Zeitpunkt t ist also gegeben durch
$
$
AP = A0 ei(k0 (R+$r)−ω0 t)
(4)
(vergleiche Abbildung 4.) Die Phasen der Welle an allen Orten P zu einer festen Zeit t ist durch den ortsabhängigen Teil von (4) gegeben. Die Primärwelle
regt die Materie zur Streuung an. Jeder Punkt P der Streumaterie emittiert
eine durch die einfallende Welle ausgelöste Kugelwelle. Die Amplituden und
Phasenlagen dieser Wellen zur in B ankommenden Primärwelle wird durch
eine komplexe Streudichte ρ(&r, t) beschrieben. Die Kugelwelle wird also beschrieben durch
$!
eik|R −$r|
AB = AP (&r, t)ρ(&r, t)
.
(5)
& # − &r|
|R
10
Für einen festen Ort P ist der Wellenzahlvekor der gestreuten Welle &k parallel
& # − &r, deshalb kann man (5) auch schreiben als
zu R
$ $!
eik(R −$r)
AB = AP (&r, t)ρ(&r, t)
.
& # − &r|
|R
(6)
& # − &r| ≈ R# und damit wird
Ist B weit vom Streuzentrum entfernt, so ist |R
(6) zu
1 $ $!
AB = AP (&r, t)ρ(&r, t) # eik(R −$r) .
(7)
R
mit gleicher Richtung von &k für alle P .
Setzt man (4) in (7) ein, erhält man
AB =
A0 i($k0 R+
$ $
$ $kR
$ ! ) −iω0 t
e
e
ρ(&r, t)ei(k0 −k)$r .
#
R
Integration über den Streubereich ergibt die gesamte Streuamplitude:
'
$ $
−iω0 t
AB ∝ e
ρ(&r, t)ei(k0 −k)$r d3&r.
(8)
(9)
VStreu
Wir betrachten die streuenden Atome im kubischen Gitter als punktförmige
Streuzentren an den Orten &r$n (t), das heisst
(
ρ(&r, t) ∝
δ(&r − &r$n (t)).
(10)
$
n
Einsetzen von (10) in (9) ergibt
AB ∝ e−iω0 t
(
$ $
e−i(k−k0 )$r!n (t) .
(11)
$
n
Schreibt man &r$n (t) = &r$n +&u$n (t), wobei &r$n die Ruhelage des &n-Atoms ist (siehe
Abbildung 5), so wird (11) zu
(
$ $
$ $
AB ∝ e−iω0 t
e−i(k−k0 )$r!n e−i(k−k0 )$u!n (t) .
(12)
$
n
Für kleine Auslenkungen &u$n (t) des &n-Atoms aus seiner Ruhelage kann man
den zweiten Faktor in der Summe in eine Taylorreihe entwickeln und nach
dem linearen Term abbrechen:
)
*
(
−iω0 t
−i($k−$k0 )$
r!n
&
&
AB ∝ e
e
1 − i(k − k0 )&u$n (t) .
(13)
$
n
11
Abbildung 5: Atomposition in der Elementarzelle
Entwickelt man in (13) &u$n (t) nach ebenen Wellen mit Frequenz Ω und Wel&
lenzahlvektor K
$
$
&u$n (t) = &u0 e±i(K$r!n −Ω(K)t)
(14)
erhält man
AB ∝ e−iω0 t
−iω0 t
= e
+
(
$
n
(
$
n
$ $
e−i(k−k0 )$r!n −
−i($k−$k0 )$
r!n
e
,-
elastischeStreuung
.
(
$
n
$ $
$
$
i(&k − &k0 )&u0 e−i(k−k0 ∓K)$r!n e−i(ω0 ±Ω(K))t
$
− i(&k − &k0 )&u0 e−i(ω0 ±Ω(K))t
+
,-
(
$ $
$
e−i(k−k0 ∓K)$r!n(15)
.
$
n
inelastischeStreuung
.
Die erste Summe beschreibt elastische Streuung mit der Frequenz ω0 , die
zweite Summe beschreibt Streuwellen, deren Frequenz ω gerade um die Frequenz Ω der Kristallschwingungen gegenüber der Primärfrequenz versetzt ist.
Für die Wellenzahlvektoren der Streuwellen gibt es eine Streubedingung, die
zweite Summe liefert nur einen Beitrag, wenn
& r$n = 2πm
(&k − &k0 ∓ K)&
(16)
für ein ganzes m, das hier zu 0 gewählt wird.
Die Streubedingungen lauten also, mit ! multipliziert:
&
!ω = !ω0 ± !Ω(K)
12
(17)
&
!&k = !&k0 ± !K.
(18)
Diese Gleichungen lassen eine quantenmechanische Deutung zu: die erste
Gleichung entspricht der Energieerhaltung; das Minus steht für die Anregung einer Kristallschwingung (Stokes-Streuung), das Plus für die Abgabe
von Energie aus der Kristallschwingung an das streuende Teilchen (AntiStokes-Streuung).
Die zweite Gleichung entspricht einem Quasiimpulssatz, wenn man der Kris& zuordnet. Das Quasi bedeutet, dass es sich
tallschwingung den Impuls !K
bei (18) nicht um den Kristallimpuls handelt, zudem ist der Impuls nach (16)
nicht eindeutig bestimmt.
Im Sinne dieser Erhaltungssätze kann man den Kristallschwingungen Teilchen, sogenannte Phononen, zuordnen. Den Streuprozess kann man sich anhand Abbildung 6 veranschaulichen:
Abbildung 6: Schematische Datstellung der Stokes- (links) und Anti-StokesStreuung (rechts)
Die Verschiebung der Wellenlänge der gestreuten Welle zur Primärwelle bei
Brillouinstreuung ist klein ( Ωω ≈ 10−5 ), deshalb kann man k ≈ k0 setzen
(quasielastische Streuung). Das Impulsdreieck ist dann gleichschenklig und
man erhält für K:
# $
θ
K = 2nk0 sin
.
(19)
2
Dabei ist n der Brechungsindex des Mediums, in dem die Streuung stattfindet, und k0 = 2π
, wobei λ0 die Wellenlänge der Primärwelle im Vakuum ist.
λ0
Für die Phasengeschwindigkeit V der Kristallwelle gilt
V =
Ω
,
K
(20)
mit K = 2π
, wobei Λ die Wellenlänge der Kristallschwingung ist. Im Kristall
Λ
hängt V von der Kristallorientierung ab.
13
& und
Man beachte, dass in (15) noch keine Aussage über die Frequenz Ω(K)
Auslenkungsrichtung &u0 der Kristallwellen gemacht wurde.
3.6
Tyndallstreuung, Rayleighstreuung
Tyndallstreuung und Rayleighstreuung sind elastische Streuung des Primärlichts,
siehe auch [1]. Die Rayleighstreuung hat ihre Ursache in der statistischen Variation von Atompositionen. Die Intensität der Rayleighstreuung ist immer
größer als die der Brillouinstreuung.
Unter Tyndallstreuung versteht man die Streuung an Verunreinigungen im
streuenden Medium (etwa Schwebeteilchen in Flüssigkeiten oder Kristalldefekte). Die Intensität der Tyndallstreuung ist sehr groß und kann die intensitätsschwachen Brillouinlinien leicht überdecken. Man muss daher im Experiment darauf achten, die Tyndallstreuung zu minimieren.
3.7
3.7.1
Elastizitätstensor, Spannungstensor und Hookesches
Gesetz
Elastizitätstensor
Brillouinstreuung findet an Schwingungen im Streumedium statt, das bedeutet, das Streumedium wird lokal verformt. Eine allgemeine, klein gedachte
Bewegung eines deformierbaren Körpers lässt sich - für hinreichend kleines
Volumen - darstellen als Summe einer Translation, einer Rotation und einer
Deformation. Dies soll nun näher erläutert werden. Näheres zur Theorie deformierbarer Körper findet sich z.B. in [3].
P sei ein Punkt in der Nähe des Punktes 0 (0, 0, 0), die beide im betrachteten Volumen (Würfel) liegen. (u1 , u2 , u3 ) sei die Ortsänderung des Punktes
P , (o1 , o2 , o3 ) die von 0 bezüglich des gleichen rechtwinkligen Koordinatensystems. Für die Verschiebung des Punktes P erhält man nach Taylor:
∂u1
x1 +
∂x1
∂u2
= o2 +
x1 +
∂x1
∂u3
= o3 +
x1 +
∂x1
u1 = o1 +
u2
u3
Setzt man
eij ≡
∂u1
x2 +
∂x2
∂u2
x2 +
∂u2
∂u3
x2 +
∂x2
∂ui
∂xj
14
∂u1
x3 + · · ·
∂x3
∂u2
x3 + · · ·
∂x3
∂u3
x3 + · · ·
∂x3
(21)
(22)
so kann man (21) vektoriell schreiben mit der Matrix E, die durch (22)
definiert wird:
&u = E&x.
(23)
Man kann die Matrix E in einen symmetrischen + = E + E T und einen
antisymmetrischen Anteil D = E−E T zerlegen. Die antisymmetrische Matrix
hat die Form

2
3
2
3 
∂u2
∂u3
1 ∂u1
1 ∂u1
0
−
−
2 ∂x3
∂x1
 2
3 2 ∂x2 ∂x1
2
3 
 1 ∂u2 ∂u1

∂u3
1 ∂u2
D =  2 ∂x1 − ∂x2
0
−

 2
3
2
3 2 ∂x3 ∂x2 
1 ∂u3
1 ∂u3
1
2
− ∂u
− ∂u
0
2 ∂x1
∂x3
2 ∂x2
∂x3


0 −ω3 ω2

ω3
0 −ω1 
=
(24)
−ω2 ω1
0
und stellt eine Drehmatrix dar.
Die symmetrische Matrix hat die Form

2


+=

1
2
1
2
2
2
∂u1
∂x1
∂u1
∂x2
+
∂u2
∂x1
∂u1
∂x3
+
∂u3
∂x1
3
3
∂u1
∂x2
1
2
1
2
2
+
∂u2
∂x1
∂u2
∂x2
∂u2
∂x3
+
∂u3
∂x2
3
3
1
2
1
2
2
2
∂u1
∂x3
+
∂u3
∂x1
∂u2
∂x3
+
∂u3
∂x2
∂u3
∂x3
3 
3 



