Zusammenfassung

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Algebraische Zahlentheorie
Prof. Wolfgang M. Ruppert
Sommersemester 2006, Universität Erlangen
§ 1 : Einführung
2. Algebraische Zahlkörper
1. Rationale und irrationale Zahlen
Ein algebraischer Zahlkörper K ist eine endliche Körpererweiterung von Q (d.h. K ist
ein endlich dimensionaler Q-Vektorraum und Q ⊆ K). Der Grad ist [K : Q] = dimQ K.
2. Algebraische und transzendente Zahlen
Satz: Sei K ein Zahlkörper vom Grad n.
α ∈ C heißt algebraisch vom Grad n ∈ IN, wenn α einer polynomialen Gleichung n-ten 1. Es gibt ein α ∈ K mit K = Q(α).
Grades mit rationalen Koeffizienten ai ∈ Q genügt: αn + a1 αn−1 + ... + an−1 α + an = 0.
2. 1, α, α2 , ..., αn−1 bilden eine Q-Basis von K und αn = −(a0 + a1 α + ... + an−1 αn−1 ).
α ∈ C heißt transzendent, wenn α nicht algebraisch ist.
3. Das Polynom f (x) = xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 ∈ Q[x] ist irreduzibel über Q
und der Ringhomomorphismus Q[x] → K = Q(α), x 7→ α liefert einen Isomorphismus
Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar,
Q[x]/f (x) ∼
= K = Q(α).
die Menge der transzendenten Zahlen ist überabzählbar.
Satz (Hermite-Lindemann): Ist α ∈ C\{0} algebraisch, so ist eα transzendent.
⇒ e = e1 ist transzendent und π ist transzendent, da eiπ = −1 algebraisch ist.
3. Die rationale Darstellung
3. Approximationseigenschaften algebraischer Zahlen
K → EndQ (K), α 7→ (fα : x 7→ α · x) ist ein Q-linearer Ringhomomorphismus.
α·ωi = ai1 ω1 +...+ain ωn ⇒ A(α) = (aij ) =: Matrixdarstellung von α bzgl. ω1 , ..., ωn .
Das charakteristische Polynom, die Spur Sp(α) und die Norm N (α) von α sind als
charakteristisches Polynom, Spur und Determinante von fα bzw. A(α) definiert.
Satz (Dirichlet):
Für α ∈ IR lassen sich zu Q ∈ IN p, q ∈ Z mit 1 ≤ q ≤ Q finden,
p
1
so daß α − q ≤ qQ
. ⇒ Ist α irrational, so gibt es unendlich viele pq mit α − pq ≤ q12 .
Satz: Die Spur Sp: K → Q ist Q-linear, die Norm N : K → Q ist multiplikativ.
1
Satz (Roth): Ist α ∈ IR irrational, aber algebraisch, so hat α − pq ≤ q2+ε
für jedes ε > 0
Lemma: K = Q(α) ⇒ Minimalpolynom = charakteristisches Polynom von α.
p
nur endlich viele Lösungen q ∈ Q.
4. Beispiele zur Motivation
§ 2 : Algebraische Zahlkörper
1. Erinnerung an das Rechnen mit Polynomen
Euklid’scher Algorithmus: Zu a0 (x), a1 (x) ∈ K[x] definiert man rekursiv (Polynomdivision) ai−1 (x) = qi−1 (x) · ai (x) + ai+1 (x) mit grad(ai+1 ) < grad(ai ).
Ist an−1 (x) = qn−1 (x) · an (x) + 0, so ist ggT(a0 , a1 ) ∼ an .
Erweiterter Euklid’scher Algorithmus: x0 = 1, y0 = 0; x1 = 0, y1 = 1;
xi = xi−2 − qi−2 · xi−1 , yi = yi−2 − qi−2 · yi−1 ⇒ ai = xi · a0 + yi · a1 .
Bemerkung: Ist β ∈ K, so ist Q(β) ein Teilkörper von K, [Q(β) : Q] teilt [K : Q], und das
charakteristische Polynom von β ist eine Potenz des Minimalpolynoms von β.
