Ein Blick in die nichtkommutative Welt

Ein Blick in die nichtkommutative Welt
Hans Maassen, Radboud-Universität Nimwegen, Universität von
Amsterdam
Darmstadt, 26. April, 2013.
Gratuliere, Burkhard!
First Conference in Quantum Probability, 1982
First Conference in Quantum Probability, 1982
Villa Mondragone, Monteporzio Catone, Italien.
Die nichtkommutative Welt war noch jung
Die nichtkommutative Welt war noch jung
Die nichtkommutative Welt war noch jung
Die nichtkommutative Welt war noch jung
Prof. Dr. Alain Connes.
Und wir auch
Und wir auch
WIESO “NICHTKOMMUTATIV”?
WIESO “NICHTKOMMUTATIV”?
Eine Algebra A wird kommutativ genannt wenn für alle
a, b ∈ A gilt:
ab = ba .
WIESO “NICHTKOMMUTATIV”?
Eine Algebra A wird kommutativ genannt wenn für alle
a, b ∈ A gilt:
ab = ba .
Aber was sind denn
WIESO “NICHTKOMMUTATIV”?
Eine Algebra A wird kommutativ genannt wenn für alle
a, b ∈ A gilt:
ab = ba .
Aber was sind denn
I
nichtkommutative Geometrie?
WIESO “NICHTKOMMUTATIV”?
Eine Algebra A wird kommutativ genannt wenn für alle
a, b ∈ A gilt:
ab = ba .
Aber was sind denn
I
nichtkommutative Geometrie?
I
nichtkommutative Gruppentheorie (“Quantengruppen”?)
WIESO “NICHTKOMMUTATIV”?
Eine Algebra A wird kommutativ genannt wenn für alle
a, b ∈ A gilt:
ab = ba .
Aber was sind denn
I
nichtkommutative Geometrie?
I
nichtkommutative Gruppentheorie (“Quantengruppen”?)
I
nichtkommutative Integration?
WIESO “NICHTKOMMUTATIV”?
Eine Algebra A wird kommutativ genannt wenn für alle
a, b ∈ A gilt:
ab = ba .
Aber was sind denn
I
nichtkommutative Geometrie?
I
nichtkommutative Gruppentheorie (“Quantengruppen”?)
I
nichtkommutative Integration?
I
nichtkommutative Wahrscheinlichkeitstheorie?
Das nichtkommutativ verallgemeinern von Mathematischen
Objekten
Das nichtkommutativ verallgemeinern von Mathematischen
Objekten
Das nichtkommutativ verallgemeinern von Mathematischen
Objekten
A
Nehme ein mathematisches Objekt.
Das nichtkommutativ verallgemeinern von Mathematischen
Objekten
A
Nehme ein mathematisches Objekt.
B
Bilde eine Algebraische Struktur geeigneter
Funktionen auf dem Objekt.
Das nichtkommutativ verallgemeinern von Mathematischen
Objekten
A
Nehme ein mathematisches Objekt.
B
Bilde eine Algebraische Struktur geeigneter
Funktionen auf dem Objekt.
C
Karakterisiere diese mit Hilfe von Axiomata.
Das nichtkommutativ verallgemeinern von Mathematischen
Objekten
A
Nehme ein mathematisches Objekt.
B
Bilde eine Algebraische Struktur geeigneter
Funktionen auf dem Objekt.
C
Karakterisiere diese mit Hilfe von Axiomata.
Eines davon ist die Kommutativität.
Das nichtkommutativ verallgemeinern von Mathematischen
Objekten
A
Nehme ein mathematisches Objekt.
B
Bilde eine Algebraische Struktur geeigneter
Funktionen auf dem Objekt.
C
Karakterisiere diese mit Hilfe von Axiomata.
Eines davon ist die Kommutativität.
D
Lasse das Kommutativitätsaxiom fallen.
Hauptthema: Wahrscheinlichkeit
Hauptthema: Wahrscheinlichkeit
Am besten symbolisiert von Würfeln und Münzen.
Hauptthema: Wahrscheinlichkeit
Am besten symbolisiert von Würfeln und Münzen.
Übersicht
Übersicht
Übersicht
I
Definition und Konstruktion des Würfels;
Übersicht
I
Definition und Konstruktion des Würfels;
I
Konjugierte Würfel;
Übersicht
I
Definition und Konstruktion des Würfels;
I
Konjugierte Würfel;
I
Verschränkte Würfel und Münzen;
Übersicht
I
Definition und Konstruktion des Würfels;
I
Konjugierte Würfel;
I
Verschränkte Würfel und Münzen;
I
Garantierte Würfel und Münzen;
Übersicht
I
Definition und Konstruktion des Würfels;
I
Konjugierte Würfel;
I
Verschränkte Würfel und Münzen;
I
Garantierte Würfel und Münzen;
I
Würfelspiele;
Übersicht
I
Definition und Konstruktion des Würfels;
I
Konjugierte Würfel;
I
Verschränkte Würfel und Münzen;
I
Garantierte Würfel und Münzen;
I
Würfelspiele;
I
Unsere Welt.
Der Quantenwürfel
Der Quantenwürfel
A Das Objekt:
Der Quantenwürfel
A Das Objekt:
ein Würfel.
Der Quantenwürfel
A Das Objekt:
Ω
=
ein Würfel.
{1, 2, 3, 4, 5, 6} ;
Der Quantenwürfel
A Das Objekt:
ein Würfel.
Ω
=
{1, 2, 3, 4, 5, 6} ;
π
=
(π1 , π2 , π3 , π4 , π5 , π6 ) ,
πj ≥ 0 ,
6
X
j=1
π(j) = 1 ;
Der Quantenwürfel
A Das Objekt:
ein Würfel.
Ω
=
{1, 2, 3, 4, 5, 6} ;
π
=
(π1 , π2 , π3 , π4 , π5 , π6 ) ,
πj ≥ 0 ,
6
X
j=1
π
=
( 16 , 61 , 16 , 16 , 16 , 16 )
Fairer Würfel;
π(j) = 1 ;
Der Quantenwürfel
A Das Objekt:
ein Würfel.
Ω
=
{1, 2, 3, 4, 5, 6} ;
π
=
(π1 , π2 , π3 , π4 , π5 , π6 ) ,
πj ≥ 0 ,
6
X
j=1
π
=
B Die Algebra:
( 16 , 61 , 16 , 16 , 16 , 16 )
Fairer Würfel;
π(j) = 1 ;
Der Quantenwürfel
A Das Objekt:
ein Würfel.
Ω
=
{1, 2, 3, 4, 5, 6} ;
π
=
(π1 , π2 , π3 , π4 , π5 , π6 ) ,
πj ≥ 0 ,
6
X
j=1
π
=
B Die Algebra:
( 16 , 61 , 16 , 16 , 16 , 16 )
Fairer Würfel;
A = {Funktionen Ω → C} = C6 .
π(j) = 1 ;
Der Quantenwürfel
A Das Objekt:
ein Würfel.
Ω
=
{1, 2, 3, 4, 5, 6} ;
π
=
(π1 , π2 , π3 , π4 , π5 , π6 ) ,
πj ≥ 0 ,
6
X
j=1
π
=
B Die Algebra:
( 16 , 61 , 16 , 16 , 16 , 16 )
Fairer Würfel;
A = {Funktionen Ω → C} = C6 .
6
X
π(j)f (j).
ϕ : f 7→
j=1
π(j) = 1 ;
Der Quantenwürfel
A Das Objekt:
ein Würfel.
Ω
=
{1, 2, 3, 4, 5, 6} ;
π
=
(π1 , π2 , π3 , π4 , π5 , π6 ) ,
πj ≥ 0 ,
6
X
j=1
π
=
B Die Algebra:
( 16 , 61 , 16 , 16 , 16 , 16 )
Fairer Würfel;
A = {Funktionen Ω → C} = C6 .
6
X
π(j)f (j).
ϕ : f 7→
j=1
C Die Karakterisierung:
π(j) = 1 ;
Der Quantenwürfel
A Das Objekt:
ein Würfel.
Ω
=
{1, 2, 3, 4, 5, 6} ;
π
=
(π1 , π2 , π3 , π4 , π5 , π6 ) ,
πj ≥ 0 ,
6
X
π(j) = 1 ;
j=1
π
=
B Die Algebra:
( 16 , 61 , 16 , 16 , 16 , 16 )
Fairer Würfel;
A = {Funktionen Ω → C} = C6 .
6
X
π(j)f (j).
ϕ : f 7→
j=1
C Die Karakterisierung: Ein (algebraischer) Würfel ist eine abelsche
*-algebra A mit maximal 6 gegenseitig orthogonalen Projektionen, und
mit einem normierten positiven linearen Funktional ϕ.
Der Quantenwürfel
A Das Objekt:
ein Würfel.
Ω
=
{1, 2, 3, 4, 5, 6} ;
π
=
(π1 , π2 , π3 , π4 , π5 , π6 ) ,
πj ≥ 0 ,
6
X
π(j) = 1 ;
j=1
π
=
B Die Algebra:
( 16 , 61 , 16 , 16 , 16 , 16 )
Fairer Würfel;
A = {Funktionen Ω → C} = C6 .
6
X
π(j)f (j).
ϕ : f 7→
j=1
C Die Karakterisierung: Ein (algebraischer) Würfel ist eine abelsche
*-algebra A mit maximal 6 gegenseitig orthogonalen Projektionen, und
mit einem normierten positiven linearen Funktional ϕ.
D Die Verallgemeinerung:
Der Quantenwürfel
A Das Objekt:
ein Würfel.
Ω
=
{1, 2, 3, 4, 5, 6} ;
π
=
(π1 , π2 , π3 , π4 , π5 , π6 ) ,
πj ≥ 0 ,
6
X
π(j) = 1 ;
j=1
π
=
B Die Algebra:
( 16 , 61 , 16 , 16 , 16 , 16 )
Fairer Würfel;
A = {Funktionen Ω → C} = C6 .
6
X
π(j)f (j).
ϕ : f 7→
j=1
C Die Karakterisierung: Ein (algebraischer) Würfel ist eine abelsche
*-algebra A mit maximal 6 gegenseitig orthogonalen Projektionen, und
mit einem normierten positiven linearen Funktional ϕ.
D Die Verallgemeinerung:
Ein Quantenwürfel ist ein Paar (A, ϕ), wo
Der Quantenwürfel
A Das Objekt:
ein Würfel.
Ω
=
{1, 2, 3, 4, 5, 6} ;
π
=
(π1 , π2 , π3 , π4 , π5 , π6 ) ,
πj ≥ 0 ,
6
X
π(j) = 1 ;
j=1
π
=
B Die Algebra:
( 16 , 61 , 16 , 16 , 16 , 16 )
Fairer Würfel;
A = {Funktionen Ω → C} = C6 .
6
X
π(j)f (j).
ϕ : f 7→
j=1
C Die Karakterisierung: Ein (algebraischer) Würfel ist eine abelsche
*-algebra A mit maximal 6 gegenseitig orthogonalen Projektionen, und
mit einem normierten positiven linearen Funktional ϕ.
D Die Verallgemeinerung:
Ein Quantenwürfel ist ein Paar (A, ϕ), wo
A eine allgemeine *-algebra mit maximal 6 gegenseitig orthogonalen
Projektionen, und
Der Quantenwürfel
A Das Objekt:
ein Würfel.
Ω
=
{1, 2, 3, 4, 5, 6} ;
π
=
(π1 , π2 , π3 , π4 , π5 , π6 ) ,
πj ≥ 0 ,
6
X
π(j) = 1 ;
j=1
π
=
B Die Algebra:
( 16 , 61 , 16 , 16 , 16 , 16 )
Fairer Würfel;
A = {Funktionen Ω → C} = C6 .
6
X
π(j)f (j).
ϕ : f 7→
j=1
C Die Karakterisierung: Ein (algebraischer) Würfel ist eine abelsche
*-algebra A mit maximal 6 gegenseitig orthogonalen Projektionen, und
mit einem normierten positiven linearen Funktional ϕ.
D Die Verallgemeinerung:
Ein Quantenwürfel ist ein Paar (A, ϕ), wo
A eine allgemeine *-algebra mit maximal 6 gegenseitig orthogonalen
Projektionen, und
ϕ ein positives lineares Funktional ϕ : A → C mit ϕ(1l) = 1.
Der Quantenwürfel
A Das Objekt:
ein Würfel.
Ω
=
{1, 2, 3, 4, 5, 6} ;
π
=
(π1 , π2 , π3 , π4 , π5 , π6 ) ,
πj ≥ 0 ,
6
X
π(j) = 1 ;
j=1
π
=
B Die Algebra:
( 16 , 61 , 16 , 16 , 16 , 16 )
Fairer Würfel;
A = {Funktionen Ω → C} = C6 .
6
X
π(j)f (j).
ϕ : f 7→
j=1
C Die Karakterisierung: Ein (algebraischer) Würfel ist eine abelsche
*-algebra A mit maximal 6 gegenseitig orthogonalen Projektionen, und
mit einem normierten positiven linearen Funktional ϕ.
D Die Verallgemeinerung:
Ein Quantenwürfel ist ein Paar (A, ϕ), wo
A eine allgemeine *-algebra mit maximal 6 gegenseitig orthogonalen
Projektionen, und
ϕ ein positives lineares Funktional ϕ : A → C mit ϕ(1l) = 1.
Konstruktion des Würfels
Konstruktion des Würfels
In der Mathematik ist es, um eine Verallgemeinerung zu konstruieren, oft
nützlich zwei Schritte hochzugehen.
Konstruktion des Würfels
In der Mathematik ist es, um eine Verallgemeinerung zu konstruieren, oft
nützlich zwei Schritte hochzugehen.
Auf der zweiten Stufe findet man oft das alte Objekt zurück, und noch mehr.
Konstruktion des Würfels
In der Mathematik ist es, um eine Verallgemeinerung zu konstruieren, oft
nützlich zwei Schritte hochzugehen.
Auf der zweiten Stufe findet man oft das alte Objekt zurück, und noch mehr.
Grundstufe: Ω und π.
Konstruktion des Würfels
In der Mathematik ist es, um eine Verallgemeinerung zu konstruieren, oft
nützlich zwei Schritte hochzugehen.
Auf der zweiten Stufe findet man oft das alte Objekt zurück, und noch mehr.
Grundstufe: Ω und π.
Erste Stufe: Der Hilbertraum H von Funktionen auf Ω: H = C6 .
Konstruktion des Würfels
In der Mathematik ist es, um eine Verallgemeinerung zu konstruieren, oft
nützlich zwei Schritte hochzugehen.
Auf der zweiten Stufe findet man oft das alte Objekt zurück, und noch mehr.
Grundstufe: Ω und π.
Erste Stufe: Der Hilbertraum H von Funktionen auf Ω: H = C6 .
(Teilmengen von Ω bekommen jetzt Unterräume.)
Konstruktion des Würfels
In der Mathematik ist es, um eine Verallgemeinerung zu konstruieren, oft
nützlich zwei Schritte hochzugehen.
Auf der zweiten Stufe findet man oft das alte Objekt zurück, und noch mehr.
Grundstufe: Ω und π.
Erste Stufe: Der Hilbertraum H von Funktionen auf Ω: H = C6 .
(Teilmengen von Ω bekommen jetzt Unterräume.)
Zweite Stufe: Die Algebra
B = B(H) ∼ M6
von allen Operatoren auf H.
Konstruktion des Würfels
In der Mathematik ist es, um eine Verallgemeinerung zu konstruieren, oft
nützlich zwei Schritte hochzugehen.
Auf der zweiten Stufe findet man oft das alte Objekt zurück, und noch mehr.
Grundstufe: Ω und π.
Erste Stufe: Der Hilbertraum H von Funktionen auf Ω: H = C6 .
(Teilmengen von Ω bekommen jetzt Unterräume.)
Zweite Stufe: Die Algebra
B = B(H) ∼ M6
von allen Operatoren auf H.
Teilmengen von Ω sind jetzt Projektionen, also Elemente von A!
Konstruktion des Würfels
In der Mathematik ist es, um eine Verallgemeinerung zu konstruieren, oft
nützlich zwei Schritte hochzugehen.
Auf der zweiten Stufe findet man oft das alte Objekt zurück, und noch mehr.
Grundstufe: Ω und π.
Erste Stufe: Der Hilbertraum H von Funktionen auf Ω: H = C6 .
(Teilmengen von Ω bekommen jetzt Unterräume.)
Zweite Stufe: Die Algebra
B = B(H) ∼ M6
von allen Operatoren auf H.
Teilmengen von Ω sind jetzt Projektionen, also Elemente von A!
Elemente von Ω sind minimale Projektionen geworden.
Konstruktion des Würfels
In der Mathematik ist es, um eine Verallgemeinerung zu konstruieren, oft
nützlich zwei Schritte hochzugehen.
Auf der zweiten Stufe findet man oft das alte Objekt zurück, und noch mehr.
Grundstufe: Ω und π.
Erste Stufe: Der Hilbertraum H von Funktionen auf Ω: H = C6 .
(Teilmengen von Ω bekommen jetzt Unterräume.)
Zweite Stufe: Die Algebra
B = B(H) ∼ M6
von allen Operatoren auf H.
Teilmengen von Ω sind jetzt Projektionen, also Elemente von A!
Elemente von Ω sind minimale Projektionen geworden.
Die abelsche Algebra A ist auch noch da: sie ist aufgebaut aus den diagonalen
Matrizen.
Interpretation
Interpretation
Die Teilmengen A ⊂ Ω gehen unter Algebraisierung über in Projektionen
1A ∈ A.
Interpretation
Die Teilmengen A ⊂ Ω gehen unter Algebraisierung über in Projektionen
1A ∈ A.
Allgemeiner nennen wir alle Projektionen in A: Ereignisse.
Interpretation
Die Teilmengen A ⊂ Ω gehen unter Algebraisierung über in Projektionen
1A ∈ A.
Allgemeiner nennen wir alle Projektionen in A: Ereignisse.
Wenn
p = [ich werfe eine gerade Zahl von Augen] ,
Interpretation
Die Teilmengen A ⊂ Ω gehen unter Algebraisierung über in Projektionen
1A ∈ A.
Allgemeiner nennen wir alle Projektionen in A: Ereignisse.
Wenn
p = [ich werfe eine gerade Zahl von Augen] ,
q = [ich werfe mehr als 3 Augen] ,
Interpretation
Die Teilmengen A ⊂ Ω gehen unter Algebraisierung über in Projektionen
1A ∈ A.
Allgemeiner nennen wir alle Projektionen in A: Ereignisse.
Wenn
p = [ich werfe eine gerade Zahl von Augen] ,
q = [ich werfe mehr als 3 Augen] ,
dann ist p = 1{2,4,6} und q = 1{4,5,6} . Somit ist
pq = qp = 1{4,6} = [ich werfe 4 oder 6 Augen] .
Interpretation
Die Teilmengen A ⊂ Ω gehen unter Algebraisierung über in Projektionen
1A ∈ A.
Allgemeiner nennen wir alle Projektionen in A: Ereignisse.
Wenn
p = [ich werfe eine gerade Zahl von Augen] ,
q = [ich werfe mehr als 3 Augen] ,
dann ist p = 1{2,4,6} und q = 1{4,5,6} . Somit ist
pq = qp = 1{4,6} = [ich werfe 4 oder 6 Augen] .
Wenn aber p und q nicht vertauschende Projektionen sind, dann ist
Interpretation
Die Teilmengen A ⊂ Ω gehen unter Algebraisierung über in Projektionen
1A ∈ A.
Allgemeiner nennen wir alle Projektionen in A: Ereignisse.
Wenn
p = [ich werfe eine gerade Zahl von Augen] ,
q = [ich werfe mehr als 3 Augen] ,
dann ist p = 1{2,4,6} und q = 1{4,5,6} . Somit ist
pq = qp = 1{4,6} = [ich werfe 4 oder 6 Augen] .
Wenn aber p und q nicht vertauschende Projektionen sind, dann ist
(pq)∗ = q ∗ p ∗ = qp 6= pq ,
Interpretation
Die Teilmengen A ⊂ Ω gehen unter Algebraisierung über in Projektionen
1A ∈ A.
Allgemeiner nennen wir alle Projektionen in A: Ereignisse.
Wenn
p = [ich werfe eine gerade Zahl von Augen] ,
q = [ich werfe mehr als 3 Augen] ,
dann ist p = 1{2,4,6} und q = 1{4,5,6} . Somit ist
pq = qp = 1{4,6} = [ich werfe 4 oder 6 Augen] .
Wenn aber p und q nicht vertauschende Projektionen sind, dann ist
(pq)∗ = q ∗ p ∗ = qp 6= pq ,
also pq ist keine Projektion und stellt kein Ereignis dar.
Erzeuger einer Würfel-Algebra
Erzeuger einer Würfel-Algebra
Man kann eine abelsche Würfel-Algebra eventuell mit einem einzigen Erzeuger
andeuten.
Erzeuger einer Würfel-Algebra
Man kann eine abelsche Würfel-Algebra eventuell mit einem einzigen Erzeuger
andeuten.
So einen Erzeuger nennen wir dann auch mal einen Würfel.
Erzeuger einer Würfel-Algebra
Man kann eine abelsche Würfel-Algebra eventuell mit einem einzigen Erzeuger
andeuten.
So einen Erzeuger nennen wir dann auch mal einen Würfel.
Definition
Ein Element w einer *-Algebra A nennen wir einen Würfel falls
w ∗ w = ww ∗ = w 6 = 1l .
Erzeuger einer Würfel-Algebra
Man kann eine abelsche Würfel-Algebra eventuell mit einem einzigen Erzeuger
andeuten.
So einen Erzeuger nennen wir dann auch mal einen Würfel.
Definition
Ein Element w einer *-Algebra A nennen wir einen Würfel falls
w ∗ w = ww ∗ = w 6 = 1l .
Zum Beispiel, wenn X : Ω → R die Anzahl der Augen andeutet, so kann man
w := ω X wählen, wo
√
√
iπ
ω := 3 −1 = (e iπ )1/3 := e 3 = 21 (1 + i 3) .
Erzeuger einer Würfel-Algebra
Man kann eine abelsche Würfel-Algebra eventuell mit einem einzigen Erzeuger
andeuten.
So einen Erzeuger nennen wir dann auch mal einen Würfel.
Definition
Ein Element w einer *-Algebra A nennen wir einen Würfel falls
w ∗ w = ww ∗ = w 6 = 1l .
Zum Beispiel, wenn X : Ω → R die Anzahl der Augen andeutet, so kann man
w := ω X wählen, wo
√
√
iπ
ω := 3 −1 = (e iπ )1/3 := e 3 = 21 (1 + i 3) .
Unser ursprüngliche Würfel enthält dann in M6 die Form
Erzeuger einer Würfel-Algebra
Man kann eine abelsche Würfel-Algebra eventuell mit einem einzigen Erzeuger
andeuten.
So einen Erzeuger nennen wir dann auch mal einen Würfel.
Definition
Ein Element w einer *-Algebra A nennen wir einen Würfel falls
w ∗ w = ww ∗ = w 6 = 1l .
Zum Beispiel, wenn X : Ω → R die Anzahl der Augen andeutet, so kann man
w := ω X wählen, wo
√
√
iπ
ω := 3 −1 = (e iπ )1/3 := e 3 = 21 (1 + i 3) .
Unser ursprüngliche Würfel enthält dann in M6 die Form