(25)
i
Die Diagonalelemente +ii = ∂u
der symmetrischen Matrix entsprechen einer
∂xi
Längenänderung der Verschiebung des Punktes P entlang der xi -Achse (einer
Längenänderung
der
2
3 Würfelkante), die Nichtdiagonalelemente
∂uj
1 ∂ui
+ij = 2 ∂xj + ∂xi entsprechen einer Scherung des Würfels.
Damit lässt sich (23) schreiben als
&u =
&0#
+,-.
T ranslation
+ +,-.
D&x +
Rotation
+&x
+,-.
(26)
Def ormation
Die Matrix + heisst Elastizitätstensor. Er allein beschreibt die Verformung
des Volumenelementes. In Abbildung 7 sind einige Verformungen eines zweidimensionalen Körpers“ und die aus den Verformungen folgenden Kompo”
nenten des Elastizitätstensors schematisch dargestellt.
15
Abbildung 7: Komponenten des Elastizitätstensors
3.7.2
Spannungstensor
Betrachtet man einen deformierbaren Körper, an dem äußere Kräfte wirken, so wirken im Körper innere Kräfte, der Körper wird verformt [3]. Ein
Körper setzt Deformationen Widerstand entgegen, Verformungen erzeugen
also auch Kräfte. Im Gleichgewicht müssen sich diese Kräfte (und Drehmomente) aufheben. Zur mathematischen Beschreibung zerlegt man den betrachteten Körper in infinitesimal kleine Volumenelemente (Würfel). Vor Anlegen einer äußeren Kraft sind die Volumenelemente perfekte Würfel (kubisches Gitter). Nach Anlegen der Kraft sind die Würfel deformiert. Um einen
Elementarwürfel in einen beliebigen Zustand zu verformen, muss man auf jede Fläche des Würfels eine Scherspannung (Kraft parallel zur Fläche) und eine Normalspannung (Kraft senkrecht zur Fläche) wirken lassen (Spannung =
Kraf t
). Die Scherspannung kann in eine beliebige Richtung wirken, man zerF läche
legt sie sinnvollerweise in zwei Komponenten parallel zu den Koordinatenachsen. Um den Würfel im Gleichgewicht in dem verformten Zustand zu
halten, benötigt man auf jede Fläche eine Kraft. τkl sei dabei die Spannung,
die durch die Kraft in Richtung l, die auf die Fläche mit Normale k wirkt,
hervorgerufen wird (siehe dazu Abbildung 8). Die Matrix


τ11 τ12 τ13
τ =  τ12 τ22 τ23 
(27)
τ13 τ23 τ33
heisst Spannungstensor. Er ist symmetrisch, da ein unsymmetrischer Teil des
Spannungstensors einem Drehmoment entsprechen würde, diese verschwinden aber im Gleichgewicht. Aus dem Spannungstensor kann man auch wirkende Kräfte berechnen: die Kraft in y-Richtung, die auf die Fläche ∆y∆z
mit Normalenvektor &x wirkt, ist Fy = τxy ∆y∆z.
16
Abbildung 8: Zur Definition der Komponenten des Spannungstensors
3.7.3
Hookesches Gesetz
Für kleine Auslenkungen ist die Beziehung zwischen Spannung und Deformation linear [2]. Das allgemeine Hookesche Gesetz lautet
τkl =
3
(
cklij +ij .
(28)
i,j=1
Die 34 = 81 Komponenten des elastischen Tensors (Moduls) cklij sind nicht
alle unabhängig voneinander. Da sowohl + als auch τ symmetrisch sind, reduziert sich die Zahl der unabhängigen Komponenten auf 36: es gilt
cklij = clkij = cklji .
(29)
Weiter wird die Zahl der unabhängigen Komponenten auf 21 reduziert, da
die elastische Energie eine eindeutige Funktion des Dehnungszustandes ist,
es ist
cklij = cijkl .
(30)
(29) und (30) erlauben es, nach Voigt eine vereinfachte Indizierung vorzunehmen nach dem Schema
(11) → 1 (22) → 2 (33) → 3 (23) → 4 (13) → 5 (12) → 6.
17
(31)
In dieser Notation wird aus dem elastischen Tensor ein symmetrischer 6 × 6Tensor. In dieser Arbeit ist es von Vorteil, die Voigt-Notation nur für den
elastischen Tensor, nicht aber für Elastizitätstensor und Spannungstensor
anzuwenden, da man so noch unmittelbar erkennt, um welche Spannungen
bzw. Verformungen es sich handelt. Das Hookesche Gesetz (28) lautet damit

 


c11 c12 c13 c14 c15 c16
+11
τ11
 τ22   c12 c22 c23 c24 c25 c26   +22 

 


 τ33   c13 c23 c33 c34 c35 c36   +33 

 


(32)
 τ23  =  c14 c24 c34 c44 c45 c46   +23  .

 


 τ13   c15 c25 c35 c45 c55 c56   +13 
τ12
c16 c26 c36 c46 c56 c66
+12
Für einen einfach kubischen Kristall vereinfacht sich der elastische Tensor
weiter. Die drei Achsen sind gleichwertig, deshalb müssen die Diagonalelemente für Normalverformungen und Scherungen jeweils gleich sein, das heisst:
c11 = c22 = c33
und
c44 = c55 = c66
(33)
Eine Scherung kann keine Normalspannung verursachen:
c14 = c15 = c16 = 0.
(34)
Eine Scherung um eine Achse ruft keine Scherung um eine andere Achse
hervor:
c45 = c46 = c56 = 0.
(35)
Schliesslich müssen Querkräfte senkrecht zur Dehnungsrichtung isotrop sein:
c12 = c13 = c23 .
Mit (33)-(36) vereinfacht

 
τ11
 τ22  

 
 τ33  

 
 τ23  = 

 
 τ13  
τ12
(36)
sich (32) für einen einfach kubischen Kristall zu:


c11 c12 c12 0
0
0
+11


c12 c11 c12 0
0
0 
  +22 


c12 c12 c11 0
0
0   +33 

(37)
 +23  .
0
0
0 c44 0
0 


0
0
0
0 c44 0   +13 
0
0
0
0
0 c44
+12
In der Literatur findet man auch häufig zur Beschreibung eines isotropen,
elastischen Körpers die folgenden Module: Elastizitätsmodul E, Kompressionsmodul κ, Gleitmodul G und Poissonsche Querkontraktionszahl µ. Sie
18
errechnen sich aus den Komponenten des Elastizitätstensors zu
(c11 − c12 )(c11 + 2c12 )
c11 + c12
c11 + 2c12
κ =
3
c11 − c12
G =
2
c11
µ = 1+
c12
E =
(38)
12
In Flüssigkeiten gilt c11 = c22 und c44 = c11 −c
= 0. Zur vollständigen
2
Beschreibung genügt das Kompressionsmodul κ = c11 = c12 .
3.8
Die allgemeine Wellengleichung
Mithilfe des Spannungstensors kann man die Kraft pro Volumen in Richtung k auf das Volumenelement dV = dx1 dx2 dx3 durch die Flächenkräfte
ausdrücken:
dFk = (τk1 (x1 + dx1 ) − τk1 (x1 ))dx2 dx3
+ (τk2 (x2 + dx2 ) − τk2 (x2 ))dx1 dx3
+ (τk3 (x3 + dx3 ) − τk3 (x3 ))dx1 dx2
3
(
∂τkl
= dV
∂xl
l=1
# 2
$
3
(
1
∂ ui
∂ 2 uj
= dV
cklij
+
2
∂x
∂xl ∂xi
l ∂xj
i,j,l=1
= dV
3
(
i,j,l=1
cklij
∂ 2 ui
∂xl ∂xj
(39)
Mit dem 2. Newtonschen Gesetz dFk = dm ük = ρdV ük , wobei ρ die Massendichte des Kristalls ist, ergibt sich schließlich die Bewegungsgleichung:
3
(
i,j,l=1
cklij
∂ 2 ui
− ρük = 0.
∂xl ∂xj
(40)
(Die Struktur dieser Gleichung erinnert an die aus der Elektrodynamik bekannte homogene Wellengleichung, jedoch treten in dieser keine gemischten
19
Ableitungen nach dem Ort auf). Im Falle der Brillouinstreuung interessiert
man sich für ebene Wellen, die durch das Medium laufen (vergleiche (14)):
$
$
&u(t) = u&0 e±i(K$r−Ω(K)t) .
(41)
Einsetzen in die Bewegungsgleichung (40) ergibt
3
(
i,j,l=1
cklij Kl Kj ui − ρΩ2 uk = 0.
(42)
Da uk = δik ui folgt weiter:
3
(
%
i,j,l=1
& = K&q ,
Mit K
&
cklij Kl Kj − ρΩ2 δik ui = 0.
(43)
|&q | = 1 und (20) ergibt sich:
3
(
%
i,j,l=1
&
cklij ql qj − ρV 2 δik ui = 0.
(44)
Setzt man nun die nach Voigt vereinfachten Moduln aus (37) in (44) ein so
erhält man schließlich


