vorlesungen zur relativit ¨atstheorie

VORLESUNGEN
ZUR
R ELATIVIT ÄTSTHEORIE
Hans-Jürgen Matschull
Institut für Physik, Universität Mainz
27.10.2002
T EIL III
A LLGEMEINE R ELATIVIT ÄTSTHEORIE
13 Gravitation und Relativitätstheorie
Die Newtonsche Gravitationstheorie
, die ein Körper der Masse
am
Die Newtonsche Theorie besagt, dass die anziehende Kraft
Ort auf einen Körper der Masse
am Ort ausübt, proportional zu den Massen der beiden
Körper und umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstandes ist. Als Proportionalitätskonstante tritt eine Naturkonstante auf, die als Newtonsche Gravitationskonstante bezeichnet wird,
m
kg sec
(13.1)
Aus diesem Kraftgesetz lassen sich die Bewegungsgleichungen für ein System von endlich vielen
Körpern ableiten, die sich jeweils gegenseitig anziehen,
In diesem Kapitel wollen wir die wesentlichen Ideen der allgemeinen Relativit ätstheorie beschreiben. Dabei wollen versuchen, in groben Zügen die Gedankengänge Albert Einsteins nachzuvollziehen, natürlich in eine moderne mathematische Sprache übersetzt, so wie wir dies auch in Kapitel 2 getan haben, als wir die grundlegenden Aussagen der speziellen Relativitätstheorie aus
einigen wenigen Annahmen über die Struktur der Raumzeit abgeleitet haben.
Einstein selbst hat einmal gesagt, zwischen der ersten Idee zur speziellen Relativitätstheorie
und der Fertigstellung seiner berühmten Arbeit “Zur Elektrodynamik bewegter Körper” im Jahre
1905 seien nicht mehr als fünf Wochen vergangen. Die Entwicklung der allgemeinen Relativitätstheorie hat dagegen etwa zehn Jahre in Anspruch genommen, von 1905 bis 1915, als Einstein
schließlich seine berühmte Formel veröffentlichte, die im nächsten Kapitel als Gleichung (14.82)
auftauchen wird.
Die allgemeine Relativitätstheorie leitet sich aus dem Versuch her, eine Theorie der Gravitation zu formulieren, die sowohl mit der speziellen Relativitätstheorie verträglich ist, also auch mit
der Quantentheorie. Der zweite Aspekt wird hin und wieder übersehen, denn bis heute gibt es
Schwierigkeiten, die allgemeine Relativitätstheorie mit der Quantentheorie in Einklang zu bringen. Diese Probleme sind aber ganz anderer Art als die, mit denen die theoretische Physik am
Anfang des 20. Jahrhunderts konfrontiert war.
Zu dieser Zeit existierte die Quantentheorie zwar schon in Bruchstücken, aber sie war noch weit
von ihren großen Erfolgen entfernt. Es waren aber gerade diese Bruchstücke, und insbesondere
Einsteins eigener Beitrag zur Quantentheorie, die Erklärung des photoelektrischen Effekts durch
die Teilcheneigenschaft des Lichtes, die sich einerseits sehr elegant in die spezielle Relativitätstheorie fügten. Andererseits schien es jedoch unmöglich, die Newtonsche Theorie der Gravitation
konsistent in dieses Theoriengebilde einzubeziehen.
Dass sich die Quantentheorie des Lichtes sehr gut mit der speziellen Relativitätstheorie verträgt, haben wir im Zusammenhang mit dem Doppler-Effekt auf der einen Seite, und der Beschreibung von Photonen als masselose Teilchen auf der anderen Seite bereits in Teil I gesehen.
Der wesentliche Punkt ist, dass sich in der Relativitätstheorie Energie und Impuls eines Teilchens
beim Übergang von einem Bezugsystem zum anderen genau so transformieren wie Frequenz und
Wellenvektor einer Welle. Darauf beruht die Konsistenz von Relativitätstheorie und Quantenphysik.
Wie wir jetzt aber zeigen wollen, ergibt sich ein Problem, sobald wir die Gravitation als Wechselwirkung zwischen Massen mit in die Theorie einbeziehen wollen. Zunächst werden wir feststellen, dass die Newtonsche Theorie der Gravitation, im Gegensatz zur Maxwellschen Elektrodynamik, nicht dem Relativitätsprinzip genügt. Und selbst wenn wir sie so modifizieren, dass
sie analog zur Elektrodynamik eine kovariante Formulierung zulässt, ergeben sich noch immer
Widersprüche zur Quantenphysik.
Eine andere Beobachtung legt außerdem nahe, dass die Gravitation eine ganz besondere Wechselwirkung ist. Sie hat nämlich die merkwürdige Eigenschaft, dass alle Körper in einem Gravitati-
onsfeld gleich schnell fallen, oder allgemeiner, dass alle Körper bei gleichen Anfangsbedingungen
den gleichen Bahnen folgen. In der Newtonschen Theorie ist dies eher ein Zufall. Einsteins Idee
war es, hinter dieser fundamentalen Beobachtung eine tiefere Einsicht in die Natur der Gravitation
zu vermuten.
Es war sicher sein größter Geniestreich, für diese einfache Beobachtung eine ebenso einfache
Erklärung zu liefern, die zudem noch alle anderen gerade beschriebenen Probleme ebenfalls löste.
Die Lösung bestand darin, die Vorstellung eines flachen Minkowski-Raumes aufzugeben, und
statt dessen anzunehmen, dass die Raumzeit eine gekrümmte Mannigfaltigkeit ist, und dass die
Krümmung der Raumzeit etwas mit dem Gravitationsfeld zu tun hat.
Aus heutiger Sicht erscheint diese Schlussfolgerung fast zwingend, wie wir gleich sehen werden. Man sollte jedoch bedenken, dass es zur damaligen Zeit keine beobachteten Phänomene
gab, die gegen die Annahme sprachen, dass die Raumzeit ein flacher Minkowski-Raum ist. Die
Schlussfolgerungen Einsteins und schließlich die Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie basierten einzig auf der Forderung, eine mathematisch konsistente Beschreibung der Gravitation zu liefern, die dem Relativitätsprinzip genügte, und die mit den damaligen Vorstellungen von
der Quantenphysik in Einklang stand.
Ziel dieses Kapitels ist es, wie gesagt, diese Schlussfolgerungen nachzuvollziehen, und dabei
eine gewisse Intuition dafür zu entwickeln, was es bedeutet, dass die Raumzeit gekrümmt ist, und
wie die Physik in einer gekrümmten Raumzeit zu beschrieben ist. Die mathematische Vorarbeit
dazu haben wir schon in Teil II erledigt, das heißt wir wissen was eine metrische Mannigfaltigkeit
ist, was Krümmung bedeutet, was Geodäten sind und ähnliches mehr. Aber wir wissen noch nicht,
was das alles mit Physik zu tun hat. Deshalb beginnen wir noch einmal ganz am Anfang, bei
Newton und Galilei.
(13.2)
Es gilt immer dann hinreichend genau, wenn die Körper als punktförmig angenommen werden
können. Das heißt, ihre Ausdehnungen müssen klein sein im Vergleich zu ihren Abständen. Das
144
!
ist zum Beispiel für die Planeten im Sonnensystem der Fall, oder für die einzelnen Sterne in einer
Galaxie.
Wenn dies nicht der Fall ist, müssen wir zu einer allgemeineren Formulierung übergehen. Wir
als Funktion von Ort und Zeit ein, sowie eine Masführen dazu ein Gravitationspotential
sendichte
, die die Verteilung der Materie im Raum beschreibt. Das Gravitationspotential
zu einem Zeitpunkt wird durch die Massenverteilung zur selben Zeit bestimmt, und zwar so,
dass die folgende Quellengleichung gilt,
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(13.3)
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#
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Hier ist
der räumliche Laplace-Operator. Setzen wir zum Beispiel für ein System von
punktförmigen Teilchen mit Bahnkurven
die entsprechende Massendichte ein, so ergibt sich
In der Relativitätstheorie ist es aber nicht möglich, Informationen schneller als mit Lichtgeschwindigkeit zu übertragen. Deshalb kann ein Körper an einem bestimmten Ort, bildlich gesprochen, nicht wissen, wo sich alle anderen Körper zu dieser Zeit befinden. Das Newtonsche
Gravitationsgesetz widerspricht dem Kausalitätsprinzip der speziellen Relativitätstheorie. Wenn
es in dieser Form tatsächlich gelten würde, könnten wir die gravitative Wechselwirkung von Massen benutzen, um Informationen schneller als mit Lichtgeschwindigkeit zu übertragen.
Die Einführung des Gravitationspotentials als eigenständiges Objekt ändert daran nichts. Zwar
sind sowohl die Quellengleichung (13.3) als auch die Kraftgleichung (13.5) lokal in Raum
und Zeit definiert. Es liegt also, zumindest formal, keine Fernwirkung mehr vor. Aber der
räumliche Laplace-Operator in der Quellengleichung ist natürlich nicht invariant unter LorentzTransformationen, das heißt die Newtonsche Theorie genügt nicht dem Relativitätsprinzip.
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(
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(13.4)
)
also das bekannte ‘ ’-Potential für jeden einzelnen Körper. Wir können jetzt aber auch ausgedehnte Körper wie Planeten, Sterne, Staub- oder Gaswolken durch eine geeignet gewählte, kontinuierliche Massendichte beschreiben. Darauf werden wir im nächsten Kapitel noch genauer
eingehen.
Es genügt an dieser Stelle festzustellen, dass das Gravitationspotential zu einem eigenständigen physikalischen Objekt wird. Seine Quelle ist die Massendichte . Bis auf ein Vorzeichen
ist die Quellengleichung (13.3) identisch mit der entsprechenden Quellengleichung in der Elektrostatik. Dort ist die Ladungsdichte die Quelle des elektrischen Potentials, und es tritt statt der
Gravitationskonstante je nach Wahl der Einheiten entweder die elektrische Feldkonstante ,
oder einfach der Faktor auf.
Auf einen Testkörper der Masse , der sich zur Zeit am Ort befindet, wirkt nun eine Gravitationskraft , die proportional zur Masse des Körpers und zum Gradienten des Gravitationspotentials ist,
(13.5)
Aufgabe 13.1 Man zeige durch eine geeignete Regularisierung der Deltafunktion, dass das allgemeine Kraftgesetz (13.5) für ein System von Punktteilchen wieder die spezielle Form (13.2)
annimmt.
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Aufgabe 13.2 Wenn die Newtonschen Theorie tatsächlich exakt wäre, wie könnte man eine Kommunikation mit Überlichtgeschwindigkeit zwischen zwei räumlich getrennten Stationen konkret
verwirklichen?
Eine Newton-Maxwell-Theorie?
