Proseminar Kosmologie und Astroteilchen: Das kosmologische

Proseminar Kosmologie und Astroteilchen:
Das kosmologische Standardmodell
Tobias Behrendt
24.11.2011
Inhaltsverzeichnis
1 Das kosmologische Prinzip
4
2 Erinnerung: ART und Metriken
2.1 Gauss’sche Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 metrischer Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Flatness-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
6
7
3 Robertson-Walker-Metrik
8
3.1 Partikelhorizont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Rotverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Hubble-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Friedmann-Gleichungen
4.1 Friedmann-Gleichungen . . . . . . . . .
4.2 kritische Dichte . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Zeitentwicklung von Modelluniversen . .
4.3.1 Zeitverlauf der Dichte . . . . . .
4.3.2 Modelluniversum mit k=0 . . . .
4.3.3 strahlungsdominiertes Universum
4.3.4 materiedominiertes Universum .
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12
12
13
14
14
14
15
15
3
1 Das kosmologische Prinzip
Das kosmologische Prinzip besagt, dass das Universum isotrop (es sieht in alle Richtungen gleich aus) und homogen (es sieht von überall gleich aus) ist, wobei aus Isotropie
Homogenität folgt, allerdings nicht umgekehrt. Diese Annahme wurde gemacht, noch bevor sie empirisch bewiesen wurde, da es nur weniger Parameter bedurfte und so sehr gut
verwendet werden konnte. Das Prinzip gilt ab Skalen im Bereich von ca. 100 MPc. Das
ist in etwa der Abstand von Galaxienhaufen und dies sind die größten identifizierbaren
Strukturen im Universum. Mittlerweile gibt es aber genug experimentelle Bestätigung
für das kosmologische Prinzip, wie etwa die Isotropie der kosmischen Hintergrundstrahlung.
Aus Beobachtungen wäre es möglich zu schlussfolgern, und es scheint für manche die
naheliegendste Erklärung zu sein, dass wir (unsere lokale Gruppe) uns im Zentrum des
Universums befinden, da sich alles andere von uns wegbewegt. Es lässt sich aber leicht
zeigen, dass diese Beobachtung auch von jedem beliebigen anderen Ort im Universum
gemacht wird.
4
2 Erinnerung: ART und Metriken
In der SRT betrachteten wir nicht gekrümmte Räume und verwendeten dazu die MinkowskiMetrik (ds)2 = ηµν dxµ dxν mit dem dazugehörigen metrischen Tensor ηµν = diag(1, −1, −1, −1).
Dieser Tensor war aufgrund der nicht gekrümmten Raumzeit ortsunabhängig.
In der allgemeinen Relativitätstheorie betrachtet man den Raum unter Einfluss der Gravitation. Die Raumzeit wird durch die Gravitationsfelder gekrümmt und der metrische
Tensor gµν (x) wird ortsabhängig. Daraus resultieren nichtlineare Koordinatenachsen, die
als Krümmung des Raumes interpretiert werden.
2.1 Gauss’sche Koordinaten
Bei gekrümmten Oberflächen denkt man meistens an diese, eingebettet in einen dreidimensionalen euklidischen Raum mit Koordinaten X, Y, Z. Eine solche Oberfläche im
dreidimensionalen Raum wird spezifiziert durch eine Beziehung Z = √
g(X, Y ). Für eine 2-Sphäre mit Radius R sieht eine solche Beziehung so aus: Z = ± R2 − X 2 − Y 2 .
Eine derartige Beschreibung einer gekrümmten Oberfläche nennt man eine extrinsische
geometrische Beschreibung. D.h. der physikalische Raum wird beschrieben mit Hilfe von
Größen außerhalb des Raumes.
Woran wir allerdings interessiert sind ist eine intrinsische geometrische Beschreibung
des Raumes. D.h. wir wollen den Raum nicht in eine höhere Dimension einbetten.
Gauss führte eine verallgemeinerte Parametrisierung mit Koordinaten (x1 , x2 ) ein mit
X = X(x1 , x2 ), Y = Y (x1 , x2 ), Z = Z(x1 , x2 )
Dies sind die Gauss’schen Koordinaten. Damit kann man eine rein intrinsische Beschreibung vornehmen.
Beispiel: 2-Sphäre in Polarkoordinaten.