4. Die Einbettungen von K in C
Lemma: Ein Zahlkörper K = Q(α) mit Minimalpolynom f von α vom Grad n hat genau n
Einbettungen (Ringhomomorph.) σi : K ,→ C, nämlich σi (α) := αi ∈ C, wenn f (αi ) = 0.
Bemerkung: r1 = Anzahl der reellen Einbettungen (αi ∈ IR), 2r2 = Anzahl der komplexen
Einbettungen (f (αi ) = 0 mit αi ∈ C\IR ⇒ f (αi ) = 0 liefert die Einbettung σ i ) n = r1 +2r2
Satz: Zu α ∈ K gibt es eine komplexe Matrix S mit A(α) = S −1 diag σ1 (α), ..., σn (α) S
⇒ Sp = σ1 + ... + σn , N = σ1 · ... · σn , char. Polynom von α = (x − σ1 (α)) · ... · (x − σn (α))
5. Spurform und Diskriminanten
Lemma: (α, β) 7→ Sp(αβ) definiert eine symmetrische, nicht ausgeartete Q-Bilinearform.
2
Satz: Diskriminante disc(α1 , ..., αn ) := det(Sp(αi αj )ij ) = det(σi (αj )ij )
Satz: disc(α1 , ...αn ) = 0 ⇒ α1 , ...αn sind linear abhängig.
Satz: Ist K = Q(α) mit normiertem Minimalpolynom f , so gilt
2
Q
n(n+1)
disc(1, α, ..., αn−1 ) = i<j σi (α) − σj (α) = (−1) 2 N f 0 (α) = disc f(x) .
2
P
Lemma: Ist βi = j xij αj , so gilt disc(β1 , ..., βn ) = det(xij )ij · disc(α1 , ..., αn ).
Bemerkungen: disc(x2 + ax + b) = a2 − 4b, disc(x3 + ax + b) = −4a3 − 27b2 .
Lemma: n = r1 + 2r2 . sgn(disc(α1 , ..., αn )) = (−1)r2 für jede Q-Basis α1 , ..., αn
Satz: Die zur Q-Basis von K duale Basis β1 , ..., βn mit Sp(αi βj ) = δij erhält man aus
−1
P
βi = j xij αj mit (xij ) = Sp(αi αj )ij
.
f (x)
Satz: Ist f das Minimalpolynom von α und x−α
= γ0 + γ1 x + ... + γn−1 xn−1 , so ist
γn−1
γ0
n−1
von K = Q(α) duale Basis.
f 0 (α) , ..., f 0 (α) die zur Basis 1, α, ..., α
Lemma: Ist δ1 , ...δn die zu ω1 , ..., ωn duale Basis, so ist α =
P
i xi ωi mit xi = Sp(αδi ).
§ 3 : Faktorisierung von Polynomen über Zahlkörpern
Lemma: N (F (x)) ist irreduzibel in Q[x]. ⇒ F (x) ist normiert und irreduzibel in K[x].
⇒ N (F (x)) ist Potenz eines irreduziblen Polynoms in Q(x).
3. Wie macht man ein Polynom quadratfrei?
Lemma: Ist f (x) = c · p1 (x)e1 · ... · pr (x)er (Primfaktorzerlegung), so ist ggT(f (x), f 0 (x)) =
(x)
= p1 (x)e1 −1 · ... · pr (x)er −1 und ggT(ff(x),f
0 (x)) = c · p1 (x) · ... · pr (x) ist quadratfrei.
4. Faktorisierung von Polynomen über Zahlkörpern
Satz: Ist F (x) ∈ K[x] quadratfrei, so auch N F (x − kα) ∈ Q[x] für fast alle k ∈ Z.
(x)
Zusammenstellung: Faktorisierung von F (x) ∈ K[x] : G(x) = c·ggT(FF(x),F
0 (x)) ∈ K[x],
0
gk (x) := N G(x − kα) ∈ Q[x]. Ist ggT(gk (x), gk (x)) = 1 und gk (x) = p1 (x) · ... · pr (x), so
sind Pi (x) = ggT(G(x), pi (x + kα)) die Primfaktoren von F (x) = c · P1 (x)e1 · ... · Pr (x)er .
5. Anwendungen
Wurzelziehen: β = γ m ⇔ xm − β hat einen Linearfaktor (x − γ).