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01-
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2
2
3
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Auch dieses Kraftgesetz ist völlig analog zur entsprechenden Gleichung in der Elektrostatik. Wir
müssen dazu nur die Masse durch die Ladung des Testkörpers ersetzen, und das Gravitationspotential durch das elektrische Potential. Das umgekehrte Vorzeichen in der Quellengleichung
(13.3) hat nun eine einfache Erklärung. Während sich in der Elektrostatik zwei positive Ladungen
abstoßen, ist die Gravitationskraft zwischen zwei positiven Massen anziehend.
Es stellt sich nun die Frage, ob es möglich ist, die Newtonsche Theorie relativistisch zu formulieren. Offenbar ist sie in der hier dargestellten Form nicht mit der Relativitätsprinzip verträglich.
Betrachten wir nämlich das Kraftgesetz (13.1), so beschreibt dieses eine instantane Fernwirkung.
wirkt, hängt von den Orten aller anderen Körper
Die Kraft, die auf einem Körper am Ort
zur selben Zeit ab.
Um eine relativistische Gravitationstheorie zu formulieren, müssen wir die Newtonsche Theorie
in geeigneter Weise modifizieren. Die Ähnlichkeit mit der Elektrostatik legt folgenden Schluss
nahe. Die Elektrostatik ist eine Näherung der Elektrodynamik. Sie gilt, wenn sich die beteiligten
Ladungen relativ zu einem ausgezeichneten Inertialsystem nur sehr langsam bewegen. In diesem
Grenzfall können wir die magnetischen Kräfte vernachlässigen. Es genügt, nur die elektrischen
Wechselwirkungen zu betrachten, und auch die Abstrahlung von elektromagnetischen Wellen
kann vernachlässigt werden.
Ist die Newtonsche Theorie vielleicht ganz analog eine Näherung einer relativistischen Gravitationstheorie, die immer dann gilt, wenn sich die beteiligten Massen nur sehr langsam bewegen? Tatsächlich bewegen sich sowohl die Planeten im Sonnensystem, als auch die typischen
Testkörper in irdischen Labors, mit denen die Newtonsche Theorie getestet wurde, sehr langsam
im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit. Die Annahme, dass es eine relativistische Gravitationstheorie analog zur Maxwellschen Elektrodynamik gibt, steht also zunächst nicht im Widerspruch
zu irgendwelchen Beobachtungen.
Wie würde eine solche Theorie aussehen? Betrachten wir zuerst die Quellen des Gravitationsfeldes. In der relativistischen Elektrodynamik ist die Quelle des elektromagnetischen Feldes die
elektrische Ladung, und ihre Verteilung in Raum und Zeit wird durch die 4-Stromdichte dargestellt. Sie setzt sich aus der Ladungsdichte
und der gewöhnlichen räumlichen Stromdichte
zusammen, wobei die Geschwindigkeit ist, mit der sich die Ladung bewegt. Hier ist
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0 -
(13.6)
Wenn wir jetzt noch annehmen, dass sich die Massen nur sehr langsam bezüglich eines ausvergezeichneten Inertialsystems bewegen, dann können wir die räumlichen Komponenten
des Vektorpotentials. Was
nachlässigen, und demnach auch die räumlichen Komponenten
bleibt ist die Zeitkomponente . Wenn wir diese mit dem Potential identifizieren, und auch von
ihm annehmen, dass es sich zeitlich nur sehr langsam ändert, geht die Quellengleichung (13.9)
wieder in die Newtonsche Gleichung (13.3) über.
Das alles ist völlig analog zur Elektrostatik als Näherung der Elektrodynamik im Grenzfall langsam bewegter Ladungen. Schließlich müssen wir nur noch ein Kraftgesetz analog zur
Lorentz-Kraft (6.5) postulieren. Auf ein Teilchen der Masse würde in einem Gravitationsfeld
eine 4-Kraft
(13.10)
0C
wieder wie üblich ein Raumzeit-Index, und ein Index, der in einem ausgewählten Inertialsystem
nur über die drei räumlichen Koordinaten läuft.
Wir hatten dies in Kapitel 6 ausführlich diskutiert. So war zum Beispiel die Ladungs- und
Stromdichte für eine gleichförmig bewegte Punktladung durch (6.31) gegeben. In der Gravitationstheorie müssen wir die Ladung als Quelle des Feldes durch die Masse ersetzen. Analog zur elektrischen 4-Stromdichte wird ihre Verteilung in Raum und Zeit durch eine 4beschreiben. Sie setzt sich aus der bereits eingeführten Massendichte
Massenstromdichte
als Zeitkomponente, und einer räumlichen Stromdichte
zusammensetzt.
Für eine entlang einer Bahn
bewegte Punktmasse würde zum Beispiel gelten
wirken, wobei
die 4-Geschwindigkeit des Teilchens ist. Auch hier haben wir einfach die Ladung durch die Masse des Teilchens ersetzt. Um zu zeigen, dass sich für kleine Geschwindigund
. Außerdem nehmen
keiten die Newtonsche Formel ergibt, setzen wir wieder
wir an, dass sich auch das Teilchen nur langsam bewegt, so dass
. Für die räumlichen
Komponenten der 4-Kraft gilt dann
H.
Analog zu (6.36) können wir dies auch als Tensorgleichung schreiben,
,
I
2C
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0C
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0H
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(13.7)
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irgendeine Parametrisierung der Weltlinie ist und der Punkt die Ableitung nach
wobei
bezeichnet. Wählen wir für die Zeitkoordinate eines ausgewählten Inertialsystems, dann ist
, und es ergeben sich die Komponenten (13.6). Der Ausdruck (13.7) ist jedoch invariant
unter Reparametrisierungen der Kurve, das heißt wir können den Kurvenparameter beliebig
wählen. Daraus folgt unter anderem, dass ein Tensorfeld erster Stufe auf der Raumzeit ist, und
dass die Zerlegung (13.6) in jedem Inertialsystem gilt.
Wie in der Elektrodynamik ergibt sich die Stromdichte für mehrere Teilchen durch Addition der
entsprechenden Terme. Für ein Vielteilchensystem, zum Beispiel ein Gas oder eine Flüssigkeit,
zu einem glatten Vektorfeld
können wir die Kontinuumsnäherung durchführen, so dass
auf der Raumzeit wird. Wir werden im nächsten Kapitel noch etwas näher auf die allgemeine
Definition von Dichten und Stromdichten eingehen, insbesondere auf die Kontinuumsnäherung.
Das Gravitationsfeld selbst müssen wir entsprechend durch einen antisymmetrischen
beschreiben. Um die richtige Kopplung des Feldes an die Massenströme
Feldstärketensor
zu bekommen, müssen wir die Maxwell-Gleichungen (6.38) nur leicht modifizieren. Damit sich
im Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten die Newtonsche Theorie ergibt, müssen wir das Vorzeichen der inhomogenen Gleichung umkehren, und dort außerdem einen Faktor einführen,
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C0
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Die Lösungen der homogenen Gleichung werden auch hier wieder durch ein Vektorpotential
parametrisiert, das heißt es gilt
. Ferner haben wir die Freiheit, das Vektorpotential zu eichen. Wir können
durch
ersetzen, ohne das sich der Feldstärketensor ändert. Das können wir benutzen, um zum Beispiel die Lorentz-Eichung zu wählen, so dass
gilt. Wenn wir dies dann in die inhomogene Maxwell-Gleichung einsetzen, ergibt sich
die Quellengleichung
(13.9)
.-
.>
(13.8)
Das ist aber genau das Kraftgesetz (13.5), in Komponenten geschrieben, denn für langsam bewegte Teilchen sind die räumlichen Komponenten der 4-Kraft
die der gewöhnlichen 3-Kraft
.
Offenbar erhalten wir auf diese Weise eine relativistische Beschreibung der Gravitation, die
im Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten in die Newtonsche Theorie übergeht. Jetzt müssen wir
sie nur noch experimentell testen, das heißt wir müssen herausfinden, welche Abweichungen
sich von der Newtonschen Theorie ergeben, wenn die Geschwindigkeiten der beteiligten Körper
größer werden, und wir müssen uns überlegen, wie wir diese Abweichungen beobachten können.
Welche grundsätzlich neuen Voraussagen macht unsere hypothetische Theorie? Offenbar
muss es sowohl eine gravi-elektrische als auch eine gravi-magnetische Kraft geben. Die gravi’-Gesetz verantwortlich. In
elektrische Kraft ist für die Anziehung der Massen nach dem ‘
einem gravi-magnetischen Feld müsste eine Testmasse dagegen eine Kraft erfahren, die proportional zum Betrag ihrer Geschwindigkeit und senkrecht dazu ist. Umgekehrt müssten bewegte
Massen ein solches Feld erzeugen.
Eine weitere Voraussage ist, dass es Gravitationswellen geben muss, die sich völlig analog
zu elektromagnetischen Wellen verhalten. Sie werden von beschleunigten Massen emittiert und
breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit im Raum aus. Alle diese Phänomene sind jedoch ungleich
schwieriger zu beobachten als die entsprechenden elektromagnetischen Phänomene, einfach weil
sich Ladungen sehr viel leichter bewegen und beschleunigen lassen als Massen. Es liegt daher
kein offensichtlicher Widerspruch einer solchen Theorie der Gravitation mit der Beobachtung
vor.
halber an, dass es sich um ein einziges, neutrales Teilchen der Masse handelt. Ferner sei die
Energie so gewählt, dass das erzeugte Teilchen in Ruhe ist. Das ist genau dann der Fall, wenn
ist, denn die Energie eines ruhenden Teilchens ist gleich seiner Masse.
Nun lassen wir das Teilchen fallen. Da es dabei nur eine kleine Geschwindigkeit erreicht,
können wir klassisch rechnen. Es gewinnt beim Fall die kinetische Energie
, hat also, wenn
ankommt, die Energie
.
es unten mit der Geschwindigkeit
Durch einen ähnlichen Prozess wird dieses Teilchen nun wieder restlos zerstört und seine Energie
in ein Photon verwandelt. Dann hat dieses Photon die Energie
K
K
K
K
N
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U
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U U
LK
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Milchstraße
andere Galaxie
K
O!
U
D LXK
(13.12)
K
wobei die Energie des ersten Photons war, mit dem wir das Experiment begonnen haben. Das
kann natürlich nicht sein, denn hier wurde offenbar Energie aus dem Nichts erzeugt. Man könnte
den Prozess beliebig fortsetzen, und dabei würde sich die Energie des Photons jeweils um den
erhöhen.
Faktor
Irgendetwas kann deshalb an der Newton-Maxwell-Theorie nicht stimmen. Tatsächlich sind es
die hier beschriebenen quantenphysikalischen Prozesse, die im Widerspruch zur Theorie stehen.
Wir erinnern uns, dass die Maxwell-Gleichungen nur dann konsistent sind, wenn die Quelle, also
die Stromdichte , die Kontinuitätsgleichung (6.39) erfüllt,
N
N
MLK
MLK
K
O
D
U
P
Abbildung 13.1: Die Newton-Maxwell-Theorie steht im Widerspruch zur Quantenphysik. Ein
Photon verliert beim Aufstieg in einem Gravitationsfeld keine Energie. Wandelt man es oben
jedoch in ein Teilchen der Masse um und lässt dieses fallen, so wird Energie gewonnen. Wandelt man das massive Teilchen anschließend unten wieder in ein Photon um, so hat dieses eine
höhere Energie
als das erste Photon.