Wir wählen als Gauss’sche Koordinaten
(x1 , x2 ) = (Θ, Φ)
und markieren damit die Punkte auf unserer zweidimensionalen Oberfläche. Wir wählen
einen Punkt auf der Oberfläche und erklären ihn zum Nordpol. Die Linie, die vom
Zentrum zu diesem Punkt geht ist die Polarachse. Zudem bestimmen wir einen Hauptmeridian. Die Koordinate Θ wird gegen die Polarachse gemessen und die Koordinate Φ
gegen den Hauptmeridian
5
2.2 metrischer Tensor
Die Hauptidee der Differentialgeometrie war es, eine intrinsische Beschreibung des Raumes durch Distanzmessungen im physikalischen Raum zu erreichen.
metrischer T ensor : gab = e"a · e"b
(2.1)
Die Metrik gab verbindet die infenitisimale Längenmessung ds mit den gewählten Koordinaten
!
"!
"
g11 g12
dx1
2
1
2
ds = (dx dx )
(2.2)
g21 g22
dx2
Illustration für den Fall einer sphärischen Oberfläche:
Zuerst wird ein Längen- und Breitengradsystem eingeführt, d.h. Koordinaten Θ Φ, so
dass man Punkte markieren und die Distanzen zwischen ihnen bestimmen kann. Man
sieht schnell, dass die Distanzen zwischen Breitengraden dsΦ = R sin ΘdΦ immer kürzer
werden, je näher man zum Pol kommt (bei dΘ = 0), während dsΘ bei gleichbleibendem
Φ immer gleich bleibt. Durch mehrere Distanzmessungen kommt man schließlich zu einer
Beschreibung der Oberfläche. Solche Distanzmessungen lassen sich kompakt ausdrücken
in Form der Metriktensorelemente.
Da gΘΦ = e"Θ · e"Φ = 0 (orthogonales Koordinatensystem) kann die Länge zwischen
dem Ursprung und einem nahen (!) Punkt berechnet werden als
ds2 = ds2Θ + ds2Φ = R2 dΘ2 + R2 sin Θ2 dΦ2
(2.3)
Dadurch gelangt man zur Metrikmatrix
[g (Θ,Φ) ] = R2
!
1
0
0 sin Θ2
"
(2.4)
Man kann eine solche sphärische Oberfläche auch in Zylinderkoordinaten darstellen.
Auch wenn das erstmal umständlich erscheint, erweist sich das später als nützlich. Man
erhält in dem Fall für die Metrik die Matrix
[g
(ρ,Φ)
]=R
2
!
R2
R2 −ρ2
0
0
ρ2
"
(2.5)
Zylinderkoordinaten sind deshalbt praktisch weil sie eine kompakte Beschreibung aller
Oberflächen mit konstanter Krümmung liefern.
gab ist eine intrinsische geometrische Größe, weil sie ohne Einbettung bestimmt werden
kann. Ein Einwohner der zweidimensionalen gekrümmten Oberfläche kann, wenn einmal
6
die Gauss’schen Koordinaten gewählt sind, gab durch verschiedene Längenmessungen
erhalten. Für den zweidimensionalen Fall haben wir
g11 =
(ds1 )2
(ds2 )2
ds212 − ds21 − ds22
,
g
=
,
g
=
22
12
(dx1 )2
(dx2 )2
2dx1 dx2
(2.6)
ds1 und ds2 sind Längen, gemessen entlang der 1- und 2-Achse, d. h. die beiden Längensegmente zwischen dem Ursprung und den Punkten mit (dx1 , 0) und (0,dx2 ).ds12 ist das
Längensegment zwischen Ursprung und (dx1 , dx2 ).
dx1 , dx2 werden gewählt und sind somit definierte Größen. Durch verschiedene Längenmessungen können die Metrikelemente hergeleitet werden. Wichtig: Koordinaten für sich
selbst messen keine Distanzen! Nur durch ds2 = gab dxa dxb stehen sie in Verbindung mit
Distanzmessungen.
2.3 Flatness-Theorem
In einem gekrümmten Raum mit einem allgemeinem Koordinatensystem xa und einem
Metrikwert gab an einem gegebenem Punkt P, können wir immer eine Koordinatentransformation xa −→ x̄a und gab −→ ḡab finden, so dass die Metrik an diesem Punkt flach
ab
ist: g¯ab = δab und ∂ḡ
∂ x̄c = 0 Mit einer Taylorentwicklung kommt man auf
ḡab (x̄) = δab + γabcd (0)x̄c x̄d + . . .
