k-Partitionen von n

© Manfred Lösch
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Ungeordnete Zahlpartitionen mit k Parts,
ihre 2k – 1 Typen und ihre typspezifischen
erzeugenden Funktionen
Kurzbeschreibung (Abstract)
Die Typen der ungeordneten Zahlpartitionen mit k Parts (k-Partitionen) werden hier mit Hilfe
der geordneten Partitionen von k definiert. Es gibt somit 2k – 1 Typen. Pro Typ gibt es eine
eindeutig nummerierbare erzeugenden Funktion der geschlossenen Form. Die bekannte
erzeugende Funktion der k-Partitionen läßt sich leicht in diese 2k – 1 typspezifischen
erzeugenden Funktionen zerlegen. Mit speziellen Rekursionen können diese Funktionen in
(unendlich lange) Potenzreihen expandiert werden. Betrachtet werden die Zerlegungen für
die erzeugende Funktion von einem Typ in die erzeugenden Funktionen von anderen Typen.
Damit können Bijektionen zwischen den Partitionen verschiedener Typen erkannt werden.
MSC2010: 05A15, 05A17, 05A19, 11P81.
Keywords: Types of integer partitions, generating functions, enumeration, decomposition,
recursion, bijection.
Inhaltsverzeichnis
Punkt
1
2
3
4
5
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7
8
9
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13
Kurze Vorbetrachtung
Typen der ungeordneten k-Partitionen
Konstruktion der GF (generating function) des allgemeinen Typs
Nummerierung der konstruierten GF
Weitere Analysen zur konstruierten GF
Die konjugierten der typspezifischen k-Partitionen
Vereinfachte GF-Symbolik
Eine programmierbare Basis-GF
Dekomposition von Q(x, k) in typspezifische GF’s
Rekursives Expandieren typspezifischer GF’s
GF-Zerlegungen und Bijektionen
Zahlen, die in k-Partitionen aller Typen zerlegbar sind
Referenzen
Seite
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Kurze Vorbetrachtung
Drei bekannte erzeugende Funktionen für ungeordnete Zahlpartitionen werden mit der hier
verwendeten Symbolik vorgestellt.
Mit p(n) wird die Anzahl der ungeordneten Partitionen einer natürlichen Zahl n symbolisiert.
Die erzeugende Funktion ist

P(x) =
 1 x
i1
 

x ihi

 hi 0

1

=
i
i1

 =



 pn  x
n
.
(1.1)
n 0
Die Anzahl der ungeordneten Partitionen von n mit höchstens k Parts (1 < k < n) wird hier mit
q(n, k) bezeichnet. Die erzeugende Funktion ist
k
Q(x, k) =
k
1
 1 x
i1
i
=


   x
i1
 hi 0
ihi

 =



 qn, k   x
n
.
(1.2)
n 0
Die Anzahl der ungeordneten Partitionen von n mit genau k Parts (k-Partitionen) wird hier mit
p(n, k) bezeichnet. Die erzeugende Funktion ist
P(x, k) = Q(x, k) – Q(x, k – 1) = xk*Q(x, k)
= xk 
k
 1 x
i1

1
i
=

nk
qn  k, k   x n =

 pn, k   x
n
.
(1.3)
n k
Die ungeordneten k-Partitionen einer natürlichen Zahl n sind Zerlegungen von n in k
natürliche Zahlen mi, die unter folgenden Bedingungen betrachtet werden:
m1 > m2 > ... > mk > 0
(1.4)
m1 + m2 + ... + mk = n
(1.5)
In der Darstellung (1.4) gehört zu jeder konkreten ungeordneten k-Partition eine bestimmte
Folge der Zeichen „>“ und „=“ (mit dem konstanten Abschlußzeichen „>“). Diese
Zeichenfolge kennzeichnet den Typ der ungeordneten Partition. Die Anzahl solcher binären
Zeichenfolgen und damit die Anzahl solcher Typen für ungeordnete k-Partitionen ist 2k – 1.
Nachfolgend wird gezeigt: Pro Typ gibt es eine erzeugende Funktion. Die Funktion (1.3) läßt
sich leicht in diese 2k – 1 typspezifischen erzeugenden Funktionen zerlegen. Auch die
Funktion (1.2) läßt sich in gleicher Weise zerlegen, dabei entstehen 2k typspezifische
erzeugende Funktionen, die eindeutig von 0 bis 2k – 1 nummerierbar sind.
Anstelle des Begriffs „erzeugende Funktion“ steht nachfolgend kurz „GF“ (generating
function). Anstelle von „ungeordneter Partition“ (mit irrelevanter Partreihenfolge) wird
nachfolgend häufig nur der Begriff „Partition“ verwendet, wenn gut zu erkennen ist, daß keine
geordnete Partition (mit relevanter Partreihenfolge) gemeint ist. Anstelle von Tupels werden
vorwiegend Summandendarstellungen für die Partitionen verwendet.
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Typen der ungeordneten k-Partitionen
Betrachtet sei eine ungeordnete k-Partition von n. Ihre Parts seien der Größe nach in
fallender Folge sortiert, wobei sich r unterscheidbare Partgrößen ni ergeben (mit 1 < r < k).
n = nr +…+ nr + … + ni +…+ ni + … + n1 +...+ n1
\______/
\______/
\______/
kr
ki
k1
r
Die Anzahl der Parts von gleicher Größe ni sei ki > 1. Damit gilt:
k
i
= k.
i1
Die ki mit der Reihenfolge (kr, …, ki, …, k1) bilden eine geordnete r-Partition von k.
Die ni mit der Reihenfolge nr >...> ni >...> n1 > 0 bilden eine streng monoton fallende Folge.
Mit jeder geordneten r-Partition von k und mit noch nicht festgelegten r Partgrößen ni einer
streng monoton fallenden Folge läßt sich ein Typ, genauer ein r-Typ, definieren:
r
n = kr*nr +...+ ki*ni +...+ k1*n1 =
k
i
 ni .
(2.1)
i1
Mit den geordneten Partitionen von k können auf diese Weise 2k – 1 verschiedene Typen für
 k  1
 . Die
die ungeordneten k-Partitionen definiert werden. Der Anteil der r-Typen ist dabei 
 r  1
Typformel (2.1) erzeugt mit allen zulässigen konkreten Partgrößen ni (nr > nr – 1 > ... > n1 > 0)
nur solche Zahlen n, die sich in k-Partitionen des definierten Typs zerlegen lassen. Die
kleinste Zahl n = nmin jedes Typs wird mit den kleinstmöglichen Partgrößen ni = i erzeugt:
r
nmin =
k
i
i.
(2.2)
i1
Beispiel 2.1: k = 3
Es gibt 4 Partitionstypen.
typbestimmende
r
geordnete
r-Partition von k = 3
1
(3)
(2, 1)
2
(1, 2)
3
(1, 1, 1)
Typ der ungeordneten Typdarstellung
typspezifische
3-Partitionen
mit binärer
nmin
ungeordnete
(mit n3 > n2 > n1 > 0) Zeichenfolge (1.4)
3-Partition mit nmin
n = 3n1
n1 = n1 = n1
3
1+1+1
n = 2n2 + n1
n2 = n2 > n1
2+2+1
5
4
n = n2 + 2n1
n2 > n1 = n1
2+1+1
n = n3 + n2 + n1
n3 > n2 > n1
6
3+2+1
Leicht nachprüfbar: Die kleinste Zahl n, die 3-Partitionen in den 4 Typen ermöglicht, ist n = 9.
In dieser Dokumentation wird später bewiesen: Die kleinste Zahl n, die k-Partitionen in allen
2k – 1 Typen ermöglicht, ist n = k2.
Der Zahlenbereich, in dem die nmin der k-Partitionen aller Typen liegen, ist mit Beachtung der
Grenzfälle r = 1 und r = k offensichtlich k < nmin < k(k + 1)/2. Dieser Zahlenbereich ist für k > 4
kleiner als die Anzahl der Typen, sodaß es dann Typen mit gleichem nmin geben muß. Die
nmin mit gleichvielen Typen liegen symmetrisch in diesem Zahlenbereich (Beweis?!).
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Konstruktion der GF des allgemeinen Typs
Die zu konstruierende erzeugenden Funktion soll für einen vorgegebenen Typ alle
Partitionen genau einmal erfassen (zählen). Hierbei werden die typspezifischen k-Partitionen
in Form der Typformel (2.1) als Exponent von x erfaßt. Diese x-Terme sind für r-Typen in r
Faktoren zerlegbar:
x =x
n
kr nr kr 1nr 1...k1n1
=x
kr nr
x
kr 1nr 1
 x
k1n1
r
=
x
k i ni
(3.1)
i1
In der folgenden Erfassung aller k-Partitionen des vorgegebenen r-Typs sollen zunächst alle
Partgrößen ni mit Ausnahme von nr konstant bleiben (nr > nr-1 >...n1 > 0). Jede k-Partition mit
nr > nr – 1 läßt sich so in Form eines Terms (3.1) darstellen. Unter der Bedingung |x| < 1
können diese Terme zusammengefaßt werden.
 