.-
Q
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.?.
R
S RT
(13.13)
Was geht schief?
O
K
1 Übernommen
aus: Bernard F. Schutz: A first course in general relativity.
147
,
K
Trotzdem ist die vorgeschlagene Theorie inkonsistent, und bei näherem Hinsehen ergeben sich
auch Widersprüche zur Beobachtung. Wir wollen hier zwei solche Widersprüche aufzeigen, die
auf ganz unterschiedlichen Eigenschaften der Theorie beruhen.
Als erstes betrachten wir folgendes, in Abbildung 13.1 dargestelltes Gedankenexperiment 1. Es
soll zeigen, dass die vorgeschlagene Newton-Maxwell-Theorie mit der Quantenphysik unvereinbar ist. In einem Labor auf der Erde erzeugt ein Sender auf dem Boden ein Photon der Energie
und sendet es zu einem Empfänger, der sich in der Höhe darüber befindet. Da Photonen masselos sind, spüren sie das Gravitationsfeld nicht. Für sie ist die Massenstromdichte (13.7) gleich
Null, das heißt sie Koppeln nicht an das Gravitationsfeld, so wie neutrale Teilchen nicht an das
elektromagnetische Feld koppeln.
Da auch sonst keine Kräfte auf das Photon einwirken, kommt es beim Empfänger mit derselben
Energie an. Dort gelingt es, dieses Photon vollständig in ein oder mehrere massive Teilchen zu
verwandeln, zum Beispiel in ein Elektron und ein Positron. Nehmen wir jedoch der Einfachheit
Mit anderen Worten, es folgt unmittelbar aus den Newton-Maxwell-Gleichungen für das Gravitationsfeld, dass Masse eine Erhaltungsgröße ist. Das ist sie aber nicht, denn in typischen
quantenphysikalischen Prozessen kann Masse beliebig erzeugt und vernichtet werden. Folglich
kann Masse auch nicht die Quelle des Gravitationsfeldes sein, jedenfalls nicht im Rahmen einer
Maxwell-artigen Theorie.
Ein zweiter Widerspruch ergibt sich in Zusammenhang mit Gravitationswellen, die von der
Newton-Maxwell-Theorie in Analogie zu elektromagnetischen Wellen vorhergesagt werden. Es
stellt sich nämlich heraus, dass die Umkehrung des Vorzeichens in der inhomogenen MaxwellGleichung gar nicht so harmlos ist wie es auf den ersten Blick erscheint. Auch hier wollen wir
wieder ein Gedankenexperiment durchführen. Es ist in Abbildung 13.2 dargestellt.
Zuerst betrachten wir eine elektrische Ladung , die sich gleichmäßig auf einer Kreisbahn bewegt. Aufgrund der Beschleunigung, die sie dabei erfährt, wird eine elektromagnetische Welle abgestrahlt. Die Details dieses Vorgangs sind nicht wichtig. Wir müssen nur wissen, dass das von der
bewegten Ladung erzeugte elektromagnetische Feld eindeutig durch die Maxwell-Gleichungen
bestimmt ist, wenn wir geeignete Randbedingungen im Unendlichen stellen.
Woher kommt die Energie, die mit der elektromagnetischen Welle abgestrahlt wird? Sie wird
offenbar dem Teilchen entzogen. Die einzig mögliche Erklärung dafür ist, dass das erzeugte Feld
am Ort des Teilchens eine elektrische Komponente hat, die der Bewegungsrichtung des Teilchens
entgegengesetzt ist. Diese Kraft müssen wir ausgleichen. Wir müssen dem Teilchen auf irgendeine
Weise kinetische Energie zuführen, wenn wir die Bewegung aufrecht erhalten wollen.
gie von Gravitationswellen wären gravitativ gebundene System nicht stabil. Sie könnten durch
die Abstrahlung von Gravitationswellen beliebig viel kinetische Energie gewinnen. Wir müssen
die Theorie deshalb verwerfen und nach einem anderen Ausweg suchen.
Schwere und träge Masse
Milchstraße
andere Galaxie
,
Nachdem unser erster Ansatz für eine relativistische Theorie der Gravitation gescheitert ist, sollten wir vielleicht eher die Unterschiede zwischen der Newtonschen Gravitationstheorie und der
Maxwellschen Elektrodynamik herausarbeiten, statt deren Gemeinsamkeiten zu suchen.
Betrachten wir dazu noch einmal die Bewegungsgleichung für einen Testkörper der Masse in
einem Gravitationspotential im Rahmen der klassischen Mechanik. Wir nehmen dabei an, dass
sehr klein ist im Vergleich zu den Massen, die das Gravitationsfeld erzeugen.
die Testmasse
Das gilt für einen genügend leichten Körper im Gravitationsfeld der Erde, und in relativ guter
Näherung auch für die Planeten im Gravitationsfeld der Sonne. Bei unserem Gedankenexperiment
in Abbildung 13.1 hatten wir das natürlich auch schon vorausgesetzt.
In dieser Näherung können wir das Gravitationspotential als gegeben annehmen, und aus
des Testkörper ableiten. Wenn auf ihn keine
(13.5) die Bewegungsgleichung für die Bahn
weiteren Kräfte wirken, dann gilt
(b)
(a)
Abbildung 13.2: Eine Ladung (a) bewegt sich auf einer Kreisbahn und emittiert eine elektromagnetische Welle. Das elektrische Feld am Ort der Ladung ist dabei stets so ausgerichtet, dass die
Ladung gebremst wird. Wird eine Masse (b) auf derselben Kreisbahn bewegt, so emittiert sie
eine entsprechende Gravitationswelle. Wegen des umgekehrten Vorzeichens der inhomogenen
Maxwell-Gleichung wird diese Masse jedoch durch das gravi-elektrische Feld beschleunigt.
!
&
(13.14)
&
(13.15)
,
,
,
148
Daraus folgt, dass alle Testkörper bei gleichen Anfangsbedingungen in einem Gravitationsfeld
den gleichen Bahnen folgen. Insbesondere fallen alle Körper im Schwerefeld der Erde gleich
schnell, unabhängig von ihrer Masse, solange diese klein ist im Vergleich zur Masse der Erde.
Diese Eigenschaft der Gravitation hat keine Analogie in der Elektrodynamik. Betrachten wir
die entsprechenden Bewegungsgleichungen für ein geladenes Teilchen in einem elektrischen Potential, so steht auf der rechten Seite der Gleichung (13.14) statt der Masse
die Ladung ,
während auf der linken Seite natürlich immer noch die Masse steht. Die Bahn eines Teilchens
im elektrischen Feld ist deshalb vom Verhältnis
abhängig.
Wir wollen diese Beobachtung zu einem allgemeinen Prinzip erklären, das wir, aus Gründen,
die später klar werden, das schwache Äquivalenzprinzip nennen.
)
,
Nun stellen wir uns vor, wir bewegen statt der Ladung eine Masse
auf derselben Kreisbahn. Dadurch wird, gemäß unserer Theorie, eine Gravitationswelle abgestrahlt. Der Feldstärketensor dieser Welle ist mit dem elektromagnetischen Feldstärketensor im vorherigen Experiment
fast identisch. Wir müssen nur die Ladung durch durch das Produkt
ersetzen, und wir
müssen das Vorzeichen des Feldes ändern, wegen des umgekehrten Vorzeichens in der inhomogenen Maxwell-Gleichung (13.8). Die Welle hat also die gleiche Struktur wie vorher, nur dass
alle Felder in die umgekehrte Richtung zeigen.
Das umgekehrte Vorzeichen hat nun aber sehr drastische Auswirkungen. Die resultierende
Kraft, die jetzt auf das Teilchen einwirkt, zeigt in die umgekehrte Richtung, denn das Kraftgesetz (13.10) ändert sein Vorzeichen nicht. Das heißt, das Teilchen wird durch die abgestrahlte
Gravitationswelle nicht gebremst, sondern sogar noch beschleunigt. Wir könnten dem Teilchen
beliebig viel Energie entziehen, und gleichzeitig würde auch noch eine Welle abgestrahlt. Die
einzige Erklärung dafür ist, dass die erzeugte Gravitationswelle eine negative Energie davonträgt.
Das ist natürlich unmöglich, denn auf diese Weise könnten wir ein perpetuum mobile bauen.
Die Newton-Maxwell-Theorie scheitert also aus zwei ganz verschieden Gründen. Zum einen,
weil ihre Quelle, die Masse, keine Erhaltungsgröße ist, und zum anderen, weil sich gleichnamige
Ladungen gravitativ anziehen und nicht abstoßen. Wegen der damit verbundenen negativen Ener-
Das bemerkenswerte an dieser Gleichung ist, dass auf beiden Seiten die gleiche Größe auftritt,
nämlich die Masse des Testkörpers. Wir können die Gleichung durch dividieren und erhalten
Schwaches Äquivalenzprinzip: In einem Gravitationsfeld beschreiben alle Testkörper
bei gleichen Anfangsbedingungen die gleichen Bahnen.
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3 Satellite
149
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Aufgabe 13.3 Nehmen wir an, die -Werte der beiden Körper unterscheiden sich um
, und
beide Körper befinden sich ein Jahr lang im freien Fall in einer erdnahen Umlaufbahn. Zu Beginn
\
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[ Natürlich könnten wir auch mit einer solchen Theorie die Dynamik unseres Sonnensystems, oder
den freien Fall von Körpern im Schwerefeld der Erde richtig beschreiben. Wir würden dann jedoch eines Tages die folgende, wahrscheinlich verblüffende Beobachtung machen. Für alle uns
bekannten Körper würde sich das gleiche Verhältnis aus schwerer und träger Masse ergeben, ganz
egal, ob es sich dabei um Sterne, Planeten, Steine oder Atome handelt.
Das Verhältnis
wäre eine universelle Naturkonstante, genau wie die Lichtgeschwindigkeit . Durch eine geschickte Wahl der physikalischen Einheiten könnten wir
setzen,
so wie wir in der speziellen Relativitätstheorie
gesetzt haben. Wir müssen dazu nur beide
Größen in der gleichen Einheit messen, so wie wir in der speziellen Relativitätstheorie Längen
und Zeiten in derselben Einheit gemessen haben. Tatsächlich tun wir dies ja auch. Wir messen
schwere und träge Masse beide in der Einheit Kilogramm.