(2.7)
wobei der zweite Term die zweiten Ableitungen ausdrückt. Was das Flatness-Theorem
im Wesentlichen zeigt, ist dass die allgemeine Raumzeitmetrik an einem Punkt P nicht
so sehr durch den Wert ḡabP charakterisiert ist, da diese immer so gewählt werden kann,
dass sie flach ist: ḡabP = δab . Da die erste Ableitung dann verschwindet wird die Metrik
viel eher durch die zweite Ableitung charakterisiert welche der Krümmung entspricht.
7
3 Robertson-Walker-Metrik
Wir wollen nun daran gehen die passende Metrik zur Beschreibung des gesamten Universums zu finden. Nichts leichter als das. Wir betrachten das Universum nämlich auf
den größtmöglichsten Skalen und mit dem kosmologischen Prinzip wissen wir, dass das
Universum (auf diesen Skalen) homogen und isotrop ist, was übersetzt für die Metrik
bedeutet: Die Krümmung ist konstant! Im Fall des Universums haben wir einen dreidimensionalen Raum mit konstanter Krümmung eingebettet in einen vierdimensionalen
Raum. Zur Vereinfachung reduzieren wir das ganze um eine Dimension: Wir haben also
einen zweidimensionalen Raum mit konstanter Krümmung eingebettet in einen dreidimensionalen Raum. Als Beispiel könnte man die Oberfläche der Erde anführen. Diese
lässt sich nun beschreiben als
x21 + x22 + x23 =
1 2
R
k
(3.1)
mit k = 1, −1, 0. Die Metrik ist nun gegeben durch
dl2 = dx21 + dx22 + dx23
(3.2)
Umstellen der ersten Gleichung und Einsetzen in die Zweite führ zu
dl2 = dx21 + dx22 +
(x1 dx1 + x2 dx2 )2
R2
k
− x21 − x22
(3.3)
Die Vereinfachung ist deshalb sinnvoll weil sie sich sehr anschaulich darstellen lässt(siehe
nachfolgende Abbildung): Für k = 0 verschwindet die Krümmung und es ergibt sich
eine normale euklidische Fläche. Für k = 1 entsteht ein Raum konstanter positiver
Krümmung. Dies wäre eine Kugeloberfläche. Für k = −1 entsteht ein Raum negativer
Krümmung. Dies ist eine Pseudosphäre, welche lokal durch ein Hyperboloid angenähert
werden kann.
8
Abbildung 3.1: mögliche Universen
Erweitern wir das Ganze wieder um eine Dimension: Wir haben
x21 + x22 + x23 + x24 =
1 2
R
k
(3.4)
Gleiches Vorgehen wie oben führt zu
dl2 = dx21 + dx22 + dx23 +
(x1 dx1 + x2 dx2 + x3 dx3 )2
R2
k
(3.5)
− x21 − x22 − x33
Gehen wir über in Kugel koordinaten
x1 = Rr cos Φ sin Θ, x2 = Rr sin Φ sin Θ, x3 = Rr cos Θ
(3.5)
so erhalten wir die Metrik in Eigenkoordinaten.
2
dl = R
2
!
dr2
+ r2 dΘ2 + r2 sin Θ2 dΦ2
1 − kr2
"
(3.6)
Ergänzen wir jetzt noch ds2 = dt2 − dl2 und machen R zeitabhängig erhalten wir die
Robertson-Walker-Metrik:
ds2 = c2 dt2 − R2 (t)
!
dr2
+ r2 dΘ2 + r2 sin Θ2 dΦ2
1 − kr2
"
(3.7)
R(t) ist der Skalenfaktor. Er ist meist so definiert, dass R(t0 ) = 1 und t0 heute ist.r = Rρ0 .
Die Fläche, sowie das Koordinatensystem selber werden so durch die Zeitabhängigkeit
skaliert. Es handelt sich daher um ein mitbewegtes Koordinatensystem. Das heißt: Betrachtet man einzelne Galaxien oder beliebige andere Objekte, ändern diese ihre Koordinaten nicht. Der Abstand zwischen den Objekten ändert sich aber dennoch (man denke
an den Luftballon).
