Lineare Algebra I
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Lineare Algebra I Prof. Dr. Wolfgang Mackens [email protected] Technische Universität Hamburg-Harburg Wintersemester 2007/2008 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 1 / 309 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Komplexe Zahlen C 2 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Allgemeine Vektorräume 3 Lineare Gleichungssysteme Definition und Beispiele Lösungsverhalten Der Gaußsche Algorithmus 4 Matrizen Definition und Beispiele Lineare Abbildungen und Matrizen Matrizenprodukt Lineare Systeme und Inverse TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 2 / 309 Grundlagen Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Komplexe Zahlen C 2 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Allgemeine Vektorräume 3 Lineare Gleichungssysteme Definition und Beispiele Lösungsverhalten Der Gaußsche Algorithmus 4 Matrizen Definition und Beispiele Lineare Abbildungen und Matrizen Matrizenprodukt Lineare Systeme und Inverse TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 3 / 309 Grundlagen Komplexe Zahlen C Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Komplexe Zahlen C 2 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Allgemeine Vektorräume 3 Lineare Gleichungssysteme Definition und Beispiele Lösungsverhalten Der Gaußsche Algorithmus 4 Matrizen Definition und Beispiele Lineare Abbildungen und Matrizen Matrizenprodukt Lineare Systeme und Inverse TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 4 / 309 Grundlagen Komplexe Zahlen C Einführung Seite 28 Lösung von x 2 + 1 = 0, pq-Formel√liefert x1/2 = ± −1 ; | {z } x 2 − 6 x + 11 = 0 ? √ x1/2 = 3 ± −2 | {z } verboten verboten Definition Imaginäre Einheit i := √ −1 Dann x1/2 = ±i; i 2 = −1. Allgemein z = x + i y ; x, y ∈ R x1/2 = 3 ± √ 2·i Komplexe Zahl. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 5 / 309 Grundlagen Komplexe Zahlen C Seite 29 C : = {z = x + i y | x, y ∈ R} Komplexe Addition & Multiplikation Mit z1 : = x1 + i y1 , z2 : = x2 + i y2 definiere z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ) z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ) Aus reellen Rechenregeln unter Beachtung von i 2 = −1 : (x1 +i y1 )(x2 +i y2 ) = x1 x2 +i x1 y2 +i y1 x2 +i 2 y1 y2 = (x1 x2 −y1 y2 )+i(x1 y2 +y1 x2 ). TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 6 / 309 Grundlagen Komplexe Zahlen C Zahlenebene C Seite 30 C z = a + ib b |z| a |z̄| −b TUHH Prof. Dr. Mackens z̄ = a − ib Lineare Algebra I WiSe 07/08 7 / 309 Grundlagen Komplexe Zahlen C Seite 31 Bezeichnungen Re(a + i b) = a Realteil Im(a + i b) = b Imaginärteil a+i b =a−i b konjugiert Komplexes |a + i b| : = √ a2 + b 2 Betrag ∈ R C z Im(z) |z| Re(z) |z̄| z̄ Konsequenzen z + z̄ = 2Re z z − z̄ = 2i Im z z̄¯ = z z · z̄ = |z|2 z1 + z2 = z¯1 + z¯2 z1 · z2 = z¯1 · z¯2 (Nachrechnen!!!) TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 8 / 309 Grundlagen Komplexe Zahlen C Seite 31 Division z1 · z¯2 z1 · z¯2 z1 = = z2 z2 · z2 |z2 |2 z1 · z¯2 = (x1 x2 + y1 y2 ) + i(y1 x2 − x1 y2 ) Also TUHH z1 = z2 Prof. Dr. Mackens x1 x2 + y1 y2 x22 + y22 + i Lineare Algebra I y1 x2 − x1 y2 x22 + y22 WiSe 07/08 9 / 309 Grundlagen Komplexe Zahlen C Seite 31 Achtung: C nicht ordenbar. Aber: |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 | |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |. z1 + z2 z1 z2 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 10 / 309 Grundlagen Komplexe Zahlen C Geometrie komplexer Operationen TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I Seite 31 WiSe 07/08 11 / 309 Grundlagen Komplexe Zahlen C 1. Addition wie Vektoraddition in der Ebene Seite 31 C z1 b1 z2 a2 b1 + b2 a1 a1 + a2 z1 + z2 b2 z2 z1 + z2 = a1 + ib1 + a2 + ib2 = (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 ) TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 12 / 309 Grundlagen Komplexe Zahlen C 2. Multiplikation und Division mit Polardarstellung komplexer Zahlen TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I Seite 32 WiSe 07/08 13 / 309 Grundlagen Komplexe Zahlen C Sinus und Cosinus am Einheitskreis Seite 32 zu ϕ gehörige Bogenlänge y sin2 (ϕ) + cos2 (ϕ) = 1 π 2 sin(0) = 0 cos(0) = 1 sin( π2 ) = 1 cos( π2 ) = 0 sin ϕ r =1 ϕ cos ϕ π x 3 2π TUHH Prof. Dr. Mackens sin(−ϕ) = − sin(ϕ) cos(−ϕ) = cos(ϕ) sin(ϕ + π) = − sin(ϕ) cos(ϕ + π) = − cos(ϕ) Vollkreis hat 360◦ oder eine Bogenlänge von 2π Lineare Algebra I WiSe 07/08 14 / 309 Grundlagen Komplexe Zahlen C Seite 33 sin(ϕ) 1 π 2 π 3 2π ϕ 2π -1 cos(ϕ) Additionstheoreme für sin und cos sin(ϕ + ψ) = sin(ϕ) cos(ψ) + sin(ψ) cos(ϕ) cos(ϕ + ψ) = cos(ϕ) cos(ψ) − sin(ϕ) sin(ψ) TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 15 / 309 Grundlagen Komplexe Zahlen C Seite 33 Geometrischer Beweis −→ Skript. Analytischer Beweis −→ nächstes Semester. Einfache Merkregel: kommt gleich. Benötigt werden etwas später noch: tan(ϕ) = sin ϕ cos ϕ , nicht definiert bei ϕ = cot(ϕ) = cos ϕ sin ϕ , nicht definiert bei ϕ = nπ, n ∈ N. TUHH Prof. Dr. Mackens 2n+1 2 π, n Lineare Algebra I ∈ N WiSe 07/08 16 / 309 Grundlagen Komplexe Zahlen C Jetzt Polardarstellung von z ∈ C Seite 33 z = r (cos(ϕ) + i sin(ϕ)) y Kürze ab: z Abkürzung gut? r sin ϕ ϕ r cos ϕ r = |z| eiϕ := cos(ϕ) + i sin(ϕ) JA: ei(ϕ+ψ) = x cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ) = cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ + i(cos ϕ sin ψ + cos ψ sin ϕ) = (cos ϕ+i sin ϕ)(cos ψ+i sin ψ) = eiϕ eiψ Dann z = reiϕ TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 17 / 309 Grundlagen Komplexe Zahlen C Seite 34 Eulers Formel eiϕ = cos(ϕ) + i sin(ϕ) Ist ungeheuer praktisch! Anwendungsbeispiel: Additionstheoreme vergessen? Euler liefert: cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ) = ei(ϕ+ψ) = eiϕ eiψ = (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ + i sin ψ) = (cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ) + i(cos ϕ sinψ + cos ψ sin ϕ) Vergleiche Real- und Imaginärteile beider Seiten. Fertig! TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 18 / 309 Grundlagen Komplexe Zahlen C y z = Re(z) + i Im(z) = r eiϕ , ϕ = arg z. arg z nur bis auf Vielfache von 2π bestimmt. z Im(z) ϕ r = |z| TUHH Prof. Dr. Mackens Re(z) x Praktische Bestimmung von ϕ aus Im(z) tan ϕ = Re(z) Im(z) ϕ = arc tan Re(z) Lineare Algebra I WiSe 07/08 19 / 309 Grundlagen Komplexe Zahlen C Aber Achtung! tan ϕ − π2 TUHH Prof. Dr. Mackens 0 ϕ1 π 2 Lineare Algebra I π ϕ2 3π 2 ϕ WiSe 07/08 20 / 309 Grundlagen Komplexe Zahlen C y1 y2 = x1 x2 y1 ϕ2 ϕ1 x2 x1 y2 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 21 / 309 Grundlagen Komplexe Zahlen C Wozu der Aufstand? Seite 34 Antwort: Multiplikation und Division werden sehr einfach! i(ϕ1 +ϕ2 ) r1 · r2 · e (r1 ei ϕ1 )(r2 ei ϕ2 ) = | {z } | {z } addiere Argumente. multipliziere Beträge . (r1 ei ϕ1 ) (r2 ei ϕ2 ) = rr12 ei (ϕ1 −ϕ2 ) . Speziell (Formel von de Moivre) (r ei ϕ )n = r n ei n ϕ [r (cos φ + i sin ϕ)]n = r n (cos n φ + i sin n ϕ) ⇒ weitere Additionstheoreme TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 22 / 309 Grundlagen Komplexe Zahlen C De Moivre rückwärts: Seite 45 Gesucht n-te Wurzel aus z = r ei ϕ Eine Antwort √ n z = r 1/n ei ϕ/n Aber auch √ 2π n z = r 1/n ei(ϕ/n+ n ·k ) da 2π n n· k = 1, · · · , n − 1 · k = 2π · k Allgemein: √ n TUHH ϕ z = r 1/n ei ( n + Prof. Dr. Mackens 2π n ·k ) , k = 0, 1, · · · , n − 1 Lineare Algebra I WiSe 07/08 23 / 309 Grundlagen Komplexe Zahlen C Seite 36 ζ2 ζ3 ζ1 ζ4 ζ0 ζ5 ζ7 ζ6 Die 8 achten Wurzeln aus 1. Die 8 achten ““Einheitswurzeln““. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 24 / 309 Grundlagen Komplexe Zahlen C Sind Komplexe Zahlen wirklich? TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 25 / 309 Vektorrechnung Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Komplexe Zahlen C 2 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Allgemeine Vektorräume 3 Lineare Gleichungssysteme Definition und Beispiele Lösungsverhalten Der Gaußsche Algorithmus 4 Matrizen Definition und Beispiele Lineare Abbildungen und Matrizen Matrizenprodukt Lineare Systeme und Inverse TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 26 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Komplexe Zahlen C 2 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Allgemeine Vektorräume 3 Lineare Gleichungssysteme Definition und Beispiele Lösungsverhalten Der Gaußsche Algorithmus 4 Matrizen Definition und Beispiele Lineare Abbildungen und Matrizen Matrizenprodukt Lineare Systeme und Inverse TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 27 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Vektoren Seite 38 v v v TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 28 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 38 z x3 p v x2 x1 x TUHH Prof. Dr. Mackens y x1 R3 := x2 : x1 , x2 , x3 ∈ R x3 Lineare Algebra I WiSe 07/08 29 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 38 R2 := x1 x2 : x1 , x2 ∈ R ∼ = Vektoren der Ebene. x1 R3 := x2 : x1 , x2 , x3 ∈ R ∼ = Vektoren im Raum. x3 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 30 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 39 Addition von Vektoren: a1 b1 a1 + b1 a = a2 , b = b2 , a + b = a2 + b2 a3 b3 a3 + b3 Geometrisch: Aneinanderfügen der Vektorpfeile x2 a b a+b b a x1 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 31 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 39 Multiplikation mit Skalaren (reellen Zahlen) a1 a1 · λ a · λ = a2 · λ = a2 · λ a3 a3 · λ 3·v v TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 32 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 39 Zerlegen in vorgegebene Richtungen a λ·v v u µ·u a=λv +µu In R2 jeder Vektor in Richtungen u, v , die nicht parallel sind. In R3 in u, v , w die nicht in einer Ebene liegen. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 33 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Zerlegung eines Vektors in vorgegebene Richtungen: Eines der häufigsten Probleme in der Mathematik! Thema des ganzen 1. Semesters! TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 34 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Beispiel 2.1 (zeichnerische Lösung) Seite 40 v2 v1 K2 Kg K1 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 35 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Beispiel (rechnerische Lösung) K 1 : = µ1 v 1 K 2 : = µ2 v 2 Seite 40 K g gegeben. Ruhebedingung: K1 + K2 + Kg = 0 v 1 µ1 + v 2 µ2 = −K g Komponentenweise: g v11 µ1 + v12 µ2 = −K1 g v21 µ1 + v22 µ2 = −K2 Lineares Gleichungssystem: 1 g v1 v12 µ1 K1 = − . g µ2 v21 v22 K2 Trigonometrie nicht nötig! TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 36 / 309 Vektorrechnung y E= µ1 · v 1 L1 E1 E2 Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum µ3 · v 3 µ2 · v 2 L3 x 1 0 L1 + L2 + µ1 v 1 + µ2 v 2 = 0 0 1 L2 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 37 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum x1 Vektoren ... mit n 3 treten auf. x n 1 0 L1 + L2 + µ1 v 1 + µ2 v 2 = 0 0 1 1 3 ⇔ E− µ v + µ v = 0 1 3 0 2 3 L3 − µ2 v − µ3 v = 0 1 0 B B B B B @ 1 0 0 0 0 0 TUHH 1 0 C B C B C B C L1 + B C B A @ 0 1 0 0 0 0 v11 B v1 C 2 B C B −v 1 C 1 C L2 + B B 1 C B −v2 A @ 0 0 1 Prof. Dr. Mackens 0 0 v12 B v2 C 2 B C C B C µ1 + B 0 B 0 C C B @ −v 2 A 1 −v22 1 0 0 C B 0 C B 3 C B C µ2 + B v13 C B v2 C B A @ −v 3 1 −v23 1 Lineare Algebra I 1 0 C B C B C C µ3 + B B C B C @ A 0 0 0 0 0 1 0 0 C B 0 C B C B −E1 C L3 = B C B −E2 A @ 0 0 1 WiSe 07/08 1 C C C C C A 38 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 41 Satz 2.3: Eigenschaften der Vektoroperationen ∀a, b, c ∈ R3 ∀ λ, µ ∈ R : (i) a + b = b + a (ii) (a + b) + c = a + (b + c) (iii) ∃! x : = b − a ∈ R3 mit a + x = b (iv) (λ · µ) · a = λ · (µ · a) (v) λ(a + b) = λ · a + λ · b (vi) (λ + µ)a = λ a + µ a (vii) 1 · a = a. Aufgaben: 0·a=Θ ∃ : Θ ∈ R3 mit a + Θ = a ∀ a. TUHH Aus Eigenschaften folgerbar. Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 39 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 41 v2 v1 K2 Frage: Wie gross sind K 1 , K 2 ? Kg K1 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 40 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 41 Länge |a| eines Vektors a ? z a3 |p|2 = a12 + a22 |a|2 = |p|2 + a32 |a| a1 |p| a2 y x |a|2 = |p|2 + a32 = a12 + a22 + a32 Betrag q |a| = a12 + a22 + a32 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 41 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 42 Satz 2.5: Eigenschaften der „Längenfunktion“ | · | ∀ a, b ∈ R3 , ∀ λ ∈ R, |a| = 0 ⇔ a = 0 |λ a| = |λ| · |a| |a + b| ≤ |a| + |b| (Dreiecksungleichung) b a a+b TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 42 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 42 Folgerung aus der Dreiecksungleichung Wie bei dem reellen Betrag zeigt man auch |u| − |v | ≤ |u − v | (⇔ ±(|u| − |v |) ≤ |u − v |). Hinweis: Stetigkeit des Betrags. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 43 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Skalar-Produkt = Inneres-Produkt = Punkt-Produkt Seite 44 |a| · cos α b α a |b| · cos α Skalar-Produkt ha, bi : = |a| · |b| · cos α TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 44 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum ha, bi = |a| · |b| · cos α b α a |a| · cos α = Länge der Projektion von a auf die Richtung von b |b| · cos α = Länge der Projektion von b auf die Richtung von a. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 45 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum ha, bi = |a| · |b| · cos α Berechnungsformel für cos α: cos α = ha,bi |a|·|b| Wenn ha, bi irgendwie anders berechnet werden kann, findet man einen Algorithmus für cos(α). Wir werden sehen: Man kann ha, bi = 3 X ai bi . i=1 Dafür ist etwas Arbeit nötig! TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 46 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Achtung! In vielen Schulen a · b statt ha, bi Das ist gefährlich! Was ist a · b · c? Antwort: QUATSCH! TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 47 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 44 Satz 2.6: Eigenschaften des Skalarproduktes (i) ha, bi = hb, ai ∀ a, b (ii) ha + b, ci = ha, ci + hb, ci (iii) hλ a, bi = λ ha, bi (iv) ha, ai = |a|2 > 0 TUHH Prof. Dr. Mackens ∀ a, b, c ∀ a, b ∈ R3 , λ ∈ R ∀ a ∈ R3 \ {0} Lineare Algebra I WiSe 07/08 48 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 45 Beweis: ha, bi = hb, ai b cos(2π − α) = cos(α) α a (i) TUHH 2π − α Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 49 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 45 Beweis: ha + b, ci = ha, ci + hb, ci b a ha,ci |c| (ii) TUHH c hb,ci |c| ha+b,ci |c| Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 50 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 45 Beweis: hλ a, bi = λha, bi cos(π − α) = − cos(α) α a b −a π−α (iii) (iv) klar. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 51 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 45 Beweis von: ha, bi = Pn i=1 ai bi 0 1 0 1 0 1 0 Mit e1 = @ 0 A , e2 = @ 1 A , e3 = @ 0 0 0 1 a1 ⇒ a = @ a2 A = a1 e1 + a2 e2 + a3 a 0 3 1 b1 ⇒ b = @ b2 A = b1 e1 + b2 e2 + b3 b3 1 0 0 A 1 e3 e3 DP E P3 3 ha, bi = i=1 ai ei , i=1 bj ej ˙ ¸ P3 P3 = i=1 j=1 ai bj ei , ej 1 i =j Wegen hei , ej i = 0 sonst ⇒ ha, bi = 3 X ai bi i=1 | {z } Ist das nun nicht einfach? TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 52 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 46 |ha, bi| = |a| · |b| · cos α ≤ a · b Also P P 1 1 P 3 3 3 2 2 2 2 · i=1 ai bi ≤ i=1 bi i=1 ai Cauchy - Schwarzsche - Ungleichung CSU ha, bi ≤ |a| · |b| Damit zeigt man die Dreiecksungleichung: |a + b|2 = ha + b, a + bi = ha, ai + 2ha, bi + hb, bi ≤ |a|2 + 2|a| · |b| + |b|2 = (|a| + |b|)2 ⇒ |a + b| ≤ |a| + |b|. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 53 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Anwendungen: 1 2 Seite 47 Satz des Pythagoras → Spezialfall von Cos-Satz Satz von Thales b d c a a hb, ci = ha + d, −a + di = −ha, ai + ha, di − hd, ai + hd, di = −|a|2 + |d|2 = 0 3 Cosinus - Satz b a α c TUHH Prof. Dr. Mackens |a|2 = ha, ai = hb − c, b − ci = |b|2 + |c|2 − 2|b| · |c| cos α Lineare Algebra I WiSe 07/08 54 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum ha, bi = |a| · |b| · cos α b α a |b| · cos α = ha, bi a · |a| |a| 1 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 55 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Folie zum Übers-Bett-Hängen b α a Projektion von b auf a-Richtung = TUHH Prof. Dr. Mackens ha, bi ha, bi ·a= ·a |a| · |a| ha, ai Lineare Algebra I WiSe 07/08 56 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Kreuzprodukt Seite 47 ω A α A K ω K (1) |A| = |ω| · |K | · sin α (2) A senkrecht zu K und ω. (3) K ω A Rechtssystem Kreuzprodukt von K und ω A=K ×ω TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 57 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Interpretation von |K × ω| = |K | · |ω| · sin α Seite 48 K ×ω F K ω |ω| · sin α F K α ω |K | |K | · |ω| · sin α = F = Fläche des durch K und ω aufgespannten Parallelogrammes. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 58 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Allgemein also Seite 48 Seien a, b ∈ R3 \{0} mit ∠(a, b) = α. Dann ist a × b ∈ R3 definiert durch (i) |a × b| = |a| · |b| · | sin α| (ii) a × b⊥ a, b (iii) (a, b, a × b) Rechtssystem Bei a oder b = 0 Sei a × b = 0 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 59 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Beispiel 2.9 (Sinus-Satz) Seite 48 a b β α c |a| sin β = |b| sin α Beweis |F | = = TUHH Prof. Dr. Mackens 1 |b × c| = 2 1 |a × c| = 2 1 |b| |c| sin α 2 1 |a| · |c| · sin β 2 Lineare Algebra I WiSe 07/08 60 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Achtung: Seite 49 Skalarprodukt ohne Schwierigkeiten auf Rn verallgemeinerbar. Aber: Kreuzprodukt lebt nur in R3 Satz 2.10: Eigenschaften des Kreuzproduktes ∀ a, b, c ∈ R3 ∀ λ ∈ R (i) a × b = −b × a (ii) λ(a × b) = (λa) × b = a × (λb) (iii) a × (b + c) = a × b + a × c (iv) |a × b|2 = |a|2 |b|2 − ha, bi2 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 61 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 49 Beweis. b a (i) a × b = b a −b × a (ii) selber machen (iv) |a × b|2 = |a|2 · |b|2 sin2 α = |a|2 · |b|2 (1 − cos2 α) = |a|2 · |b|2 − |a|2 |b|2 cos2 α | {z } ha,bi2 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 62 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 49 Beweis: a × (b + c) = a × b + a × c a × (b + c), c = λa c (iii) 1.Fall c b b+c b b+c a TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 63 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 50 Beweis: a × (b + c) = a × b + a × c (iii) 2. Fall |a| = 6 0 und a⊥b, a⊥c a×b c b a×c a⊥ auf Zeichenebene (nach oben!) TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 64 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 50 Beweis: a × (b + c) = a × b + a × c (iii) 3. Fall a, b, c ∈ R3 beliebig. (Wird auf Fälle 1 und 2 zurückgeführt). Wir zeigen die Behauptung nur für |a| = 1. 1 a Denn, wenn für ã = |a| ã × (b + c) = ã × b + ã × c richtig, dann auch (nach (ii)) ... a × (b + c) = |a|ã × (b + c) = |a|ã × b + |a|ã × c = a × b + a × c. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 65 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 50 immer noch Beweis: a × (b + c) = a × b + a × c Also o.B.d.A.: |a| = 1 Setze dann b̃ = b − ha, bia ⊥a c̃ = c − ha, cia ⊥a. Dann a × (b + c) = a × (b̃ + ha, bia + c̃ + ha, cia) = a × ((b̃ + c̃) + (ha, bi + ha, ci)a ) | {z } λa mit Fall 1 = a × (b̃ + c̃) + a × (λa) | {z } =0 nach (ii) , (i) mit Fall 2 = a × b̃ + a × c̃ = a × (b − ha, bia) + a × (c − ha, cia) mit Fall 1 = a × b + a × c. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 66 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Berechnung von a × b ohne Winkel α e1 = e2 = e3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Seite 50 e3 e2 e1 e1 × e2 = e3 e2 × e3 = e1 e3 × e1 = e2 Einsetzen von a = in a × b liefert: TUHH P Prof. Dr. Mackens ai ei b= P bj ej Lineare Algebra I WiSe 07/08 67 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 51 P P a×b = ai · ei × bj · ej P P = i j ai · bj · ei × ej a2 b3 − a3 b2 = a3 b1 − a1 b3 a1 b2 − a2 b1 Wer soll das behalten? TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 68 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 51 Keiner! Definition 2.11 Matrix, Determinante a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n A= . .. .. . ∈ R(m×n) , aij ∈ R am1 am2 · · · amn heißt (m, n) - Matrix. m ist die Zeilenzahl, n die Spaltenzahl der Matrix A. Sind Zeilenzahl und Spaltenzahl gleich, so heißt eine Matrix quadratisch. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 69 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 51 Jeder quadratischen Matrix A ∈ Rm,n wird eine reelle Zahl det A ∈ R zugeordnet, die Determinante von A. Bei a11 · · · a1n .. A = ... . an1 · · · ann schreibt man auch TUHH Prof. Dr. Mackens a11 · · · a1n .. .. . . an1 · · · ann := det A. Lineare Algebra I WiSe 07/08 70 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 51 Wir definieren det A für A ∈ Rnn zunächst nur für n = 2 und n = 3. n=2 det TUHH Prof. Dr. Mackens a11 a21 a12 a22 := a11 · a22 − a21 · a12 Lineare Algebra I WiSe 07/08 71 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 51 n=3 a12 a13 a22 a23 := a a33 32 a22 a23 +a11 · det a a33 32 a21 a23 −a12 · det a a33 31 a21 a22 +a13 · det a31 a32 a11 det a21 a31 2×2Determinanten nach n = 2 Regel ausrechnen Anmerkung: n = 4 greift analog auf n = 3 Definition zurück usw. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 72 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum 3 Für a, b ∈ R und e1 , e2 , e3 die Einheitsvektoren des R3 setze formal Seite 51 e1 e2 e3 A(a, b) := a1 a2 a3 b1 b2 b3 Dann ist det A(a, b) = e1 (a2 b3 − b2 a3 ) −e2 (a1 b3 − b1 a3 ) +e3 (a1 b2 − b1 a2 ) a2 b3 − b2 a3 = b1 a3 − a1 b3 a1 b2 − b1 a2 = a × b. Also: e1 a × b = a1 b1 TUHH Prof. Dr. Mackens e2 a2 b2 Lineare Algebra I e3 a3 b3 WiSe 07/08 73 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 52 a×b |c| · cos α = Höhe h c α a b F b a Spatprodukt ha × b, ci = |a × b| · |c| · cos(α) | {z } | {z } Grundfläche F Höhe h = Volumen des durch a, b, c aufgespannten Spates Spat = Parallelepiped = Parallelotop TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 74 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Berechnung des Spatprodukts a2 a3 a1 e1 − det b2 b3 b1 = : u1 e1 − u2 e2 + u3 e3 a × b = det a3 b3 Seite 53 e2 + det a1 b1 a2 b2 e3 V : = ha × b, ci = hu1 e1 − u2 e2 + u3 e3 , ci = u1 he1 , ci −u2 he2 , ci +u3 he3 , ci | {z } | {z } | {z } c1 a2 b2 a3 b3 c1 = det a1 b1 c2 a2 b2 = det TUHH c1 − det a1 b1 a3 b3 c2 + det a1 b1 c2 a2 b2 c3 c3 c3 c a a3 = det a = det b b3 b c Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 75 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Da „V = 0 ⇔ a, b, c in einer Ebene“, ergibt sich neben der Berechnungsmethode für V ein einfacher Test für „a, b, c in Ebene.“ TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 76 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Etwas Elementargeometrie Seite 53 Geraden: x3 x2 A A a b−a b−a a B b b x1 B x2 x1 × = a + λ u, λ ∈ R {z } | Punkt (a) - Richtungs (u) - Darstellung der Gerade oder Parameterdarstellung (Parameter λ) z.B.: u = b − a. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 77 / 309 Vektorrechnung x1 = a1 + λu1 x2 = a2 + λu2 Œ u1 6= 0 Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum x1 = a1 + λu1 x2 = a2 + λu2 x3 = a3 + λu3 Œ u1 6= 0 |(− uu21 ) x2 − uu21 x1 = a2 − uu21 a1 ⇔ −u2 x1 + u1 x2 = −u2 a1 + u1 a2 −u2 x1 + u1 x2 = −u2 a1 + u1 a2 −u3 x1 + u1 x3 = −u3 a1 + u1 a3 Gleichungsdarstellungen. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 78 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 54 Lemma 2.13 Mit ai , u i ∈ R3 , i = 1, 2 seien Mi := {x| x := ai + λ u i , λ ∈ R} Behauptung i = 1, 2. M1 = M2 ⇔ a2 − a1 = J u 1 für ein J ∈ R und µ ∈ R und u 2 = κ u 1 für ein κ ∈ R, κ 6= 0. Beweis: → Skript. Interpretation: → Tafel! TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 79 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Ebenen Seite 55 E B u A v a X C b c 0 Parameterdarstellung von X ∈ E x := Ortsvektor von X x = a + λu + µ v u, v Vektoren „in E“ nicht parallel, etwa u = b − a, v = c − a. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 80 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 57 Elimination von λ und µ aus xi = ai + λ ui + µ vi Gleichungsdarstellung i = 1, 2, 3 führt auf n1 x1 + n2 · x2 + n3 · x3 = δ, xi , ni , n1 , n2 , n3 , δ ∈ R TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 81 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 58 hn, xi = δ hn, ai = δ hn, xi = δ = hn, ai ⇒ hn, x − ai = 0 d.h. n ⊥ x − a ∀ x ∈ E n senkrecht auf Ebene. n E a x2 x1 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 82 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Beispiel: 1 1 1 x = 1 + λ 0 + µ 1 1 1 −1 ⇔ x1 = 1 + λ + µ x2 = 1 +µ x3 = 1 + λ − µ ∗1 ∗(−2) ∗(−1) x1 − 2x2 − x3 = −2 n1 = 1, n2 = −2, n3 = −1, δ = −2 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 83 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 58 n =u×v v C A u a c B b 0 Wenn man eine Normale n von E hat und einen Punkt a, so findet man eine Gleichung ganz schnell. hn, x − ai = 0 Woher n nehmen? u =b−a v =c−a n = u × v. | {z } Fertig! TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 84 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 59 Noch besser: Verwende statt Normalenvektor n den Einheitsnormalenvektor n0 := 1 n |n| Hessesche Normalform Die Form hn0 , x − ai = 0 der Ebenengleichnung heißt Hessesche Normalform TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 85 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 59 n0 |d| P d E p−a a d p 0 0 0 d = hn , p − ain |d| = |hn0 , p − ai| Abstand von Punkt P zu Ebene E. TUHH Prof. Dr. Mackens d = Projektion von p − a auf n0 Lineare Algebra I WiSe 07/08 86 / 309 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Seite 59 Hessesche Normalform einer Ebene x = a + λ u + µ v , λ, µ ∈ R u×v h , x − ai = 0. |u × v | Analog R2 Parameterform: x = a + λ u , λ ∈ R im u1 u= u2 Normale Gerade ,n, muss senkrecht stehen auf u. auf −u2 n := hn, ui = −u2 · u1 + u1 · u2 = 0 u1 u − √ 22 2 u +u n0 = √ u11 2 2 2 u1 +u2 Geradengleichung: hn0 , x − ai = 0 Hesse - Normalform. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 87 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Komplexe Zahlen C 2 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Allgemeine Vektorräume 3 Lineare Gleichungssysteme Definition und Beispiele Lösungsverhalten Der Gaußsche Algorithmus 4 Matrizen Definition und Beispiele Lineare Abbildungen und Matrizen Matrizenprodukt Lineare Systeme und Inverse TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 88 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Allgemeine Vektorräume Seite 65 Definition 2.18: V 6= ∅ mit Addition u, v −→ u + v ∈ V und skalarem Vielfachen u ∈ V,λ ∈ R → λ · u ∈ V heißt VEKTORRAUM, wenn ∀u, v , w ∈ V und ∀ λ, µ ∈ R (C möglich. Dann komplexer.) (i) u + v = v + u (ii) (u + v ) + w = u + (v + w) (iii) ∃!x ∈ V : u + x = v . (iv) (λ · µ)u = λ(µ u) (v) λ(u + v ) = λ u + λ v (vi) (λ + µ)u = λ u + µ u (vii) 1 · u = u. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 89 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Beispiele Seite 66 1. R2 & R3 x1 x2 2. Rn := . .. x n x1 x2 .. + . xn : xi ∈ R, i = 1, · · · , n mit y1 x1 + y1 x2 + y2 y2 λ· , .. = .. . . yn xn + yn x1 λx1 .. = .. . . . xn λxn 3. a). E eine Ebene des R3 durch 0.+, ·λ wie im R3 . b). G eine Gerade des Rn durch 0.+, ·λ wie in Rn . TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 90 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 67 4. a) Πn = Menge aller Polynome Pn p(x) = j=0 pj x j , pj ∈ R, mit Pn (p + q)(x) = j=0 (pj + qj )x j und Pn λ p(x) = j=0 λ pj x j . b) Πn := Menge aller trigonometrischen Polynome s(x) = TUHH a0 2 + Pn k =1 (ak Prof. Dr. Mackens cos(kx) + bk sin(kx)) Lineare Algebra I WiSe 07/08 91 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 67 5. M Menge V = {f : M → R} Addition und Multiplikation mit λ ∈ R punktweise erklärt (f + g)(x) = f (x) + g(x), x ∈ M (λ f )(x) = λ f (x), x ∈ M. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 92 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Zur Vektor-Interpretation von Funktionen x = 1 2 0 −1 1 ist eine Funktion: {1, 2, 3, 4, 5} ⇒ R x(1) = 1, x(2) = 2, x(3) = 0, x(4) = −1, x(5) = 1 2 1 1 2 3 4 5 −1 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 93 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Vektor-Addition ist Funktionen Addition 5 4 1 2 2 0 2 x1 = 3 ,x = 1 4 −1 5 −2 3 2 1 1 2 3 4 5 −1 −2 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 94 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Funktion ist kontinuierlicher Vektor f (x) = x 2 0 TUHH Prof. Dr. Mackens f = fx x 1 Lineare Algebra I WiSe 07/08 95 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 68 6. Menge aller (m, n) − Matrizen . a11 · · · a1n λa11 · · · λa1n .. = .. .. λ ... . . . am1 · · · amn λam1 · · · λamn a11 · · · a1n b11 · · · b1n a11 + b11 · · · a1n + b1n .. .. + .. .. = .. .. . . . . . . . am1 · · · amn bm1 · · · bmn am1 + bm1 · · · amn + bmn TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 96 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 68 Definition 2.23 Sei V ein Vektorraum. W ⊂ V heißt Untervektorraum oder Teilvektorraum von V , wenn W mit den Verknüpfungen von V selbst wieder Vektorraum ist. Vorteil der Begriffsbildung „V Vektorraum“ bewiesen. W ⊂ V . Dann für u, v , w ∈ W λ, µ ∈ R klar: (i) u + v = v + u (ii) (u + v ) + w = u + (v + w) (iv) (λ · µ) · u = λ(µ · u) (v) λ(u + v ) = λ u + λ v (vi) (λ + µ)u = λ u + µ u (vii) 1 · u = u. Für „W Vektorraum“ fehlt nur noch (iii) (∃!x ∈ W : u + x = w) ∀ u, w ∈ W . TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 97 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 68 Sei V Vektorraum und W ⊂ V , W 6= ∅. W ist Vektorraum ⇐⇒ a) u + v ∈ W ∀ u, v ∈ W b) λ u ∈ W ∀ u ∈ W , λ ∈ R Dann PR AK TI SC H SE H R Satz 2.23 Beweis: „⇒„: klar ! „⇐“ : zu zeigen : {a), b)} ⇒ (iii). Seien u, v ∈ W . Dann löst x := v + (−1)u die Gleichung u + x = v in V eindeutig. Dies ist auch in W der Fall, wenn nur x ∈ W . Aber v + (−1)u ∈ W | {z } ∈ W nach b) | {z ∈ W nach a) } TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 98 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Beispiele für Untervektorräume Seite 69 Pn A. Πn = { i=0 ai x i , ai ∈ R} ist Teilraum des Vektorraumes der reellen Funktionen R −→ R Pn B. Dito Tn := { a20 + k =1 ak sin k x + bk cos k x, a0 , · · · , an , b1 , · · · , bn ∈ R} x C. G := { ∈ R2 |n1 x + n2 y = 0} n12 + n22 6= 0 y n1 ist ein Teilraum von R2 (Eine Gerade durch Null, Normale ). n2 xi n1 x1 + n2 y1 = 0 denn ∈ G, i = 1, 2 ⇒ yi n1 x2 + n2 y2 = 0 x1 + x2 ⇒ n1 (x1 + x2 ) + n2 (y1 + y2 ) = 0 also ∈ G. y1 + y2 x und ∈ G, λ ∈ R ⇒ (n1 x + n2 y ) = 0 y x ⇒ n1 (λ x) + n2 (λ y ) = 0 also λ ∈ G. y TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 99 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Beispiele für Untervektorräume Seite 69 Pn A. Πn = { i=0 ai x i , ai ∈ R} ist Teilraum des Vektorraumes der reellen Funktionen R −→ R Pn B. Dito Tn := { a20 + k =1 ak sin k x + bk cos k x, a0 , · · · , an , b1 , · · · , bn ∈ R} x C. G := { ∈ R2 |n1 x + n2 y = 1} n12 + n22 6= 0 y n1 ist kein Teilraum von R2 (Eine Gerade nicht durch Null, Normale ). n2 xi n1 x1 + n2 y1 = 1 denn ∈ G, i = 1, 2 ⇒ yi n1 x2 + n2 y2 = 1 x1 + x2 ⇒ n1 (x1 + x2 ) + n2 (y1 + y2 ) = 2 6= 1 also ∈ / G. y1 + y2 x und ∈ G, λ ∈ R ⇒ (n1 x + n2 y ) = 1 y x ⇒ n1 (λ x) + n2 (λ y ) = λ also λ ∈ / G für λ 6= 1. y TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 100 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 69 D. = Beispiel 3 (Skript) x1 Sei L die Menge der Lösungen ... ∈ Rn des homogenen xn Gleichungssystems a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0 .. .. .. .. . . . . am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0 x1 y1 Dann sind mit ... und ... auch xn yn x1 + y1 λx1 . .. und .. ∀ λ ∈ R . xn + yn λxn Lösungen des Gleichungssystems. ⇒ L ist Teilraum des Rn . TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 101 / 309 Vektorrechnung E. W := { x y Allgemeine Vektorräume ∈ R2 : x 2 + y 2 = 1} kein Teilraum des R2 . ∈ /W W TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 102 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 69 u E 0 v Parameterdarstellung einer Ebene E durch den Nullpunkt mit zwei nicht-parallelen Vektoren u und v der Ebene. E = {λ u + µ v : λ, µ ∈ R} Ziel: Verallgemeinerung einer solchen Darstellung auf allgemeine Vektorräume. Frage: Was sind dort u, v , · · · ? Zunächst mal umgekehrt! u, v , w, · · · gegeben. Bastle daraus einen Vektorraum. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 103 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 69 Definition 2.25 “Linearkombination“ A. Sind v 1 , · · · , v r ∈ V Vektoren, so heißt jeder Vektor v= r X λj v j , λj ∈ R j=1 eine Linearkombination von v 1, · · · , v r B. Ist jeder Vektor aus V Linearkombination von v 1 , · · · , v r , so “spannen v 1 , · · · , v r den Raum V auf “ TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 104 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Beispiele Seite 70 1 0 0 1. 0 = e1 , 1 = e2 , 0 = e3 spannen R3 auf: 0 0 1 x1 “Beweis“: x2 = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 x3 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 105 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume e3 1 v3 v2 e2 1 1 e1 2. 0 1 1 v =@ 1 A 0 1 v 1 0 1 0 v =@ 1 A 1 2 0 1 1 v =@ 0 A 1 3 spannen auch den R3 auf, denn 0 1 0 1 0 1 0 1 x1 1 0 1 1 1 1 @ x2 A = (x1 +x2 −x3 ) @ 1 A + (x2 +x3 −x1 ) @ 1 A + (x1 −x2 +x3 ) @ 0 A 2 2 2 x3 0 1 1 2 0 1 3 x1 + x2 − x3 + x1 − x2 + x3 4 = 1 @ x1 + x2 − x3 + x2 + x3 − x1 A 5 2 x2 + x3 − x1 + x1 − x2 + x3 Wie man darauf kommt? → Später!! TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 106 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 70 1 1 3 3. u 1 = 1 u 2 = 2 u 3 = 4 spannen nicht R3 auf, da 0 0 0 e3 ∈ / span{u 1 , u 2 , u 3 }. Sie spannen aber den Unterraum x1 x V = 2 x3 = 0 auf. x3 Frage: Warum ist V Unterraum? TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 107 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 70 4. 1, x, x 2 , · · · , x n spannen Πn auf. 5. 1 cos(x) sin(x) cos(2x) sin(2x) ··· ··· cos(nx) sin(nx) spannen Tn := { a20 + TUHH Pn k =1 Prof. Dr. Mackens ak cos(kx) + bk sin(kx)|a0 , · · · , an , b1 , · · · , bn ∈ R} auf. Lineare Algebra I WiSe 07/08 108 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 70 Satz 2.27 Sei V Vektorraum und v 1 , ., v r ∈ V . Pr j (i) W := j=1 λj v : λj ∈ R ist Teilraum von V . (ii) Für jeden Teilraum U ⊂ V mit v 1 , · · · , v r ∈ U gilt U ⊃ W ; d.h. W ist kleinster Teilraum mit v 1 , · · · , v r ∈ V . Bezeichnung 2.28 Pr j 1 r W := j=1 λj v λj ∈ R = : span{v , · · · , v } 1 r v , · · · , v erzeugendes System von W . TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 109 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 71 Beweis von Satz 2.27 Pr Pr Pr i (i) i=1 (λi + µi ) v ∈ W i=1 µi vi ∈ W ⇒ i=1 λi vi , Pr i=1 λi vi ∈ W , ν ∈ R ⇒ Pr i=1 ν λi v i ∈ W (ii) ∀ λ1 ∈ R ⇒ λi v i ∈ U ⇒ λ1 v 1 + λ2 v 2 ∈ U ⇒ λ1 v 1 + λ2 v2 + λ3 v 3 ∈ U ⇒ TUHH Prof. Dr. Mackens Pr i=1 Lineare Algebra I λi vi ∈ U WiSe 07/08 110 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Beispiele 1 0 1 1 A. span , ist eine Ebene durch den Nullpunkt 0 1 e3 1 2 e1 TUHH e2 1 Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 111 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume 1 1 0 B. span 1 , 2 , 1 ist dieselbe Ebene; denn 0 1 1 1 1 0 2 = 1 · 1 + 1 · 1 ist Linearkombination der Vektoren 1 0 1 (1, 1, 0)T und (0, 1, 1)T . C. span{v 1 , v 2 } mit v 2 = µ v 1 ist gleich span{v 1 }, denn P2 i=1 TUHH λi v i = λ1 v 1 + λ2 v 2 = λ1 v 1 + λ2 µ v 1 = (λ1 + λ2 µ)v 1 . Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 112 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 71 Ziel Finde zu vorgegebenem Unterraum einen minimale Zahl von Vektoren v 1 , ·, v r ∈ W mit span{v 1 , ·, v r } = W . TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 113 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 71 Definition 2.30 Unheimlich Wichtig!! (i) v 1 , · · · , v r ∈ V heißen linear abhängig , wenn Pr Pr ∃ λ1 , · · · , λr ∈ R : i=1 |λi | 6= 0 mit i=1 λi v i = 0. (ii) P v 1 , ·, v r ∈ V sind linear unabhängig , wenn Pr r i |λ = 0 ⇒ λ v i| = 0 i i=1 i=1 Achtung ! Schreibweise! Pr 6 0 ⇔ ∃ i ∈ {1, · · · , r } : λi 6= 0. i=1 |λi | = Pr i=1 TUHH |λi | = 0 ⇔ λi = 0, ∀ ∈ {1, · · · , r }. Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 114 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Beispiele Seite 72 A. e1 , e2 , e3 , ∈ R3 linear unabhängig, da 3 λ1 0 X ! λi ei = λ2 = 0 ⇒ λi = 0 ∀i . 0 λ3 i=1 B. 1 1 1 , ∈ R2 linear unabhängig, da −1 1 1 λ1 + λ2 =0 1 −1 λ1 + λ2 = 0 ⇒ ⇒ 2λ1 = 0 λ1 − λ2 = 0 ⇒ λ1 = λ2 λ1 = λ2 λ1 = 0 | {z } λ1 = λ2 = 0 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 115 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume 1 0 C. 1 1 linear unabhängig 0 1 1 1 0 1 2 1 linear abhängig, 0 1 1 1 1 0 1 1 − 1 · 2 + 1 = 0 0 1 1 D. u 1 , u 2 ∈ R2 linear abhängig ⇔ u 1 ||u 2 u1 u 1 , u 2 , u 3 ∈ R3 linear abhängig ⇔ det u 2 = 0. u3 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 116 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 72 E. Sind v 1 , · · · , v r ∈ V linear abhängig, so auch v 1 , · · · v r , v r +1 Beweis: Pr +1 i=1 Pr i=1 λi v i = 0 und µi v i = 0 und für µi = λi Pr +1 i=1 i = 1, · · · , r , Pr i=1 |λi | = 6 0 so ist |µi | = 6 0 µr +1 = 0. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 117 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 72 1 0 F. Mit 1 , 1 sind auch 0 1 1 0 1 1 0 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∈ R3+k linear unabhängig. ∗ ∗ .. .. . . ∗ ∗ → Anbau macht nicht abhängig! TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 118 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 73 G. Die Funktionen f (x) = 1 und g(x) = x von R nach R sind linear unabhängig, denn die Vektoren f (0) f (1) = 1 1 und g(0) g(1) = 0 1 sind linear unabhängig. Die Funktionen f und g sind diese Vektoren mit “langen Anbauten“. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 119 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 73 , · · · , x n ∈ Πn sind linear unabhängig“, denn H. „1, x, x 2P n p(x) = j=0 aj x j ≡ 0 ist nur für a0 = a1 = · · · = an = 0 möglich nach dem Fundamentalsatz der Algebra: p ∈ Πn , an 6= 0 ⇒ p hat in C genau n Nullstellen. Folgerung: P n Ist ein an in j=0 aj x j = p(x) von Null verschieden, so hat p(x) in R höchstens n Nullstellen. Anmerkung: Beweis von H auch ohne Fundamentalsatz möglich. Siehe später → „Interpolation“. (Verallgemeinerung von Beispiel G.) TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 120 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 73 V : Vektorrraum W ⊂ V Untervektorraum W = span{v 1 , v 2 , · · · , v m } Ziel Wähle Teilmenge {w 1 , · · · , w r } aus {v 1 , · · · , v m }, so dass w 1 , · · · , w r linear unabhängig ist und immer noch W = span{w 1 , · · · , w r }. w 1 , · · · , w r heißt dann Basis von W . Geht das? Wir formulieren den Inhalt von Satz 2.32 (und seines Beweises) algorithmisch. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 121 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 74 W = m nX µi v i |µi ∈ R o i=1 START r =m WENN v 1 , · · · , v m linear unabhängig → w 1 , · · · , w r = v 1 , · · · , v m STOP TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 122 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 73 Pm 6 0 ∃ λ1 ,P · · · , λm ∈ R, i=1 |λi | = m i und i=1 λi v = 0. Sei λj 6= 0. Dann Pm Pm 0 = i=1 λi v i = λj v j + i=1,i6=j λi v i , SONST also Pm v j = − i=1,i6=j λλji v i , somit Pm Pm i v j + i=1,i6=j µi v i i=1 µi v = µj P Pm m = − i=1,i6=j µj λλji v i + i=1,i6=j µi v i Pm = i=1,i6=j (µi − µj λλij )v i Entferne v j und GO TO START TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 123 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 73 Satz 2.32 Sei W := span{v 1 , · · · , v m } ⊂ V . Pm (i) Sind v 1 , · · · , v m linear abhängig und i=1 λi v i = 0, so ist W = span{v 1 , · · · , v j−1 , v j+1 · · · , v m } für jedes j ∈ {1, · · · , m} mit λj 6= 0. (ii) Ist W 6= {0}, so gibt es linear unabhängige Vektoren v k1 · · · v kr ∈ {v 1 , · · · , v m } mit W = span{v k1 , · · · , v kr }. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 124 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 74 Definitionen 2.33 1. Sei V Vektorraum, S := {v 1 , · · · , v r } ⊂ V | {z } endlich S ist Basis von V wenn (i) v 1 , · · · , v r linear unabhängig (ii) V = span{v 1 , · · · , v r }. 