Wir könnten uns dann fragen, wie genau die Naturkonstante eigentlich gemessen werden
kann, bzw. ob es sich wirklich um eine Konstante handelt. Auf diese Weise können wir etwas
über die Genauigkeit aussagen, mit der das schwache Äquivalenzprinzip experimentell bestätigt
ist. Durch das Fallenlassen von Steinen und Kanonenkugeln vom Schiefen Turm von Pisa würde
erreichen. Das heißt, zu Zeiten Galileis konnte man
man etwa eine Genauigkeit von
durch einfache Fallexperimente zeigen, dass schwere und träge Masse verschiedener Körper um
weniger als
voneinander abweichen. Mit Hilfe von Pendeln konnte Newton die Genauigkeit
erhöhen.
auf etwa
Heute gehören die Messungen des Verhältnisses aus schwerer und träger Masse zu den genauesten Messungen überhaupt. Sie sind weit genauer als zum Beispiel die Messungen der Licht’-Gesetzes für die Anziehungskraft zwischen
geschwindigkeit oder die Bestätigung des ‘
zwei ruhenden Massen. Mit Hilfe von Torsionswaagen erreicht man eine Genauigkeit von et. In einem noch in der Planung befindlichen Weltraumexperiment 3 soll eine
wa
Genauigkeit von
erreicht werden.
Das Experiment ist denkbar einfach. In einem Satelliten, der nur der Abschirmung von Gasund Staubteilchen dient, befinden sich zwei konzentrische Zylinder aus verschiedenen Materialien
im freien Fall in einer Erdumlaufbahn. Wenn das schwache Äquivalenzprinzip gilt, so müssen
beide genau der gleichen Bahn folgen, das heißt sie dürfen sich relativ zueinander nicht bewegen.
Durch genügend lange Beobachtungszeiten lassen sich dadurch extrem hohe Messgenauigkeiten
erreichen.
\
2 Es ist heute strittig, ob Galilei die oft zitierten Fallexperimente am schiefen Turm von Pisa tatsächlich selbst ausgeführt hat. Trotzdem war er wohl der erste, die dieses Phänomen richtig erkannt hat.
(13.17)
[ (13.16)
Die Bahn eines Körpers würde nun vom Verhältnis aus schwerer und träger Masse abhängen, so
wie die Bahn einer Testladung in einem elektrischen Feld vom Verhältnis aus Ladung und Masse
abhängt,
]
Vorausgesetzt natürlich, dass keine anderen Kräfte auf die Testkörper einwirken. Galilei 2 war der
erste, der diese Beobachtung formuliert und systematisch untersucht hat. Auch den Keplerschen
Gesetzen der Planetenbahnen liegt dieses Prinzip zu Grunde. Die Bahnen der Planeten sind unabhängig von deren jeweiligen Eigenschaften. Würde sich der Merkur an der Stelle des Jupiters
befinden, so würde er dort derselben Bahn folgen.
Es liegt deshalb nahe, dem schwachen Äquivalenzprinzip bei der Suche nach einer neuen Theorie der Gravitation einen ähnlich hohen Stellenwert einzuräumen wie der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit bei der Herleitung der speziellen Relativitätstheorie. Wir erinnern uns, dass auch
dies zunächst eine experimentelle Beobachtung war, für die wir im Rahmen der klassischen Theorien keine Erklärung hatten. So ähnlich ist es hier. Die Newtonsche Gravitationstheorie beschreibt
das Phänomen zwar korrekt. Aber sie erklärt es nicht wirklich.
Die Newtonsche Theorie lässt sich nämlich leicht verallgemeinern, und zwar so, dass das
schwache Äquivalenzprinzip nicht mehr gilt, sie aber trotzdem noch konsistent ist. In der Bewegungsgleichung (13.14) tritt auf beiden Seiten die Masse des Testkörpers auf. Offenbar ist
es so, dass zwei zunächst völlig verschiedene Eigenschaften eines Körpers durch ein und dieselbe
ihm zugeordnete Größe beschrieben werden.
Auf der linken Seite definiert
die Trägheit des Körpers, also das Verhältnis von Kraft zu
Beschleunigung, oder Impuls zu Geschwindigkeit. Auf der rechten Seite dagegen definiert
das Gewicht des Körpers. Die Masse übernimmt hier die Rolle einer Ladung. Sie bestimmt die
Kopplung des Körpers an das Gravitationsfeld, so wie die elektrische Ladung die Kopplung an
das elektrische Feld bestimmt.
Es ist keineswegs zwingend erforderlich, dass zwischen Gewicht und Trägheit eines Körpers
ein solcher Zusammenhang besteht. Die Newtonsche Theorie ist, im Rahmen der klassischen Mechanik, auch dann noch konsistent, wenn wir Trägheit und Gewicht eines Körpers als unabhängige Größen einführen. Überlegen wir uns kurz, wie eine verallgemeinerte Theorie der Gravitation
aussehen würde, in der Trägheit und Gewicht zwei voneinander unabhängige Eigenschaften eines
Körpers sind.
Wir müssen dann jedem Körper eine träge Masse, die wir weiterhin mit bezeichnen, und eine
schwere Masse zuordnen, die wir mit bezeichnen. Die träge Masse übernimmt die übliche
Rolle der Masse in der klassischen Mechanik, das heißt sie definiert das Verhältnis von Impuls
zu Geschwindigkeit. Wir können sie durch geeignet normierte Stoßexperimente ermitteln. Die
schwere Masse ist die Gravitations-Ladung des Körpers, die wir mit Hilfe einer gewöhnlichen
Waage ermitteln können.
In einer solchen verallgemeinerten Theorie würde sich die folgende Bewegungsgleichung für
einen Testkörper in einem Gravitationspotential ergeben,
Test of the Equivalence Principle (STEP), http://einstein.stanford.edu/STEP.
des Experiments sind ihre Schwerpunkte relativ zueinander in Ruhe. Welche Geschwindigkeit
haben sie nach einem Jahr relativ zueinander erreicht? Um welche Strecke haben sie sich relativ
zueinander bewegt?
Milchstraße
andere Galaxie
Gravitation und Trägheitskräfte
[ Das unbefriedigende an Newtons Theorie ist, wie schon gesagt, dass sie keinerlei Erklärung dafür
liefert, warum das Verhältnis aus schwerer und träger Masse eine universelle Naturkonstante ist.
Wir müssen einfach akzeptieren, dass für alle Körper
gilt. Wir wollen uns deshalb überlegen, wie eine alternative Theorie beschaffen sein muss, die das schwache Äquivalenzprinzip
in irgendeinem Sinne erklären kann. Mit anderen Worten, gibt es vielleicht eine ganz einfache
Erklärung dafür, dass in einem Gravitationsfeld jeder Körper eine Kraft erfährt, die zu seiner
(trägen) Masse proportional ist?
Vielleicht hilft uns die folgende Beobachtung weiter. Es gibt noch eine ganz andere Art von
Kräften, die genau diese Eigenschaft haben. Und in diesem Fall haben wir dafür eine einfache
Erklärung. Wenn wir uns in ein beschleunigtes Bezugsystem begeben, so beobachten wir, dass
auf jeden Körper eine Scheinkraft wirkt, die stets proportional zu seiner Masse ist. In einem
gleichmäßig beschleunigten Bezugsystem beobachten wir eine konstante Rückstoßkraft, in einem
rotieren Bezugsystem die Zentrifugal- und Coriolis-Kräfte.
Alle diese Kräfte sind jeweils proportional zur Masse des betreffenden Körpers. Das ist nicht
weiter verwunderlich, denn bei diesen scheinbaren Kräften handelt es sich letztlich nur ein mathematisches Hilfsmittel, das dazu dient, die Bewegungsgleichungen für bestimmte Systeme zu
vereinfachen. Betrachten wir zum Beispiel die Bewegungsgleichung eines Teilchens, auf das in
einem Inertialsystem irgendeine Kraft wirkt,
(13.18)
W )
U
bD
a
Jetzt transformieren wir diese Gleichung in ein gleichmäßig beschleunigtes Bezugsystem, das
heißt wir ersetzen
. Dann lautet die Bewegungsgleichung in diesem Bezugsystem,
das natürlich kein Inertialsystem mehr ist,
U
(13.19)
Abbildung 13.3: Das Äquivalenzprinzip besagt, dass ein Astronaut in einer abgeschlossenen Rakete nicht zwischen den Situationen (a) und (b) unterscheiden kann. Er kann nicht feststellen, ob
er im Gravitationsfeld eines Planeten ruht oder im freien Weltraum eine gleichmäßige Beschleunigung erfährt.
!
d
d
U
U
150
d c
Mit Gravitation hat das alles nichts zu tun. Oder doch? Wenn die Gleichheit von träger und
schwerer Masse etwas ganz fundamentales ist, dann gibt es vielleicht eine ebenso fundamentale Beziehung zwischen Gravitations- und Trägheitskräften. Um uns klar zu machen, dass beide
Phänomene wirklich sehr ähnlich sind, und dass sie sich in gewissen Situationen gar nicht unterscheiden lassen, führen wir wieder ein Gedankenexperiment durch.
In Abbildung 13.3(a) befindet sich eine Rakete knapp über der Oberfläche der Erde. Die Triebwerke erzeugen einen konstanten Schub, der die Rakete im Gleichgewicht hält, so dass sie relativ
zur Erde ruht. In der Rakete können wir durch verschiedene physikalische Experimente das Gravitationsfeld des Erde ausmessen. Zum Beispiel können wir die Frequenz eines Pendels messen
oder die Beschleunigung, die ein frei fallender Körper erfährt. Wir stellen fest, dass das Gravitationsfeld innerhalb der Rakete im Rahmen unserer Messgenauigkeit homogen ist.
In der Newtonschen Gravitationstheorie können wir dies wie folgt beschreiben. Wir führen in
ein, das relativ zur Rakete ruht und so ausgerichtet
der Rakete ein Koordinatensystem
ist, dass die -Achse nach oben, also zur Spitze der Rakete zeigt. Dann können wir das Gravitationsfeld im Innern der Rakete durch ein Gravitationspotential
beschreiben, wobei die
übliche Erdbeschleunigung ist. Betrachten wir dann einen Testkörper, der Teil eines Versuchsauf-
Es tritt ein zusätzlicher Term auf, den wir als eine zusätzliche Kraft interpretieren können. Ganz
allgemein tritt eine solche Schein- oder Trägheitskraft bei jeder Koordinatentransformation auf,
sobald das neue Koordinatensystem kein Inertialsystem mehr ist.
Im allgemeinen ist die Trägheitskraft von der Zeit, dem Ort sowie der Geschwindigkeit des
Teilchens abhängig. Aber stets ist sie proportional zur seiner Masse. Die Erklärung dafür ist sehr
einfach, denn immer resultiert der zusätzliche Term auf der rechten Seite der transformierten
Bewegungsgleichung aus der Transformation der linken Seite der ursprünglichen Bewegungsgleichung (13.18), und diese ist proportional zur Masse des Testkörpers
(b)
(a)
Bewegungsgleichung
baus ist, so gilt für diesen Körper die Bewegungsgleichung
e f
U
U
&
e f
U
&
(13.20)
wobei die Summe aller durch den jeweiligen Versuchaufbau bedingten Kräfte ist.
