Lineare Algebra I (WS 12/13)

Lineare Algebra I (WS 12/13)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
04.12.2012
Bernhard Hanke
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Affine Unterräume (Wiederholung)
Definition
Es sei V ein Vektorraum. Ein affiner Unterraum von V ist eine Teilmenge
von V der Form v + W , wobei v ∈ V und W ⊂ V ein Untervektorraum
ist. Der Punkt v ∈ V heißt auch Aufhängepunkt des affinen Unterraumes.
Bemerkung
Ein affiner Unterraum ist in der Regel kein Untervektorraum von V . Dies
ist genau dann der Fall, falls 0 ∈ v + W , d.h. falls v ∈ W .
Definition
Ist W ⊂ V ein Untervektorraum und sind v1 , v2 ∈ V , so nennen wir die
affinen Unterräume v1 + W und v2 + W parallel.
Bernhard Hanke
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Proposition
Es sei V ein reeller Vektorraum und A ⊂ V ein affiner Unterraum.
Schreiben wir A = v + W mit v ∈ V und einem Untervektorraum W ⊂ V ,
so ist W durch A eindeutig bestimmt. Der Vektor v ist eindeutig bestimmt
bis auf Addition von Vektoren in W .
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Definition
Es sei A = a + W ⊂ V ein affiner Unterraum. Die Dimension von A wird
definiert als die Dimension von W (W ist ja durch A eindeutig bestimmt).
Affine Unterräume der Dimension 1 heißen Geraden, der Dimension 2
Ebenen und der Dimension n − 1 Hyperebenen in V .
Proposition
Es sei ein lineares Gleichungssystem durch die erweiterte
Koeffizientenmatrix (A|b) ∈ Rm×(n+1) gegeben. Es sei L ⊂ Rn die
Lösungsmenge dieses linearen Gleichungssysstems. Dann tritt genau einer
der folgenden beiden Fälle ein:
I
L = ∅.
I
L ⊂ Rn ist ein affiner Teilraum mit dim L = dim Lhom , wobei
Lhom ⊂ Rn die Lösungsmenge des zugehörigen durch A gegebenen
homogenen Systems ist.
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Bemerkung
I
Ist f : V → W linear und b ∈ W , so ist das Urbild f −1 ({b}) ⊂ V
entweder leer oder ein affiner Unterraum der Dimension dim ker f .
Denn ist x ∈ f −1 ({b}), so gilt für alle v ∈ V
f (v ) = b ⇔ f (v − x) = 0
und somit auch
v ∈ f −1 ({b}) ⇔ v ∈ x + ker f .
I
Falls A ∈ Rm×n , so ist A−1 ({b}) ⊂ Rn genau die Lösungsmenge des
durch (A|b) gegebenen linearen Gleichungssysstems.
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Proposition
Es sei M ⊂ Rn ein affiner Teilraum. Dann existiert ein m ∈ N, eine Matrix
A ∈ Rm×n und ein Vektor b ∈ Rm , so dass die Lösungsmenge des linearen
Gleichungssystems mit erweiterter Koeffizientenmatrix (A|b), also die
Lösungsmenge der Gleichung
Ax = b
(mit Unbekannter x ∈ Rn ), genau mit M übereinstimmt.
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Transversalität
Proposition
Es seien A und B affine Teilräume in einem endlichdimensionalen
Vektorraum V . Dann ist entweder A ∩ B leer oder wieder ein affiner
Teilraum von V . Im letzten Fall gilt die Ungleichung
dim A + dim B − dim(A ∩ B) ≤ dim V
(1)
Definition
Falls in obiger Proposition A ∩ B nichtleer ist und in (1) Gleichheit gilt, so
sagt man, dass sich A und B transversal schneiden.
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Transversalität: Beispiele
Was bedeutet es im R2 , R3 , R4 und R5 , dass sich zwei Ebenen transversal
schneiden?
I
Für zwei sich schneidende Ebenen im R2 gilt
dim(A ∩ B) ≥ 2 + 2 − 2 = 2 und der Schnitt ist genau dann
transversal, wenn dim(A ∩ B) = 2. Da jede Ebene im R2 gleich R2
ist, schneiden sich zwei Ebenen im R2 also immer transversal.
I
Für zwei sich schneidende Ebenen im R3 gilt
dim(A ∩ B) ≥ 2 + 2 − 3 = 1 und der Schnitt ist genau dann
transversal, wenn dim(A ∩ B) = 1. Die beiden Ebenen schneiden sich
also in einer Gerade oder in einer Ebene und der Schnitt ist genau
dann transversal, wenn der Schnitt eine Gerade ist.
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I
Für zwei sich schneidende Ebenen im R4 gilt
dim(A ∩ B) ≥ 2 + 2 − 4 = 0 und der Schnitt ist genau dann
transversal, wenn dim(A ∩ B) = 0. Die beiden Ebenen schneiden sich
also in einem Punkt, in einer Gerade oder in einer Ebene. Der Schnitt
ist genau dann transversal, wenn der Schnitt aus einem Punkt besteht.
I
Für zwei sich schneidende Ebenen im R5 gilt
dim(A ∩ B) ≥ 2 + 2 − 5 = −1 und der Schnitt ist genau dann
transversal, wenn dim(A ∩ B) = −1. Da Dimensionen immer positiv
sind, können sich zwei Ebenen im R5 nie transversal schneiden.
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