Grundlegende Begriffsbildungen

1 Grundlegende Begrisbildungen
1.1
Mengen
Im Allgemeinen werden Mengen mit groen, ihre Elemente mit kleinen Buchstaben bezeichnet. Mengen
werden entweder aufzahlend oder beschreibend charakterisiert:
2
A = f1; 4; 9; 16; 25; : : :g = fn j n 2 Ng.
Die Standardzahlenmengen werden wie folgt notiert:
N = f1; 2; 3; 4; : : :g (Menge der naturlichen Zahlen),
N0 = N [ f0g,
Z = f n j n 2 Ng [ N0 (Menge der ganzen Zahlen),
Q = f pq j p 2 Z; q 2 Ng (Menge der rationalen Zahlen)
R = Menge der reellen Zahlen.
Anmerkung: Auch wenn diese Mengen im Laufe des Kurses erst konstruiert werden, werden sie gelegentlich in Beispielen Verwendung nden und sollen dann { wie bisher { im naiven Sinne verstanden werden.
Ferner bezeichnet ; die leere Menge (Die Bezeichnung fg fur die leere Menge ndet sich nur in Schulbuchern.).
Elementbeziehungen konnen in beide Richtungen ausgedruckt werden:
a 2 A , A 3 a bzw. a 2
= A , A 63 a.
Die (echte oder unechte) Teilmenge einer Menge wird mit bezeichnet:
B A , F
ur alle b 2 B : b 2 A.
Zwei Mengen sind gleich, wenn die eine Teilmenge der anderen ist und umgekehrt:
A = B , A B und B A.
Die Potenzmenge P (A) ist die Menge aller Teilmengen: P (A) = fM j M Ag.
Das schon verwendete Zeichen [ bezeichnet die Vereinigung(smenge):
A [ B = fa j a 2 A oder a 2 B g.
Entsprechend steht \ fur den Durchschnitt (Schnittmenge) zweier Mengen:
A \ B = fa j a 2 A und a 2 B g.
Zwei Mengen A und B heien disjunkt, falls A \ B = ;.
Gelegentlich werden wir fur Durchschnitt und Vereinigung mehrerer Mengen auch die vorangestellten
Zeichen in Verbindung mit indizierten Mengen verwenden:
[n
i=1
Ai
= A1 [ A2 [ : : : [ An bzw.
\n
i=1
Ai
= A1 \ A2 \ : : : \ An ;
wobei die obere Grenze auch 1 (unendlich) sein kann.
Die Dierenzmenge wird mit n bezeichnet: A n B = fa j a 2 A und a 2= B g.
Die Komplementmenge A kann nur erklart werden, wenn klar ist, in welcher Grundmenge M (M A)
operiert wird: A = M n A.
Fur zwei Mengen A und B beschreibt A B = f(a; b) j a 2 A und b 2 B g das kartesische Produkt von A
und B . Die Elemente einer Menge, die als kartesisches Produkt entstanden ist, heien (geordnete) Paare.
Analog wird das n-fache kartesische Produkt aus den Mengen A1 ; A2 ; : : : ; An gebildet:
A1 A2 : : : An = f(a1 ; a2 ; : : : ; an ) j ai 2 Ai ; i = 1; : : : ng. Seine Elemente heien n-Tupel (alternative
Bezeichnung fur n = 3: Tripel, fur n = 4: Quadrupel).
Die abkurzende Schreibweise An mit einer Menge A bezeichnet dann das n-fache kartesische Produkt von
A mit sich selbst.
1.2
Abbildungen
A und B zwei nichtleere Mengen, so beschreibt f : A ! B eine Abbildung
(Funktion) mit der Denitionsmenge (Denitionsbereich) A und der Zielmenge (Wertebereich) B . Jedem
Element a 2 A wird durch f ein Element b = f (a) 2 B zugeordnet: A 3 a 7! f (a) 2 B fur alle a 2 A.
Die Elemente von A heien Urbilder, f (a) 2 B heit Bild von f an der Stelle a bzw. Bild von a unter f .
Denition 1 Bezeichnen
Hier werden die Begrie Abbildung und Funktion synonym verwendet. Manche Lehrbucher verwenden
den Begri Funktion auch spezieller als Abbildung in eine (ansonsten beliebige) Menge von Zahlen (dann
sind etwa geometrische Abbildungen keine Funktionen). Statt Bild kann dann auch Funktionswert verwendet werden, eine Bezeichnung, die im geometrischen Kontext nicht sehr naheliegend ist.
Jede Funktion f : A ! B induziert eine Funktion zwischen den Potenzmengen. Sie wird meistens ebenfalls mit f bezeichnet und wie folgt erklart:
f : P (A) ! P (B ) mit A M 7! f (M ) = fb 2 B j es existiert a 2 M mit f (a) = bg = ff (a) j a 2 M g.
( ) B heit Bildmenge der (ursprunglichen) Funktion f .
Die Urbildmenge einer Teilmenge M B wird mit f 1 (M ) bezeichnet:
1 (M ) = fa 2 A j f (a) 2 M g. f 1 (fag) kann auch als f 1 (a) notiert werden. Achtung: Beide Notatiof
nen beschreiben { wenn nichts anderes gesagt ist { eine Menge.
Falls f (A) = B , so heit f surjektiv.
Falls fur alle a1 ; a2 2 A gilt: a1 6= a2 ) f (a1 ) 6= f (a2 ) (bzw. gleichwertig: f (a1 ) = f (a2 ) ) a1 = a2 ), so
heit f injektiv. (Verschiedene Urbilder haben verschiedene Bilder bzw. jedes Element der Zielmenge hat
hochstens ein Urbild.)
Falls f surjektiv und injektiv ist, heit f bijektiv oder Bijektion.
Funktionen werden mit kleinen oder groen, manchmal auch griechischen Buchstaben bezeichnet.
f A
1.3
Relationen
Denition 2 Bezeichnen A und B zwei nichtleere Mengen, so heit jede Teilmenge R A B (zweistellige) Relation. Statt (x; y ) 2 R schreibt man auch xRy ( x steht in Relation zu/mit y\).
"
Eine Relation R 2 A A heit Relation in/auf A.
Jede Abbildung f : A ! B ist eine spezielle Relation, deren Elemente alle Paare (x; f (x)) mit x 2 A
sind. Umgekehrt ist eine Relation R A B genau dann eine Abbildung, wenn fur jedes a 2 A genau
ein b 2 B existiert mit aRb bzw. (a; b) 2 R.
Denition 3 Sei A eine nichtleere Menge, R A A eine Relation in A.
R
heit reexiv, wenn gilt:
R
heit symmetrisch, wenn gilt:
R
heit antisymmetrisch, wenn gilt:
R
heit transitiv, wenn gilt:
xRx
fur alle
xRy
xRy
x
)
2
yRx
xRy
A
.
fur alle
x; y
2
A
.
und yRx ) x = y fur alle
und yRz ) xRz fur alle
x; y; z
2
x; y
A
2
A
.
.