a11 − ρV 2
a12
a13
=0
a12
a22 − ρV 2
a23
det 
(45)
2
a13
a23
a33 − ρV
mit
a11
a22
a33
a12
a13
a23
=
=
=
=
=
=
(c11 − c44 )q12 + c44
(c11 − c44 )q22 + c44
(c11 − c44 )q32 + c44
(c12 + c44 )q1 q2
(c12 + c44 )q1 q3
(c12 + c44 )q2 q3
(46)
Dies ist das charakteristische Polynom der Matrix A, die durch die Komponenten aij definiert wird, zum Eigenwert ρV 2 , der Eigenvektor ist der Verschiebevektor &u0 aus (41), der die Polarisation der Schallwelle angibt. Ist &u0
& so spricht man von einer Longitudinalwelle, ist &u0 senkrecht zu
parallel zu K,
20
& von einer Transversalwelle, sonst von einer gemischten Welle. Da die MaK
trix aus (45) symmetrisch ist, zerfällt das charakteristische Polynom immer
in Linearfaktoren, die Lösungen heissen akustische Zweige“. Es gibt also im
”
allgemeinen in Kristallen drei verschiedene Schallgeschwindigkeiten (jedoch
sind nicht alle experimentell beobachtbar). Die Lösung des charakteristischen
Polynoms ist für beliebige Kristallorientierungen recht schwierig.
Benedek und Fritsch [4] berechneten die Schallgeschwindigkeiten für eine Anordnung, in der die Beobachtungsebene (die Ebene, die von Laser-KristallDetektor aufgespannt wird) und die [11̄0]-Ebene des Kristalls zusammenfallen. ϕ ist dabei der Winkel zwischen [001]-Richtung und der Wellenvektorrichtung &q (siehe Abbildung 9 und Abbildung 10). In dieser Anordnung
ist eine Welle eine reine Transversalwelle (T ), eine hauptsächlich longitudinal polarisiert (L) und eine gemischte Polarisation (M ). Der Vektor &q ist in
dieser Anordnung gegeben durch
#
$
sin ϕ
sin ϕ
√ , cos ϕ .
&q = √ ,
(47)
2
2
Die Schallgeschwindigkeiten sind
2ρVT2 (ϕ) = c11 − c12 + B cos2 (ϕ)
7
4ρVL2 (ϕ) = A − B cos2 (ϕ) + C + B(D cos2 (ϕ) − E cos4 (ϕ))
7
4ρVM2 (ϕ) = A − B cos2 (ϕ) − C + B(D cos2 (ϕ) − E cos4 (ϕ)) (48)
Die Faktoren A bis E setzen sich folgendermaßen aus den Moduln zusammen:
A
B
C
D
E
=
=
=
=
=
4c44 + c12 + c11
2c44 + c12 − c11
(c11 + c12 )2
8c44 + 14c12 + 6c11
6c44 + 15c12 + 9c11
(49)
In Flüssigkeiten können sich nur Longitudinalwellen mit
ρV 2 = c11 = κS
(50)
ausbreiten. Dabei ist κS der adiabatische Kompressionsmodul. Wegen der
Isotropie von Flüssigkeiten ist im Gegensatz zum Kristall keine Richtung
ausgezeichnet.
21
Abbildung 9: Die Beobachtungsebene des Kristalls im Experiment
Abbildung 10: Draufsicht auf die Beobachtungsebene des Kristalls im Experiment
22
4
Aufbau
Abbildung 11: Versuchsaufbau (schematisch)
Der schematische Aufbau ist in Abbildung 11 dargestellt. Der Laser (λ0 =
543, 5 nm) wird mithilfe des Spiegels S1 auf die erste optische Bank OB1 gelenkt. Mit S1 kann man den Laserstrahl bequem parallel zu OB1 ausrichten.
Die Linse L1 (f = 30 cm) ist auf die Streuzelle fokussiert. Blende B1 hat im
Experiment keine weitere Bedeutung, sie dient beim Justieren des Aufbaus
der Kontrolle der Parallelität des Strahls zu OB1. Der Winkel Θ zwischen
OB1 und der Optischen Bank 2 OB2 beträgt 90◦ . Blende 2 (B2, ∅ ≈ 1mm)
hat die Funktion, unerwünschtes Streulicht aus der Streuzelle abzuhalten.
Linse 2 (L2, f = 20 cm) ist auf die Streuzelle fokussiert, um das Streulicht
parallel zu OB2 auszurichten. Die Streuzelle ist quaderförmig und hat auf
jeder Seite bis auf die Grundseite ein kreisförmiges Fenster. Der Kristall befindet sich drehbar in der Streuzelle, der Winkel ϕ ist über einen Drehregler
an der Streuzelle einstellbar. Die Streuzelle ist mit einer Immersionsflüssigkeit (Brombenzol, n = 1, 566 gefüllt, die fast den gleichen Brechungsindex
besitzt wie der zu untersuchende Kristall (KBr, n = 1, 564). Dadurch werden
Reflexionen an der Kristalloberfläche auf ein Minimum reduziert. Ausserdem ist dadurch eine Änderung des Aufbaus beim Wechsel des Streumediums (Flüssigkeit zu Kristall) unnötig: zur Messung der Brillouinlinien in der
23
Abbildung 12: Photo des Versuchsaufbaus
Flüssigkeit dreht man lediglich den Kristall aus dem Strahlengang.
Das Streulicht gelangt aus der Streuzelle über das Fabry-Perot-Interferometer
(FPI) zu Linse L3 (f = 12 cm). Diese fokussiert das Streulicht aus dem FPI
auf die Blende im Photomultiplier (PM) (∅ ≈ 0, 5 mm), der das Streulicht
in messbare Spannungspulse umwandelt. Der PM wird gekühlt, um die Dunkelpulsrate zu senken, diese würde im ungekühlten Zustand das Brillouinsignal überdecken. Die Spannungspulse des PM werden über einen Verstärker
(Verstärkungsfaktor 350, Schalter oben“) zum Diskriminator und Rateme”
ter geleitet. Der Diskriminator unterdrückt ( diskriminiert“) Spannungen,
”
die unter einer einstellbaren Grenzspannung liegen. Nur Pulse, deren Amplitude über dieser Grenzspannung liegen, werden in einen Normimpuls umgewandelt und weiterverarbeitet. Das Ratemeter zählt“ die weitergeleiteten
”
Signale in einem einstellbaren Zeitintervall und gibt eine Spannung proportional zu dieser Zählrate aus. Diese Spannung wird über den Ausgang des
Ratemeters in die Datenerfassungskarte im PC geführt. Über den PC wird
eine Sägezahnspannung (Periodendauer T " 2 s, Offset und Amplitude zwischen 0V - 10V einstellbar) an einen Verstärker gegeben, der diese um den
Faktor 100 verstärkt. Die Beschränkung der Frequenz der Sägezahnspannung
nach oben wird durch den Verstärker gegeben: für T < 2 s und grossen Spannungsdifferenzen zwischen den Maximalspannungen der Sägezahnspannung
ist die Verstärkung nicht mehr linear.
Die verstärkte Sägezahnspannung wird auf ein piezoelektrisches Element im
24
FPI geleitet. Dieses ändert deshalb - je nach angelegter Spannung - den Abstand der planparallelen Platten und lässt Streulicht einer bestimmten Frequenz in Abhängigkeit des Plattenabstands passieren. Das FPI wirkt also wie
ein Frequenzfilter, dessen Durchlässigkeitsbereich mit der Sägezahnspannung
variiert werden kann. Das FPI wird auf eine konstante Temperatur geheizt,
um Temperaturschwankungen zu vermeiden, die eine Änderung des Plattenabstandes bewirken können.
Während der Messung der Brillouinstreuung darf wegen der geringen Zählraten keine Streustrahlung ausser der aus der Streuzelle in den PM gelangen,
deswegen muss der Aufbau mit einem lichtundurchlässigen schwarzen Tuch
abgedeckt werden.
25
5
5.1
Gerätebeschreibungen
Der Laser
Abbildung 13: Photo des Lasers
Um Brillouin-Streuung zu beobachten benötigt man eine monochromatische Lichtquelle. Dies wird mit einem Laser erreicht. Der folgende Abschnitt
gibt einen Einblick in die Funktionsweise eines Lasers. Näheres findet sich in
[6].
Wir betrachten ein 2-Niveau-System mit 2 Energieniveaus E1 < E2 . E1
sei der Grundzustand, E2 der angeregte Zustand. Die Besetzung der beiden
Zustände ist gegeben durch die Boltzmann-Verteilung
#
$
N1
E2 − E1
∝ exp −
N2
kB T
mit T > 0 und N = N1 + N2 = const. Ein Teil der Atome befindet sich also
immer im angeregten Zustand. Ohne jede äußere Beeinflussung, das heisst
ohne jede Strahlungsfelder kehren diese angeregten Atome in den Grundzustand zurück, wobei sie ein Photon der Energie
hν = E2 − E1
emittieren. Die Emissionsrichtung und Polarisation des Photons ist dabei
rein zufällig. Diesen Vorgang nennt man spontane Emission.
Befindet sich ein Atom im Grundzustand, so kann es in einem Strahlungsfeld
ein Photon der Energie hν = E2 − E1 absorbieren und dabei in den angeregten Zustand gelangen. Dieser Prozess heisst induzierte Absorption.
Befindet sich ein Atom im angeregten Zustand, so kann es im äußeren Strahlungsfeld unter Emission eines Photons der Energie hν = E2 − E1 in den
26
Grundzustand übergehen. Diesen Vorgang nennt man induzierte Emission.
Im Gegensatz zur spontanen Emission ist die stimulierte Emission ein kohärenter Prozess, das heisst eine Funktion des vorhandenen Strahlungsfeldes.
Im thermischen Gleichgewicht ist die Besetzung der beiden Zustände durch
die Boltzmannverteilung (s.o.) gegeben. Beim Laser wird durch eine zusätzliche Energiequelle, die auf das Zwei-Niveausystem wirkt, die Besetzung des
angeregten Zusatndes erhöht; ist dies erreicht, spricht man von Besetzungsinversion, den Vorgang dieser Erhöhung nennt man Pumpen“.
”
Die spontane Emission hat keine feste Beziehung zur einfallenden Strahlung,
sie überlagert sich mit der induzierten Emission als inkohärentes Rauschen.
Beim Laser muss dieses Rauschen unterdrückt werden, mit anderen Worten:
