Grundlagen 12

LMU MÜNCHEN
MATHEMATIK FÜR STUDIERENDE DER BIOLOGIE – WINTERSEMESTER 2016/17
GRUNDLAGENTUTORIUM 12
- ZWEITE PROBEKLAUSUR -
SEBASTIAN GROß
Sprechzeiten:
Raum:
Tel.:
Montags 12:30 – 13:30 | Donnerstags 12:30 – 13:30
Letzte Sprechstunde am 02. Februar.
D01.021
(089) 2180 – 74825
Die zweite Klausur findet am Dienstag, 07.02.17 von 11:00 – 12:30 Uhr im Hörsaal N00.001 des BMC
(Biomedizinisches Zentrum) statt. Die Klausur dauert 60 Minuten und umfasst schwerpunktmäßig das
Skript ab Kapitel 11 (Komplexe Zahlen) bis Kapitel 18 (Funktionen mehrerer Veränderlicher). Sie sollten
aber selbstverständlich die Grundlagen der vorherigen Kapitel ebenfalls beherrschen (z.B. Ungleichungen
lösen, Grundrechenoperationen bei komplexen Zahlen durchführen, etc.). Zu dieser Klausur dürfen Sie ein
beidseitig beschrifteten DIN A4 Zettel mitnehmen (oder zwei einseitig beschriftete DIN A4 Zettel).
Aufgabe
Auf den nachfolgenden Seiten finden Sie die Nachholklausur aus dem vergangenen Wintersemester
2015/16.
Bereiten Sie für das Grundlagentutorium 12 bitte die Aufgaben 5 bis 9 vor (Aufgabe 1 bis 4 sind für die
zweite Klausur nicht relevant, jedoch für die Nachholklausur eine gute Übung). Versuchen Sie die Aufgaben
5 bis 9 unter Klausurbedingungen zu lösen, d.h. ohne in Ihren Unterlagen zu blättern.
1
NAME: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MATR. NR.: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Vorlesung Mathematik für Studierende der Biologie (Prof. Herz)
WS 2015/2016 — Wiederholungsklausur
Alle Antworten müssen mit Rechenweg oder Begründung angegeben werden.
Vereinfachen Sie alle Ergebnisse, sofern möglich!
Teil 1
1. (Allgemein)
[18 P]
(a) Bestimmen Sie alle x ∈ R, welche die folgende Gleichung für a ∈ R+ \{0, 1} lösen.
[2 P]
loga (x4 x2 ) = 2 loga (x4 ) − loga (x2 )
(b) Bestimmen Sie alle x ∈ R, welche die folgende Ungleichung lösen.
[4 P]
e−|x| ≥ 32x
(c) Berechnen Sie den folgenden Grenzwert für α, β > 0 und α 6= β.
lim
x→1
xα − xβ
1
1
xβ − xα
(d) Berechnen Sie den Grenzwert der folgenden Reihe.
lim
N →∞
[3 P]
[3 P]
N
X
5(−1)k
k=0
3k+1
(Hinweis: Geometrische Reihe.)
(e) Berechnen Sie das folgende bestimmte Integral durch Substitution.
Z
R
0
aex
dx
ex + b
[6 P]
mit a, b, R ∈ R+ \{0}
Existiert das folgende uneigentliche Integral?
Z ∞
0
3ex
dx
ex + 3
Begründen Sie Ihre Antwort.
(bitte wenden)
2. (Iterierte Abbildungen)
Die Anzahl xt an Fröschen in einem Teich nimmt pro Jahr um 60% zu.
Gleichzeitig werden jährlich 20 Frösche durch Fressfeinde erbeutet.
[7 P]
(a) Modellieren Sie diesen Sachverhalt durch eine iterierte Abbildung der folgenden Form.[2 P]
xt+1 = f (xt )
mit t = 0, 1, 2, ...
(b) Finden Sie die Lösung xt in der Form xt = g(t) zum Anfangswertproblem
xt+1 = f (xt ) mit x0 = 100.
[5 P]
3. (Elemente der Kurvendiskussion)
[8 P]
(a) Sei f (x) = cosh(x) = 12 (ex + e−x ) mit x ∈ R. Überprüfen Sie, ob die Punkte
P1 = (1, 0) und P2 = (0, 1) auf dem Graphen von f liegen.
[2 P]
(b) Bestimmen Sie die Steigung der Kurve
[3 P]
mit k1 ∈ R+ \{0}, x ∈ R+ \{0}
f (x) = k1 ln(x) − 1
im Schnittpunkt mit der Kurve
g(x) = k2 ln(x) − 1
mit k2 ∈ R+ \{0}, k2 6= k1 , x ∈ R+ \{0}.
(c) Bestimmen Sie für die Funktion
[3 P]
f (x) = 6x − cx3
mit c ∈ R und x ∈ R
den Koeffizienten c so, dass der zugehörige Graph im Punkt P = (2, f (2)) eine
horizontale Tangente hat.
4. (Komplexe Zahlen)
Im Folgenden bezeichnet i die imaginäre Einheit.
[9 P]
(a) Bestimmen Sie alle x ∈ R, welche die Gleichung (x − 2i)(x + 2i) = 29 erfüllen.
[2 P]
(b) Berechnen Sie den Imaginärteil der folgenden komplexen Zahl.
[3 P]
z=
−5 − 5i
3 + 2i
(c) Sei q = −5 − 5i. Berechnen Sie den exakten Zahlenwert von q 4 mit Hilfe der
Formel von Moivre.
[4 P]
5. (Differentialgleichungen)
[8 P]
(a) Gegeben ist die folgende Differentialgleichung.
[2 P]
d
x = r − ax
mit r, a > 0
dt
Finden Sie die stationäre Lösung und diskutieren Sie deren Stabilität.
(b) Zeigen Sie, dass die Funktion
[6 P]
x(t) =
e1−t
t2
das Anfangswertproblem
d2
x+
dt2
mit x(1) = 1 und
d
dt x(1)
= −3 löst.
6
4
d
2
−3
x+ 2 − −4 x=0
t
dt
t
t
Teil 2
6. (Lineare Algebra)
[18 P]
(a) Überprüfen Sie, ob die Vektoren
[1 P]

