Stochastische Unabhängigkeit

WR 1
W. Merz
Kapitel 5
Stochastische Unabhängigkeit
Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung I vom SoSe 2009
W. Merz
Lehrstuhl für Angewandte Mathematik 1
FAU
5.1
Das Konzept der stochastischen Unabhängigkeit.
1 Herleitung anhand relativer Häufigkeiten
2 Stochastische Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
3 Globale stochastische Unabhängigkeit
4 Stochastische Unabhängigkeit von σ-Algebren
5 Stochastische Unabhängigkeit von Zufallsexperimenten
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5.2
Herleitung der Definition. A und B seien Ereignisse aus einem
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P)
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Relative Häufigkeiten
B hat offensichtlich keinen Einfluss auf das Eintreten von A,
wenn HN (A|B) ≈ HN (A).
Übersetzen in bedingte Wahrscheinlichkeiten
A ist stochastisch unabhängig von B, wenn P(A|B) = P(A).
Falls P(B) > 0, ist P(A|B) =
P(A ∩ B)
= P(A) genau dann
P(B)
wenn P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Definition
Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig,
wenn P(A ∩ B) = P(A)P(B).
5.3
Achtung! Die Eigenschaften disjunkt und stochastisch
unabhängig für zwei Ereignisse schließen sich gegenseitig
aus, wenn P(A) > 0 und P(B) > 0!
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Sind A und B disjunkt, so ist
P(A ∩ B) = P(∅) = 0 6= P(A)P(B)
A und B sind dann nicht unabhängig.
Sind A und B stochastisch unabhängig, so ist
P(A ∩ B) = P(A)P(B) > 0
also A ∩ B 6= ∅, d.h. A und B sind nicht disjunkt.
5.4
Beispiel 1 Zwei reguläre Würfel werden nacheinander
geworfen.
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A1 : Beim ersten Wurf erscheint eine gerade Zahl.
A2 : Beim zweiten Wurf erscheint eine gerade Zahl.
Es ist gefühlsmäßig klar, dass diese beiden Ereignisse
stochastisch unabhängig sind.
Laplace-Experiment mit
Ω = {(1, 1), (1, 2), . . . , (i, k ), . . . , (6, 6)}
|Ω| = 36
5.5
Beispiel 1


 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) 
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
A1 =


(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
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|A1 | = 18


 (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2) 
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
A2 =


(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)
|A2 | = 18


 (2, 2) (2, 4) (2, 6) 
(4, 2) (4, 4) (4, 6)
A1 ∩ A2 =


(6, 2) (6, 4) (6, 6)
|A1 ∩ A2 | = 9
P(A1 ∩ A2 ) =
1
1 1
18 18
9
= = · =
·
= P(A1 )P(A2 )
36
4
2 2
36 36
5.6
Beispiel 2 Zwei reguläre Würfel werden nacheinander
geworfen.
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A: Die Augensumme ist eine gerade Zahl.
B: Beim zweiten Wurf erscheint eine gerade Zahl.
Hier scheint gefühlsmäßig eine Abhängigkeit zu bestehen.
(1, 1) (1, 3) (1, 5) (3, 1) (3, 3) (3, 5) (5, 1) (5, 3) (5, 5)
A=
(2, 2) (2, 4) (2, 6) (4, 2) (4, 4) (4, 6) (6, 2) (6, 4) (6, 6)


 (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2) 
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
B=


(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)