Galois’sche Körpererweiterungen: Ist K = Q(α) mit Minimalpolynom f (x) ∈ Q[x]
von α, so ist K/Q genau dann eine Galois-Erweiterung, wenn f (x) über K[x] in Linearfaktoren zerfällt: f (x) = (x − α1 ) · ... · (x − αn ). Die Galois-Gruppe Gal(K/Q) = {τ1 , ..., τn }
besteht aus den Körperautomorphismen τi : K → K, α 7→ αi mit ◦ als Verknüpfung.
1. Einführung
Das Teilkörperproblem: Ist K Teilkörper von L, muß [K : Q] ein Teiler von [L : Q] sein.
Ist K ein Körper, so ist K[x] ein faktorieller Ring: jedes f (x) 6= 0 ∈ K[x] läßt sich eindeutig Satz: Seien K = Q(α), L = Q(β) mit Minimalpolynomen f (α) = 0 = g(β).
als f (x) = c · p1 (x)e1 · ... · pr (x)er mit normierten und irreduziblen pi (x) ∈ K[x] schreiben. (1) Gibt es Φ : K ,→ L, ist f (Φ(α)) = 0, d.h. f (x) spaltet in L[x] einen Linearfaktor ab.
(2) Spaltet f (x) in L[x] einen Linearfaktor x − α̃ ab, definiert K ,→ L, α 7→ α̃ einen Hom..
(3) [K : Q] = [L : Q] und f (x) spaltet in L[x] einen Linearfaktor ab. ⇔ K ∼
=L
2. Die Normabbildung für Polynome
Fortsetzung des injektiven
Ringhomomorphismus’
K → Mn (Q), α 7→ A(α) auf Polynome:
P
P
K[x] → Mn (Q[x]), i αi xi 7→ i A(αi )xi . Determ. ⇒ Normabbildung N : K[x] → Q[x]
Satz: N (F (x)) = σ1 (F (x)) · ... · σn (F (x)). Folgerung: grad N (F (x)) = n · grad F (x) . Ist F (x) ∈ Q[x], so ist N (F (x)) = F (x)n .
Satz: Ist K = Q(α) mit f (α) = 0, f normiert und irreduzibel, so ist N (x − α) = f (x).
§ 4 : Moduln
1. Definition
Eine Teilmenge U = Zα1 +...+Zαm ⊆ K heißt Modul, wenn U eine Q-Basis von K enthält.
Lemma: F (x) ∈ K[x] teilt seine Norm N (F (x)).
Satz: Sei F (x) ∈ K[x] normiert und N (F (x)) = g1 (x) · g2 (x) ∈ Q[x] eine nicht-triviale
Zerlegung mit ggT(g1 , g2 ) = 1. Es ist F (x) = ggT(F (x), g1 (x)) · ggT(F (x), g2 (x)).
Elementare Zeilenumformungen, die nur das Erzeugendensystem α1 , ..., αm , nicht aber den
Modul U verändern: Multiplikation einer Zeile mit −1, Vertauschung zweier Zeilen, Addition des (k ∈ Z)-fachen einer Zeile i zur Zeile j 6= i.
2. Die hermite’sche Normalform von Matrizen
M ∈ M (m × n, Q) mit Rang n 
≥ m kann durch
 elementare Zeilenumformungen auf ihre
c11 · · · c1n
mit 0 ≤ cij < cjj für 1 ≤ i < j
. 
..
. 
1

.
. 
und cij = 0 für i > j
hermite’sche Normalform 
d
cnn 
gebracht werden.
Satz: Zu jeder Matrix M ∈ M (m × n, Z) gibt es S ∈ GLm (Z), T ∈ GLn (Z), so daß die
smith’sche Normalform D = S M T = diag(d1 , ..., dmin(m,n) ) mit di ∈ IN0 , d1 | d2 | ....
Satz: Sind V ⊆ U Moduln mit Z-Basen (β1 , ..., βn )T = M (α1 , ..., αn )T , S M T =
= diag(d1 , ..., dn ) die smith’sche Normalform von M und (γ1 , ..., γn )T = T −1 (α1 , ..., αn )T ,
dann ist U = Zγ1 + ... + Zγn , V = Zd1 γ1 + ... + Zdn γn und U/V = Z/d1 Z × ... × Z/dn Z .