1 0 0
0
0
0
0 ω 0
0
0
0 


0 0 ω 2
0
0
0 
 .
w =
0 0 0 −1
0
0 


0 0 0
0
−ω
0 
0 0 0
0
0
−ω 2
Die Münze
Die Münze
Definition
Die Münze
Definition
Ein Element m einer *-Algebra A nennen wir eine Münze falls
Die Münze
Definition
Ein Element m einer *-Algebra A nennen wir eine Münze falls
m∗ m = mm∗ = m2 = 1l .
Die Münze
Definition
Ein Element m einer *-Algebra A nennen wir eine Münze falls
m∗ m = mm∗ = m2 = 1l .
Die Münze
Definition
Ein Element m einer *-Algebra A nennen wir eine Münze falls
m∗ m = mm∗ = m2 = 1l .
Bemerkungen:
I
Jede Münze ist ein (entarteter) Würfel, denn
m2 = 1l =⇒ m6 = 1l3 = 1l .
I
Wenn w ein Würfel ist, dann ist w 3 eine Münze.
Der konjugierte Würfel
Der konjugierte Würfel
In dem Quantenwürfel M6 taucht auf natürlicher Weise ein zweiter, “kanonisch
konjugierter” Würfel auf:
Der konjugierte Würfel
In dem Quantenwürfel M6 taucht
konjugierter” Würfel auf:

