Die Determinante - mathematik

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Die Determinante
Determinanten sind ein äußerst wichtiges Instrument zur Untersuchung von Matrizen und linearen
Abbildungen. Außerhalb der linearen Algebra ist die Determinante z.B. für die Integrationstheorie für
Funktionen mehrerer Variablen von Bedeutung.
Definition:
Es sei R ein Ring. Die Determinante von A=(aij)
sgn(σ ) a σ
∑
σ
1 (1)
∈Sn
∈ Mnn(R) ist das Ringelement
a2σ (2) " anσ (n) ∈ R .
Die Determinante von A wird mit det(A) oder |A| bezeichnet, und man nennt die Formel nach dem
Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibnitz auch Leibnitz-Formel.
Zu Beachten ist, dass die Determinante nur für n × n-Matrizen n ∈ IN, d.h. für quadratische Matrizen,
definiert ist.
Wir untersuchen die Formel für spezielle (und einfache) n:
Fall n=2:
⎛ a11
⎝ a21
Sei A = ⎜
a12 ⎞
⎛1 2 ⎞
⎟ ∈ M22(R). Die Elemente von S2 sind folglich die Permutationen id = ⎜
⎟ und
a22 ⎠
⎝1 2 ⎠
⎛ 1 2⎞
τ =⎜
⎟ . S2 ist eine endliche Gruppe {1,2} und hat somit n! (n Fakultät) Permutationen, also 1*2=2
⎝ 2 1⎠
Permutationen.
Die Signatur der identischen Permutation ist 1, und die Signatur von
Die Summanden der Formel
∑ sgn(σ ) a σ
σ ∈Sn
1 (1)
τ
ist -1.
a2σ (2) " anσ (n) ∈ R sind damit:
det(A)
= sgn( σ ) (a11a22) + sgn( σ ) (a12a21) = 1(a11a22) + -1(a12a21) = a11a22 – a12a21.
Fall n=3:
⎛ a11
⎜
Sei A = a21
⎜
⎜a
⎝ 31
a12
a22
a32
a13 ⎞
⎟
a23 ⎟ ∈ M33(R). Die Gruppe S3 hat 3! = 1*2*3 = 6 Elemente
a33 ⎟⎠
mit folgenden Permutationen:
Permutation
⎛1
⎜
⎝1
⎛1
⎜
⎝2
2 3⎞
⎟
2 3⎠
2 3⎞
⎟
3 1⎠
⎛1 2 3⎞
⎜
⎟
⎝3 1 2⎠
Signatur
Summand in der Leibnitzformel
1
a11a22a33
1
a12a23a31
1
a13a21a32
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⎛ 1 2 3⎞
-1
⎜
⎟
⎝ 2 1 3⎠
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-a12a21a33
⎛1 2 3 ⎞
⎜
⎟
⎝1 3 2 ⎠
-1
-a11a23a32
⎛ 1 2 3⎞
⎜
⎟
⎝ 3 2 1⎠
-1
-a13a22a31
Merkregel:
Schreiben Sie A und die ersten beiden Spalten von A in eine Matrix. Sie erhalten
⎛ a11
⎜
A = ⎜ a21
⎜a
⎝ 31
| a11
a12
a13
a22
a23 | a21
a32
a33 | a31
a12 ⎞
⎟
a22 ⎟ .
a32 ⎟⎠
Wenn Sie die Diagonalen von links oben nach rechts unten laufen, finden Sie die ersten drei
Permutationen mit positiver Signatur. Wenn Sie die Diagonalen von rechts oben nach links unten laufen,
finden Sie die zweiten drei Permutationen mit negativer Signatur.
Anders formuliert:
Man muss die drei Diagonalen in Richtung Hauptdiagonalen mit Plus und die drei Diagonalen in Richtung
Nebendiagonalen mit Minus versehen.
Achtung: Für n>3 gilt nichts Analoges zur Sarrus-Regel.