Satz: Die hermite’sche Normalform einer
Matrix M ∈ Mn (m×n, Q) ist eindeutig bestimmt. 5. Indexberechnungen
Es gibt U ∈ GLn (Z) = {A ∈ Mn (Z) | det A| = 1}, für das U M hermite’sche Normalf. hat.
Sind V, U Moduln mit Z-Basen (β1 , ..., βn )T = M (α1 , ..., αn )T M ∈ Mn (Q) , so ist der
Index von V in U durch [U : V ] = | det M | ∈ Q definiert.
3. Die hermite’sche Normalform von Moduln
Satz: Sei K ein Zahlkörper mit Q-Basis ω1 , ...ωn , U = Zβ1 + ... + Zβm Modul in K Satz: Sind U1 , U2 , U3 Moduln, gilt [U1 : U2 ]·[U2 : U1 ] = 1 und [U1 : U3 ] = [U1 : U2 ]·[U2 : U3 ].
mit (β1 ,P
..., βm )T = M (ω1 , ...ωn )T und hermite’scher Normalform d1 (cij ) von M . Mit
1
αi = d j cij ωj ist U = Zα1 + ... + Zαn die (eindeutige)
Normalform Satz: V ⊆ U ⇒ [U : V ] ∈ IN, U = V ⇔ [U : V ] = 1, [U : V ] = #U/V , [U : V ] · U ⊆ V .
P hermite’sche
P
von U . (U ist ein sog. freier Z-Modul vom Rang n: Aus i xi αi = i yi αi folgt xi = yi .)
Folgerung: Sind U = Zα1 + ... + Zαn , V = Zβ1 + ... + Zβn ⊆ K Moduln in hermite’scher 6. Die Diskriminante eines Moduls
Normalform, so gilt U = V ⇔ αi = βi .
2
Es ist disc(α
P1 , ..., αn ) = det(Sp(αi αj )ij ) und disc(β1 , ..., βn ) = [det(xij )] · disc(α1 , ..., αn ),
wenn βi = j xij αj . ⇒ Für U = Zα1 + ... + Zαn ist disc(U ) := disc(α1 , ..., αn ).
Ist U = Zα1 + ... + Zαn (α1 , ..., αn : Z-Basis von U ), V = Zβ1 + ... + Zβn mit
Satz: P
βi = j xij αj , so gilt V U ⇔ (xij ) ∈ Mn (Z) und V = U ⇔ (xij ) ∈ GLn (Z).
Satz: disc(V ) = [U : V ]2 · disc(U ).
Sind U, V Moduln mit Z-Basen α1 , ..., αr bzw. β1 , ..., βs , soP auch ihre Summe
U +V = Zα1 +...+Zαr +Zβ1 +...+Zβs und ihr Produkt U ·V =
ij xij αi βj | xij ∈ Z .
§ 5 : Ordnungen
Satz: Ist ω1 , ...ωn Q-Basis eines Zahlkörpers K, sind U, V ⊆ K Moduln mit
Z-Basen (α1 , ..., αn )T = A (ω1 , ..., ωn )T bzw. (β1 , ..., βn )T = B; (ω1 , ..., ωn )T und ist 1. Ordnungen und ganze algebraische Zahlen
U (A, B)T = (U11 A + U12 B, U21 A + U22 B)T die hermite’sche Normalform von (A, B)T ,
R ⊆ K heißt Ordnung in K, wenn R sowohl Modul in K als auch Unterring von K ist.
so ist (γ1 , ...γn )T = U21 (α1 , ...αn )T = −U22 (β1 , ..., βn ) Z-Basis des Moduls U ∩ V .
Satz: Sind V ⊆ U Moduln mit Z-Basen (β1 , ..., βn )T = B (α1 , ..., αn )T , so gibt nur
endlich viele Moduln W = Zγ1 + ... + Zγn mit V ⊆ W ⊆ U : Eine notwendige Bedinung
an die hermite’sche Normalform von (γ1 , ..., γn )T = C (α1 , ..., αn )T ist cii | bii .
Satz: Sind U, V Moduln, so auch (U : V ) = λ ∈ K | λV ⊆ U =
4. Faktorgruppen und smith’sche Normalform
Tn
i=1
(Z αβ1i + ... + Z αβni ).
