Bezeichnungen am Dreieck

Bezeichnungen am Dreieck
Verbindet man drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, so entsteht ein Dreieck.
Allgemeine Bezeichnungen:
Die Eckpunkte des Dreiecks werden mit den Buchstaben A, B und C bezeichnet.
Die Seiten des Dreiecks sind a, b und c. Die Seite a liegt dem Punkt A, die Seite B dem
Punkt b und die Seite c dem Punkt C gegenüber.
Die Winkel im Dreieck sind α, ß und γ. Der Winkel α liegt bei A, der Winkel ß liegt bei B
und der Winkel γ liegt bei C.
Das Zeichen für das Dreieck ABC ist ∆ ABC.
C
γ
b
A
a
β
α
B
c
Einteilung nach Winkeln
Dreiecke mit drei spitzen Winkeln heißen spitzwinklige Dreiecke.
Dreiecke mit einem stumpfen Winkel heißen stumpfwinklige Dreiecke.
Dreiecke mit einem rechten Winkel heißen rechtwinklige Dreiecke.
Im rechtwinkligen Dreieck bilden die Katheten den rechten Winkel. Die Seite, die dem
rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse.
C
C
C
γ
A
α
γ
γ
β
spitzwinkliges Dreieck
α
B
β
A
B
stumpfwinkliges Dreieck
1
A
α
β
rechtwinkliges Dreieck
B
Einteilung nach Seiten
Dreiecke, in denen die drei Seiten verschieden lang sind, heißen ungleichseitige Dreiecke.
Dreiecke mit zwei gleich langen Seiten heißen gleichschenklige Dreiecke.
Dreiecke mit drei gleich langen Seiten heißen gleichseitige Dreiecke.
C
a
b
A
C
C
A
B
c
ungleichseitiges Dreieck
c
a
b
a
b
B
gleichschenkliges Dreieck
A
c
gleichseitiges Dreieck
Linien im Dreieck
Das Lot von einer Ecke des Dreiecks auf die Gegenseite ist eine Höhe (hc).
Die Strecke, die einen Innenwinkel halbiert, heißt Winkelhalbierende (wγ).
Die Verbindungsstrecke eines Eckpunktes mit der Mitte der Gegenseite ist eine
Seitenhalbierende (sc).
Die Senkrechte im Mittelpunkt einer Seite ist eine Mittelsenkrechte (mc).
C
hc
wγ
sc
mc
B
A
Hc
Wγ
Mc
2
B
Grundkonstruktionen - Lösungen
Konstruiere in den folgenden Aufgaben ein Dreieck aus den gegebenen Größen. Fertige eine
Beschreibung an. Miss die fehlenden Größen – dann ist eine Kontrolle über die Richtigkeit
deiner Lösung sofort möglich.
Konstruktion eines Dreiecks aus den 3 Seiten (SSS)
Konstruiere ein Dreieck aus:
a = 4,5 cm; b = 4,1 cm; c = 5,6 cm
C
81.1 °
4.10 cm
4.50 cm
46.3 °
B
A
5.60 cm
52.6 °
Konstruktionsbeschreibung:
1. Es wird die Strecke a = 4,5 cm mit den Endpunkten B und C gezeichnet.
2. Um B wird ein Kreisbogen mit dem Radius 5,6 cm geschlagen.
3. Um C wird ein Kreisbogen mit dem Radius 4,1 cm geschlagen.
4. Der Schnittpunkt der Kreisbögen bildet den Punkt A.
5. A wird mit B und C verbunden.
3
Konstruktion eines Dreiecks aus 2 Seiten und dem eingeschlossen Winkel
(SWS)
Konstruiere ein Dreieck aus:
b = 4,3 cm; c = 6 cm; α = 400
C
94.4 °
4.30 cm
3.87 cm
40.0 °
45.6 °
A
B
6.00 cm
Konstruktionsbeschreibung:
1. Zeichnen von c mit den Endpunkten A und B.
2. Antragen von α = 400 an A.
3. Kreisbogen mit r = 4,3 cm um A; es entsteht C.
4. B mit C verbinden.
Konstruktion eines Dreiecks aus einer Seite und zwei Winkeln (SWW oder
WSW)
Konstruktionsbeschreibung:
1. Zeichnen von c = 7 cm mit den Endpunkten
A und B.
2. In A wird α = 550 und in B wird ß = 480
angetragen
3. Der Schnittpunkt ist C.
Konstruiere ein Dreieck aus:
c = 7 cm; α = 550, ß = 480
C
77.0 °
5.88 cm
5.34 cm
48.0 °
55.0 °
A
B
7.00 cm
4
Konstruktion eines Dreiecks aus zwei Seiten und dem Gegenwinkel der
größeren Seite (SsW)
Konstruiere ein Dreieck aus:
a = 3,9 cm; c = 5,4 cm; γ = 700
C
Konstruktionsbeschreibung:
70.0 °
1. Zeichnen von a = 3,9 cm.
2. Antragen von γ = 700 in C.
3. Kreisbogen um B mit dem
Radius c = 5,4 cm.
