Seminararbeit Funktionalanalysis

Technische Universität Wien SS 09
Seminararbeit
Funktionalanalysis
Kontraktionen im Kreinraum
von
Daniel Tovornik
INHALTSVERZEICHNIS
1
Inhaltsverzeichnis
1 Räume mit indefinitem inneren Produkt - der Kreinraum
2
2 Kontraktionen und Bikontraktionen
5
INHALTSVERZEICHNIS
1
1 Räume mit indefinitem inneren Produkt - der Kreinraum
1
2
Räume mit indefinitem inneren Produkt - der Kreinraum
Definition 1.1 (Inneres Produkt, innerer Produkt Raum).
Sei L ein linearer Raum. Ein inneres Produkt auf L ist eine Abbildung
[., .] : L × L → C
so dass gilt
(i). [x + y, z] = [x, z] + [y.z],
(ii). [αx, y] = α[x, y],
(iii). [x, y] = [y, x],
x, y, z ∈ L.
x, y ∈ L, α ∈ C .
x, y ∈ L.
Wenn [., .] ein inneres Produkt auf L ist, nennt man hL, [., .]i einen inneren Produkt Raum.
Definition 1.2 .
Sei hL, [., .]i ein innerer Produkt Raum. Ein Unterraum M von L heißt
(i). negativ, wenn [f, f ]L ≤ 0,
f ∈ M,
(ii). negativ definit, wenn [f, f ]L < 0,
f ∈ M\{0}.
Analog sind die Begriffe positiv und positiv definit zu verstehen.
Definition 1.3 (Orthogonalzerlegung, Fundamentalzerlegung, Fundamentalsymmetrie).
Sei hL, [., .]i ein innerer Produkt Raum. Ein Paar j := (L1 , L2 ) von linearen Unterräumen
von L wird Orthogonalzerlegung von L genannt, wenn
L = L1 [u]L2 ,
d.h. L ist in zwei, bezüglich dem inneren Produkt [., .], zueinander orthogonale lineare
Unterräume L1 , L2 disjunkt zerteilbar.
Weiters seien die Orthogonalprojektionen Pj1 und Pj2 definiert durch
ran Pj1 = L1 , ker Pj1 = L2 ,
ran Pj2 = L2 , ker Pj2 = L1 .
Ein Paar J := (L+ , L− ) von linearen Unterräumen von L wird Fundamentalzerlegung
von L genannt, wenn
(i). L+ ein positiv definiter und L− ein negativ definiter Unterraum sind.
(ii). L = L+ [u]L− [u]L◦ .
1 Räume mit indefinitem inneren Produkt - der Kreinraum
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1 Räume mit indefinitem inneren Produkt - der Kreinraum
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Weiters seien die Orthogonalprojektionen PJ+ und PJ− definiert durch
ran PJ+ = L+ , ker PJ+ = L− + L◦ ,
ran PJ− = L− , ker PJ− = L+ + L◦ .
Dann wird
JJ := PJ+ − PJ−
die Fundamentalsymmetrie zur Fundamentalzerlegung J genannt, und durch
(x, y)J := [JJ x, y]
ist ein positiv semidefinites inneres Produkt auf L erklärt.
Definition 1.4 (Winkel-Operator ).
Sei hL, [., .]i ein innerer Produkt Raum und j = (L1 , L2 ) eine Orthogonalzerlegung. Wenn
M ein linearer Unterraum von L ist und M ∩ L1 = {0}, dann wird der Winkel-Operator
von M bezüglich j definiert als
2
Pj M →
L1
.
aj (M) :
x
7→ Pj1 ◦ (Pj2 M )−1 x
Definition 1.5 (intrinsically vollständig).
Sei hL, [., .]i ein innerer Produkt Raum. Ein positiv definiter Unterraum M von L wird
intrinsically vollständig genannt, wenn hM, [., .]|M×M i ein Hilbertraum ist. Analog heißt
ein negativ definiter Unterraum intrinsically vollständig, wenn hM, −[., .]|M×M i ein Hilbertraum ist.
Definition 1.6 .
Sei M ein intrinsically vollständiger negativ definter Unterraum, dann ist mit |M| der
Hilbertraum hM, −[., .]|M×M i gemeint.
