Kapitel 4: Strömung von Fluiden, Teil 1
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Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ 4 Strömung von Fluiden ..............................................................................................................................2 4.1 Grundbegriffe .......................................................................................................................................................................................2 4.1.1 Allgemeine Beschreibung des Strömungsfeldes ..................................................................................... 2 4.1.2 Stationäre und instationäre Strömungen .................................................................................................. 3 4.1.3 Bahnlinie und Stromlinie.............................................................................................................................. 5 4.1.4 Stromröhre, Stromfaden und Stromfläche ................................................................................................ 9 4.2 Kontinuitätsgleichung ..................................................................................................................................................................11 4.3 Energieerhaltungssatz .................................................................................................................................................................14 4.3.1 Satz von Bernoulli ...................................................................................................................................... 14 4.3.2 Vorgehensweise bei der Anwendung der Bernoulli-Gleichung ........................................................... 29 4.3.3 Verlustfreie Rohrströmung - Anwendung der Bernoulli-Gleichung ..................................................... 31 4.3.4 Ausfluß aus Gefäßen und Behältern -verlustfrei ................................................................................... 33 4.3.5 Ausfluß aus Behältern mit scharfkantigen Öffnungen .......................................................................... 37 4.3.6 Ausfluß aus Behältern in ruhendes Wasser ........................................................................................... 38 4.3.7 Ausströmen von Gasen aus Behältern in die Atmosphäre .................................................................. 39 4.3.8 Verlustbehaftetes Ausfließen aus einem Behälter ................................................................................ 41 4.4 Strömung mit Energietransport .............................................................................................................................................44 4.4.1 Strömungen unter Berücksichtigung von Arbeit und Verlusten ........................................................... 44 4.4.2 Turbine ......................................................................................................................................................... 49 4.4.3 Pumpe, Gebläse ......................................................................................................................................... 54 __________________________________________________________________________________________________________ Folie 1 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ 4 Strömung von Fluiden 4.1 Grundbegriffe 4.1.1 Allgemeine Beschreibung des Strömungsfeldes c c x, y , z , t , p p x, y, z , t , x, y, z , t , T T x, y, z , t Geschwindigkeitsfeld c c x, y , z , t stellt ein Vektorfeld dar Druck, Dichte und Temperatur stellen Skalarfelder dar Zur Lösung des Gleichungssystems existieren 6 Gleichungen: - Drei Bewegungsgleichungen (drei Komponenten) - Kontinuitätsgleichung - Energiesatz - Thermische Zustandsgleichung Ideale Flüssigkeit: Keine Temperaturabhängigkeit der Zustandsgrößen Ideale Gase: Aus dem Wertetripel p, , T müssen immer nur zwei bekannt sein __________________________________________________________________________________________________________ Folie 2 