Wellen in inhomogenen Medium 1. Prinzipien der

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KAPITEL D
Wellen in inhomogenen Medium
1. Prinzipien der Wellenausbreitung
Ein Medium kann inhomogen sein, weil die Geschwindigkeit sich innerhalb des Raumes kontinuierlich ändert, weil Grenzflächen zwischen homogenen Medien mit verschiedenen Ausbreitungsgeschwindigkeiten liegen oder Hindernisse vorkommen. Im Prinzip ist eine exakte
Berechnung mit Hilfe der Maxwellschen Theorie bei Berücksichtigung der entsprechenden
Randbedingungen möglich. Um sich die Arbeit zu erleichtern, führt man gesonderte Prinzipien der Wellenausbreitung ein, von denen man je nach Bedarf das eine wie das andere benutzt.
a) Das Huygensche Prinzip (Christian Huygens, 1629 - 1695)
Abb. 39: Die Einhüllende von Elementarwellen
Ist die Form einer Wellenfläche zur Zeit t bekannt, so berechnet man die Wellenfläche zur
Zeit t+∆t, indem man die Einhüllende der Elementarwellen sucht, die auf der ursprünglichen
Fläche gleichzeitig erregt werden und die Zeit ∆t gelaufen sind. Man zerlegt also die gesamte
Störung des Mediums entlang der Wellenfront in eine Summe von punktförmigen Störungen.
Die Elementarwellen haben im isotropen Medium die Form kleiner Kugeln mit Radius
r = c∆t. Im anisotropen Medium können es Ellipsoide oder andere Oberflächen sein.
b) Satz von Malus ((Etienne-Louis Malus, 1775 - 1812)
Abb. 40: der Satz von Malus
Hat man zwei Wellenflächen und zwei senkrecht dazu verlaufende Strahlen, so sind die Zeitdifferenzen bei der Wellenausbreitung von einer Wellenfläche zur nächsten auf allen Strahlen
gleich groß. Insbesondere benötigen alle Strahlen, die von einem Punkt ausgehen und sich in
einem anderen treffen, die gleiche Zeit. Um mit dem Satz von Malus rechnen zu können,
schreibt man zweckmäßigerweise Zeitdifferenzen in Differenzen der optischen Wege um.
Wegen t = l/v = ln/c0 sind Zeitdifferenzen den zurückgelegten optischen Wegdifferenzen
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Abb. 41: Abbildung und optische Weglänge
proportional, wobei man definiert: Optischer Weg = ln, allgemein ∫ ndx , und entlang eines
Strahls zu integrieren ist. Das Malussche Prinzip hat dann die Form
∫
Strahl1
ndx =
∫
ndx
Strahl2
Abb. 42: Der schnellste Weg von A nach B
Ein Medium, bei dem der optische Weg größer als im anderen ist, nennt man optisch dichter.
c) Das Fermatsche Prinzip (Pierre de Fermat, 1601 - 1665)
Abb. 43: Der langsamste Weg von A nach B
Ein Lichtstrahl läuft so von einem Punkt A zu einem anderen B, daß von allen möglichen
Wegen zwischen A und B der genommen wird, der bezüglich der Zeit einen Extremwert hat.
Möchten Sie z.B. von einem Punkt A zu einem anderen B laufen, wobei A in einem Gebiet
liegt, in dem Sie schnell, B in dem Sie langsam laufen können, ist der geknickte Weg schneller als der geometrisch kürzeste. Ein Extremum mit der langsamsten Route ergäbe sich z.B.
bei Reflexion an der Innenseite eines Ringes.
Abb. 44: Im homogenen Medium bleibt eine ebene Welle
eben
2. Brechung und Reflexion an ebenen Grenzflächen
a) Homogenes Medium
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Nach dem Huygensschen Prinzip bleibt eine ebene Welle im homogenen Medium eine parallel dazu liegende ebene Welle. Es genügt also zu ihrer Konstruktion die Lage von drei Punkten (in der Zeichenprojektion benötigt man zwei Punkte).
b) Reflexion
An Grenzflächen wird ähnlich wie bei Wellen auf Kabeln ein Teil (oder alle ) Energie reflektiert. Ein anderer Teil kann in das andere Medium übergehen. Hierbei ändert sich im allgemeinen die Richtung der Ausbreitung.