Definition 1.7 (Kreinraum).
Ein innerer Produkt Raum hK, [., .]i wird Kreinraum genannt, wenn K nicht degeneriert
ist und es eine Fundamentalzerlegung (K+ , K− ) gibt, deren Komponenten K± intrinsically
vollständig sind.
Ist K nicht degeneriert und sind beide Komponenten K+ , K− intrinsically vollständig, so
folgt, dass zu jeder Fundamentalzerlegung J , das innere Produkt (., .)J positiv definit
auf K ist, und hK, (., .)J i ein Hilbertraum ist. Fundamentalzerlegungen sind i.a. nicht
eindeutig, allerdings kann gezeigt werden, dass die von ihnen induzierte Topologie eindeutig ist. Alle topologischen Eigenschaften in einem Kreinraum, wie Abgeschlossenheit
oder Stetigkeit werden bezüglich dieser eindeutigen Hilbertraum Topologie verstanden.
Definition 1.8 (Pontryaginraum).
1 Räume mit indefinitem inneren Produkt - der Kreinraum
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1 Räume mit indefinitem inneren Produkt - der Kreinraum
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Ein innerer Produkt Raum hP, [., .]i wird Pontryaginraum genannt, wenn hP, [., .]i ein
Kreinraum ist und ind− hP, [., .]i < ∞, wobei
ind− hP, [., .]i := sup{dim M | M ist negativ definiter Unterraum von P}
der negative Index von P genannt wird.
Definition 1.9 .
Sei K ein Kreinraum. Ein Unterraum M von K heißt
(i). maximal negativ, wenn M negativ ist und M keine echte Untermenge eines anderen
negativen Unterraumes ist,
(ii). gleichmäßig negativ, wenn für eine (und somit für alle) Fundamentalzerlegung J
von K ein δJ > 0 exisitert so dass
[f, f ]K ≤ −δJ ||f || 2KJ ,
f ∈ M,
(iii). maximal gleichmäßig negativ, wenn M maximal negativ und gleichmäßig negativ
ist.
Analog sind die Begriffe gleichmäßig positiv und maximal gleichmäßig positiv zu
verstehen. Maximal negative bzw. maximal positive Unterräume sind abgeschlossen.
Definition 1.10 .
Sei T ∈ B(H, K) dann ist mit T ∗ ∈ B(K, H) die Kreinraumadjungierte gemeint. Die
Hilbertraumadjungierte zu T ∈ B(HJH , KJK ) wird mit T × ∈ B(KJK , HJH ) bezeichnet.
Es gilt
T ∗ = JH T × JK .
Definition 1.11 (Kontraktion).
Seien H und K Kreinräume. Ein Operator T ∈ B(H, K) heißt Kontraktion falls
[T f, T f ]K ≤ [f, f ]H ,
f ∈H
(1)
gilt, und Bikontraktion falls T und T ∗ Kontraktionen sind.
Bemerkung 1.12 .
Für einen Kreinraum K ist jede Fundamentalzerlegung auch Orthogonalzerlegung und somit können mit ihr Winkel-Operatoren definiert werden. Mit Hilfe des Winkel-Operators
lassen sich Eigenschaften von Unterräumen durch seine Graphendarstellung charakterisieren.
1 Räume mit indefinitem inneren Produkt - der Kreinraum
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2 Kontraktionen und Bikontraktionen
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Sei K ein Kreinraum und M ein negativer Unterraum von K. Für eine Fundamentalzerlegung J = (K+ , K− ) kann M dargestellt werden als
Kg
Γ(K) =
: g ∈ dom K ,
g
wobei K := aJ (M) der Winkel-Operator von M ist.
Sei x ∈ dom K, x 6= 0 dann gilt:
0 ≥ [x + Kx, x + Kx]K = [x, x]K− + [Kx, Kx]K+ ⇒ −[x, x]K− ≥ [Kx, Kx]K+
und somit ist K eine Hilbertraum-Kontraktion von dom K ⊆ |K− | nach ran K ⊆ K+ .
Jede Hilbertraum Kontraktion mit dom K ⊆ |K− | und ran K ⊆ K+ ist der WinkelOperator eines negativen Unterraums M von K. Man kann zeigen:
(i). M ist abgeschlossen, wenn dom K in |K− | abgeschlossen ist.