Die Metrik lässt sich noch in einer weiteren Form darstellen. Für k = 0 substituiert
man r = f (χ) = χ
Für k = −1 substituiert man r = f (χ) = sinh χ und für k = +1 substituiert man
9
r = f (χ) = sin(χ)
Daraus ergibt sich dann die folgende Form der Robertson-Walker-Metrik:
ds2 = c2 dt2 − R2 (t)(dχ2 + f 2 (χ)dΘ2 + f 2 (χ) sin Θ2 dΦ2 )
(3.8)
χ gibt den Abstand zum Koordinatenurpsrung an.
3.1 Partikelhorizont
Auch wenn das Universum unendlich groß ist, ist der Teil den wir beobachten können
endlich und ist auf die endliche Lichtgeschwindigkeit zurückzuführen. Licht breitet sich
auf Geodäten aus und es gilt ds2 = 0. Berücksichtigen wir das in der Metrik führt das
zu
dr2
ds2 = c2 dt2 − R2 (t)
=0
1 − kr2
Das lässt sich umstellen zu
cdt
dr
=√
R(t)
1 − kr2
Das ergibt
# rH
dr
√
dH (t) = cR(t)
(3.9)
1 − kr2
0
dH (t), der Partikelhorizont, ist der Abstand zwischen Sender und Empfänger. Der Partikelhorizont kann als Weltlinie des am weitesten entfernten, von uns noch sichtbaren
Punktes der Raumzeit beschrieben werden. Er repräsentiert also das sichtbare Universum in der kosmischen Epoche t
3.2 Rotverschiebung
Man beobachtet, dass die Spektren aller Objekte, die in einem ausreichenden Abstand
von der Milchstraße (bzw. unserer lokalen Gruppe) rotverschoben sind, was so interpretiert wird, dass sich alles von uns wegbewegt (solange keine gravitative Bindung mehr
vorliegt).
Wir betrachten nun zwei aufeinander folgende Wellenberge einer Lichtqelle, die zu den
Zeitpunkten t1 , sowie t1 + δt1 emittiert wurden. Empfangen wurden beide Wellenberge
zu den Zeitpunkten t0 und t0 + δt0 Die Entfernung die beide Wellenberge zurücklegen
kann als gleich angesehen werden, da die Zeit die vergeht ausreichund kurz ist und R(t)
sich ausreichend langsam verändert.
d(t) = R(t)
# t0
dt
t1
R(t)
= R(t)
# t0 +δt0
dt
t1 +δt1
R(t)
Da der Skalenfaktor sich nur sehr langsam verändert, ergibt sich
δt1
δt0
=
R(t1 )
R(t0 )
10
(3.10)
Umstellen führt zu
R(t0 )
δt0
λ0
=
=
R(t1 )
δt1
λ1
Die Rotverschiebung wird nun definiert
z :=
R(t0 )
−1
R(t1 )
(3.11)
3.3 Hubble-Gesetz
Das Hubble-Gesetz gibt die Proportionalität zwischen Rotverschiebung und Abstand
eines Objekts wieder. Die Proportionalitätskonstante H0 kann experimentell bestimmt
werden. Theoretisch bestimmt, wird sie folgendermaßen: Wir normieren R(t) auf seinen
heutigen Wert und führen eine Taylorentwicklung um t0 durch
R(t)
1
R̈(t0 )
Ṙ(t0 )
1 R̈(t0 )
=
(R(t0 )+Ṙ(t0 )(t−t0 )+
(t−t0 )2 +...) = 1+
(t−t0 )+
(t−t0 )2
R(t0 )
R(t0 )
2
R(t0 )
2 R(t0 )
(3.12)
Wir nennen
Ṙ(t0 )
= H0
(3.13)
R(t0 )
den Hubble-Parameter und
q0 = −
R̈(t0 )
R̈(t0 )
R(t0 ) = −
R(t0 )H02
Ṙ2 (t0 )
(3.14)
den Dämpfungsparameter. Damit wird obige Gleichung zu
R(t)
1
= 1 + H0 (t − t0 ) − q0 H02 (t − t0 )2 + ...