x k r nr

 nr 1nr 1





r 1

i1
 
x k i ni = 
x k r nr

 nr 1


  x k r nr 1 


r 1

x ki ni =
i1
x kr
1  x kr
 x( kr kr 1 )nr 1 
r 2
x
k i ni
(3.2)
i1
Nun sollen alle k-Partitionen mit nr – 1 > nr – 2 erfaßt werden. Hierbei ist zu berücksichtigen,
daß für jedes nr – 1 alle k-Partitionen mit größerem nr zu erfassen sind; d. h. für jedes nr – 1 ist
ein entsprechender Terme (3.2) zu bilden. Auch diese Terme sind wieder zusammenfaßbar.
x kr
1 x
=
kr
x




x( k r k r 1 )nr 1  


 nr 11nr 2


kr
1 x
kr

x
k r k r 1
1  x kr kr 1
r 2
x
k i ni
=
i1
 x( kr kr 1kr 2 )nr 2 
x kr
1 x
r 3
x
kr
 


x( kr k r 1 )nr 1   x( kr k r 1 )nr 2 


 nr 11


k i ni
r 2
x
k i ni
i1
(3.3)
i1
Die so erfaßten k-Partitionen unterscheiden sich nun durch nr > nr – 1 > nr – 2. Wenn jetzt alle
k-Partitionen mit nr – 2 > nr – 3 in gleichartiger Weise erfaßt werden, ergibt sich wieder eine
entsprechende Zusammenfassung. Schritt für Schritt – letztlich mit n1 > 1 – wird so jede kPartition des r-Typs genau einmal erfaßt, dabei entsteht die folgende GF mit r Faktoren:
GF(x, k, r-Typ) =
x kr
1  x kr

x kr kr 1

x kr kr 1kr 2
1  x kr kr 1 1  x kr kr 1kr 2
 ... 
x kr kr 1kr 2 ...k1
1  x kr kr 1kr 2 ...k1
(3.4)
Die x-Exponenten in der GF (3.4) sind systematische Partialsummen der typbestimmenden
geordneten r-Partition von k.
Alle GF’s, die mit geordneten Partitionen in dieser Weise konstruiert werden können, lassen
sich eindeutig identifizieren und nummerieren, was nachfolgend ausführlich betrachtet wird.
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Nummerierung der konstruierten GF
Die x-Exponenten in der GF (3.4) werden nun vereinfachend mit s1 bis sr bezeichnet, wobei
in allen nachfolgenden Betrachtungen der größte x-Exponent stets mit s1 bezeichnet wird.
.
r
si =
k
mit i = 1, 2, ..., r
(4.1)
k = s1 > s2 > ... > sr = kr > 1
(4.2)
j
j i
GF(x, k, r-Typ) =
x s1
1  x s1

x s2
1  x s2
 ... 
x sr
1  x sr
r
=
x si
 1 x
i1
si
(4.3)
Die Folge der Partialsummen (4.2) ist wegen ki > 1 eine streng monoton fallende Folge von r
Zahlen, beginnend mit der Zahl k. Aus der Folge der Partialsummen läßt sich die geordnete
Partition wieder rekonstruieren, hierbei ergeben sich die Parts aus den Differenzen der
Partialsummen.
(kr, kr – 1, ..., ki, ..., k1) = [sr, (sr – 1 – sr), ..., (si – si + 1), ..., (s1 – s2)]
(4.4)
 k  1
 . Es gibt damit auch genau so viele
Die Anzahl der geordneten r-Partitionen von k ist 
 r  1
streng monoton fallenden Zahlenfolgen (4.2). Diese Folgen beginnen mit der Zahl k und die
weiteren (r – 1) disjunkten Zahlen sind aus dem Bereich 1 bis (k – 1). Die gleiche Anzahl gilt
auch für die k-stelligen Binärzahlen mit r Einsen. Sie beginnen mit einer Eins und auf den
folgenden (k – 1) Bitpositionen sind die weiteren (r – 1) Einsen verteilt.
Bijektive Zuordnung
Die Zahlen si der streng monoton fallenden Folge (4.2), also die Exponenten der GF (4.3),
geben die Bitpositionen der Einsen in der k-stelligen Binärzahl an.
k..............................................321
1ooo1ooooo1oo....oo1oooo1oooo
| k1 | k2 | … | kr-1 | kr |
|<------------------------------------------|
|<-----------------------------------|
|<-------------------------|
....
|<-------------|
|<-----|
Positionsnummern der Bits in der k-stelligen Binärzahl
k-stellige Binärzahl mit r Einsen
gespiegelte Partfolge der geordneten r-Partition von k
s1 = kr + kr – 1 + ... + k2 + k1 = k
<==> k1 = s1 – s2
s2 = kr + kr – 1 + ... + k2
<==> k2 = s2 – s3
s3 = kr + kr – 1 +...+ k3
<==> k3 = s3 – s4
.....
sr–1 = kr + kr – 1
<==> kr–1 = sr–1 – sr
sr = kr
<==> kr = sr
Mit den Stellenwerten der Einsen in der Binärzahl läßt sich folgende Typnummer t für die
konstruierte GF (4.3) bilden:
t = 2 s11  2 s2 1  ...  2 sr 1 =
r
2
si 1
mit s1 = k.
(4.5)
i1
Diese Typnummer ist eine Summe von r verschiedenen Zweierpotenzen. Jede von diesen
Zweierpotenzen nummeriert einen Faktor – eine „elementare“ GF – in der GF (4.3).
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Jede vorgegebene Typnummer t – gewandelt in das Format (4.5) – läßt die Partialsummen si
und damit auch k und r leicht erkennen. Die typspezifische GF kann dann sofort konstruiert
und eindeutig mit GF(x, t) benannt werden. Der zugehörige Partitionstyp (2.1) läßt sich mit
Hilfe der geordneten Partition angegeben, die aus den si mittels (4.4) gewonnen wird. Die
Nummerierung der typspezifischen GF überträgt sich bijektiv auf die streng monoton
fallenden Zahlenfolge (4.2), auf die typbestimmende geordnete Partition und auf den damit
definierten Typ der ungeordneten Partitionen.
5
Weitere Analysen zur konstruierten GF
Bisheriges in zusammengefaßter Form:
r
Die typbestimmende geordnete r-Partition von k:
(kr, ..., ki, ..., k1) mit k =
k
i
.
i1
r
Die Partialsummen si der geordneten r-Partition von k:
si =
k
mit i = 1, 2, …, r.
j
j i
Die streng monoton fallende Folge der si:
k = s1 > s2 > ... > sr = kr > 0.
Die Ermittlung der geordneten r-Partition aus den si:
[sr, (sr – 1 – sr), …, (s1 – s2)].
Die Typnummer t mit Hilfe der si:
t=
r
2
si 1
.
i1
Die r unterscheidbaren Partgrößen der ungeordneten k-Partitionen: nr > ...> ni >...> n1 > 0.
Der Typ der ungeordneten k-Partitionen (mit unbestimmten ni): n = kr*nr +...+ ki*ni +...+ k1*n1.
r
GF(x, t) =
x si
 1 x
i1
r
=
si
=
 

x si hi

 hi 1

i1

 pn, t   x
=
n
x s1
1  x s1

=



x s2
1  x s2
 ... 
x sr
 
  

x s1h1   
x s2 h2

 
 h11
  h2 1

(5.1)
1  x sr

  

x sr hr
 
  hr 1





(5.2)
(5.3)
nnmin
r
nmin =
r
 s = k
i
i1
i
i
(5.4)
i1
Der größte x-Exponent in (5.1) ist s1 = k, er gibt die Partanzahl der ungeordneten typspezifischen Partitionen an. Der kleinste x-Exponent der GF, sr = kr, gibt die Anzahl der
größten (!) Parts in den ungeordneten typspezifischen Partitionen an.
Im Grenzfall r = 1 besteht (5.1) nur aus einem Faktor mit dem x-Exponenten s1 = k. Die
zugehörigen Partitionen haben den Partitionstyp n = k*n1, sie bestehen aus k gleichgroßen
Parts. Im anderen Grenzfall, r = k, besteht (5.1) aus k Faktoren mit der fallenden xExponentenfolge s1 = k bis sk = 1. Der Partitionstyp ist n = nk + ... + n2 + n1. Diese kPartitionen haben keine gleichgroßen Parts (strikte k-Partitionen).
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Die x-Potenzen in den Zählern von (5.1) sind die Anfangspotenzen der Reihen in (5.2). Die
Summe der Exponenten dieser Anfangspotenzen, d. h. die Summe der si, ergibt den
Anfangsexponenten nmin in der GF-Expansion (5.3).
Die Erzeugungsformel für den x-Exponenten n > nmin in der GF-Expansion:
r
n=
s
 hi =
i
r
i1
i1

r
   k

j
j i

h
 i

(5.5)
= (kr +...+ k2 + k1)*h1 + (kr +...+ k3 + k2)*h2 + ... + (kr + kr – 1)*hr – 1 + (kr)*hr
= kr*(h1 + h2 +...+ hr) + kr – 1*(h1 + h2 +...+ hr – 1) + ... + k2*(h1 + h2) + k1*(h1)