(ii). M ist maximal negativ genau dann, wenn dom K = |K− |.
2
Kontraktionen und Bikontraktionen
Satz 2.1 .
Seien H und K Kreinräume und T ∈ B(H, K) eine Kontraktion. Die Normen sind
bezüglich gewählter Fundamentalzerlegungen für H und K auf den entsprechenden Hilberträumen zu verstehen. Sei
h
1/2 i−1
δ = ||T || + 1 + ||T || 2
,
dann gilt:
(i). für alle f ∈ H mit [f, f ]H ≤ 0 gilt ||T f || KJ ≥ δ||f || HJ .
(ii). ker T ist ein abgeschlossener gleichmäßig positiver Unterraum von H.
Beweis . Sei JH die gewählte Fundamentalsymmetrie von H. Da T eine Kontraktion
ist und (1 − T ∗ T )∗ = 1 − T ∗ T gilt, folgt aus (1) dass 1 − T ∗ T ≥ 0 ist, und somit ist der
Operator C = JH (1 − T ∗ T ) nicht negativ als Operator auf HJ . Betrachtet man nun
C × = (JH (1 − T ∗ T ))× = (JH (1 − JH T × JK T ))× = (1 − T × JK T JH )JH =
= JH (1 − JH T × JK T ) = JH (1 − T ∗ T ) = C
so erkennt man, dass C selbstadjungiert ist in HJ .
Somit gilt
||f || HJ − ||T || ||T f || KJ ≤ ||(1 − T ∗ T )f || HJ = ||Cf || HJ
2 Kontraktionen und Bikontraktionen
5
2 Kontraktionen und Bikontraktionen
6
da C selbstadjungiert und positiv ist, existiert die Wurzel und wir erhalten
1/2
1/2
||Cf || HJ = ||C 1/2 C 1/2 f || ≤ ||C 1/2 || (C 1/2 f, C 1/2 f )HJ ≤ ||C|| 1/2 (Cf, f )HJ ≤
1/2
1/2
≤ 1 + ||T || 2
(Cf, f )HJ .
Wenn [f, f ]H ≤ 0 gilt weiters
(Cf, f )HJ = [f, f ]H − [T f, T f ]K ≤ −[T f, T f ]K ≤ ||T f || 2KJ .
Aus der Kombination dieser zwei Ungleichungen folgt nun
1/2
≤ 1 + ||T || 2
||T f || KJ ,
−1
≤ δ ||T f || KJ
||f || HJ − ||T || ||T f || KJ
||f || HJ
womit (i) gezeigt ist.
Ist g ∈ ker T , dann gilt Cg = JH (1 − T ∗ T )g = JH g und somit
||g|| 2HJ = (Jg, Jg)HJ
= ||Cg|| 2HJ ≤ ||C|| (Cg, g)HJ = ||C|| [g, g]H ,
[g, g]H ≥ ||C|| −1 ||g|| 2HJ
woraus (ii) folgt.
Korollar 2.2 .
Seien H, K Kreinräume und T ∈ B(H, K) eine Kontraktion. Dann gilt:
(i). T bildet jeden abgeschlossenen negativen Unterraum von H injektiv auf einen abgeschlossenen negativen Unterraum von K ab.
(ii). T bildet jeden abgeschlossenen gleichmäßig negativen Unterraum von H injektiv
auf einen abgeschlossenen gleichmäßig negativen Unterraum von K ab.
Beweis . Sei M1 ein abgeschlossener negativer Unterraum von H.
Da T stetig ist folgt, dass T M1 abgeschlossen ist und da T Kontraktion ist, gilt für alle
f ∈ H : [f, f ]H ≥ [T f, T f ]K . Somit gilt für alle f ∈ M1 : 0 ≥ [f, f ]H ≥ [T f, T f ]K womit
T M1 auch negativ ist.
Aus Satz 2.1 (i) folgt nun für alle f ∈ M1 : ||T f || KJ ≥ δ||f || HJ , womit T injektiv nach
T M1 abbildet. Somit ist (i) gezeigt.