2. Existiert eine (endliche) Basis von V , so heißt V endlichdimensional. (sonst unendlichdimensional) TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 125 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Beispiele von Basen A. e = 1 1 0 0 .. . 2 ,e 0 Seite 75 0 .. . n ··· ,e = 0 0 0 1 0 1 0 .. . bilden die Standardbasis des Rn . B. {1, x, x 2 , · · · , x n } = Standardbasis des Πn . C. TUHH 1 1 1 , ist Basis des R2 ; also Basis nicht eindeutig. 0 Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 126 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 75 Satz 2.36 (Steinitz) Sei W := span{v 1 , · · · , v m } und w 1 , · · · , w r ∈ W linear unabhängig, dann (i) r ≤ m (ii) ∃ r Vektoren in {v 1 , · · · , v m } ( Œdie ersten r ) mit W = span{w 1 , · · · , w r , v r +1 , · · · , v m } Folgerung: (Korollar 2.38) Die Anzahl der Basisvektoren in einer Basis eines endlichdimensionalen VR V ist Basis - unabhängig TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 127 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 76 Definition 2.39 Dimension eines VR Diese Anzahl heißt die Dimension von V . Bezeichnung: dim V . Beweis der Folgerung Seien v 1 , · · · , v m und w 1 , · · · , w r Basen Basis von V linear unabhängig in V a) v 1, · · · , v m w1 · · · wr Steinitz ⇒ r ≤m b) w 1, · · · , w r v1 · · · vm ⇒ m≤r aus a) & b) folgt: r = m TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 128 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 76 Korollar 2.37 Sei V endlichdimensional und w 1 , · · · , w r ∈ V . Dann gibt es v r +1 , · · · , v n , so dass w 1 , · · · , w r , v r +1 , · · · , v n Basis von V sind. Beweis Sei v 1 , · · · , v n Basis von V . O. B. d. A. nach Steinitz v 1 , · · · , v r gegen w 1 , · · · , w r austauschbar TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 129 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 76 Beweis von Satz 2.36 (ii): Induktion nach T : (Dabei fällt (i) nebenbei ab) r = 1 Austausch von w 1 gegen ein v ∈ {v 1 , · · · , v m } w 1 ∈ span{v 1 , · · · , v m } ⇒ Pm w 1 = i=1 λi v i ⇒ ∃ i ∈ {1, · · · , m} : λi 6= 0 w 1 6= 0 Œ.i = 1 Nach Reduktionsalgorithmus (Seite 123) ist dann Pm v 1 = λ11 {w 1 − i=2 λi v i } in {w 1 , v 1 , v 2 , · · · , v m } streichbar mit span{w 1 , v 2 , · · · , v m } = V . TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 130 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 76 Beweis von Satz 2.36 fort. r → r + 1 (r + 1 ≤ m) Œw 1 , · · · , w r schon ausgetauscht. Situation dann w r +1 ∈ W gegeben w 1 , · · · , w r +1 linear unabhängig W = span{w 1 , · · · , w r } a) oder W = span{w 1 , · · · , w r , v r +1 , · · · , v n } b) Pr a) w r +1 = i=1 µi w i ⇒ w 1 , ..., w r +1 linear abhängig Situation a) unmöglich m X Pr r +1 r +1 i b) w ∈ W ⇒w = i=1 λi w + µi v i i=r +1 | {z mindestens ein µk 6=0 Pr sonst w r +1 = i=1 λi w i zu linear unabhängig von w 1 , · · · , w r +1 Streiche v k in {w 1 , · · · , w r +1 , v r +1 , · · · , v m } TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I } k ∈{r +1,··· ,m} WiSe 07/08 131 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 77 Folgerungen aus Folgerung dim Rn = n dim Πn = ]{1, x, x 2 , · · · , x n } = n + 1 Ist V VR der Dimension n und v 1 , · · · , v n ∈ V linear unabhängig ⇒ v 1 , · · · , v n ist Basis ⇒ ∀ v ∈ V ∃ λ1 , · · · , λn : v = TUHH Prof. Dr. Mackens Pn i=1 λi v i . Lineare Algebra I WiSe 07/08 132 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 77 Sei V ein Vektorraum, dim V = n < ∞, {v 1 , · · · , v n } eine Basis von V . x= n X xi v i , xi ∈ R i=1 x1 , ..., xn sind die Koordination von x bezüglich der Basis {v 1 , · · · , v n } Korollar 2.41 x1 Zuordnung x → ... ist eindeutig. xn Pn Pn Beweis: Sei x = i=1 xi v i , x = i=1 yi v i Pn Dann: ⇒ 0 = x − x = i=1 (xi − yi )v i vi linear unabhängig ⇒ xi = yi , i = 1, · · · , n. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 133 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 78 Korollar 2.42 (Dimensionsformel) U, W Teilräume von V , endlichdimensional. Dann dim(U + W ) = dimU + dimW − dim(U ∩ W ) Beweis v 1 · · · v r Basis von U ∩ W . Basis von U }| { z u1, · · · , us v 1, · · · , v r w 1, · · · , w t Basis von W . wenn linear unabhängig, Beweis fertig Annahme: s r t X X X νk w k = 0 µj u j + λi v i + j=1 | i=1 k =1 {z } −u ∈ W Pr ⇒u∈ U ∩ W ⇒ µj = 0 ∀j Pr ⇒ 0 = i=1 λi v i ⇒ λi = 0 ∀i. νk = 0 ∀k ⇒ u = i=1 λˆ1 v i TUHH {z :=u ∈ U } Prof. Dr. Mackens | Lineare Algebra I WiSe 07/08 134 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 79 Bijektive Abbildung V −→ Rn Pn T : x = i=1 xi v i −→ x1 .. ← Koordinatenvektor . xn mit x1 + y1 x1 y1 n X .. .. .. T (x+y ) = T (xi +yi )v i = = . + . = T (x)+T (y ), . i=1 xn + yn xn yn und T (λ x) = λ T (x). Rechnung in V ersetzbar durch äquivalente Rechnung im Rn . TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 135 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 79 Definition 2.44 L J Zwei Vektorräume (V , +, ·) und (W , , ) heißen isomorph, wenn ∃ Bijektion T : V → W mit M T (x + y ) = T (x) T (y ), ∀ x, y ∈ V T (λ · x) = λ K ∀ x ∈ V,∀ λ ∈ R T (x), Satz 2.45 (VA , +, ·), (VB , L J , ) Dimension n. Dann VA TUHH Prof. Dr. Mackens isomorph Rn isomorph Lineare Algebra I VB . WiSe 07/08 136 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Beispiel Seite 80 ( V := ) x1 : x1 , x2 ∈ R ⊂ R3 x2 x1 − x2 Basis: 1 0 v1 = 0 , v2 = 1 1 −1 x1 x1 1 2 x2 = x1 v + x2 v → T : ∈ R2 x2 x1 − x2 Statt mit TUHH Prof. Dr. Mackens rechne mit Lineare Algebra I WiSe 07/08 137 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 81 Nächstes Ziel Definiere Skalarprodukt auf allgemeinem Vektorraum und damit dann Orthogonalität. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 138 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 81 Definition 2.47 (Allgemeines Skalarprodukt) Sei V (reeller) Vektorraum. h·, ·i : VxV x, y −→ 7−→ R hx, y i heißt Skalarprodukt oder inneres Produkt in (oder auf) V , wenn gelten: (i) hx + y , zi = hx, zi + hy , zi (ii) hλ · x, y i = λhx, y i (iii) hx, y i = hy , xi (iv) hx, xi > 0 ∀ x, y , z ∈ V ∀ x, y ∈ V , ∀ λ ∈ R ∀ x, y ∈ V ∀ x ∈ V \{0} (V , h, i) = unitärer Raum. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 139 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Beispiele Seite 81 1. Euklidisches Produkt auf Rn : x1 y1 x = ... , y = ... xn hx, y i : = yn Pn i=1 xi yi 2. Gewichtetes euklidisches Produkt auf R3 : hx, y iG : = 5 x1 · y1 + 3 x2 · y2 + 2 x3 · y3 3. Inneres Produkt auf Πn : R1 hp, qi : = p(x) q(x) d x 0 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 140 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 82 Für das normale euklidische Skalarprodukt im R3 galt: (CSU) hx, y i ≤ |x| · |y | x, y ∈ R3 ⇔ hx, y i2 ≤ hx, xi · hy , y i Erinnerung: CSU ⇒ 4-Ungleichung TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 141 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 82 Satz 2.50 CSU V unitärer Raum mit Skalarprodukt h, i Dann hx, y i2 ≤ hx, xi · hy , y i ∀ x, y ∈ V Beweis Für x = 0 : trivial! Sei deshalb x 6= 0 Dann ∀ t ∈ R : ht x + y , t x + y i ≥ 0, insbesondere auch für i t = − hx,y hx,xi TUHH Prof. Dr. Mackens 0 ≤ t 2 hx, xi + 2thx, y i + hy , y i = hx, y i2 2hx, y i2 − + hy , y i hx, xi hx, xi = − hx, y i2 + hy , y i. hx, xi Lineare Algebra I WiSe 07/08 142 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume ht x + y , t x + y i Seite 83 yi t ∗ = − hx, hx, xi ≤ 0 t 2 hx, xi + 2thx, y i + hy , y i insbesondere 0 ≤ (t ∗ )2 hx, xi + 2 t ∗ hx, y i + hy , y i = − hx, y i2 + hy , y i hx, xi TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 143 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 83 Zusatz: „=„ ⇔ ht ∗ x + y , t ∗ x + y i = 0 ⇔ t∗ x + y = 0 also CSU mit TUHH Prof. Dr. Mackens „=„ ⇔ x, y linear abhängig. Lineare Algebra I WiSe 07/08 144 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 83 Mit hx, y i = Pn i=0 xi yi gilt : |x| = hx, xi1/2 Allgemeiner (V , h, i) unitär; dann ist ||x|| : = hx, xi1/2 die h·, ·i zugeordnete Norm. Damit: CSU |hx, y i| ≤ ||x|| · ||y || TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 145 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 90 Satz 2.66 Eigenschaften der h, i1/2 -Norm (V , h·, ·i, || · ||) unitärer VR mit Norm ||x|| := hx, xi1/2 . Dann (i) ||x|| = 0 ⇔ x = 0 (ii) ||λ x|| = |λ| ||x|| ∀ x ∈ V,∀ λ ∈ R (iii) ||x + y || ≤ ||x|| + ||y || ∀ x, y ∈ V Beweis (i) und (ii) trivial. (iii) wie schon früher mit CSU 0 ≤ ||x + y ||2 hx + y , x + y i = hx, xi + 2hx, y i + hy , y i p p ≤ hx, xi + 2 hx, xi hy , y i + hy , y i = = = TUHH Prof. Dr. Mackens ||x||2 + 2||x|| · ||y || + ||y ||2 (||x|| + ||y ||)2 Lineare Algebra I WiSe 07/08 146 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 84 Aus CSU |hx, y i| ≤ ||x|| · ||y || folgt auch hx, y i ∈ [−1, 1] ||x|| · ||y || x Bei hx, y i = 3 X xi · yi auf R3 war α i=1 y hx, y i = cos(α) ||x|| · ||y || TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 147 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 84 Für allgemeine innere Produkte definiert man den Winkel α zwischen x und y über hx, y i = cos α ||x|| · ||y || Definition 2.53 Orthogonalität Man sagt dann auch, x und y seien orthogonal, wenn cos α = 0, also hx, y i = 0 ist. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 148 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Beispiel Seite 84 Bezüglich Pn hx, y i = i=1 xi yi sind e = 1 1 0 0 .. . 0 2 ,e = 0 .. . n ,··· ,e = 0 0 0 1 0 1 0 .. . orthogonal. Es gilt sogar hei , ei i = δij = 1 0 i =j i 6= i Kronecker - Symbol TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 149 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Ortho*basis Seite 84 Sei (V , h, i) unitärer Raum und v 1 , · · · , v n Basis (dim V = n). Ist dann hv i , v j i = 0 ∀ i 6= j so heißt {v 1 , · · · , v n } Orthogonalbasis. Haben alle v i bezüglich ||x|| = hx, xi1/2 zusätzlich Einheitslänge, d.h. mit ||v i || = hv i , v i i1/2 = 1, ∀i, so heißt {v 1 , · · · , v n } eine Orthonormalbasis. Beispiel: {e1 , · · · , en } ist ONB von Rn mit euklidischem Skalarprodukt. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 150 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 84 Definition 2.53 Ortho*basis V euklidischer Vektorraum mit h, i. 1. u, v orthogonal wenn hu, v i = 0. 2. S := {v 1 , · · · , v r } ⊂ V heißt Orthogonalsystem wenn v j 6= 0 ∀ j hv j , v k i = 0, j 6= k 3. Ein Orthogonalsystem heißt Orthonormalsystem, wenn Längen der Vektoren = 1. 4. Orthonormalsystem, welches Basis von V ist, heißt Orthonormalbasis. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 151 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 86 Orthonormalbasen sind schön! 1 {v , · · · , v n } ONB von (V , h, i). x1 Pn v 1 , · · · , v n Basis ⇒ ∀ x ∃ ... ∈ Rn : x = i=1 xi v i . xn Wie berechnet man xi ? hv j , xi = hv j , n X xi v i i i=1 = n X i=1 = n X xi hv j , v i i | {z } =δij xi · δij = xj i=1 xj = hv j , xi Satz 2.58 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 152 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 86 v = α1 v1 + α2 v2 + ··· + αn vn hv1 , v i = hvi , α1 v1 + α2 v2 + ··· + αn vn i hvi , v i = α2 hv1 , v2 i + ... + αn hv1 , vn i α1 hv1 , v1 i + =1 =0 =0 also hv1 , v i = α1 . TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 153 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 86 Satz 2.58 v1 , ..., vn Orthonormalsystem. v= n X αi vi , αj = hvj , v i i=1 also v= n X vi hvi , v i i=1 | {z } „Fourierentwicklung“ TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 154 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 87 v1 , ..., vn Orthonormalsystem v = v1 hv1 , v i + v2 hv2 , v i + . . . + vn hvn , v i Projektion Projektion auf v1 auf v2 Projektion auf vn Projektion auf span{v1 , v2 } TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 155 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 86 Erinnerung vi · hvi , v i hvi , vi i Projektion von v auf vi hvi , vi i = 1 vi · hvi , v i Projektion von v auf vi TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 156 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 85 Satz 2.57 V eukl. VR und h, i S = {v 1 , · · · , v r } sei Orthogonalsystem. ⇒ v 1 , · · · , v r linear unabhängig Beiweis Annahme: Pr i=1 λi v i = 0 ⇒ λj hv j , v i i = r X λi hv j , v i i = hv j , i=1 TUHH Prof. Dr. Mackens r X λi v i i = 0 i=1 Lineare Algebra I WiSe 07/08 157 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 88 Nun beantworten wir die Frage: Wie bastle ich mir eine Orthonormalbasis? Wie man eine ONB bastelt: −→ 2.62,63 + Tafel TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 158 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 90 ||x|| misst - wie |x| in R2 , R3 - die Länge eines Vektors. Leider ist nicht jede (vernünftige) Längenmessung ||x|| über hx, xi1/2 = : ||x|| mit einem inneren Produkt verbunden. Es gibt noch andere wichtige Längenmessungen. Für solche fordern wir aber stets die oben gefundenen Eigenschaften.(Satz 2.66) TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 159 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 90 Definition 2.67 Norm Sei V Vektorraum. Eine Abbildung || · || : V −→ R x −→ ||x|| heißt Norm auf V , wenn (i) ||x|| = 0 ⇔ x = 0 (ii) ||λ x|| = |λ| · ||x|| ∀ x ∈ V,λ ∈ R (iii) ||x + y || ≤ ||x|| + ||y || ∀ x, y ∈ V . (V , || · ||) heißt normierter Raum. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 160 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Beispiele (i) ||x||2 : = Seite 91 qP n i=1 xi2 euklidische Norm (ii) ||x||∞ : = maxi=1,··· ,n |xi | Maximumnorm Pn Summennorm (iii) ||x||1 : = i=1 |xi | !1/p (iv) Zusammenfassend: ||x||p : = Pn i=1 p |xi | ,p ≥ 1 Bemerkungen: 1. x∞ = limp→∞ ||x||p 2. Der Nachweis der Normeigenschaft von || · ||p ist (für p 6= 2) etwas aufwendiger. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 161 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 91 Achtung! ||x|| : = hx, xi1/2 Jeder unitäre Vektorraum (V , h·, ·i) ist vermittels auch normierter Raum (V , || · ||). Die Umkehrung gilt jedoch nicht! Es gibt nicht zu jeder Norm || · || ein inneres Produkt h·, ·i, so daß ||x|| = hx, xi1/2 Anmerkung: Notwendig und hinreichend dafür ist die Gültigkeit der sog. Parallelogrammgleichung. v u+v u−v 2 2 2 2 ||u + v || + ||u − v || = 2||u|| + 2||v || TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I u WiSe 07/08 163 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Aus der Möglichkeit, Längen von Vektoren zu messen, resultiert eine Seite 92 Messmethode für Abstände von Punkten A und B eines normierten Raumes (V , || · ||). d(A, B) = ||a − b|| Distanz Ortsvektoren von A bzw. B. Man möchte aber oft auch Abstände zwischen Punkten wissen, die nicht einem Vektorraum angehören! Beispiel: TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 164 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume NORMIERTER RAUM? b−a B Seite 92 A a Dann Distanz (A, B) : = ||b − a||− möglich. Allgemeiner d(a, b) b 0 Definition 2.70 (Metrik) Sei M eine Menge. Eine Abbildung M × M −→ R+ d: (x, y ) −→ d(x, y ) heißt Metrik, wenn (d1 ) d(x, y ) = 0 ⇔ x = y (d2 ) d(x, y ) = d(y , x) ∀ x, y ∈ M (d3 ) d(x, y ) ≤ d(x, z) + d(z, y ) ∀ x, y , z ∈ M. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 165 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 92 Achtung! Jeder normierte Raum (V , || · ||) wird mit (∗) d(x, y ) : = ||x − y ||, x, y ∈ V auch metrischer Raum. Jedoch muss es zu einer Metrik d(x, y ) keine Norm || · || geben mit (∗). Beispiel: Diskrete Metrik: d(x, y ) : = TUHH Prof. Dr. Mackens 0 1 bei x = y bei x 6= y . Lineare Algebra I WiSe 07/08 166 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume „Mannigfaltigkeiten“ Seite 93 Geraden und Ebenen durch 0 sind Vektorräume. Geraden und Ebenen die nicht durch 0 gehen, sind keine Vektorräume. Sie kommen aber doch auch wohl vor! Sie werden Vektorräume, wenn man den Ursprung „in sie hinein verschiebt“. kein Vektorraum w0 L Vektorraum W ← Vektorraum || zu L TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 167 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 93 Definition 2.71 lineare Mannigfaltikeit Sei V Vektorraum, W Untervektorraum von V , w 0 ∈ V fest. Dann heißt L : = w 0 + W : = {w 0 + w|w ∈ W } Lineare Mannigfaltigkeit in V (oder affiner Raum) TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 168 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Beispiele Seite 93 1. Gerade L : = {x : = w 0 + λ u|λ ∈ R} = w 0 + span{u} 2. Ebene {x ∈ R3 |n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 = δ} n12 + n22 + n32 6= 0, δ ∈ R fest Ist lineare Mannigfaltigkeit Sei w 0 irgendeine Lösung von hn, xi = δ. Dann hn, w 0 i = δ Für jede Lösung y ist hn, y i = δ Subtraktion zeigt hn, y − w0 i = 0 (homogen) Seien u1 , u2 l.u. und ⊥ n. Dann y − w0 ∈ span{u1 , u2 } = W . TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 169 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 93 3. Allgemeiner: Lösungsmenge von a11 x1 + · · · + a1n xn = bn .. . am1 x1 + · · · + amn xn = bm ist leer oder lineare Mannigfaltigkeit. Ist y nämlich beliebige Lösung und w 0 spezielle Lösung, so löst y − w 0 das homogene System. a11 x1 + · · · + a1n xn = 0 .. . am1 x1 + · · · + amn xn = 0 Sei W Lösungsraum davon, so ist y ∈ w 0 + W . TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 170 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 94 Satz 2.76 Sei V Vektorraum. Zwei lineare Mannigfaltigkeiten L : = w0 + W K : = u0 + U sind genau dann gleich, wenn W = U und w 0 − u 0 ∈ W gelten. Beweis L=K ⇒ Zu w ∈ W ∃ u = u(w) ∈ U Zu u ∈ U ∃ w = w(u) ∈ W w 0 + w = u 0 + u. Bei w = 0 ⇒ w 0 = u 0 + u(0) also w 0 − u 0 = w(0) ∈ U Bei u = 0 ⇒ w 0 + w(0) = u 0 also w 0 − u 0 = w(0) ∈ W Für u ∈ U ist damit u = w 0 − u 0 + w ∈ W Für w ∈ W ist umgekehrt w = −(w 0 − u 0 ) + u ∈ U. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I ⇒U≡W WiSe 07/08 171 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 94 Fortsetzung Beweis Sei nun W = U und w 0 − u0 ∈ W . Zu zeigen w 0 + W = u 0 + U. Aber w 0 + W = u 0 + (w 0 − u 0 ) + W | {z } =W =U TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 172 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 94 Satz 2.77 Seien L = w0 + W , K : = w0 + U lineare Mannigfaltigkeiten in VR V Dann K ∩ L = ∅ oder K ∩ L = lineare Mannigfaltigkeit. Beweis Ist K ∩ L 6= ∅ ⇒ ∃ v 0 ∈ K ∩ L ⇒ L = v 0 + W , K = v 0 + U. = K ∩ L = {v 0 + v |v ∈ U ∩ W } TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 173 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 95 Komplexe Vektorräume Definition wie reelle Vektorräume, nur kommen jetzt die Skalare aus C Beispiele: ) z1 .. n 1. C : = . : zi ∈ C z n z1 w1 z1 + w1 z1 λ z1 .. .. .. .. .. . + . = ,λ . = . . wn zn + wn zn λ zn zn n o Pn 2. Πn : = p : C → C | p(z) = i=0 ai z i , ai ∈ C ( TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 174 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume 3. Sei V = Vektorraum Definition n o V̂ : = (x, y ) | x, y ∈ V mit (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) := (x1 + x2 , y1 + y2 ) (a + ib) (x, y ) := (ax − by , ay + bx) heißt Komplexifizierung von V Anmerkung: Denke (x, y ) als x + iy . TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 175 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 96 Normen auf komplexen Vektorräumen || · || : V → R wie bei reellen Vektorräumen. Metriken d(·, ·) : V × V → R dito. Abweichungen aber beim Skalarprodukt! Sei V komplexer Vektorraum. h·, ·i : V × V → C ist inneres oder skalares Produkt, wenn (i) hu, v i = hv , ui ∀ u, v ∈ V (ii) hλ u, v i = λ hu, v i ∀ u, v ∈ V , ∀ λ ∈ C (iii) hu + v , wi = hu, wi + hv , wi (iv) hu, ui > 0 TUHH ←− hier Abweichung! ∀ u, v , w ∈ V ∀ u ∈ V \{0}. Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 176 / 309 Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume Seite 96 Folgerungen: hu, λ v i = hλ v , ui = λ hv , ui = λ̄ hv , ui = λ̄ hu, v i hu, v + wi = hv + w, ui = hv , ui + hw, ui = hu, v i + hu, wi. Standard - Skalarprodukt auf Cn Pn n hu, v i : = i=1 ui v̄i ; u, v ∈ C Zugehörige Norm qPeuklidische q Pn n 2 ||u||2 = i=1 ui ūi = i=1 |ui | ∈ R. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 177 / 309 Lineare Gleichungssysteme Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Komplexe Zahlen C 2 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Allgemeine Vektorräume 3 Lineare Gleichungssysteme Definition und Beispiele Lösungsverhalten Der Gaußsche Algorithmus 4 Matrizen Definition und Beispiele Lineare Abbildungen und Matrizen Matrizenprodukt Lineare Systeme und Inverse TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 178 / 309 Lineare Gleichungssysteme Definition und Beispiele Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Komplexe Zahlen C 2 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Allgemeine Vektorräume 3 Lineare Gleichungssysteme Definition und Beispiele Lösungsverhalten Der Gaußsche Algorithmus 4 Matrizen Definition und Beispiele Lineare Abbildungen und Matrizen Matrizenprodukt Lineare Systeme und Inverse TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 179 / 309 Lineare Gleichungssysteme Definition und Beispiele Lineare Gleichungssysteme Seite 98 Im „linearen Gleichungssystem“ a11 x1 a21 x1 .. . + + a12 x2 a22 x2 + ··· + ··· + + a1n xn a2n xn .. . = = b1 b2 .. . am1 x1 + am2 x2 + ··· + amn xn = bm sind die Koeffizienten aij und die rechten Seiten bi vorgegeben. Gesucht werden die Unbekannten xj . Gleichungssysteme können zeilen- oder spaltenorientiert betrachtet werden: TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 180 / 309 Lineare Gleichungssysteme Definition und Beispiele Spaltenorientiert 1. Vorgegeben: 1 kg Mehl, 2 kg Zucker Plan: Erstellen von Vanillekipferln und Haselnussplätzchen. Außer Mehl und Zucker alle Zutaten quasi unbeschränkt. 1 Haselnussplätzchen 25 g Zucker, 5 g Mehl 1 Vanillekipferl 10 g Zucker, 10 g Mehl H = Anzahl Haselnussplätzchen, V = Anzahl Vanillekipferl Zucker Mehl H = 50, TUHH Haselnuss 0.025 · H 0.005 · H Vanille +0.01 · V +0.01 · V Ergebnis =2 =1 V = 75 Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 181 / 309 Lineare Gleichungssysteme Definition und Beispiele Seite 99 Zeilenorientiert 2. Von p ∈ Π3 weiß man, dass p(0) = 1, p(1) = 2, p(−1) = 5 und p(−2) = 0 ist. Ansatz: p(x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 unbekannt (∼ aj ) p(0) = 1 ⇔ 1 · a0 1 · a0 1 · a0 1 · a0 ai1 TUHH x1 Prof. Dr. Mackens + + + + 0 · a1 1 · a1 (−1) · a1 (−2) · a1 ai2 x2 + + + + 02 · a2 12 · a2 (−1)2 · a2 (−2)2 · a2 ai3 Lineare Algebra I x3 + + + + 03 · a3 13 · a3 (−1)3 · a3 (−2)3 · a3 ai4 x4 WiSe 07/08 = = = = 1 2 5 0 bi 182 / 309 Lineare Gleichungssysteme Definition und Beispiele 3. „Kräfte“ in Stabwerk gesucht E x1 x4 x2 x3 x5 x6 vergleiche früher und Skript. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 183 / 309 Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Komplexe Zahlen C 2 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Allgemeine Vektorräume 3 Lineare Gleichungssysteme Definition und Beispiele Lösungsverhalten Der Gaußsche Algorithmus 4 Matrizen Definition und Beispiele Lineare Abbildungen und Matrizen Matrizenprodukt Lineare Systeme und Inverse TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 184 / 309 Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten Fragen zu 1 · a0 1 · a0 1 · a0 1 · a0 Seite 104 + + + + 0 · a1 1 · a1 (−1) · a1 (−2) · a1 + + + + 02 · a2 12 · a2 (−1)2 · a2 (−2)2 · a2 + + + + 03 · a3 13 · a3 (−1)3 · a3 (−2)3 · a3 = = = = 1 2 5 0 1. Gibt es eine Lösung? 2. Gibt es keine Lösung? 3. Gibt es mehrere Lösungen? 4. Wie sieht die Lösungsmenge aus? 5. Wie kann ich diese Fragen schnell und genau beantworten? TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 185 / 309 Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten Seite 104 1 · a0 1 · a0 1 · a0 1 · a0 0 B B B @ a11 a21 .. . am1 0 · a1 1 · a1 (−1) · a1 (−2) · a1 + + + + 1 0 C C C x1 A + B B B @ a12 a22 .. . am2 + + + + 02 · a2 12 · a2 (−1)2 · a2 (−2)2 · a2 ⇐⇒ 1 C C C x2 A 03 · a3 13 · a3 (−1)3 · a3 (−2)3 · a3 + + + + 0 ··· + + B B B @ a1n a2n .. . amn 1 2 5 0 = = = = 1 0 C C C xn A = B B B @ b1 b2 .. . bm 1 C C C A ⇐⇒ n X aj · xj = b, aj , b ∈ Rm j=1 Sichtweise also: Kombiniere b linear aus den aj . TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 186 / 309 Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten Seite 104 n X aj · xj = b, aj , b ∈ Rm j=1 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 187 / 309 Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten Seite 105 Lösung mehrdeutig: a1 , · · · , an l.a. ⇒ ∃ z1 , · · · , zn : n X j=1 z1 aj · zj = 0, ... = 6 0. zn P j ⇒ Mit Lösung (x1 , · · · , xn )T von a · xj = b ist auch (x1 + z1 , · · · , xn + zn )T eine Lösung. Denn: Pn j=1 TUHH aj (xj + zj ) = Prof. Dr. Mackens Pn j=1 a j xj + Pn j=1 aj zj = b + 0 = b. Lineare Algebra I WiSe 07/08 188 / 309 Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten Seite 105 Fall a) b ∈ span{a1 , · · · , an } b) a1 , · · · , an linear abhängig a) ⇒ ∃ x1 , · · · , xn : Pn aj xj = b b) ⇒ ∃ z1 , · · · , zn : Pn aj zj = 0 j=1 j=1 x1 ⇒ ... + µ xn TUHH Prof. Dr. Mackens z1 .. ist Lösung ∀ µ. . zn Lineare Algebra I WiSe 07/08 189 / 309 Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten Seite 105 x1 .. . ist spezielle Lösung des sog. xn inhomogenen Systems. (Def. 3.6) n X aj xj = b j=1 z1 .. . ist Lösung des sog. zn homogenen Systems n X aj · xj = 0 j=1 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 190 / 309 Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten Seite 105 Satz 3.8 Man erhält alle Lösungen des inhomogenen Gleichungssystems n X aj · xj = b, j=1 indem man zu einer Lösung x1 .. . dieses Systems alle Lösungen des homogenen Systems xn n X aj · xj = 0 j=1 addiert. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 191 / 309 Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten Seite 106 Beweis x1 Die Differenz zweier Lösungen ... und xn Systems ist wegen 0=b−b = n X j a xj − n X j a yj = j=1 j=1 | {z } | {z } b y1 .. des inhomogenen . yn n X aj (xj − yj ) j=1 b Lösung des homogenen Systems. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 192 / 309 Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten Seite 106 Pn aj · xj = 0 Lösungsmenge j=1 Pn aj · xj = 0 Lösungsraum j=1 x1 .. +L . xn speziell TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I ←− L WiSe 07/08 193 / 309 Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten Seite 106 n X L = x aj xj = 0 bei n > r = dim span{a1 , ..., an } j=1 a1 , ..., ar O.b.d.A. (S) Pr j=1 aj xj = − l.u. Pn j=r +1 a j xj ⇔ Pn j=1 aj xj = 0 1. span{a1 , ..., P ar } = span{a1 , ..., an } n ⇒ − j=r +1 aj xj ∈ span{a1 , ..., ar }, (S lösbar nach x1 , ...xr ) 2. a1 , ..., ar l.u. ⇒ S eindeutig lösbar. 3. (x1 , ...xr , xr +1 , ..., xn )T ∈ L ⇒ (x1 , ..., xr ) durch (xr +1 , ..., xn ) eindeutig bestimmt. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 194 / 309 Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten Seite 107 L= L = span TUHH Prof. Dr. Mackens x1 (xr +1 , ..., xn ) .. . xr (xr +1 , ..., xn ) , xr +1 , ..., xn ∈ R ; xr +1 .. . xn x1 (0, ..., 0, 1) x1 (1, 0, ..., 0) .. .. . . xr (0, ..., 0, 1) xr (1, 0, ..., 0) . , ..., 0 1 . 0 .. .. 0 . 