Aufgabe 4.1 Aufgabe 4.6 Aufgabe 4.2 a

Michael Rennecke
204201324
[email protected]
4. Übung zur Vorlesung Algebra I“
”
Aufgabe 4.1
Man bestimme alle einfachen abelschen Gruppen.
G einfach und abelsch ⇔ |G| = p mit p sei Primzahl
⇐
|G| = p ⇒ zyklisch ⇒ abelsch ⇒ einfach, da nur 2 Untergruppen, die auch noch Normalteiler sind
({e} und G) (da p Primzahl hat p auch nur 2 Teiler)
⇒
Wäre U eine echte Untergruppe von G ist und |G| endlich ist, dann wäre |U | ein Teiler von |G|, wegen
Satz von Lagrange. Wegen der Einfachheit darf |G| also keine Teiler außer 1 und |G| haben, muss also
Primzahl sein.
Wenn |G| nicht endlich ist, findet man Gruppen, die nicht abelsch sind z.B. GL(2, C), also kann
man für Gruppen unedlicher Ordnung keine allgemeingültigen Aussagen treffen.
Aufgabe 4.6
Zeigen Sie, dass die V4 Normalteiler in S4 ist (∀a ∈ S4 (aV4 a−1 = V4 )).
Es sei V4 := {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} = {(1), (ab)(cd)|a, b, c, d eine Permuation der Elemente 1, 2, 3, 4}
die kleinsche Vierergruppe und S4 := {(1), (12), (13), (14), (23), (24), (34), (123), (124), (132), (134),
(143), (142), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432)} die symmetrische Gruppe S4
Sei π ∈ S4 und π = τm ◦ τi Das Produkt von Transpositionen τj
Sei σ Permuation,
(a1 , a2 , . . . an )
Zyklus
⇒
σ(a1 , a2 , . . . an )σ −1 =
(σ(a1 ), σ(a2 ), . . . σ(an ))
−1
πV4 π −1 = τm ◦ τi V4 τi−1 ◦ τm
Nun bleibt zu zeigen, dass τi V4 τi−1 = V4 ist:
τi (ab)(cd)τi−1 = τi (ab)τi−1 τi (cd)τi−1 = (τi (a)τi (b))(τi (c)τi (d)) ∈ V4
X
Weiterer Beweis: V4 ist ein Normalteiler von S4 , wenn die Rechts- und die Linksnebenklassen übereinstimmen.
V4 ◦ (1)
=
(1) ◦ V4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}
V4 ◦ (12)
=
(12) ◦ V4 = {(12), (34), (1324), (1423)}
V4 ◦ (13)
=
(13) ◦ V4 = {(13), (24), (1234), (1432)}
..
..
.
.
V4 ◦ (1432) = (1432) ◦ V4 = {(13), (24), (1234), (1432)}
Die Links- und Rechtsnebenklassen stimmen überein. Daraus folgt, dass V4 ein Normalteiler der S4
ist.
Aufgabe 4.2 a)
Menge G aller Matrizen der Form
a −b
b̄ ā
aus GL(2, C) bildet eine Gruppe.
1 von 3
linksneutrales Element
1 0
0 1
a −b
a −b
·
=
b̄ ā
b̄ ā
X
linksinvereses Element
a−bi
c+di
a2 −bi2 +c2 −di2
a2 −bi2 +c2 −di2
−c−di
a2 −bi2 +c2 −di2
a+bi
a2 −bi2 +c2 −di2
! a + bi −(c + di)
1 0
·
=
c − di
a − bi
0 1
X
Assoziativität
Die Assoziativität gilt auch bei der normalen“ Matrixmultipliktation, also gilt sie auch für spezielle
”
Matrizen.
Abgeschlossenheit

a + bi −(c + di)
c − di
a − bi
e + f i −(g + hi)
·
=
g − hi
e − fi

−l
k
z
}|
{ z
}|
{
 (a + bi)(e + f i) − (c − di)(g + hi) −(c + di)(e + f i) − (a − bi)(g + hi)


 (c − di)(e − f i) + (a + bi)(g − hi) (a − bi)(e − f i) − (c + di)(g − hi)
|
{z
} |
{z
}
l̄