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ 4.1.2 Stationäre und instationäre Strömungen Unterscheidung in stationäre und instationäre Strömung in Abhängigkeit von dem zeitlichen Verhalten der Zustandsgrößen V, p, T und stationär A dc dp dT d 0 dt dt dt dt c, p, T, quasistationär dc dp dT d 0 dt dt dt dt A Instationär dc dp dT d 0, 0, 0, 0 dt dt dt dt __________________________________________________________________________________________________________ Folie 3 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Stationäre Strömung - Kontinuierliche Rohrströmung c A - keine zeitliche Änderung des Massestroms m Instationäre Strömung - Ausfluss aus einem Behälter - Massestrom ändert sich in Abhängigkeit vom Füllstand h - Ausflussgeschwindigkeit c 2 g h (Torricelli'sche Ausflussgleichung) c __________________________________________________________________________________________________________ Folie 4 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ 4.1.3 Bahnlinie und Stromlinie Bahnlinie - Kurve, die ein Fluidelement zu unterschiedlichen Zeitpunkten ( t t0 , t1 , ...., tn ) durchläuft - Sichtbarmachung z.B. durch Zugabe von Schwebeteilchen und Langzeitbelichtung Wasserkanalaufnahme von NACA 64A015, = 0° (ONERA, Werlé 1974) __________________________________________________________________________________________________________ Folie 5 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Stromlinie - Tangentenkurve an die Geschwindigkeitsvektoren eines Strömungsfeldes - Sichtbarmachung z.B. durch Zugabe von Schwebeteilchen und Kurzeitbelichtung - Strömungsfeld lässt sich durch eine Kurvenschar darstellen, die in jedem Punkt den zughörigen Geschwindigkeitsvektor tangieren t = t0 __________________________________________________________________________________________________________ Folie 6 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Stromlinien - Stromlinien können beliebig dicht zueinander definiert werden - Zwischen zwei Stromlinien liegt immer ein konstanter Massestrom vor - Stromlinienverdichtung Strömungsbeschleunigung - Stromlinienerweiterung Strömungsverzögerung - Kein Massetransport über die Stromlinien - Stromlinien haben keine Unstetigkeitsstelle (Knick) oder Überschneidungen - Bei stationären Strömungen fallen Bahnkurven und Stromlinien zusammen __________________________________________________________________________________________________________ Folie 7 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Stromlinie und Bahnlinie __________________________________________________________________________________________________________ Folie 8 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ 4.1.4 Stromröhre, Stromfaden und Stromfläche Stromröhre - Bündel von Stromlinien, die durch eine geschlossene Kurve im Raum treten Stromfaden - Stromröhre mit infinitesimalem Querschnitt dA, eindimensionale Strömung Stromfläche - Umhüllende Mantelfläche der Stromröhre - Massestrom nur durch Ein- bzw. Austrittsfläche A1 und A2 möglich __________________________________________________________________________________________________________ Folie 9 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ Folie 10 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ 4.2 Kontinuitätsgleichung Volumenstrom V 3 m V c A s Massestrom m kg m V c A s __________________________________________________________________________________________________________ Folie 11 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Kontinuitätsgleichung Kontinuitätsgleichung m 1 m 2 const . 