Sei nun M2 ein gleichmäßig negativer Unterraum von H. Somit exisitiert η > 0 mit
[f, f ]H ≤ −η||f || 2HJ ,
f ∈ M2 .
Es folgt
[T f, T f ]K ≤ [f, f ]H ≤ −η||f || 2HJ = −η||T −1 T f || 2HJ ≤ −η||(T |M2 )−1 || 2 ||T f || 2KJ ,
also ist T M2 gleichmäßig negativ.
f ∈ M2 ,
2 Kontraktionen und Bikontraktionen
6
2 Kontraktionen und Bikontraktionen
7
Betrachten wir nun zwei Kreinräume H, K mit den Fundamentalzerlegungen (H+ , H− )
und (K+ , K− ). Sei L := H × K versehen mit dem inneren Produkt
f
f
,
= −[f, f ]H + [g, g]K ,
g
g L
dann ist L ein Kreinraum mit Fundamentalzerlegung (L+ , L− ) = (H− ⊕ K+ , H+ ⊕ K− ).
Betrachtet man nun eine Kontraktion T ∈ B(H, K), dann gilt für alle f ∈ H
f
f
,
= −[f, f ]H + [T f, T f ]K ≤ 0,
Tf
Tf L
d.h. der Graph
Γ(T ) =
f
Tf
:f ∈H
von T ist ein negativer Unterraum von L. Da T stetig ist, ist Γ(T ) auch abgeschlossen.
Definition 2.3 (scattering-Operator ).
Mit dem scattering-Operator (Potapov-Ginzburg transform) von T ∈ B(H, K) bezeichnet
man den Winkel-Operator S von Γ(T ) bezüglich der Fundamentalzerlegung (L+ , L− ) =
(H− ⊕ K+ , H+ ⊕ K− ). Es gilt somit
Su
Γ(T ) =
: u ∈ dom S ⊂ L+ ⊕ L− .
u
Nach Konstruktion ist der scattering-Operator eine Hilbertraum Kontraktion mit abgeschlossenem dom S ⊆ |L− | und ran S ⊆ L+ .
Seien die Fundamentalsymmetrien und die Projektionen zu den gegebenen Fundamentalzerlegungen von H und K gegeben durch JH , JK und
P± : H → H ± ,
Q± : K → K± ,
und man betrachte T angeschrieben in Matrixform
T11 T12
T =
∈ B(H+ ⊕ H− , K+ ⊕ K− ).
T21 T22
Weiters definere man die Operatoren
T11 T12
Q+ T + P− =
∈ B(H+ ⊕ H− , K+ ⊕ H− ),
0
1
(2)
(3)
und
P+ + Q− T =
1
0
T21 T22
∈ B(H+ ⊕ H− , H+ ⊕ K− ).
2 Kontraktionen und Bikontraktionen
(4)
7
2 Kontraktionen und Bikontraktionen
8
Satz 2.4 .
Sei T ∈ B(H, K) eine Kontraktion mit scattering-Operator S. Dann gilt dom S = ran (P+ +
Q− T ) und
S = (Q+ T + P− )(P+ + Q− T )−1 dom S .
(5)
Beweis . Wir zeigen, dass P+ + Q− T injektiv ist und abgeschlossenes Bild hat. Für
f ∈ H− gilt
[T22 f, T22 f ]K− = [Q− T f, Q− T f ]K ≤ [T f, T f ]K ≤ [f, f ]H = [f, f ]H− .
und somit ist nach Korollar 2.2 T22 eine injektive Kontraktion von H− nach K− mit
abgeschlossenem Bild. Betrachtet man nun (4) so erkennt man, dass somit auch P+ +Q− T
injektiv ist und abgeschlossenes Bild hat.
Betrachtet man nun für alle f ∈ H die Projektionen
f
P+ f
P+ f
1
0
PL −
=
=
= (P+ + Q− T )f
T21 T22
Tf
Q− T (P+ + P− )f
P− f
und
PL +
f
Tf
Q+ T (P+ + P− )f
P+ f
T11 T12
=
=
= (Q+ T + P− )f
0
1
P− f
P− f
so folgt aus Definiton 1.4 (Winkel-Operator) die Aussage (5).