ki 

i1

r
=

hj  =

j1

i
 
r
k
 ni
(5.6)
mit i = 1, 2, …, r
(5.7)
i
i1
i
ni =
h
j
j 1
Mit (5.7) bzw. mit den Klammern in (5.6) werden die erzeugenden hi-Werte so zusammen
gefaßt, wie sie die Partgrößen ni für die ungeordnete k-Partition bilden. Mit beliebigen Werten
hi > 1 ergibt sich für diese ni stets eine streng monoton fallende Zahlenfolge; mit den ki > 1
wird die typrichtige Anzahl der gleichgroßen Parts festgelegt.
In der expandierten GF (5.3) gibt der xn-Koeffizient p(n, t) die Anzahl der Möglichkeiten an,
mit Variationen der erzeugenden Werten (h1, h2, …, hr) die gleiche xn-Potenz bzw. das
gleiche n zu erzeugen. Dieser Koeffizient gibt somit die Anzahl der typspezifischen kPartitionen für n an. Anders betrachtet: Die Formel (5.5) hat mit r Unbekannten hi und einem
vorgegeben n die Form einer diophantischen Gleichung und der Koeffizient p(n, t) gibt dafür
die Anzahl der positiven Lösungen an. Stets gilt p(nmin, t) = 1, hierbei sind alle hi = 1.
Beispiel 5.1: Gegeben sei die Typnummer t = 3.
Mit t = 3 = (11)2 = 21 + 20 läßt sich leicht erkennen: k = 2, r = 2, s1 = 2 und s2 = 1 und es gilt
nmin = s1 + s2 = 3.
GF(x, t = 3) = GF(x, t=2)*GF(x, t=1) =
x2
1 x2

 
  
x
=  x 2h1   
x h2
1 x
 h11
  h2 1



 =



 pn, t  3  x
n
n 3
= (x2 + x4 + x6 + x8 +…)(x + x2 + x3 + x4 +…) = x3 + x4 + 2x5 + 2x6 + 3x7 + 3x8 + …
Die typbestimmende geordnete Partition ist (k2, k1) = (s2, s1 – s2) = (1, 1).
Der Typ der ungeordneten 2-Partitionen ist damit n = n2 + n1 (n2 > n1 > 0).
Die Exponentenerzeugung in der GF-Expansion ist n = s1*h1 + s2*h2 = 2h1 + h2 = (h1 + h2) + h1
Genauer betrachtet sei z. B. der Fall n = 6 mit p(n = 6, t = 3) = 2.
Die typspezifischen Partitionen sind 5 + 1 und 4 + 2.
Die Partitionen mit zwei ungeraden Parts (z. B. 5 + 1) können offensichtlich nicht durch zwei
ungerade x-Exponenten erzeugt und so gezählt werden.
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Der Exponent n = 6 wird mit x2*x4 und x4*x2 erzeugt, womit sich p(n = 6, t = 3) = 2 ergibt.
Diese beiden Erzeugungsmöglichkeiten sind gleichbedeutend mit der Anzahl an positiven
Lösungen für die diophantische Gleichung n = 6 = 2h1 + h2 (Exponenten-Erzeugungsformel).
Die Lösungen sind (h1, h2) = (1, 4) und (h1, h2) = (2, 2). Die Partgrößen ni werden dann mit
(5.7) gebildet und mit Hilfe der Typformel (2.1) ergeben sich die Partitionen 5 + 1 und 4 + 2.
6
Die konjugierten der typspezifischen k-Partitionen
Der Vergleich von (5.5) mit (5.6) läßt einen gewissen Rollentausch erkennen: si mit ni und hi
mit ki. Die Erzeugung der Partgrößen ni durch die hi ähnelt der Bildung der Partialsummen si
durch die ki. In beiden Fällen entstehen streng monoton fallende Folgen mit r Zahlen. Der
Unterschied: Die ki und damit die si bleiben konstant, die hi und damit die ni sind variabel.
Durch den Rollentausch kann aus jeder typspezifischen k-Partition eine sogenannte
konjugierte Partition eindeutig erzeugt werden (Prinzip der Ferrers-Young-Diagramme).
Die Partgrößen der konjugierten Partition sind die GF-Exponenten si mit den entsprechenden
Mehrfachheiten hi > 1. Die hi können aus der typspezifischen k-Partition mittels Differenzen
der unterscheidbaren Partgrößen ni gewonnen werden. Aus (5.7) folgt eindeutig:
(h1, h2, …, hr) = [n1, (n2 – n1), …, (nr – nr – 1)]
(6.1)
Die Konstruktion der konjugierten Partition erfolgt nun mit Hilfe von (5.5):
r
n=
s
i
 h i = s1n1 + s2(n2 – n1) + ... + sr(nr – nr – 1)
(6.2)
i1
Die Partanzahl der konjugierten Partition ist die Summe der hi, andererseits ist diese Summe
zugleich die größte Partgröße nr in der typspezifischen k-Partition.
Der Koeffizient p(n, t) in der GF-Expansion (5.3) gibt deshalb für jedes n auch die Anzahl der
entsprechenden konjugierten der typspezifischen Partitionen an.
Mit den drei folgenden Beispielen wird das Bisherige noch einmal geübt. Danach folgt der
Überblick über alle GF’s der ungeordneten k-Partitionen und die rekursiven Methoden zur
Expansion der geschlossen Form der GF’s in (unendlich lange) Potenzreihen.
Beispiel 6.1: Die Konstruktionen für die Typnummer t = 13
Mit t = 13 = (1101)2 = 23 + 22 + 20 läßt sich leicht erkennen:
k = 4, r = 3 , (s1, s2, s3) = (4, 3, 1). Damit ist nmin = s1 + s2 + s3 = 8.
GF(x, t = 13) = GF(x, t = 23)*GF(x, t = 22)*GF(x, t = 20)
=
x4
1 x 4

x3
1 x3

 
  
x
=  x 4h1   
x 3h2
1 x
 h11
  h2 1


  

x h3
 
  h3 1


 =



 pn, t  13  x
n8
n
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Die geordnete 3-Partition von k = 4, die den Typ der ungeordneten 4-Partitionen bestimmt,
ist (k3, k2, k1) = [s3, (s2 – s3), (s1 – s2)] = (1, 2, 1).
Der Partitionstyp ist damit n = k3n3 + k2n2 + k1n1 = n3 + 2n2 + n1.
Die Erzeugungsformel für den x-Exponenten n > nmin in der GF-Expansion ist
n = s1*h1 + s2*h2 + s3*h3 = 4h1 + 3h2 + h3 = (h1 + h2 + h3) + 2*(h1 + h2) + h1 = n3 + 2n2 + n1.
Die Partitionen für ein n > 8 lassen sich für diesen Typ in folgender Weise konstruieren:
Mit n1 = 1 und n2 = 2 wird begonnen, damit ergibt sich die Partition mit dem größtmöglichen
n3-Part. Die nächsten Schritte wiederholen sich schleifenförmig. Am Schleifenanfang wird n2
um 1 erhöht und mit n1 = 1 ergibt sich wieder ein größtes n3 = n – (2n2 + n1). Falls dieser
Schleifenanfang keine typrichtige Partition ermöglicht (d. h. kein n3 > n2), endet die Prozedur,
andernfalls wird nun schrittweise n3 um 1 verringert und gleichzeitig n1 um 1 erhöht solange
das ohne Typänderung möglich ist, andernfalls wird die Schleife wieder neu begonnen.
Jede zugehörige konjugierte Partition hat als Parts die si (also alle Exponenten von der
geschlossenen Form der GF). Aus der typspezifischen Partition wird mit (6.1) die Anzahl hi
der si-Parts gewonnen.
Konkret z. B. mit n = 16:
Partitionen des Typs 13
h1 h2 h3
Σhi
konjugierte Partitionen
16 = 11 +
=9 +
=8 +
=7 +
=6 +
=5 +
1
1
2
1
2
3
11
9
8
7
6
5
4+3+1+1+1+1+1+1+1+1+1
4+3+3+1+1+1+1+1+1
4+4+3+1+1+1+1+1
4+3+3+3+1+1+1
4+4+3+3+1+1
4+4+4+3+1
2
3
3
4
4
4
+
+
+
+
+
+
2
3
3
4
4
4
+
+
+
+
+
+
1
1
2
1
2
3
1
2
1
3
2
1
9
6
5
3
2
1
Damit ist p(n = 16, t = 13) = 6.
Beispiel 6.2: Gesucht sind alle nummerierten GF’s und die Partitionstypen für k = 5, r = 3.
Alle streng monoton fallenden Zahlenfolgen, die mit k = 5 beginnen und aus r = 3 Zahlen
bestehen, lassen sich systematisch ermitteln. Es sind sechs. Jede dieser Folgen wird
Exponentenfolge für eine nummerierbare typspezifische GF. Aus jeder Folge wird die
zugehörige geordnete 3-Partitionen von 5 ermittelt, die zum Typ der ungeordneten 5Partitionen führt.
 k  1  4 
 =   = 6 geordnete 3-Partitionen von k = 5, mit denen
 r  1  2 
Andererseits ist bekannt, es gibt 
6 Partitionstypen definiert werden können. Die Folge der Partialsummen dieser geordneten
Partitionen – je eine streng monoton fallende Folgen von 3 Partialsummen – ergeben dann
die Exponenten für die typspezifischen GF‘s. Diese Exponeneten zeigen auf die
Bitpositionen der Einsen in der 5-stelligen Binärzahl der Typnummer.
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fallende
TypZahlen- Binärnr.
zahl
folge
t
(s1, s2, s3)
1 (5, 4, 3) 11100 28
2 (5, 4, 2) 11010 26
3 (5, 4, 1) 11001 25
4 (5, 3, 2) 10110 22
typspezifische
GF(x, t)
x5
1 x
x
5
5
1 x
x
5

