Lösung 4

Theorie der Wärme
Musterlösung 4.
Übung 1.
FS 2015
Prof. Thomas Gehrmann
Kompressibilität und Schallgeschwindigkeit
Die Messung der Schallgeschwindigkeit ist eine einfache Methode zur Bestimmung des Adiabatenkoeffizienten γ.
a) Bestimme die adiabatische Kompressibilität κS und die Schallgeschwindigkeit cS eines idealen Gases:
s 1 ∂V ∂p κS = −
,
cS =
.
(1)
V ∂p S
∂ρ S
wobei ρ die Massendichte des Gases ist.
b) Berechne cS für Luft unter Normalbedingungen (γ = Cp /CV ≈ 1.4, ρ = 1.29 kg/m3 ) numerisch.
Lösung.
a) Betrachte das totale Differential der Entropie S = S(T, V )
∂S ∂S dS =
dT +
dV
∂T V
∂V T
CV
∂p =
dT +
dV
T
∂T V
CV
nR
=
dT +
dV ,
T
V
(L.1)
(L.2)
(L.3)
wobei (L.2) benützt dass
δQ ∂S CV =
=T
dT V
∂T V
(L.4)
und dass wegen der Maxwell relation
∂S ∂p =
∂V T
∂T V
gilt. Schritt (L.3) folgt da wegen der idealen Gasgleichung
nR
∂p =
.
∂T V
V
Aus der Zustandsgleichung V = V (T, p) =
dV =
nRT
p
(L.6)
folgt das Differential
nR
nRT
dT − 2 dp .
p
p
Aus (L.3) folgt dass
CV
n2 R 2
n2 R 2 T
CV + nR
nR
dS =
+
dT − 2
dp =
dT −
dp .
T
pV
p V
T
p
1
(L.5)
(L.7)
(L.8)
Da dS = 0 (adiabatisch) folgt aus (L.3)
∂V CV V
CV
=−
=−
.
∂T S
nRT
p
(L.9)
Aus (L.8) sehen wir dass
nRT
V
∂T =
.
=
∂p S
p(CV + nR)
Cp
(L.10)
1 ∂V 1 ∂V ∂T 1
CV
V
1
κS = −
=−
=−
−
=
V ∂p S
V ∂T S ∂p s
V
p
Cp
γp
(L.11)
Daraus folgt schliesslich
für γ =
Cp
CV
. Ebenfalls kriegen wir
c2S
∂p ∂V ∂p =
=
∂ρ S
∂V S ∂ρ S
V ∂p =−
ρ ∂V S
1
=
ρκS
γp
=
,
ρ
wobei in (L.13) wir benützt haben dass ρ =
mN
V
und dass
(L.12)
(L.13)
(L.14)
(L.15)
dρ
dV
= − Vρ .
kg
m
5
b) Mit ρ ≈ 1.29 m
3 , p ≈ 10 P a und γ = 1.4 ergibt das cS ≈ 330 s .
Übung 2.
Wärmekapazität eines Festkörpers
Gegeben sei die thermische Zustandsgleichung
V = V0 − A p + B T
(2)
eines Festkörpers und die Wärmekapazität Cp = C bei konstantem Druck.
Berechne die Wärmekapazität CV bei konstantem Volumen und die innere Energie U unter der Voraussetzung, dass A, B und C materialabhängige Konstanten sind.
Lösung.
Aus der Vorlesung wissen wir dass
∂U ∂V Cp − CV =
+p
.
∂V T
∂T p
(L.16)
Mit dem totalen Differential von U = U (S, V ), i.e.,
dU = T dS − pdV
(L.17)
∂U ∂S ∂p =T
−p=T
−p ,
∂V T
∂V T
∂T V
(L.18)
folgt
2
wobei wir im letzten Schritt die Maxwell relation verwendet haben. Daraus folgt nun dass
∂p ∂V B2
Cp − CV = T
=
(L.19)
∂T V ∂T p
A
was äquivalent ist zu
CV = C −
da
∂p
∂T |V
=
A ∂V
B , ∂T |p
B2
T
A
(L.20)
= B und Cp = C. Mit
∂p CV
dV
dT +
dS =
T
∂T V
(siehe Aufgabe 1a)) zusammen mit (L.17) gilt
∂p B2
V − V0
dU = CV dT + T
− p dV = C −
T dT +
dV ,
∂T V
A
A
wobei im letzten Schritt (L.20) verwendet wurde. Daraus folgt nun dass
Z Z
B2
V − V0
B 2 2 (V − V0 )2
U=
C−
dT +
dV = U0 + CT −
T +
A
A
2A
2A
(L.21)
(L.22)
(L.23)
und somit
A 2
p .
2
U = U0 + CT − BpT +
Übung 3.
(L.24)
Eigenschaften eines van der Waals-Gases
Ein van der Waals-Gas genügt der Zustandsgleichung
p=
RT
a
− 2
VM − b VM
(3)
mit dem molaren Volumen VM = V /n.
a) Berechne die Differenz Cp − CV der Wärmekapazitäten und bestimme daraus den führenden Korrekturterm zum idealen Gas mit Cp − CV = n R.