1 0 Lineare Algebra I WiSe 07/08 195 / 309 Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten Seite 107 Satz 3.9 Sei r : = dim span{a1 , · · · , an } und L der Lösungsraum von n X a j xj = 0 j=1 Dann ist dim L = n − r Speziell a1 , · · · , an ∈ Rm ⇒ dim span{a1 , · · · , an } ≤ m. Bei m < n (weniger Gleichungen (unterbestimmt) als PnUnbekannte) ist L 6= {0}. Es gibt dann also stets nichttriviale Lösungen von j=0 aj · xj = 0. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 196 / 309 Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten Beispiele 1) x1 x2 + x3 − x3 + x4 + 2x4 = 2 = 1 ⇔ 1 0 x1 + 0 1 x2 + 1 −1 x3 + 1 2 x4 = 2 1 Basis des R2 ⇒ lösbar, da b bestimmt kombinierbar. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 197 / 309 Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten Beispiele 1) 1 0 x1 + 0 1 x2 + 1 −1 x3 + 1 2 x4 = 2 1 linear unabhängig ⇒ r = 2 n = 4 ⇒ dim L = 2 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 198 / 309 Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten Eine partikuläre (spezielle) Lösung der inhomogenen Gleichung ist x1 2 x2 1 x3 = 0 . x4 0 2 linear unabhängige Lösungen der homogenen Gleichung bekommen wir aus 1 0 1 1 x1 + x2 = − x3 − x4 0 1 −1 2 2 −1 −1 1 1 −2 Allgemeine Lösung = 0 + µ 1 + ν 0 , µ, ν ∈ R. 0 0 1 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 199 / 309 Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten 2) Frage: Für welche α ∈ R ist: 1x1 2x1 3x1 a1 + 1x2 − 2x2 + 1x2 a2 + 2x3 + 4x3 a3 = α = 4 = 2 lösbar? 1 1 2 2 −2 0 = a1 + a2 3 1 4 linear unabhängig ⇒ r = 2 α α 4 2 lösbar ⇔ 4 ∈ span(a1 , a2 ) ⇔ det 1 2 1 −2 2 3 = 0. 1 ⇔ α · 8 − 4(−2) + 2(−4) = 0 ⇔ α = 0 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 200 / 309 Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten System ist für α 6= 0 unlösbar! 1 Für α = 0 ist eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung. −1 0 1 Eine Lösung der homogenen ist 1 . −1 Da dim L = 3 − 2 = 1 reicht das. Allgemeine Lösung x1 1 1 x2 = −1 + µ 1 , µ ∈ R. x3 0 −1 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 201 / 309 Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten Seite 107 Lösbarkeit bei m = n Pn j=1 aj xj = 0 hat nur die 0 als Lösung. ⇒ dim L = 0 ⇒ Satz 3.9 n − r = 0 ⇒ r : = dim span{a1 , · · · , an } = n ⇒ a1 , · · · , an l. u. also Basis von Rn . Pn ⇒ j=1 aj xj = b eindeutig lösbar ∀b. Pn ⇒ j=1 aj xj = 0 eindeutig lösbar . Pn ⇒ j=1 aj xj = 0 hat nur die Nulllösung. KREISSCHLUSS TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 202 / 309 Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten Seite 107 Satz 3.10 Ein lineares n × n - System ist genau dann für alle rechten Seiten eindeutig lösbar, wenn das zugehörige homogene System nur die triviale Lösung hat. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 203 / 309 Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten Seite 107 Satz 3.10 (noch mal) (1) a11 x1 .. . + ··· + a1n xn = an1 x1 + ··· + ann xn = bn b1 .. . hat für alle b ∈ Rn eine eindeutige Lösung x ∈ Rn . ⇔ (2) a11 x1 .. . + ··· + a1n xn = 0 .. . an1 x1 + ··· + ann xn = 0 hat nur die Lösung x = 0. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 204 / 309 Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten Seite 107 Hat dagegen (2) eine nichtriviale Lösung, so gilt für (1) ENTWEDER ODER (1) hat keine Lösung (1) hat ∞ - viele Lösungen b ∈ / span{a1 , · · · , an } x = x speziell + L Lösungsraum von (2) TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 205 / 309 Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten Zum Merken: Spezialfall n=1 n × n− System a · x = b a 6= 0 a=0 TUHH homogenes System hat nur 0-Lösung a·x =0 ⇒x =0 wenn a 6= 0 inhomogenes System hat genau eine Lösung ∀ b a·x =b x = ba bei a 6= 0 homogenes System hat mehrere Lösungen inhomogenes System 0 · x = 0, x beliebig Prof. Dr. Mackens Keine Lösung 0 · x = b 6= 0 geht nicht Lineare Algebra I ∞ - viele Lösungen 0·x =b =0 x beliebig WiSe 07/08 206 / 309 Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Komplexe Zahlen C 2 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Allgemeine Vektorräume 3 Lineare Gleichungssysteme Definition und Beispiele Lösungsverhalten Der Gaußsche Algorithmus 4 Matrizen Definition und Beispiele Lineare Abbildungen und Matrizen Matrizenprodukt Lineare Systeme und Inverse TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 207 / 309 Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Zentraler Algorithmus Seite 108 Ziel nun sogenannter GAUSS - ALGORITHMUS Formt ein Gleichungssystem um in ein anderes mit gleicher Lösungsmenge, welches aber „netter“ ist als das Ausgangsproblem. Erlaubte Umformungen (i) Multiplikation einer Gleichung mit Zahl 6= 0 (ii) Addition Vielfaches einer Gleichung zu einer anderen (iii) Vertauschen zweier Gleichungen. Was sind „nette“ Gleichungssysteme? −→ Tafel (∆) (∇) TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 208 / 309 Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Seite 108 Kurz - Schreibweise für a11 x1 a21 x1 .. . + + a12 x2 a22 x2 + ··· + ··· + + am1 x1 + am2 x2 + ··· + amn xn a1n xn a2n xn .. . = = b1 b2 .. . = bm Schreibe kurz a11 a12 · · · a21 a22 · · · .. . a1n a2n .. . b1 b2 .. m × (n + 1) − Matrix . ··· amn bm am1 TUHH am2 Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 209 / 309 Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Seite 109 a11 a21 .. . a12 a22 .. . ··· ··· a1,n−1 a2,n−1 .. . a1n a2n .. . b1 b2 .. . am1 am2 ··· am,n−1 amn bm ··· xn−1 xn r .S. x1 x2 weitere erlaubte Umformung (iv) Vertausche i − te und j − te Spalte (nicht die letzte Spalte). Aber merke, dass dadurch die Position von xi und xj vertauscht wurden. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 210 / 309 Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Seite 109 a11 a21 a31 .. . an1 . .. am1 a12 a22 a32 .. . a13 a23 a33 ··· ··· ··· ··· ··· ··· a1n a2n a3n .. . an2 .. . ··· ··· ··· ann .. . am2 ··· ··· · · · amn b1 b2 b3 .. . bn .. . bm (Fall m > n) aii = Diagonalelemente der Matrix Ziel Eliminiere alle Elemente unterhalb der Diagonale! GAUSS - ELIMINATION. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 211 / 309 Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Seite 109 a11 a12 · · · a1n b1 a21 a22 · · · a2n b2 . . am1 am2 · · · amn bm TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 212 / 309 Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Seite 109 1. Schritt WENN a11 = 0, finde Element aij 6= 0 WENN dieses nicht existiert ⇒ STOP SONST: Tausche i − te und 1. Zeile j − te und 1. Spalte, so dass danach a11 6= 0 ist. (a11 heißt Pivot - Element des 1. Schrittes.) Für i = 2, · · · , m Ziehe das ai1 /a11 - fache der ersten Zeile von der i − ten Zeile ab. Resultat: a11 0 .. . 0 TUHH Prof. Dr. Mackens a12 (1) a22 .. . a13 (1) a23 ··· ··· a1n (1) a2n (1) am3 (1) ··· amn am2 Lineare Algebra I (1) b1 (1) b2 (1) bm WiSe 07/08 213 / 309 Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Seite 110 2. Schritt (Wenn nicht schon STOP) Wende 1. Schritt auf das kleinere System (1) (1) (1) a a23 · · · a2n 22 (1) (1) (1) a32 a33 · · · a3n . . . (1) am2 an. (Falls nicht STOP eintritt). (2) a11 0 ⇒ 0 .. . 0 TUHH Prof. Dr. Mackens ··· (1) · · · amn (1) b2 (1) b3 (1) bm a12 (2) a22 0 .. . (2) a23 (2) a23 (2) a33 .. . (2) ··· ··· ··· a1n (2) a2n (2) a3n 0 am3 (2) ··· amn Lineare Algebra I (2) (2) (2) b1 (2) b2 (2) b3 (2) bm WiSe 07/08 214 / 309 Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Seite 110 i-ter Schritt Wende 1. Schritt an auf das Subsystem (i−1) aii (i−1) bi (i−1) bm ain ··· amn .. . ami (i−1 ··· (i−1) (i−1) von (i−1) a11 0 . . . . . . .. . .. . 0 TUHH ··· ··· ··· ··· ··· (i−1) a22 0 .. . .. Prof. Dr. Mackens (i−1) b1 . (i−1) ai−1,i−1 .. . .. . ··· (i−1) a1n ··· (i−1) bi−1 (i−1 bi (i−1) bm ai−1,n (i−1) 0 .. . aii 0 ami ··· ain .. . ··· amn .. . (i−1) Lineare Algebra I (i−1) (i−1) (i−1) WiSe 07/08 215 / 309 Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Seite 110 i-ter Schritt Wiederhole bis zur letzten Gleichung oder bis das Restsystem verschwindet. Resultat der ersten Bearbeitungsphase (s) (s) (s) (s) a12 · · · a1s a1,s+1 a 11 (s) (s) (s) 0 a22 · · · a23 a2,s+1 . .. .. .. . . . . . . a(s) a(s) .. ss s,s+1 . . 0 0 . . . .. . .. . . 0 ··· ··· 0 0 (s) ··· ··· a1n (s) a2n ··· asn ··· 0 .. . ··· 0 (s) (s) b1 (s) b2 (s) b3 (s) bs+1 .. . (s) bm aii 6= 0 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 216 / 309 Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Seite 111 Phase 2 Es folgt eine theoretische Phase 2: (wird praktisch aber so TUHH Prof. Dr. Mackens NICHT ausgeführt!) Lineare Algebra I WiSe 07/08 217 / 309 Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Seite 111 Phase 2 (Theorie) (s) a 11 0 . .. . .. . . . . . . 0 (s) a12 (s) a22 .. . ··· ··· ··· .. . a1s (s) a23 (s) a1,s+1 (s) a2,s+1 (s) ··· ··· a1n (s) a2n 0 .. . .. . ass (s) 0 (s) as,s+1 (s) ··· asn 0 .. . ··· ··· 0 .. . 0 ··· ··· 0 (s) (s) b1 (s) b2 (s) b3 (s) bs+1 .. . (s) bm ⇓ TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 218 / 309 Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Seite 112 1 0 .. . 0 0 . .. 0 1 ··· 0 as,s+1 ··· ··· ··· 0 asn 0 ··· ··· ··· ··· ··· 0 1x1 1x2 .. Prof. Dr. Mackens b10 0 bs 0 bs+1 0 bm 0 +a1,s+1 xs+1 + 0 +a2,s+1 xs+1 + ···+ ···+ 0 a1n xn 0 a2n xn = = b10 b20 0 +as,s+1 xs+1 + ···+ 0 asn xn 0 .. . = = bs0 0 bs+1 .. . 0 = 0 bm . 1xs TUHH 0 .. . ··· 0 a1n ··· ··· 1 .. . 0 0 a1,s+1 ··· .. . .. . 0 ··· 0 Lineare Algebra I WiSe 07/08 219 / 309 Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Seite 112 Fall 1 0 0 T (bs+1 , · · · , bm ) 6= 0 ⇒ keine Lösung Fall 2 0 T 0 , · · · , bm ) =0 (bs+1 xs+1 , · · · , xn frei wählbar. Allgemeine Lösung b10 b20 .. . 0 x = bs x s+1 . .. 0 − (a1,s+1 xs+1 0 − (a2,s+1 xs+1 + ··· + ··· 0 (as,s+1 xs+1 + ··· − 0 + a1n xn ) 0 + a2n xn ) 0 + asn xn ) xn TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 220 / 309 Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Seite 113 0 b1 b20 .. . 0 bs x = − − 0 (a1,s+1 0 (a2,s+1 xs+1 xs+1 + + ··· ··· + + − 0 (as,s+1 xs+1 xs+1 + ··· + .. . .. . .. . 0 a1n xn ) 0 a2n xn ) 0 asn xn ) xn TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 221 / 309 Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Seite 113 0 −a1,s+1 b10 .. .. . . 0 bs −a0 s,s+1 0 1 x = + 0 0 0 0 . .. .. . 0 0 xs+1 + 0 −a1,s+2 .. . 0 −as,s+2 0 1 0 .. . 0 0 −a1n .. . 0 −asn 0 xs+2 + · · · + 0 xn . .. 0 1 Diese n − s Vektoren spannen den Lösungsraum L des homogenen Problems auf. dim L = n − r , dim L = n − s ⇒ s = r . TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 222 / 309 Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Seite 113 In 1 0 .. . 0 0 . .. 0 0 .. . .. . ... ... .. . .. . 0 .. 0 .. . 0 a1,s+1 .. . .. . 0 0 1 as,s+1 ...... ........ ... ... 0 a1n .. . .. . 0 asn 0 .. . 0 sind offenbar s Zeilen - Vektoren l. u. Wenn wir zeigen können, dass sich beim Gauss - Algorithmus die Anzahl linear unabhängiger Zeilen nicht ändert, haben wir mit r = s gezeigt: TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 223 / 309 Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Seite 114 Satz 3.18 (und Definition von „Rang“) In einer Matrix a11 A = ... ··· a1n .. ∈ Rm×n . am1 ··· amn ist die Maximalzahl l. u. Spalten gleich der Maximalzahl l. u. Zeilen (r = s). Diese Zahl heißt der Rang von A. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 224 / 309 Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Seite 113 Wir zeigen allgemeiner Lemma 3.17 Sei V ein Vektorraum, seien v 1 , · · · v k ∈ V , j ∈ {1, · · · , k − 1}, λ ∈ R Dann gilt v 1 , · · · , v k l. u. ⇔ v 1 , · · · , v k −1 , v k + λ v j l. u. und die linearen Erzeugnisse sind gleich. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 225 / 309 Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Seite 114 Beweis „⇒“ k −1 X µi v i + µk (v k + λv j ) = 0 ⇔ i=1 k X µi v i + (µj + λµk )v j = 0 ⇔ i=1,i6=j a) µi = 0, i = 1. · · · , k ; i 6= j ( ) µj + λµk = 0 |{z} b) also auch µj = 0 = 0 nach a) TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 226 / 309 Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Seite 114 Rückweg „⇐ “ genauso: v 1 , · · · , v k −1 , v k + λv j addiere −λv j zum letzten Vektor TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 227 / 309 Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Seite 115 Verfahren zur Gewinnung einer Basis von span{v 1 , · · · , v k } Schreibe v 1 , · · · , v k zeilenweise in eine Matrix. Wende die erste Phase des Gauss - Algorithmus an. Mache Spaltenvertauschungen rückgängig. ⇒ Die von Null verschiedenen Zeilenvektoren sind die gewünschte Basis. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 228 / 309 Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Beispiel 0 0 0 1 1 1 0 2 0 1 1 1 0 0 0 2 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ↓ TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 229 / 309 Lineare Gleichungssysteme 4 5 2 1 3 2 1 1 2 0 0 4 1 0 1 1 1 5 1 0 1 1 1 6 1 0 1 1 2 1 0 0 0 0 0 Der Gaußsche Algorithmus 2 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 4 5 1 1 −1 −1 0 0 0 0 0 0 TUHH 1 1 −1 −1 −1 −1 1 1 1 1 Prof. Dr. Mackens 1 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ↓ ↓ 1 0 0 0 0 6 1 −1 0 0 1 1 0 0 −1 0 0 −1 0 0 1 0 0 2 0 0 1 2 3 4 5 6 Lineare Algebra I 0 1 0 1 1 1 0 0 0 −1 −1 −1 WiSe 07/08 230 / 309 Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Seite 115 Praktische Durchführung des Gauss - Algorithmus bei m = n. A Eliminationsphase Ersetze: „Suche von aij 6= 0 in Restmatrix“ durch „Suche |aij | > |akj | ∀ k ≥ j in aktueller erster Spalte“ des Restsystems. Tausche dieses „Pivot - Element“ in die aktuelle 1. Zeile des Restsystems. Ist bei dieser „Spaltensuche“ |aij | < Tol, so signalisiere „numerische Singularität“. Wird solches nicht festgestellt, so hat das System nach Phase 1 die Form. a11 a12 · · · a1n b1 .. a22 . .. . .. . ann bn TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 231 / 309 Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Seite 116 B Lösungsphase xn : = bn /ann xi : = (bi − n X aij xj )/aii j=i+1 mit i = n − 1(−1)1 Spare Speicher für x bn : = bn /ann bi : = (bi − n X aij bj )/aii j=i+1 mit i = n − 1(−1)1 Lösung am Ende im Speicher von b. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 232 / 309 Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Beispiel 3.21 (Pivotisierung) Seite 119 Rechnung mit 3-stelliger Gleitpunktarithmetik [d.h.: nach jedem Rechenschritt werden die führenden 3 Stellen der Mantisse (gerundet) weiterverwendet]. 10−4 · x1 +x2 = 1 10−4 = 0.100 · 10−3 x1 +x2 = 0 −4 −4 1 | 1 10 10 1 | 1 exakt 0 1 − 10000 | −10000 Rundung −→ | {z } 1 1 | 0 −→ −9999≈−10000 −10−4 1 | 1 0 −10−4 | −10−4 Rückwärts: x2 = 1 1. Gleichung : 10−4 x1 + 1 · 1 = 1 ⇒ x1 = 0 Tatsächliche Lösung: x1 = −1.00010 · · · , x2 = 1.00010 · · · TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 233 / 309 Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Seite 119 Mit Spaltenpivot siehe: −4 1 10 1 | 1 → 1 1 | 0 10−4 1 1 | 0 0 1 | 1 1 | 0 1 | 1 1 → 0 1 1 − 10−4 | {z } | 0 | 1 → ≈1 Rückwärts einsetzen x2 = 1(1.00010), x1 = −1(−1.00010) Fehler: ∼ 10−4 TUHH ∼ 10−4 Prof. Dr. Mackens gut! Lineare Algebra I WiSe 07/08 234 / 309 Matrizen Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Komplexe Zahlen C 2 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Allgemeine Vektorräume 3 Lineare Gleichungssysteme Definition und Beispiele Lösungsverhalten Der Gaußsche Algorithmus 4 Matrizen Definition und Beispiele Lineare Abbildungen und Matrizen Matrizenprodukt Lineare Systeme und Inverse TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 235 / 309 Matrizen Definition und Beispiele Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Komplexe Zahlen C 2 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Allgemeine Vektorräume 3 Lineare Gleichungssysteme Definition und Beispiele Lösungsverhalten Der Gaußsche Algorithmus 4 Matrizen Definition und Beispiele Lineare Abbildungen und Matrizen Matrizenprodukt Lineare Systeme und Inverse TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 236 / 309 Matrizen Definition und Beispiele MATRIZEN Seite 120 Sylvester [1850], Caley [1858] a11 a21 A= . .. a12 ··· ··· ··· a1n a2n (m,n) oder C(m×n) .. ∈ R . am1 ··· ··· amn heißt (m, n) - Matrix (m × n - Matrix). Elemente aij Zeilenindex%- Spaltenindex m = n ⇔ quadratische Matrix. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 237 / 309 Matrizen Definition und Beispiele Schreibweisen Seite 120 A = (aij )i = 1, · · · , m j = 1, · · · , n A = (a1 , · · · , an ), A1 A = ... , Am a1j aj : = ... amj TUHH Prof. Dr. Mackens Ai : = (ai1 , · · · , ain ) Lineare Algebra I WiSe 07/08 238 / 309 Matrizen Definition und Beispiele Seite 121 Auch Vektoren sind als Matrizen interpretierbar. x1 x = ... ist (m, 1)- Matrix. xm Konvention (praktische) Schreibe (Orts) - Vektoren immer als Spaltvektoren!! TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 239 / 309 Matrizen Definition und Beispiele i A : = (ai1 , · · · , ain ) wird manchmal als Zeilenvektor bezeichnet. Seite 121 Bitte nicht verwirren lassen! Wenn dieser Zeilen“vektor“ wirklich als „Vektor“ des Rn benutzt werden soll, verstehe unter Zeilenvektor ni : = (Ai )T Erklärung: T C1 .. . : = (C1 , · · · , Cn ) Cn C1 (C1 , · · · , Cn )T : = ... Cn „Transposition“ (macht Zeilen zu Spalten und umgekehrt) TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 240 / 309 Matrizen Definition und Beispiele Vektorraum der (m, n) - Matrizen Seite 122 A + B = (aij ) + (bij ) : = (aij + bij ) λA = λ(aij ) = (λaij ). Basis 1 0 .. . 0 0 .. . ··· ··· 0 0 .. . 0 0 ··· 0 0 1 0 0 0 · · · .. .. . . 0 0 ··· ··· 0 · · · 0 .. · · · . ··· 0 0 .. . 0 0 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· 0 .. . · · · 0 0 1 R(m,n) isomorph zu R(m×n) dim R(m,n) = m · n TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 241 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Komplexe Zahlen C 2 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Allgemeine Vektorräume 3 Lineare Gleichungssysteme Definition und Beispiele Lösungsverhalten Der Gaußsche Algorithmus 4 Matrizen Definition und Beispiele Lineare Abbildungen und Matrizen Matrizenprodukt Lineare Systeme und Inverse TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 242 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Seite 122 Matrizen dienen zur Beschreibung linearer Abbildungen zwischen endlich dimensionalen Vektorräumen. Definition 4.1 Lineare Abbildung V , W Vektorräume. Dann T : V → W linear, wenn T (x + y ) = T (x) + T (y ), T (λ · x) = λ · T (x), TUHH Prof. Dr. Mackens ∀ x, y ∈ V ∀ x ∈ V,λ ∈ R Lineare Algebra I WiSe 07/08 243 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Linearität ist wie der „Preis“ beim Einkaufen Preis 3 Pakete Butter 4 Kg Mehl = 3l Milch 1 1/2 Kg Braten Sonderangebote TUHH Prof. Dr. Mackens 3∗ Preis (1 Pak. Butter) +4∗ Preis (1 Kg Mehl) +3∗ Preis (1l Milch) +1.5∗ Preis (1 Kg Braten) 1 Kg Senf 5 Euro 10 Kg Senf 40 Euro Lineare Algebra I sind nichtlinear WiSe 07/08 244 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Beispiele (pro) Seite 123 1. Drehungen: Ebene um Nullpunkt. R3 um Achse durch Nullpunkt. 2. x → λx, λ ∈ R fest x1 λ1 x1 → , λi ∈ R fest. x2 λ2 x2 3. Mit A = (aij )i = 1, · · · , m ∈ Rm,n j = 1, · · · , n A : Rn → Rm a11 x1 + · · · + .. n R 3 x → . am1 x1 + ··· a1n xn m ∈ R + amn xn linear. ↑ Das wird die Standard - Inkarnation einer linearen Abbildung werden. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 245 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Seite 123 4. d : dx 5. TUHH Prof. Dr. Mackens Πn → Πn−1 p 7→ p0 Πn → R R1 p 7→ 0 p(s)ds Πn →R Πn+1 x p 7→ 0 p(s)ds Int1 : Int2 : Lineare Algebra I WiSe 07/08 246 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Beispiele (contra) Seite 124 1. Verschiebung x 7→ x + c, c ∈ V c 6= 0 fest. 2. Drehung um Punkt in Ebene 6= Nullpunkt. Drehung des R3 um Achse nicht durch Nullpunkt (und nicht um 2π). TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 247 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Seite 124 ACHTUNG! Sehr wichtig ⇓ TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 248 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Seite 124 Lineare Abbildung Lineare Abbildung T : V → W ist durch Wirkung auf eine Basis v 1 , · · · v n von V festgelegt. T : v i → T (v i ) v ∈ V ⇒ ∃!ξ1 , · · · , ξm ∈ R : v = n X ξi v i i=1 ⇒ T (v ) = T ( n X i=1 ξi v i ) = n X ξi T (v i ) = W i=1 w ∈ w ⇒ ∃!ζ1 , · · · , ζm : w = m X ! ζi w i i=1 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 249 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Seite 124 n X T :V →W m X ξi v i ζj w j i=1 j=1 ξ1 .. . −→ ξn ζj .. . ζm Wie? mit Matrix T TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 250 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Seite 125 T :V →W v 1, · · · , v n | {z } Basis w 1, · · · , w m | {z } Basis T : v j → T (v j ) = m X tij w i i=1 1 2 n w1 w2 .. . v t11 t21 .. . v t12 t22 .. . ··· ··· ··· v t1n t2n .. . wm tm1 tm2 ··· tmn v= X ξi v i „Willst die Matrix Du erhalten, schreib die Bilder in die Spalten“ TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 251 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Rotkäppchens Diätplan Preis Fett Zucker Ananas 2.00 0.02 200 Wein 8 0.01 30 Orangen 0.50 0.05 15 Sahne 1.39 30 1 Korb mit: Ananas 2 2 · 2.00 Wein 1 −→ 2 · 0.02 Orangen 3 2 · 200 Sahne 2 TUHH Prof. Dr. Mackens + + + 1·8 1 · 0.01 1 · 30 Lineare Algebra I + + + 3 · 0.5 3 · 0.05 3 · 15 + + + 2 · 1.39 2 · 30 2·1 WiSe 07/08 P F Z 252 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Seite 125 v ∈ V ⇒v = n X ξj v j j=1 T (v ) = m X ζi w i ζi ? i=1 T (v ) = T n X n n n m m X X X X X ξj v j = ξj T (v i ) = ξj tij w i = tij ξj w i j=1 TUHH Prof. Dr. Mackens j=1 j=1 Lineare Algebra I i=1 i=1 j=1 WiSe 07/08 253 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Seite 125 T (v ) = n X (ξj T (v i )) j=1 = n X ξj j=1 = m X tij w i i=1 n X m X ξj tij w i j=1 i=1 = m X n X i=1 j=1 {z | ζ1 = t11 ξ1 + · · · + t1n ξn , ··· tij ξj w i ζi } , ζm = tm1 ξ1 + · · · + tmn ξn Fazit Lineare Abbildungen lassen sich durch zugeordnete Matrizen in den Entwicklungs- koeffizienten (bzgl. gegebener Basen) ausdrücken. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 254 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Seite 125 dim n dim m T : V → W v= n X j ξj v → w = j=1 ξ1 .. . → ξn m X ζi w i i=1 Pn ζ1 j=1 t1j ξj .. = . . P .. n ζm t ξ j=1 mj j t11 T ≈ T = ... ··· tm1 ··· t1n tmn Abbildung ↔ Matrix TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 255 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Beispiele 1. T : R3 → R3 1 → e2 e2 → e3 e3 → e1 e 1 T = TUHH Prof. Dr. Mackens e e2 e3 e1 0 1 0 Lineare Algebra I e2 0 0 1 e3 1 0 0 WiSe 07/08 256 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen 2. 3 T : R 1 v1 = 2 3 2 v2 = 3 4 0 v3 = 0 2 1 T = TUHH Prof. Dr. Mackens w w2 w3 → R3 → w1 = → w2 = → w3 = v1 1 Lineare Algebra I v2 −1 5 27 1 1 1 1 0 −1 (1) v3 1 1 WiSe 07/08 257 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen 3. T : R2 → R2 v i = ei , w i = ei , i = 1, 2 e2 T (e2 ) T (e1 ) ϕ ϕ e1 T = w1 w2 T TUHH Prof. Dr. Mackens x1 x2 = 1 v√ 1/√2 1/ 2 ϕ= π 4 v 2√ −1/√ 2 1/ 2 √ √ 1/√2 x1 − 1/√2 x2 1/ 2 x1 + 1/ 2 x2 Lineare Algebra I WiSe 07/08 258 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen 4. 3 T : R 1 −1 0 0 1 −1 0 0 1 3 → R 1 → 1 1 1 → 1 0 1 → 0 0 Aber Darstellung bzgl. der Standardbasen gewünscht. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 259 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Was nun? 1 T 0 0 0 T 1 0 0 T 0 1 TUHH Wir benötigen für T die Bilder von e1 , e2 , e3 ! Aber 0 1 0 = T −1 + T 1 + T 0 = 0 1 −1 1 1 1 1 + 1 + 0 = 1 0 0 0 0 1 1 =T 1 +T 0 = 1 + 0 = −1 1 0 0 0 1 =T 0 = 0 1 0 Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I 2 2 1 2 1 0 WiSe 07/08 260 / 309 Matrizen T e1 = T e2 = T e3 = 3 2 1 2 1 0 1 0 0 Lineare Abbildungen und Matrizen = 3e1 + 2e2 + 1e3 = 2e1 + 1e2 + 0 · e3 + 0 · e2 + 0 · e3 = 1 · e1 3 T = 2 1 2 1 0 1 0 0 Fertig. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 261 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Test Seite 125 1 3 T · 1 =2 0 1 3 2 1 · 1 + 2 · (−1) + 0 · 1 = 1 1 · 1 + 1 · (−1) + 0 · 0 = 1 = T 1 X · 1 + 0 · (−1) + 0 · 0 = 1 0 1 b < b1 , v > 1 1 0 −1 = b2 v = < b2 , v > 0 0 < b3 , v > b3 2 1 0 Matrix-Vektor Multiplikation TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 262 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Seite 126 t11 x1 t21 x1 = . .. tm1 x1 TUHH Prof. Dr. Mackens t11 .. . ··· t1n tm2 ··· tmn x1 .. . xn t12 x2 t22 x2 +···+ +···+ t1n xn t2n xn + tm2 x2 +···+ tmn xn + + Lineare Algebra I ∈ Rm WiSe 07/08 263 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Beispiele 1. Seite 126 1 1 1 2 −1 2 0 −2 1 2 3 TUHH Prof. Dr. Mackens 2 1 3 1 = 1 −1 0 −2 0 0 0 1 1 1 −1 = 2 0 −1 3 Lineare Algebra I WiSe 07/08 264 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Seite 127 2. x, y ∈ Rn : xT y = = y1 (x1 , · · · , xn ) ... yn n X xi yi =< x, y >eukl. i=1 xT y x1 = y T x = (y1 , · · · , yn ) ... xn Aber (noch!) nicht = xy T oder = yx T !!! TUHH Prof. Dr. Mackens 6= Matrix · Vektor. Lineare Algebra I WiSe 07/08 265 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Weitere Beispiele für Matrixdarstellungen lineare Abbildungen Seite 127 Beispiel 4.8 V , W endlich dim. Vektorräume; N : V → W Nullabbildung N :v →0 ∀v ∈ V {v 1 , · · · , v n } bzw. {w 1 , · · · , w n } beliebige Basen in V bzw. W Dann N (v i ) = 0 = m X 0 · wi i=1 ⇒ N wirddurch Nullmatrix 0 ··· 0 .. lusch, lusch −→ 0 = ... . 0 ··· 0 dargestellt. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 266 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Seite 127 Beispiel 4.9 V endlich dim. Vektorraum und I: V →V v →v die identische Abbildung. Stellt man die Identität bzgl. derselben Basis {v 1 , · · · , v n } in Bild - und Urbildraum dar, so hat man wegen I(v j ) = v j = 0v 1 + · + 0 · v j−1 + 1v j + 0 · v j+1 + · · · + 0v n als j − te Spalte der darstellenden Matrixgerade ei Es ist also T durch die Einheitsmatrix 1 0 ··· ··· 0 1 En = ... 0 . . . . . . .. ... .. .. 0 0 ··· 0 TUHH Prof. Dr. Mackens 0 .. . .. dargestellt. . 0 1 Lineare Algebra I WiSe 07/08 267 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Seite 128 Beispiel 4.10 Achtung! Identität wird nicht mehr durch E dargestellt, wenn in Urbild und Bild I : V −→ V 1 {v , · · · , v n } {w 1 , · · · , w n } verschiedene Basen verwendet werden. Wozu so´n Quatsch? Damit wir sie in der Klausur besser fressen können? Nein! Sondern? TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 268 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Ihre Basis für R3 1 0 0 0 , 1 , 0 0 0 1 Karl-Heinz’ Basis 1 4 7 2 , 5 , 8 3 6 10 {z } | in Ihrem System beschrieben z1 Wenn Karl-Heinz durch z2 einen Vektor beschreibt, dann erhalten Sie z3 x1 die Darstellung x2 in Ihrer Basis über x3 z1 x1 x2 = T z2 x3 z3 wenn TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 269 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen I 3 R −→ R3 Karl-Heinz’ Weltsicht −→ Ihre Weltsicht T -Matrix 1 T = 2 3 TUHH Prof. Dr. Mackens 4 5 6 7 8 10 Lineare Algebra I WiSe 07/08 270 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Beispiel 4.11 Matrixdarstellung Drehung des R2 um Nullpunkt um Winkel ϕ Darstellung bzgl. Standardbasis in Urbild - und Bildraum. Seite 129 e2 T (e2 ) ϕ T (e1 ) ϕ Länge erhalten e1 cos ϕ 1 0 = cos ϕ + sin ϕ sin ϕ 0 1 0 cos(π/2 + ϕ) − sin ϕ 1 0 T = = = − sin ϕ +cos ϕ 1 sin(π/2 + ϕ) cos ϕ 0 1 cos ϕ − sin ϕ T = sin ϕ cos ϕ x1 cos ϕ − x2 sin ϕ Tx = x1 sin ϕ + x2 cos ϕ T TUHH 1 0 Prof. Dr. Mackens = Lineare Algebra I WiSe 07/08 271 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Seite 130 Beispiel 4.12 (Achtung: Theoretisches Beispiel) V = W = R3 T = Spiegelung an E : = {x ∈ R3 |x1 + x2 + x3 = 0} 1 0 1 z1 : = −1 , z 2 : = 1 , z 3 = 1 0 −1 1 {z } | Beschreibung bzgl. Basis {z 1 ,z 2 ,z 3 } in Urbild und Bild einfach. T (z 1 ) = z 1 , T (z 2 ) = z 2 , T (z 3 ) = −z 3 1 ⇒ T = 0 0 0 1 0 0 0 −1 Vermutlich interessanter: Matrix bzgl. Einheitsvektor. Dazu T (ei ) benötigt. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 272 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Seite 131 Für T (ei ) drücke ei aus in z 1 , · · · z 3 z 1 λ1 + z 2 λ2 + z 3 λ3 = e1 ist lin. Gleichungssystem. 1 0 −1 1 0 −1 1 1 1 1 0 0 Gauss liefert λ1 = TUHH Prof. Dr. Mackens 1 2 , λ2 − λ3 = 3 3 Lineare Algebra I WiSe 07/08 273 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Seite 131 Nun 1 1 2 T ( z 1 + z 2 + z 3) 3 3 3 = = = 2 1 1 T (z 1 ) + T (z 2 ) + T (z 3 ) 3 3 3 2 1 1 2 1 3 z + z − z 3 3 3 1/3 −2/3 ← 1. Spalte von T −2/3 Rest analog. (Achtung: Spiegelung rechnet man anders aus! wird später VIEL einfacher) TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 274 / 309 Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Seite 133 Beispiel 4.15 Πn δ: p −→ −→ R R1 p(s)ds 0 1, x, x 2 , · · · , x n p(x) = n X 1 αi xi i=0 p wird bzgl. Basis 1, x, x 2 , · · · , x n durch α : = {α0 , α1 , · · · , αn } ∈ Rn+1 dargestellt. Z 1 1 k g(x ) = x k dx = → [(k + 1) − te Spalte] k + 1 0 Matrix = (· · · , [(k + 1)-te Spalte], · · · ) 1 1 1 G = (1, , , · · · , ) 2 3 k +1 g(p) = Gα TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 275 / 309 Matrizen Matrizenprodukt Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Komplexe Zahlen C 2 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Allgemeine Vektorräume 3 Lineare Gleichungssysteme Definition und Beispiele Lösungsverhalten Der Gaußsche Algorithmus 4 Matrizen Definition und Beispiele Lineare Abbildungen und Matrizen Matrizenprodukt Lineare Systeme und Inverse TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 276 / 309 Matrizen Matrizenprodukt Seite 133 Jetzt: Ziel Matrixmultiplikation U u1, · · · , up B −→ V v 1, · · · , v n (bij ) A −→ W w 1, · · · , w m (aij ) Mit A, B auch A ◦ B =: C linear! TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 277 / 309 Matrizen Matrizenprodukt Seite 134 Matrix (ckj ) ? x= p X xj u j , B(x) = j=1 A(B(x)) p n X X i=1 = p n X X i=1 = = bij xj A(v i ) bij xj j=1 aki w k k =1 j=1 aki bij xj )w k i=1 | Prof. Dr. Mackens m X p n m X X X k =1 TUHH j=1 j=1 p n X X i=1 bij xj v i Lineare Algebra I {z ckj } WiSe 07/08 278 / 309 Matrizen Matrizenprodukt Seite 134 B −→ U u1, · · · , up A −→ V v 1, · · · , v n (bij ) i=1,··· ,n W w 1, · · · , w m (aij ) k =1,··· ,m j=1,··· ,p i=1,··· ,n −→ C =A·B (ckj ) k =1,··· ,m i=1,··· ,n ckj = n X aki bij i=1 C := A · B} | {z Matrixprodukt TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 279 / 309 Matrizen Matrizenprodukt Bemerkungen: Seite 135 1) A · B = C Inneres Produkt (euklidisch) Längen müssen passen! ⇔ Dimension des Bildraumes von B = Dimension des Definitionsbereiches von A. (A) 2) m |{z} n TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 280 / 309 Matrizen Matrizenprodukt Seite 136 3) A · B erklärt B · A erklärt Und wenn das (zufällig) der Fall sein sollte, so sind sie nicht notwendig gleich! Matrixmultiplikation ist NICHT kommutativ! Bei AB = BA sind A, B vertauschbar. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 281 / 309 Matrizen Matrizenprodukt Seite 137 0 1 0 1 0 0 4) = 0 0 0 0 0 0 ⇒ (Nicht - Null) mal (Nicht - Null) = Null möglich 5) A · x konsistent mit Matrixmultiplikation. 6) Matrixmultiplikation ist assoziativ wichtig! Tafel → (immer auf die Kleinen!) Es gelten die Distributivgesetze 1. (A + B)C = AC + BC 2. A(C + D) = AC + AD 2 Stück nötig, da keine Kommutativität TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 282 / 309 Matrizen Matrizenprodukt Seite 135 x1 7) x = ... xn y1 y = ... yn xT : = (x1 , · · · , xn ) y1 n .. X (x1 , · · · , xn ) . = xi yi i=1 yn y1 .. . (x1 , · · · , xn ) xT y = yx T = yn = y1 x1 y2 x1 .. . ··· ··· yn x1 ··· y1 xn y2 xn yn xn Dyadisches Produkt!% TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 283 / 309 Matrizen Matrizenprodukt Seite 135 Auch für x ∈ R, y ∈ R x T y , y T x!) (m 6= n) sind yx T und xy T erklärt (nicht aber y1 x1 y1 x2 · · · y1 xn y1 y2 x1 y2 x2 · · · y2 xn yx T = ... (x1 , · · · , xn ) = . .. .. .. . . yn ym x1 ym x2 · · · ym xn x1 y1 x1 y2 · · · x1 ym x1 x2 y1 x2 y2 · · · x2 ym xy T = ... (y1 , · · · , ym ) = . .. .. . . . . xn xn y1 xn y2 · · · xn ym Achtung! Dient nur zur Erläuterung %. Zeigt, dass yx T und xy T Matrizen sind! TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 284 / 309 Matrizen Matrizenprodukt Seite 138 In der Praxis multipliziert man xy T und yx T um Gottes Willen NICHT aus. Warum nicht? Weil die Anwendung dann einfacher wird yx T z = y (x T z) = αy | {z } α∈R m yx T n m z y n xT n z n Bild immer Vielfaches von y TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 285 / 309 Matrizen y1 x1 .. T rang(yx ) = rang . y1 x2 .. . ··· ym x1 ym x2 ··· Matrizenprodukt y1 xn 1 wenn x 6= 0 ∧ y 6= 0 .. = . 0 sonst. ym xn Bemerkung Jede Matrix vom Rang 1 hat eine Darstellung yx T . Beweis A ∈ Rm,n , (a1 , · · · , an ) rang(A) = 1 ⇒ dim span{a1 , · · · , an } = 1 Sei {y } Basis. Dann ∃ λi : ai = y λi ⇒ y1 λ1 y1 λ2 · · · y1 λn .. .. ⇒ A = y A = ... . . ym λ1 TUHH ym λ2 Prof. Dr. Mackens ··· ym λn Lineare Algebra I T λ1 .. . λn WiSe 07/08 286 / 309 Matrizen Matrizenprodukt Folie 2 zum Übers-Bett-Hängen b α a ha, bi ha, ai a aT b = Pa (b) = T a a aaT Pa = T a a Pa (b) = a TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I ha, bi = aT b WiSe 07/08 287 / 309 Matrizen Matrizenprodukt Seite 86 Satz 2.58 v 1 , ..., v n V = n X Orthonormalbasis hv , v j iv j j=1 v= n X v j hv , v j i = j=1 n X vjvj T v j=1 = X | vjvj T v {z } E E= n X vjvj T j=1 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 288 / 309 Matrizen Matrizenprodukt Seite 214 Einfacherer Methode für Spiegelung (Verbesserung von Beispiel 4.12) 1 Ergänze v 1 = 1 zu Orthogonalsystem (v 1 , v 2 , v 3 ) 1 Fourierentwicklung 1 v = hvhv1 ,v,v1ii v 1 v = v 1v 1 T v v1 T v1 1 1T 2 3 + hvhv2 ,v,v2ii v 2 + hvhv3 ,v,v3ii v 3 2 2T + vv 3 vT v 3 v = Ev 2 2T + vv 3 vT v 3 v + vv 2 vT v 2 v Hv = − vv 1 vT v 1 v + vv 2 vT v 2 v v 1v 1 T = E − 2v1 T v1 v . 3 3T 3 3T Kenntnis von v 2 & v 3 nicht nötig TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 289 / 309 Matrizen Lineare Systeme und Inverse Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Komplexe Zahlen C 2 Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum Allgemeine Vektorräume 3 Lineare Gleichungssysteme Definition und Beispiele Lösungsverhalten Der Gaußsche Algorithmus 4 Matrizen Definition und Beispiele Lineare Abbildungen und Matrizen Matrizenprodukt Lineare Systeme und Inverse TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 290 / 309 Matrizen Lineare Systeme und Inverse Seite 140 Lineares Gleichungssystem a11 · x1 a21 · x1 (LGS) .. . am1 · x1 + + a12 · x2 a22 · x2 + am2 · x2 a13 · x3 a23 · x3 +··· +··· a1n · xn a2n · xn = = + am3 · x3 +··· amn · xn = bm + + b1 b2 Mit A = (aij )i = 1, · · · , m ∈ Rm,n j = 1, · · · , n x ∈ Rn , b ∈ Rm Ist (LGS) ⇔ A x = b Bestimme also x ∈ Rn mit Ax =b TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 291 / 309 Matrizen Lineare Systeme und Inverse Seite 141 A : V −→ W linear Basen: v 1 , · · · , v n −→ w 1 , · · · , w n ist Matrix A zugeordnet. Umgekehrt: Bei Vorgabe von V , W mit Basen ist auch A eindeutig A zugeordnet. Abbildung A hängt aber immer von V , W und Basen ab. Wenn wir im Folgenden von einer (m, n)- Matrix A zugehörigen Abbildung A sprechen, meinen wir die zugehörige Abbildung von V = Rn → W = Rm mit Basen e1 , · · · , en und e1 , · · · , em TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 292 / 309 Matrizen Lineare Systeme und Inverse Seite 141 Wie im Gaußschen Algorithmus betrachte zu linearem Gleichungssystem Ax =b neben der Matrix A die erweiterte Matrix a11 · · · .. (A, b) = . a1n | ··· amn | | bm am1 b1 .. . ⇓ GAUSS ⇓ TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 293 / 309 Matrizen Lineare Systeme und Inverse Seite 142 1 0 .. . 0 0 . .. 0 .. . .. . ··· ··· ··· .. . .. . 0 ··· 0 ··· ··· 0 .. . Rang = 0 a1,r +1 ··· .. . .. . 0 a1n .. . .. . 0 1 0 .. . ar0 ,rn 0 .. . ··· ··· ar0 ,n 0 .. . 0 0 ··· 0 b10 | | | | | | | .. . .. . br0 br0 +1 .. . 0 bm 0 r wenn br0 +1 , · · · , bm =0 r + 1 sonst Gauss ändert Rang nicht ⇒ TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 294 / 309 Matrizen Lineare Systeme und Inverse Seite 142 Satz 4.23 A ∈ Rm,n , b ∈ Rm gegeben. Dann ist Ax =b genau dann lösbar, wenn Rang(A, b) = Rang(A). Besonders wichtiger Fall Ax = b Rang A = n ⇒ immer Rang(A, b) = Rang(A) ⇒ A x = b immer lösbar Wie wir wissen sogar immer eindeutig. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 295 / 309 Matrizen Lineare Systeme und Inverse Seite 141 Ax =b A : Rn x −→ zu findendes Urbild −→ Rm b vorgegebenes Bild A = (a1 , · · · , an ) 1. Rang A = n 2. Rang A = m ⇔ a1 , · · · , an l.u. ⇔ ∀b ∃ höchstens eine Lösung ⇔ A injektiv ⇔ dim span{a1 , · · · an } = m ⇔ ∀b durch a1 , · · · , an linear erzeugbar ⇔ A surjektiv 3. Rang A = n = m TUHH Prof. Dr. Mackens ⇔ A bijektiv Lineare Algebra I WiSe 07/08 296 / 309 Matrizen Lineare Systeme und Inverse Seite 142 Da (n, n)- Matrizen mit vollem Rang n so wichtig sind, bekommen sie einen extra Namen. Definition 4.24 A ∈ R(m,n) heißt regulär (oder nicht singulär) wenn (i) m = n (ii) Rang (A) = n = maximal. Ist für A ∈ R(n,n) Rang (A) < n, so heißt A singulär (oder nicht regulär) Wiederholung: Ist A ∈ R(n,n) regulär, so hat Ax =b n für alle b ∈ R eine eindeutige Lösung x ∈ Rn und umgekehrt. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 297 / 309 Matrizen Lineare Systeme und Inverse Beispiele regulärer Matrizen Seite 142 1. En = diag(1, · · · , 1) ∈ R(n,n) ist regulär „Beweis 1“: Die Einheitsvektoren e1 , · · · , en sind linear unabhängig. „Beweis 2“: En x = b ist für alle b ∈ Rn eindeutig lösbar, nämlich durch x =b TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 298 / 309 Matrizen Lineare Systeme und Inverse Seite 142 2. diag(d1 , · · · , dn ) ∈ R(n,n) ist regulär ⇔ di 6= 0 ∀ i = 1, · · · , n „Beweis 1“ (Skript): (d1 e1 , · · · , dn en ) sind genau dann l.u. wenn di 6= 0, i = 1, · · · , n „Beweis 2“: diag(d1 , · · · , dn )x = b ⇔ d1 x1 = b1 .. eindeutig lösbar für alle b1 , · · · , bn ⇔ d1 , · · · , dn 6= 0 . dn xn = bn TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 299 / 309 Matrizen Lineare Systeme und Inverse Seite 143 3. Dreiecksmatrizen l11 l21 L= . .. ln1 0 l22 ··· ··· .. . .. . ··· 0 r11 .. . ,R = 0 . .. 0 lnn 0 ··· .. . .. . ··· r1n .. . .. . rnn ··· .. . 0 sind genau dann regulär, wenn all ihre Diagonalelemente von Null verschieden sind. Genau dann sind nämlich L x = b bzw. R x = b für alle b ∈ Rn eindeutig lösbar. (Vorwärtseinsetzen bzw. Rückwärtseinsetzen) TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 300 / 309 Matrizen Lineare Systeme und Inverse Seite 143 zu 3. Beispiel: 0 1 2 3 1 1 2 3 x = 0 nicht lösbar. 0 2 3 3 0 0 1 2 3 0 0 1 2 3 . 1 0 0 2 3 x = .. „mehrfach“ lösbar. x = λe , λ ∈ R 0 0 0 0 3 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 301 / 309 Matrizen Lineare Systeme und Inverse Seite 143 A regulär ⇔ A bijektiv ⇔ A hat Umkehrabbildung (A−1 ) Behauptung (A−1 ) ist linear. Beweis Zu zeigen ist: Für y 1 , y 2 ∈ Rn , α, β ∈ R gilt A−1 (αy 1 + βy 2 ) = αA−1 (y 1 ) + βA−1 (y 2 ) TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 302 / 309 Matrizen Lineare Systeme und Inverse Seite 143 Aber seien x1 = A−1 (y 1 ), x2 = A−1 (y 2 ), y1 = A(x 1 ) y2 = A(x 2 ) ⇔ Dann αy 1 + βy 2 = αA(x 1 ) + βA(x 2 ) = Linearität von A A(αx 1 + βx 2 ) Also A−1 (αy 1 + βy 2 ) = αx 1 + βx 2 = αA−1 (y 1 ) + βA−1 (y 2 ) TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 303 / 309 Matrizen Lineare Systeme und Inverse Seite 143 A regulär ⇔ A bijektiv ⇔ A hat Inverse (A−1 ) und A−1 ist linear. ⇒ A−1 wird durch eine Matrix dargestellt A−1 die inverse Matrix zu A. TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 304 / 309 Matrizen Lineare Systeme und Inverse Seite 144 Wegen A−1 · A = id ist 1 0 ⇒ A−1 · A = E = . .. 0 TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I 0 1 .. . ··· ··· .. . .. . 0 0 .. . 0 1 WiSe 07/08 305 / 309 Matrizen Lineare Systeme und Inverse Seite 139 Schreibweise der Einheitsmatrix E En oder oder I oder In (Betrag der Dimension) Für E gilt Em B = B BEn = B TUHH Prof. Dr. Mackens für B ∈ Rm,n Lineare Algebra I WiSe 07/08 306 / 309 Matrizen Lineare Systeme und Inverse −1 Behauptung A A = E ⇒ AA−1 = E Seite 144 ∀x ∈ Rn : Ax |{z} = A · Ex = A(A−1 A)x = (A A−1 )Ax durchläuft alle y ∈Rn wenn x Rn durchläuft Also y = (A A−1 )y ∀ y ∈ Rn ⇒ A A−1 = E TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 307 / 309 Matrizen Lineare Systeme und Inverse Seite 144 Also A−1 A = E = AA−1 Interpretationen: (i) A und A−1 vertauschbar (ii) „Linksinverse“ = „Rechtsinverse“ (iii) (A−1 )−1 = A Wenn man die Inverse A−1 hat, kann man formal Ax =b lösen durch −1 −1 A | {z A} x = A b E also x = A−1 b Wie rechne ich A−1 aus? TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 308 / 309 Matrizen Lineare Systeme und Inverse Hauptsatz (der praktischen linearen Algebra) Wer (unnötig) Matrizen invertiert ist DOOF! Warum? Weil’s zu viel Arbeit macht und anders schneller geht (meistens)! TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 309 / 309