Für den Fall, dass dom S = |L− | gilt, erhalten wir aus (5) für S die Darstellung:
S=
(Q T + P− )(P+ + Q− T )−1
=
+
T11 T12
1
0
=
−1
−1
0
1
−T22 T21 T22
−1
−1
T11 − T12 T22
T21 T12 T22
∈ B(H+ ⊕ |K− |, K+ ⊕ |H− |).
−1
−1
−T22
T21
T22
(6)
Satz 2.5 .
Sei T ∈ B(H, K) eine Kontraktion mit scattering-Operator S. Dann ist äquivalent:
(i). T ist eine Bikontraktion.
(ii). T22 ist invertierbar.
(iii). dom S = |L− |.
Ist T eine Bikontraktion so ist der scattering-Operator für T ∗ gleich S × .
Beweis . (i) ⇒ (ii): T22 = Q− T P− H− ist ein injektiver Operator von H− nach K− mit
ran T22 abgeschlossen (wie in Satz 2.4 ). Sei f ∈ K− und f ⊥ Q− T P− H− . Da P− H− = H−
und f ⊥ K+ folgt
f ⊥ Q− T P− H− ⇒ f ⊥ T H− ⇒ T ∗ f ⊥ H− ⇒ T ∗ f ∈ H+ .
2 Kontraktionen und Bikontraktionen
8
2 Kontraktionen und Bikontraktionen
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T ist eine Bikontraktion und somit gilt
[T ∗ f, T ∗ f ]H ≥ 0 ≥ [f, f ]K ≥ [T ∗ f, T ∗ f ]H
und wir erhalten f = 0. Somit ist ran T22 = K− also T22 invertierbar.
(ii)⇒ (iii): Wenn T22 invertierbar ist, ist es nach (4) auch P+ + Q− T . Aus Satz 2.4 folgt
somit dom S = ran (P+ + Q− T ) = |L− |.
(iii)⇒ (i): Durch Matrixmultiplikation erkennt man mit
×
×
T11 −T21
∗
P+ T + Q− =
∈ B(K+ ⊕ |K− |, H+ ⊕ |K− |),
0
1
1
0
∗
Q+ + P− T =
∈ B(K+ ⊕ |K− |, K+ ⊕ |H− |),
×
×
−T12
T22
S=
−1
−1
T11 − T12 T22
T21 T12 T22
−1
−1
−T22 T21
T22
−1
⇒ S× =
−1
×
× ×
×
× ×
T11
− T21
T22 T12
−T21
T22
−1
×
×
×−1
T22 T12
T22
!
= (P+ T ∗ + Q− )(Q+ + P− T ∗ )−1 .
Da S × eine Kontraktion ist gilt
||(P+ T ∗ + Q− )g|| 2|L− | ≤ ||(Q+ + P− T ∗ )g|| 2L+ , g ∈ K.
Da P+ T ∗ g ⊥ Q− g erhalten wir
||P+ T ∗ g|| 2H+ + ||Q− g|| 2|K− | ≤ ||Q+ g|| 2K+ + ||P− T ∗ g|| 2|H− | ,
und damit
||P+ T ∗ g|| 2H+ − ||P− T ∗ g|| 2|H− | ≤ ||Q+ g|| 2K+ − ||Q− g|| 2|K− | .
Somit ist T ∗ eine Kontraktion.
Der Folgende Satz beleuchtet dieses Resultat nun auch von der anderen Seite.
Satz 2.6 .
Seien H, K Kreinräume mit Fundamentalzerlegungen H = H+ ⊕ H− und K = K+ ⊕ K− .
Sei
S11 S12
S=
∈ B(H+ ⊕ |K− |, K+ ⊕ |H− |)
S21 S22
eine Kontraktion. Dann ist S scattering-Operator einer Bikontraktion T ∈ B(H, K) genau
dann wenn S22 invertierbar ist.
Beweis . Sei S22 invertierbar. Dann definiere T ∈ B(H, K) durch
−1
−1
S11 − S12 S22
S21 S12 S22
T =
.
−1
−1
−S22
S21
S22
2 Kontraktionen und Bikontraktionen
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2 Kontraktionen und Bikontraktionen
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Durch Multiplikation ergibt sich
S = (Q+ T + P− )(P+ + Q− T )−1 .