R(t0 )
2
(3.15)
Setzt man dies ein, so erhält man das Hubble-Gesetz:
1
z ≈ H0 d + (1 − q0 )H02 d2
(3.16)
2
Der erste Term stellt das eigentliche Hubble-Gesetz dar. Der Parameter q0 ist ein Maß
für die Beschleunigung der Expansion des Universums. Ein aktueller Messwert liegt bei
q0 = −0.5. Ein Wert kleiner Null steht für eine beschleunigte Expansion. Der Parameter
H0 liegt derzeit bei H0 = 72kms−1 M pc−1
11
4 Friedmann-Gleichungen
Wir leben in einem expandierenden Universum. Alles bewegt sich von uns weg. Im Umkehrschluss bedeutet dies, dass früher alles näher beieinander gewesen sein muss und
damit auch dichter und heißer. Letztendlich heißt das, dass beim kosmischen Anfang
a(0) = 0 alles in einem Punkt konzentriert gewesen sein muss. D.h. es wird gesagt, dass
das Universum mit einem Big Bang begann. Bestätigt wurde dies u.a. durch den Mikrowellenhintergrund.
Die Einstein-Gleichung verbindet die Geometrie der Raumzeit auf der einen Seite und
die Masse/Energie-Verteilung auf dern anderen. Für die Beschreibung eines Universums,
welches das kosmologische Prinzip erfüllt benötigen wir die Robertson-Walker-Metrik in
mitbewegten Koordinaten. Die andere Seite der Einstein-Gleichung sollte auch mit dem
kosmologischen Prinzip konform gehen. Am Einfachsten ist es den Energie-Impuls-Tensor
Tµν einer idealen Flüssigkeit zu wählen. Thermische Leitfähigkeit und Viskosität können
dabei vernachlässigt werden. Dieser Tensor wird dann bestimmt durch zwei Parameter:
die Massendichte ρ und der Druck p.
4.1 Friedmann-Gleichungen
Die Einstein-Gleichung mit der Robertson-Walker-Metrik und dem Tensor einer idealen
Flüssigkeit führt zu den grundlegenden Gleichungen der Kosmologie, den FriedmannGleichungen.
erste F riedmann − Gleichung :
kc2
8πG
ȧ(t)2
+
=
ρ
2
2
a(t)
R0 a(t)
3
$
ä(t)
4πG
1
zweite F riedmann − Gleichung :
=− 2
p + ρc2
a(t)
c
3
%
(4.1)
(4.2)
Da der Druck p sowie die Dichte ρ positiv sind haben wir eine negative zweite Ableitung
ä(t): Die Expansion muss demnach eine negative Beschleunigung aufgrund der gegenseiten gravitativen Wechselwirkung der einzelnen Elemente der kosmischen Flüssigkeit
haben. Eine Linearkombination der beiden obigen Gleichungen führt zu einer dritten
Gleichung, welche den Energieerhaltungssatz darstellt.
12
d
da3
(ρc2 a3 ) = −p
dt
dt
(4.3)
Da wir nur zwei unabhängige Gleichungen haben, nämlich a(t), ρ(t) und p(t) brauchen wir eine weitere Relation. Diese wird gegeben durch die Zustandsgleichung, welche
den Druck mit der Dichte des Systems in Beziehung setzt. Diese kann für gewöhnlich
geschrieben werden als:
p = wρc2
(4.4)
Diese Gleichung definiert w als den konstanten Parameter, welche den Materieinhalt des
Systems charakterisiert. Für nichtrelativistische Materie ist der Druck z.B. vernachlässigbar klein verglichen mit der Restenergie der Materie, somit ist w=0, für Strahlung haben
wir w = 13
4.2 kritische Dichte
Wir können die erste Friedmann-Gleichung umschreiben zu
$
%$
%
ȧR0
ρ
−k =
1−
c
ρc
mit der kritischen Dichte
ρc (t) :=
Wir definieren
−
(4.5)
3 ȧ2
3H(t)2
=
8πG a2
8πG
kc2
=: 1 − Ω
ȧ2 R02
Insbesondere bei t = t0 mit H0 = ȧ wird obiger Ausdruck für Ω0 =
kc2
= H02 (Ω0 − 1)
R02
ρ0
ρc,0
zu
(4.6)
Dieser Ausdruck zeigt sehr deutlich den Zusammenhang zwischen Materie/EnergieVerteilung und Geometrie. Wir können drei Fälle unterscheiden:
Ω0 > 1
Ω0 = 1
Ω0 < 1
k=+1
k=0
k=-1
geschlossenes Universum
flaches Universum
offenes Universum
13
4.3 Zeitentwicklung von Modelluniversen
4.3.1 Zeitverlauf der Dichte
Ausführen der Differentiationen in Gl. (4.3) liefert
ρ̇c2 = −3(ρc2 + p)
ȧ
a
Einsetzen der Zustandsgleichung (4.4) führt zu
ρ̇
ȧ
= −3(1 + w)
ρ
a
Integration beider Seiten liefert schließlich
ρ(t) = ρ0 a(t)−3(1+w)
(4.7)
Je nachdem ob man nun das Unversum als materiedominiert (w=0) oder als strahlungsdominiert (w = 13 ) annimmt ergibt sich eine andere Skalierung der Dichte. Der Spezialfall
eines negativen Druckes (w=-1) führt zu einer konstanten Dichte des Universums, selbst
bei Expansion. Dunkle Energie scheint diese Eigenschaft zu besitzen.