α ∈ K heißt ganz algebraisch (ganz über Z), wenn das normierte Minimalpolynom
0 = αm + a1 αm−1 + ... + an Koeffizienten in Z hat.
Satz: Z[α] = Z + Zα + Zα2 + ... ist eine Ordnung. ⇔ K = Q(α) und α ist ganz über Z.
Lemma: Jedes α ∈ K läßt sich als
(d·α)
d
mit einem d ∈ N, d · α ganz algebraisch darstellen.
Lemma: Ist U ein Modul, so ist R = (U : U ) = α ∈ K | αU ⊆ U eine Ordnung.
Ist R eine Ordnung, so ist R = (R : R).
Lemma: Ist (β1 , ..., βn )T = C (α1 , ..., αn )T die hermite’sche Normalform eines Moduls
V ⊆ U bzgl. einer Z-Basis von U . Dann ist x1 α1 + ... + xn αn | 0 ≤ xi < cii ein
Satz: Ist R eine Ordnung, α ∈ R, dann ist α ganz algebraisch und Sp(α), N (α) ∈ Z.
Repräsentantensystem von U/V (u1 ≡ u2 :⇔ u1 − u2 ∈ V ). ⇒ #U/V = c11 · ... · cnn .
⇒ disc(R) ∈ Z.
αn + a1 αn−1 + ... + an = 0 ⇒ Z[α] = Z + Zα + ... + Zαn−1
U
Satz: Sind V ⊆ U Moduln, S ⊆ U ein Repräsentantensystem
von /V und W eine abel’sche
P
Gruppe mit V ⊆ W ⊆ U, , so ist auch W = V + w∈W ∩S Zw ein Modul.
Lemma: Ist R = Zω1 + ...Zωn (hermite’sche Normalform bzgl. αn−1 , ..., α, 1), so ist ωn = 1.
√
√
√
Satz: Ist d ∈ Z quadratfrei, K = Q( d), ω = 1+2 d , falls d ≡ 1 mod 4 und ω = d sonst, Lemma: Die Ideale a 6= 0 einer Ordnung R = Zω1 + ... + Zωn stehen in Bijektion zu den
Matrizen C ∈ Mn (Z) in hermite’scher Normalform mit C A(ωi ) C −1 ∈ Mn (Z).
so ist jede Ordnung in K von der Gestalt Rf = Z[f ω].
In einem Ring R (mit Eins) heißt α ∈ R Einheit, wenn β ∈ R mit αβ = βα = 1 existiert. Lemma: Zum Ideal a 6= 0 gibt es l(a) ∈ IN mit a ∩ Z = a ∩ Q = Zl(a) und l(a) | N (a) | l(a)n .
Die Menge R× der Einheiten bildet die multiplikative Einheitengruppe.
Ideale können addiert und multipliziert werden; Summe und Produkt sind wieder Ideale.
1
·R
⇒ α ∈ R× ⇔ |N (α)| = 1.
Lemma: Ist α ∈ R\{0}, so ist α1 ∈ N (α)
Faktorringe: Die Äquivalenzrelation x ≡ y mod a ⇔ x−y ∈ a ist mit Addition und Multiplikation verträglich. ⇒ R/a hat natürliche Ringstruktur, R → R/a ist ein Ringhomom..
2. Die Maximalordnung - der Ring der ganzen Zahlen
Lemma: Sind R, S Ordnungen und α ∈ K, so sind auch R · S und R[α] Ordnungen.
Lemma: Mit α und β sind auch α + β und α · β ganze algebraische Einheiten.
Lemma (Chin. Restsatz): Für teilerfremde Ideale a, b eines Rings R (d.h. a + b = R) gilt:
(1) ab = a ∩ b, (2) Zu a, b ∈ R gibt es x ∈ R mit x ≡ a mod a, x ≡ b mod b, und
x ≡ x0 mod ab, wenn x0 ∈ R eine weitere Lösung ist. (3) Die natürlichen Ringhomomor∼
phismen R → R/a , R → R/a induzieren den Ringisomomorphismus R/ab → R/a ⊕ R/a .
Satz: ZK = α ∈ K | α ist ganz algebraisch ist der Ring der ganzehn Zahlen von K.