1 c1 A1 2 c2 A2 const . Differentielle Form der Kontinuitätsgleichung d c A 0 d c A dc A dA c 0 d 1 c A dA dc 0 A c __________________________________________________________________________________________________________ Folie 12 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Bsp.: Rohrverzweigung eines Abwasserrohrs geg.: D1 = V1 V2 :V3 D2 = = 100 mm 42,4 m³/h = 2:1 c3 c1 ges.: 1. D3 (Durchmesser Abzweigungsrohr) 2. c2 (Geschwindigkeit im Querschnitt 2) __________________________________________________________________________________________________________ Folie 13 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ 4.3 Energieerhaltungssatz 4.3.1 Satz von Bernoulli Energieerhaltungssatz - Thermodynamische Betrachtung eines offenen, durchströmten Systems - Verlustbehafteter behafteter Strömungsprozess mit Austausch von Wärme und Arbeit __________________________________________________________________________________________________________ Folie 14 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________ Folie 15 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Zapfluft Kabinendruck Kerosin Zapfluft Enteisung Luft Abgasstrahl Stromversorgung __________________________________________________________________________________________________________ Folie 16 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Systemgrenze m L1 m zu m B , q zu m L 2 , q ab , L 2 m ab , qab wel __________________________________________________________________________________________________________ Folie 17 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Energien im Kontrollraum zwischen Eintrittsebene (1) und Austrittsebene (2) - Wt,12 [J/kg] Technische Arbeit, die dem Fluid zugeführt wird - Q12 [J/kg] Wärme, die dem Fluid zugeführt wird - EDiss [J/kg] Dissipierte Energie (Verluste, z.B. infolge von Reibung) - Ekin,12 [J/kg] Kinetische Energie - Epot,12 [J/kg] Potentielle Energie - H12 [J/kg] Enthalpie Energiebilanz über die Systemgrenze Q12 W12 EDiss Ekin ,12 E pot ,12 H12 Transportenergien (erster Hauptsatz der Thermodynamik) Systemenergien Transportenergien Energien, die über die Systemgrenze transportiert werden Systemenergien Energien, die sich innerhalb der Systemgrenze ändern __________________________________________________________________________________________________________ Folie 18 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Energieterme und spezifische Energieterme auf die Systemmasse m bezogen Wärme: Q12 spez. Wärme: Arbeit: W12 spez. Arbeit: Dissipationsenergie: EDiss kinetische Energie: Ekin,12 potentielle Energie: E pot ,12 m g z2 z1 Enthalpie: H U p V innere Energie: U m cv T Druckenergie: p V m 2 2 c2 c1 2 J kg W J w12 12 m kg q12 Q12 m J kg Ekin,12 J e spez. kin. Energie: kin,12 m kg E pot ,12 J e spez. pot. Energie: pot ,12 m kg HJ h spez. Enthalpie: m kg spez. diss. Energie: ediss Ediss m u spez. innere Energie: spez. Druckenergie: p v UJ m kg p V m J kg __________________________________________________________________________________________________________ Folie 19 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Enthalpie - Summe aus innerer Energie U und Druckenergie pV H U p V bzw. h H u p v m (spez. Enthalpie) Kalorische Zustandsgleichungen u u du dT dv , T v v T u cv cv T , v T v spez. isochore Wärmekapazität h h dp dh dT , T p T p h cp c p T , p T p spez. isobare Wärmekapazität cv cp __________________________________________________________________________________________________________ Folie 20 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Innere Energie und Enthalpie fester und flüssiger Phasen (inkompressibel, d.h. v = const.) du c c p T cv T dT u T2 u T1 c T2 T1 Änderung der spez. inneren Energie u hT2 , p2 hT1 , p1 c T2 T1 p2 p1 v1 Änderung der spez. Enthalpie h Innere Energie und Enthalpie idealer Gase du cv T cv dT dh cp c p T dT c p T cv T R du cv T dT T2 u 2 u1 c v T dT T1 dh c p T dT T2 h2 h1 c p T dT T1 spez. Gaskonstante, ist keine Temperaturfunktion Bei konstanten Werten für cp und cv u 2 u1 cv T2 T1 Änderung der spez. inneren Energie u h2 h1 c p T2 T1 Änderung der spez. Enthalpie h __________________________________________________________________________________________________________ Folie 21 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Erster Hauptsatz der Thermodynamik für ein offenes, stationär durchströmtes System q12 wt ,12 eDiss ekin ,12 e pot ,12 h12 Transportenergien Systemenergien bzw. 1 2 2 q12 wt ,12 eDiss c2 c1 g z 2 z1 cv T2 T1 v p2 p1 2 e pot ,12 spez . Druckenergie u12 ekin ,12 oder 1 2 2 q12 wt ,12 eDiss c2 c1 g z2 z1 h2 h1 2 e pot ,12 spez . Enthalpie