4. Der Schnittpunkt ist A.
a
b
3.90 cm
5.30 cm
67.3 °
B
c
5.40 cm
A
42.7 °
Die Höhen im Dreieck
b = 5,5 cm; hc = 3,4 cm; a = 4,4 cm
Konstruktionsbeschreibung:
1. Zeichnen einer Geraden
2. Festlegen eines Punktes H
3. Errichten der Höhe hc in H
mit dem Punkt C
4. Kreisbögen um C mit
4,4 cm bzw. 5,5 cm;
es entstehen A und B
C
91.2 °
5.50 cm
4.40 cm
3.40 cm
38.2 °
50.6 °
A
H
7.12 cm
5
B
Konstruiere ein Dreieck aus:
c = 6,5 cm; hc = 3,6 cm; α = 520
83.7 °
Konstruktionsbeschreibung:
C
1. Zeichnen von c mit A und B.
2. Festlegen von H‘
4.57 cm
auf c.
3. Errichten von h‘ in H‘.
4. Antragen von α.
52.0 °
5. Parallelverschiebung
von h‘ durch den
A
Schenkel von α; es
entsteht C.
h'
5.15 cm
3.60 cm
44.3 °
H
H'
B
6.50 cm
Aufgabe 3
a) Konstruiere ein Dreieck aus:
ha = 4 cm; ß = 200; γ = 500
C'
C
50.0 °
H
14.35 cm
B'
5.22 cm
4.00 cm
20.0 °
B
A
110.0 °
11.70 cm
Konstruktionsbeschreibung:
1.
2.
3.
4.
5.
Zeichnen einer Geraden, Festlegen des Punktes H
Errichten der Höhe ha in H; es entsteht der Punkt A
Festlegen von C‘ und B‘ auf der Geraden
Antragen von ß und γ in B‘ und C‘
Parallelverschiebung der Schenkel von ß und γ durch C
6
Konstruiere ein Dreieck aus:
hc = 3,4 cm; α = 420; γ = 840
Konstruktionsbeschreibung:
1. Zeichnen einer Geraden
2. Festlegen von H auf der
Geraden und Errichten
5.08 cm
der Höhe; es entsteht C
3. A‘ auf der Geraden anlegen und α antragen
42.0 °
4. Parallelverschiebung
des Schenkels von α
A
durch C; es entA'
steht A
5. Antragen von γ in C;
es entsteht B
C
84.0 °
4.20 cm
3.40 cm
54.0 °
B
H
6.25 cm
d) Konstruiere ein Dreieck aus:
hc = 2,8 cm; b = 4,5 cm; γ = 860
Konstruktionsbeschreibung:
1. Zeichnen einer Geraden, Festlegung von H; Errichten von hc
mit C
2. Kreisbogen um C mit r = 4,5 cm;
es entsteht A
3. Antragen von γ in C; es
entsteht B
C
86.0 °
4.50 cm
3.40 cm
38.5 °
2.80 cm
55.5 °
A
H
5.45 cm
7
B
Die Seitenhalbierenden im Dreieck
a) Konstruiere ein Dreieck aus:
c = 6 cm; sc = 4 cm; α = 500
Konstruktionsbeschreibung:
1. Zeichnen von c mit A und B
2. Antragen von α
3. Bestimmung von M (Kreisbögen in der nebenstehenden
Zeichnung aus Gründen der
Übersichtlichkeit nicht
dargestellt)
4. Kreisbogen um M mit
r = 4 cm – es entsteht C
C
73.7 °
5.20 cm
4.79 cm
4.00 cm
50.0 °
56.3 °
A
B
M
6.00 cm
Konstruiere ein Dreieck aus:
c = 6,1 cm; b = 4,8 cm; sc = 4,5 cm
C
67.7 °
4.80 cm
Konstruktionsbeschreibung
1.
2.
3.
4.
Zeichnen von c mit A und B
Konstruktion von M
Kreisbogen um A mit 4,8 cm
Kreisbogen um M mit 4,5 cm –
es entsteht C
6.01 cm
4.50 cm
46.7 °
65.6 °
A
B
M
6.10 cm
8
Konstruiere ein Dreieck aus:
hc = 3,4 cm; sc = 3,8 cm; a = 5,5 cm
118.0 °
C
67.1 °
8.43 cm
5.50 cm
3.80 cm
3.80 cm
23.8 °
M2
A2
M1
A1
38.2 °
B
3.40 cm
5.25 cm
12.04 cm
Konstruktionsbeschreibung:
1.