Zur Konstruktion der neuen Wellenfläche nach ihrer Reflexion an einer Ebene konstruieren
Abb. 45: Ableitung des Reflexionsgesetzes mit dem Huygenschen Prinzip
wir nach obenstehender Abbildung zwei Punkte der neuen Wellenfläche. Die alte Wellenfläche sei AB. Nach der Zeit BB'/c hat die Wellenfläche die Grenzfläche bei B' erreicht. Die Elementarwelle, die von A ausgeht, hat den Radius r = c∆t = BB = AA . Die neue Wellenfläche
geht also durch B' und berührt die Elementarwelle bei A'. Es gilt also
AA' = BB'
sin α = sin β
α=β
Einfalls- und Ausfallswinkel sind gleich.
Abb. 46: Ableitung des Brechungsgesetzes nach dem Huygenschen Prinzip
c)Brechung
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Hat die Welle im Medium I die Geschwindigkeit c1 und im Medium II c2<c1, ist die alte Wellenfläche wieder AB und die Zeit, um von B nach B' zu gelangen ∆t = BB'/c1. Der Radius der
Elementarwelle um A ist jedoch kleiner, nämlich AA' = c2∆t. Es gilt
sin α = BB /AB , sin β = AA /AB , also
sin α = BB /
sin β AA /
Da BB' = c1∆t und AA' = c2∆t, folgt das Snelliussche Brechungsgesetz
sin α = c 1
sin β c 2
Mit der Definition des Brechungsindexes
c
c = n0
erhält man die übliche Form
sin α 1 n 2
=
sin α 2 n 1
Der Brechungsindex von Luft ist für viele Betrachtungen mit genügender Genauigkeit 1. Bei
genaueren Analysen setzt man n = n0+∆n, wobei ∆n proportional zur Teilchendichte (Teilchenzahl pro Volumeneinheit) ist (s. Kap. H/4). In der Erdatmosphäre nimmt der Brechungsindex also nach außen hin ab und geht gegen 1 im Weltraum. Glassorten haben verschiedene
Werte von n in der Nähe n = 1,5. Wasser hat ε ≈ 80 für Gleichfelder, aber n = 1,33 für Licht.
Der große Unterschied im statischen und dynamischen εr ist eine Folge des Molekülaufbaus
im Wasser.
Beim Übergang vom optisch dichteren Medium mit großem n zum optisch dünneren Medium
Abb. 47: Der Grenzwinkel der Totalreflexion
gibt es einen Grenzwinkel αg für den Einfallswinkel, bei dem der Ausfallswinkel 90° ist.
sin α g n 2
=n
1
1
Abb. 48: Frustrierte Totalreflexion
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Bei noch größerem Einfallswinkel ist Brechung nicht mehr möglich. Alle Energie wird reflektiert. Diesen Vorgang nennt man Totalreflexion. Man wendet ihn zur Herstellung von
Spiegeln an. Bringt man in die Nähe der spiegelnden Fläche von der Seite des dünneren MeAbb. 49: Lichtleiter
diums her eine zweite Grenzfläche, z.B. bei Totalreflexion in einem Prisma ein zweites Prisma, so bemerkt man, daß die Welle durch den Luftspalt hindurchkommt und in die zweite
Glasplatte eintritt. Der Grund liegt daran, daß bei der Totalreflexion eine gewisse elektrische
Energie im Außenraum vorhanden ist, dort aber normalerweise nicht abgestrahlt wird, da der
Poytingvektor in Richtung der Grenzfläche zeigt. Die Abstrahlung wird erst durch die zweite
Glasplatte ermöglicht. Diesen Vorgang nennt man frustrierte Totalreflexion. Man kann sie
z.B. zur Modulation von Licht verwenden. Das Analogon in der Quantenphysik ist der
Tunneleffekt.