man muss dafür sorgen, dass die induzierte Emission die spontane Emission
überwiegt. Dies erreicht man durch optische Resonatoren, etwa zwei planparallele Spiegel, zwischen die das lichtaktive Medium gebracht wird (zur
genauen Wirkweise der Resonatoren siehe auch den Abschnitt zum FabryPerot-Interferometer). Durch eine geeignete Wahl des Abstandes der Spiegel
erreicht man, dass sich der Anteil der spontanen Emission durch destruktive Interferenz auslöscht, und nur die gewünschte Richtung konstruktiv interferiert, das Strahlungsfeld bildet dann in dieser Richtung eine stehende
Welle und kann auf diese Weise den Anteil der stimulierten Emission auf
ein Maximum bringen. Beim Laser ist ein Spiegel teildurchlässig, so wird ein
Teil des kohärenten Lichts ausgekoppelt. Der im Versuch verwendete Laser
ist das Modell 05 LGP 193 von Melles Griot. Er hat eine Wellenlänge von
λ0 = 543, 5 nm. Der Laser emittiert polarisiertes Licht, die Polarisationebene ist senkrecht zur Beobachtungsebene, da bei dieser Polarisierung die
Brillouinstreuung die größte Intensität hat.
5.2
Das Fabry-Perot-Interferometer
Ein Fabry-Perot-Interferometer funktioniert nach dem Prinzip der Vielstrahlinterferenz. Es besteht aus zwei planparallelen verspiegelten Glasplatten, zwischen denen der einfallende Lichtstrahl reflektiert wird. Der folgende Abschnitt soll einen Einblick in die Wirkungsweise des FPI geben [5].
Eine ebene Welle
E(x, t) = Aei(kx−ωt)
falle unter dem Winkel α auf eine planparallele durchsichtige Platte (Breite
d) mit zwei teilweise reflektierenden Grenzflächen (Brechungsindex in der
Platte: n > 1, und n = 1 ausserhalb der Platte). Die Welle wird an jeder
der beiden Grenzflächen in zwei Teilbündel aufgespalten. Bezeichnet R den
27
Abbildung 14: Photo des FPI (links) und des Sägezahnverstärkers (rechts)
Reflexionskoeffizient, so besitzt der reflektierte Teil die Amplitude
√
R|A0 |,
die transmittierte Amplitude beträgt
√
1 − R|A0 |
(unter Vernachlässigung von Absorption). Der erste transmittierte Strahl
Abbildung 15: Strahlengang im FPI
28
(keine Reflexion) hat die Amplitude
√
|A1 | = ( 1 − R)2 = (1 − R)|A0 |,
der zweite transmittierte wurde zweimal reflektiert, hat also die Amplitude
√
√
√
|A2 | = 1 − R)( R)2 1 − R|A0 | = (1 − R)R|A0 |.
Allgemein gilt für den m-ten transmittierten Strahl:
|Am | = R|Am−1 | = (1 − R)Rm−1 |A0 |
für m ≥ 2 (vergleiche Abbildung 15). Zwei benachbarte Teilstrahlen haben
den optischen Wegunterschied
∆s =
7
2nd
− 2d tan β sin α = 2nd cos β = 2d n2 − sin2 α,
cos β
da nach dem Snellius’schen Brechungsgesetz sin α = n sin β gilt. Hieraus
berechnet sich die Phasendifferenz zu
2π∆s
.
λ
δ=
Die Gesamtamplitude der transmittierten Welle ergibt sich durch phasenrichtiges Aufsummieren aller transmittierten Teilwellen:
AT =
∞
(
Am ei(m−1)δ .
m=1
Da |Am | = (1 − R)Rm−1 |A0 | ergibt sich
AT =
∞
(
m=1
Rm−1 (1 − R)|A0 |ei(m−1)δ .
Diese Reihe stellt eine geometrische Reihe mit dem Grenzwert
AT =
|A0 |(1 − R)
1 − Reiδ
dar. Die transmittierte Intensität ergibt sich damit zu
IT = |AT |2 =
I0 (1 − R)2
1 + R2 − 2R cos δ
29
Abbildung 16: Relative transmittierte Intensität eines FPI in Abhängigkeit
des Gangunterschieds δ für verschiedenen Werte von F
mit I0 = |A0 |2 . Mit 1 − cos x = 2 sin2 x2 ergibt sich schliesslich für die transmittierte Intensität:
I0
IT =
1 + F sin2 2δ
(Airyfunktion, siehe Abbildung 16) mit
F =
4R
(1 − R)2
Die Airyfunktion hat ihre Maxima für δ = m2π, m ∈ N (maximale Transmission) und ihre Minima bei δ = (2m + 12 )π, m ∈ N (minimale Transmission). Als freien Spektralbereich δϑ des FPI definiert man den Frequenzbstand,
den zwei aufeinanderfolgende Maxima bei festem Plattenabstand d und Einfallswinkel α besitzen. Für die zwei verschiedenen Wellenlängen muss wegen
der Maximabedingung gelten:
δ1 − δ2 =
Mit ϑ =
c
λ
2π∆s 2π∆s
−
= 2(m + 1)π − 2mπ = 2π.
λ1
λ2
ergibt sich
δϑ = ϑ1 − ϑ2 =
c
c
= 7
.
∆s
2d n2 − sin2 α
30
Im Experiment ist der Einfallswinkel α = 0◦ , der freie Spektralbereich beträgt
in diesem Fall
c
δϑ =
.
2nd
Die Halbwertsbreite der Maxima ergibt sich zu
1−R
+ = 4 arcsin( √ ),
2 R
was für 1 − R # R, d.h. F , 1 in
+≈
2(1 − R)
4
√
=√
R
F
übergeht. In Frequenzeinheiten beträgt die Halbwertsbreite (da dem freien
Spektralbereich δϑ eine Phasendifferenz δ = 2π entspricht)
∆ϑ =
+
2δϑ
δϑ = √ .
2π
π F
Das Verhältnis
F' =
δϑ
∆ϑ
heisst Finesse. Für F , 1 ist
√
2π
π R
π√
F =
=
=
F.
+
1−R
2
'
Die Spitze einer Airyfunktion kann man in guter Näherung mit einer Lorentzkurve annähern (d.h. ersetze sin2 ( 2δ ) durch ( 2δ )2 , siehe Abbildung 17).
Eine Spitze der Airyfunktion bei δ = δ0 hat dann die Form
IT,Lorentz =
I0
.
0 2
1 + F ( δ−δ
)
2
Im Experiment fällt das Streulicht unter α = 0◦ ein, der Plattenabstand
des FPI wird durch ein mit einem Sägezahn angesteuertes piezoelektrisches
Element verändert. Für die Phase gilt dann
δ=
2π∆s
2πnd
=
∝ d ∝ UP iezo
λ
λ
falls sich der Plattenabstand d proportional zur angelegten Spannung UP iezo
ändert.
31
Abbildung 17: Lorentznäherung (rot) für die Airyfunktion (blau) im Bereich
einer Periode der Airyfunktion (F=50)
Das im Experiment verwendete FPI ist das Modell 410-04 von SpectraPhysics. Der ideale Wellenlängenbereich für dieses FPI ist 550 nm-650 nm. Jedoch ist die erreichbare Finesse F ' , die (ohne Berücksichtigung der Frequenzbreite des Laserstrahls) nur vom Reflexionskoeffizienten R (s.o.) abhängt,
auch für die verwendete Wellenlänge λ0 = 543, 5 nm noch sehr gut. Im Idealfall beträgt die Finesse des FPI laut Datenblatt F ' ≈ 50. Der Brechungsindex im FPI ist n = 1 (Luft) und der freie Spektralbereich des FPI beträgt
(Datenblatt) δϑ = 30 GHz.
5.3
Der Photomultiplier
Wegen der kleinen Zählrate wird nicht ein der Lichtintensität proportionales
Signal gemessen, sondern es werden die einzelnen Photonen gezählt. Dies erreicht man mit einem Photomultiplier. Das im Experiment verwendete Gerät
ist das Modell 9658B von EMI. Er hat laut Datenblatt im verwendeten Frequenzbereich eine Quantenausbeute von etwa 12%.
Ein Photomultiplier funktioniert nach folgendem Prinzip (vergleiche Abbildung 19): Jedesmal wenn ein Photon auf die Kathode des PM trifft und
dabei ein Elektron durch Stoß aus der Kathode herausschlägt, wird dieses
32
Abbildung 18: Photo des Photomultipliers
Abbildung 19: Arbeitsprinzip des Photomultipliers
wegen der hohen Potentialdifferenz zur ersten Dynode hin beschleunigt, wo
es weitere Elektronen herausschlägt. So entsteht (abhängig von der an der
Kathode angelegten Spannung und der Dynodenanzahl) an der Anode durch
die Sekundärelektronenvervielfachung ein messbarer Spannungspuls der Breite von etwa 10ns-20ns. Der verwendete Photomultiplier hat 11 Dynoden, die
Betriebsspannung beträgt 1,2 kV.
Um die Dunkelpulsrate des Photomultipliers zu senken wird der Photomultiplier mit Peltierelementen gekühlt, deren Wärme durch Wasserkühlung abgeführt wird.
5.4
Ratemeter und Diskriminator
Die vom Photomultiplier registrierten Impulse werden über einen Verstärker
(Verstärkungsfaktor 350) auf das Ratemeter und Diskriminator weitergegeben. Die Schwellspannung, das heisst, die Spannungsamplitude, die ein Signal aus dem Photomultiplier haben muss, um weiterverarbeitet zu werden,
33
Abbildung 20: Photo des Diskriminators und Ratemeters
lässt sich am Ratemeter zwischen 0 und 500 mV einstellen. Auf diese Weise
werden Störpulse, die nicht aus der PM-Kathode kommen, unterdrückt, solange sie eine gewisse Höhe nicht überschreiten. Die weitergeleiteten Signale
werden in Norm-Rechteckpulse (unabhängig von der Höhe des Primärimpulses, solange sie nur die Diskriminatorschwelle übersteigt) umgewandelt.
Diese Rechteckpulse werden für ein am Ratemeter einstellbares Zeitintervall
gezählt (bei niedrigen Zählraten muss dieses Intervall größer gewählt werden)
und eine der so ermittelten Rate proportionale Spannung am Ausgang des
Ratemeters ausgegeben. An der Vorderseite des Ratemeters befindet sich ein
analoges Anzeigeinstrument, an dem man die momentane Zählrate ablesen
kann. Der Zählratenbereich lässt sich an den Range-Knöpfen einstellen, die
Integrationszeit an den %-Error-Knöpfen. Abbildung 21 fasst den Weg der
Signalverarbeitung von Photomultiplier zu PC schematisch zusammen.
Abbildung 21: Die Signalverarbeitung der Messelektronik
