Spule

IV. Elektrizität und Magnetismus
IV.4 Wechselstromkreise
Physik für Mediziner
1
Ohmscher Widerstand bei Wechselstrom
• Der Ohmsche Widerstand verhält
sich bei Wechselstrom genauso wie
bei Gleichstrom
• zu jedem Zeitpunkt t gilt:
U (t)
R=
= const
I(t)
d.h. das Verhältnis aus momentaner
Spannung U(t) und momentaner
Stromstärke I(t) ist konstant
• Der Widerstand ist unabhängig von
der Kreisfrequenz ω der Wechselspannung
• beim Ohmschen Widerstand laufen Spannungs- und Stromzeiger
in Phase im Zeigerdiagramm um.
An R:
U und I in Phase
Physik für Mediziner
2
Auf- und Entladen eines Kondensators
1.) Aufladen:
I( t) = I0 ⋅ e
−
t
R⋅C
t
U( t) = U0 ⋅ (1 − e R⋅C )
−
2.) Gleichgewicht: U( t) = U0 Widerstand
I( t) = 0
3.) Entladen:
Physik für Mediziner
unendlich
t
U( t) = U0 ⋅ e R⋅C
t
−
I( t) = − I0 ⋅ e R⋅C
−
Auf- und Entladen
eines Kondensators
3
Kondensator bei Wechselstrom
• Anlegen einer Wechselspannung
an einem Kondensator ist dem
einem periodischen Auf- und Entladen ähnlich.
• Erst muss Strom fließen, damit
der Kondensator aufgeladen wird;
d.h. Stromstärke eilt der Spannung
um 900 (oder T/4) voraus
• der kapazitive Widerstand Xc nimmt
mit zunehmender Frequenz ab:
U
1
Xc = 0 =
I0
ω⋅C
d.h. bei Gleichspannung ist Xc unendlich groß
Am Kondensator eilt Strom der Spannung um δ = 900 voraus
Physik für Mediziner
An Kondensator C:
I vor U
4
Selbstinduktion einer Spule
• Wenn ein Strom I durch eine Spule fließt, so entsteht innerhalb
n ⋅I
der Spule ein Magnetfeld: B = μ0 ⋅
(h = Länge der Spule)
h
• dieses Magnetfeld verursacht einen magnetischen Fluss Φ durch die
Spule:
n ⋅ A ⋅I
Φ = A ⋅ B(I) = μ0 ⋅
h
• Wenn sich der Strom I ändert, dann ändert sich auch der
magnetische Fluss ⇒ Es wird eine Spannung induziert, die der
Ursache der Flussänderung entgegenwirkt:
2
dΦ
d
μ
⋅
n
⋅ A dI
Uind = −n ⋅
= − (μ0 ⋅ n2 ⋅ A ⋅ I ) = − 0
⋅
h
dt
dt
h
dt
2
dI
⋅ A der Spule
n
Uind = − L ⋅
mit Induktivität L = μ0 ⋅
dt
h
L = Induktivität (Selbstinduktion): Einheit [L] = 1 V·s/A =1 H (Henry)
• Die induzierte Spannung erzeugt einen zusätzlichen Strom in der Spule,
der beim Ein- bzw. Ausschalten der externen Spannung den Anstieg
bzw. Abfall des Gesamtstroms verlangsamt (Lenzsche Regel).
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5
Selbstinduktion einer Spule
• Einschalten:
(Schließen von S1 und Öffnen von S2)
Externe Spannung liegt sofort an.
Stromfluss ist verzögert durch
induzierte Gegenspannung
1.) Einschalten: I( t) =
R
−
⋅t
U0
L
⋅ (1 − e
)
R
• Ausschalten:
(Schließen von S2 und Öffnen von S1)
Externe Spannung ist sofort weg;
aber Strom fließt noch wegen
induzierte Spannung
2.) Gleichgewicht:U = U0
U0
I=
R
Nachleuchten
mit Induktivität
R
Physik für Mediziner
nur Ohmscher
Widerstand
R
−
⋅t
U0
L
3.) Ausschalten: I( t) =
⋅e
6
Ideale Spule bei Wechelstrom
• Anlegen einer Wechselspannung an
eine Spule ist wieder periodischem
An- und Abschalten ähnlich.