5
1 x
x

1 x
5
1 x
x

6 (5, 2, 1) 10011 19
x
4


4
1 x
1 x
3

geordnete
Typ der
3-Partition
ungeordneten
von 5
5-Partitionen
(k3, k2, k1) (n3 > n2 > n1 > 0)
nmin
konjugierte
Partition zu jeder
typspezifischen
Partition
(3, 1, 1)
n = 3n3 + n2 + n1
12
n = 5n1 + 4(n2 – n1)
+ 3(n3 – n2)
(2, 2, 1)
n = 2n3 + 2n2 + n1 11
n = 5n1 + 4(n2 – n1)
+ 2(n3 – n2)
(1, 3, 1)
n = n3 + 3n2 + n1
10
n = 5n1 + 4(n2 – n1)
+ (n3 – n2)
(2, 1, 2)
n = 2n3 + n2 + 2n1 10
n = 5n1 + 3(n2 – n1)
+ 2(n3 – n2)
(1, 2, 2)
n = n3 + 2n2 + 2n1 9
n = 5n1 + 3(n2 – n1)
+ (n3 – n2)
(1, 1, 3)
n = n3 + n2 + 3n1
n = 5n1 + 2(n2 – n1)
+ (n3 – n2)
x3
1 x
3
x2
1 x

4
x3
5
5 (5, 3, 1) 10101 21
4
4
1 x

5
5
x4
2
x
1 x
x2
1 x
2
3
x
x
x


1 x5 1 x3 1 x
x5
1 x
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5

x2
1 x
2

x
1 x
8
Beispiel 6.3: Gesucht sind Typnummer und GF für den Partitionstyp n = (k – 1)n2 + n1.
Die typbestimmende geordnete Partition ist (k2, k1) = [(k – 1), 1].
Die Partialsummen sind (s1, s2) = [k, (k – 1)].
Die Typnummer ist t = 2 s11 + 2 s2 1 = 2k – 1 + 2k – 2 = 3*2k – 2.
GF(x, t = 3*2k – 2) = GF(x, t = 2k – 1)*GF(x, t = 2k – 2) =
xk

x k 1
1  x k 1  x k 1
Ergänzung:
Die konjugierte zur typspezifischen Partition besteht nur aus den Partgrößen s1 = k und s2 =
(k – 1) mit den entsprechenden Anzahlen h1 und h2, die mit (h1, h2) = [n1, (n2 – n1)] ermittelt
werden. Die konjugierte Partition ist dann n = k*h1 + (k – 1)*h2 = kn1 + (k – 1)(n2 – n1), deren
Partanzahl ist damit h1 + h2 = n2.
7
Vereinfachte GF-Symbolik
In den nachfolgenden Betrachtungen wird eine (möglichst stark) vereinfachte Symbolik für
die typspezifischen GF’s benötigt. Es wird deshalb das Symbol T(t) für die typspezifischen
GF‘s vorgeschlagen. Der Parameter t zeigt die Typnummer an.
Die typspezifische GF vom Beispiel 6.3 hat damit diese Symbolik:
xk

x k 1
1  x k 1  x k 1
= T(2k – 1)*T(2k – 2) = T(2k – 1 + 2k – 2) = T(3*2k – 2).
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Eine programmierbare Basis-GF
Das Zerlegen und Zusammenfassen von GF’s soll mit Hilfe der folgenden programmierbaren
Basisfunktion (8.1) demonstriert werden. Mit Hilfe k-stelliger Bitmuster (bk,bk-1,...,b1) werden
dabei typspezifische erzeugende Funktionen der geschlossenen Form erzeugt. Jedes der 2k
Bitmuster läßt sich als Binärzahl t darstellen, mit der die Funktion programmiert und
nummeriert (bzw. adressiert) wird.
k
T(t=(bk,bk-1,...,b1)2) =

i1
k
=
 xi

1 xi

 

x ihi

 hi i

i1




bi
(8.1)




bi

=
pn, t   x


n
(8.2)
nn t min
Bit bi = 0: Der entsprechende Faktor von (8.1) wird unwirksam, er wird 1.
Bit bi = 1: Der entsprechende Faktor wird Bestandteil der typspezifischen Funktion.
Das kleinste n = nmin hängt von der Typnummer t ab, es läßt sich mit Hilfe der Bits angeben.
k
n(t)min =
i  b
(8.3)
i
i1
Die Parts mi der typsspezifischen k-Partition von nmin lassen sich auch mit den Bits angeben:
k
mi =
b
j
mit i = 1, 2, …, k
(8.4)
j i
Beispiel 8.1 Gegeben sei die binäre Typnummer t = (b6b5b4b3b2b1)2 = (100110)2.
Damit gilt: k = 6; r = 3; (s1, s2, s3) = (6, 3, 2); t = 25 + 22 + 21 = 38;
x6
T(38) =
1 x
6

x3
1 x
3

x2
1 x
2
= T(25)*T(22)*T(21) = T(32 + 4 + 2);
6
nmin =
i  b
i
= 6 + 3 + 2 = 11;
i1
(m1, m2, m3, m4, m5, m6) = (3, 3, 2, 1, 1, 1)
 Partitionstyp n = 2n3 + n2 + 3n1.
Mit Bit bk = 1 lassen sich so 2k – 1 GF’s erzeugen und nummerieren. Da diese GF‘s den
Faktor mit dem größten x-Exponenten k haben, sind es die typspezifischen GF’s der kPartitionen. Nummeriert sind es die Funktionen T(tk) mit 2k – 1 < tk < 2k – 1.
Auch mit Bit bk = 0 können so 2k – 1 typspezifische GF’s erzeugt werden. Nummeriert sind es
die Funktionen T(t) mit 0 < t < 2k – 1 – 1. Diese GF’s erfassen alle Partitionen mit weniger als
k Parts (der Grenzfall t = 0 ist degeneriert).
Im Grenzfall t = 0 folgt aus (8.1): T(t=0) = 1,
aus (8.3): n(t=0)min = 0,
aus (8.2): p(n=0, t=0) = 1 und p(n>0, t=0) = 0.
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Die Basis-GF (8.1) läßt sich mit den komplementären Werten eines Bits in zwei disjunkte
Funktionen zerlegen, z. B. mit b1 = 0 und b1 = 1. Beide Funktionen sind zusammenfaßbar.
T(t=(bk,...,b2,0)2) + T(t=(bk,...,b2,1)2)
k
=

i 2
 xi

1 xi

b
 i
x
 +


1

x

k

i 2
 xi

1 xi





bi
x 
= 1 

1 x 

k

i 2
 xi

1 xi

b
 i
1
 =


1

x

k

i 2
 xi

1 xi





bi
Mit den komplementären Werten eines weiteren Bits, z. B. mit b2 = 0 und b2 = 1, entstehen
vier teilmodifizierte Funktionen, die zusammenfaßbar sind.
T(t=(bk,...,b3,0,0)2) + T(t=(bk,...,b3,0,1)2) + T(t=(bk,...,b3,1,0)2) + T(t=(bk,...,b3,1,1)2)

x
x2
x
x2 

= 1 



2
2 
1 x

1 x
1 x 1 x 
x  
x2
= 1 
  1 
1 x  

1 x2




k

i3
 xi

1 xi

k

i 3




bi
 xi

1 xi





bi
1
1
=


1 x 1 x2
k

i3
 xi

1 xi





bi
Mit jedem weiteren Bit verdoppelt sich so die Anzahl der teilmodifizierten disjunkten
Funktionen, die in gezeigter Weise zusammengefaßt werden können. Wenn alle Bits in
dieser Weise festgelegt werden, dann entstehen 2k vollständig modifizierte, typspezifische
GF‘s (inkl. t = 0), die zur nachfolgenden Funktion (8.5) zusammengefaßt werden können.
2k 1

Tt  =
t 0
1
1
1
=


1 x 1 x2
1 xk
k
1
 1 x
i1
i
= Q(x, k)
(8.5)
Mit konstantem bk = 1 ergibt sich in gleicher Weise die folgende Summe (siehe auch (1.3)):
2k 1

