Harmonischer Oszillator

Der harmonische Oszillator
Projektarbeit der Gruppe Schrödinger
Galovic Robert, Kleinbichler Andreas, Kofler Stefan, Matthias Trattler
zur Quantenmechanikvorlesung SS2008
Harmonischer Oszillator ----- Galovic Robert, Kleinbichler Andreas, Kofler Stefan, Matthias Trattler
Inhalt
Harmonischer Oszillator (in der klassischen Mechanik)...........................................................2
Analytische Methode.................................................................................................................4
Algebraische Methode...............................................................................................................8
Verallgemeinerung auf 3 Dimensionen....................................................................................12
Quellen......................................................................................................................................13
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Harmonischer Oszillator ----- Galovic Robert, Kleinbichler Andreas, Kofler Stefan, Matthias Trattler
Harmonischer Oszillator (in der klassischen Mechanik)
Aus der klassischen Mechanik folgt für die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators:
Ersetzen wir in der Hamiltonfunktion die klassischen Größen q und p für Ort und Impuls
durch den Orts- und Impulsoperator erhalten wir den Hamiltonoperator
(q steht für die generalisierte Koordinate (im ersten Abschnitt ist q =x!)
Der erste Term steht für die kinetische Energie und der zweite Term für das Potential.
Mann kann aber auch auf folgende Weise auf das Potential schließen, in der man auch gleich
die große Bedeutung dieses Potentials in der Physik erkennt:
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Die Taylor-Entwicklung um das lokale Minimum ergibt
weil im Minimum V ′( x0 ) = 0 . Durch Verschiebung der Energieskala um V ( x0 ) = 0 ändert
sich nur die Phase der Wellenfunktion aber nicht die Energieeigenwerte. Weiterhin wählen
wir die Ortsvariable so, dass das Minimum bei x0 = 0 liegt, so dass dann
Deshalb ist das Potential des harmonischen Oszillators
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mit ω = V ′′(0) / m so wichtig, da wir jedes beliebige Potential mit einem ausgeprägten
Minimum gut damit approximieren können.
Die dazugehörige zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung lautet
(1)
mit Randbedingungen nur im Unendlichen. Man erhält nur gebundene Zustände, weil stets
E < V ( ).
Gleichung (1) ist eine gewöhnliche, lineare, homogene Differentialgleichung 2. Ordnung,
die nicht allgemein durch elementare Funktionen lösbar ist. Wir diskutieren nacheinander
zwei verschiedene Ansätze zur Lösung dieser Differentialgleichung:
(a) eine analytische Methode mit Potenzreihen-Ansatz,
(b) eine (unglaublich clevere) algebraische Methode.
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Analytische Methode
Wir multiplizieren Gleichung (1) mit dem Faktor 2 / hω und erhalten
(2)
Wir wählen
als dimensionslose Variable, so dass
Wir erhalten dann für Gleichung (2)
oder
(3)
2E
.
hω
Gleichung (3) wird als Differentialgleichung des linearen harmonischen Oszillators
bezeichnet.
± ∞, Ψ (±∞) = 0 .
Die Differentialgleichung (3) wird durch einen Trick von Sommerfeld gelöst. Man betrachtet
2
zunächst das asymptotische Verhalten für große ξ >> k , so dass
mit k =
Die asymptotischen Lösungen verhalten sich wie
denn dann ist
und
für ξ >> 1 .
Wegen der Normierbarkeit ist nur
brauchbar.
Damit kennt man aber bereits das korrekte asymptotische Verhalten der für (3) gesuchten
Lösungsfunktionen Ψ (x) , das den folgenden Ansatz nahelegt:
(4)
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Damit erhalten wir
und für die zweite Ableitung
Eingesetzt in Gleichung (3) findet man
oder
(5)
Nun hat es den Anschein, dass man noch nicht sehr viel weiter gekommen ist. (5) ist eine
lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit nicht konstanten Koeffizienten. Da es sich
bei den Koeffizienten jedoch um Potenzen der Variablen x handelt, ist ein Potenzreihenansatz
vielversprechend:
.. .
(6)
Man erhält für die Ableitungen
und
mit J=j-2, sodass
Für Gleichung (4) ergibt sich
6
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und wir erhalten die Rekursionsformel
(7)
Für gegebene a0 und a1 können wir die a2, a4,… bzw. a3,a5,… berechnen. Ist irgendein ai=0 , so
gilt das auch für alle folgenden Koeffizienten mit höheren Indizes.