0
1

0
b := 
w
0

0
0
auf natürlicher Weise ein zweiter, “kanonisch
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1

1
0

0
 .
0

0
0
Der konjugierte Würfel
In dem Quantenwürfel M6 taucht
konjugierter” Würfel auf:

0
1

0
b := 
w
0

0
0
Lemma
b ist ein Würfel.
w
auf natürlicher Weise ein zweiter, “kanonisch
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1

1
0

0
 .
0

0
0
Der konjugierte Würfel
In dem Quantenwürfel M6 taucht
konjugierter” Würfel auf:

0
1

0
b := 
w
0

0
0
auf natürlicher Weise ein zweiter, “kanonisch
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
Lemma
b ist ein Würfel.
w
Beweis.
b unitär ist, und daß w
b 6 = 1l.
Es ist klar daß w
0
0
0
0
0
1

1
0

0
 .
0

0
0
Der konjugierte Würfel
In dem Quantenwürfel M6 taucht
konjugierter” Würfel auf:

0
1

0
b := 
w
0

0
0
auf natürlicher Weise ein zweiter, “kanonisch
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
Lemma
b ist ein Würfel.
w
Beweis.
b unitär ist, und daß w
b 6 = 1l.
Es ist klar daß w
0
0
0
0
0
1

1
0

0
 .
0

0
0
b
Beziehungen zwischen w und w
b
Beziehungen zwischen w und w
Wir haben
b = ωw
bw .
ww
b
Beziehungen zwischen w und w
Wir haben
b = ωw
bw .
ww
(Beziehung zum Nichtkommutativen Torus!)
b
Beziehungen zwischen w und w
Wir haben
b = ωw
bw .
ww
(Beziehung zum Nichtkommutativen Torus!)
b erzeugte Algebra Ab besitzt auch 6 minimale Projektionen:
Die von w
bj :=
p
5
1 X −jk k
b ,
ω w
6
k=0
(j = 0, . . . , 5).
b
Beziehungen zwischen w und w
Wir haben
b = ωw
bw .
ww
(Beziehung zum Nichtkommutativen Torus!)
b erzeugte Algebra Ab besitzt auch 6 minimale Projektionen:
Die von w
bj :=
p
5
1 X −jk k
b ,
ω w
6
k=0
Schreiben wir πj := ϕ(pj ) und π
bj := ϕ(b
pj ).
(j = 0, . . . , 5).
b
Beziehungen zwischen w und w
Wir haben
b = ωw
bw .
ww
(Beziehung zum Nichtkommutativen Torus!)
b erzeugte Algebra Ab besitzt auch 6 minimale Projektionen:
Die von w
bj :=
p
5
1 X −jk k
b ,
ω w
6
k=0
Schreiben wir πj := ϕ(pj ) und π
bj := ϕ(b
pj ).
Satz (H.M., Jos Uffink, 1988)
(j = 0, . . . , 5).
b
Beziehungen zwischen w und w
Wir haben
b = ωw
bw .
ww
(Beziehung zum Nichtkommutativen Torus!)
b erzeugte Algebra Ab besitzt auch 6 minimale Projektionen:
Die von w
bj :=
p
5
1 X −jk k
b ,
ω w
6
(j = 0, . . . , 5).
k=0
Schreiben wir πj := ϕ(pj ) und π
bj := ϕ(b
pj ).
Satz (H.M., Jos Uffink, 1988)
Für jedes positive lineare Funktional ϕ auf M6 gilt:
b
Beziehungen zwischen w und w
Wir haben
b = ωw
bw .
ww
(Beziehung zum Nichtkommutativen Torus!)
b erzeugte Algebra Ab besitzt auch 6 minimale Projektionen:
Die von w
bj :=
p
5
1 X −jk k
b ,
ω w
6
(j = 0, . . . , 5).
k=0
Schreiben wir πj := ϕ(pj ) und π
bj := ϕ(b
pj ).
Satz (H.M., Jos Uffink, 1988)
Für jedes positive lineare Funktional ϕ auf M6 gilt:
6
X
j=1
6
πj log
X
1
1
π
bj log
+
πj
π
b
j
j=1
≥
log 6.
b
Beziehungen zwischen w und w
Wir haben
b = ωw
bw .
ww
(Beziehung zum Nichtkommutativen Torus!)
b erzeugte Algebra Ab besitzt auch 6 minimale Projektionen:
Die von w
bj :=
p
5
1 X −jk k
b ,
ω w
6
(j = 0, . . . , 5).
k=0
Schreiben wir πj := ϕ(pj ) und π
bj := ϕ(b
pj ).
Satz (H.M., Jos Uffink, 1988)
Für jedes positive lineare Funktional ϕ auf M6 gilt:
6
X
j=1
Beweis.
6
πj log
X
1
1
π
bj log
+
πj
π
b
j
j=1
≥
log 6.
b
Beziehungen zwischen w und w
Wir haben
b = ωw
bw .
ww
(Beziehung zum Nichtkommutativen Torus!)
b erzeugte Algebra Ab besitzt auch 6 minimale Projektionen:
Die von w
bj :=
p
5
1 X −jk k
b ,
ω w
6
(j = 0, . . . , 5).
k=0
Schreiben wir πj := ϕ(pj ) und π
bj := ϕ(b
pj ).
Satz (H.M., Jos Uffink, 1988)
Für jedes positive lineare Funktional ϕ auf M6 gilt:
6
X
j=1
6
πj log
X
1
1
π
bj log
+
πj
π
b
j
j=1
Beweis.
1988: M.+U. mit Hilfe von Interpolation.
≥
log 6.
b
Beziehungen zwischen w und w
Wir haben
b = ωw
bw .
ww
(Beziehung zum Nichtkommutativen Torus!)
b erzeugte Algebra Ab besitzt auch 6 minimale Projektionen:
Die von w
bj :=
p
5
1 X −jk k
b ,
ω w
6
(j = 0, . . . , 5).
k=0
Schreiben wir πj := ϕ(pj ) und π
bj := ϕ(b
pj ).
Satz (H.M., Jos Uffink, 1988)
Für jedes positive lineare Funktional ϕ auf M6 gilt:
6
X
j=1
6
πj log
X
1
1
π
bj log
+
πj
π
b
j
j=1
≥
log 6.
Beweis.
1988: M.+U. mit Hilfe von Interpolation.
2011: Frank+Lieb mit Hilfe der Golden-Thompson Ungleichung.
Verschränkte Würfel
Verschränkte Würfel
Betrachte jetzt die Algebra M6 ⊗ M6 von zwei Würfeln.
Verschränkte Würfel
Betrachte jetzt die Algebra M6 ⊗ M6 von zwei Würfeln.
Der Vektor ψ ∈ C6 ⊗ C6 gegeben durch
Verschränkte Würfel
Betrachte jetzt die Algebra M6 ⊗ M6 von zwei Würfeln.
Der Vektor ψ ∈ C6 ⊗ C6 gegeben durch
6
1 X
ψ := √
ei ⊗ ei ,
6 i=1
Verschränkte Würfel
Betrachte jetzt die Algebra M6 ⊗ M6 von zwei Würfeln.
Der Vektor ψ ∈ C6 ⊗ C6 gegeben durch
6
1 X
ψ := √
ei ⊗ ei ,
6 i=1
bestimmt ein Funktional ϕ auf M6 ⊗ M6
Verschränkte Würfel
Betrachte jetzt die Algebra M6 ⊗ M6 von zwei Würfeln.
Der Vektor ψ ∈ C6 ⊗ C6 gegeben durch
6
1 X
ψ := √
ei ⊗ ei ,
6 i=1
bestimmt ein Funktional ϕ auf M6 ⊗ M6
ϕ : x ⊗ y 7→ hψ, (x ⊗ y )ψi =
1
tr(x T y )
6
Verschränkte Würfel
Betrachte jetzt die Algebra M6 ⊗ M6 von zwei Würfeln.
Der Vektor ψ ∈ C6 ⊗ C6 gegeben durch
6
1 X
ψ := √
ei ⊗ ei ,
6 i=1
bestimmt ein Funktional ϕ auf M6 ⊗ M6
ϕ : x ⊗ y 7→ hψ, (x ⊗ y )ψi =
mit den Eigenschaften
1
tr(x T y )
6
Verschränkte Würfel
Betrachte jetzt die Algebra M6 ⊗ M6 von zwei Würfeln.
Der Vektor ψ ∈ C6 ⊗ C6 gegeben durch
6
1 X
ψ := √
ei ⊗ ei ,
6 i=1
bestimmt ein Funktional ϕ auf M6 ⊗ M6
ϕ : x ⊗ y 7→ hψ, (x ⊗ y )ψi =
1
tr(x T y )
6
mit den Eigenschaften
ϕ(pi ⊗ pj ) = 16 δij
und
bj ) = 16 δi,6−j .
ϕ(b
pi ⊗ p
Bell-Ungleichung für Würfel
Bell-Ungleichung für Würfel
Satz
Es sei C eine abelsche *-Algebra, und ϕ ein Zustand auf C.
Bell-Ungleichung für Würfel
Satz
Es sei C eine abelsche *-Algebra, und ϕ ein Zustand auf C.
Für alle Quadrupel w1 , w2 , v1 , v2 von Würfeln in A gilt
Bell-Ungleichung für Würfel
Satz
Es sei C eine abelsche *-Algebra, und ϕ ein Zustand auf C.
Für alle Quadrupel w1 , w2 , v1 , v2 von Würfeln in A gilt
5
Re ϕ w1∗ (v1 − v2 ) − w2∗ (v1 + v2 )
≤ .
2
Bell-Ungleichung für Würfel
Satz
Es sei C eine abelsche *-Algebra, und ϕ ein Zustand auf C.
Für alle Quadrupel w1 , w2 , v1 , v2 von Würfeln in A gilt
5
Re ϕ w1∗ (v1 − v2 ) − w2∗ (v1 + v2 )
≤ .
2
Beweis.
Bell-Ungleichung für Würfel
Satz
Es sei C eine abelsche *-Algebra, und ϕ ein Zustand auf C.
Für alle Quadrupel w1 , w2 , v1 , v2 von Würfeln in A gilt
5
Re ϕ w1∗ (v1 − v2 ) − w2∗ (v1 + v2 )
≤ .
2
Beweis.
Punktweise. Für Zahlen w1 , w2 , v1 , v2 , alle Potenze von ω, gilt ja
5
Re w 1 (v1 − v2 ) − w 2 (v1 + v2 ) ≤ .
2
Bell-Ungleichung für Würfel
Satz
Es sei C eine abelsche *-Algebra, und ϕ ein Zustand auf C.
Für alle Quadrupel w1 , w2 , v1 , v2 von Würfeln in A gilt
5
Re ϕ w1∗ (v1 − v2 ) − w2∗ (v1 + v2 )
≤ .
2
Beweis.
Punktweise. Für Zahlen w1 , w2 , v1 , v2 , alle Potenze von ω, gilt ja
5
Re w 1 (v1 − v2 ) − w 2 (v1 + v2 ) ≤ .
2
Aber: Für die kanonische Würfel und ihre konjugierte gilt dagegen:
Bell-Ungleichung für Würfel
Satz
Es sei C eine abelsche *-Algebra, und ϕ ein Zustand auf C.
Für alle Quadrupel w1 , w2 , v1 , v2 von Würfeln in A gilt
5
Re ϕ w1∗ (v1 − v2 ) − w2∗ (v1 + v2 )
≤ .
2
Beweis.
Punktweise. Für Zahlen w1 , w2 , v1 , v2 , alle Potenze von ω, gilt ja
5
Re w 1 (v1 − v2 ) − w 2 (v1 + v2 ) ≤ .
2
Aber: Für die kanonische Würfel und ihre konjugierte gilt dagegen:
5
b) − w
b ∗ ⊗ (w + w
b)
> .
Re β w ∗ ⊗ (w − w
2
Bell-Ungleichung für Würfel
Satz
Es sei C eine abelsche *-Algebra, und ϕ ein Zustand auf C.
Für alle Quadrupel w1 , w2 , v1 , v2 von Würfeln in A gilt
5
Re ϕ w1∗ (v1 − v2 ) − w2∗ (v1 + v2 )
≤ .
2
Beweis.
Punktweise. Für Zahlen w1 , w2 , v1 , v2 , alle Potenze von ω, gilt ja
5
Re w 1 (v1 − v2 ) − w 2 (v1 + v2 ) ≤ .
2
Aber: Für die kanonische Würfel und ihre konjugierte gilt dagegen:
5
b) − w
b ∗ ⊗ (w + w
b)
> .
Re β w ∗ ⊗ (w − w
2
Hier ist β(x ⊗ y ) := hψ, (x ⊗ u ∗ yu)ψi eine geeignete lokal gedrehte Version des
obigen Verschränkten Zustandes auf M6 ⊗ M6 .
Bell-Ungleichung für Münzen
Die viel bekanntere Bell-Ungleichung für Münzen lautet:
ϕ m1∗ (n1 − n2 ) − m2∗ (n1 + n2 ) ≤ 2 .
Die optimale Verletzung der Bell-Ungleichung ist hier:
√
b − m(m
b
b =2 2,
β m ⊗ (m − m)
+ m)
wo β(x ⊗ y ) := hψ, (x ⊗ u ∗ yu)ψi und
sin π8
u=
cos π8
cos π8
− sin π8
.
Von Neumann: dispersionsfreie Zustände
Von Neumann: dispersionsfreie Zustände
Der nächste Satz von von Neumann ist eigentlich interessanter als der Kontext
von verborgenen Variabelen in dem er heute ausschließlich ganannt wird.
Von Neumann: dispersionsfreie Zustände
Der nächste Satz von von Neumann ist eigentlich interessanter als der Kontext
von verborgenen Variabelen in dem er heute ausschließlich ganannt wird.
Ein Element a ∈ A heißt zentral wenn es mit allen Elementen in A vertauscht.
Von Neumann: dispersionsfreie Zustände