In Lichtleitern verhindert man das seitliche Austreten von Licht dadurch, daß man sie mit einem Medium umgibt, das einen kleineren Brechungsindex besitzt als der Lichtleiter selbst.
Ein anderes Beispiel für Totalreflexion ist die Fata Morgana.
Abb. 50: Normale und anomale Dispersion
d) Dispersion bei Brechung
Abb. 51: Durchgang von Licht durch eine planparallele Platte
Da der Brechungsindex von der Wellenlänge abhängt, erhält man für unterschiedliche Wellenlängen unterschiedliche Ablenkungen bei Brechung. Bei Licht ist z.B. normalerweise der
Brechungsindex für lange Wellenlängen kleiner als für kurze. Diesen Tatbestand kann man
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Abb. 52: Ablenkung von Licht durch ein Prisma
mit der klassischen Dispersionstheorie verstehen (s. Kap. H/4). Daher wird rotes Licht weniger abgelenkt als blaues.
Die einfachste Anordnung, um dies sichtbar zu machen, ist das Prisma, d.h. zwei um einen
Winkel geneigte Ebenen. Tritt ein Strahl unter einem Winkel α in eine Glasplatte mit parallelen Oberflächen, so tritt er wegen der Symmetrie des Strahlenganges unter dem gleichen Winkel wieder aus. Er erfährt eine Parallelverschiebung.
Sind beide Oberflächen wie beim Prisma geneigt, so erfährt der Strahl insgesamt eine Ablen-
Abb. 53: Ablenkung durch eine planparallele Platte mit
seitlich veränderlichem Brechungsindex
kung, die mit zunehmender Neigung der beiden Flächen anwächst. Die Ablenkung erfolgt
von der brechenden Kante, d.h. der Schnittlinie der Oberflächen, weg. Im Wellenbild erfährt
eine ebene Welle im Prisma eine Verzögerung, die am breiten Ende des Prismas stärker ist als
an der Spitze. Sie ist nach dem Durchgang durch das Prisma wieder eben, aber gegenüber der
ursprünglichen Richtung geneigt. Beim Durchgang durch ein Prisma wird also rotes Licht
weniger abgelenkt als blaues. Dieses Verhalten wird im Prismenspektrographen zur Frequenzanalyse ausgenutzt. Der Regenbogen entsteht durch Strahlen, die zweimal an einer
Tropfenoberfläche gebrochen und einmal totalreflektiert werden. Wegen der Symmetrie um
die Achse Sonne-Auge ist der Regenbogen rund.
Im inhomogenen Medium wie der Erdatmosphäre erhält man gekrümmte Strahlen. Ändert
sich der Brechungsindex senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, so erhält man ähnlich wie beim
Prisma eine Kippung der Wellenfront und damit eine Strahlablenkung.
3. Polarisation und Doppelbrechung
a) Einleitung
Mit den im vorigen Abschnitt entwickelten Ideen läßt sich die Brechung und Reflexion von
Licht beim Übergang zwischen zwei Medien mit ebener Grenzfläche, soweit man sich für die
Abb. 54: Natürliches Licht ist unpolarisiert
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Richtungen interessiert, beschreiben. Über die Intensitäten des reflektierten und transmittierten Strahles wurden keine Aussagen gemacht. Die Intensitäten hängen von der Polarisation
des einfallenden Lichtes ab. Im folgenden befassen wir uns daher mit dem Einfluß der Polarisation auf Reflexion und Transmission.