Da S eine Kontraktion für alle f ∈ H ist, gilt
||(Q+ T + P− )f || 2L+ ≤ ||(P+ + Q− T )f || 2|L− | .
Da Q+ T f ⊥ P− f erhalten wir analog zu Satz 2.5
||Q+ T f || 2K+ + ||P− f || 2|H− | ≤ ||P+ f || 2H+ + ||Q− T f || 2|K− |
=⇒ ||Q+ T f || 2K+ − ||Q− T f || 2|K− | ≤ ||P+ f || 2H+ − ||P− f || 2|H− | .
−1
Somit ist T eine Kontraktion und da T22 = S22
invertierbar ist, folgt aus Satz 2.5, dass T
sogar Bikontraktion ist. Nach Konstruktion ist S der scattering-Operator von T .
Satz 2.7 .
Seien H, K Kreinräume. Wenn T ∈ B(H, K) eine Kontraktion ist, sind folgende Aussagen
äquivalent:
(i). T ist eine Bikontraktion.
(ii). Für ein α > 0 ist αT ∗ eine Kontraktion.
(iii). T bildet einen maximal negativen Unterraum von H auf einen maximal negativen
Unterraum von K ab.
(iv). T bildet jeden maximal negativen Unterraum von H auf einen maximal negativen
Unterraum von K ab.
In diesem Fall bildet T jeden maximal gleichmäßig negativen Unterraum von H injektiv
auf einen maximal gleichmäßig negativen Unterraum von K ab.
Beweis . Seien (H+ , H− ), (K+ , K− ) Fundamentalzerlegungen von H und K.
(i) ⇒ (ii): Wähle α = 1.
(ii) ⇒ (iv): Sei M ein maximal negativer Unterraum von H. Nach Korrolar 2.2 ist
T M ein abgeschlossener negativer Unterraum von K. T M ist genau dann ein maximal
negativer Unterraum, wenn kein f ∈ K− , f 6= 0 orthogonal zu T M existiert. Sei f ∈ K−
orthogonal zu T M, dann gilt
[αT ∗ f, g]H = [f, αT g]K = 0,
g ∈ M.
Daraus folgt, dass αT ∗ f ∈ M⊥ , wobei M⊥ positiv ist, weil M maximal negativ ist. Da
αT ∗ eine Kontraktion ist, gilt
[f, f ]K ≥ [αT ∗ f, αT ∗ f ]H ≥ 0 ≥ [f, f ]K ,
und somit ist [f, f ]K = 0 und f = 0.
(iv) ⇒ (iii): trivial.
2 Kontraktionen und Bikontraktionen
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2 Kontraktionen und Bikontraktionen
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(iii) ⇒ (i): Sei M ein maximal negativer Unterraum von H so dass T M maximal negativ
in K ist. Sei M der Graph einer Kontraktion K ∈ B(|H− |, H+ ). Dann ist für 0 ≤ s ≤ 1
auch der Graph der Kontraktion sK, Γ(sK), ein maximal negativer Unterraum von H.
Da T eine Kontraktion ist, ist auch Q− T eine Kontraktion (wobei Q− die Projektion von
K auf K− ist). Somit existiert nach Satz 2.1 ein δ > 0 so das für alle f ∈ H− :
||T21 sKf + T22 f || 2|K− | = ||Q− T (sKf + f )|| 2KJ ≥ δ||sKf + f || 2HJ ≥ δ||f || 2|H− |
(7)
gleichmäßig für 0 ≤ s ≤ 1. Das Bild von T21 K +T22 ist ganz K− , da T M = Γ(K) in einen
maximal negativen Unterraum von K abbildet. Somit ist T21 K + T22 ein invertierbarer
Operator auf K− . Wir wissen aus (7), dass T21 sK + T22 injektiv ist für 0 ≤ s ≤ 1.