ekin ,12 __________________________________________________________________________________________________________ Folie 22 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Bsp.: Stationär durchströmte Gasturbine - Ein- und Austrittsebene der Turbine auf gleiche Höhe - Isentrope Expansion von 14049 m³/h Heißgas von P, wt,12 m 1 (1) (2) Isentrope Zustandsänderung 1 2 - Turbineneintrittsquerschnitt A1 0,01942m 2 - Turbinenaustrittsquerschnitt A2 0,4306 m T2, p2, z2, A2 T1, p1, z1, A1 T2 p2 T1 p1 m 2 p1 18,9 bar auf p2 1,02 bar - Turbineneintrittstemperatur T1 980C - spez. Gaskonstante R 287 ,1 J kg K - Isentropenexponent 1,34 - Konstante spez. Wärmekapazitäten cp, cv = const. ges.: - Volumenstrom in der Austrittsebene - spez. technische Arbeit wt,12 - Wellenleistung P __________________________________________________________________________________________________________ Folie 23 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Mögliche Vereinfachungen des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik q12 wt,12 ediss T1 z1 = 0: = 0: = 0: = T2: = z2 : kein Wärmefluß über die Systemgrenze (adiabates System) keine technische Arbeit über die Systemgrenze keine Reibung an der Systemgrenze (reibungsfreies System) konstante Temperatur im System (isothermes System) kein Höhenunterschied zwischen Zustand (1) und (2) Zusätzliche weitere Vereinfachungen System wird stationär durchströmt, d.h. m const . Inkompressibles Fluid, d.h. const . führen den ersten Hauptsatz der Thermodynamik 1 2 2 q12 wt ,12 eDiss c2 c1 g z 2 z1 cv T2 T1 v p2 p1 2 e pot ,12 spez . Druckenergie u12 ekin ,12 in den Satz von Bernoulli über 1 2 2 0 c2 c1 g z 2 z1 v p2 p1 2 Allgemein: Die Energie oder der Gesamtdruck längs eines Stromfadens ist konstant __________________________________________________________________________________________________________ Folie 24 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Unterschiedlichen Schreibweisen der Bernoulli-Gleichung c2 m 2 m g z potentielle Energie p V Druckenergie kinetische Energie const . E ges (Energieform) Gesamtenergie Division durch die Masse m c2 2 gz spez . potentielle Energie pv spez . Druckenergie spez .kinetische Energie e ges const . (spez. Energieform) spez .Gesamtenergie Multiplikation mit = 1/v 2 c 2 g z p p ges const . (Druckform) Division durch g p c2 z hges const . 2 g g (Höhenform) __________________________________________________________________________________________________________ Folie 25 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Zusammenfassung – Anteile der Bernoulli-Gleichung dynamischer potentieller statischer Gesamtenergie, Anteil Anteil Anteil -druck bzw. -höhe spezifische Energiegleichung c2 2 g h p eges const . N m m2 kg s 2 p ges const . N Pa 2 m hges const . m Druckgleichung c2 2 g h p h p g Höhengleichung c2 2 g __________________________________________________________________________________________________________ Folie 26 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Energieanteile in einem durchströmten System ohne Berücksichtigung von Reibung und Arbeit __________________________________________________________________________________________________________ Folie 27 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Weitere Möglichkeit zur Herleitung der Bernoulli-Gleichung - Euler-Gleichung Kräftebilanz an einem Volumenelement Annahmen: - keine Berücksichtigung der thermischen Energie - keine Berücksichtigung der inneren Energie - keine Reibung dFm dFg cos , s, c Druckform der Bernoulli-Gleichung 2 cos dz ds c 2 g z p p ges const . __________________________________________________________________________________________________________ Folie 28 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ 4.3.2 Vorgehensweise bei der Anwendung der Bernoulli-Gleichung 1. Überprüfung der Annahmen - Keine Arbeitsmaschine (Pumpe, Turbine, Kompressor,…) im System - Keine Wärmeübertragung (Wärmetauscher, Kühler, Brennkammer, …) im System - Reibungsverluste vernachlässigbar - Konstante Temperatur - Stationäre, inkompressible Strömung 