Tt k  =
t k  2k 1
k
x
1
1
1
xk
 Q(x, k – 1) = xk*Q(x, k) = P(x, k).
=





2
k

1
k
1 x 1 x
1 xk
1 x
1 x
(8.6)
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Seite 13 von 23
Dekomposition von Q(x, k) in typspezifische GF‘s
Die Zerlegung der zusammenfassenden Funktion Q(x, k) in typspezifische GF’s kann nun in
folgender Weise betrachtet werden:
k
Q(x, k) =
 1 x
i1
k
1
i
=

i1

xi
1 

1 xi


x  
x2
1 
 = 1 



 1  x   1  x 2

 
xk
    1 
  1 xk
 




(9.1)
Mit Ausmultiplizieren der k Klammern entstehen 2k additiv verknüpfte typspezifische GF‘s.
k 
  = 1, es entsteht einmal die 1 (dem Grenzfall t = 0 zugeordnet);
0
k 
x s1
  GF’s, die nur aus einem Faktor
bestehen
s
 1
1 x 1
(k > s1 > 1);
k 
x s1
x s2
  GF’s, die aus zwei Faktoren

bestehen
1  x s1 1  x s2
2
(k > s1 > s2 > 1);
usw.
k 
  GF’s, die aus r Faktoren
r 
r
x si
 1 x
i1
si
bestehen
(k > s1 > s2 ... > sr > 1);
usw.
k 
  = 1, eine GF, die aus k Faktoren
k 
k
x si
 1 x
i1
si
besteht
(k = s1 > s2 ... > sk = 1).
Diese 2k typspezifischen GF’s können mit Hilfe von (4.5) nummeriert werden (0 < t < 2k – 1).
Mit Hilfe von (4.4) und (2.1) können die Partitionstypen ermittelt werden.
Die GF’s mit r Faktoren unterteilen sich in GF’s für Partitionen mit r bis k Parts (k > s1 > r).
Damit verbunden ist die folgende kombinatorische Binomialformel für r-Typen:
k 
 k  1
k  2
 r  1
  = 
 + 
 + … + 
 =
r 
 r 1
 r  1
 r  1
k
 i  1
  r  1 .
(9.2)
i r
Beispiel 9.1: Dekomposition von Q(x, k=3) in typspezifische GF’s
Q(x, k=3) =
x  
x2

1 
=
1




( 1  x ) ( 1  x 2 ) ( 1  x 3 )
 1  x   1  x 2
1
 
x3
  1 
  1 x3
 




= [1 + T(20)]*[1 + T(21)]*[1 + T(22)] = [1 + T(1)]*[1 + T(2)]*[1 + T(4)]
= 1 + T(1) + T(2) + T(1)T(2) + T(4) + T(1)T(4) + T(2)T(4) + T(1)T(2)T(4)
= 1 + T(1) + T(2) + T(3) + T(4) + T(5) + T(6) + T(7)
\________________/ \__________________/
Q(x, k=2)
P(x, k=3)
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Rekursives Expandieren typspezifischer GF’s
2k 1
Mit der Dekomposition P(x, k) =

Tt k 
und mit P(x, k) = x k 
t k  2k 1
k

1
 1 x
i1
i
=
 pn, k   x
n
n k
k – 1
können 2
Quotienten T(tk)/P(x, k) gebildet werden, die das rekursive Expandieren der
typspezifischen GF’s ermöglichen. Das wird hier mit k = 3 demonstriert.
7

Tt 3  =
t3 4
T(4) =
T(5) =
T(6) =
T(7) =
x
x3
1

1 x3 1 x2

3
1 x
3
x3
1 x
x
3
3

 pn, k  3  x
n
n 3
= P(x, k=3)*(1 – x2)*(1 – x) = P(x, k=3)*(1 – x – x2 + x3)
1 x3
x3
1
= P(x, k=3) =
1 x


x
1 x
x2
1 x
2
= P(x, k=3)*(1 – x2)*x
= P(x, k=3)*(
= P(x, k=3)*x2*(1 – x)
= P(x, k=3)*(
x2 – x3)
= P(x, k=3)*(
x3)
x2
x

= P(x, k=3)*x2*x
1 x3 1 x2 1 x

– x3)
x
Mit Beachtung von p(n, k = 3) = 0 für n < k und mit dem Zusammenfassen gleicher xPotenzen in der GF-Expansion von P(x, k=3) gilt:

T(4) =

pn, t 3  4  x n =
n 3
 pn, t
3
 5  x n =
n 4

T(6) =

pn, t 3  6  x n =
T(7) =

n

 pn  1, k  3  pn  3, k  3  x
n
n 4

 pn  2, k  3  pn  3, k  3  x
n
n 5
n 5

 pn, k  3  pn  1, k  3  pn  2, k  3  pn  3, k  3  x
n 3

T(5) =

pn, t 3  7  x n =
n 6

 pn  3, k  3  x
n
n 6
Der Koeffizientenvergleich für xn liefert die typspezifischen Rekursionen:
p(n, t3=4) = p(n, k=3) – p(n – 1, k=3) – p(n – 2, k=3) + p(n – 3, k=3)
p(n, t3=5) =
p(n – 1, k=3)
– p(n – 3, k=3)
p(n, t3=6) =
p(n – 2, k=3) – p(n – 3, k=3)
p(n, t3=7) =
p(n – 3, k=3)
7
 pn, t
3
 i = p(n, k=3)
mit n > 3
(10.1)
(10.2)
(10.3)
(10.4)
(10.5)
i 4
Wenn die ersten p(n, t3)-Werte mit Excel berechnet werden sollen, wird folgender
(vermeidbare) Zirkelschluß gemeldet: In (10.1) liefert p(n, k=3) einen Beitrag für p(n, t3=4)
und in (10.5) liefert p(n, t3=4) einen Beitrag für p(n, k=3).
Lösung: Formel (10.1) wird ersetzt. Ist 3 | n, dann p(n, t3=4) = 1, andernfalls ist p(n, t3=4) = 0.
Die Berechnung mit (10.1) könnte z. B. für Kontrollzwecke verwendet werden.
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Expansionen typspezifischer GF’s (erstellt mit Excel)
2-Partitionen von n
Typnummer
n=
dez. binär r Partitionstyp
2 10 1 n = 2n1
p(n, t=2)
n
=
n
+
n
3 11 2
p(n, t=3)
2
1
2
1
p(n, k=2)
1
3-Partitionen von n
Typnummer
n=
dez. binär r Partitionstyp
4 100 1 n = 3n1
p(n, t=4)
5 101 2 n = n2 + 2n1
p(n, t=5)
6
110
7
111
2 n = 2n2 + n1
3 n = n3 + n2 + n1
r=2
3
4
1
5
6
1
7
8
1
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
6
6
6
6
7
7
7
7
8
8
8
8
9
9
9
3
1
4
5
6
1
7
8
9
1
10
11
12
1
13
14
15
1
16
17
18
1
19
20
21
1
22
23
24
1
25
26
27
1
28
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
3
2
3
3
3
3
4
3
4
4
4
4
1
4
2
5
3
7
4
8
5
10
7
12
8
14
10
16
12
19
14
21
16
24
19
27
21
30
24
33
27
37
30
40
33
44
37
48
40
52
44
56
48
61
52
65
3
3
3
4
5
4
6
6
6
7
8
7
9
9
9
10
11
10
12
12
12
13
p(n, t=6)
p(n, t=7)
p(n, k=3)
1
1
T(5)+T(6)
1
2
1
3
1
2
1
9 10 10 11 11 12 12 13 13
10 10 11 11 12 12 13 13 14
4-Partitionen von n
Typnummer
dez. binär r
Partitionstyp
8 1000 1 n = 4n1
n=
4
p(n, t=8)
1
6
7
9 1001 2 n = n2 + 3n1
p(n, t=9)
p(n, t=10)
11 1011 3 n = n3 + n2 + 2n1
p(n, t=11)
1
12 1100 2 n = 3n2 + n1
p(n, t=12)
1
13 1101 3 n = n3 + 2n2 + n1
p(n, t=13)
14 1110 3 n = 2n3 + n2 + n1
p(n, t=14)
15 1111 4 n = n4 + n3 + n2 + n1
p(n, t=15)
r=2
T(9) + T(10) + T(12)
r=3
T(11) + T(13) + T(14)
s. Bsp. 11.2 T(12) + T(13) + T(14) = T(11)
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
1
10 1010 2 n = 2n2 + 2n1
p(n, k=4)
a
5
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
3
2
2
4
1
1
1
2
3
1
1
1
2
2
1
4
3
3
3
3
1
4
3
4
4
4
4
1
5
4
5
5
5
5
1
6
5
6
6
6
6
6
6
6
9
9
12 12 16 16 20 20 25 25 30 30 36 36
1
1
1
1
1
1
2
1
3
4
5
6
7
8
9
11 12 13 15 17 18 20 22 24
1
2
1
3
2
4
3
5
4
2
3
5
6
9
11 15 18 23 27 34 39 47 54 64 72 84
1
7
2
5
2
8
1
7
2
10
2
8
2
2
12 10
1
1
1
2
3
5
6
9
11 15 18 23 27 34 39 47 54 64 72 84 94 108 120 136 150 169
1
2
2
1
1
2
2
1
2
4
2
5
3
2
3
7
4
4
8
4
4
7
4
7
5
9
6
9
6 12 7 11 8 14 8 14
11 11 17 17 23 23 30 31 39 38 48 49 58 58 70 70
6
6
9
9 12 12 16 16 20 20 25 25 30 30 36 36
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5-Partitionen von n
Typnummer
dez. binär
16 10000
17 10001
18 10010
19 10011
20 10100
21 10101
22 10110
23 10111
24
25
26
27
28
29
30
31
r=2
r=3
r=4
11000
11001
11010
11011
11100
11101
11110
11111
r
1
2
2
3
2
3
3
4
Partitionstyp
n = 5n1
n = n2 + 4n1
n = 2n2 + 3n1
n = n3 + n2 + 3n1
n = 3n2 + 2n1
n = n3 + 2n2 + 2n1
n = 2n3 + n2 + 2n1
n = n4 + n3 + n2 + 2n1
2
3
3
4
3
4
4
5
n = 4n2 + n1
n = n3 + 3n2 + n1
n = 2n3 + 2n2 + n1
n = n4 + n3 + 2n2 + n1
n = 3n3 + n2 + n1
n = n4 + 2n3 + n2 + n1
n = 2n4 + n3 + n2 + n1
n = n 5 + n4 + n3 + n2 + n1
n=
p(n, t=16)
p(n, t=17)
p(n, t=18)
p(n, t=19)
p(n, t=20)
p(n, t=21)
p(n, t=22)
p(n, t=23)
p(n, t=24)
p(n, t=25)
p(n, t=26)
p(n, t=27)
p(n, t=28)
p(n, t=29)
p(n, t=30)
p(n, t=31)
p(n, k=5)
T(17)+T(18)+T(20)+T(24)
T(19)+T(21)+T(22)+T(25)+T(26)+T(28)
T(23)+T(27)+T(29)+T(30)
5
1
6
7
8
9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
10
1
1
2
1
1
11
12
13
14
2
1
2
1
1
2
1
3
2
1
4
1
2
1
2
2
1
5
1
3
1
3
1
1
1
1
1
2
1
1
1
18
23
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
5
7
10
13
1
2
2
1
3
2
1
5
4
5
1
3
8
2
2
15
1
2
1
6
4
2
4
3
2
2
1
1
1
30
16
17
18
19
3
1
7
1
4
2
6
3
2
8
1
5
2
8
3
1
10
1
6
3
10
3
2
11
1
7
3
13
20
1
3
1
13
1
8
4
16
21
22
23
24
4
2
14
1
9
4
20
4
2
16
1
10
5
24
4
2
18
2
11
5
29
4
2
20
1
13
6
34
25
1
4
2
22
1
14
7
40
26
27
28
5
2
24
2
15
7
47
5
3
26
1
17
8
54
5
2
29
2
18
9
62
3
1
4
1
2
1
1
37
1
3
2
5
1
3
1
2
47
1
4
1
7
1
4
2
3
57
1
5
3
8
1
5
2
5
70
1
1
1
1
1
1
1
1
6
6
7
8
9 10 11 12 13
2
4
2
5
3
6
4
7
5
11 13 17 19 24 27 33 37 44
2
2
2
2
3
3
3
4
4
6
8 10 12 14 17 20 23 27
3
3
5
5
7
7 10 10 13
7 10 13 18 23 30 37 47 57
84 101 119 141 164 192 221 255 291
5 5 3 5 7 6 7 5 8 8 9 8 8 10 10 10
9 11 18 18 21 25 30 35 39 42 49 54 62 64 74 78
4 7 7 13 17 23 28 36 44 56 65 79 91 110 124 146
In OEIS (On-Line Encylopedia of Integer Sequences, http://oeis.org) wurde bisher kein Hinweis auf diese Theorie der typspezifischen GF’s gefunden.
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11
Version 03.12.2012
Seite 17 von 23
GF-Zerlegungen und Bijektionen
Das systematische Zerlegen der Parts von typspezifischen k-Partitionen in kleinere Parts
führt hier zu bijektiven Betrachtungen.
In jeder k-Partition eines r-Typs (r > 2) lassen sich die Parts ni (i > 2) systematisch in die
kleineren Parts hi in folgender Weise zerlegen.
i
Mit (5.7) gilt ni =
h
j
, womit jeder Part ni (i > 2) prinzipiell in Parts hj > 1 zerlegbar ist.
j 1
Mit (6.1) werden die hi aus den ni ermittelt: (h1, h2, …, hr) = [n1, (n2 – n1), …, (nr – nr – 1)].
r
Mit (5.5) gilt n =
s
i
 h i , womit si die Anzahl der Partgröße hi in der erzeugten Partition ist.
i1
Die si und hi in (5.5) spielen im Vergleich mit der konjugierten Partition von n hier die
r
vertauschten Rollen. Die Anzahl aller Parts der so erzeugten Partition von n ist
s
i
= nmin,
i1
das ist das kleinste n für den ursprünglichen r-Typ. Wegen der Konstanz der si pro Typ
entstehen durch solche Partzerlegungen aus allen k-Partitionen des ursprünglichen r-Typs
die neuen Partitionen mit der Partanzahl nmin. Doch der Typ jeder so erzeugten neuen
Partition kann unterschiedlich sein, da dieser von den Konstellationen der hi zueinander
abhängt. Das wird nun genauer untersucht. Mit dem einfachsten Fall wird begonnen.
Der allgemeine Fall r = 2: Partitionstyp n = an2 + bn1
(a > 0, b > 0)
Für diesen Typ gilt: (k2, k1) = (a, b); k = (a + b); (s1, s2) = [(a + b), a]; t = 2a + b – 1 + 2a – 1.
Die typspezifische GF ist T(2a + b – 1 + 2a – 1) =
x a b
1 x
a b


xa
1 x
a
= 


 h11
x(
a b )h1
  

x ah2
 
  h2 1


.


Mit n1 = h1 und n2 = h1 + h2 werden die Partgrößen der zugehörigen Partitionen erzeugt. Das
Teilen der n2-Parts in die Parts h1 und h2 erzeugt aus den Partitionen mit k = (a + b) Parts die
neuen Partitionen mit k = (2a + b) Parts. Der Typ jeder so erzeugten neuen Partition kann
vorerst nur als “Quasi-Typ” angegeben werden:
n = an2 + bn1 = a(h2 + h1) + bh1 = ah2 + (a + b)h1.
(11.1)
Die folgenden hi-Konstellationen erzeugen aus dem „Quasi-Typ“ die neuen Partitionstypen,
wobei die Partgrößen hi noch passend in ni umbenannt werden:
1. h2 = h1 erzeugt den (r=1)-Typ
n = (2a + b)n1;
nmin = 2a + b;
2. h2 > h1
“
“ (r=2)-Typ
n = an2 + (a + b)n1; nmin = 3a + b;
3. h2 < h1
“
“ (r=2)-Typ
n = (a + b)n2 + an1; nmin = 3a + 2b.
Für die erzeugten Typen gilt:
1. (k) = (2a + b);
s1 = k = (2a + b);
t = 22a + b – 1;
2. (k2, k1) = [a, (a + b)]; s1 = k = (2a + b); s2 = a;
t = 22a + b – 1 + 2a – 1;
3. (k2, k1) = [(a + b), a]; s1 = k = (2a + b); s2 = (a +b); t = 22a + b – 1 + 2a + b – 1.
Die zugehörigen GF’s können nun konstruiert und nummeriert (erzeugt) werden.
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Damit gibt es eine Zerlegung der ursprünglichen GF des (r=2)-Typs in drei spezielle GF’s:
T(2a + b – 1 + 2a – 1) = T(22a + b – 1) + T(22a + b – 1 + 2a – 1) + T(22a + b – 1 + 2a + b – 1)
(11.2)
Beweis (durch Zusammenfassen der drei GF’s):
T(22a + b – 1) + T(22a + b – 1 + 2a – 1) + T(22a + b – 1 + 2a + b – 1) = T(22a + b – 1){[1 + T(2a – 1)] + T(2a + b – 1)}
=
=
x 2 a b
1 x
2 a b
 1
x a b
 

a
1  x a b
1 x


 



x 2a b
1  x a b  x a b 1  x a
x 2 a b
1  x 2 a b
 =


=

1  x 2 a b
1  x a  1  x a b
1  x 2 a b 1  x a  1  x a b





x 2 a b
x a b
xa
=
= T(2a + b – 1)*T(2a – 1) = T(2a + b – 1 + 2a – 1).