Als nächstes betrachten wir die Situation in Abbildung 13.3(b). Dieselbe Rakete befindet sich
jetzt weit entfernt von irgendwelchen Massen im freien Weltraum. Es wirken also keine Gravitationskräfte. Die Triebwerke erzeugen aber noch immer einen gleichmäßigen Schub, und zwar
genau den gleichen wie zuvor. Dadurch erfährt die Rakete eine Beschleunigung
nach
oben. Das Koordinatensystem
, das auch weiterhin relativ zur Rakete ruhen soll, ist jetzt
ein beschleunigtes Bezugsystem.
Auf den gleichen Testkörper in der gleichen Versuchsanordnung wirkt jetzt zwar keine Gravitationskraft, aber dafür gemäß (13.19) eine Trägheitskraft, so dass die Bewegungsgleichung nun
wie folgt lautet,
ef
U
U
!
d c
ef
U
U
(13.21)
g
ef
U
g
&
ef
U
&
f
e
U
U
&
U
151
U
g
g
Das ist aber wieder das gleiche wie (13.20) oder (13.21). Der Astronaut kann nicht feststellen,
dass sich die zusätzliche Kraft, die auf jeden Körper in seinem Labor wirkt, aus zwei Teilen zusammensetzt, einer Gravitationskraft und einer Trägheitskraft, und er merkt deshalb auch nicht,
dass sich diese Anteile mit der Zeit ändern. Wir schließen daraus, dass sich in einem räumlich
begrenzten Labor Gravitations- und Trägheitskräfte nicht voneinander unterscheiden lassen, jedenfalls nicht mit mechanischen Experimenten.
Umgekehrt können wir Gravitationskräfte auch stets durch Trägheitskräfte kompensieren, indem wir die Rakete in geeigneter Weise beschleunigen. Stellen wir uns vor, wir würden im freien
Weltraum die Triebwerke der Rakete abschalten. Dann bewegt sich die Rakete gleichförmig, und
wir beobachten keine Trägheitskräfte mehr. Das mitbewegte Koordinatensystem ist jetzt ein Inertialsystem. Wenn wir dasselbe im Gravitationsfeld der Erde tun, so wird die Rakete frei fallen,
also eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung nach unten ausführen. In der Rakete machen wir
jedoch genau die gleichen Beobachtungen.
Wenn die Triebwerke abgeschaltet sind, herrscht in der Rakete Schwerelosigkeit. Alle Körper
verhalten sich so wie in einem Inertialsystem. Die Gravitationskräfte werden durch die Trägheitskräfte gerade ausgeglichen. Auch das gilt ganz allgemein für jedes Gravitationspotential . Wenn
die Triebwerke abgeschaltet sind, entspricht das dem Fall
in (13.22). Offenbar wirken dann
keine zusätzlichen Kräfte auf einen Testkörper, und zwar unabhängig davon, ob sich die Rakete
im freien Fall in einem Gravitationsfeld befindet oder sich gleichförmig durch einen feldfreien
Raum bewegt.
Was hindert uns nun eigentlich daran, ein frei fallendes Bezugsystem im Gravitationsfeld der
Erde als Inertialsystem zu betrachten, wo doch die Physik in einem frei fallenden Labor die gleiche ist wie die in einem Inertialsystem, wenn dort keine Gravitationskräfte wirken? Ein relativ zur
Erde ruhendes Bezugsystem wäre dann kein Inertialsystem mehr, denn es wäre gegenüber dem
frei fallenden System beschleunigt. Deshalb würde in einem solchen Bezugsystem eine Trägheitskraft auftreten. Wir hätten also eine sehr einfach Erklärung dafür, dass alle Körper nach unten
fallen. Wir befinden uns in einem nach oben beschleunigten Bezugsystem. Das, was wie bisher
Gravitation nannten, ist in Wirklichkeit nur eine Trägheitskraft.
Das erklärt die Bezeichnung Äquivalenzprinzip. Es beruht auf der Annahme, dass Gravitationsund Trägheitskräfte äquivalent sind. Es sind zwei Erscheinungen, die letztlich auf dieselbe Ursache zurückgeführt werden können. Gravitations- bzw. Trägheitskräfte treten in Bezugsystemen
auf, die keine Inertialsysteme sind, und sie sind beide jeweils proportional zur Masse des Körpers,
auf den sie wirken. Die Tatsache, dass sich frei fallende Körper stets auf denselben Bahnen bewegen, folgt daraus zwanglos. In einem ebenfalls frei fallenden Bezugsystem, also in einem Inertialsystem, bewegen sich diese Körper kräftefrei, das heißt ihre Weltlinien sind Geraden.
Bislang bezieht sich dies alles nur auf die Gesetze der klassischen Mechanik. Es ist nicht unmittelbar klar, ob der Astronaut nicht vielleicht durch geeignete optische Experimente zwischen
Wichtig ist dabei, dass auch hier den Ortsvektor des Teilchens relativ zu einem mitbewegten
Bezugspunkt in der Rakete bezeichnet. Es tritt also die gleiche zusätzliche Kraft auf, die vorher
durch das Gravitationsfeld des Planeten verursacht wurde. Jedes mechanische System innerhalb
der Rakete wird sich deshalb in der Situation (b) genau so verhalten wie in der Situation (a). Es ist
für einen Astronauten in der Rakete, der keinen Kontakt zur Außenwelt hat, nicht möglich, durch
mechanische Experimente zwischen den beiden Situationen zu unterscheiden.
Wir können sogar noch einen Schritt weiter gehen und die Gravitationskräfte stetig in
Trägheitskräfte verwandeln, ohne dass der Astronaut in der Rakete etwas davon merkt. Dazu
geben wir der Rakete in Abbildung 13.3(a) einen kleinen zusätzlichen Impuls nach oben, aber
nur so wenig, dass der Astronaut dies nicht bemerkt. Die Rakete wird dann ganz langsam abheben, sich von der Erde entfernen, und schließlich in den freien Weltraum fliegen, das heißt zum
Schluss haben wir die Situation in Abbildung 13.3(b) vorliegen. Während der ganzen Reise wird
der Astronaut aber stets dieselben Phänomene in seinem Labor beobachten.
Wir können dabei sogar ein beliebiges Gravitationspotential annehmen. Die einzige Voraussetzung ist, dass die Triebwerke einen konstanten Schub erzeugen. Wenn die Masse der Rakete
ist, dann müssen die Triebwerke offenbar eine Kraft
erzeugen, und zwar sowohl in der Situation (a) als auch in der Situation (b). Während der gerade beschriebenen Reise wirkt also zu
jedem Zeitpunkt eine Kraft
auf die Rakete, die sich aus der Triebkraft und der
Gravitationskraft an der aktuellen Position der Rakete zusammensetzt.
.
Folglich erfährt die Rakete relativ zu einem Inertialsystem eine Beschleunigung
Auf einen Testkörper in der Rakete wirkt somit neben der Kraft , die durch den Versuchaufbau
bedingt ist, eine Gravitationskraft
sowie eine Trägheitskraft
. Daraus ergibt sich die
(13.22)
Gravitationsfeldern und beschleunigten Bezugsystemen unterscheiden kann. Da wir aber vermuten, dass sich hinter der Äquivalenz von Gravitations- und Trägheitskräften eine tiefere Erkenntnis
verbirgt, wollen wir dies zu einem allgemeinen Prinzip erklären, das über das schwache Äquivalenzprinzip hinaus geht.
c
c
Milchstraße
andere Galaxie
Starkes Äquivalenzprinzip: Die Physik in einem hinreichend kleinen, frei fallenden
Labor gleicht der in einem Inertialsystem.
Wir wollen also annehmen, dass es grundsätzlich unmöglich ist, zwischen Gravitations- und
Trägheitskräften zu unterscheiden. Dabei müssen wir uns allerdings auf die lokale Physik in
einem begrenzten Raumbereich beschränken. Wenn der Astronaut Kontakt mit der Außenwelt
aufnimmt, kann er natürlich sehr wohl feststellen, ob er sich in einem Gravitationsfeld eines Planeten befindet oder im freien Weltraum.
Er könnte zum Beispiel mit einer Astronautin in einer anderen Rakete kommunizieren und feststellen, dass sich diese auch im freien Fall befindet, er sich aber relativ zu ihr nicht gleichförmig
bewegt. Das ist nur dann möglich, wenn tatsächlich ein Gravitationsfeld vorliegt. Gravitationsund Trägheitskräfte sind also nur lokal äquivalent. Ein Labor ist dann im Sinne des Äquivalenzprinzips hinreichend klein, wenn das Gravitationsfeld darin im Rahmen der Messgenauigkeit
homogen ist. Nur dann lassen sich die Gravitationskräfte durch den Übergang zu einem frei fallenden Bezugsystem gewissermaßen “wegtransformieren”.
+
j
+
(a)
(b)
Abbildung 13.4: Wenn ein frei fallendes Koordinatensystem ein lokales Inertialsystem ist, dann
kann es im Gravitationsfeld eines Planeten kein globales Inertialsystem geben. Wählt man
nämlich zu einem Zeitpunkt (a) ein kartesisches räumliches Koordinatensystem so, dass es relativ zum Planeten ruht, und lässt dieses dann frei fallen, so ist es zu einem späteren Zeitpunkt
(b) nicht mehr kartesisch.
Gravitation und die Krümmung der Raumzeit
So erstaunlich einfach die Erklärung von Gravitation als ein durch Trägheitskräfte hervorgerufenes Phänomen ist, so wirft sie jedoch ein paar Fragen auf. Wenn wir frei fallende Bezugsysteme
als Inertialsysteme betrachten wollen, so müssen wir offenbar die Vorstellung aufgeben, dass diese sich relativ zueinander stets gleichförmig bewegen. Aber wodurch ist dann ein Inertialsystem
ausgezeichnet? Mit anderen Worten, warum ist gerade ein Koordinatensystem, welches relativ
m sec nach unten erfährt, ein Inertialsystem?
zur Erdoberfläche eine Beschleunigung von
Zudem ergibt sich ein weiteres Problem, wenn wir versuchen, ein frei fallendes Koordinatenauch außerhalb der Rakete zu definieren. Betrachten wir zum Beispiel ein karsystem
, dass zu irgendeinem Zeitpunkt
relativ
tesisches räumliches Koordinatensystem
zur Erde ruht, und dessen Ursprung im Mittelpunkt der zu diesem Zeitpunkt ebenfalls ruhenden
Rakete liegt. Die Koordinatenlinien eines solchen Systems sind in Abbildung 13.4(a) dargestellt.
Nun lassen wir dieses Koordinatensystem frei fallen, und zwar so, dass jede Kurve mit kondie Weltlinie eines Testkörpers beschreibt, den wir zum
stanten räumlichen Koordinaten
Zeitpunkt fallen lassen. Da ein Körper nahe der Erdoberfläche eine größere Beschleunigung
erfährt als ein Körper weiter draußen, werden sich die Koordinatenlinien mit der Zeit verformen.
ergibt sich das in Abbildung 13.4(b) dargestellte räumliche
Zu einem späteren Zeitpunkt
Koordinatensystem. Der Ursprung liegt noch immer im Mittelpunkt der frei fallenden Rakete,
aber es handelt sich jetzt nicht mehr um ein kartesisches Koordinatensystem.
i
h
)
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d c
+
!
d c
!
d c
+
+
j
Offenbar ist es nicht möglich, ein globales kartesisches Koordinatensystem auf der Raumzeit
so zu definieren, dass die Gravitationskräfte überall durch Trägheitskräfte kompensiert werden.