• Strom hinkt der Spannung um 900,
d.h. um T/4 hinterher. (R=0)
• der induktive Widerstand XL nimmt
mit wachsender Frequenz zu:
U
XL = 0 = L ⋅ ω
I0
d.h. bei Gleichstrom ist XL=0
An einer Spule hinkt der Strom der Spannung um δ = 900 hinterher
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An Induktivität L:
U vor I
7
Wechselstromwiderstand
Frequenzabhängigkeit der Wechselstromwiderstände an
Ohmschem Widerstand, Induktivität und
Kapazität
U0
R=
I0
XL = ω ⋅ L
1
XC =
ω⋅C
frequenzunabhängig
Ohmscher Widerstand
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8
LC-Schwingkreis
Schwingungen beinhalten periodische Umwandlung von Energieformen:
in Mechanik: potenzielle Energie ⇔ kinetische Energie
in Elektrodynamik:
periodische Umwandlung elektrische ⇔ magnetische Energie
1.) Ladung Q auf Kondensator gespeichert;
Spannung UC=Q/C
2.) Schließen des Schalters; Ladungsausgleich;
Strom fließt; Spannung wird in Spule induziert
3.) Kondensator entladen; Spule hält Stromfluss
aufrecht; Kondensator lädt sich entgegengesetzt auf.
4.) Vorgang wiederholt sich mit umgekehrter
Stromrichtung
⇒ periodischer Umladevorgang: Schwingkreis
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Quantitative Beschreibung des LC-Schwngkreises
• Kirchhoffsche Maschenregel:
UC − UL = 0
UC =
dI
Q
; UL = −L ⋅
dt
C
d2Q Q
dI Q
L⋅ + = 0 ⇒L⋅ 2 + = 0
C
dt C
dt
dQ
dt
• analog zur mechanischen Schwingungsgleichung (z.B. Federpendel)
I=
m⋅
d2x
dt
2
+k⋅x = 0
Lösung: x( t) = x 0 ⋅ sin(ω0 ⋅ t ) mit ω 0 =
k
m
• entsprechende Lösung für den LC-Schwingkreis:
Q ( t) = Q0 ⋅ sin(ω0 ⋅ t ) mit Eigenfrequenz ω 0 = 1
L⋅C
dQ
I(t) =
= I0 ⋅ ω0 ⋅ cos(ω0 ⋅ t )
dt
Physik für Mediziner
⇒ ungedämpfte harmonische Schwingung
10
Vergleich mechanischer und elektromagnetischer Schwingungen
mechanische Schwingungen
|x| = xmax
v=0
vmax
x = xmax
v=0
v = max
x=0
Epot = max
Ekin = 0
I, B = 0
Q, U, E = max
Epot = 0
Ekin = max
I, B = max
Q, U, E = 0
Epot = max
Ekin = 0
I, B = 0
Q, U, E = max
Epot = 0
Ekin = max
I, B = max
Q, U, E = 0
potenzielle ↔ kinetische
Energie
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elektromagnetische Schwingungen
elektrische ↔ magnetische
Energie
11
Analogie: LC-Schwingkreis und Federschwingung
m⋅
d2x
dt
2
+k⋅x = 0
L⋅
d2Q
dt 2
+
Q
=0
C
Auslenkung x
Ladung Q
Geschwindigkeit v
Strom I
träge Masse m
Induktivität L
Federkostante k
inverse Kapazität 1/C
1
potenzielle Energie: Epot = ⋅ k ⋅ x 2
2
1
kinetische Energie: Ekin = ⋅ m ⋅ v 2
2
1 Q2
elektrische Feldenergie: EC = ⋅
2 C
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magnetische Feldenergie: EL =
1
⋅ L ⋅ I2
2
12
LCR-Reihenschwingkreis
Reihenschaltung aus L, C, R mit äußerer Spannngsquelle: Uext = U0 ⋅ sin (ω ⋅ t)
U