Da T21 K + T22 invertierbar ist, können wir T21 sK + T22 auch durch
T21 sK + T22 = (T21 K + T22 ) 1 − 1 − (T21 K + T22 )−1 (T21 sK + T22 )
darstellen. Betrachten wir nun den zweiten Faktor, so sehen wir, dass
für ||T21 K − T21 sK|| < ||(T21 K + T22 )−1 || −1 die Ungleichung
||1 − (T21 K + T22 )−1 (T21 sK + T22 )|| ≤ ||(T21 K + T22 )−1 || ||T21 K − T21 sK|| < 1
gilt. Daher exisitert eine, bezüglich der Spurtopologie von [0, 1], offene Menge G ⊇ {1}
auf der der Operator 1 − (1 − (T21 K)−1 T21 sK) invertierbar ist (Neumann Reihe). Somit
ist T21 sK + T22 für s ∈ G invertierbar, womit der Operator surjektiv ist. Somit kann jedes
x ∈ K− durch ein bestimmtes ys ∈ H− dargestellt werden als
x = (T21 sK + T22 )ys für s ∈ G.
Sei nun (sn ) ∈ G eine Folge die gegen s0 konvergiert. Da ||ysn || ≤ δ −1 ||x|| , existiert eine
schwach konvergente Teilfolge ysn0 * y mit sn0 → s0 . Somit gilt
x = (T21 sn0 K + T22 )ysn0 = T21 (sn0 − s0 )Kysn0 + (T21 s0 K + T22 )ysn0 .
Nun konvergiert für sn0 → s0 T21 (sn0 − s0 )Kysn0 gegen 0 und wir erhalten
x = lim 0 (T21 sn0 K + T22 )ysn0 = lim (T21 s0 K + T22 )ysn0 = (T21 s0 K + T22 )y.
sn0 →s
sn0 →s0
Somit ist G abgeschlossen. Da [0, 1] zusammenhängend ist und G 6= {∅} sowohl abgeschlossen als auch offen ist, folgt G = [0, 1]. Also ist T21 sK +T22 für 0 ≤ s ≤ 1 invertierbar.
Im speziellen für s = 0 womit T22 invertierbar ist und nach Satz 2.5 ist T somit eine Bikontraktion.
Aus Korrolar 2.2 folgt die letzte Aussage.
Satz 2.8 .
Wenn P ein Pontryaginraum ist, ist jede Kontraktion T ∈ B(P) eine Bikontraktion.
Beweis . Sei (P+ , P− ) eine Fundamentalzerlegung von P, und P− hat endliche Dimension. Sei P− die Projektion von P auf P− , dann ist auch P− T eine Kontraktion. Nach
Korrolar 2.2 ist T22 = P− T P− P− eine injektive Abbildung von P− in sich selbst. Somit
ist T22 invertierbar und T ist nach Satz 2.5 eine Bikontraktion.
2 Kontraktionen und Bikontraktionen
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2 Kontraktionen und Bikontraktionen
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Satz 2.9 .
Seien H, K Kreinräume, (H+ , H− ), (K+ , K− ) Fundamentalzerlegungen und T ∈ B(H, K)
eine Kontraktion. T ist eine Bikontraktion genau dann, wenn für alle X ∈ B(|H− |, H+ )
Kontraktion der Operator T21 X + T22 ein invertierbarer Operator von |H− | nach |K− | ist
und
Y = (T11 X + T12 )(T21 X + T22 )−1
(8)
eine Kontraktion in B(|K− |, K+ ) ist.
Beweis . Da X ∈ B(|H− |, H+ ) eine Kontraktion ist, ist
Xf
Γ(X) =
: f ∈ H−
f
ein maximal negativer Unterraum von H. Wenn T eine Bikontraktion ist, ist auch
T11 Xf + T12 f
T Γ(X) =
: f ∈ H−
T21 Xf + T22 f
ein maximal negativer Unterraum von K nach Satz 2.7. Sei Q− die Projektion von K
auf K− , dann ist Q− T eine Kontraktion und nach Korrolar 2.2 ist T21 X + T22 injektiv.
Q− T Γ(X) = (T21 X + T22 )H− = K− und damit ist T21 X + T22 invertierbar. Somit ist der
in (8) definerte Operator wohldefinert. Da T Γ(X) ein negativer Unterraum von K ist,
gilt
||T11 Xf + T12 f || 2K+ ≤ ||T21 Xf + T22 f || 2|K− |
f ∈ H− ,
und somit ist Y eine Kontraktion.
Die andere Richtung ist für X = 0 gezeigt, weil somit T22 invertierbar ist und nach Satz
2.5 somit T eine Bikontraktion ist.