3
~a =  2 
1


1
~b =  0 
−3

orthogonal zueinander stehen.
(b) Geben Sie eine Drehmatrix D an, die einen beliebigen Vektor ~x =
im Uhrzeigersinn dreht.
x1
x2
um 30o
[3 P]
(c) Finden Sie zwei 2 × 2 Matrizen A und B, sodass AB 6= BA gilt.
[1 P]
(d) Gegeben ist die folgende Matrix.
[5 P]

2 1 p 2
 0 −5 3 1 

C=
 4 2 5 3 
0 −1 0 0

Bestimmen Sie p ∈ R so, dass det(C) = 20 gilt.
(e) Man nennt eine Matrix M antisymmetrisch, wenn MT = −M gilt.
0 −1
antisymmetrisch ist.
i) Überprüfen Sie, ob die Matrix F =
1
0
[1 P]
ii) Besitzt jede antisymmetrische 2 × 2 Matrix eine Inverse?
Begründen Sie Ihre Antwort.
[2 P]
iii) Berechnen Sie die Determinante der folgenden antisymmetrischen Matrix.


0
a b
0 c 
mit a, b, c ∈ R
G =  −a
−b −c 0
[2 P]
iv) Sei S eine antisymmetrische n × n Matrix mit ungeradem n. Nutzen Sie die
Ihnen bekannten allgemeinen Rechenregeln für Determinanten, um zu zeigen,
dass det(S) = − det(S) = 0 gilt.
[3 P]
7. (Matrizenrechnung, lineare Gleichungssysteme)
Gegeben sind die folgenden Matrizen mit b1 , ..., b6 ∈ R.


1 −1
b1 b2 b3


−1
0
B=
A=
b4 b5 b6
0
1
[10 P]
C=
1 0
0 1
i) Stellen Sie das lineare Gleichungssystem für b1 , ..., b6 auf, welches sich aus der
Bedingung (AT + B)A = C ergibt. Setzen Sie dazu die Matrizen A, B und C
in diese Bedingung ein.
[6 P]
iii) Lösen Sie das Gleichungssystem mittels des Gauß’schen Eliminationsverfahrens.
[4 P]
(bitte wenden)
8. (Eigenwerttheorie)
Gegeben ist die Matrix A =
[7 P]
1 4c
2 3
mit c ∈ R.
(a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom p(λ).
[2 P]
(b) Bestimmen Sie alle Eigenwerte.
[2 P]
(c) Berechnen Sie für den Fall c = 1 die Eigenwerte.
[3 P]
Bestimmen Sie dann einen normierten Eigenvektor zu einem Eigenwert Ihrer Wahl.
9. (Funktionen mehrerer Veränderlicher)
Gegeben ist die folgende Funktion.
f : R2 → R,
[15 P]
(x, y) 7→ f (x, y) = ex
2 −y 2
(a) Berechnen Sie die Hessematrix von f am Punkt P = (1, 1).
[6 P]
(b) Berechnen
Sie die Richtungsableitung von f in Richtung des normierten Vektors
~a = √12 11 am Punkt P = (1, 0).
[3 P]
(c) Berechnen Sie die Niveaulinien f (x, y) = c und skizzieren Sie, falls möglich,
die Niveaulinien für c = e, c = 1 und c = 0 im R2 .
[6 P]