34
5.5
Datenerfassung und Ansteuerung der FPI-Spannung
Teil dieser Zulassungsarbeit war auch die Programmierung eines Programms
mit Labview, das die Datenerfassung über den PC und die Ansteuerung
des piezoelektrischen Elements des FPI übernimmt. Die Funktionsweise des
Programms namens Brillouin.vi soll nun vorgestellt werden. Im betrachteten
Ausschnitt des Programms (Abbildung 22) sind die 5 Hauptteile des Messabschnitts des Programms mit schwarzen Rechtecken umlegt.
Im linken Kasten, der sich ausserhalb der Meßschleife befindet, werden die
Parameter der Sägezahnspannung (Periodendauer T, Startspannung U1 , Endspannung U2 , Periodendauer T und die Zeit zwischen zwei Sägezahnsignalen)
eingegeben. Diese Werte kann man nur vor dem Programmstart ändern, da
eine direkte Änderung die Messung verfälschen würde (siehe Messprinzip weiter unten). Zudem wird hier die Anzahl der zu generierenden Sägezahnspannungen eingegeben. Ein Sägezahnsignal besteht aus 1000 einzelnen Werten
unabhängig von den eingestellten Spannungen oder der Periodendauer. Die
Parameter der Sägezahnspannung werden an den Sägezahngenerator übergeben, der das Signal entsprechend der Eingaben bereitstellt. Dieses Signal
wird an die Signalausgabe weitergeleitet. Da die Datenerfassung zeitgleich
mit der Signalausgabe stattfinden muss, bestimmt der Sägezahngenerator
sowohl das Timing der Signalausgabe als auch das der Datenerfassung. Im
Kasten Datenerfassung wird sowohl die am FPI anliegende Spannung als
auch die Spannung am Ausgang des Ratemeters gemessen (die Spannung
am FPI wird gemessen, da man dadurch unabhängig von der eventuell nicht
völlig linearen Verstärkung der Sägezahnspannung ist). Die beiden gemessenen Signale werden aufgespalten. Das Ratemetersignal (1000 Werte) wird in
ein Schieberegister (oranges Kästchen mit Pfeil nach oben, rechts im Datenerfassungskasten) gegeben. Bei der nächsten Messung steht diese Wertetabelle wieder zur Verfügung (oranges Kästchen mit Pfeil nach unten, links am
Kasten Datenerfassung). Die neu gemessenen Werte werden zu den vorigen
hinzuaddiert (im Kasten mit False, der Fall True“ ist der 1. Durchlauf der
”
Meßschleife, in dem nichts zu den Messwerten des Ratemeters addiert wird.)
Darum darf die Sägezahnspannung während einer Messung nicht verändert
werden. Die gemessene Sägezahnspannung wird nicht gemittelt sondern jeweils die aktuelle Messung verwendet. Signalerzeugung und Erfassung befinden sich in einer For-Schleife, die Anzahl der Durchläufe wird im Kasten Parameter (s.o.) eingegeben. Die gemessenen Werte werden nach jedem
Durchlauf in einem x-y-Diagramm dargestellt (siehe Kasten, Abszisse: gemessene Sägezahnspannung, Ordinate: summierte Ratemeterspannung). Ein
eventuelles Weglaufen“ des FPI kann man dort direkt beobachten: die Kurve
”
verschmiert“.
”
35
Abbildung 22: Der Ausschnitt der Datenerfassung und Signalgeneration des
Programms im Blockschaltbild
36
Nach Ablauf der eingestellten Messdurchläufe werden die im x-y-Diagramm
angezeigten Wertepaare in die Speicherroutine geschickt. Die Daten werden
als 2-spaltige ASCII-Datei gespeichert (1. Spalte: gemessene Sägezahnspannung, 2. Spalte: Summe der gemessenen Rateneterspannungen). Auf Abbil-
Abbildung 23: Das Frontpanel des Messprogramms
dung 23 sieht man die Bedienfront des Messprogramms. Links oben werden
die Eingaben vorgenommen. Der Knopf Speichern sollte natürlich bei jeder
Messung eingeschalten sein. Ist er während des zweitletzten Meßschleifendurchlaufs (siehe Anzeige Durchlauf 1) ausgeschalten, werden die Daten nicht
gespeichert, da dann vor dem letzten Durchlauf der Befehl nicht speichern“
”
aktiv ist! Mit dem Knopf Normieren kann man die gemessenen RatemeterWerte auf das Intervall [0,1] skalieren. Dies erleichtert die Startwerte der
Parameter des Kurvenfits. Bei der Normierung geht keine relevante Information verloren, da man aus den Messungen lediglich die x-Werte (das sind
die FPI-Spannungen) benötigt. An der Form“ des gemessenen Signals wird
”
durch das Normieren nichts verändert, es entspricht lediglich einer Verschiebung des Offsets (d.h. des kleinsten gemessenen y-Wertes) auf Null und einer
37
anschliessenden Streckung der y-Achse, so dass der maximale y-Wert den
Wert Eins hat.
Falls man zuwenige Durchläufe im Feld 1 Sägezahn eingegeben hat und gerne
einige weitere Durchläufe messen möchte, kann man mit dem WeitermessenKnopf die Abbruchbedingung aus dem Feld 1 Sägezahn ausschalten. Auch
dies muss spätestens im zweitletzten eingestellten Durchlauf geschehen. Die
Messung kann man in diesem Fall (oder falls man zuviele Durchläufe eingestellt hat und vorzeitig die Messung abbrechen will) mit dem Knopf Stopp
anhalten. Es wird dann noch ein weiterer Durchlauf gemessen und anschliessend das Programm beendet.
Die Eingabe Sägezahndauer bestimmt die Periodendauer eines Sägezahnsignals in Sekunden, U1 ist der Startwert des Signals, U2 der Endwert (der
Verstärker des Sägezahnssignals muss dabei auf EXT für externe Ansteuerung gestellt sein). Bei zu wartende Zeit gibt man die Zeit zwischen 2 Sägezahnsignalen ein. In dieser Zeit wird der Verstärker durch das Programm für
den nächsten Durchlauf auf U1 angesteuert, um eine möglichst hohe Linearität der Verstärkung des Signals zu erreichen. Der Verstärker benötigt umso
mehr Zeit, je größer die Differenz U2 − U1 ist. Im Feld Messzeit wird die
errechnete benötigte Messzeit angezeigt, sie setzt sich aus “1 Durchläufe“ ×
( Sägezahndauer“+“zu wartende Zeit“) zusammen. Im Anzeigefeld dt wird
”
die Zeitschrittlänge des Sägezahnsignals angezeigt. Dieser Wert sollte nicht
mehr als etwa den Faktor 50 von der Integrationszeit des Ratemeters abweichen.
Rechts oben wird die ideale (errechnete) Sägezahnspannung angezeigt, links
unten befindet sich ein y-t-Diagramm der Einzelmessungen (oben: FPI-Spannung
um den Faktor 100 geschwächt, unten: Signal des Ratemeters jeweils gegen
die Zeit aufgetragen) und rechts unten ist das x-y-Diagramm (Summe der
Ratemetersignale gegen die FPI-Spannung), das die Daten anzeigt, die nach
der Messung gespeichert werden.
38
6
Justierung
Diese Justieranleitung geht von einem vollständig abgebauten Aufbau aus.
Der Aufbau sämtlicher Komponenten dauert, falls man geübt ist, etwa eine
halbe Stunde, sollte jedoch auch ohne Übung innerhalb einer Stunde zu erledigen sein. Wichtig ist eine saubere Ausrichtung sämtlicher Komponenten,
das bedeutet, wobei es besonders auf die Positionierung der Linsen und des
FPI ankommt. Eine einmal justierte Komponente sollte später nicht mehr
verändert werden, dies führt im allgemeinen zu einer vollständigen Neujustierung.
Abbildung 24: Versuchsaufbau (schematisch) zur Justierhilfe
• Der PM ist auszuschalten. Er bleibt während der gesamten Justage
ausgeschalten, da er, falls der Laserstrahl direkt auf ihn treffen würde,
zerstört werden könnte. Man öffnet die linke obere Schraube des Shutters am PM, um B3 sehen zu können. Das FPI muss mit dem Verstärker
verbunden (interne Ansteuerung, der Verstärker selbst kann ausgeschalten bleiben) und an die Heizung angeschlossen sein (die Heizung ist
notwendig, um nicht später lange warten zu müssen, bis das FPI auf
seine Endtemperatur geheizt ist).
39
• Zuerst muss der Strahl mithilfe S1 parallel zu OB1 justiert werden.
Dazu stellt man S1 grob auf 45◦ ein. Die genaue Stellung erreicht man
durch Drehen an den 3 hinteren Schrauben (wobei es genügt und empfehlenswert ist, die zwei Schrauben zu verwenden, die den Strahl nur
nach links/rechts bzw. oben/unten lenken; die dritte Schraube lenkt
den Strahl diagonal in diesen Richtungen ab und erlaubt zusammen
mit den beiden anderen eine Parallelverschiebung zur Achse Laser-S1).
Die Parallelität überprüft man, indem man B1 in fast völlig geschlossenem Zustand entlang OB1 verschiebt, Parallelität ist erreicht, wenn
sich die Position des Strahls auf B1 beim Vor- und Zurückfahren nicht
ändert.
• Anschliessend markiert man (z.B. mit einem Bleistift) die Auftreffposition des Laserstrahls auf der schwarzen Lichtschutzabdeckung bei X
(siehe Abbildung 24). Jetzt bringt man L1 (Brennweite f1 = 30 cm)
auf OB1 an. Dabei ist zu beachten, dass beim Experiment der optische