2. Definition von Start- und Endpunkt der Bilanz - Wo sind Parameter bekannt? - Wo sollen Parameter bestimmt werden? __________________________________________________________________________________________________________ Folie 29 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Vorgehensweise bei der Anwendung der Bernoulli-Gleichung 3. Aufstellen der vollständigen Bilanz vom Start- zum Endpunkt, z.B. von (1) nach (2) 2 c1 g z1 p1 2 2 c2 g z 2 p2 2 ergibt eine Gleichung mit sechs Unbekannten 4. Eliminieren von fünf Unbekannten - Geeignete Wahl von Start- und Endpunkt - Geschwindigkeiten: Kontinuitätsgleichung für = const. 1 c1 A1 2 c 2 A2 c1 c 2 A2 A1 5. Aufstellen der reduzierten Bilanz __________________________________________________________________________________________________________ Folie 30 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ 4.3.3 Verlustfreie Rohrströmung - Anwendung der Bernoulli-Gleichung Venturi-Rohr Ziel - Messung des Volumenstroms V c1 c2 Messgrößen - Druckmessstellen an der Zuströmseite (1) und im engsten Querschnitt (2) Annahmen - Reibungsfreie Strömung: eDiss = 0 - Eindimensionale Strömung: keine Änderung der Strömungsgrößen über den Querschnitt - horizontale Anordnung: z(1) = z(2), epot = 0 - inkompressible Strömung: 1 2 const. __________________________________________________________________________________________________________ Folie 31 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Bsp.: Venturi-Rohr: Verlustfreie, inkompressible Strömung geg.: d1 = 150 mm d2 = 100 mm Luft = 1,225 kg/m³ p1 - p2 = 250 mmWS const. ges.: = c1 c2 Volumenstrom V __________________________________________________________________________________________________________ Folie 32 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ 4.3.4 Ausfluß aus Gefäßen und Behältern -verlustfrei c2 __________________________________________________________________________________________________________ Folie 33 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Ausfluß aus Gefäßen und Behältern unter Überdruck -verlustfrei c2 __________________________________________________________________________________________________________ Folie 34 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Bsp.: Ausfluß aus einem Behälter unter Überdruck -verlustfrei geg.: 1 P1Ü = 1 bar h1 = 2m d2 = 2 cm H2O = 1000 kg/m³ c2 ges.: c2, V __________________________________________________________________________________________________________ Folie 35 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Bsp.: Ausfluß aus einem Benzinschlauch unter Überdruck - verlustfrei c2 geg.: P1Ü = h2 = 0.2 m d1 = 10 mm d2 = 2 mm Benzin = 4 bar 780 kg/m³ ges.: c2 Ausströmgeschwindigkeit __________________________________________________________________________________________________________ Folie 36 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ 4.3.5 Ausfluß aus Behältern mit scharfkantigen Öffnungen Bisherige Betrachtungen - Ausfluss durch gerundete Düsen Strahlquerschnitt Astr = Düsen- oder Lochquerschnitt AL Realität - Strahlgeschwindigkeit c2 wird in der Ausströmöffnung nicht erreicht - Strahleinschnürung Kontraktionszahl AStr 1 AL 2 0.611 c2 (Näherungswert für lange Spalte, runde Ausströmöffnungen) 1 (ausgeformte Düse) __________________________________________________________________________________________________________ Folie 37 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ 4.3.6 Ausfluß aus Behältern in ruhendes Wasser Ausströmen von Fluiden in ein ruhendes Fluid - Strahlkontraktion - Strahl vermischt sich nach kurzer Entfernung mit dem ruhenden Fluid - Umwandlung kinetischer Energie in Wärme (Dissipation) Grenzen der Bernoulli-Gleichung - Bilanz (1) - (3) aufgrund der Durchmischung ( Dissipation) nicht zulässig __________________________________________________________________________________________________________ Folie 38 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ 4.3.7 Ausströmen von Gasen aus Behältern in die Atmosphäre Ausströmen von Gasen in die freie Atmosphäre - Strahlkontraktion - Turbulente Durchmischung mit der Umgebung (= Dissipation) - Dem Strahl wird der Umgebungsdruck p0 aufgeprägt (Freistrahl) __________________________________________________________________________________________________________ Folie 39 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Bsp.: Auslegung eines Belüftungssystems Belüftungsrohr mit Ausblaslöchern (scharfkantig) geg.: V 0,7 m 3 s Luftstrom d 10 mm Bohrungsdurchmesser pÜ 1100 Pa Überdruck im Rohr Luft 1,2 kg m 3 Luftdichte 0,6 Kontraktionszahl c zu 10 m s Zuströmgeschwindigkeit ges.: - Durchmesser des Rohres - Anzahl der Bohrungen? - Annahme der Inkompressibilität korrekt? __________________________________________________________________________________________________________ Folie 40 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ 4.3.8 Verlustbehaftetes Ausfließen aus einem Behälter Verlustfreies Ausströmen (Torricelli) - Verlustfreier Ausströmvorgang: c2 ,th 2 g h1,th (Torricelli’sche Ausflussgleichung) - Verlustfreie Höhe der Fontäne: h1,th Realität - Ausströmgeschwindigkeit c2 < c2,th p c2 2 g h1,th hV 2 g h1 - Reibungsbehaftete Höhe der Fontäne h1 h1,th A 1 0 ( 3 ') (1 ) h g (3 ) H h Verlustziffer - Abminderung der Geschwindigkeit 2 g h1 c2 h1 c 2 ,th h1,th 2 g h1,th V h 1 (2 ) A 2 __________________________________________________________________________________________________________ Folie 41 von 57 1 ;th Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Kontraktionszahl * A A Str 2 1 AL A2 Ausflußkoeffizient - Zusammenfassung von Kontraktionszahl und Verlustziffer Volumenstrom p A 1 0 ( 3 ') (1 ) h g V (3 ) H h h 1 (2 ) A 2 V A c2 ,th A 2 g h1,th __________________________________________________________________________________________________________ Folie 42 von 57 1 ;th Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ c2* c2* scharfkantige Öffnung Öffnung scharfkantig gerundet BORDA-Mündung Verlustziffer Kontraktionszahl Ausflußkoeffizient 0.97 0.61 - 0.64 0.59 - 0.62 0.97 - 0.99 1 0.97 - 0.99 DIN 1952: Werte für Blenden und Venturirohre __________________________________________________________________________________________________________ Folie 43 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ 4.4 Strömung mit Energietransport 4.4.1 Strömungen unter Berücksichtigung von Arbeit und Verlusten Arbeit - System enthält Baugruppen, die Arbeit zuführen (Pumpe) oder abführen (Turbine) - Berücksichtigung im 1. Hauptsatz durch Arbeitsterm spezifische Arbeit wt12 Totaldruckänderung pM Förderhöhe, Nutzhöhe H oder HNutz Verluste - Reale, reibungsbehaftete Strömung - Berücksichtigung der dissipierten Energie durch Verlustterm spezifische dissipierte Energie, eDiss bzw. eV Totaldruckverlust, pV Höhenverlust hV __________________________________________________________________________________________________________ Folie 44 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Besonderheiten bei Pumpen und Turbinen Spezifische Förderarbeit (Pumpen) Y - Dem Fluid zugeführte mechanische Arbeit - entspricht der spezifischen technischen Arbeit wt12 (Thermodynamik) - Y = wt12 [Nm/kg = m²/s²] Totaldruckänderung infolge Arbeit - Produkt aus aus der Förderarbeit Y und Dichte pt Y [Pa] Förderhöhe H - Förderhöhe (Pumpe) bzw. Nutzfallhöhe (Turbine) H oder HNutz H Y g [m] __________________________________________________________________________________________________________ Folie 45 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Hydraulische Leistung Ph Ph m Y V Y V g H [W] bzw. wegen Y = wt12 Ph m wt12 V wt12 V g H Pumpenwirkungsgrad P - Verhältnis der an das Fluid übertragenen hydraulischen Leistung Ph zu der an Welle zugeführten mechanische Leistung PW, P < 1 P Ph PW Turbinenwirkungsgrad T - Verhältnis der an der Welle zugeführten mechanische Leistung PW zur hydraulischen Leistung Ph, T < 1 T PW Ph __________________________________________________________________________________________________________ Folie 46 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Zusammensetzung der Energieanteile unter Berücksichtigung von Arbeit