Satz 2.10 .
Sei H ein Kreinraum mit Fundamentalzerlegung (H+ , H− ) und sei T ∈ B(H) eine
Bikontraktion. Definiere die Abbildung φ auf C der Menge aller Kontraktionen X ∈
B(|H− |, H+ ) als
C
−→
C
φ:
,
φ(X) 7−→ (T11 X + T12 )(T21 X + T22 )−1
dann gilt für X ∈ C, φ(X) = X genau dann, wenn der Graph von X
Xf
M = Γ(X) =
: f ∈ H−
f
invariant unter T ist.
Beweis . M ist ein maximal negativer Unterraum von H. Wenn M invariant ist
unter T , dann ist T M = M und mit
T11 Xf + T12 f
TM =
: f ∈ H−
T21 Xf + T22 f
2 Kontraktionen und Bikontraktionen
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2 Kontraktionen und Bikontraktionen
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erhalten wir
T11 Xf + T12 f = Xf
=⇒ T11 X + T12 = X(T21 X + T22 ) =⇒ φ(X) = X.
T21 Xf + T22 f = f
Die andere Richtung geht analog rückwärts.
Bemerkung 2.11 .
Die Menge C aus Satz 2.10 ist kompakt und konvex bezüglich der schwachen Operator
Topologie von B(|H− |, H+ ).
Kompaktheit erlangt man durch ein zum Beweis vom Satz von Banach-Alaoglu ähnliches
Argument, und der Tatsache, dass für alle X ∈ C X eine Hilbertraum Kontraktion ist
und somit ||X|| ≤ 1.
Betrachtet man X1 , X2 ∈ C und t ∈ (0, 1), so gilt:
||(tX1 + (1 − t)X2 )f || ≤ t||X1 f || + (1 − t)||X2 f || ≤ ||f || .
Somit ist C konvex.
Satz 2.12 .
Sei H ein Pontryaginraum. Wenn T ∈ B(H) eine Kontraktion ist, dann existiert ein
maximal negativer Unterraum M von H der unter T invariant ist.
Beweis . Da H Pontryaginraum ist, folgt dass T eine Bikontraktion ist. Sei nun (Xi )i∈I
eine Folge in C die schwach gegen X ∈ C konvergiert. Somit konvergiert
lim(T11 Xi + T12 ) = T11 X + T12
i
in der schwachen Operator Topologie von B(|H− |, H+ ). Weiters konvergiert auch
lim(T21 Xi + T22 ) = T21 X + T22
i
in der schwachen Operator Topologie von B(|H− |) und da H− endlichdimensional ist,
auch in der starken Operator Topologie. Sei P− die Projektion von H auf H− . Nach Satz
2.1 existiert für die Kontraktion P− T ∈ B(H) ein δ > 0, und es gilt
||(T21 Xi + T22 )f || HJ ≥ δ||f || HJ ,
i ∈ I, f ∈ H− .
Nach Satz 2.9 ist T21 Xi + T22 invertierbar und es gilt ||(T21 Xi + T22 )−1 || ≤ 1/δ ∀i ∈ I.
Somit existiert eine Folge
lim((T21 Xi + T22 )−1 ) = (T21 X + T22 )−1
i
die in der starken Operator Topologie von B(|H− |) konvergiert und es gilt für die in Satz
2.10 definierte Funktion φ
lim φ(Xi ) = (T11 Xi + T12 )(T21 Xi + T22 )−1 = (T11 X + T12 )(T21 X + T22 )−1 = φ(X)
i
in der schwachen Operator Topologie von B(|H− |, H+ ). φ ist somit stetig und alle Bedingungen für den Fixpunktsatz von Schauder-Tychonoff sind erfüllt, nachdem jede stetige
Abbildung von einer konvexen kompakten Untermenge eines lokalkonvexen Topologischen
Vektorraums einen Fixpunkt hat.
2 Kontraktionen und Bikontraktionen
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LITERATUR
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Literatur
[1] Michael A. Dritschel and James Rovnyak, Extension Theorems for Contraction Operators on Krein Spaces, 1-29
[2] Harald Woracek, Operatortheorie im Krein Raum, Vorlesungsunterlagen 2008-2009
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