Berechne die relative Grösse des Korrekturterms für Kohlendioxid unter Normalbedingungen numerisch. Hierfür sei der Parameter a gegeben durch
2
a=
27 (R Tkr )
64
pkr
(4)
mit den kritischen Werten pkr = 71.5 bar und Tkr = 304.2 K.
b) Bestimme die Temperatur T als Funktion des molaren Volumens VM im Fall einer adiabatischen
Expansion.
c) Berechne den Ausdehnungskoeffizienten
1 ∂V 1 ∂VM α=
=
V ∂T p
VM ∂T p
als Funktion von p und VM .
3
(5)
Lösung.
a) Wie in Aufgabe 2 hergeleitet gilt
∂p ∂V Cp − CV = T
= −T
∂T V ∂T p
2
∂p ∂T V
∂p ∂V T
,
(L.25)
da wegen der Kettenregel
∂V ∂T ∂p = −1 .
∂T p ∂p V ∂V T
Mit
∂p ∂T V
=
R
VM −b
und
∂p ∂V T
= − n1 ( (VMRT
−
−b)2
Cp − CV =
2a
3 )
VM
gilt
nR
3 RT ) .
− b)2 /(VM
1 − 2a(VM
(L.26)
(L.27)
Aus der van der Waals-Gleichung erhält man die ideale Gasgleichung für a = b = 0, also
fassen wir a und b als kleine Grössen auf und entwickeln bis zur ersten Ordnung:
2a
2ap
Cp − CV ≈ nR 1 +
≈ nR 1 + 2 2 ,
(L.28)
VM RT
R T
wobei in der zweiten Approximation das Gas mit einem idealen Gas approximiert wurde.
27 (RTkr )2
Mit a = 64
folgt
pkr
2ap
27 p/pkr
=
≈ 1%
2
(RT )
32 (T /Tkr )2
(unter Normalbedingungen) .
(L.29)
b) Mit
CV
∂p !
dS =
dT +
dV = 0
T
∂T V
(L.30)
∂T ∂p T
R
T
=
−
=−
.
∂V S
∂T V CV
V M − b CV
(L.31)
(siehe Aufgaben 1a)) gilt
Wenn man dies integriert bekommt man
Z
T
T0
dT
nR
=−
T
CV
Z
VM
VM,0
dVM
VM − b
(L.32)
und somit
T = T0
VM − b
VM,0 − b
4
− nR
CV
.
(L.33)
c) Für p = p(T, VM ) ist das totale Differential
dp =
2a
R
RT
dVM +
dT −
dVM .
3
VM − b
(VB − b)2
VM
Multiplikation der Gleichung mit (VM − b) und Verwendung von
RT
VM −b
(L.34)
=p+
a
2
VM
2a
2ab
a
− 3 dVM + RdT − pdVM − 2 dVM
2
VM
VM
VM
a
2ab
= RdT − p − 2 + 3 dVM .
VM
VM
(VM − b)dp =
gibt
(L.35)
(L.36)
Für dp = 0 erhählt man
R
1 ∂VM =
α=
2 .
VM ∂T p pVM − a/VM + 2ab/VM
Übung 4.
(L.37)
Gummiband
Ein Gummiband wird durch eine äußere Kraft bis zur Länge L gedehnt. Es hat dann die Spannung σ und
die Temperatur T , deren Zusammenhang bei festgehaltener Länge L gegeben ist durch
σ = αT
für
α>0.
(6)
Bei der Dehnung des Bandes wird am System die Arbeit
δW = σ dL
(7)
verrichtet.
a) Zeige, dass die innere Energie nur von der Temperatur abhängt.
b) Wie ändert sich die Entropie bei isothermer Dehnung des Bandes?
c) Wie ändert sich die Temperatur, wenn das Band adiabatisch gedehnt wird?
Lösung.
a) Mit der freien Energie F (T, L) kann die innere Energie geschrieben werden als
U (T, L) = F (T, L) + T S(T, L) ,
(L.38)
F (T, L) = −SdT + σdL .
(L.39)
∂U ∂F ∂S =
+T
= σ − αT = 0
∂L T
∂L T
∂L T
(L.40)
wobei
Daraus folgt
und mit Hilfe der Maxwell-Relation
∂S ∂σ =−
= −α .
∂L T
∂T L
5
(L.41)
b) Wir sehen dass
∂S ∂σ =−
= −α < 0 ,
∂L T
∂T L
was heisst dass die Entropie des Bandes bei isothermer Dehnung abnimmt.
c) Gesucht ist ∂T
∂L S . Mit Hilfe der Kettenregel finden wir
∂T ∂L ∂S = −1 .
∂L S ∂S T ∂T L
∂S Die Wärmekapazität CL = T ∂T
bei konstanter Länge ist stets positiv, so dass
L
T
α
∂T = (−1)
(−α) =
T >0,
∂L S
CL
CL
das heisst die Temperatur des Bandes steigt bei adiabatischer Dehnung.
6
(L.42)
(L.43)
(L.44)