Beispiel:
⎛11 20 3 ⎞
⎜
⎟
Sei A = 4
9 6 ⎟ , dann setzt sich die det(A) zusammen aus:
⎜
⎜ 7 8 0⎟
⎝
⎠
Permutation
⎛1 2 3 ⎞
⎜
⎟
⎝1 2 3 ⎠
⎛ 1 2 3⎞
⎜
⎟
⎝ 2 3 1⎠
⎛1
⎜
⎝3
⎛1
⎜
⎝2
2 3⎞
⎟
1 2⎠
2 3⎞
⎟
1 3⎠
⎛1
⎜
⎝1
⎛1
⎜
⎝3
2 3⎞
⎟
3 2⎠
2 3⎞
⎟
2 1⎠
Signatur
Summand in der Leibnitzformel
1
(11*9*0)
1
(20*6*7)
1
(3*4*8)
-1
-(20*4*0)
-1
-(11*6*8)
-1
-(3*9*7)
⇒ det(A) = 0 +840 +96 -0 -528 -189 = 219
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Proposition 1: (Determinanten von Transponierten)
Sei A ∈ Mnn(R).
Dann gilt det(A) = det(AT)
Proposition 2: (Determinanten von Matrizen mit Nullzeile oder -spalte)
Sei A ∈ Mnn(R), und Sei A eine Matrix mit einer Nullzeile oder einer Nullspalte.
Dann ist det(A) = 0.
Proposition 3: (Determinanten von Matrizen mit gleichen Zeilen oder Spalten)
Sei A ∈ Mnn(R), wobei zwei Zeilen oder Spalten gleich sind.
Dann ist det(A) = 0.
Definition:
Eine Matrix A=(aij) ∈ Mnn(R) heißt obere Dreiecksmatrix, wenn aij = 0 für alle i>j. A heißt untere
Dreiecksmatrix, wenn aij=0 für alle j>i.
Bei einer oberen Dreiecksmatrix sind also alle Einträge unterhalb der Diagonalen 0, und bei einer unteren
⎛ 1 2 3⎞
⎜
⎟
Dreiecksmatrix sind alle Einträge oberhalb der Diagonalen 0. Als Beispiele, 0 4 5 ist eine obere
⎜
⎟
⎜ 0 0 6⎟
⎝
⎠
⎛ 1 0 0⎞
⎜
⎟
Dreiecksmatrix, und 2 3 0 ist eine untere Dreiecksmatrix.
⎜
⎟
⎜ 4 5 6⎟
⎝
⎠
Proposition 4: (Determinanten von Dreiecksmatrizen)
Sei A ∈ Mnn(R) eine obere oder untere Dreiecksmatrix.
Dann gilt det(A) = a11a22 … ann.
Proposition 5: (Determinanten und elementare Zeilenumformung)
Sei A
∈ Mnn(R).
(i)
Verwandelt man A durch Multiplikation einer Spalte mit einem Element r∈ R in A’, so ist
det(A’)= r * det(A).
(ii)
Verwandelt man die nxn-Matrix A durch Addition eines Vielfachen einer Spalte/Zeile zu einer
anderen aus A in die Matrix A’, so ist die
det(A’) = det(A)
(iii)
Verwandelt man A durch Vertauschung zweier Zeilen/Spalten in A’, so ist det(A’)=-det(A).
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Determinanten von Matrizen über dem Körper K
Algorithmus zur Berechnung von Determinanten von Matrizen über K:
Sei A=(aij) ∈ Mnn(K).
1.Schritt:
Überführe A durch elementare Zeilen- oder Spaltenoperationen in eine Dreiecksmatrix. Verwende dabei
die Typen
• Addiere Vielfache einer Zeile (Spalte) zu einer anderen Zeile (Spalte) der Matrix
• Vertausche zwei Zeilen (Spalten)
2.Schritt:
Sei k die Anzahl der Zeilen- und Spaltenvertauschungen. Dann gilt:
det( A)
= (−1) det( A )
k
= (−1) ⋅ a11 ⋅ a22 " ⋅ ann
k
= (−1)
n
k
∏ a
i =1
ii
Beispiel: Berechnen Sie die Determinante folgender Matrix über IR:
⎛ 2 5 −3 −2 ⎞
⎜
⎟
−2 −3 2 −5 ⎟
⎜
A=
⎜ 1 3 −2 2 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ −1 −6 4 3 ⎠
Zuerst müssen wir die Matrix in die Dreiecksform durch elementare Zeilenumformung bringen.
