Arbeitsblatt 5

16. Januar 2007
Arbeitsblatt 5
Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe
sowie an Sonderschulen
I. Gasser, H. Strade, B. Werner
21.11.06
WiSe 06/07
Präsenzaufgaben:
1) Seien A und B zwei endliche Mengen mit |A| = 6 und |B| = 8. Wieviele Elemente hat die
Potenzmenge Pot (A × B) etwa? Schätzen Sie die Anzahl der Dezimalstellen von |P ot(A × B)|.
Es darf 210 = 1024 ≈ 103 benutzt werden.
Lösung: 248 = (210 )4.8 ≈ (103 )4.8 = 1014.4 ≈ 1014 . Ergebnis: ca. 15 Stellen nach dem Komma.
2) Betrachte die Kongruenzrelation Rs modulo s“ auf ZZ, s. Def. 4.21 .
”
(a) Diskutieren Sie (7, 3) ∈ R4 , (7, 4) ∈ R4 , (3, 7) ∈ R4 , (−3, 7) ∈ R4 , (1, −7) ∈ R4 , (7, 7) ∈
R4 , (−7, 7) ∈ R4 . Schreiben Sie die wahren Aussagen auch in unter Verwendung des
Kongruenz-Symbols ≡.
Lösung:
7 ≡ 3 mod 4, 3 ≡ 7 mod 4, 1 ≡ −7 mod 4, 7 ≡ 7 mod 4
(b) Warum ist jede ganze Zahl m ein Teiler der Null2 ?
Lösung: Weil 0 = 0 · m, also r := 0 die Teilerbdingung erfüllt.
(c) Jeder bei einer Division durch s ∈ IN auftretende Rest ist aus {0, 1, 2, ..., s − 1}. Zu jedem
dieser s Reste gehört eine Äquivalenzklasse von Rs . Geben Sie zu s := 4 für alle diese vier
Klassen je zwei Elemente m1 und m2 mit m1 < 0, m2 > 10 an und überprüfen Sie, dass
m1 ≡ m2 mod s.
Lösung: Rest 0: m1 := −4, m2 := 12, Rest 1: m1 := −3, m2 := 13, Rest 2: m1 :=
−2, m2 := 14, Rest 3: m1 := −1, m2 := 15.
m1 und m2 gehören jeweils derselben Äquivalenzklasse an.
3) Sei A die Menge aller Bahnhöfe in Deutschland. Eine zweistellige Relation R auf A sei durch
(a, b) ∈ R : ⇐⇒ Ein Zug fährt ohne Halt von a nach b
definiert. Diskutieren Sie die Eigenschaften (Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie, Transitivität) dieser Relation. Was ändert sich, wenn man statt von einem Zug von einer Zugverbindung
(auch mit mehreren Zügen) spricht?
1
2
(m, n) ∈ Rs : ⇐⇒ s teilt (m − n).
m heißt Teiler von n : ⇐⇒ Es gibt ein r ∈ ZZ : n = r · m.
1
Lösung: Reflexivität gibt keinen Sinn, Symmetrie ist wohl gegeben, aber nicht sicher, Antisymmetrie und Transitivität nicht, letzteres nur bei der Zugverbindung.
4) Sei A die Menge aller (auch schon verstorbenen) Menschen. Sei eine Relation auf A durch
(a, b) ∈ R : ⇐⇒ a und b haben eine gemeinsame Großmutter
definiert. Diskutieren Sie die Eigenschaften (Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie, Transitivität) dieser Relation.
Lösung: reflexiv: ja, Symmetrie auch, Antisymmetrie nicht, Transitivität nicht, z.B. wenn a
und b Kusinen oder Vettern sind. Beachte, dass jeder Mensch in der Regel 2 Großmütter hat.
5) Zwei Kreise in der Ebene sollen einer Zentrumsbeziehung genügen, wenn sie den gleichen
Mittelpunkt haben. Ist dies eine Äquivalenzrelation? Was sind gegebenenfalls die Äquivalenzklassen?
Wie könnte man eine Relation zwischen Kreisen definieren, damit eine Ordnungsrelation entsteht?
Lösung: Ja, eine Äquivalenzklasse ist durch den gemeinsamen Mittelpunkt charakterisiert.
Ordnungsrelation entsteht, wenn man die Größe der Radien zum Vergleich heranzieht. Oder
wenn man die Enthaltensein-Relation verwendet.