Der nächste Satz von von Neumann ist eigentlich interessanter als der Kontext
von verborgenen Variabelen in dem er heute ausschließlich ganannt wird.
Ein Element a ∈ A heißt zentral wenn es mit allen Elementen in A vertauscht.
Eine Algebra A wird ein Faktor genannt wenn sie, außer den Konstanten, keine
zentrale Elemente enthält.
Von Neumann: dispersionsfreie Zustände
Der nächste Satz von von Neumann ist eigentlich interessanter als der Kontext
von verborgenen Variabelen in dem er heute ausschließlich ganannt wird.
Ein Element a ∈ A heißt zentral wenn es mit allen Elementen in A vertauscht.
Eine Algebra A wird ein Faktor genannt wenn sie, außer den Konstanten, keine
zentrale Elemente enthält.
Von Neumann: dispersionsfreie Zustände
Der nächste Satz von von Neumann ist eigentlich interessanter als der Kontext
von verborgenen Variabelen in dem er heute ausschließlich ganannt wird.
Ein Element a ∈ A heißt zentral wenn es mit allen Elementen in A vertauscht.
Eine Algebra A wird ein Faktor genannt wenn sie, außer den Konstanten, keine
zentrale Elemente enthält.
Wir nennen einen Zustand dispersionsfrei falls für alle Projektionen p ∈ A gilt:
Von Neumann: dispersionsfreie Zustände
Der nächste Satz von von Neumann ist eigentlich interessanter als der Kontext
von verborgenen Variabelen in dem er heute ausschließlich ganannt wird.
Ein Element a ∈ A heißt zentral wenn es mit allen Elementen in A vertauscht.
Eine Algebra A wird ein Faktor genannt wenn sie, außer den Konstanten, keine
zentrale Elemente enthält.
Wir nennen einen Zustand dispersionsfrei falls für alle Projektionen p ∈ A gilt:
ϕ(p) = 0 oder 1 .
Von Neumann: dispersionsfreie Zustände
Der nächste Satz von von Neumann ist eigentlich interessanter als der Kontext
von verborgenen Variabelen in dem er heute ausschließlich ganannt wird.
Ein Element a ∈ A heißt zentral wenn es mit allen Elementen in A vertauscht.
Eine Algebra A wird ein Faktor genannt wenn sie, außer den Konstanten, keine
zentrale Elemente enthält.
Wir nennen einen Zustand dispersionsfrei falls für alle Projektionen p ∈ A gilt:
ϕ(p) = 0 oder 1 .
Der Träger eines Zustandes ist definiert durch
Supp(ϕ) := inf { p ∈ A | ϕ(p) = 1 } .
Satz
Sei ϕ ein Zustand auf A. Dann sind äquivalent:
Satz
Sei ϕ ein Zustand auf A. Dann sind äquivalent:
(a) ϕ ist dispersionsfrei.
Satz
Sei ϕ ein Zustand auf A. Dann sind äquivalent:
(a) ϕ ist dispersionsfrei.
(b) Supp(ϕ) ist minimal und zentral in A.
Satz
Sei ϕ ein Zustand auf A. Dann sind äquivalent:
(a) ϕ ist dispersionsfrei.
(b) Supp(ϕ) ist minimal und zentral in A.
Beweis.
Sei z := Supp(ϕ).
Satz
Sei ϕ ein Zustand auf A. Dann sind äquivalent:
(a) ϕ ist dispersionsfrei.
(b) Supp(ϕ) ist minimal und zentral in A.
Beweis.
Sei z := Supp(ϕ). (a)=⇒(b):
Satz
Sei ϕ ein Zustand auf A. Dann sind äquivalent:
(a) ϕ ist dispersionsfrei.
(b) Supp(ϕ) ist minimal und zentral in A.
Beweis.
Sei z := Supp(ϕ). (a)=⇒(b):
Der Träger z kann keine Projektionen p mit ϕ(p) = 1 unter sich haben,
Satz
Sei ϕ ein Zustand auf A. Dann sind äquivalent:
(a) ϕ ist dispersionsfrei.
(b) Supp(ϕ) ist minimal und zentral in A.
Beweis.
Sei z := Supp(ϕ). (a)=⇒(b):
Der Träger z kann keine Projektionen p mit ϕ(p) = 1 unter sich haben,und
daher auch keine mit ϕ(p) = 0;
Satz
Sei ϕ ein Zustand auf A. Dann sind äquivalent:
(a) ϕ ist dispersionsfrei.
(b) Supp(ϕ) ist minimal und zentral in A.
Beweis.
Sei z := Supp(ϕ). (a)=⇒(b):
Der Träger z kann keine Projektionen p mit ϕ(p) = 1 unter sich haben,und
daher auch keine mit ϕ(p) = 0;
also überhaupt keine: z ist minimal.
Satz
Sei ϕ ein Zustand auf A. Dann sind äquivalent:
(a) ϕ ist dispersionsfrei.
(b) Supp(ϕ) ist minimal und zentral in A.
Beweis.
Sei z := Supp(ϕ). (a)=⇒(b):
Der Träger z kann keine Projektionen p mit ϕ(p) = 1 unter sich haben,und
daher auch keine mit ϕ(p) = 0;
also überhaupt keine: z ist minimal.
Sei p irgendeine Projektion in A.
Satz
Sei ϕ ein Zustand auf A. Dann sind äquivalent:
(a) ϕ ist dispersionsfrei.
(b) Supp(ϕ) ist minimal und zentral in A.
Beweis.
Sei z := Supp(ϕ). (a)=⇒(b):
Der Träger z kann keine Projektionen p mit ϕ(p) = 1 unter sich haben,und
daher auch keine mit ϕ(p) = 0;
also überhaupt keine: z ist minimal.
Sei p irgendeine Projektion in A.
Falls ϕ(p) = 1, dann ist p ≥ z, also pz = zp.
Satz
Sei ϕ ein Zustand auf A. Dann sind äquivalent:
(a) ϕ ist dispersionsfrei.
(b) Supp(ϕ) ist minimal und zentral in A.
Beweis.
Sei z := Supp(ϕ). (a)=⇒(b):
Der Träger z kann keine Projektionen p mit ϕ(p) = 1 unter sich haben,und
daher auch keine mit ϕ(p) = 0;
also überhaupt keine: z ist minimal.
Sei p irgendeine Projektion in A.
Falls ϕ(p) = 1, dann ist p ≥ z, also pz = zp.
Falls ϕ(p) = 0, dann ist ϕ(1l − p) = 1, also 1l − p ≥ z, und wieder pz = zp.
Satz
Sei ϕ ein Zustand auf A. Dann sind äquivalent:
(a) ϕ ist dispersionsfrei.
(b) Supp(ϕ) ist minimal und zentral in A.
Beweis.
Sei z := Supp(ϕ). (a)=⇒(b):
Der Träger z kann keine Projektionen p mit ϕ(p) = 1 unter sich haben,und
daher auch keine mit ϕ(p) = 0;
also überhaupt keine: z ist minimal.
Sei p irgendeine Projektion in A.
Falls ϕ(p) = 1, dann ist p ≥ z, also pz = zp.
Falls ϕ(p) = 0, dann ist ϕ(1l − p) = 1, also 1l − p ≥ z, und wieder pz = zp.
Das heißt: z ist zentral.
Satz
Sei ϕ ein Zustand auf A. Dann sind äquivalent:
(a) ϕ ist dispersionsfrei.
(b) Supp(ϕ) ist minimal und zentral in A.
Beweis.
Sei z := Supp(ϕ). (a)=⇒(b):
Der Träger z kann keine Projektionen p mit ϕ(p) = 1 unter sich haben,und
daher auch keine mit ϕ(p) = 0;
also überhaupt keine: z ist minimal.
Sei p irgendeine Projektion in A.
Falls ϕ(p) = 1, dann ist p ≥ z, also pz = zp.
Falls ϕ(p) = 0, dann ist ϕ(1l − p) = 1, also 1l − p ≥ z, und wieder pz = zp.
Das heißt: z ist zentral.
(b)=⇒(a):
Satz
Sei ϕ ein Zustand auf A. Dann sind äquivalent:
(a) ϕ ist dispersionsfrei.
(b) Supp(ϕ) ist minimal und zentral in A.
Beweis.
Sei z := Supp(ϕ). (a)=⇒(b):
Der Träger z kann keine Projektionen p mit ϕ(p) = 1 unter sich haben,und
daher auch keine mit ϕ(p) = 0;
also überhaupt keine: z ist minimal.
Sei p irgendeine Projektion in A.
Falls ϕ(p) = 1, dann ist p ≥ z, also pz = zp.
Falls ϕ(p) = 0, dann ist ϕ(1l − p) = 1, also 1l − p ≥ z, und wieder pz = zp.
Das heißt: z ist zentral.
(b)=⇒(a):
Sei p ∈ A.
Satz
Sei ϕ ein Zustand auf A. Dann sind äquivalent:
(a) ϕ ist dispersionsfrei.
(b) Supp(ϕ) ist minimal und zentral in A.
Beweis.
Sei z := Supp(ϕ). (a)=⇒(b):
Der Träger z kann keine Projektionen p mit ϕ(p) = 1 unter sich haben,und
daher auch keine mit ϕ(p) = 0;
also überhaupt keine: z ist minimal.
Sei p irgendeine Projektion in A.
Falls ϕ(p) = 1, dann ist p ≥ z, also pz = zp.
Falls ϕ(p) = 0, dann ist ϕ(1l − p) = 1, also 1l − p ≥ z, und wieder pz = zp.
Das heißt: z ist zentral.
(b)=⇒(a):
Sei p ∈ A.Wegen Zentralität von z ist zpz eine Projektion.
Satz
Sei ϕ ein Zustand auf A. Dann sind äquivalent:
(a) ϕ ist dispersionsfrei.
(b) Supp(ϕ) ist minimal und zentral in A.
Beweis.
Sei z := Supp(ϕ). (a)=⇒(b):
Der Träger z kann keine Projektionen p mit ϕ(p) = 1 unter sich haben,und
daher auch keine mit ϕ(p) = 0;
also überhaupt keine: z ist minimal.
Sei p irgendeine Projektion in A.
Falls ϕ(p) = 1, dann ist p ≥ z, also pz = zp.
Falls ϕ(p) = 0, dann ist ϕ(1l − p) = 1, also 1l − p ≥ z, und wieder pz = zp.
Das heißt: z ist zentral.
(b)=⇒(a):
Sei p ∈ A.Wegen Zentralität von z ist zpz eine Projektion.
Wegen Minimalität von z ist zpz entweder 0 oder z.
Satz
Sei ϕ ein Zustand auf A. Dann sind äquivalent:
(a) ϕ ist dispersionsfrei.
(b) Supp(ϕ) ist minimal und zentral in A.
Beweis.
Sei z := Supp(ϕ). (a)=⇒(b):
Der Träger z kann keine Projektionen p mit ϕ(p) = 1 unter sich haben,und
daher auch keine mit ϕ(p) = 0;
also überhaupt keine: z ist minimal.
Sei p irgendeine Projektion in A.
Falls ϕ(p) = 1, dann ist p ≥ z, also pz = zp.
Falls ϕ(p) = 0, dann ist ϕ(1l − p) = 1, also 1l − p ≥ z, und wieder pz = zp.
Das heißt: z ist zentral.
(b)=⇒(a):
Sei p ∈ A.Wegen Zentralität von z ist zpz eine Projektion.
Wegen Minimalität von z ist zpz entweder 0 oder z.
Im ersten Fall ist ϕ(p) = ϕ(zpz) = 0.
Satz
Sei ϕ ein Zustand auf A. Dann sind äquivalent:
(a) ϕ ist dispersionsfrei.
(b) Supp(ϕ) ist minimal und zentral in A.
Beweis.
Sei z := Supp(ϕ). (a)=⇒(b):
Der Träger z kann keine Projektionen p mit ϕ(p) = 1 unter sich haben,und
daher auch keine mit ϕ(p) = 0;
also überhaupt keine: z ist minimal.
Sei p irgendeine Projektion in A.
Falls ϕ(p) = 1, dann ist p ≥ z, also pz = zp.
Falls ϕ(p) = 0, dann ist ϕ(1l − p) = 1, also 1l − p ≥ z, und wieder pz = zp.
Das heißt: z ist zentral.
(b)=⇒(a):
Sei p ∈ A.Wegen Zentralität von z ist zpz eine Projektion.
Wegen Minimalität von z ist zpz entweder 0 oder z.
Im ersten Fall ist ϕ(p) = ϕ(zpz) = 0.
Im zweiten Fall ist ϕ(p) = ϕ(zpz) = ϕ(z) = 1.
Garantierte Würfel und Münzen
Garantierte Würfel und Münzen