 (2, 2) (2, 4) (2, 6) 
(4, 2) (4, 4) (4, 6)
A∩B =


(6, 2) (6, 4) (6, 6)
P(A ∩ B) =
9
1
1 1
18 18
= = · =
·
= P(A)P(B)
36
4
2 2
36 36
5.7
Beispiel 3 Die beiden Würfel seien so gefälscht, dass
2
P(A1 ) = P(A2 ) = .
5
Wir setzen aber sinnvollerweise fest, dass A1 und A2
stochastisch unabhängig sein sollen:
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 )P(A2 ).
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Wie gleich anschließend gezeigt wird, sind dann auch die
Paare A1 , A2 , A1 , A2 und A1 , A2 stochastisch unabhängig.
P(A)
= P(A1 ∩ A2 + A1 ∩ A2 ) = P(A1 ∩ A2 ) + P(A1 ∩ A2 )
2 2
2
3
= P(A1 )P(A2 ) + P(A1 )P(A2 ) =
+
5
5
13
=
25
5.8
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Beispiel 3
P(A) =
P(B) = P(A2 ) =
P(A)P(B) =
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13
25
2
5
13 2
26
· =
25 5
125
2
2
20
=
P(A ∩ B) = P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 )P(A2 ) =
5
125
Bei gefälschten Würfeln sind A und B nicht notwendig
stochastisch unabhängig.
5.9
Rechenregeln
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Satz
Mit A, B sind auch die Paare A, B, A, B und A, B stochastisch
unabhängig.
Beweis.
• B = AB + AB
• P(B) = P(A)P(B) + P(AB)
• P(AB) = (1 − P(A)) P(B) = P(A)P(B)
• usw.
5.10
Rechenregeln
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Satz
Ist P(A) = 0 oder P(A) = 1, so sind A und B für beliebige
Ereignisse B stochastisch unabhängig.
Beweis.
• Ist P(A) = 0, so ist wegen AB ⊂ A auch P(AB) = 0.
Daher gilt P(AB) = 0 = P(A)P(B).
• Ist P(A) = 1 so ist P(A) = 0, somit A und B und folglich
auch das Paar A = A und B stochastisch unabhängig.
5.11
Mehr als zwei Ereignisse Bei mehr als zwei Ereignissen
A1 , A2 , A3 , . . . reicht es im allgemeinen nicht aus, nur die
stochastische Unabhängigkeit aller Paare Ai , Ak zu fordern.
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Beispiel
Laplace-Experiment mit Ergebnismenge Ω = {1, 2, 3, 4}.
A = {1, 2} B = {2, 3} C = {1, 3}
Die Paare A, B, B, C und A, C sind jeweils stochastisch
unabhängig:
P(A ∩ B) = P{2} =
1
11
=
= P(A)P(B)
4
22
usw.
A ist aber nicht stochastisch unabhängig vom
Verbundereignis B ∩ C, dass B und C gleichzeitig eintreten.
Denn A ∩ (B ∩ C) = ∅.
5.12
Globale stochastische Unabhängigkeit
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Definition
Ereignisse A1 , A2 , . . . An aus einem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, A, P) heißen global stochastisch unabhängig, wenn für
jeden der Indizes i = 1, 2, . . . , n gilt: Das Ereignis Ai ist
stochastisch unabhängig von allen Verbundereignissen, die
man aus den übrigen Ereignissen Aj mit j 6= i bilden kann.
Theorem
Ereignisse A1 , A2 , . . . An aus einem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, A, P) sind genau dann global stochastisch unabhängig,
wenn für jede Teilmenge {i1 , i2 , . . . , im } ⊂ {1, 2, . . . , n} von
Indizes gilt
P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . Aim ) = P(Ai1 )P(Ai2 ) · · · P(Aim )
5.13
Stochastische Unabhängigkeit von σ-Algebren Die Eigenschaft
der globalen stochastischen Unabhängigkeit kann man auch
folgendermaßen formulieren:
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Theorem
Ereignisse A1 , A2 , . . . An aus einem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, A, P) sind genau dann global stochastisch unabhängig,
wenn für jede Auswahl von Ereignissen Bi aus den
Teil-σ-Algebren Ai = {∅, Ai , Ai , Ω} von A gilt:
P(B1 ∩ B2 ∩ . . . Bn ) = P(B1 )P(B2 ) · · · P(Bn )
Daraus ergibt sich als logische Folge eine Definition für die
stochastische Unabhängigkeit von σ-Algebren:
Definition
Sind A1 , A2 , . . . , An Teil-σ-Algebren der σ-Algebra A eines
Wahrscheinlichkeitsraums (Ω, A, P), so heißen die Ai
stochastisch unabhängig, wenn für jede Auswahl von
Ereignissen Bi ∈ Ai gilt
P(B1 ∩ B2 ∩ . . . Bn ) = P(B1 )P(B2 ) · · · P(Bn )
5.14
Produktexperimente Wie beschreibt man die stochastisch
unabhängige Durchführung von einzelnen
Zufallsexperimenten, die durch Wahrscheinlichkeitsräume
(Ω1 , A1 , P1 ), (Ω2 , A2 , P2 ), . . ., (Ωn , An , Pn )
repräsentiert werden?
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Damit man die stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
aus den verschiedenen Wahrscheinlichkeitsräumen
formulieren kann, muss man sie in einen gößeren
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) einbetten.
(Ω, A, P)
z
}|
{
(Ω1 , A1 , P1 ), (Ω2 , A2 , P2 ) . . . (Ωn , An , Pn )