6) Welche der folgenden Aussagen ist wahr?
• Die Menge aller Primzahlen ist eine Relation auf IN
Relation auf IN ist eine Teilmenge von IN × IN.
• Aus m mod 3 = 2 folgt m ≡ 2 mod 3
• (−5, 11) ∈ R4
.
.
• −5 ≡ 11 mod 4
.
• −5 = (11 mod 4)
.
• 3 = (11 mod 4)
• 3 ≡ 11 mod 4
. Lösung: Falsch. Eine
.
.
• Aus m ≡ n mod s folgt stets m = n mod s
.
• Aus m = n mod s folgt stets m ≡ n mod s
.
• Die Gleichheitsrelation von Zahlen ist eine Ordnungsrelation
• Die ≤-Relation von Zahlen ist eine Ordnungsrelation
2
.
.
Abbildung 1: Zu Aufgabe 17a
Abbildung 2: Zu Aufgabe 17a
• Die >-Relation von Zahlen ist eine Ordnungsrelation
• Jede nicht symmetrische Relation ist antisymmetrisch
• Jede anti-symmetrische Relation ist nicht symmetrisch
.
.
.
Lösung: Eine Falle!! In der Regel ist die Aussage richtig. Mit einer einzigen Ausnahme:
Nur die Gleichheitsrelation, bei der (a, b) ∈ R mit a 6= b niemals zutrifft, ist sowohl
anti-symmetrisch als auch symmetrisch.
Übungsaufgaben: (Abgabe 28.11.06 in den Übungen)
Aufgabe 17:
(a) (3) In den Abbildungen 1 und 2 sehen Sie zwei endliche Teilmengen von IN0 × IN0 . Sie
stellen einen Ausschnitt zweier Ihnen sehr bekannter Relationen dar. Welche? Es genügt
die Angabe der Relation und ihre Überprüfung an Hand von je drei verschiedenen Punkten
der Abbildungen.
Lösung: Die Relationen m ist Teiler von n“ (Beispiele: (1, 0), (1, 3), (3, 3)) und die Re”
lation R3 (Beispiele (1, 1), (1, 4), (3, 0)).
3
Abbildung 3: Aufgabe 17b
(b) (3) Erstellen Sie entsprechend eine Abbildung für die Relation
(m, n) ∈ R : ⇐⇒ ggT (m, n) = 1.
(ggT steht für größter gemeinsamer Teiler“.) Hierbei sollen Sie sich auf A := {n ∈ IN :
”
n ≤ 7} beschränken.
Lösung: s. Abb. 3. Beachte, dass diese Relation nicht reflexiv, wohl aber symmetrisch ist
– dies kann man an der Zeichnung erkennen, da die Diagonale eine Symmetrieachse ist.
(c) Die Teilungs-Relation“ R auf IN, definiert durch (m, n) ∈ R : ⇐⇒ m teilt n“ ist eine
”
”
Ordnungsrelation! Zeigen Sie die Transitivität unter ausdrücklichem Verweis auf die Def.
4.3 (Definition von Teiler).
Lösung: Zu zeigen: (m, n) ∈ R ∧ (n, p) ∈ R =⇒ (m, p) ∈ R, in Worten: Aus m teilt n“
”
und n teilt p“ folgt m teilt p“.
”
”
Beweis: Wir müssen auf die Teiler-Definition 4.3 zurückgreifen, d.h. wir müssen aus
∃k ∈ IN : n = k · m“ und ∃` ∈ IN : p = ` · n“ folgern, dass ∃r ∈ IN : p = r · m“. Durch
”
”
”
Einsetzen erhalten wir p = ` · n = ` · k · m“, so dass wir nur r := k · ` setzen brauchen!
”
Aufgabe 18:
Sei M eine Menge und P :=Pot M die Potenzmenge von M .
(a) (5) Wir führen auf P eine Relation R durch (A, B) ∈ R : ⇐⇒ A ⊂ B ein. Es geht also
um die Enthaltensein-Relation“ von Mengen. Untersuchen Sie die vier Eigenschaften
”
Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivität.
Lösung: Wegen A ⊂ A für alle A ∈ P ist die Relation reflexiv. Sie ist nicht symmetrisch,
da sie anti-symmetrisch ist. Denn: Wenn A ⊂ B, aber auch A 6= B, wenn also A eine
echte Teilmenge von B ist, kann B nicht in A enthalten sein, d.h., es gilt (B, A) ∈
/ R.