heit Aquivalenzrelation
, wenn R reexiv, symmetrisch und transitiv ist. Bei einer Aquivalenzrelation
schreibt man haug (statt aRb) a b.
R heit Ordnungsrelation, wenn R reexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.
R
Beispiele:
(1) Die Gleichheitsrelation (=) auf einer beliebigen Zahlenmenge ist reexiv, symmetrisch, antisymme
trisch und transitiv, also eine Aquivalenzrelation
und eine Ordnungsrelation.
(2) Die Kleiner-Relation (<) auf einer Teilmenge der reellen Zahlen ist nicht reexiv, nicht symmetrisch,
antisymmetrisch (!) und transitiv. Sie ist keine Ordnungsrelation. Gleiches gilt fur die GroerRelation (>).
(3) Die Kleiner-Gleich-Relation () auf einer Teilmenge der reellen Zahlen ist reexiv, nicht symmetrisch, antisymmetrisch und transitiv. Sie ist eine Ordnungsrelation (analog ).
(4) Die Relation ist Teiler von\ (j) auf N ist reexiv, nicht symmetrisch, antisymmetrisch und transitiv.
"
Sie ist also eine Ordnungsrelation.
(5) Die Relation der Restklassenkongruenz in Z (fur a; b; s 2 Z ist a b mod s :, (a b) = ks mit

k 2 Z) ist reexiv, symmetrisch, nicht antisymmetrisch und transitiv. Sie ist eine Aquivalenzrelation.