Wie kann man einem Stochastischen Objekt ansehen ob es von allem in der
Welt unabhängig ist?
Garantierte Würfel und Münzen
Wie kann man einem Stochastischen Objekt ansehen ob es von allem in der
Welt unabhängig ist?
In der klassischen (kommutativen) Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es dazu
keine Möglichkeit.
Garantierte Würfel und Münzen
Wie kann man einem Stochastischen Objekt ansehen ob es von allem in der
Welt unabhängig ist?
In der klassischen (kommutativen) Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es dazu
keine Möglichkeit.
In der nichtkommutativen Wahrscheinlichkeit schon.
Garantierte Würfel und Münzen
Wie kann man einem Stochastischen Objekt ansehen ob es von allem in der
Welt unabhängig ist?
In der klassischen (kommutativen) Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es dazu
keine Möglichkeit.
In der nichtkommutativen Wahrscheinlichkeit schon.
Satz
Sei ϕ ein Zustand auf der C*-Algebra A.
Garantierte Würfel und Münzen
Wie kann man einem Stochastischen Objekt ansehen ob es von allem in der
Welt unabhängig ist?
In der klassischen (kommutativen) Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es dazu
keine Möglichkeit.
In der nichtkommutativen Wahrscheinlichkeit schon.
Satz
Sei ϕ ein Zustand auf der C*-Algebra A.
Folgende sind äquivalent:
Garantierte Würfel und Münzen
Wie kann man einem Stochastischen Objekt ansehen ob es von allem in der
Welt unabhängig ist?
In der klassischen (kommutativen) Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es dazu
keine Möglichkeit.
In der nichtkommutativen Wahrscheinlichkeit schon.
Satz
Sei ϕ ein Zustand auf der C*-Algebra A.
Folgende sind äquivalent:
(a) ϕ ist extremal.
Garantierte Würfel und Münzen
Wie kann man einem Stochastischen Objekt ansehen ob es von allem in der
Welt unabhängig ist?
In der klassischen (kommutativen) Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es dazu
keine Möglichkeit.
In der nichtkommutativen Wahrscheinlichkeit schon.
Satz
Sei ϕ ein Zustand auf der C*-Algebra A.
Folgende sind äquivalent:
(a) ϕ ist extremal.
(b) Für alle C*-Algebren B und alle Zustände ϑ auf A ⊗ B gilt:
Garantierte Würfel und Münzen
Wie kann man einem Stochastischen Objekt ansehen ob es von allem in der
Welt unabhängig ist?
In der klassischen (kommutativen) Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es dazu
keine Möglichkeit.
In der nichtkommutativen Wahrscheinlichkeit schon.
Satz
Sei ϕ ein Zustand auf der C*-Algebra A.
Folgende sind äquivalent:
(a) ϕ ist extremal.
(b) Für alle C*-Algebren B und alle Zustände ϑ auf A ⊗ B gilt:
ϑ(· ⊗ 1l) = ϕ
=⇒
∃ψ∈S(B) : ϑ = ϕ ⊗ ψ .
Garantierte Würfel und Münzen
Wie kann man einem Stochastischen Objekt ansehen ob es von allem in der
Welt unabhängig ist?
In der klassischen (kommutativen) Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es dazu
keine Möglichkeit.
In der nichtkommutativen Wahrscheinlichkeit schon.
Satz
Sei ϕ ein Zustand auf der C*-Algebra A.
Folgende sind äquivalent:
(a) ϕ ist extremal.
(b) Für alle C*-Algebren B und alle Zustände ϑ auf A ⊗ B gilt:
ϑ(· ⊗ 1l) = ϕ
In Worten:
=⇒
∃ψ∈S(B) : ϑ = ϕ ⊗ ψ .
Garantierte Würfel und Münzen
Wie kann man einem Stochastischen Objekt ansehen ob es von allem in der
Welt unabhängig ist?
In der klassischen (kommutativen) Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es dazu
keine Möglichkeit.
In der nichtkommutativen Wahrscheinlichkeit schon.
Satz
Sei ϕ ein Zustand auf der C*-Algebra A.
Folgende sind äquivalent:
(a) ϕ ist extremal.
(b) Für alle C*-Algebren B und alle Zustände ϑ auf A ⊗ B gilt:
ϑ(· ⊗ 1l) = ϕ
=⇒
∃ψ∈S(B) : ϑ = ϕ ⊗ ψ .
In Worten:
Ein System in einem reinen Zustand ist von allem in der Welt
unabhängig.
Beweis.
Beweis.
(a)=⇒(b):
Beweis.
(a)=⇒(b): Definiere den Zustand ψ auf B durch ψ(b) := ϑ(1l ⊗ b) ..
Beweis.
(a)=⇒(b): Definiere den Zustand ψ auf B durch ψ(b) := ϑ(1l ⊗ b) ..
I
ψ dispersionsfrei:
Beweis.
(a)=⇒(b): Definiere den Zustand ψ auf B durch ψ(b) := ϑ(1l ⊗ b) ..
I
ψ dispersionsfrei: Laut Satz 1 ist der Träger minimal und zentral:
Beweis.
(a)=⇒(b): Definiere den Zustand ψ auf B durch ψ(b) := ϑ(1l ⊗ b) ..
I
ψ dispersionsfrei: Laut Satz 1 ist der Träger minimal und zentral:
(
)
0
falls q ⊥ z
ϑ(p ⊗ q) = ϑ(p ⊗ zq) =
= ϕ(p)ψ(q) .
ϑ(p ⊗ 1l) = ϕ(p) falls q ≥ z
Beweis.
(a)=⇒(b): Definiere den Zustand ψ auf B durch ψ(b) := ϑ(1l ⊗ b) ..
I
ψ dispersionsfrei: Laut Satz 1 ist der Träger minimal und zentral:
(
)
0
falls q ⊥ z
ϑ(p ⊗ q) = ϑ(p ⊗ zq) =
= ϕ(p)ψ(q) .
ϑ(p ⊗ 1l) = ϕ(p) falls q ≥ z
I
Sonst gibt es q ∈ B mit 0 < ψ(q) < 1.
Beweis.
(a)=⇒(b): Definiere den Zustand ψ auf B durch ψ(b) := ϑ(1l ⊗ b) ..
I
ψ dispersionsfrei: Laut Satz 1 ist der Träger minimal und zentral:
(
)
0
falls q ⊥ z
ϑ(p ⊗ q) = ϑ(p ⊗ zq) =
= ϕ(p)ψ(q) .
ϑ(p ⊗ 1l) = ϕ(p) falls q ≥ z
I
Sonst gibt es q ∈ B mit 0 < ψ(q) < 1.
Betrachte die Zustände ϕ1 und ϕ2 auf A gegeben durch
Beweis.
(a)=⇒(b): Definiere den Zustand ψ auf B durch ψ(b) := ϑ(1l ⊗ b) ..
I
ψ dispersionsfrei: Laut Satz 1 ist der Träger minimal und zentral:
(
)
0
falls q ⊥ z
ϑ(p ⊗ q) = ϑ(p ⊗ zq) =
= ϕ(p)ψ(q) .
ϑ(p ⊗ 1l) = ϕ(p) falls q ≥ z
I
Sonst gibt es q ∈ B mit 0 < ψ(q) < 1.
Betrachte die Zustände ϕ1 und ϕ2 auf A gegeben durch
ϕ1 (a) :=
ϑ(a ⊗ q)
ϑ(1l ⊗ q)
Beweis.
(a)=⇒(b): Definiere den Zustand ψ auf B durch ψ(b) := ϑ(1l ⊗ b) ..
I
ψ dispersionsfrei: Laut Satz 1 ist der Träger minimal und zentral:
(
)
0
falls q ⊥ z
ϑ(p ⊗ q) = ϑ(p ⊗ zq) =
= ϕ(p)ψ(q) .
ϑ(p ⊗ 1l) = ϕ(p) falls q ≥ z
I
Sonst gibt es q ∈ B mit 0 < ψ(q) < 1.
Betrachte die Zustände ϕ1 und ϕ2 auf A gegeben durch
ϕ1 (a) :=
ϑ(a ⊗ q)
ϑ(1l ⊗ q)
und
ϕ2 (a) :=
ϑ(a ⊗ (1l − q))
.
ϑ(1l ⊗ (1l − q))
Beweis.
(a)=⇒(b): Definiere den Zustand ψ auf B durch ψ(b) := ϑ(1l ⊗ b) ..
I
ψ dispersionsfrei: Laut Satz 1 ist der Träger minimal und zentral:
(
)
0
falls q ⊥ z
ϑ(p ⊗ q) = ϑ(p ⊗ zq) =
= ϕ(p)ψ(q) .
ϑ(p ⊗ 1l) = ϕ(p) falls q ≥ z
I
Sonst gibt es q ∈ B mit 0 < ψ(q) < 1.
Betrachte die Zustände ϕ1 und ϕ2 auf A gegeben durch
ϕ1 (a) :=
ϑ(a ⊗ q)
ϑ(1l ⊗ q)
und
ϕ2 (a) :=
ϑ(a ⊗ (1l − q))
.
ϑ(1l ⊗ (1l − q))
Dann gilt: ϕ(a) = ψ(q)ϕ1 (a) + (1 − ψ(q))ϕ2 (a);
Beweis.
(a)=⇒(b): Definiere den Zustand ψ auf B durch ψ(b) := ϑ(1l ⊗ b) ..
I
ψ dispersionsfrei: Laut Satz 1 ist der Träger minimal und zentral:
(
)
0
falls q ⊥ z
ϑ(p ⊗ q) = ϑ(p ⊗ zq) =
= ϕ(p)ψ(q) .
ϑ(p ⊗ 1l) = ϕ(p) falls q ≥ z
I
Sonst gibt es q ∈ B mit 0 < ψ(q) < 1.
Betrachte die Zustände ϕ1 und ϕ2 auf A gegeben durch
ϕ1 (a) :=
ϑ(a ⊗ q)
ϑ(1l ⊗ q)
und
ϕ2 (a) :=
ϑ(a ⊗ (1l − q))
.
ϑ(1l ⊗ (1l − q))
Dann gilt: ϕ(a) = ψ(q)ϕ1 (a) + (1 − ψ(q))ϕ2 (a); also wegen Extremalität
von ϕ:
Beweis.
(a)=⇒(b): Definiere den Zustand ψ auf B durch ψ(b) := ϑ(1l ⊗ b) ..
I
ψ dispersionsfrei: Laut Satz 1 ist der Träger minimal und zentral:
(
)
0
falls q ⊥ z
ϑ(p ⊗ q) = ϑ(p ⊗ zq) =
= ϕ(p)ψ(q) .
ϑ(p ⊗ 1l) = ϕ(p) falls q ≥ z
I
Sonst gibt es q ∈ B mit 0 < ψ(q) < 1.
Betrachte die Zustände ϕ1 und ϕ2 auf A gegeben durch
ϕ1 (a) :=
ϑ(a ⊗ q)
ϑ(1l ⊗ q)
und
ϕ2 (a) :=
ϑ(a ⊗ (1l − q))
.
ϑ(1l ⊗ (1l − q))
Dann gilt: ϕ(a) = ψ(q)ϕ1 (a) + (1 − ψ(q))ϕ2 (a); also wegen Extremalität
von ϕ:
ϕ(a) = ϕ1 (a) =
ϑ(a ⊗ q)
.
ψ(q)
, das heißt:
Beweis.
(a)=⇒(b): Definiere den Zustand ψ auf B durch ψ(b) := ϑ(1l ⊗ b) ..
I
ψ dispersionsfrei: Laut Satz 1 ist der Träger minimal und zentral:
(
)
0
falls q ⊥ z
ϑ(p ⊗ q) = ϑ(p ⊗ zq) =
= ϕ(p)ψ(q) .
ϑ(p ⊗ 1l) = ϕ(p) falls q ≥ z
I
Sonst gibt es q ∈ B mit 0 < ψ(q) < 1.
Betrachte die Zustände ϕ1 und ϕ2 auf A gegeben durch
ϕ1 (a) :=
ϑ(a ⊗ q)
ϑ(1l ⊗ q)
und
ϕ2 (a) :=
ϑ(a ⊗ (1l − q))
.
ϑ(1l ⊗ (1l − q))
Dann gilt: ϕ(a) = ψ(q)ϕ1 (a) + (1 − ψ(q))ϕ2 (a); also wegen Extremalität
von ϕ:
ϕ(a) = ϕ1 (a) =
ϑ(a ⊗ q)
.
ψ(q)
, das heißt:
ϑ(a ⊗ q) = ϕ(a)ψ(q) .
Beweis.
(a)=⇒(b): Definiere den Zustand ψ auf B durch ψ(b) := ϑ(1l ⊗ b) ..
I
ψ dispersionsfrei: Laut Satz 1 ist der Träger minimal und zentral:
(
)
0
falls q ⊥ z
ϑ(p ⊗ q) = ϑ(p ⊗ zq) =
= ϕ(p)ψ(q) .
ϑ(p ⊗ 1l) = ϕ(p) falls q ≥ z
I
Sonst gibt es q ∈ B mit 0 < ψ(q) < 1.
Betrachte die Zustände ϕ1 und ϕ2 auf A gegeben durch
ϕ1 (a) :=
ϑ(a ⊗ q)
ϑ(1l ⊗ q)
und
ϕ2 (a) :=
ϑ(a ⊗ (1l − q))
.
ϑ(1l ⊗ (1l − q))
Dann gilt: ϕ(a) = ψ(q)ϕ1 (a) + (1 − ψ(q))ϕ2 (a); also wegen Extremalität
von ϕ:
ϕ(a) = ϕ1 (a) =
(b)=⇒(a):
ϑ(a ⊗ q)
.
ψ(q)
, das heißt:
ϑ(a ⊗ q) = ϕ(a)ψ(q) .
Beweis.
(a)=⇒(b): Definiere den Zustand ψ auf B durch ψ(b) := ϑ(1l ⊗ b) ..
I
ψ dispersionsfrei: Laut Satz 1 ist der Träger minimal und zentral:
(
)
0
falls q ⊥ z
ϑ(p ⊗ q) = ϑ(p ⊗ zq) =
= ϕ(p)ψ(q) .
ϑ(p ⊗ 1l) = ϕ(p) falls q ≥ z
I
Sonst gibt es q ∈ B mit 0 < ψ(q) < 1.
Betrachte die Zustände ϕ1 und ϕ2 auf A gegeben durch
ϕ1 (a) :=
ϑ(a ⊗ q)
ϑ(1l ⊗ q)
und
ϕ2 (a) :=
ϑ(a ⊗ (1l − q))
.
ϑ(1l ⊗ (1l − q))
Dann gilt: ϕ(a) = ψ(q)ϕ1 (a) + (1 − ψ(q))ϕ2 (a); also wegen Extremalität
von ϕ:
ϕ(a) = ϕ1 (a) =
ϑ(a ⊗ q)
.
ψ(q)
, das heißt:
(b)=⇒(a):
Sei ϕ = λϕ1 + (1 − λ)ϕ2 mit ϕ1 6= ϕ2 .
ϑ(a ⊗ q) = ϕ(a)ψ(q) .
Beweis.