2.
3.
4.
Zeichnen einer Geraden, Errichten der Höhe mit C
Kreisbogen mit 3,8 cm um C; es entstehen M1 und M2
Kreisbogen mit 5,5 cm um C; es entsteht B
Bestimmung von A1 bzw. A2 – es gibt 2 Lösungen
Konstruiere ein Dreieck aus:
ra = 3,1 cm; c = 5,2 cm; sc = 4,1 cm
3.10 cm
6.18 cm
C
28.8 °
57.0 °
A
2.98 cm
4.10 cm
94.2 °
5.20 cm
B
Konstruktionsbeschreibung:
1. Zeichnen des Außenkreises mit r = 3,1 cm
2. Festlegen des Punktes A, Kreisbogen um A mit 5,2 cm; es entsteht B
3. Mittelpunkt von AB bestimmen; Kreisbogen mit 4,1 cm um den Mittelpunkt; es entsteht C
9
Die Winkelhalbierende im Dreieck
Konstruiere ein Dreieck aus:
c = 6,6 cm; α = 520; wα = 4,6 cm
C
Konstruktionsbeschreibung:
1.
2.
3.
4.
5.
Zeichnen von c mit A und B
Antragen von α
Konstruieren von wα
wα = 4,6 cm; es entsteht W
Halbgerade durch B und W
zeichnen – es entsteht C
88.7 °
W
4.18 cm
5.20 cm
4.60 cm
A
39.3 °
B
6.60 cm
52.0 °
Die Mittelsenkrechten im Dreieck
Konstruiere ein Dreieck mit Umkreis aus:
a = 5,5 cm; c = 6,2 cm; ß = 710
59.3 °
C
5.50 cm
6.82 cm
71.0 °
A
B
49.7 °
6.20 cm
10
Konstruktionsbeschreibung:
1.
2.
3.
4.
5.
Zeichnen der Strecke c = 6,2 cm mit den Endpunkten A und B.
Antragen von ß = 710 in B.
Kreisbogen um B mit dem Radius r = 5,5 cm
Der Schnittpunkt ist C.
Für den Außenkreis werden die drei Mittelsenkrechten wie folgt konstruiert:
2 gleich große Kreisbögen um A und B (> 3,1 cm)
Die Schnittpunkte der beiden Kreisbögen werden miteinander verbunden; es entsteht die
Mittelsenkrechte mc.
Die Mittelsenkrechten ma und mb werden auf gleiche Weise konstruiert.
Der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt des Außenkreises.
Konstruiere ein Dreieck aus:
r = 3,8 cm; c = 6,4 cm; α = 350
C
Konstruktionsbeschreibung:
3.80 cm
57.4 °
1. Zeichnen eines Kreises mit
r = 3,8 cm.
2. Festlegen eines Punktes A
auf dem Kreisbogen.
3. Kreisbogen schlagen um A
mit dem Radius 6,4 cm. Es
entstehen zwei Schnittpunkte
mit dem ersten Kreis; einen
nennen wir B.
4. Antragen von α in A; der
Schnittpunkt mit dem ersten
Kreis ist C.
5. Verbinden von B und C.
7.59 cm
4.36 cm
35.0 °
87.6 °
A
B
6.40 cm
Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck aus:
r = 2,8 cm; α = 440
90.0 °
C
Konstruktionsbeschreibung:
1.
2.
3.
4.
5.
Zeichnen von c = 5,6 cm
Mittelpunkt von c bestimmen
Halbkreis zeichnen
α antragen – es entsteht C
B mit C verbinden
3.89 cm
4.03 cm
46.0 °
44.0 °
B
A
5.60 cm
11
Der Thalessatz
Zeichne jeweils ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit Hilfe des Thalessatzes, wenn gegeben
ist:
a) c = 5 cm; a = 3 cm
C
Konstruktionsbeschreibung:
90.0 °
4.00 cm
1. Zeichnen von c = 5 cm mit
A und B
2. Bestimmung des Mittelpunktes von c
3. Zeichnen eines Halbkreises
durch A und B
4. Kreisbogen um B mit r = 3 cm –
es entsteht C
3.00 cm
36.9 °
53.1 °
A
B
5.00 cm
Zeichne ein Dreieck aus einem Halbkreis mit dem Radius 4 cm und q = 3cm!
C
Konstruktionsbeschreibung:
1. Zeichnen von c = 8 cm
2. Bestimmung von M, Zeichnen
des Halbkreises
Antragen von q, Errichten
von h; es entsteht C
4.90 cm
6.32 cm
3.87 cm
52.2 °
37.8 °
A
3.00 cm
12
H
M
5.00 cm
B