Wie wir in Abschn. D/1 gesehen hatten, sind elektromagnetische Wellen bezüglich E und B
Abb. 55: Polarisation bei Streuung an Elektronen
transversal. Dies war keineswegs von Anfang an klar. Transversalwellen erfordern im klassischen Bild starke Scherkräfte, die verdünnte Medien nicht aufbringen. Man vermutete daher,
daß das Medium, in dem sich Lichtwellen ausbreiten und das man sich wie ein verdünntes
Gas vorstellte, nur Longitudinalwellen transportieren könne. Da natürliches Licht aus einem
Gemisch von Wellen mit allen möglichen Polarisationsrichtungen besteht, fällt die Asymmetrie bezüglich der Ausbreitungsrichtung zunächst nicht auf
Es gibt allerdings einige Effekte, die von der Polarisationsrichtung abhängen. Dies sind im
Abb. 56: Abstrahlcharakteristik eines Dipols
wesentlichen Streuung, Brechung und Doppelbrechung. Solche Effekte kann man zur Erzeugung von polarisiertem Licht aus natürlichem ausnutzen.
b) Streuung
Fällt eine elektromagnetische Welle auf freie oder gebundene Elektronen, so werden diese zu
Schwingungen von der Frequenz der Welle angeregt und strahlen ihrerseits als Dipol Wellen
aus. Die größte Amplitude der Streuwelle findet man senkrecht zur Dipolachse, da hier B und
Abb. 57: Polarisation und Einfallsebene
E die korrekte Richtung für eine elektromagnetische Welle besitzen. In Achsenrichtung ist E
longitudinal. Daher findet in dieser Richtung keine Wellenanregung statt.
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- Die Polarisationsrichtung der gestreuten Welle erhält man, indem man die Richtung von E
im Dipol auf eine Ebene senkrecht zum betrachteten Strahl projiziert. Mit dieser Konstruktion
erkennt man aus Abb. 55, daß auch bei Einstrahlung mit natürlichem Licht das Streulicht polarisiert ist. Z.B. ist das Himmelslicht, das durch Streuung von Sonnenlicht an den Molekülen
Abb. 58: Der reflektierte Strahl wird von den Dipolen im
Medium emittiert
der Atmosphäre entsteht, polarisiert. Diese Tatsache kann man ausnutzen, um bei bedecktem
Himmel den Stand der Sonne zu ermitteln, was die Bienen angeblich zur Navigation
ausnutzen.
c) Reflexion
Bei der Reflexion von Licht an einem Isolator wie Glas oder Kunststoff verhält sich ein
Strahl, der parallel zur Einfallsebene polarisiert ist, unterschiedlich zu einem senkrecht dazu
polarisierten. Die Einfallsebene ist dabei durch den Strahl und das Einfallslot definiert.
Um zu ermitteln, was beim Übergang etwa von Luft zu Glas passiert, betrachten wir Abb. 58.
Die reflektierte Welle kann als die von den Glasmolekülen gestreute Welle aufgefaßt werden.
Bei Polarisation parallel zur Einfallsebene gibt es einen Winkel αB, bei dem die nach dem Reflexionsgesetz zu erwartende Welle in Richtung der strahlenden Dipole liegt. Unter diesen
Verhältnissen kann keine reflektierte Welle entstehen. Die Bedingung hierfür lautet α+β =
90°. Nach Snellius gilt außerdem:
sin α B
=n
sin β B
tan αB = n
αB heißt der Brewsterwinkel (David Brewster, 1781 - 1868)
Man kann den Brewsterwinkel ausnutzen, um Reflexe, z.B. an Laserentladungsröhren oder
Lichtsümpfen zu vermeiden. Durch Hintereinanderschaltung von vielen im Brewsterwinkel
angeordneten Glasplatten kann man auch ein transmittierendes Polarisationsfilter herstellen.
Der Vorteil gegenüber anderen Techniken ist der einfache und robuste Aufbau.
Das Reflexions- und Transmissionsverhalten einer elektromagnetischen Welle an der Grenzfläche zweier Medien mit unterschiedlichen εr kann mit der elektromagnetischen Theorie
Abb. 59: Reflexionskoeffizient für unterschiedliche Polarisationsrichtungen
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berechnet werden. Dafür setzt man für den einfallenden (Index e), reflektierten (Index r) und
transmittierten (Index t) Anteil ebene Wellen voraus, die an der Grenzfläche den Stetigkeitsbedingungen genügen.