Die Relation ist transitiv, da für alle Teilmengen A, B und C von M aus A ⊂ B und
B ⊂ C stets A ⊂ C folgt. Beweis: Wegen A ⊂ B (Definition!) folgt aus x ∈ A, dass
x ∈ B. Wegen B ⊂ C folgt aus x ∈ B auch x ∈ C. Insgesamt folgt aus x ∈ A also x ∈ C.
Daher (Definition!) gilt A ⊂ C.
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(b) (5) Wir führen für endliche Mengen M auf P eine Relation R durch (A, B) ∈ R : ⇐⇒
|A| = |B| ein. Zeigen Sie, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt. Geben Sie für
M := {1, 2} alle Äquivalenzklassen an.
Lösung: Wegen |A| = |A| für alle A ⊂ M gilt die Reflexivität. Da die Gleichheitsrelation
für Zahlen eine Äquivalenzrelation ist, gilt auch hier Symmetrie und Transitivität. Jede
Äquivalenzklasse besteht aus all den Teilmengen von M , die gleich viel Elemente haben.
Ist |M | = n, so gibt es also n + 1 Äquivalenzklassen.
Es gibt für M := {1, 2} drei Äquivalenzklassen. Die eine enthält nur die leere Menge,
die zweite alle einelementigen Teilmengen ({1}, {2}), die dritte die Menge M selbst und
sonst nichts.
Aufgabe 19:
Sie wissen, wie man m mod s für m, s ∈ IN berechnet (Rest bei Division von m durch s). Die
präzise Definition lautet (und kann so auf ZZ verallgemeinert werden):
Es gilt für s ∈ IN und m ∈ ZZ:
r = m mod s : ⇐⇒ ∃k ∈ ZZ : m = k · s + r ∧ r ∈ IN0 mit 0 ≤ r < s.
Hinweis: Weil r := m mod s ein Rest modulo s ist, wird 0 ≤ r < s verlangt.
(a) (2) Zeigen Sie (durch Angabe eines k in obiger Definition):
−16 mod 5 = 4.
Lösung: Setze k := −4: Es ist −16 = (−4) · 5 + 4.
(b) (2) Sei s := 4. Finden Sie vier verschiedene Paare (m1 , m2 ) ∈ ZZ × ZZ mit erstens
m1 ≡ m2 mod s und zweitens vier verschiedenen Werten von m1 mod s. Berechnen Sie
zum Vergleich auch jeweils m2 mod s.
Lösung: (0, 4), (1, 5), (2, 6), (3, 7). Die Werte von m1 mod s sind nacheinander 0, 1, 2, 3.
Die Werte von m2 mod s stimmen mit den Werten von m1 mod s überein.
(c) (4) Zeigen Sie unter Verwendung der obigen Definition des modulo-Operators mod, dass
gilt:
r = m mod s =⇒ r ≡ m mod s.
Hinweis: Per Definition ist r := m mod s ∈ IN0 und 0 ≤ r < s.
Lösung: Wenn r = m mod s gibt es nach Definbtion des modulo-Operators ein k ∈ ZZ
mit m = k · s + r. Daher ist m − r ein Vielfaches von s und daher (nach definition der
Kongruenz) ist r ≡ m mod s.
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(d) (2) Die Umkehrung (r ∈ ZZ ∧ r ≡ m mod s =⇒ r = m mod s) ist falsch. Geben Sie ein
Gegenbeispiel an.
Lösung: s := 4, m := 7, r := 11. Dann ist m mod s = 3 6= r.
(e) (Zusatzaufgabe, 3 Punkte) Zeigen Sie allgemein
m1 ≡ m2 mod s ⇐⇒ m1 mod s = m2 mod s.
Lösung: m1 ≡ m2 mod s heißt nach Definition, dass s ein Teiler von m1 − m2 ist. Nach
der Teilerdefinition ist dies gleichwertig damit, dass es ein k ∈ ZZ gibt mit m1 − m2 = k · s.
Auf der anderen Seite gibt es kj ∈ ZZ mit mj = kj s + (mj mod s), j = 1, 2. Hieraus folgt
m1 − m2 = (k1 − k2 )s + ((m1 mod s) − (m2 mod s)). D.h., dass m1 − m2 genau dann ein
Vielfaches von s ist, wenn m1 mod n = m2 mod s.
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