Lichtweg in der Streuzelle wegen des höheren Brechungsindex größer ist
als der in Luft. Man sollte den Abstand L1 - Mitte der Streuzelle also
etwa zu 31,5 cm wählen, da die Streuzelle in dieser Richtung etwa 6
cm lang ist und der Brechungsindex in der Zelle n ≈ 1, 5 ist. Die Länge
des Strahls in der Streuzelle bleibt im Experiment nicht konstant, das
heisst es gibt hier keine genaue“ Stellung für die Linsen L1 und L2.
”
Die Position des Laserstrahls (durch den Bleistift bei X markiert) sollte
sich beim Einsetzen von L1 nicht ändern. B1 setzt man auf OB1 nahe
an die Streuzelle, jedoch nicht so nahe, dass man B2 (s.u.) nicht mehr
ideal nahe an die Streuzelle setzen kann.
• Nun bringt man anstelle der Streuzelle einen Spiegel S2 in den Strahlengang. Man setzt B2 auf OB2 und stellt den Laser mithilfe S2 parallel
zu OB2 ein, und zwar so, dass er B3 trifft (es kann sein, dass der Laserstrahl minimal zu hoch/tief ist, links/rechts kann man B3 durch die
entsprechenden Mikrometerschrauben am Wagen von S2 immer treffen). Wichtig ist, dass die Höhe des Laserstrahls über OB2 konstant
ist, der Laserstrahl also nicht mithilfe der Justierschrauben an S2 zentral auf B3 gelenkt wird (falls die Höhe nicht exakt stimmt) da man
unter genau 90◦ messen will (siehe Definition von ϕ). Ist der Strahl
auch parallel zu OB2, setzt man B1 so nahe wie möglich an die Streuzelle, das heisst den Anfang von OB2. Anhand des Schattenwurfs auf
der PM-Oberfläche kann man sicherstellen, dass B2 zentral durchlaufen
wird.
• Nun setzt man das FPI auf OB2. Dabei muss man allerdings beden40
ken, dass später noch L2 und L3 auf OB2 gestellt werden müssen, das
heisst, man muss entsprechend Platz vor und hinter dem FPI auf OB2
freilassen. Das FPI muss von vorne zentral vom Laserstrahl getroffen
werden (Überprüfung z.B. mit einem weissen Papiertaschentuch oder
einem Blatt Papier). Man bringt ein weisses Blatt Papier vor der PMBlende an und öffnet B2 weit. Jetzt muss man so lange an den beiden
Justierschrauben des FPI drehen bis das erhaltene Signal konzentrischkreissymmetrisch ist (Kontrolle auf Blatt vor PM, die Symmetrie des
Signals ist entscheidend; nicht, dass man das Signal durch Drehen an
den verschiedenen Justierschrauben auf B3 zwingt“. Eine gute Start”
position der beiden FPI-Justierschrauben ist, wenn die beiden Platten,
die durch die Justierschrauben verkippt werden, etwa parallel sind). Dabei sollte man auch die Hochspannung am FPI variieren (der Verstärker
muss dafür auf INT für interne Ansteuerung gestellt werden) und beobachten, wie sich das Signal auf dem Blatt vor B3 ändert.
• Nun setzt man L2 (f2 = 20 cm, Abstand zur Streuzelle etwa 21 cm)
zwischen B2 und FPI. Man justiert L2 so, dass das erhaltene Signal
auf dem Blatt vor B3 wieder völlig symmetrisch ist. Hierbei ist es hilfreich, B2 fast völlig zu schliessen. Durch Variation der FPI-Spannung
kann man einen Interferenzring gut auf dem Papier erkennen. Dieser
sollte von dem Laserstrahl zentrisch durchlaufen werden. Dazu muss
man unter Umständen auch noch etwas an den FPI-Justierschrauben
nachdrehen.
• Als letztes setzt man L3 (f3 = 12 cm) 12 cm vor B3 auf OB2. Man
entfernt das Blatt vor B3 und zentriert mithilfe von L3 das Signal auf
B3, das Zentrum des Signals sollte bei ordentlicher Justierung nicht
weiter als etwa 1 mm von B3 entfernt liegen. Beim Zentrieren auf B3
mit L3 ändert sich nur der Auftreffort des Signals, nicht seine Form.
Bei Veränderung der FPI-Spannung muss jetzt das Ringsystem (man
erkennt nun einige scharfe Ringe) konzentrisch zu B3 sein, die Ringe wandern“ bei Veränderung der FPI-Spannung in B3 hinein. Jetzt
”
kann man den Shutter des PM wieder anschrauben. Vor der Eichmessung muss man starke Filter zwischen Laser und S1 stellen (höchster
Zählbereich am Ratemeter einstellen), damit der PM keinen Schaden
erleidet. Nach der Eichmessung kann man S2 durch die Streuzelle ersetzen.
41
7
Messungen, Auswertung, Ergebnisse
7.1
Eichung
Um das FPI zu eichen habe ich den Bereich 0V bis 900V 15 mal bei einer
Sägezahndauer von 5s durchfahren. Dabei ist der Laser mit den am Versuch
ausliegenden Filtern in der Intensität zu schwächen! Als Zählratenbereich
wählte ich nach entsprechender Dämpfung am Ratemeter den Bereich 1M
bei einer Zeitkonstante von τ = 0, 01s. Um die Peaks zu fitten, muss man
beachten, dass die gemessene Funktion nicht eine Airyfunktion (bzw. Lorentzfunktion) ist, sondern die Laserlinienform (gaußförmig) auch berücksichtigt
werden muss. Man muss diese beiden Kurven (Gaußkurve und Lorentzkurve)
falten. Die Faltung einer Gaußkurve mit einer Lorentzkurve heisst Voigtkurve. Diese wurde einzeln an die Peaks der Messung gefittet und geben die
Spitzen sehr gut wieder (siehe Abbildung 25). Es wurde hier (und bei den
folgenden Fits der direkt gemessenen Werte) keine Gewichtung der Fehler
der einzelnen Messwerte vorgenommen, da das Ratemeter nicht direkt die
Zählrate ausgibt, sondern eine Spannung, die (abhängig vom verwendeten
Zählratenbereich) proportional zu dieser Zählrate ist. Es fehlt also die Information absolute Counts“ im verwendeten Zeitkonstantenbereich, um einen
”
sinnvollen statistischen Fehler zu erhalten.
Abbildung 25: Eichmessung für das FPI mir dem direkten Laserlicht
Die Eichmessung ergab, dass die Spannungsdifferenz zweier benachbarter
42
Peak-1 U [100V] σU [100V] ∆U [100V] σ∆U [100V]
1
1,50477
0,00032
2
3,65435
0,00035
2,14958
0,00047
3
5,77868
0,00037
2,12433
0,00051
4
7,86973
0,00026
2,09105
0,00045
Tabelle 1: Ergebisse der Eichmessung
Peaks mit steigender Peaknummer abnahm (siehe Tabelle 1). Die Spannungdifferenz zwischen Peak 1 und Peak 2 war um 2,8% größer als die Differenz
zwischen den Peaks 3 und 4. Deshalb habe ich keine Ausgleichsgerade mit
den gemessenen Werten erstellt, sondern die 8
mittlere Spannung Ū , die einem
freien Spektralbereich entspricht über Ū = 13 3i=1 ∆Ui berechnet, wobei ∆Ui
die Spannungsdifferenz zwischen den Peaks i und i + 1 ist. Als Unsicherheit
habe ich die Streuung
9 8 der Einzelspannungsdifferenzen um den Mittelwert
verwendet: σŪ = 12 3i=1 (∆Ui − Ū )2 . Bei einem freien Spektralbereich von
δϑ = 30 GHz entsprach dabei 1V = (14, 1 ± 0, 2) GHz.
43
7.2
Brombenzol
Nach der Eichmessung ersetzt man den Spiegel mit der Streuzelle, dreht
den Kristall auf ϕ = 45◦ und bewegt ihn mit den Mikrometerschrauben
aus dem Laserstrahl, so dass sich das Brombenzol im Strahlengang befindet. Durch Schliessen von B2 auf einen Durchmesser von d # 1mm erreicht
man, dass sich die Minima zwischen den Brillouinpeaks und dem Rayleighpeak absenken. Ich habe fünf Brombenzolpeaks im Bereich 0V bis 1000 V
der FPI-Spannung gemessen. Die Einstellung der Parameter betrug bei jeder
Messung: Zählratenbereich 1k, Zeitkonstante τ = 0, 1s, Periodendauer der
Sägezahnspannung T = 30s. Die Anzahl der Scans wurde mit 10 gewählt.
Die gemessenen Spektren stellen eine Überlagerung von drei Voigtfunktionen
dar. Diese lassen sich mit Origin nur sehr schwer fitten. Ich habe deshalb als
Fitfunktion eine Summe von drei Funktionen der Form Pseudovoigt“ aus
”
Origin programmiert, sie ist nicht die Faltung von Lorentz- und Gaußfunktion, sondern ein Mittelwert der beiden. Dabei habe ich die Amplituden von
Spitze 1 und Spitze 3 als gleichen Parameter verwendet. Diese Funktion gibt
die Daten der Messungen sehr gut wieder (siehe Abb. 26). Die Gleichung der
Pseudovoigtkurve lautet
:
7
#
$;
4 ln(2)
2
wL
4 ln 2
f (x) = Y0 +A m
+ (1 − m) √
exp − 2 (x − xc )2
.
π 4(x − xc )2 + wL2
wG
πwG
Y0 gibt also den Offset an, A die Amplitude der Funktion, wL und wG sind die
Breiten der Lorentz- bzw. Gaußfunktion, m bestimmt den Anteil von Gaußbzw. Lorentzfunktion. Der relevante Parameter für die Auswertung ist der
Parameter xc , der den Spannungswert an der Position der Brilouinpeaks bzw.
des Rayleighpeaks angibt.
Die Peakspannungen U und die Differenzspannungen ∆U der Brillouinpeaks
zum Rayleighpeak sind in Tabelle 2 dargestellt.
Die aus den Fits ermittelten Spannungsdifferenzen zwischen den Brillouinpeaks und dem Rayleighpeak wurden mithilfe der Eichmessung in die
Frequenzen Ω der Schallwellen berechnet. Die entsprechenden Frequenzdifferenzen sollten für Stokes- und Antistokesstreuung übereinstimmen.