E //1 = E //2 , ε 1 E ⊥1 = ε 2 E ⊥2
(Der Index bzw. ⊥ bezieht sich auf die Einfallsebene, 1 und 2 auf die beiden Medien.) Man
erhält die sogenannten Fresnelschen Formeln (Augustin Jean Fresnel, 1788 - 1827)
2 cos α sin β
E //r tan (α − β) E //t
=
,
=
E //e tan (α + β) E //e sin (α + β)cos (α − β)
E ⊥r sin (α − β) E ⊥t 2 cos α sin β
=
,
=
E ⊥e sin (α + β) E ⊥e
sin (α + β)
Das Verhältnis der Intensitäten r erhält man durch Quadrierung.
In Abb. 59 ist der Reflexionskoeffizient für Polarisation senkrecht und parallel zur Einfallsebene dargestellt. Für α = 0 und α = 90° erhält man für beide Fälle den gleichen Wert. Aus
den Fresnelschen Formeln leitetman für α = 0 ab:
E ⊥r E //r α − β α/β − 1 n 2 /n 1 − 1 n 2 − n 1
=
=
=
=
=
E ⊥e E //e α + β α/β + 1 n 2 /n 1 + 1 n 2 + n 1
Der Reflexionskoeffizient ist dann
n − n1 
r(0) =  2
n2 + n1 
2
Für Luft-Glas-Übergänge erhält man mit n = 1,5 r(0) = 0,04. Der Brewsterwinkel liegt vor,
wenn bei E''r der Nenner unendlich wird. Dies ist der Fall für α + β = 90°, wie aus der anschaulichen Betrachtung ermittelt wurde.
Abb. 60: optisch positive und negative
Kristalle
d) Doppelbrechung
Durchdringt ein Lichtstrahl bestimmte Kristalle, z.B. Kalzit (CaCO3) senkrecht zu einer seiner Kristallflächen, so wird er in zwei Strahlen aufgespalten, die senkrecht zueinander polarisiert sind. Einer der Strahlen befolgt das Brechungsgesetz. Man nennt ihn den ordentlichen
Strahl, der andere befolgt es nicht. Er heißt außerordentlich. Man kann die neue Wellenfront
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Abb. 61: Einstrahlung senkrecht zur optischen Achse
des außerordentlichen Strahls nach einer Zeit ∆t korrekt konstruieren, wenn man Ellipsoide
als Elementarwellen annimmt. Der ordentliche Strahl hat wie im isotropen Medium Kugeln
als Elementarwellen. Zeichnet man diese Elementarwellen für eine Zeiteinheit, so erhält man
Abb. 62: Erzeugung von zirkularpolarisiertem Licht
1 oder 2 Richtungen, in denen sich Kugel und Ellipsoid schneiden. In diesen Richtungen ist
also die Geschwindigkeit von ordentlichem und außerordentlichem Strahl gleich. Man nennt
sie optische Achsen. Es gibt also Kristalle mit einer oder zwei optischen Achsen. Wir betrachten im folgenden einachsige Kristalle.
Die Achse ist hier zugleich die Symmetrieachse. Die Ellipsoide sind axialsymmetrisch. Wenn
vo>ve nennt man den Kristall optisch positiv, wenn vo<ve nennt man den Kristall optisch negativ. Der Hauptschnitt ist die Ebene, die den Strahl und die optische Achse enthält. Der ordentliche Strahl ist senkrecht zum Hauptschnitt polarisiert, der außerordentliche parallel zum
Hauptschnitt. Strahlt man senkrecht zur optischen Achse und senkrecht zur Oberfläche ein, so
gehen beide Strahlen ungebrochen durch die Oberfläche.