Strom überall gleich: I = I0 ⋅ sin (ω ⋅ t − δ) = 0 ⋅ sin (ω ⋅ t − δ)
Z
Spannung und Stromstärke phasenverschoben um Winkel δ
1 ⎞
Wechselstromwiderstand: Z(ω) = R + ⎛⎜ ω ⋅ L −
⎟
ω
⋅
C
⎝
⎠
2
Phasenwinkel δ: tan δ =
Physik für Mediziner
XL − X C
=
R
ω⋅L −
R
2
1
ω⋅C
13
LCR-Reihenschwingkreis
1 ⎞
⎛
Z(ω) = R 2 + ⎜ ω ⋅ L −
⎟
ω⋅C ⎠
⎝
2
• für kleine Frequenzen Wechselstromwiderstand groß (Strom klein)
1
wegen kapazitiven Widerstands: X C =
ω⋅C
Kreisfrequenz ω
• für große Frequenzen Wechselstrom
widerstand groß (Strom klein)
wegen induktiven Widerstands: XL = ω ⋅ L
• Strom maximal (Widerstand minimal) für
1
; Z(ω0 ) = R (ohmisch)
ω⋅C
1
Resonanzkreisfrequenz: ω o =
L⋅C
1
1
⋅
Resonanzfrequenz: f res =
2π L ⋅ C
XL = X C ; ω ⋅ L =
Dämpfung durch Ohmschen Widerstand R
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LCR-Parallelschwingkreis
• für kleine Frequenzen fließt Strom
durch Induktivität, da induktiver
Widerstand am kleinsten: XL = ω ⋅ L
• für große Frequenzen fließt Strom
durch Kapazität, da kapazitiver
1
Widerstand am kleinsten: XC =
ω⋅C
• im Resonanzfall Widerstand maximal
und rein ohmisch
1
; Z(ω0 ) = R
ω⋅C
1
Resonanzkreisfrequenz: ω o =
L⋅C
1
1
⋅
Resonanzfrequenz: f res =
2π L ⋅ C
XL = X C ; ω ⋅ L =
R
Kreisfrequenz ω
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ResonanzSchwingkreis
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Effektivwerte von Strom und Spannung
U ( t) = U0 ⋅ sin (ω ⋅ t)
U
I( t) = I0 ⋅ sin (ω ⋅ t − δ) = 0 ⋅ sin (ω ⋅ t − δ)
Z
am Ohmschen Widerstand sind Spannung
und Stromstärke phasengleich: δ = 00
• Der Effektivwert Ieff des Wechselstroms
I(t) ist der Wert, der über eine volle Periode
gemittelt an einem Ohmschen Widerstand
die mittlere Leistung wie ein Gleichstrom
ergibt:
1
1
2
PAC = I( t) ⋅ U ( t) = R ⋅ I0 = ⋅ U0 ⋅ I0
2
2
2
PDC = Ieff ⋅ Ueff = R ⋅ Ieff
Gleichsetzen I = 1 ⋅ I U = 1 ⋅ U
eff
0;
eff
0;
2
2
ergibt:
An der Wechselstromsteckdose: Ueff = 230 V; Scheitelspannung: U0 = 325 V
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16
Gekoppelte Induktivitäten : Transformator
• Zwei getrennte Spulen auf denselben Eisenkern gewickelt; dieselben
dφ
B-Feldlinien gehen durch beide Spulen; beide Spulen sehen das gleiche m
dt
B
Primärspule L : N Windungen;
1
U1(t)
N1
L1
Primär
N2
L2
B
U2(t)
Sekundär
1
Sekundärspule L2: N2 Windungen
Ständige zeitliche Flussänderung
bei Wechselspannung
• Wechselspannung U1(t) an Primärspule erzeugt Wechselstrom I1(t)
• Wechselstrom I1(t) erzeugt ein magnetisches Wechselfeld B(t),
dessen Feldlinien im ganzen Eisenkern umlaufen
• oszillierender magnetischer Fluss Φ(t) induziert in Sekundärspule
Sekundärspannung U2(t) gleicher Frequenz aber anderer Amplitude
U1(t ) → I1(t ) → B(t ) → φ(t ) → U2 (t )
dφ
dφ
U
N