3. Hauptideale
Lemma:
mit disc(R) = m2 d P
(d ∈ Z quadratfrei),
1 Sei R = Zω1 + ... + Zωn Ordnung
Ein Ideal a = (α) = Rα heißt Hauptideal.
A := m (z1 ω1 + ... + zn ωn | 0 ≤ zi < m ∩ ZK . Es gilt ZK = R + α∈A Zα.
Ist jedes Ideal eines Integritätsrings R Hauptideal, heißt R Hauptidealring.
Satz: ZK ist eine Ordnung, und jede Ordnung R von K ist in ZK enthalten: R ⊆ ZK .
Lemma: Für α, β ∈ R\{0} in einem Zahlkörper gilt: Rα = Rβ ⇔ β = α für ein ∈ R× .
ZK heißt daher Maximalordnung, eine Z-Basis von ZK heißt Ganzheitsbasis.
Die Diskriminante eines Zahlkörpers ist durch disc(K) = disc(ZK ) definiert.
Satz: Für α ∈ R\{0} gilt: |N (α)| = [R : Rα] = N (Rα) = N ((α)).
3. Ansätze zur Bestimmung einer Ganzheitsbasis
4. Maximale Ideale
P
→ Bestimmung der hermite’schen Normalform von R + α∈A Zα wie oben.
(Bestimmung von A: Test von mn Elementen auf algebraische Ganzheit)
Ein Ideal m 6= R heißt maximal, wenn aus m ⊆ a ⊆ R entweder a = m oder a = R folgt.
⇔ R/m ist ein Körper.
Satz: Jedes Ideal a 6= R ist in einem maximalen Ideal enthalten.
§ 6 : Ideale
1. Einführung
Ist a ⊆ b, so ist N (a) = N (b) · [b : a] ⇒ N (b) | N (a).
Ist a Ideal mit primzahligem N (a), so ist a maximales Ideal.
Jede naürliche Zahl läßt sich eindeutig als Produkt von Primfaktoren darstellen. (Z ist ein
5. Primideale
faktorieller Ring.) Es gibt den euklidischen Algorithmus. (Z ist ein euklidischer Ring.)
Ein Ideal p 6= R heißt Primideal, wenn aus ab ∈ p schon a ∈ p oder b ∈ p folgt.
⇔ R/p ist ein Integritätsring. (Daher ist jedes maximale Ideal automatisch Primideal.)
2. Ideale
Ein Ideal a ⊆ R ist eine Untergruppe der additiven Gruppe von R, für die R a ⊆ a gilt. Lemma: Ist p Primideal folgt aus a1 ...ar ⊆ p schon ai ⊆ p für ein i.
Endliche erzeugte Ideale: (α1 , ..., αm ) = Rα1 +...+Rαm = {r1 α1 +...+rm αm | ri ∈ R}.
Satz: Jedes Primideal p 6= 0 einer Ordnung eines Zahlkörpers ist maximales Ideal.
⇒ Sind p, p1 , ..., pr Primideale mit p1 ...pr ⊆ p, so ist pi = p für ein i.
Lemma: Jedes Ideal a 6= 0 einer Ordnung eines Zahlkörpers K ist ein Modul in K.
Der Index [R : a] wird als Idealnorm N (a) bezeichnet.
Ordnungen in Zahlkörpern sind noether’sche Ringe, da jedes Ideal endlich erzeugt ist. Satz: Zu jedem Primideal p 6= 0 einer Ordnung eines Zahlkörpers vom Grad n gibt es genau
eine Primzahl p mit (1) p ∈ p (2) p ∩ Q = Zp (3) N (p) = pf mit 1 ≤ f ≤ n.
n o
S
⇒ {p ⊂ R|p ist Primideal} = {0} ∪ p {p ⊂ R Primideal |p ∈ p}
(p ∈ p ⇒ Rp ⊂ p ⊂ R. Zwischen zwei Moduln können nur endlich viele Moduln liegen.)
Lemma: Sei α ∈ R, p prim, g(x), h(x) ∈ Z[x] teilerfremd modulo p.
Es gilt (p, g(α)h(α)) = (p, g(α)) · (p, h(α)) und R = (p, g(α)) + (p, h(α)) .
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