Angenommen alle Koeffizienten sind ungleich Null. Dann sollten wir uns erstmal
asymptotische Verhalten, das die Exponentialfunktion gewährleisten sollte, wieder zerstört.
Für j>>1 gilt für die obige Rekursionsformel
mit der asymptotischen Lösung (C= const)
denn mit n!= n(n-1)! folgt
weil (j/2)>>1.
Für Gleichung (6) folgt dann mit der Potenzreihendarstellung der Exponentialfunktion
Damit erhalten wir gemäß unserem Ansatz (4)
und diese Lösung ist nicht normierbar!
Ausweg: Um normierbare Lösungen zu erhalten, muss (7) abbrechen! Das ist genau der Fall,
wenn k einen der diskreten Werte
k=2n+1, n=0,1,2,3,….
annimmt. Daraus folgt mit der Gleichung k =
2E
für die Energie
hω
Mit obiger Bedingung bricht eine der beiden Folgen
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a0 2 4
1
gemacht werden.
3
0=0
5
Als Lösung für H(
oder ungerade ist:
oder a1=0 zu Null
n
Wir bestimmen noch explizit die Lösungen niedrigster Ordnung:
Für n=0 ist k=1. Mit der Wahl a1=0 folgt aus der Rekursionsformel (7) a2v+1=0 für alle
v=1,2,3,… Sei a0 0: nach der Rekursionsformel (7) im Fall k=1
folgt aus j=0, dass a2=a4=…=0. Als einzige Lösung bleibt übrig im Fall n=0
.
Für n=1 ist k=3. Wir wählen a0=0, sodass a2v=0 für alle 1,2,3,…. Sei a0 0: nach der
Rekursionsformel (7) im Fall k=3
folgt aus j=1 (äquivalent zu a1 0), dass a3=a5=…=0. Als einzige Lösung bleibt übrig im Fall
n=1
Für n=2 ist k=5. Wir wählen a1=0, sodass a2v+1 =0. Die Rekursionsformel (7) im Fall k=5
lautet
Sei a0 0, dann folgt aus j=0 a2=-(4/2)a0=-2a0 und aus j=2 folgt a4=a6=…=0.
Im Fall n=2 erhalten wir als Lösung
Alle so konstruierten Lösungen sind proportional zu einem unbestimmten Koeffizienten a0
oder a1. Dieser Koeffizient wird durch die Normierung bestimmt. Im allgemeinen Fall ist
n
Hn
, wenn n gerade ist,
und nur mit ungeraden Potenzen, wenn n ungerade ist. Man bezeichnet diese Polynome als
Hermitesche Polynome.
(Die hier entwickelte Polynommethode wird A. Sommerfeld (1868-1951) zugeschrieben. Sie
ist immer dann erfolgsversprechend, wenn sich für die Koeffizienten eines
Potenzreihenansatzes eine zweigliedrige Rekursionsformel wie in (7) finden lässt.)
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Algebraische Methode
Bei dieser Methode löst man die Schrödingergleichung (1) nicht, sondern beobachtet
stattdessen, dass es sich um die Ortsdarstellung der Eigenwertgleichung
handelt.
Wir wollen nun den Hamiltonoperator auf eine möglichst einfache Form bringen. Dazu
definieren wir zwei hermitesche, zueinander adjungierte Operatoren a und a+. a bezeichnen
wir als Absteige- oder Vernichtungsoperatoren und a+ als Aufsteige- oder
Erzeugungsoperatoren. Ziel ist es nun den Hamiltonoperator durch diese beiden Operatoren
auszudrücken. Dazu müssen a und a+ sicherlich Funktionen von q und p sein.
Wir wählen folgenden einfachen Ansatz:
.
Für den Kommutator gilt: [a,a+]=1.
Substituieren wir b ≡
q
h
und u ≡ erhalten a und a+ folgende Form:
b
mω
bzw.
, sowie
.
Der Hamiltonoperator vereinfacht sich dadurch zu:
.
Außerdem bemerken wir, dass sich auch q und p durch den Auf- und Absteigeoperator
darstellen lassen.
An dieser Stelle wollen wir einige Informationen über die Eigenwerte von N folgern.
