Klausur Aufgabe 1 Aufgabe 2

U NIVERSITÄT KONSTANZ
L EHRSTUHL FÜR P RAKTISCHE I NFORMATIK
Alexander Wolff
Datenstrukturen und Algorithmen
WS’02/03
Klausur
13. Februar 2003, 8:00 – 10:00 Uhr
Aufgabe 1
(5 Punkte)
Kreuzen Sie die korrekten Aussagen an:
richtig
1080 ∈ O(α(n, n))
√
3
n ∈ Ω(log n)
n
X
1
∈ O(1)
2i
i=0
n X
n
i=0
i
∈ Θ(2n )
O(n) ∩ Ω(n log n) = ∅
Aufgabe 2
(4 Punkte)
Geben Sie zwei in der Vorlesung behandelte Sortierverfahren an, deren asymptotische WorstCase-Laufzeit sinkt, wenn die zu sortierenden Daten schon sortiert sind.
1)
2)
Begründen Sie ihre Antwort jeweils kurz.
1
Aufgabe 3
(4 Punkte)
Betrachten Sie folgende Java-Methode:
void gibaus(java.util.LinkedList L) {
for (int i = 0; i < L.size(); i++)
System.out.print(L.get(i)+" ");
System.out.println();
}
Setzen Sie voraus, dass die Methode get der Klasse java.util.LinkedList folgendermaßen implementiert ist:
Object get(int i) {
int n = this.size();
if ( (i < 0) || (i >= n) )
throw new java.lang.IndexOutOfBoundsException();
ListItem curr = null;
if (i < n / 2) {
curr = this.head;
while (i-- > 0)
curr = curr.next;
}
else {
curr = this.tail;
while (++i < n)
curr = curr.prev;
}
return curr.key;
}
wobei
private class ListItem {
ListItem next;
ListItem prev;
Object key;
}
2
(a) Geben Sie eine asymptotisch scharfe Schranke für die Zahl Z(n) der Variablenzuweisungen an, die beim Aufruf von gibaus(L) mit einer Liste L der Länge n ausgeführt
werden. (Z(n) zählt also, wie oft „=“ ausgeführt wird.)
Z(n) ∈ Θ(
), denn
(b) Geben Sie eine Implementierung von void gibaus(java.util.LinkedList L)
in Java an, die asymptotisch schneller ist als die obige.
void gibaus(java.util.LinkedList L) {
}
Aufgabe 4
(3 Punkte)
Gegeben sei eine Folge von n Zahlen, wobei n sehr groß sei. Sei k < n/ log n. Wie kann man
ohne vorheriges Sortieren in O(n) Zeit k kleinste Folgenelemente bestimmen?
3
Aufgabe 5
(5 Punkte)
Betrachten Sie folgende rekursive Funktion:
int f(int n) {
if (n <= 2) return 1;
return f(n-1) + f(n-2);
}
(a) Was berechnet diese Funktion?
(b) Wie groß ist die Anzahl A(n) der Additionen, die beim Aufruf von f(n) ausgeführt werden?
n
1
2
3
4
5
6
7
f(n)
A(n)
Allgemein gilt A(n) =
, denn
(c) Wie kann man die Funktion f rekursiv so implementieren, dass sie in Zeit linear in n
läuft? Sie können dazu vor dem Aufruf von f Variable initialisieren, O(n) Speicherplatz
„investieren“ und die Schnittstelle von f abändern.
4
Aufgabe 6
(4 Punkte)
Schreiben Sie in Java einen Iterator, der zwei Listen vom Typ java.util.LinkedList
nacheinander durchläuft.
import java.util.LinkedList;
public class TwoListIterator extends Iterator {
private Iterator it1, it2;
private boolean done1;
public TwoListIterator(LinkedList list1, LinkedList list2) {
}
public Object next() {
}
public boolean hasNext() {
}
public void remove() {
}
}
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Aufgabe 7
(4 Punkte)
(a) Wenden Sie Hashing mit der Sondierfunktion
g(k, i) = ( h(k) + 2i + i2 ) mod 11
für i, k ∈ N0 und der Hashfunktion
h(k) = k mod 13
für k ∈ N0 beim Einfügen der Zahlen
20, 12, 30
in folgende Hashtabelle an:
0
1
1
2
3
4
5
17
6
7
8
9
10
8
(b) Was ist der Vorteil von doppeltem Hashing gegenüber Hashing mit linearem oder quadratischem Sondieren? Fassen Sie sich kurz.
6
Aufgabe 8
(3 Punkte)
Geben Sie einen Algorithmus an, der für einen ungerichteten planaren Graphen G(V, E) in
O(|V |) Zeit entscheidet, ob G einen aufspannenden Baum besitzt, und wenn ja, die Kanten eines
solchen Baums ausgibt.
Zur Erinnerung: Ein aufspannender Baum in einem Graphen G ist ein zusammenhängender Teilgraph von G, der ein Baum ist und alle Knoten von G enthält.
Begründen Sie, warum Ihr Algorithmus die geforderte Laufzeit besitzt.
Aufgabe 9
(3 Punkte)
Was passiert, wenn man den Algorithmus von Bellman-Ford auf einem Digraphen D(V, A) mit
Startknoten s ∈ V statt |V | − 1 Phasen |V | Phasen lang laufen lässt? Ist der Algorithmus dann
noch korrekt? Begründen Sie Ihre Antwort.
Zur Erinnerung: eine Phase des Algorithmus’ von Bellman-Ford besteht darin, dass für jede
Kante einmal die Prozedur R ELAX aufgerufen wird.
7
Aufgabe 10
(3 Punkte)
Gegeben sei eine Menge von n Intervallen I1 = [a1 , b1 ], . . . , In = [an , bn ]. Beschreiben Sie, wie
man in O(k + n log n) Zeit alle Paare {i, j} mit Ii ∩ Ij 6= ∅ bestimmen kann, wobei k die Anzahl
dieser Paare ist.
Aufgabe 11
(3 Punkte)
Gegeben sei ein vollständiger binärer Baum Bn mit n Knoten (also n = 2k − 1 für ein k ∈ N0 ),
dessen Blätter nil-Zeigern entsprechen und dessen Kanten jeweils zum Kindknoten gerichtet
seien. Wenn Sie nun von jedem Knoten v des Baums auf direktem Wege zu einem beliebigen
Blatt im Teilbaum mit Wurzel v laufen – wie lange dauert das insgesamt?
Mit anderen Worten: Sei K(n) die Anzahl der dabei überquerten Kanten in Abhängigkeit von
n. Geben Sie eine asymptotisch scharfe Schranke für K(n) an und begründen Sie, warum diese
korrekt ist.
Tipp: Vielleicht hilft es Ihnen, wenn Sie für jeden Knoten v genau angeben, zu welchem Blatt
der Weg von v führen soll.
K(n) ∈ Θ(
), denn
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