X
k̄
Zusammenfassung
Ich habe alle Gruppenaxiome gezeigt, also bilden die Matrizen der Form
a −b
b̄ ā
eine Gruppe.
Aufgabe 4.2 b)
1 0
=: e
0 1
0 −1
=: a
1 0
i 0
=: b
0 −i
0 1
=: c
−1 0
−i 0
=: d
0 i
−1 0
=: f
0 −1
0 i
=: g
i 0
0 −i
=: h
−i 0
neutrales Element, muss drin sein
Element des Erzeugendensystem
Element des Erzeugendensystem
Inverses zu a
Inverse Elemente: a−1 = c
e−1 = e
b−1 = d
f −1 = f
c−1 = a
g −1 = h
Inverses zu b
a2
a·b
b·a
d−1 = b
h−1 = g
Die Assoziativität gilt in der Gruppe G und daraus folgt, dass sie auch in Q gilt.
Es bleibt nur noch die Abgeschlossenheit zu zeigen, da nach der Aufgabenstellung Q die Ordnung
8 hat. Ich habe durch Konstuktion 8 Elemente erzeugt, die in Q sein müssen. Also habe ich alle
Elemente, die in Q sind, da Q nach Aufgabenstellung eine Untergruppe ist, sind die Elemente aus Q
mit der Multiplikation als Operation abgeschlossen. Man könnte auch die Gruppentafel hinschreiben.
Dazu habe ich aber keine Lust. ,
Aufgabe 4.2 c
Die Ordnung eines Elementes g ist die kleinste natürliche Zahl k, für die g k = e dem neutralen Element
ist.
2 von 3
1 0
0 1
1
=
2
−1 0
0 −1
4
0 1
−1 0
4
−i 0
0 i
4
i 0
0 −i
4
0 −1
1 0
4
0 i
i 0
4
0 −i
−i 0
=
=
=
=
=
=
=
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
⇒
1 0
0 1
−1 0
ord
0 −1
0 1
ord
−1 0
−i 0
ord
0 i
i 0
ord
0 −i
0 −1
ord
1 0
0 i
ord
i 0
0 −i
ord
−i 0
ord
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
=1
=2
=4
=4
=4
=4
=4
=4
Aufgabe 4.4
(Q, +) ist nicht zyklisch
Angenommen (Q, +) ist zyklisch, dann existiert ein Element q ∈ Q mit Q = hqi = {n · q|n ∈ Z}.
Also lässt sich q ∈ Q in der Form q = ab , mit a, b ∈ Z und b 6= 0 darstellen. Nun gibt es nach Annahme
1
1
gibt zu den rationalen Zahlen 2b
ein n ∈ Z mit der Eigenschaft 2b
= nq = n · ab = na
b
Daraus folgt, dass 12 = na ∈ Z, denn a, b ∈ Z Also folgt, dass nicht (Q, +) zyklisch ist. X
Jede endlich erzeugte Untergruppe von (Q, +) ist zyklisch
D
a1 a2
b1 , b2 , · · ·
an
bn
E
Sei also H =
,
eine endlich erzeugte Untergruppe von Q, wobei die a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn
ganze Zahlen und o.B.d.A. größer 0 sind (ist irgendeine der Zahlen kleiner 0, so können wir den
Erzeuger durch sein Inverses ersetzen, ohne dass sich die erzeugte Untergruppe dabei ändert). Die
Gruppe H enthält dann gerade alle Linearkombinationen der Erzeuger abii . Nun lässt sich aber jede
m
Linearkombination der Erzeuger als Bruch der Form b1 ·...·b
mit m ∈ Z darstellen (indem man die
n
Brüche auf den gemeinsamen Nenner b1 · . . . · bn bringt). Dann können wir das kleinste positive m ∈ Z
m
m
wählen, sodass b1 ·...·b
∈ H und wir setzen b1 ·...·b
=: q.
n
n
Wir werden zeigen, dass H = hqi. Zunächst zeigen wir H ⊂ hqi. Nun ist H ist nach Definition
die kleinste Untergruppe, die alle abii enthält, d.h. sie ist in jeder anderen Untergruppe enthalten, die
ebenfalls alle abii enthält. H ⊂ hqi zu zeigen, reicht es also zu zeigen, dass abii ∈ hqi für alle i mit
1 ≤ i ≤ n. Sei also i beliebig gewählt. Angenommen es gilt nicht abii ∈ hqi. Dann ist abii kein Vielfaches
von q, also ist abii − kq 6= 0 für alle k ∈ Z. Da abii und q beide positiv sind gibt es ein größtes k ∈ Z,
sodass gerade noch abii − kq > 0 gilt. Dann ist abii − kq ∈ H, da abii ∈ H und q ∈ H. Aber es ist auch
ai
ai
bi − kq < q, denn andernfalls wäre bi − (k + 1)q ≥ 0, was der Wahl von k widerspricht. Nun war
aber q als das kleinste positive Element von H gewählt und wir haben gezeigt, dass abii − kq ein noch
kleineres positives Element aus H ist. Das ist offenbar ein Widerspruch, also muss die Annahme, abii
sei nicht in hqi, verworfen werden.
Es bleibt zu zeigen, dass hqi ⊂ H, aber das ist trivial, da q ∈ H. X
3 von 3