1. Die Eigenwerte n sind reell.
Beweis: Nehmen wir an, dass die Eigenzustände |n> normiert sind. Zunächst
stellen wir fest, dass N hermitesch und daher die Erwartungswerte reell sind:
<n|Nn>=<n|Nn>*.
Daraus folgt
.
Was offensichtlich reell ist.
2. Die Eigenwerte n sind positiv oder null.
Beweis:.
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3. Ist |n> Eigenzustand von N zum Eigenwert n, so sind a|n> und a+|n> Eigenzustände zu
den Eigenwerten n-1 und n+1.
Beweis: Wir berechnen die Kommutatoren
Damit lässt sich leicht die Behauptung nachprüfen:
4. Die Eigenwerte sind nicht entartet.
5. Es gibt einen tiefsten Eigenwert. Der zugehörige Eigenzustand heißt Grundzustand und
wird mit |0> bezeichnet. Insbesondere gilt für diesen Zustand a|0>=0, d.h. der
Absteigeoperator verändert diesen nicht mehr.
6. Das Eigenwertspektrum ist nicht nach oben beschränkt und für die wiederholte
Anwendung des Aufsteigeoperators ergibt sich folgende Rekursionsformel:
.
Die Eigenwerte des Hamiltonoperators sind identisch mit denen von N. Daher folgt aus der
Eigenwertgleichung H|n>=En|n>
.
Im Gegensatz zum klassischen harmonischen Oszillator ist das niedrigste Energieniveau also
ungleich null. Kennt man nun die Wellenfunktion des Grundzustandes, kann man durch
wiederholtes Anwenden von a+ auf diese die anderen Eigenzustände „erzeugen“.
Sehen wir uns das ganz kurz an (in der Ortsdarstellung):
Zu jedem Eigenzustand |n> gehört eine Wellenfunktion n(x) =<q|n>.
Wir bemerken, dass diese Wellenfunktionen ein Orthonormalsystem bilden.
Für die Wellenfunktion
n(x)
des niedrigsten Zustandes muss wegen a|0>=0 auch gelten, dass
.
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Diese Differentialgleichung hat die Lösung
mit noch zu bestimmender Normierungskonstanten C. Für diese ergibt sich durch die
Normierungsbedingung
.
Damit erhalten wir als vollständige Lösung für die Grundzustandswellenfunktion
.
Zur Wirkung von Auf-, und Absteige-Operatoren beim harmonischen
Oszillator.
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Verallgemeinerung auf 3 Dimensionen
Wir wollen nun unsere Überlegungen auf 3 Dimensionen erweitern, d.h. Die Bewegung eines
Teilchens der Masse m mit der Koordinate q:=(q1,q2,q3) im Potential
Der Hamiltonoperator wird dann zu
,
wobei die Hi Teiloperatoren für jede Raumrichtung sind, die jeder einen linearen Oszillator
darstellen. Für die Lösung der Eigenwertgleichung
benutzen wir nun einen so genannten Seperationsansatz in dem die fi(qi) die Eigenfunktionen
zu den Hi darstellen:
,
der, wenn wir ihn in die Eigenwertgleichung einsetzen dafür sorgt, dass diese in drei Teile
zerfällt. Sind nämlich Hifi (qi) = Ei fi(qi) , i=1,2,3 die Eigenwertgleichungen für die drei
Oszillatoren, so folgt
wobei Hi immer nur auf fi wirkt und daher
.
Diese Gleichung wird nur dann erfüllt, wenn jeder Term für sich bereits konstant ist und wir
erhalten drei unabhängige lineare Oszillatoren.
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Die Eigenfunktionen entsprechen dann
.
Die Energieeigenwerte sind im Gegensatz zum eindimensionalen Fall entartet, da sie von drei
Indizes abhängig sind. Es kann daher sein das zum selben Eigenwert es verschiedene
Eigenfunktionen gibt
.
Beim dreidimensionalen isotropen Oszillators (d.h. invariant unter beliebigen Drehungen,
1= 2= 3. hängen seine Eigenwerte nur von einer Quantenzahl ab. Man erhält das
Ergebnis einfach durch Addition der Hifi aus dem allgemeinen Fall.
.
Quellen:
•
W. Nolting: "Grundkurs Theoretische Physik Band 5.1 Quantenmechanik"
•
Torsten Fließbach: "Quantenmechanik"
•
http://www.students.uni-mainz.de/tlangen/harmosz.pdf
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