Abb. 63: Einstrahlung parallel zur optischen Achse
Sie laufen allerdings mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Werden sie mit gleicher Phase
eingestrahlt, was man am besten durch Aufspaltung eines Strahls in zwei senkrecht zueinanAbb. 64: Drehung der Polarisationsebene
der polarisierte erreicht, so haben sie nach Durchlaufen einer Strecke im Kristall einen Phasenunterschied. Bei einem Phasenunterschied von 90° kann man auf diese Weise zirkularpolarisiertes Licht herstellen oder analysieren. Einen solchen Kristall nennt man λ/4-Plättchen.
Im Eingang sei
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Abb. 65: Lyot Filter
E x = E 0 sin ωt
E y = E 0 sin ωt
Dann ist am Ende des Stabes:
E x = E 0 sin ωt
E y = E 0 cos ωt
Der E-Vektor beschreibt einen Kreis.
Bei Einstrahlung parallel zur optischen Achse (senkrecht zur Oberfläche) sind beide Strahlen
Abb. 66: Faradayrotator als optisches Ventil
gleich schnell. Die Doppelbrechung macht sich nicht bemerkbar.
Bei einigen Stoffen hat man dann eine Drehung der Polarisationsebene. Außer bei Kristallen
wie Quarz tritt dies bei einigen Lösungen wie Zucker, Terpentin auf. Rechtsdrehend nennt
man einen Stoff, bei dem sich für einen Beobachter, der entgegen Strahlrichtung sieht, die Polarisationsebene im Uhrzeigersinn dreht. Der Drehwinkel ist der Länge des durchstrahlten
Mediums bei Lösungen außerdem der Konzentration proportional α = K(λ)l ⋅ n.
Die Tatsache, daß die spezifische Rotation K(λ) von der Wellenlänge abhängt, nennt man
Rotationsdispersion. Man kann sie zur Konstruktion eines Frequenzfilters ausnutzen
Abb. 67: Nicolsches Prisma
(s.Abb.65). Ein solches Lyot-Filter ist für hohe Belastungen geeignet. (B. Lyot, 1897 - 1952)
Bei einigen Stoffen kann man durch Anlegen einer elektrischen Spannung eine künstliche
Doppelbrechung erzeugen. Dazu gehören Nitrobenzol und KDP. Solche Medien eignen sich
zum Bau optischer Schalter, d.h. um Licht definiert durchzulassen oder zu sperren. Durch
Anlegen eines Magnetfeldes, z.B. an Glas, erzeugt man eine Drehung der Polarisationsebene,
d.h. künstliche optische Aktivität. Dieser sogenannte Faraday-Effekt dient als optisches VenAbb. 68: Glan-Thompson-Prisma
til, d.h. um nur eine Laufrichtung von Licht zu gestatten. (Michael Faraday, 1791 - 1867)
Man dreht die Polarisationsebene um 45° und stellt zwei Polarisatoren so auf, daß sie freien
Durchgang des Lichtes gestatten. Bei umgekehrter Laufrichtung dreht sich die Polarisationsebene mit gleicher Schraubenrichtung bezüglich k. Dadurch trifft die Welle mit 90° gegenüber dem am Anfang aufgestellten Polarisator verdrehter Polarisationsrichtung auf und wird
nicht durchgelassen.
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Doppelbrechung kann man ausnutzen, um aus natürlichem Licht linear polarisiertes herzustellen. Das klassische Instrument dazu ist das Nicolsche Prisma (Abb.67) (William Nicol,
1768 - 1851). Man schneidet einen Kalzit-Kristall in einem bestimmten Schnitt in zwei Hälften, die man mit einem Material von kleinerem Brechungsindex als Kalzit zusammenklebt
(Kanadabalsam). Die Winkel richtet man so ein, daß einer der Strahlen an der Klebstelle totalreflektiert wird.
Eine etwas bequemer zu handhabende Abart ist das Glan-Thompson-Prisma (Paul Glan,
1846 - 1898, Sylvanus Phillips Thompson, 1851-1916) (Abb. 68).