Trotzdem müssen wir Vorstellung, dass Gravitationskräfte im Prinzip Trägheitskräfte sind, und
dass frei fallende Koordinatensysteme Inertialsysteme sind, nicht gleich wieder aufgeben. Wir
müssen nur den ursprünglichen Begriff eines Inertialsystems ein wenig einschränken.
In einem Gravitationsfeld können wir Inertialsysteme nur noch lokal einführen. Deshalb ist
es auch ganz wesentlich, dass diese Einschränkung im Äquivalenzprinzips auftaucht. Nur solange wir uns auf den Bereich unseres Labors innerhalb der Rakete beschränken, können wir ein
frei fallende Koordinatensystem als ein Inertialsystem betrachten. Es ist nicht möglich, die ganze
Raumzeit durch ein einziges, frei fallendes Inertialsystem abzudecken. Denn in einem Gravitationsfeld erfahren Testkörper an verschiedene Orten verschiedene Beschleunigungen, während
sich kräftefreie Körper in einem globalen Inertialsystem stets gleichförmig zueinander bewegen
würden.
Wenn aber ein solches globales kartesisches Koordinatensystem nicht existiert, dann lässt das
eigentlich nur einen Schluss zu. Die Raumzeit ist offenbar gekrümmt. Die Annahme, dass Gravitationskräfte eigentlich Trägheitskräfte sind, führt uns unmittelbar zu der Schlussfolgerung, dass
die Raumzeit vielleicht gar kein flacher, affiner Raum ist, sondern eine gekr ümmte Mannigfaltig-
152
!
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>U.
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(13.23)
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p
ku v
153
Der einzige Unterschied zur speziellen Relativitätstheorie ist, dass der Tangentenvektor
der Weltlinie jetzt ein Vektor im Tangentenraum
ist. Um seine Länge zu bestimmen,
müssen wir deshalb wir die Metrik
an der Stelle
benutzen.
Auf diese Wiese können wir fast alle aus der speziellen Relativitätstheorie bekannten physikalischen Gesetze vom Minkowski-Raum auf eine gekrümmte Raumzeit übertragen. Die Idee ist
dabei sehr einfach. Wie wir gesehen haben, lassen sich alle Beziehungen zwischen physikalischen
Größen, die dem Relativitätsprinzip genügen, also alle relativistischen Naturgesetze, als Tensorgleichungen formulieren. Die Definition der Eigenzeit einer Weltlinie, die den Gang von Uhren
beschreibt, ist ein typisches Beispiel für eine solche Tensorgleichung.
Andererseits können wir das Tensorkalkül auch auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit
einführen. Dabei gibt es nur eine Einschränkung. Tensoren sind auf einer Mannigfaltigkeit stets
, während sie auf einem flachen affinen
lokal definiert, nämlich in den Tangentenräumen
Raum in einem globalen, zugeordneten Vektorraum
definiert sind. Auf einer gekrümmten
Raumzeit können Beziehungen deshalb nur zwischen solchen Tensoren hergestellt werden, die
am gleichen Ereignis, also am gleichen Ort und zur gleichen Zeit definiert sind.
Wenn wir es also schaffen, im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie alle Beziehungen zwi-
>U.
Bisher sind dies natürlich rein qualitative Überlegungen. Wir haben bis jetzt noch keine Vorstellung davon, wie denn nun konkret ein bestimmtes Gravitationsfeld, zum Beispiel das der Sonne,
durch eine gekrümmte Raumzeit beschrieben werden kann. Außerdem haben wir das eigentliche
Ziel ein wenig aus den Augen verloren, nämlich die Suche nach einer relativistischen Theorie der
Gravitation, also einer Beschreibung, die mit der speziellen Relativitätstheorie in Einklang steht.
Physik im gekrümmten Raum
>l.
Gravitation äußert sich nicht dadurch, das sie auf Körper Kräfte ausübt, sondern dadurch, dass sie bestimmt, auf welchen Bahnen sich kräftefreie Körper bewegen.
Das Ziel ist es also jetzt, die Vorstellung einer gekrümmten Raumzeit mit der Relativitätstheorie
zusammen zu bringen, und zwar so, dass das Äquivalenzprinzip gilt. Mit anderen Worten, in
einem hinreichend kleinen, frei fallenden Labor sollen die gleichen Gesetze gelten wie in einem
Inertialsystem der speziellen Relativitätstheorie. Aber für die Raumzeit als ganzes muss es kein
globales Inertialsystem mehr geben.
Tatsächlich lassen sich diese Konzepte auf sehr elegante Weise vereinigen. Die Raumzeit der
speziellen Relativitätstheorie ist der vierdimensionale Minkowski-Raum, also ein metrischer affi. Die naheliegende Vermutung ist daher, dass eine gekrümmte Raumner Raum der Signatur
zeit eine metrische Mannigfaltigkeit mit genau dieser Signatur ist, also eine vierdimensionale
Lorentzsche Mannigfaltigkeit. Lokal, das heißt in der Umgebung eines bestimmten Ereignisses,
sieht eine solche Mannigfaltigkeit genau so aus wie der Minkowski-Raum.
Mit anderen Worten, die Raumzeit ist eine vierdimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit , auf der eine Metrik
der Signatur
definiert ist. Diese übernimmt die Rolle der
in der speziellen Relativitätstheorie. Sie definiert, zumindest lokal, Längen
Lorentz-Metrik
und Zeiten, und sie bestimmt, welche Kurven Geodäten sind. Die Metrik ist also, in einem gewissen Sinne, gleichzeitig das Gravitationsfeld.
Was heißt das konkret? Betrachten wir zum Beispiel eine zeitartige Kurve
, und
nehmen wir an, dies sei die Weltlinie einer Uhr in der Raumzeit. In der speziellen Relativitätsihrer Weltlinie an, definiert durch (5.5). Das heißt, die
theorie zeigt eine Uhr die Eigenzeit
misst quasi die (zeitliche) Länge ihrer Weltlinie. Das gleiche soll nun auch in einer gekrümmten
Raumzeit gelten. Die Eigenzeit
, die ein Uhr anzeigt, soll also folgende Differentialgleichung
erfüllen,
k
keit.
Eine ganz andere Überlegung, ausgehend vom schwachen Äquivalenzprinzip, führt letztlich
auf dieselbe Vorstellung der Raumzeit als gekrümmte Mannigfaltigkeit. Das schwache Äquivalenzprinzip besagt, dass sich alle Testkörper in einem Gravitationsfeld auf denselben Bahnen
bewegen. Das legt natürlich den Verdacht nahe, dass diese Bahnen irgendwelche besonderen Kurven in der Raumzeit selbst sind, die mit den Testkörpern als solchen gar nichts zu tun haben. Die
Testkörper messen diese Kurven nur.
Aber welche besonders ausgezeichneten Kurven können das sein? Wenn kein Gravitationsfeld
vorhanden ist, bewegen sich kräftefreie, also frei fallende Körper auf Geraden durch die Raumzeit. Wenn ein Gravitationsfeld vorhanden ist, sind die Weltlinien von frei fallenden Körpern
aber ganz sicher keine Geraden in einer flachen Raumzeit. Zwei Geraden in einem affinen Raum
können sich nicht mehrmals schneiden, während die Weltlinien von frei fallenden Körpern das
durchaus tun können. Man denke zum Beispiel an zwei Satelliten, die die Erde in entgegengesetzten Richtungen umkreisen, und sich zweimal pro Umlauf treffen.
Es könnte sich bei den Weltlinien von frei fallenden Körpern aber um die verallgemeinerten
Geraden, also die Geodäten auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit handeln. Das würde eine
einfache Erklärung dafür liefern, warum diese Weltlinien lokal, also aus der Sicht eines ebenfalls
frei fallenden Beobachters in der Nähe, stets wie Geraden aussehen, sich global aber ganz anders
verhalten können als Geraden in einer flachen Raumzeit.
Auf jeden Fall würde eine solche Theorie der Gravitation zwanglos erklären, warum
Gravitations- und Trägheitskräfte nicht unterscheidbar sind. Ein Testkörper spürt nämlich, bildlich gesprochen, immer nur die Summe von beiden. Ein Astronaut spürt eine Trägheitskraft, oder
äquivalent ein Gravitationsfeld in seiner Rakete immer dann, wenn die Triebwerke eingeschaltet
sind. Das ist genau dann der Fall, wenn die Weltlinien seiner Rakete keine Geodäte ist. Umgekehrt, wenn die Triebwerke abgeschaltet sind, dann ist die Weltlinie der Rakete eine Geodäte. Es
herrscht im Innern Schwerelosigkeit, so als würde die Rakete eine gleichförmige Bewegung in
einer flachen Raumzeit ausführen.
Ausgehend von der Äquivalenz von Gravitations- und Trägheitskräften kommen wir also zu
einer ganz neuen Interpretation davon, was Gravitation eigentlich ist.
kt
q rs
Die Raumzeit ist eine vierdimensionale Lorentzsche Mannigfaltigkeit. Alle physikalischen Gesetze, die im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie als lokale Tensorgleichungen formuliert werden können, gelten entsprechend als Tensorgleichungen auf
der gekrümmten Raumzeit.
zu einer Variablen. Sie unterliegt selbst irgendwelchen BeJetzt dagegen wird die Metrik
wegungsgleichungen, die wir noch herleiten müssen. Die einzige Struktur der Raumzeit, die jetzt
noch a priori gegeben ist, ist die Struktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Alle physikalischen Objekte, einschließlich der Metrik selbst, werden darauf als Tensorfelder definiert, die
jeweils ihren Feldgleichungen unterliegen und eine eigene Dynamik besitzen.
Auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit gibt es aber keine irgendwie ausgezeichneten Koordinatensysteme. Alle Koordinatensysteme sind gleichwertig. Und deshalb müssen wir von den
Naturgesetzen verlangen, dass sie in allen Koordinatensystemen die gleiche Form annehmen.
Sonst wäre das Konzept der gekrümmten Raumzeit als Beschreibung der Gravitation nicht haltbar. Das allgemeine Relativitätsprinzip ist also ein Kriterium, das jedes auf einer gekrümmten
Raumzeit definierte Naturgesetz erfüllen muss.