(a)=⇒(b): Definiere den Zustand ψ auf B durch ψ(b) := ϑ(1l ⊗ b) ..
I
ψ dispersionsfrei: Laut Satz 1 ist der Träger minimal und zentral:
(
)
0
falls q ⊥ z
ϑ(p ⊗ q) = ϑ(p ⊗ zq) =
= ϕ(p)ψ(q) .
ϑ(p ⊗ 1l) = ϕ(p) falls q ≥ z
I
Sonst gibt es q ∈ B mit 0 < ψ(q) < 1.
Betrachte die Zustände ϕ1 und ϕ2 auf A gegeben durch
ϕ1 (a) :=
ϑ(a ⊗ q)
ϑ(1l ⊗ q)
und
ϕ2 (a) :=
ϑ(a ⊗ (1l − q))
.
ϑ(1l ⊗ (1l − q))
Dann gilt: ϕ(a) = ψ(q)ϕ1 (a) + (1 − ψ(q))ϕ2 (a); also wegen Extremalität
von ϕ:
ϕ(a) = ϕ1 (a) =
ϑ(a ⊗ q)
.
ψ(q)
, das heißt:
(b)=⇒(a):
Sei ϕ = λϕ1 + (1 − λ)ϕ2 mit ϕ1 6= ϕ2 .
Sei B := C2 mit Verteilung (λ, 1 − λ) (Münze!).
ϑ(a ⊗ q) = ϕ(a)ψ(q) .
Beweis.
(a)=⇒(b): Definiere den Zustand ψ auf B durch ψ(b) := ϑ(1l ⊗ b) ..
I
ψ dispersionsfrei: Laut Satz 1 ist der Träger minimal und zentral:
(
)
0
falls q ⊥ z
ϑ(p ⊗ q) = ϑ(p ⊗ zq) =
= ϕ(p)ψ(q) .
ϑ(p ⊗ 1l) = ϕ(p) falls q ≥ z
I
Sonst gibt es q ∈ B mit 0 < ψ(q) < 1.
Betrachte die Zustände ϕ1 und ϕ2 auf A gegeben durch
ϕ1 (a) :=
ϑ(a ⊗ q)
ϑ(1l ⊗ q)
und
ϕ2 (a) :=
ϑ(a ⊗ (1l − q))
.
ϑ(1l ⊗ (1l − q))
Dann gilt: ϕ(a) = ψ(q)ϕ1 (a) + (1 − ψ(q))ϕ2 (a); also wegen Extremalität
von ϕ:
ϕ(a) = ϕ1 (a) =
ϑ(a ⊗ q)
.
ψ(q)
, das heißt:
ϑ(a ⊗ q) = ϕ(a)ψ(q) .
(b)=⇒(a):
Sei ϕ = λϕ1 + (1 − λ)ϕ2 mit ϕ1 6= ϕ2 .
Sei B := C2 mit Verteilung (λ, 1 − λ) (Münze!). Dann ist
ϑ(a ⊗ b) := λϕ1 (a)b(1) + (1 − λ)ϕ2 (a)b(2)
kein Produktzustand, und liefert ϕ(a) bei der Einschränkung b = 1l.
Garantierte Unsicherheit
Garantierte Unsicherheit
Laut unserer nichtkommutativen Wahrscheinlichkeitstheorie hat man also
universelle Unsicherheit sobald man ein reines Quantensystem (beschrieben von
einem Faktor) in reinem (d.h. extremalen) Zustand vor sich hat.
Garantierte Unsicherheit
Laut unserer nichtkommutativen Wahrscheinlichkeitstheorie hat man also
universelle Unsicherheit sobald man ein reines Quantensystem (beschrieben von
einem Faktor) in reinem (d.h. extremalen) Zustand vor sich hat.
In 2007 hat Colbeck voorgeschlagen dies zu garantieren durch verletzung der
Bell-Ungleichung.
Garantierte Unsicherheit
Laut unserer nichtkommutativen Wahrscheinlichkeitstheorie hat man also
universelle Unsicherheit sobald man ein reines Quantensystem (beschrieben von
einem Faktor) in reinem (d.h. extremalen) Zustand vor sich hat.
In 2007 hat Colbeck voorgeschlagen dies zu garantieren durch verletzung der
Bell-Ungleichung.
In 2010 wurde dies im Labor tatsächlich durchgeführt von Pironio, Massar et al.
Garantierte Unsicherheit
Laut unserer nichtkommutativen Wahrscheinlichkeitstheorie hat man also
universelle Unsicherheit sobald man ein reines Quantensystem (beschrieben von
einem Faktor) in reinem (d.h. extremalen) Zustand vor sich hat.
In 2007 hat Colbeck voorgeschlagen dies zu garantieren durch verletzung der
Bell-Ungleichung.
In 2010 wurde dies im Labor tatsächlich durchgeführt von Pironio, Massar et al.
Sie haben in dieser Weise 42 neue Münzwurfe produziert mit 99% Sicherheit.
Nichtkommutative Markovketten
Nichtkommutative Markovketten
Die heutige Theorie ist von Burkhard erfunden worden.
Nichtkommutative Markovketten
Die heutige Theorie ist von Burkhard erfunden worden.Wir wollen diese
Entdeckung jetzt mit unser Rezept der nichtkommutativen Verallgemeinerung
illustrieren.
Nichtkommutative Markovketten
Die heutige Theorie ist von Burkhard erfunden worden.Wir wollen diese
Entdeckung jetzt mit unser Rezept der nichtkommutativen Verallgemeinerung
illustrieren.
A
Mathematisches Objekt: stationäre Markovkette
Nichtkommutative Markovketten
Die heutige Theorie ist von Burkhard erfunden worden.Wir wollen diese
Entdeckung jetzt mit unser Rezept der nichtkommutativen Verallgemeinerung
illustrieren.
A
Mathematisches Objekt: stationäre Markovkette
(Ω, Σ, P) Wahrscheinlichkeitsraum.
Nichtkommutative Markovketten
Die heutige Theorie ist von Burkhard erfunden worden.Wir wollen diese
Entdeckung jetzt mit unser Rezept der nichtkommutativen Verallgemeinerung
illustrieren.
A
Mathematisches Objekt: stationäre Markovkette
(Ω, Σ, P) Wahrscheinlichkeitsraum.
S endliche Menge von Zuständen.
Nichtkommutative Markovketten
Die heutige Theorie ist von Burkhard erfunden worden.Wir wollen diese
Entdeckung jetzt mit unser Rezept der nichtkommutativen Verallgemeinerung
illustrieren.
A
Mathematisches Objekt: stationäre Markovkette
(Ω, Σ, P) Wahrscheinlichkeitsraum.
S endliche Menge von Zuständen.
. . . , X−2 , X−1 , X0 , X1 , X2 , . . . Reihe von Stochastischen Variabelen
Xk : Ω → S.
Nichtkommutative Markovketten
Die heutige Theorie ist von Burkhard erfunden worden.Wir wollen diese
Entdeckung jetzt mit unser Rezept der nichtkommutativen Verallgemeinerung
illustrieren.
A
Mathematisches Objekt: stationäre Markovkette
(Ω, Σ, P) Wahrscheinlichkeitsraum.
S endliche Menge von Zuständen.
. . . , X−2 , X−1 , X0 , X1 , X2 , . . . Reihe von Stochastischen Variabelen
Xk : Ω → S.
τ : Ω → Ω maßerhaltend und invertierbar: Xk = X0 ◦ τ k .
Nichtkommutative Markovketten
Die heutige Theorie ist von Burkhard erfunden worden.Wir wollen diese
Entdeckung jetzt mit unser Rezept der nichtkommutativen Verallgemeinerung
illustrieren.
A
Mathematisches Objekt: stationäre Markovkette
(Ω, Σ, P) Wahrscheinlichkeitsraum.
S endliche Menge von Zuständen.
. . . , X−2 , X−1 , X0 , X1 , X2 , . . . Reihe von Stochastischen Variabelen
Xk : Ω → S.
τ : Ω → Ω maßerhaltend und invertierbar: Xk = X0 ◦ τ k .
T = t(x, y ) x,y ∈S Übergangsmatrix.
Nichtkommutative Markovketten
Die heutige Theorie ist von Burkhard erfunden worden.Wir wollen diese
Entdeckung jetzt mit unser Rezept der nichtkommutativen Verallgemeinerung
illustrieren.
A
Mathematisches Objekt: stationäre Markovkette
(Ω, Σ, P) Wahrscheinlichkeitsraum.
S endliche Menge von Zuständen.
. . . , X−2 , X−1 , X0 , X1 , X2 , . . . Reihe von Stochastischen Variabelen
Xk : Ω → S.
τ : Ω → Ω maßerhaltend und invertierbar: Xk = X0 ◦ τ k .
T = t(x, y ) x,y ∈S Übergangsmatrix. Für alle m, n ∈ Z, n ≤ m:
Nichtkommutative Markovketten
Die heutige Theorie ist von Burkhard erfunden worden.Wir wollen diese
Entdeckung jetzt mit unser Rezept der nichtkommutativen Verallgemeinerung
illustrieren.
A
Mathematisches Objekt: stationäre Markovkette
(Ω, Σ, P) Wahrscheinlichkeitsraum.
S endliche Menge von Zuständen.
. . . , X−2 , X−1 , X0 , X1 , X2 , . . . Reihe von Stochastischen Variabelen
Xk : Ω → S.
τ : Ω → Ω maßerhaltend und invertierbar: Xk = X0 ◦ τ k .
T = t(x, y ) x,y ∈S Übergangsmatrix. Für alle m, n ∈ Z, n ≤ m:
P[Xn+1 = y |Xm = xm , . . . , Xn = xn ] = t(xn , y ) .
B
Algebraische Struktur:
Nichtkommutative Markovketten
Die heutige Theorie ist von Burkhard erfunden worden.Wir wollen diese
Entdeckung jetzt mit unser Rezept der nichtkommutativen Verallgemeinerung
illustrieren.
A
Mathematisches Objekt: stationäre Markovkette
(Ω, Σ, P) Wahrscheinlichkeitsraum.
S endliche Menge von Zuständen.
. . . , X−2 , X−1 , X0 , X1 , X2 , . . . Reihe von Stochastischen Variabelen
Xk : Ω → S.
τ : Ω → Ω maßerhaltend und invertierbar: Xk = X0 ◦ τ k .
T = t(x, y ) x,y ∈S Übergangsmatrix. Für alle m, n ∈ Z, n ≤ m:
P[Xn+1 = y |Xm = xm , . . . , Xn = xn ] = t(xn , y ) .
B
Algebraische Struktur:
Aus S wird die Algebra A der Funktionen S → C.
Nichtkommutative Markovketten
Die heutige Theorie ist von Burkhard erfunden worden.Wir wollen diese
Entdeckung jetzt mit unser Rezept der nichtkommutativen Verallgemeinerung
illustrieren.
A
Mathematisches Objekt: stationäre Markovkette
(Ω, Σ, P) Wahrscheinlichkeitsraum.
S endliche Menge von Zuständen.
. . . , X−2 , X−1 , X0 , X1 , X2 , . . . Reihe von Stochastischen Variabelen
Xk : Ω → S.
τ : Ω → Ω maßerhaltend und invertierbar: Xk = X0 ◦ τ k .
T = t(x, y ) x,y ∈S Übergangsmatrix. Für alle m, n ∈ Z, n ≤ m:
P[Xn+1 = y |Xm = xm , . . . , Xn = xn ] = t(xn , y ) .
B
Algebraische Struktur:
Aus S wird die Algebra A der Funktionen S → C.
Aus (Ω, Σ, P) wird Ab := L∞ (Ω, Σ, P).
Nichtkommutative Markovketten
Die heutige Theorie ist von Burkhard erfunden worden.Wir wollen diese
Entdeckung jetzt mit unser Rezept der nichtkommutativen Verallgemeinerung
illustrieren.
A
Mathematisches Objekt: stationäre Markovkette
(Ω, Σ, P) Wahrscheinlichkeitsraum.
S endliche Menge von Zuständen.
. . . , X−2 , X−1 , X0 , X1 , X2 , . . . Reihe von Stochastischen Variabelen
Xk : Ω → S.
τ : Ω → Ω maßerhaltend und invertierbar: Xk = X0 ◦ τ k .
T = t(x, y ) x,y ∈S Übergangsmatrix. Für alle m, n ∈ Z, n ≤ m:
P[Xn+1 = y |Xm = xm , . . . , Xn = xn ] = t(xn , y ) .
B
Algebraische Struktur:
Aus S wird die Algebra A der Funktionen S → C.
Aus (Ω, Σ, P) wird Ab := L∞ (Ω, Σ, P).
Aus Xk wird der *-Homomorphismus jk : A → Ab : f 7→ f ◦ Xk .
C
Karakterisierung:
C
Karakterisierung:
Die Axiomata werden in einem einzelnen Diagramm ausgedrückt:
C
Karakterisierung:
Die Axiomata werden in einem einzelnen Diagramm ausgedrückt:
(A,ϕ)