a b
a b
1 x  1 x
1 x
1  xa

a


Die Zerlegungsformel (11.2) und der Beweis zeigen: Die drei erzeugten GF’s haben den
„elementaren“ Faktor T(22a + b – 1), der hat den größten Exponenten und dieser Faktor
bestimmt damit die Partanzahl der zugehörigen neuen Partitionen. Jede GF des (r = 2)-Typs
ist additiv in eine GF des (r = 1)-Typs und in zwei GF’s des (r = 2)-Typs zerlegbar.
Die beiden erzeugten GF’s des (r = 2)-Typs können nun in gleichartiger Weise zerlegt
werden, sodaß die ursprüngliche GF iterativ in weitere GF’s zerlegbar ist. Dabei werden die
n2-Parts der beteiligten Partitionen weiter zerstückelt. Dieser Zerstückelungsprozeß ist für
natürliche Zahlen endlich. Das wird hier nicht weiter untersucht.
Beispiel 11.1: GF-Zerlegungen (11.2) mit den kleinsten Werten a und b
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
6.)
a = 1, b = 1:
a = 1, b = 2:
a = 2, b = 1:
a = 1, b = 3:
a = 2, b = 2:
a = 3, b = 1:
T(3) = T(4) + T(5) + T(6)
T(5) = T(8) + T(9) + T(12)
T(6) = T(16) + T(18) + T(20)
T(9) = T(16) + T(17) + T(24)
T(10) = T(32) + T(34) + T(40)
T(12) = T(64) + T(68) + T(72)
(2-Partitionen  3-Partitionen)
(3-Partitionen  4-Partitionen)
(3-Partitionen  5-Partitionen)
(4-Partitionen  5-Partitionen)
(4-Partitionen  6-Partitionen)
(4-Partitionen  7-Partitionen)
In der ersten Zerlegung sind T(5) und T(6) ersetztbar durch die zweite und dritte Zerlegung.
T(3) wird so in 7 GF’s zerlegt (Achtung: Die k-Werte der dieser 7 Typen unterscheiden sich).
T(3) = T(4) + T(8) + T(16) + T(9) + T(12) + T(18) + T(20)
\_____________/
\_____________________/
(r = 1)-Typen
(r = 2)-Typen
(11.3)
Die Zerlegung könnte nun mit den GF‘s der neuen (r = 2)-Typen weitergeführt werden.
Die Bijektion in der Zerlegung T(3) = T(4) + T(5) + T(6) läßt sich z. B. für n = 12 betrachten.
Die Anzahlen der in Betracht kommenden Partitionen liefern die Tabellen von Seite 15:
p(n=12, t=3) = 5 und p(n=12, t=4) + p(n=12, t=5) + p(n=12, t=6) = 1 + 3 + 1.
Die Partitionen vor und nach der n2-Partteilung
/ 12 = 11 + 1  10 + 1 + 1 \
|
= 10 + 2  8 + 2 + 2 | Typ 5
Typ 3 |
= 9+3  6+3+3 /
|
= 8 + 4  4 + 4 + 4 Typ 4
\
= 7 + 5  5 + 5 + 2 Typ 6





nach einer weiteren n2-Partteilung
9+1+1+1 \
Typ 9
6+2+2+2 /
3+3+3+3
Typ 8
kein Partteilen für (r=1)-Typen
3+3+2+2+2
Typ 18
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Die Multiplikation einer GF-Zerlegung mit einer „elementaren“ GF T(2m – 1) erfordert, daß
der Exponent dieser „elementaren“ GF sich von allen Exponenten der anderen
„elementaren“ GF’s in der Zerlegung unterscheidet, denn die Voraussetzung für typspezifische GF’s (der geschlossenen Form) ist eine streng monoton fallende Exponentenfolge. Es kann so auch mit mehreren „elementaren“ GF‘s multipliziert werden.
Durch diese Multiplikation werden neue Typen mit erhöhtem r-Wert erzeugt (d. h. die Anzahl
der unterscheidbaren Partgrößen wächst). Aus dem Fall r = 2 kann so der Fall r = 3
entstehen, der nach dem nächsten Beispiel allgemeiner untersucht wird.
Hat die „elementare“ GF T(2m – 1) einen größeren Exponenten als die anderen „elementaren“
GF‘s in (11.2), dann bestimmt dieser für alle so neu erzeugbaren Typen den gleichen k-Wert
(auf der linken und rechten Gleichungsseite). Es lassen sich so Bijektionen zwischen
Partitionen mit gleichvielen Parts aufspüren.
Beispiel 11.2: Die GF-Zerlegung (11.2) mit a = b = 1 wird mit T(8) multipliziert.
Aus
wird
und damit
T(3) = T(4) + T(5) + T(6)
T(8)T(3) = T(8)T(4) + T(8)T(5) + T(8)T(6)
T(11) = T(12) + T(13) + T(14)
Für den Typ 11 gilt: t = (1011)2 = 23 + 21 + 20;
Für den Typ 12 gilt: t = (1100)2 = 23 + 22;
Für den Typ 13 gilt: t = (1101)2 = 23 + 22 + 20;
Für den Typ 14 gilt: t = (1110)2 = 23 + 22 + 21;
(2-Partitionen  3-Partitionen)
(4-Partitionen  4-Partitionen)
(s1, s2, s3) = (4, 2, 1);
(s1, s2)
= (4, 3);
(s1, s2, s3) = (4, 3, 1);
(s1, s2, s3) = (4, 3, 2);
n = n3 + n2 + 2n1
n = 3n2 + n1
n = n3 + 2n2 + n1
n = 2n3 + n2 + n1
Aus Typ 11 entsteht der „Quasi-Typ“ n = (h1 + h2 + h3) + (h1 + h2) + 2h1 = h3 + 2h2 + 4h1. Um
die Bijektion zu finden, muß geklärt werden, wie mit allen hi-Konstellationen aus den 7 Parts
des „Quasi-Typs“ die 4 Parts der Typen 12, 13 oder 14 entstehen. Das wird hier nicht weiter
untersucht. Alle Partitionen für kleine n lassen sich leicht finden, womit das Beispiel noch
kurz fortgesetzt wird.
Z. B. für n = 11 liefert die Tabelle von Seite 15:
p(n=11, t=11) = 4 und p(n=11, t=12) + p(n=11, t=13) + p(n=11, t=14) = 1 + 2 + 1.
Für n = 11 gibt es die folgenden Partitionen (hier ohne bijektive Zuordnung):
Typ 11:
11 = 7 + 2 + 1 + 1 = 6 + 3 + 1 + 1 = 5 + 4 + 1 + 1 = 4 + 3 + 2 + 2
Typ 12:
11 = 3 + 3 + 3 + 2
Typ 13:
11 = 6 + 2 + 2 + 1 = 4 + 3 + 3 + 1
Typ 14:
11 = 4 + 4 + 2 + 1
Der allgemeine Fall r = 3: Partitionstyp n = an3 + bn2 + cn1
(a > 0, b > 0, c > 0)
Für diesen Typ gilt: (k3, k2, k1) = (a, b, c); k = (a + b + c);
(s1, s2, s3) = [(a + b + c), (a + b), a]; t = 2a + b + c – 1 + 2a + b – 1 + 2a – 1.
Die GF ist T(2a + b + c – 1 + 2a + b – 1 + 2a – 1) =
x a b  c