Diesen Wahrscheinlichkeitsraum werden wir den Produktraum
nennen.
5.15
Die Ergebnismenge des Produktraums Liste der Ergebnisse
der einzelnen Experimente:
Ω
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{ω = (ω1 , ω2 , . . . , ωn ) ; ωk ∈ Ωk }
Ω1 × Ω2 × · · · × Ωn
n
Y
=:
Ωk
=
=
k =1
Ω=
Qn
k =1
Ωk heißt das kartesische Produkt der Mengen Ωk .
5.16
Die σ-Algebra des Produktraums Ereignisse, die auf jeden Fall
in der σ-Algebra enthalten sein müssen, sind:
„Beim k -ten Einzelexperiment tritt das Ereignis Ak ∈ Ak ein“:
Z (Ak )
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= {ω = (ω1 , ω2 , . . . , ωn ) ; ωk ∈ Ak }
= Ω1 × · · · × Ωk −1 × Ak × Ωk +1 × · · · Ωn
Bei der Unabhängigkeit muss man Durchschnitte betrachten:
Z (A1 ) ∩ Z (A2 ) ∩ . . . ∩ Z (An )
= {ω = (ω1 , ω2 , . . . , ωn ) ; ω1 ∈ A1 , . . . , ωn ∈ An }
= A1 × A2 × · · · × An
Definition
Die kleinste σ-Algebra, die alle Mengen der obigen Form
enthält, heißt die Produkt-σ-Algebra
und wird mit
Nn
A = A1 ⊗ A2 ⊗ · · · ⊗ An = k =1 Ak bezeichnet.
5.17
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung Die
Wahrscheinlichkeitsverteilung P eines Produktexperiments
muss zwei Bedingungen erfüllen:
1
2
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Die Wahrscheinlichkeitsgesetze der Einzelexperimente
müssen erhalten bleiben, d.h. P(Z (Ak )) = Pk (Ak ) für alle
Ereignisse Ak ∈ Ak und alle k .
Für beliebige Ak ∈ Ak müssen die Mengen Z (A1 ), Z (A2 ),
. . . Z (An ) global stochastisch unabhängig sein.
Insbesondere muss also gelten
P (Z (A1 ) ∩ Z (A2 ) ∩ . . . ∩ Z (An ))
= P (Z (A1 )) P (Z (A2 )) · · · P (Z (An ))
Die beiden Formeln kann man zusammenfassen zu
P (A1 × A2 × · · · × An ) = P1 (A1 )P2 (A2 ) · · · Pn (An )
5.18
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Die Produktwahrscheinlichkeit
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Theorem
Es gibt genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P auf A mit
P (A1 × A2 × · · · × An ) = P1 (A1 )P2 (A2 ) · · · Pn (An )
für beliebige Ak ∈ Ak . Diese heißt die
Produktwahrscheinlichkeit der Pk und wird mit
P = P1 ⊗ P2 ⊗ · · · ⊗ Pn =
n
O
Pi
i=1
bezeichnet.
Definition
Qn
Nn
Nn
Der Wahrscheinlichkeitsraum ( k =1 Ωk , k =1 Ak , k =1 Pk )
heißt der Produktraum der Wahrscheinlichkeitsräume
(Ωk , Ak , Pk ).
5.19
Versuchsreihen Ist (Ωk , Ak , Pk ) = (Ω0 , A0 , P0 ) für alle
k = 1, 2, . . . , n, so repräsentiert der Produktraum die n-fache
unabhängige Wiederholung eines Zufallsexperiments.
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Man spricht in diesem Fall von einer Versuchsreihe der Länge
n mit dem Experiment (Ω0 , A0 , P0 ).
5.20
Bernoulli-Experimente und -Versuchsreihen
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Definition
Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω0 , A0 , P0 ) mit
• Ω0 = {0, 1}
• A0 = 2Ω0
• P{1} = p
heißt ein Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit p.
P{0} = P{1} = 1 − p. Diese Wahrscheinlichkeit wird in diesem
Zusammenhang immer mit q bezeichnet.
Definition
Eine Versuchsreihe der Länge n mit einem
Bernoulli-Experiment heißt eine Bernoulli-Versuchsreihe der
Länge n mit Erfolgswahrscheinlichkeit p
5.21
Bernoulli-Versuchsreihen Ist (Ωn , An , Pn ) eine eine
Bernoulli-Versuchsreihe der Länge n mit
Erfolgswahrscheinlichkeit p, so ist
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Ωn = {δ = (δ1 , δ2 , . . . , δn ) ; δi ∈ {0, 1}}
Wegen
{(δ1 , δ2 , . . . , δn )} = {δ1 } × {δ2 } × · · · × {δn }
ist An die Menge aller Teilmengen von Ωn .
Für die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses erhält
man daher
Pn {(δ1 , δ2 , . . . , δn )} = P0 {δ1 }P0 {δ2 } · · · P0 {δn }
Dieses Produkt enthält so viele Faktoren p, wie es Einsen unter
den δi gibt, und so viele Faktoren q, wie Nullen vorhanden sind.
5.22
Bernoulli-Versuchsreihen
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Pn {(δ1 , δ2 , . . . , δn )} = P0 {δ1 }P0 {δ2 } · · · P0 {δn }
= p(δ1 +δ2 +···δn ) q n−(δ1 +δ2 +···δn )
= p|δ| q n−|δ|
mit |δ| = δ1 + δ2 + · · · δn .
5.23
Die Summe der Erfolge Häufigkeit des Eintretens einer Eins
bei Durchführung einer Bernoulli-Versuchsreihe.
Bei einem schiefen Galton-Brett (Sprung nach rechts mit
Wahrscheinlichkeit p) landet die Kugel in Fach Nummer k :
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Ak = {δ ; |δ| = k }
Pn (Ak )
=
X
Pn {δ}
δ∈Ak
=
X
p|δ| q n−|δ|
δ,|δ|=k
=
X
pk q n−k
δ,|δ|=k
= Ckn pk q n−k
wobei Ckn die Anzahl der Elemente der Menge {δ ; |δ| = k } ist:
n k n−k
Pn (Ak ) =
p q
k
5.24