Abbildung 27 zeigt, dass alle ermittelten Frequenzen Ω innerhalb einer
Standardabweichungen mit dem mittleren Frequenzwert Ω̄ = (4, 97 ± 0, 02)
GHz übereinstimmen. Der Fehler wurde nach Gauß bestimmt und setzt sich
aus der Unsicherheit der Eichung und der von Origin ermittelten Unsicherheit der Peakspannungen zusammen, wobei die Unsicherheit aus der Eichung
des freien Spektralbereichs des FPI überwiegt. Somit kann bestätigt werden, dass die Frequenzverschiebung des Brillouinstreulichts gegenüber des
44
Abbildung 26: Fit eines Brombenzolsspektrums mit der Pseudovoigtkurve“
”
Messung 1
1
2
3
4
5
Peak
U [100V] σU [100V] ∆U [100V] σ∆U [100V]
Brillouinpeak 1
1,3558
0,0007
0,3529
0,0007
Rayleighpeak
1,7087
0,0003
Brillouinpeak 2
2,0615
0,0007
0,3528
0,0007
Brillouinpeak 1
3,1965
0,0010
0,3519
0,0011
Rayleighpeak
3,5484
0,0004
Brillouinpeak 2
3,9029
0,0011
0,3545
0,0011
Brillouinpeak 1
4,8503
0,0006
0,3525
0,0007
Rayleighpeak
5,2027
0,0004
Brillouinpeak 2
5,5521
0,0006
0,3494
0,0007
Brillouinpeak 1
6,7307
0,0008
0,3509
0,0008
Rayleighpeak
7,0817
0,0004
Brillouinpeak 2
7,4315
0,0008
0,3498
0,0009
Brillouinpeak 1
8,6195
0,0007
0,3513
0,0008
Rayleighpeak
8,9708
0,0004
Brillouinpeak 2
9,3187
0,0008
0,3479
0,0009
Tabelle 2: Ergebnisse der BrB-Messung
45
Abbildung 27: Mittelwert der experimentell bestimmten Schallfrequenzen in
Brombenzol
Primärlichts bei Flüssigkeiten für Stokes- und Antistokesstreuung übereinstimmen. Mit (19) und (20) erhält man aus Ω̄ für die Schallgeschwindigkeit in
Brombenzol: VBrB = (1219 ± 5) ms . Der Literaturwert für die Schallgeschwindigkeit in Brombenzol ist [7]: VLit = 1170 ms . Die experimentell bestimmte
Schallgeschwindigkeit ist also um 4,1 % zu groß.
Mit (50) berechnet man den adiabatische Kompressionsmodul von Brombenzol, er ist in Tabelle 3 dargestellt.
κS [109 mN2 ] (Experiment) κS,Lit [109 mN2 ] (Literaturwert)
2, 223 ± 0, 018
2,047
Tabelle 3: Vergleich des experimentell ermittelten adiabatischen Kompressionsmoduls von Brombenzol mit dem Lireraturwert
Der Vergleich mit dem Literaturwert κS,Lit = 2, 047 · 109 mN2 zeigt, dass der
experimentell ermittelte Wert um 8, 6% zu groß ist, der Literaturwert liegt
innerhalb 10 Standardabweichungen. Der Grund für diese große Abweichung
wird im Absatz Fehlerdiskussion“ behandelt.
”
46
7.3
KBr-Kristall
Um die Tyndallstreuung zu minimieren ist bei den Kristallmessungen darauf
zu achten, dass man den Laser an einer Stelle durch den Kristall gehen lässt,
an der die mit bloßem Auge beobachtbaren Reflexe minimal sind. Zusätzlich kann man das FPI auf die Zentrallinie stellen und den Kristall senkrecht zum Laserstrahl verschieben, bis der Ausschlag am Ratemeter minimal
wird. Jedoch muss man darauf achten, den Kristall dabei nicht ganz aus
dem Strahlengang zu drehen. Durch Verschieben des Kristalls parallel zum
Laserstrahl kann man den Kristall mittig zur Beobachtungsrichtung orientieren. Im Experiment waren hauptsächlich die Peaks durch Streuung an den
Longitudinalwellen zu beobachten, die anderen Streupeaks waren fast immer
von der Rayleighlinie verdeckt. Bei Winkeln zwischen 30◦ und 40◦ konnte
man (nicht bei jeder Messung) weitere Streupeaks sehr nahe an den Flanken des Rayleighpeaks erkennen. Für einen Kurvenfit reichen diese maximal
drei ermittelten Werte nicht aus. Die Ermittlung ihrer Lage wird zusätzlich
erschwert, da sie eine deutlich geringere Intensität als die Longitudinalpeks
aufweisen und die Peaks somit viel schwächer ausfallen (siehe dazu auch
die Bilder zu den Messungen im Anhang). Die Intensität der Brillouinlinien
im KBr-Kristall ist um den Faktor 10 bis 100 schwächer als in Brombenzol. Deshalb wurden alle Messungen mit KBr mit den folgenden Parametern
durchgeführt: Zählratenbereich 100, Zeitkonstante τ = 1s, Sägezahndauer
T = 100s. Den Shutter muss man bei den Kristallmessungen vom Ratemeter, der den Shutter steuert, trennen, da die Rayleigstreuung etwa 3000
counts
verursacht und damit im Zählratenbereich 100 der Shutter geschlossen
s
würde. Die Anzahl der Scans betrug 20. Ich habe die Winkel ϕ im Bereich
30◦ bis 90◦ in 5◦ -Schritten für je 3 Ordnungen (das heisst für 3 verschiedene
FPI-Spannungsbereiche) gemessen. Die Winkel ϕ < 30◦ waren nicht mehr zu
messen, da die Frequenzverschiebung an den Grenzen bzw. ausserhalb des
freien Spektralbereichs des FPI lag. Die niedrigen Zählraten der Brillouinpeaks reichen statistisch nicht aus, um das Voigtprofil zu bestimmen. Ich habe die Spannungswerte der Peaks mithilfe einer Gaußfunktion mit linearem
Untergrund gefittet, als Unsicherheit des Spannungswertes verwendete ich eine Standardabweichung der entsprechenden Gaußfunktion (siehe Abbildung
28). Die Spannungsdifferenz der Brillouinlinien zum Rayleighpeak ermittelte ich hier als Hälfte der Spannungsdifferenz der beiden Brillouinpeaks. Von
den mit diesen Werten errechneten Schallgeschwindigkeiten (die Rechnung
verläuft völlig analog zu der bei Brombenzol) errechnete ich für jeden der
gemessenen Winkel das gewichtete Mittel der drei Schallgeschwindigkeiten
samt seiner Unsicherheit. Diese Werte werden in Tabelle 4 angegeben, wobei die letzten beiden Spalten (das ist die Wurzel aus Gleichung (48) samt
47
Abbildung 28: Fit der Brillouinpeaks mit einer schiefen Gaußfunktion“
”
√
Unsicherheit) die y-Werte des Fits sind, y=2 ρV .
Die Schallgeschwindigkeit in Abhängigkeit des Winkels ϕ werden durch
(48) und (49) gegeben. Diese Kurve wurde an die experimentell ermittelten
Werte gefittet (blaue Kurve). Zusätzlich wurde die exakte theoretische Kurve
eingezeichnet (rote Kurve).
Abbildung 29: Vergleich der experimentell bestimmten Schallgeschwindigkeit
in Abhängigkeit des Winkels ϕ (blau) mit dem theoretischen Verlauf (rot)
Offensichtlich sind die experimentell ermittelten Schallgeschwindigkeiten
systematisch zu groß, die Abweichung der experimentell ermittelten Kurve
48
◦
ϕ[]
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
[ ms ]
V
3272
3148
3010
2918
2841
2836
2867
2892
2934
2985
2992
3023
3034
σV [ ms ]
6
7
7
7
8
8
8
7
8
7
8
8
7
5
9
kg
]
ms2
y [10
3,432
3,302
3,157
3,061
2,979
2,974
3,007
3,033
3,077
3,131
3,138
3,170
3,182
9
kg
σy [10 ms
2]
0,007
0,008
0,008
0,007
0,008
0,008
0,008
0,008
0,009
0,007
0,008
0,008
0,008
5
Tabelle 4: Schallgeschwindigkeit im KBr-Kristall für verschiedene Winkel ϕ
von der theoretischen ist aber immer kleiner als 2,5 % (bezogen auf die theoretische Kurve). Der experimentell bestimmte Kurvenverlauf selbst zeigt aber
sehr genau die theoretisch vorausgesagte Abhängigkeit der Schallgeschwindigkeit im Kristall in Abhängigkeit von ϕ.
Aus den Fitparametern ergibt sich für die elastischen Konstanten:
c11 [1010 mN2 ] c12 [1010 mN2 ]
Experimentell
3, 66 ± 0, 03 0, 4 ± 0, 3
Literaturwerte [8]
3,468
0,580
c44 [1010 mN2 ]
0, 59 ± 0, 14
0,507
Tabelle 5: Vergleich der experimentell ermittelten elastischen Module von
KBr mit den Literaturwerten
Aufgrund des systematischen Fehlers ist es überraschend, dass die Werte
noch recht nah“ an den Literaturwerten liegen. Die relativen Unsicherheiten
”
sind aber vor allem bei c12 und auch bei c44 sehr groß (siehe Tabelle 5).
49
7.4
Fehlerdiskussion
Sowohl der Wert des adiabatischen Kompressionsmoduls von Brombenzol
(κS = ρBrB V 2 ) als auch die errechneten Schallgeschwindigkeiten im KBrKristall sind zu hoch. Zwei erneute Eichmessungen, bei denen ich nicht den
Laser direkt, sondern den Kristall im Strahlengang hatte, brachte eine noch
größere Streuung der Spannungsdifferenzen der Peaks. Die so ermittelten
Spannungsdifferenzen waren etwas kleiner als bei der ersten Eichmessung,
hätten also zu noch höheren Schallgeschwindigkeiten geführt. Die Schallgeschwindigkeit berechnet sich in beiden Fällen (Brombenzol und KBr) als
V =
∆UBrillouin δϑλ0
% &.
ŪEich 2n sin Θ2
Die Fehler in den Brechungsindizes, der Laserwellenlänge und den Massendichten sind vernachlässigbar. Wäre der Einfall der Streustrahlung auf das
FPI nicht unter α = 0◦ , so wäre der freie Spektralbereich größer als 30 GHz
(da δϑ = √ 2 c 2 ). Die korrigierte Schallgeschwindigkeit wäre also noch
2d
n −sin (α)
größer. Die Ergebnisse würden aber besser mit den Literaturwerten übereinstimmen, falls der freie Spektralbereich etwas kleiner als 30 GHz wäre.