An der Position (3,1) steht der Wert 1. Wir addieren ein entsprechendes Vielfaches der dritten Zeile zu
den übrigen Zeilen. Durch diese Operationen verändert sich die det(A) nach Proposition 5 (ii) nicht. Es
gilt:
2 5 −3 −2
−2 −3 2 −5
det( A)
= det( A ') =
1 3 −2 2
−1 −6 4 3
0 −1 1 −6
0 3 − 2 −1
.
1 3 −2 2
0 −3 2 5
Wir tauschen die 3. und die 1. Zeile miteinander. Nach Proposition 5 (iii) ändert sich dadurch die det(A’).
Es gilt det(A’) = - det(A’’).
0 −1 1 −6
1 3 −2 2
0 3 −2 −1
0 3 −2 −1
.
det( A ') =
= − det( A '')
1 3 −2 2
0 −1 1 −6
0 −3 2 5
0 −3 2 5
An der Position (3,2) steht der Wert -1). Wir addieren wieder vielfache der 3. Zeile zu den übrigen und
fahren analog fort. Als Ergebnis erhalten wir folgende Dreiecksmatrix.
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1 3 −2 2
0 −1 1 −6
…= det( A ''') =
.
0 0 1 −19
0 0 0
4
Dieses Ergebnis ist nicht die einzig korrekte Lösung. Je nach Zeilen- Spaltenumformung erhält man
unterschiedliche Determinanten. Das Produkt Ihrer Diagonalelemente muss jedoch immer der
Determinante entsprechen, in unserem Beispiel -4.
Reduzierung der Determinante auf eine Diagonalmatrix.
Sei A eine beliebige Matrix aus K(n × n). Dann kann man A allein durch Anwendung von elementaren
Zeilenumformungen vom Typ „addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen der Matrix“ in eine
Matrix A’ verwandelt werden, bei der jedes Element unterhalb der Hauptdiagonalen Null ist (obere
Dreiecksmatrix). Bei diesem Vorgang ändert sich die Determinante nach Proposition 5 (ii) nicht.
Wir wissen nun, wie wir die eine beliebige Determinante einer n × n-Matrix über K effektiv berechnen
können, ohne die Leibnitzformel anwenden zu müssen. Wozu das Ganze?
Ein entscheidendes Ergebnis ist folgende Proposition.
Proposition 6: (Invertierbarkeit von Matrizen)
Sei A ∈ Mnn(K).
Wenn A nicht invertierbar ist, dann ist det(A) = 0.
Wenn A invertierbar ist, dann ist die det(A) ungleich 0.
Proposition 7: (Determinantenmultiplikationssatz)
Sei A, B ∈ Mnn(K).
Dann gilt det(AB) = det(A)det(B).
Die Determinante des Produktes zweier Matrizen ist gleich dem Produkt ihrer Determinanten.
Beispiel:
⎛ 1 9⎞
⎛0 7 ⎞
⎟ und B = ⎜
⎟ . Berechnen Sie det(A)*det(B) und det(A*B) und
⎝11 0 ⎠
⎝ 3 90 ⎠
Seien A, B ∈ Mnn(K). Sei A = ⎜
vergleichen Sie mit Proposition 7:
det(A) = 1*0 -11*9 = -99
det(B) = 0*90 – 3*7 = -21
⇒ det(A) * det(B) = -99 * -21 = 2079.
⎛ 27 817 ⎞
⎟
⎝ 0 77 ⎠
A*B = ⎜
⇒ det(AB) = 27 * 77 – 0*817 = 2079.