jy
b ϕ)
(A,
b
Tn
−→
−→
bn
T
(A,xϕ)

P .
b
(A, ϕ)
b
C
Karakterisierung:
Die Axiomata werden in einem einzelnen Diagramm ausgedrückt:
(A,ϕ)

jy
b ϕ)
(A,
b
Tn
−→
−→
bn
T
(A,xϕ)

P .
b
(A, ϕ)
b
wobei noch die Markov-Eigenschaft genommen werden muß:
C
Karakterisierung:
Die Axiomata werden in einem einzelnen Diagramm ausgedrückt:
(A,ϕ)

jy
b ϕ)
(A,
b
Tn
−→
−→
bn
T
(A,xϕ)

P .
b
(A, ϕ)
b
wobei noch die Markov-Eigenschaft genommen werden muß:
P(−∞,0] A[0,∞) = j0 (A) .
C
Karakterisierung:
Die Axiomata werden in einem einzelnen Diagramm ausgedrückt:
(A,ϕ)

jy
b ϕ)
(A,
b
Tn
−→
−→
bn
T
(A,xϕ)

P .
b
(A, ϕ)
b
wobei noch die Markov-Eigenschaft genommen werden muß:
P(−∞,0] A[0,∞) = j0 (A) .
D
Die Verallgemeinerung:
C
Karakterisierung:
Die Axiomata werden in einem einzelnen Diagramm ausgedrückt:
(A,ϕ)

jy
b ϕ)
(A,
b
Tn
−→
−→
bn
T
(A,xϕ)