U1( t ) = − N1 m ; U 2 ( t ) = − N 2 m ⇒ 1 = 1
dt
dt
U2 N2
Physik für Mediziner
Umsetzung
von Wechselspannungen
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Transformator mit Last
• Wird ein Widerstand R an die Sekundärspule angeschlossen, so
fließt dort der Strom I2; verbrauchte elektrische Leistung: P2 = I2 ⋅ U2
• Energieerhaltung verlangt, dass die an der Sekundärseite entnommene
Leistung an der Primärseite hineingesteckt wird:
P1 = U1 ⋅ I1 = P2 = U2 ⋅ I2
⇒
I1 U2 N2
=
=
I2 U1 N1
Transformator
Physik für Mediziner
18
Anwendungen des Transformators
U1 N1
;
=
U2 N2
I1 N2
=
I2 N1
• Niederspannungstransformator: N2 < N1
Anpassung von Niederspannungsgeräten
z.B. 6V oder 12 V an das Stromnetz: 230 V
• Hochstromtransformator: N2 << N1
z.B. Elektroschweißen
HochstromTransformator
• Hochspannungstranformator: N2 >> N1
z.B. Umspannwerk
HochspannungsTransformator
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19
Überlandleitung zur Energieübertragung
• Zum verlustarmen Transport der elektrischen Energie vom Kraftwerk
zum Verbraucher wird elektrische Energie über mehrere Spannungsebenen transportiert
Hochspannungsleitung
Physik für Mediziner
20
Vergleich des Energietransports mit und ohne Umspannung
2 kW Leistung vom Erzeuger: was geht zum Verbraucher ?
Niederspannungslösung
• maximaler Strom:
P
I=
= 10 A
U
• Leistungsverlust in Leitung:
PVerl. = R ⋅ I2 = 1kW
• Leistung beim Verbraucher:
PVerb = 1kW
• Spannung beim Verbraucher:
UVerb = 100 V
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Umspannungslösung
• maximaler Strom:
UHV = 20 kV; I =
P
2 kW
=
= 0,1A
UHV 20 kV
• Leistungsverlust in Leitung:
PVerl. = R ⋅ IHV 2 = 0,1W
• Leistung beim Verbraucher:
PVerb = 1,9999 kW
• Spannung beim Verbraucher:
U − R ⋅ IHV
PVerb. = HV
= 199,99 V
100
21
Zusammenfassung
• Kapazitäten, Induktivitäten und Ohmsche Widerstände verhalten
sich unterschiedlich im Wechselstromkreis:
- Ohmscher Widerstand: Stromstärke und Spannung sind in Phase
- Kapazität: Stromstärke eilt der Spannung um eine Viertelperiode (900)
voraus. Der kapazitive Widerstand nimmt mit zunehmender Frequenz ab.
- Induktivität: Stromstärke hinkt der Spannung um eine Viertelperiode
(900) hinterher. Der induktive Widerstand nimmt mit der Frequenz zu
• elektromagnetische Schwingkreise:
L, C, R können zu Schwingkreisen zusammengeschaltet werden;
periodische Umwandlung: elektrische ⇔ magnetische Energie
• Transformatoren sind wichtige Komponenten bei Wechselstromanwendungen:
- induktive Kopplung zweier Wechselstromkreise;
- Leistungsübertragung durch induktive Kopplung vom Primär- zum
Sekundärstromkreis;
I
N
U
N
- Umsetzung von Wechselströmen und Spannungen: 1 = 1 ; 1 = 2
U2 N2 I2 N1
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22