und Verlusten __________________________________________________________________________________________________________ Folie 47 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Zusammenfassung - Strömungen unter Berücksichtigung von Arbeit und Verlusten Spezifische Energiegleichung 2 2 c1 p c p g z1 1 Y 2 g z 2 2 ediss 2 2 Höhengleichung 2 2 c1 p c p z1 1 H 2 z2 2 hV 2 g g 2 g g Druckgleichung 1 1 2 2 c1 g z1 p1 pt c2 g z2 p2 pV 2 2 __________________________________________________________________________________________________________ Folie 48 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ 4.4.2Turbine p0 Energie wird über die Systemgrenze abgeführt (1) wt ,12 0 wt12 < 0 p0 (2) Systemgrenze __________________________________________________________________________________________________________ Folie 49 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Höhengleichung (1) – (2) 2 2 p c1 p c z1 1 H 2 z2 2 hV 2 g g 2 g g Annahmen für Turbine: p 1 = p2 konstanter Umgebungsdruck c1 = c2 = 0 keine Strömungsgeschwindigkeit an Ober- und Unterwasserspiegel z 1 = H1 Oberwasserspiegel z2 = 0 Unterwasserspiegel T1 = T2 konstante Temperatur __________________________________________________________________________________________________________ Folie 50 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Höhengleichung (1) – (2) 2 2 c p c1 p z1 1 H 2 z2 2 hV 2 g g 2 g g H1 H hV Nutzfallhöhe H = hNutz h Nutz H 1 hV ,12 0 Spezifische technische Arbeit wt,12 wt ,12 g hNutz 0 Turbinenleistung PTurbine m wt ,12 m g hNutz 0 __________________________________________________________________________________________________________ Folie 51 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Druckgleichung (1) – (2) 1 1 2 2 c1 g z1 p1 pt c2 g z2 p2 pV 2 2 g H1 pTurbine pV Druckabsenkung durch Turbine pTurbine pTurbine g H 1 pV 0 Spezifische technische Arbeit wt,12 wt ,12 pTurbine 0 Turbinenleistung PTurbine m wt ,12 m pTurbine V pTurbine 0 __________________________________________________________________________________________________________ Folie 52 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Strömungen mit Energietransport - Turbine Wellenleistung PWelle PWelle Turbine PTurbine Turbine m g hNutz Turbine V g hNutz bzw. PWelle hydr . mech . V g hNutz oder PWelle hydr . mech . V pTurbine 0 __________________________________________________________________________________________________________ Folie 53 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ 4.4.3Pumpe, Gebläse Energie wird über die Systemgrenze p0 (2) zugeführt wt ,12 0 wt12 > 0 p0 (1) Systemgrenze __________________________________________________________________________________________________________ Folie 54 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Höhengleichung (1) – (2) 2 2 p c1 p c z1 1 H 2 z2 2 hV 2 g g 2 g g Annahmen für Pumpe: p 1 = p2 konstanter Umgebungsdruck c1 = c2 = 0 keine Strömungsgeschwindigkeit an Ober- und Unterwasserspiegel z1 = 0 Unterwasserspiegel z 2 = H2 Oberwasserspiegel T1 = T2 konstante Temperatur __________________________________________________________________________________________________________ Folie 55 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Höhengleichung (1) – (2) 2 2 c p c1 p z1 1 H 2 z2 2 hV 2 g g 2 g g H H 2 hV Förderhöhe H = hNutz hNutz H 2 hV ,12 0 Spezifische technische Arbeit wt,12 = Y [Nm/kg] wt ,12 g hNutz 0 Pumpleistung PPumpe m wt ,12 m Y m g hNutz 0 __________________________________________________________________________________________________________ Folie 56 von 57 Fluidmechanik Strömung von Fluiden __________________________________________________________________________________________________________ Druckgleichung (1) – (2) 1 1 2 2 c1 g z1 p1 pPumpe c2 g z2 p2 pV 2 2 pPumpe g H 2 pV Druckerhöhung durch Pumpe pPumpe pPumpe 0 Spezifische technische Arbeit wt,12 = Y [Nm/kg] wt ,12 Y pPumpe 0 Pumpleistung PPumpe m wt ,12 m p Pumpe V p Pumpe 0 __________________________________________________________________________________________________________ Folie 57 von 57