P .
b
(A, ϕ)
b
wobei noch die Markov-Eigenschaft genommen werden muß:
P(−∞,0] A[0,∞) = j0 (A) .
D
Die Verallgemeinerung:
Lasse die Kommutativität fallen.
Konstruktion
Konstruktion
Im kommutativen Bereich kann man in zwei verschiedenen Weisen vorgehen.
Als Beispiel wählen wir Mensch Ärgre dich nicht:
Konstruktion
Im kommutativen Bereich kann man in zwei verschiedenen Weisen vorgehen.
Als Beispiel wählen wir Mensch Ärgre dich nicht:
1. Ein Maß auf den Pfaden:
S := {0, 2, 3, . . . , 54, 55} .
Konstruktion
Im kommutativen Bereich kann man in zwei verschiedenen Weisen vorgehen.
Als Beispiel wählen wir Mensch Ärgre dich nicht:
1. Ein Maß auf den Pfaden:
S := {0, 2, 3, . . . , 54, 55} .
Ω := . . . × S × S × S × S × . . .
Konstruktion
Im kommutativen Bereich kann man in zwei verschiedenen Weisen vorgehen.
Als Beispiel wählen wir Mensch Ärgre dich nicht:
1. Ein Maß auf den Pfaden:
S := {0, 2, 3, . . . , 54, 55} .
Ω := . . . × S × S × S × S × . . .
Xn (ω) := ωn ;
Konstruktion
Im kommutativen Bereich kann man in zwei verschiedenen Weisen vorgehen.
Als Beispiel wählen wir Mensch Ärgre dich nicht:
1. Ein Maß auf den Pfaden:
S := {0, 2, 3, . . . , 54, 55} .
Ω := . . . × S × S × S × S × . . .
Xn (ω) := ωn ;
ω ∈ Ω ist erlaubt falls für jedes n ∈ N:
Konstruktion
Im kommutativen Bereich kann man in zwei verschiedenen Weisen vorgehen.
Als Beispiel wählen wir Mensch Ärgre dich nicht:
1. Ein Maß auf den Pfaden:
S := {0, 2, 3, . . . , 54, 55} .
Ω := . . . × S × S × S × S × . . .
Xn (ω) := ωn ;
ω ∈ Ω ist erlaubt falls für jedes n ∈ N:
1 ≤ ωn+1 − ωn ≤ 6 .
Konstruktion
Im kommutativen Bereich kann man in zwei verschiedenen Weisen vorgehen.
Als Beispiel wählen wir Mensch Ärgre dich nicht:
1. Ein Maß auf den Pfaden:
S := {0, 2, 3, . . . , 54, 55} .
Ω := . . . × S × S × S × S × . . .
Xn (ω) := ωn ;
ω ∈ Ω ist erlaubt falls für jedes n ∈ N:
1 ≤ ωn+1 − ωn ≤ 6 .
Alle erlaubte Pfade haben gleiche Wahrscheinlichkeit.
Konstruktion
Im kommutativen Bereich kann man in zwei verschiedenen Weisen vorgehen.
Als Beispiel wählen wir Mensch Ärgre dich nicht:
1. Ein Maß auf den Pfaden:
S := {0, 2, 3, . . . , 54, 55} .
Ω := . . . × S × S × S × S × . . .
Xn (ω) := ωn ;
ω ∈ Ω ist erlaubt falls für jedes n ∈ N:
1 ≤ ωn+1 − ωn ≤ 6 .
Alle erlaubte Pfade haben gleiche Wahrscheinlichkeit.
2. Ein Maß auf den Würfeln:
Konstruktion
Im kommutativen Bereich kann man in zwei verschiedenen Weisen vorgehen.
Als Beispiel wählen wir Mensch Ärgre dich nicht:
1. Ein Maß auf den Pfaden:
S := {0, 2, 3, . . . , 54, 55} .
Ω := . . . × S × S × S × S × . . .
Xn (ω) := ωn ;
ω ∈ Ω ist erlaubt falls für jedes n ∈ N:
1 ≤ ωn+1 − ωn ≤ 6 .
Alle erlaubte Pfade haben gleiche Wahrscheinlichkeit.
2. Ein Maß auf den Würfeln:
Ω := . . . × W × W × W × S × W × W × W × . . .
Konstruktion
Im kommutativen Bereich kann man in zwei verschiedenen Weisen vorgehen.
Als Beispiel wählen wir Mensch Ärgre dich nicht:
1. Ein Maß auf den Pfaden:
S := {0, 2, 3, . . . , 54, 55} .
Ω := . . . × S × S × S × S × . . .
Xn (ω) := ωn ;
ω ∈ Ω ist erlaubt falls für jedes n ∈ N:
1 ≤ ωn+1 − ωn ≤ 6 .
Alle erlaubte Pfade haben gleiche Wahrscheinlichkeit.
2. Ein Maß auf den Würfeln:
Ω := . . . × W × W × W × S × W × W × W × . . .
P := . . . ⊗ πW ⊗ πW ⊗ πW ⊗ πS ⊗ πW ⊗ πW ⊗ πW ⊗ . . .
Konstruktion
Im kommutativen Bereich kann man in zwei verschiedenen Weisen vorgehen.
Als Beispiel wählen wir Mensch Ärgre dich nicht:
1. Ein Maß auf den Pfaden:
S := {0, 2, 3, . . . , 54, 55} .
Ω := . . . × S × S × S × S × . . .
Xn (ω) := ωn ;
ω ∈ Ω ist erlaubt falls für jedes n ∈ N:
1 ≤ ωn+1 − ωn ≤ 6 .
Alle erlaubte Pfade haben gleiche Wahrscheinlichkeit.
2. Ein Maß auf den Würfeln:
Ω := . . . × W × W × W × S × W × W × W × . . .
P := . . . ⊗ πW ⊗ πW ⊗ πW ⊗ πS ⊗ πW ⊗ πW ⊗ πW ⊗ . . .
(
ω0 + ω1 + ω2 + . . . + ωn
Xn (ω) :=
ω0 − ω−1 − ω−2 + . . . + ω−n
falls n > 0 ;
falls n < 0 ;
Die Kümmerer’sche These
Die Kümmerer’sche These
Quanten-Markovketten sind Würfelspiele.
Die Kümmerer’sche These
Quanten-Markovketten sind Würfelspiele.
Das heißt: die erste Möglichkeit ist im nichtkommutativen unmöglich.
Die Kümmerer’sche These
Quanten-Markovketten sind Würfelspiele.
Das heißt: die erste Möglichkeit ist im nichtkommutativen unmöglich.
Die zweite aber funktioniert in den meisten Fällen schon.
Begründung der These
Begründung der These
Es geht um die Wahl zwischen der ‘Pfadenweisen’ Konstruktion, die etwa so
aussieht:
Begründung der These
Es geht um die Wahl zwischen der ‘Pfadenweisen’ Konstruktion, die etwa so
aussieht:
Ab = · · · ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ · · ·
Begründung der These
Es geht um die Wahl zwischen der ‘Pfadenweisen’ Konstruktion, die etwa so
aussieht:
Ab = · · · ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ · · ·
und die ‘Würfelspiel-Konstruktion’, die wir so angeben können:
Ab = · · · ⊗ W ⊗ W ⊗ W ⊗ A ⊗ W ⊗ W ⊗ W ⊗ · · ·
Begründung der These
Es geht um die Wahl zwischen der ‘Pfadenweisen’ Konstruktion, die etwa so
aussieht:
Ab = · · · ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ · · ·
und die ‘Würfelspiel-Konstruktion’, die wir so angeben können:
Ab = · · · ⊗ W ⊗ W ⊗ W ⊗ A ⊗ W ⊗ W ⊗ W ⊗ · · ·
b ein einfacher Shift, und muß der Zustand ϕ
b alle
Im ersten Fall ist T
Information tragen.
Begründung der These
Es geht um die Wahl zwischen der ‘Pfadenweisen’ Konstruktion, die etwa so
aussieht:
Ab = · · · ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ · · ·
und die ‘Würfelspiel-Konstruktion’, die wir so angeben können:
Ab = · · · ⊗ W ⊗ W ⊗ W ⊗ A ⊗ W ⊗ W ⊗ W ⊗ · · ·
b ein einfacher Shift, und muß der Zustand ϕ
b alle
Im ersten Fall ist T
Information tragen.
b von einem Shift und einer Wechselwirkung zwischen A
Im zweiten Fall kann T
und W aufgebaut werden.
Begründung der These
Es geht um die Wahl zwischen der ‘Pfadenweisen’ Konstruktion, die etwa so
aussieht:
Ab = · · · ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ · · ·
und die ‘Würfelspiel-Konstruktion’, die wir so angeben können:
Ab = · · · ⊗ W ⊗ W ⊗ W ⊗ A ⊗ W ⊗ W ⊗ W ⊗ · · ·
b ein einfacher Shift, und muß der Zustand ϕ
b alle
Im ersten Fall ist T
Information tragen.
b von einem Shift und einer Wechselwirkung zwischen A
Im zweiten Fall kann T
und W aufgebaut werden.
Satz (Kümmerer)
Begründung der These
Es geht um die Wahl zwischen der ‘Pfadenweisen’ Konstruktion, die etwa so
aussieht:
Ab = · · · ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ · · ·
und die ‘Würfelspiel-Konstruktion’, die wir so angeben können:
Ab = · · · ⊗ W ⊗ W ⊗ W ⊗ A ⊗ W ⊗ W ⊗ W ⊗ · · ·
b ein einfacher Shift, und muß der Zustand ϕ
b alle
Im ersten Fall ist T
Information tragen.
b von einem Shift und einer Wechselwirkung zwischen A
Im zweiten Fall kann T
und W aufgebaut werden.
Satz (Kümmerer)
Wenn A = Mn und j : A → Ab erlaubt eine bedingte Erwartung P : Ab → A,
b dann muß Ab der Form
verträglich mit den Zuständen ϕ auf A und ϕ
b auf A,
A ⊗ C sein, und ϕ
b der Form
ϕ
b = ϕ ⊗ ψ,
wobei
j(a) = a ⊗ 1l .
Begründung der These
Es geht um die Wahl zwischen der ‘Pfadenweisen’ Konstruktion, die etwa so
aussieht:
Ab = · · · ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ A ⊗ · · ·
und die ‘Würfelspiel-Konstruktion’, die wir so angeben können:
Ab = · · · ⊗ W ⊗ W ⊗ W ⊗ A ⊗ W ⊗ W ⊗ W ⊗ · · ·
b ein einfacher Shift, und muß der Zustand ϕ
b alle
Im ersten Fall ist T
Information tragen.
b von einem Shift und einer Wechselwirkung zwischen A
Im zweiten Fall kann T
und W aufgebaut werden.
Satz (Kümmerer)
Wenn A = Mn und j : A → Ab erlaubt eine bedingte Erwartung P : Ab → A,
b dann muß Ab der Form
verträglich mit den Zuständen ϕ auf A und ϕ
b auf A,
A ⊗ C sein, und ϕ
b der Form
ϕ
b = ϕ ⊗ ψ,
Also: Shift ist trivial!
wobei
j(a) = a ⊗ 1l .
Beweis.
Die Unteralgebra j(A) = j(Mn ) von Ab ist isomorph zu Mn .
Beweis.
Die Unteralgebra j(A) = j(Mn ) von Ab ist isomorph zu Mn .
Darum spaltet sich Ab kanonisch in ein Tensorprodukt A ⊗ C, wo C die relative
Kommutante von j(A) in Ab andeutet.
Beweis.
Die Unteralgebra j(A) = j(Mn ) von Ab ist isomorph zu Mn .
Darum spaltet sich Ab kanonisch in ein Tensorprodukt A ⊗ C, wo C die relative
Kommutante von j(A) in Ab andeutet.
Definiere den Zustand ψ auf C als ψ(c) := ϕ(1
b l ⊗ c).
Beweis.
Die Unteralgebra j(A) = j(Mn ) von Ab ist isomorph zu Mn .
Darum spaltet sich Ab kanonisch in ein Tensorprodukt A ⊗ C, wo C die relative
Kommutante von j(A) in Ab andeutet.
Definiere den Zustand ψ auf C als ψ(c) := ϕ(1
b l ⊗ c).
Wegen der Modul-Eigenschaft einer bedingten Erwartung muß jetzt P(1l ⊗ c)
zentral sein in Mn für jedes c ∈ C:
Beweis.
Die Unteralgebra j(A) = j(Mn ) von Ab ist isomorph zu Mn .
Darum spaltet sich Ab kanonisch in ein Tensorprodukt A ⊗ C, wo C die relative
Kommutante von j(A) in Ab andeutet.
Definiere den Zustand ψ auf C als ψ(c) := ϕ(1
b l ⊗ c).
Wegen der Modul-Eigenschaft einer bedingten Erwartung muß jetzt P(1l ⊗ c)
zentral sein in Mn für jedes c ∈ C:
a ⊗ 1l · P(1l ⊗ c) = P(a ⊗ 1l · 1l ⊗ c) = P(1l ⊗ c · a ⊗ 1l) = P(1l ⊗ c) · a ⊗ 1l .
Beweis.
Die Unteralgebra j(A) = j(Mn ) von Ab ist isomorph zu Mn .
Darum spaltet sich Ab kanonisch in ein Tensorprodukt A ⊗ C, wo C die relative
Kommutante von j(A) in Ab andeutet.
Definiere den Zustand ψ auf C als ψ(c) := ϕ(1
b l ⊗ c).
Wegen der Modul-Eigenschaft einer bedingten Erwartung muß jetzt P(1l ⊗ c)
zentral sein in Mn für jedes c ∈ C:
a ⊗ 1l · P(1l ⊗ c) = P(a ⊗ 1l · 1l ⊗ c) = P(1l ⊗ c · a ⊗ 1l) = P(1l ⊗ c) · a ⊗ 1l .
Also P(1l ⊗ c) ist eine Konstante, und diese muß ψ(c) sein weil ϕ
b = ϕ ◦ P.
Beweis.
Die Unteralgebra j(A) = j(Mn ) von Ab ist isomorph zu Mn .
Darum spaltet sich Ab kanonisch in ein Tensorprodukt A ⊗ C, wo C die relative
Kommutante von j(A) in Ab andeutet.
Definiere den Zustand ψ auf C als ψ(c) := ϕ(1
b l ⊗ c).
Wegen der Modul-Eigenschaft einer bedingten Erwartung muß jetzt P(1l ⊗ c)
zentral sein in Mn für jedes c ∈ C:
a ⊗ 1l · P(1l ⊗ c) = P(a ⊗ 1l · 1l ⊗ c) = P(1l ⊗ c · a ⊗ 1l) = P(1l ⊗ c) · a ⊗ 1l .
Also P(1l ⊗ c) ist eine Konstante, und diese muß ψ(c) sein weil ϕ
b = ϕ ◦ P.
Also
ϕ(a
b ⊗ c) = ϕ P(a ⊗ c) = ϕ a ⊗ 1l · ψ(c) = ϕ(a) · ψ(c) .
Unsere Welt
Unsere Welt
Dr Erfolg der Quantentheorie, und die Verletzung der Bell-Ungleichungen legen
es nahe, zu vermuten daß die nichtkommutative Welt die unsere ist.
Unsere Welt
Dr Erfolg der Quantentheorie, und die Verletzung der Bell-Ungleichungen legen
es nahe, zu vermuten daß die nichtkommutative Welt die unsere ist.
Daß würde heißen das es inkompatibele Tatsächen gibt:
Unsere Welt
Dr Erfolg der Quantentheorie, und die Verletzung der Bell-Ungleichungen legen
es nahe, zu vermuten daß die nichtkommutative Welt die unsere ist.
Daß würde heißen das es inkompatibele Tatsächen gibt:
Jede Frage hat zwar eine Antwort, aber nicht alle zusammen.
Unsere Welt
Dr Erfolg der Quantentheorie, und die Verletzung der Bell-Ungleichungen legen
es nahe, zu vermuten daß die nichtkommutative Welt die unsere ist.
Daß würde heißen das es inkompatibele Tatsächen gibt:
Jede Frage hat zwar eine Antwort, aber nicht alle zusammen.
Unserer Meinung nach sollen wir darüber nicht trauern, sondern die Idee gerade
in unserem Vorteil anwenden.
Die Welt ist die Gesammtheit der Tatsachen,
nicht der Dinge.
Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus.
Noch ganz viele Jahre zusammen!
Noch ganz viele Jahre zusammen!
Noch ganz viele Jahre zusammen!