Eine solche Änderung des freien Spektralbereichs wäre erreicht, falls sich
der Abstand d der Spiegel des FPI von den angegebenen 5 mm vergrößert
hätte. Dies wäre durch Justierung des FPI möglich ist. Eine zweite Möglichkeit wäre, dass der Streuwinkel Θ größer als 90◦ wäre. Man kann aus dem
Literaturwert der Schallgeschwindigkeit in Brombenzol den Sreuwinkel Θ
bestimmen, bei dem die Frequenzverschiebung des Brillouinstreulichts bei
der Laserwellenlänge λ0 = 543, 5 nm den experimentell bestimmten Wert
ergibt. Der Streuwinkel Θ hätte im Experiment fast 95◦ betragen müssen,
dies erscheint mir nach der selbst vorgenommenen Justierung eine zu große
Abweichung von den 90◦ .
Ich habe die Fitfunktion 48 mit einem Offset Y0 in der Schallgeschwindigkeit und einem Offset F0 in ϕ programmiert und diese Funktion mit festgehaltenen Idealwerten der elastischen Konstanten an die arithmetischen
Mittelwerte meiner gemessenen Schallgeschwindigkeiten gefittet (siehe Abbildung 30). Ich erhielt einen Offset Y0 , der einer Frequenz von 0,11 GHz
entsprach. Aus dieser Frequenzverschiebung berechnete ich, dass der freie
Spektralbereich 29,67 GHz betragen müsste, dies würde einer Vergrößerung
des Spiegelabstandes d des FPI von ∆d = 5, 1µm entsprechen.
Der Offset in ϕ bedeutet, dass der Kristall unter einem Winkelversatz
von 2◦ in die Streuzelle montiert sein könnte, oder dass die (recht grobe)
Winkelskala diesen Offset besitzt.
50
Abbildung 30: Fit an die arithmetischen Mittelwerte der Schallgeschwindigkeiten bei den Literaturwerten der elastischen Konstanten
Falls der Versuch im Praktikum übernommen wird, kann man aus den
Ergebnissen der Studenten Rückschlüsse auf den Fehler ziehen: Wird immer
eine zu große Schallgeschwindigkeit bestimmt, so scheint der Fehler am FPI
zu liegen, werden auch tiefere Schallgeschwindigkeiten gemessen, so ist der
Fehler wohl doch im Streuwinkel Θ zu suchen. Da der Kristall erst gegen Ende
Januar 2006 zur Verfügung stand, blieb mir leider keine Zeit, diesen systematischen Fehlern selbst auf den Grund zu gehen. Eine weitere Fehlerquelle ist in
dem Weglaufen“ des FPI zu finden, vor allem bei längeren Messungen kann
”
sich dies bemerkbar machen. Für die Praktikanten ist es empfehlenswert, die
PM-Kühlung und vor allem die FPI-Heizung über Nacht an zu lassen, da es
bis zu zwei Stunden dauert, bis das FPI nach Beginn des Heizvorgangs sein
thermisches Gleichgewicht erreicht hat.
51
7.5
Ergebnisse und Zusammenfassung
Im Experiment Brillouin-Streuung kann die Schallgeschwindigkeit in Brombenzol und einem KBr-Kristall bestimmt werden, wobei im KBr-Kristall
die Abhängigkeit der Schallgeschwindigkeit von der Orientierung des Kristalls nach der Formel von Benedek und Fritsch nachgewiesen werden kann.
Zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit im betreffenden Medium wird die
Frequenzverschiebung des Brillouinstreulichts vom Primärlicht mithilfe eines
Fabry-Perot-Interferometers bestimmt. Aus den daraus bestimmten Schallgeschwindigkeiten lassen sich die elastischen Konstanten der jeweiligen Streumedien bestimmen. Die experimentell bestimmten Schallgeschwindigkeiten
sind systematisch zu groß, der Grund dafür ist wohl in einem veränderten
freien Spektralbereich des FPI zu suchen. Die Ergebnisse der Messungen werden in Tabelle 6 noch einmal zusammengefasst und mit den Literaturwerten
gegenübergestellt:
VSchall,BrB [ ms ]
κS [109 mN2 ]
c11 [1010 mN2 ]
c12 [1010 mN2 ]
c44 [1010 mN2 ]
Experimentelle Werte Literaturwerte
1219 ± 5
1170
2, 223 ± 0, 018
2,047
3, 66 ± 0, 03
3,468
0, 4 ± 0, 3
0,580
0, 59 ± 0, 14
0,507
Tabelle 6: Vergleich der experimentell ermittelten Werte mit den Literaturwerten
52
8
Erklärung
Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig und nur
mit den angegebenen Hilfsmitteln angefertigt habe und dass alle Stellen, die
dem Wortlaut oder dem Sinne nach anderen Werken entnommen sind, durch
Angabe der Quellen als Entlehnung kenntlich gemacht wurden.
53
9
Anhang
9.1
Messungen und Fits
Abbildung 31: Eichmessung für das FPI mit dem direkten Laserlicht
Abbildung 32: Brombenzol, 1. Messung
54
Abbildung 33: Brombenzol, 2. Messung
Abbildung 34: Brombenzol, 3. Messung
55
Abbildung 35: Brombenzol, 4. Messung
Abbildung 36: Brombenzol, 5. Messung
56
Abbildung 37: KBr, 30◦ , 1. Messung
Abbildung 38: KBr, 35◦ , 1. Messung
Abbildung 39: KBr, 40◦ , 1. Messung
57
Abbildung 40: KBr, 45◦ , 1. Messung
Abbildung 41: KBr, 50◦ , 1. Messung
Abbildung 42: KBr, 55◦ , 1. Messung
58
Abbildung 43: KBr, 60◦ , 1. Messung
Abbildung 44: KBr, 65◦ , 1. Messung
Abbildung 45: KBr, 70◦ , 1. Messung
59
Abbildung 46: KBr, 75◦ , 1. Messung
Abbildung 47: KBr, 80◦ , 1. Messung
Abbildung 48: KBr, 85◦ , 1. Messung
60
Abbildung 49: KBr, 90◦ , 1. Messung
Abbildung 50: KBr, 30◦ , 2. Messung
Abbildung 51: KBr, 35◦ , 2. Messung
61
Abbildung 52: KBr, 40◦ , 2. Messung
Abbildung 53: KBr, 45◦ , 2. Messung
Abbildung 54: KBr, 50◦ , 2. Messung
62
Abbildung 55: KBr, 55◦ , 2. Messung
Abbildung 56: KBr, 60◦ , 2. Messung
Abbildung 57: KBr, 65◦ , 2. Messung
63
Abbildung 58: KBr, 70◦ , 2. Messung
Abbildung 59: KBr, 75◦ , 2. Messung
Abbildung 60: KBr, 80◦ , 2. Messung
64
Abbildung 61: KBr, 85◦ , 2. Messung
Abbildung 62: KBr, 90◦ , 2. Messung
Abbildung 63: KBr, 35◦ , 3. Messung
65
Abbildung 64: KBr, 40◦ , 3. Messung
Abbildung 65: KBr, 45◦ , 3. Messung
Abbildung 66: KBr, 50◦ , 3. Messung
66
Abbildung 67: KBr, 55◦ , 3. Messung
Abbildung 68: KBr, 60◦ , 3. Messung
Abbildung 69: KBr, 65◦ , 3. Messung
67
Abbildung 70: KBr, 70◦ , 3. Messung
Abbildung 71: KBr, 75◦ , 3. Messung
Abbildung 72: KBr, 80◦ , 3. Messung
68
Abbildung 73: KBr, 85◦ , 3. Messung
Abbildung 74: KBr, 90◦ , 3. Messung
69
9.2
Fits zu den Brechungsindizes
Abbildung 75: Fit zur Bestimmung des Brechungsindex von KBr bei λ0 =
543, 5 nm, Werte von [9]
Abbildung 76: Fit zur Bestimmung des Brechungsindex von BrB bei λ0 =
543, 5 nm, Werte von [9]
70
Literatur
[1] Bergmann, Schaefer, Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 3: Optik,
deGruyter-Verlag, 9. Auflage.
[2] H. Ibach, H. Lüth, Festkörperphysik, Einführung in die Grundlagen,
Springer-Verlag, 6. Auflage.
[3] A. Sommerfeld, Mechanik der deformierbaren Medien, Akademische Verlagsgesellschaft Geest und Portig K.-G., 5. Auflage.
[4] G. B. Benedek, K. Fritsch, Brillouin Scattering in Cubic Crystals, Physical Reviews Volume 149, S. 647.
[5] W. Demtröder, Laserspektroskopie, Grundlagen und Techniken,
Springer-Verlag, 3. Auflage.
[6] F. K. Kneubühl, M. W. Sigrist, Laser, Teubner-Verlag, 4. Auflage.
[7] Landolt - Börnstein, Zahlenwerte und Funktionen aus Naturwissenschaften und Technik, Neue Serie, Gruppe II: Atom- und Molekularphysik,
Band 5: Molekularakustik, Springer-Verlag, 1967
[8] CRC Handbook of Chemistry and Physics, 79th Edition, 1998 - 1999,
CRC Press
[9] Landolt - Börnstein, Zahlenwerte aus Physik, Chemie, Astronomie, Geophysik und Technik, II. Band: Eigenschaften der Materie in ihren Aggregatzuständen, 8. Teil: Optische Konstanten, Springer-Verlag, 6. Auflage,
1962
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10
Danksagung
Ich möchte meinen Eltern danken, die mir das Studium ermöglicht haben
und mich während meines gesamten Studiums unterstützt haben.
Ich bedanke mich bei Herrn Prof. Dr. Helm, der immer Zeit für hilfreiche
Tipps und Anregungen hatte, für die Betreuung der Arbeit; auch dafür, dass
er den neuen KBr-Kristall sehr schnell und unkompliziert organisiert hat.
Weiter will ich mich bei der gesamten Arbeitsgruppe bedanken die immer
sehr hilfsbereit war und in der ein sehr angenehmes Klima herrschte, vor allem bei Matthias Hoffmann, der mir einige wertvolle Hinweise gegeben hat,
als die Messungen noch keine Ergebnisse hervorgebracht haben.
Herrn Stützler will ich für das Fertigstellen des Versuchlayouts während des
laufenden Praktikumbetriebes und das Bestellen des neuen KBr-Kristalls
danken.
Ich bedanke mich auch bei Herrn Dr. Fox für sein Interesse an meinen Problemen während der Zeit im Labor und seine Hilfsbereitschaft.
Ich bedanke mich bei meinen Freunden und Geschwistern, die mich während
meiner Arbeit immer wieder auf andere Gedanken gebracht haben.
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