x a b

xa
1  x a b  c 1  x a b 1  x a
mit nmin = 3a + 2b + c.
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Die ni-Parts in den zugehörigen Partitionen werden entsprechend (5.7) mit n1 = h1, n2 = h1 +
h2 und n3 = h1 + h2 + h3 erzeugt. Das Zerlegen der Parts ni in die Parts hi läßt aus den
ursprünglichen Partitionen mit k = (a + b + c) Parts die neuen Partitionen mit k = (3a + 2b +c)
Parts entstehen, für die ein “Quasi-Typ” angeben werden kann:
n = an3 + bn2 + cn1 = a(h3 + h2 + h1) + b(h2 + h1) + ch1 = ah3 + (a + b)h2 + (a + b + c)h1 (11.4)
Aus dem „Quasi-Typ“ entstehen mit den folgenden hi-Konstellationen die neuen Typen,
wobei die Parts hi passend in ni umbenannt wurden:
hi-Konstellation
erzeugter Typ
Typnummer
1. r = 1
h3 = h2 = h1 n = (3a + 2b + c)n1
t=2
2.
h3 > h2 = h1 n = an2 + (2a + 2b + c)n1
t=2
3.
h2 > h1 = h3 n = (a + b)n2 + (2a + b + c)n1
t=2
h1 > h3 = h2 n = (a + b + c)n2 + (2a + b)n1
t=2
h3 = h2 > h1 n = (2a + b)n2 + (a + b + c)n1
t=2
6.
h2 = h1 > h3 n = (2a + 2b + c)n2 + an1
t=2
7.
h1 = h3 > h2 n = (2a + b + c)n2 + (a + b)n1
t=2
8.
h3 > h2 > h1 n = an3 + (a + b)n2 + (a + b + c)n2
t=2
9.
h3 > h1 > h2 n = an3 + (a + b + c)n2 + (a + b)n1
t=2
h2 > h3 > h1 n = (a + b)n3 + an2 + (a + b + c)n2
t=2
h2 > h1 > h3 n = (a + b)n3 + (a + b + c)n2 + an1
t=2
12.
h1 > h3 > h2 n = (a + b + c)n3 + an2 + (a + b)n1
t=2
13.
h1 > h2 > h3 n = (a + b + c)n3 + (a + b)n2 + an1
t=2
4.
5.
10.
11.
r=2
r=3
3a + 2b + c – 1
3a + 2b + c – 1
3a + 2b + c – 1
3a + 2b + c – 1
3a + 2b + c – 1
3a + 2b + c – 1
3a + 2b + c – 1
3a + 2b + c – 1
3a + 2b + c – 1
3a + 2b + c – 1
3a + 2b + c – 1
3a + 2b + c – 1
3a + 2b + c – 1
+2
+2
+2
+2
+2
+2
+2
+2
+2
+2
+2
+2
a–1
a+b–1
a+b+c–1
2a + b – 1
2a + 2b + c – 1
2a + b + c – 1
2a + b – 1
2a + b + c – 1
2a + b – 1
2a + 2b + c – 1
2a + b + c – 1
2a + 2b + c – 1
a–1
+2
a–1
+2
a+b–1
+2
a+b–1
+2
a+b+c–1
+2
a+b+c–1
+2
Ein Vergleich der hi-Konstellationen mit den 4 Typdarstellungen (1.4) für die 3-Partitionen im
Beispiel 2.1 läßt das Folgende erkennen: Die Parts werden hier mit hi (statt ni) bezeichnet.
Alle hi-Konstellationen entstehen, indem die hi untereinander mit Hilfe der Symmetriegruppe
S3 vertauscht werden. Die Gleichheitszeichen in der Konstellation verursachen ein
automorphes Vertauschen, sodaß dann weniger als 3! Konstellationen entstehen.
Mit Hilfe der Typnummern läßt sich nun die folgende Zerlegungsformel für die ursprüngliche
GF des allgemeinen (r=3)-Typs angeben.
T(2a + b + c – 1 + 2a + b – 1 + 2a – 1)
(11.5)
= T(23a + 2b + c – 1)
+ T(23a + 2b + c – 1 + 2a – 1)
+ T(23a + 2b + c – 1 + 2a + b + c – 1)
+ T(23a + 2b + c – 1 + 22a + 2b + c – 1)
r=1
+ T(23a + 2b + c – 1 + 2a + b – 1)
+ T(23a + 2b + c – 1 + 22a + b – 1)
+ T(23a + 2b + c – 1 + 22a + b + c – 1)
+ T(23a + 2b + c – 1 + 22a + b – 1
+ 2a – 1)
+ T(23a + 2b + c – 1 + 22a + b + c – 1 + 2a – 1)
+ T(23a + 2b + c – 1 + 22a + b – 1
+ 2a + b – 1)
+ T(23a + 2b + c – 1 + 22a + 2b + c – 1 + 2a + b – 1)
3a + 2b + c – 1
2a + b + c – 1
a+b+c–1
+ T(2
+2
+2
) + T(23a + 2b + c – 1 + 22a + 2b + c – 1 + 2a + b + c – 1)
r=2
r=3
Der Beweis für die Gültigkeit der GF-Zerlegung (11.5) wird dem Leser überlassen. Es wird
hier nur die GF-Zerlegung mit den kleinstmöglichen Typnummern angegeben.
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Beispiel 11.3 Die GF-Zerlegung (11.5) mit a = b = c = 1 (3-Partitionen  6-Partitionen)
T(7) = T(32)
+ T(33) + T(34) + 2T(36) + T(40) + T(48)
+ T(37) + T(38) + T(41) + T(44) + T(50) + T(52)
(11.6)
Die doppelte Erzeugung der Partitionen des Typs 36 erfolgt durch die hi-Konstellationen 4
und 5. Die Gültigkeit von (11.6) läßt sich mit der GF-Expansion für die typspezifischen 6Partitionen für kleine n nachweisen.
Die GF-Anzahl in (11.6) kann durch weiteres Zerlegen der neuen GF’s erhöhen werden,
andererseits kann die GF-Anzahl auch in folgender Weise verringern werden. Die GFZerlegung (11.3) wird mit T(32) multipliziert:
Aus
T(3) = T(4) + T(8) + T(16) + T(9) + T(12) + T(18) + T(20)
wird
T(32)T(3) = T(32)[T(4) + T(8) + T(16) + T(9) + T(12) + T(18) + T(20)]
und damit
T(35) = T(36) + T(40) + T(48) + T(41) + T(44) + T(50) + T(52).
In der Zerlegung (11.6) können nun 7 GF’s durch T(35) ersetzt werden, es entsteht:
T(7) = T(32) + T(33) + T(34) + T(35) + T(36) + T(37) + T(38).
(11.7)
In analoger Weise läßt sich im Fall r > 4 aus den Partitionen eines r-Typs durch Partteilungen
ein „Quasi-Typ“ ermitteln. Mit den entsprechenden Typdarstellungen (1.4), mit PartUmbennenungen und mit den Permutationen der symmetrischen Gruppe Sr werden die hiKonstellationen ermitteln, mit denen die neuen Partitionstypen erzeugt werden. Der Aufwand
dafür wächst mit r explosionsartig.
12
Zahlen, die in k-Partitionen aller Typen zerlegbar sind
Eine natürliche Zahl n, die in k-Partitionen aller Typen zerlegbar ist, hat den Teiler k, denn
nur dann ist die Partition des Typs „k gleiche Parts“ realisierbar, also es muß n = k*m gelten.
Die k-Partitionen des Typs n = (k – 1)n2 + n1 (mit der Typnummer t = 2k – 1 + 2k – 2 = 3*2k–2)
spielen hierbei eine Sonderrolle, diese k-Partitionen gibt es nicht für die Zahlen n = k*m < k2.
Beweis: Das zugehörige nmin = (k – 1)*2 + 1 = 2k – 1 ist nicht durch k teilbar. Für das nächst
größere n mit Teiler k muß n1 = 1 gelten, denn bei n1 > 1 könnte von jedem Part (n1 – 1)
subtrahiert werden und das so erzeugte n bleibt durch k teilbar, also: n = k*m = (k – 1)n2 + 1.
Kleinstes n2 > 2, mit dem ein durch k teilbares n entsteht, ist n2 = k + 1; damit ist n = k*m = k2.
Die Zahlen n = k*m > k2 können in die k-Partitionen aller 2k – 1 Typen zerlegt werden.
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Beweis: Die typbestimmende geordnete r-Partition von k sei (kr, ..., k2, k1), ihre Partialr
summen sind dann si =
k
j
(mit i = 1, 2, ..., r). Beim Expandieren der zugehörigen GF
j i
r
werden die x-Exponenten n nach der in (5.5) angegebenen Formel erzeugt: n =
s
i
 hi .
i1
Hierbei sind die Zahlen hi > 1 von einander unabhängig und für jedes so erzeugte n gibt es
mindestens eine k-Partitionen von dem Typ, der durch die geordnete r-Partition von k
definiert wird. Mit den folgenden hi-Werten, die sich aus den Parts der typbestimmenden rPartition von k ergeben, wird nun das n erzeugt.
hi = ki + ki – 1 mit 1 < i < r.
(12.1)
Im Fall i = 1 kann in (12.1) ein noch undefinierter „Pseudopart“ k0 > 0 einbezogen werden,
mit dem h1 vergrößerbar ist (die Bedeutung von k0 wird später erkennbar). Bis auf dieses k0
wird nun das so erzeugbare n nur noch durch die typbestimmende geordnete r-Partition von
k festgelegt.
r
n=
s
i
 k i  k i1 
mit k0 > 0
(12.2)
i1
Die beiden letzten Terme in (12.2), die Terme für i = r und i = r – 1, sind zusammenfaßbar:
sr*(kr + kr – 1) + sr – 1*(kr – 1 + kr – 2)
= sr*sr – 1 + sr – 1*(kr – 1 + kr – 2)
= sr – 1*(sr + kr – 1 + kr – 2)
= sr – 1*sr – 2
Der drittletzte Term in (12.2) läßt sich nun auch in die Zusammenfassung einbinden:
sr – 1*sr – 2 + sr – 2*(kr – 2 + kr – 3)
= sr – 2*(sr – 1 + kr – 2 + kr – 3)
= sr – 2*sr – 3
Jeder weitere Term von (12.2) läßt sich so schrittweise in die Zusammenfassung einbinden.
Wenn schließlich der Term für i = 1 eingebunden wird, entsteht n.
n = s2*s1 + s1*(k1 + k0)
= s1*(s2 + k1 + k0)
= (kr + kr – 1 + kr – 2 + ... + k1)*(kr + kr – 1 + ... + k1 + k0)
= k*(k + k0) mit k0 > 0
Alle geordneten Partitionen von k erzeugen mit (12.2) das gleiche n = k*(k + k0); somit lassen
sich die natürlichen Zahlen n = k*m > k2 in die k-Partitionen aller 2k – 1 Typen zerlegen.
– Ende –
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Referenzen
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integers,
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Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/128006