4.3.2 Modelluniversum mit k=0
Wir betrachten ein Modelluniversum mit k=0 da der heute beobachtete Wert für Gleichung (4.6) sehr klein ist. Wir wollen die (erste) Friedmann-Gleichung lösen um die
Zeitentwicklung des Skalenfaktor a(t) für ein paar einfache Situationen zu betrachten.
Kombiniert man die erste Friedmann-Gleichung mit Gleichung (4.7) ergibt sich
$ %2
ȧ
a
=
8πG −3(1+w)
ρa
3
Ausgehend von einem Wachstumsgesetz der art
a(t) =
$
t
t0
%x
so dass
ȧ
x
=
a
t
kann man sofort das Alter des Universums t0 zur Hubble-Zeit tH in Beziehung setzen
H0 =
$ %
ȧ
a
=
t0
x
t0
(4.8)
Für die materie- und strahlungsdominierten Fälle ergeben sich dann folgende Ergebnisse
14
materiedominiert (w=0)
&
strahlungsdominiert w =
1
3
'
x=
2
3
a=
x=
1
2
a=
& '2
t
t0
3
t
t0
3
& '1
t0 = 23 tH
t0 = 12 tH
4.3.3 strahlungsdominiertes Universum
Im strahlungsdominierten Universum wächst die Dichte mit ρ ∝ a−4 und die FriedmannGleichung kann umgeschrieben werden zu
ȧ(t)2 =
A2
kc2
−
a(t)2
R02
(4.9)
mit A=const. Mit einer Variablensubstitution y = a2 vereinfacht sich die Gleichung zu
ẏ 2 +
4kc2
y = 4A2
R02
(4.10)
Als Lösung erhalten wir
a(t)2 = 2At −
kc2 2
t
R02
(4.11)
4.3.4 materiedominiertes Universum
Im materiedominierten Universum wächst die Dichte mit ρ ∝ a−3 und die FriedmannGleichung wird zu
B
kc2
ȧ(t)2 =
− 2
(4.12)
a(t)
R0
Die Lösung ist komplizierter als im strahlungsdominierten Universum
Insgesamt ergeben sich verschiedene Szenarien wie sich das Universum entwickeln kann
(siehe Abbildung unten)
15
Das m in der Graphik steht für Materie, der andere Index für Strahlung. Wie weiter
oben schon erwähnt sagen die Friedmann-Gleichungen ein ständig in seiner Ausdehnung
(negativ) beschleunigtes Universum vorraus. Dies entsprach nicht Einstein’s Weltbild,
weswegen er zur Konstruktion eines statischen Universums eine Konstante Λ in die
Friedmann-Gleichungen einführte. Als später empirisch verifiziert wurde, dass sich das
Universum tatsächlich ausdehnte bezeichnete er diese Idee als ’größte Eselei’ seines Lebens. Sie sollte allerdings in den 90er Jahren des zwanzigsten Jahrhunderts wieder an
Bedeutung gewinnen.
Quellen:
Caroll, Ostlie - An Introduction to Modern Astrophysics
Ta-Pei Cheng - Relativity, Gravitation and Cosmology
http://pauli.uni-muenster.de/Seminare/teilchen/teilchens s05/RobertsonW alker.pdf
http : //pauli.uni−muenster.de/tp/f ileadmin/lehre/teilchen/ws0809/F RW M etrikF riedmannGl
Bilder : map.gsf c.nasa.gov/media/
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