>U.
p
schen Tensoren lokal in Raum und Zeit zu definieren, dann können wir diese Beziehungen auf
eine beliebige gekrümmte Raumzeit übertragen, indem wir einfach die entsprechenden Tensorgleichungen übernehmen. Die obige Beziehung zwischen der Eigenzeit und dem Tangentenvektor
einer Weltlinie erfüllt diese Lokalitätsbedingung offensichtlich. Auf beiden Seiten der Gleichung
steht ein Skalar, und unter der Wurzel auf der rechten Seite werden drei Tensoren kontrahiert, die
definiert sind.
alle im Tangentenraum
Allgemein erhalten wir auf diese Weise eine Art Übersetzungsvorschrift, mit deren Hilfe wir
jede auf dem Minkowski-Raum formulierte, relativistische und in diesem Sinne lokale Theorie
auf eine gekrümmte Lorentzsche Mannigfaltigkeit als Raumzeit übertragen können. Diese Übersetzungsvorschrift soll im folgenden die Grundlage einer relativistischen Gravitationstheorie sein.
Die Dynamik von Punktteilchen
.G
n !
=
n
.
> w
.
> wl .
.G
xw
w . .6
.
Die erste Gleichung war im wesentlichen die Definition des 4-Impulses , die zweite Gleichung
war die Verallgemeinerung der klassischen Beziehung, wonach die Kraft die Änderung des Impulses ist. Die Nebenbedingung ergab sich aus der Tatsache, dass die Eigenzeit entlang der
Weltlinie ist. Bilden wir nämlich die Norm der ersten Gleichung, so folgt
w
n
(13.25)
> w
.
> wl .
>6
y.6
>l.
n
n
w
(13.26)
.G
und auf Grund der Definition der Eigenzeit ist die linke Seite gleich
gung erhalten bleibt, muss außerdem die 4-Kraft
zum 4-Impuls
.
!
!
!
!
:n :n :=
. Damit die Nebenbedinsenkrecht stehen,
>G
.
> wl .
W
!
> w
.
> wl .
:=
n
Ein Beispiel für ein solches Naturgesetz, auch wenn es vielleicht nicht besonders fundamental
durch die Raumzeit
ist, wäre die Aussage, dass eine Uhr, die sich entlang einer Weltlinie
anzeigt. Tatsächlich lautet die Formel (13.23), die den Zusammenhang
bewegt, die Eigenzeit
zwischen
und
bestimmt, in allen Koordinatensystemen gleich. Wir müssen nur die
Darstellung der Weltlinie und die Metrik entsprechend transformieren.
Das allgemeine Relativitätsprinzip ergibt sich ganz zwangsläufig aus der Tatsache, dass die
Metrik auf der Raumzeit nun das Gravitationsfeld beschreiben soll. In der speziellen Relativitätstheorie war die Metrik des Minkowski-Raumes eine a priori gegebene Struktur der Raumzeit,
das heißt sie war von Anfang an fixiert. Deshalb waren auch Inertialsysteme von Anfang an ausgezeichnete Koordinatensystem, nämlich solche in denen die Metrik die Darstellung
hatte.
(13.24)
n
n
Allgemeines Relativitätsprinzip: Die fundamentalen Naturgesetze nehmen in jedem
Koordinatensystem die gleiche Form an.
Ein Beispiel für die Anwendung unserer Übersetzungsvorschrift haben wir bereits gegeben,
nämlich die Beziehung (13.23) zwischen einer Weltlinie und ihrer Eigenzeit. Allgemein wollen wir jetzt die Dynamik eines Punktteilchens betrachten, wie wir sie in Kapitel 5 im Rahmen
der speziellen Relativitätstheorie diskutiert haben.
im flachen
Wir beginnen mit den Bewegungsgleichungen für ein Teilchen der Masse
Minkowski-Raum, auf das eine 4-Kraft
wirkt. Sie lauten, wenn wir die Weltlinie
als
Funktion der Eigenzeit darstellen,
Das ist, in groben Zügen, die Idee der allgemeinen Relativitätstheorie. Die Bezeichnung rührt
daher, dass das Relativitätsprinzip, welches die Grundlage der speziellen Relativitätstheorie bildet, verallgemeinert wird. In der speziellen Relativitätstheorie war es so, dass die Naturgesetze
in allen Inertialsystemen, also in allen kartesischen Koordinatensystemen auf der Raumzeit, die
gleiche Form annehmen. Sie sind daher invariant unter einer speziellen Klasse von Koordinatentransformationen, nämlich den Lorentz-Transformationen.
Unsere Übersetzungsvorschrift besagt nun, dass die Raumzeit in Anwesenheit von Gravitationsfeldern eine gekrümmte Mannigfaltigkeit ist, und dass sich die Naturgesetze als Tensorgleichungen auf dieser Mannigfaltigkeit formulieren lassen. Nun haben Tensorgleichungen auf Mannigfaltigkeiten, wie wir aus Teil II wissen, die Eigenschaft, dass sie in allen Koordinatensystemen
die gleiche Form annehmen. Sie sind invariant unter beliebigen Koordinatentransformationen. Es
gilt also die folgende Verallgemeinerung des speziellen Relativitätsprinzips.
>l.
>U .
Soweit ist das eine kurze Wiederholung der relativistischen Dynamik von Punktteilchen aus Kapitel 5. Jetzt wollen wir darauf die Übersetzungsvorschrift anwenden und die Dynamik eines
Punktteilchens auf einer gekrümmten Raumzeit beschreiben.
Zuerst müssen wir uns über die einzelnen Objekte Gedanken machen, und wie sie auf einer
gekrümmten Mannigfaltigkeit darzustellen sind. Natürlich ist die Weltlinie wieder eine Abbildung
154
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k
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b
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w
(13.30)
.
w Natürlich müssen wir jetzt auch die 4-Kraft
als Tensor auf der gekrümmten Raumzeit definieren, und zwar ebenfalls im Tangentenraum
. Üblicherweise werden wir
entweder
als Funktion von Ort und Impuls vorgeben, oder explizit als Funktion von . Damit die Nebenbezu
senkrecht steht, also
dingung erhalten bleibt, muss auch hier wieder gelten, dass
.G
Auch auf einer gekrümmten Raumzeit ist der Impuls eines Teilchens ein zeitartiger Vektor der
Länge . Unter anderem ergibt sich daraus, dass
wieder ein zeitartiger Einheitsvektor ist, den wir als 4-Geschwindigkeit bezeichnen. Das muss natürlich so sein, wenn die
Eigenzeit ist.
Ein wenig problematischer ist die zweite Bewegungsgleichung. Dort steht auf der linken Seite
nach . Nun ist dieser Vektor aber für verschiedene in verdie Ableitung des Vektors
definiert. Die normale Ableitung macht also gar keinen
schiedenen Tangentenräumen
Sinn. Wir müssen sie, wenn auf der linken Seite der Gleichung ein Tensor stehen soll, durch die
kovariante Ableitung ersetzen. Das heißt, wir müssen die folgende Ersetzung vornehmen,
A >~ € .

kt
q r|
p
(13.28)
~& .
&>
& >~
&.
p
Sie besagt, wie bisher, dass sich das Teilchen in Richtung des Impulses bewegt. Das einzig neue
ist, dass wir diese Richtung jetzt lokal dort definieren müssen, wo das Teilchen gerade ist, nämlich
als Vektor im Tangentenraum
.
Die Nebenbedingung macht auch keine Schwierigkeiten. Da
ein Vektor im Tangentenraum
ist, müssen wir, um seine Länge zu bestimmen, die Metrik in diesem Tangentenraum benutzen. Die übersetzte Nebenbedingung lautet also
A
A
n
Um eine solche Tensorgleichung zurück zu übersetzten, wählen wir für die Mannigfaltigkeit
einfach den Minkowski-Raum, und als Koordinatensystem ein Inertialsystem, also ein kartesisches Koordinatensystem. Dann werden aus allen kovarianten Ableitungen gewöhnliche Ableitungen, aber ansonsten bleibt die Tensorgleichung dieselbe. Umgekehrt müssen wir also alle
normalen Ableitungen durch kovariante Ableitungen ersetzen, wenn wir von einer flachen zu
einer gekrümmten Raumzeit übergehen.
Ein Problem tritt dabei jedoch auf. Nehmen wir an, in einer Tensorgleichung tritt die zweite
. Wie sollen wir dies dann übersetzen?
Ableitung eines Tensors auf, etwa in der Form
Als
oder
? Auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit besteht zwischen beiden
Ausdrücken ein Unterschied, der zum Krümmungstensor proportional ist, nämlich
. Die
Übersetzungsvorschrift ist also nicht ganz eindeutig, denn dieser Term verschwindet natürlich,
wenn wir uns wieder auf eine flache Raumzeit zurück ziehen.
Im Prinzip könnten wir an jeder Stelle beliebig viele Terme proportional zum Krümmungstensor hinzufügen. Beim Zurückübersetzen in den flachen Minkowski-Raum fallen alle diese Terme
weg. Die Übersetzungsvorschrift ist also keineswegs eine mathematisch eindeutige Abbildung,
sondern eher eine Art grobe Anleitung, wie wir Bewegungsgleichungen und ähnliches auf einer
gekrümmten Raumzeit formulieren sollen. Trotzdem ist sie in einfachen Fällen wie hier eindeutig, wenn wir zusätzlich verlangen, dass in den Gleichungen der Krümmungstensor nicht explizit
auftreten soll. Und wie wir später sehen werden, ist das Ergebnis in diesem Fall auch vernünftig.
Kommen wir also wieder auf die zweite Bewegungsgleichung zurück. Wenn wir die erste Bewegungsgleichung verwenden, um den Tangentenvektor in (13.29) durch den Impuls zu ersetzen,
und das Ergebnis ein wenig umschreiben, dann ergibt sich
k
, die lokal durch einen Satz von Koordinatenfunktionen
dargestellt wird.
Ferner ist die Masse weiterhin ein konstanter Skalar. Aber wie sieht es mit dem Impuls
aus? Auf der linken Seite der ersten Bewegungsgleichung (13.24) steht der Tangentenvektor der
Weltlinie
, also ein Vektor im Tangentenraum
, Folglich muss auch
ein
Vektor im Tangentenraum
sein.
Die erste Gleichung können wir dann unverändert als Tensorgleichung auf einer gekrümmten
Raumzeit übernehmen,
n
.
.G
w
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A
n
A6 n
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b
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a
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(13.29)
(13.31)
>
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A
>U.
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n
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.
w
.
!
w
!
155
=
k
Betrachten wir nun das System von Bewegungsgleichungen (13.27) und (13.30), so ergeben sich
folgende Gemeinsamkeiten mit den Bewegungsgleichungen auf einer flachen Raumzeit. Auch
hier haben wir ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung vorliegen, das heißt wir
und einen Impuls
vorgeben, der die
können als Anfangsbedingungen ein Ereignis
Nebenbedingung (13.28) erfüllen muss.
Auch auf einer gekrümmten Raumzeit ist die Weltlinie daher eindeutig durch die Anfangsbedingungen festgelegt. Wie die Weltlinie des Teilchens konkret aussieht, hängt jetzt aber nicht
ab, sondern auch von der jeweiligen Metrik der Raumzeit, und damit vom
nur von der Kraft
Gravitationsfeld. Die Kopplung des Teilchens an das Gravitationsfeld erfolgt offenbar durch das
Christoffel-Symbol in (13.30).