Denition 4 Sei R eine Aquivalenzrelation
in A mit der Relationsvorschrift .
Fur
a
2
A
heit
Ka

:= fx 2 A j x ag die Aquivalenzklasse
von a.

Satz 1 Sei R eine Aquivalenzrelation
in A mit der Relationsvorschrift . Es folgt:
2
(1) Fur alle
a
(2) Fur alle
a; b
(3) Fur alle
a; b
A
2
2
ist
Ka
6= ;.
A
gilt:
Ka
A
gilt:
Ka
= Kb , a b .
6=
Kb
,
Ka
\
Kb
= ;.
Beweis: Zu 1. Wegen der Symmetrie gilt stets a 2 Ka .
Zu 2. Sei zuerst Ka = Kb . Da a 2 Ka und b 2 Kb = Ka folgt a b.
Sei nun a b. Fur ein beliebiges Element x 2 Ka folgt aus x a und a b wegen der Transitivitat
x b. Also ist x 2 Kb bzw. Ka Kb .
Fur ein beliebiges Element y 2 Kb folgt aus a b und y b mit der Symmetrie a y , also y 2 Ka bzw.
Kb Ka .
Aus Ka Kb und Kb Ka folgt Ka = Kb .
Zu 3. Wegen 2. ist Ka 6= Kb , (nicht a b). Dies geht nur, wenn Ka \ Kb leer ist, denn ein Element x in
der Schnittmenge (also x a und x b) hatte wegen der Transitivitat a b zur Folge. Die Ruckrichtung
ist trivial, da der leere Schnitt zweier nichtleerer Mengen sofort die Verschiedenheit der beiden Mengen
impliziert.
M 6= ;. Das Mengensystem Z = fZ1 ; Z2 ; Z3 ; : : : ; Zn g heit endliche Zerlegung oder
endliche Klasseneinteilung von M genau dann, wenn gilt
Denition 5 Sei
i\
(1)
Zi
(2)
Z
(3)
Sn
6= ; fur
ur =
6 ,
j = ; f
M
mit
Zi
Z
i=1 Zi
i
i
= 1; 2; 3; : : : ; n,
j
=M
Ist Z ein Mengensystem mit (abzahlbar)
vielen Mengen und gelten die Eigenschaften (1), (2)
S unendlich
und die Eigenschaft (3) in der Form 1
i=1 Zi = M , dann heit Z unendliche Zerlegung oder unendliche
Klasseneinteilung von M .
Satz 2 Sei A 6= ;.


(1) Ist R eine Aquivalenzrelation
in A, dann bildet die Menge der Aquivalenzklassen
fKa j a 2 Ag,
wobei Ka = fx j x ag fur alle a 2 A, eine endliche oder unendliche Zerlegung Z der Menge A.
(2) Ist Z eine endliche oder unendliche Zerlegung der Menge A, so wird durch folgende Vorschrift 
eine Aquivalenzrelation
erklart: x y genau dann, wenn eine Menge Z 2 Z existiert, so dass
x; y 2 Z .

Beweis: zu (1): Satz 1 uber Aquivalenzrelationen
liefert fast alles, was hier zu beweisen ist. Zu zeigen

bleibt, dass die Vereinigung aller Aquivalenzklassen
die Menge A ergibt. Das ist aber ebenfalls klar, da

kein Element aus A in keiner Aquivalenzklasse
liegen kann, da wegen der Reexivitat von R stets a 2 Ka .

zu (2): Zu zeigen sind die drei Eigenschaften der Aquivalenzrelation.
Die Reexivitat ist klar, ebenfalls
die Symmetrie. Fur die Transitivitat sei etwa x; y 2 A mit x y , also etwa x; y 2 X 2 Z . Ferner sei
y; z 2 A mit y z bzw. y; z 2 Y . Da y 2 X \ Y , muss wegen der Eigenschaft (2) der Zerlegung Z X = Y
sein, also x; z 2 X = Y und damit x z .