.G
das aus der Metrik
abgeleitete Christoffel-Symbol ist. Man beachte, dass die
wobei
Ableitung in Richtung der Weltlinie erfolgt, und deshalb als Richtungsvektor der Tangentenvektor
der Weltlinie auftritt, der mit dem letzten Index des Christoffel-Symbols kontrahiert wird.
Die beiden ersten Indizes wirken dagegen als Matrixindizes auf den Vektor .
Dass wir sämtliche Ableitungen von Tensoren durch die entsprechenden kovarianten Ableitungen ersetzen müssen, ergibt sich implizit aus der Übersetzungsvorschrift. Am besten können wir
uns das klar machen, wenn wir den umgekehrten Weg gehen, das heißt die Bewegungsgleichungegeben,
gen zurück übersetzen. Es sei also eine Tensorgleichung auf einer Mannigfaltigkeit
die eine Beziehung zwischen einigen Tensoren und ihren Ableitungen herstellt. Die Ableitungen
müssen dann natürlich kovariante Ableitungen sein, denn sonst ist es keine Tensorgleichung.
Ableitung durch eine kovariante Ableitung ersetzen, damit das Ergebnis wieder ein Vektor im
Tangentenraum
ist,
p
kt
q r|
Wir können die Bewegungsgleichung auch als eine Differentialgleichung zweiter Ordnung
schreiben, indem wir den Impuls eliminieren,
A6 n
A 6 n
!
=
A
.
(13.33)
. }>
.y6 D n
A6 n
n
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. }>
.G
. 6 n
(13.32)
.G
.
.G
ef U
U
&
Welche Bedeutung hat dieser Vektor? Er hat natürlich die gleiche Bedeutung, die der entsprechende Vektor in der speziellen Relativitätstheorie hat. Es ist ein raumartiger Vektor, und sein Betrag
ist die Beschleunigung, die ein mitbewegter Beobachter als eine auf ihn wirkende Rückstoßkraft
spürt.
Wichtig ist, dass die einzelnen Terme auf der rechten Seite in (13.33) für sich genommen
keine vom Koordinatensystem unabhängige Bedeutung haben. Es ist deshalb sinnlos zu fragen,
ob das, was der mitbewegte Beobachter spürt, von einem Gravitationsfeld oder von einer “echten”
Beschleunigung herrührt, oder ob es eine Kombination von beiden ist. Was er wahrnimmt, ist
Richtung und Betrag des Vektors .
Und diese Beschleunigung ist nur dann von Null verschieden, wenn eine “echte” 4-Kraft
wirkt, zum Beispiel die von den Triebwerken einer Rakete erzeugte Kraft. Die Bewegungsgleichung lautet jetzt nämlich ganz einfach
. G
.
(13.34)
k
Und was sind nun die Bahnen, auf denen sich kräftefreie Körper bewegen? Offenbar ist die Beschleunigung (13.33) genau die linke Seite der Geodätengleichung (9.35). Die Weltlinien, auf
denen sich kräftefreie Teilchen bewegen, sind, wie wir früher schon vermutet haben, die zeitartigen Geodäten auf der Raumzeit. Es sind diejenigen Weltlinien, die ihren eigenen Tangentenvektor
parallel transportieren. Das ist natürlich vernünftig, denn es heißt letztlich nichts anderes als dass
der Impuls des Teilchens konstant ist. Genauer gesagt, kovariant konstant, aber das ist der einzige
Begriff von “konstant”, der an dieser Stelle Sinn macht.
Im Prinzip ist es also gar nicht schwer, die Physik in einer gekrümmten Raumzeit zu verstehen.
Sie wird durch dieselben Gesetze beschrieben wie in einer flachen Raumzeit, nur dass diese jetzt
als Tensorgleichungen lokal definiert sind. Umgekehrt bekommen wir die Bewegungsgleichuneinen flachen
gen der speziellen Relativitätstheorie zurück, wenn wir als Mannigfaltigkeit
Minkowski-Raum wählen, und ein kartesisches Koordinatensystem wählen, das heißt für die Metrik
die Lorentz-Metrik
einsetzen.
>l.
>U.
.H
Aufgabe 13.4 Man zeige, dass für jede zeitartige Weltlinie auf einer Lorentzschen Mannigfaltigkeit die 4-Beschleunigung
ein raumartiger Vektor ist, der zur 4-Geschwindigkeit
senkrecht
steht.
.
Das bemerkenswerte an dieser Gleichung ist die Ähnlichkeit mit der klassischen Bewegungsgleichung (13.22) für ein Teilchen in einem beschleunigten Bezugsystem, das sich gleichzeitig in
einem Gravitationsfeld befindet, und auf das noch zusätzlich noch eine Kraft wirkt.
Offenbar können wir den Term, der das Christoffel-Symbol enthält und proportional zur Masse
wirkt.
des Teilchens ist, als eine Art Scheinkraft interpretieren, die zusätzlich zur 4-Kraft
Wenn wir so tun, als sei das verwendete Koordinatensystem ein Inertialsystem auf einer flachen
Raumzeit, dann steht auf der linken Seite der übliche Ausdruck Masse mal Beschleunigung, und
auf der rechten Seite steht folglich die gesamte auf das Teilchen wirkende 4-Kraft. Die zusätzliche
Kraft können wir dann wahlweise Trägheits- oder Gravitationskraft nennen.
Es gibt jedoch einen ganz wesentlichen Unterschied zur klassischen Bewegungsgleichung
(13.22). Dort konnten wir die zusätzliche Kraft
zu jedem Zeitpunkt eindeutig in eine
Gravitationskraft
und eine Trägheitskraft
zerlegen, weil es so etwas wie ein globales, ruhendes Bezugsystem gab. In diesem Bezugsystem ist die Gravitation eine gewöhnliche
Kraft wie jede andere auch, während Trägheitskräfte gar nicht vorhanden sind. Wir konnten daher eindeutig sagen, welcher Term durch die Gravitation verursacht ist, und welcher durch die
Beschleunigung des Bezugsystems, auch wenn nur die Summe von beiden letztlich zum Tragen
kommt.
Hier ist die Situation anders. Wir können das Christoffel-Symbol auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit nicht in zwei Anteile zerlegen, wobei der eine die Krummlinigkeit des Koordinatensystems misst, also die Abweichung von einem Inertialsystem und somit die Beschleunigung,
während der andere das eigentliche Gravitationsfeld darstellt, was immer das genau ist. Es ist
daher prinzipiell nicht mehr möglich, zwischen Gravitations- und Trägheitskräften zu unterscheiden. Sie sind untrennbar vereint und werden beide von einem einzigen Objekt beschrieben, dem
Christoffel-Symbol.
Anders ausgedrückt, es sind beides Scheinkräfte, die nur durch die jeweilige Wahl des Koordinatensystems eine konkrete Form annehmen. Deshalb können wir den Begriff “Gravitationskraft”
genau genommen gar nicht unabhängig vom Koordinatensystem definieren. Es gibt keinen Tensor, die ein solches Objekt namens “Gravitationskraft” repräsentiert. Die Beschreibung entspricht
genau unserer oben geäußerten Vermutung, dass Gravitation gar nicht als Kraft wirkt. Frei fallende Körper sind kräftefrei, und sie erfahren demnach auch keine Beschleunigung.
Das hört sich etwas ungewöhnlich an, steht aber in Einklang mit der Tatsache, dass ein Astronaut in einer frei fallenden Rakete keine Beschleunigung wahrnimmt. Um zu zeigen, dass sich
das auch aus unserer Übersetzungsvorschrift ergibt, erinnern wir uns an den Begriff aus der speziellen Relativitätstheorie. Die 4-Beschleunigung einer zeitartigen Weltlinie ist die Ableitung der
. Auch hier müssen wir die
4-Geschwindigkeit nach der Eigenzeit,
)
n
)
n
6.
H.
.
Aufgabe 13.5 Man zeige, dass die Nebenbedingung (13.28) genau dann mit den Bewegungsgleichungen (13.27) und (13.30) kompatibel ist, wenn die Orthogonalit ätsbedingung (13.31) erfüllt
ist.
156
l
Fal
ll
Fa
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frei
i er
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Aufgabe 13.6 Man zeige, dass sich die Bewegungsgleichungen f ür ein kräftefreies Teilchen auch
in der Form
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(13.35)
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w
A
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Milchstraße
andere Galaxie
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w :
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mit
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schreiben lassen, wobei ein frei wählbarer Kurvenparameter ist. Warum gelten sie in dieser
Form auch für masselose Teilchen?
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:
d
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U
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.> ,
† ‡ const
Aufgabe 13.7 Die Übersetzungsvorschrift besagt, dass das elektromagnetische Feld auf einer
gekrümmten Raumzeit durch ein antisymmetrisches Tensorfeld
dargestellt wird. Wie lautet
die Bewegungsgleichung (13.32) für ein Teilchen der Ladung in einem elektromagnetischen
Feld auf einer gekrümmten Raumzeit? Wo überall geht die Metrik und damit das Gravitationsfeld
ein? Gibt es auf einer gekrümmten Raumzeit so etwas wie ein homogenes elektrisches Feld? Oder
ein homogenes magnetisches Feld?
(b)
(a)
.>
,
.-
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Š
ŠŒ
ˆ‰
Ž
Ž
‰   ŠŒ
 Š
 ‹Š
‰ ˆ
Abbildung 13.5: Die Raumzeit-Diagramme für die jeweiligen Situationen in Abbildung 13.3. In
(a) befindet sich die Rakete in Ruhe im Gravitationsfeld eines Planeten, in (b) wird sie im freien
Weltraum gleichmäßig beschleunigt. Der Bereich des Labors in der Rakete ist jeweils hell unterlegt. Die gestrichelten Koordinatenlinien sind die eines relativ zur Rakete ruhenden Bezugsy, wobei nur die - -Ebene dargestellt ist. In (b) sind zusätzlich die Achsen eines
stems
globalen Inertialsystem
dargestellt. Ein frei fallender Körper beschriebt eine Geodäte,
also ein Gerade im Minkowski-Raum. In (a) erscheint dieselbe Geodäte als “Wurfparabel”.
Aufgabe 13.8 Wie lauten die Maxwell-Gleichungen (6.38) für den Feldstärketensor
auf einer gekrümmten Raumzeit? In welche Gleichung geht die Metrik ein, in welche nicht? Wie ist die
elektrische 4-Stromdichte für eine Punktladung zu definieren, die sich entlang einer Weltlinie
bewegt?
Das Gravitationsfeld und die Metrik
[ ‘
In Abbildung 13.5(b) befindet sich dieselbe Rakete im freien Weltraum und erfährt eine
gleichmäßige Beschleunigung. Die Raumzeit ist hier ein flacher Minkowski-Raum, in dem
wir zunächst ein kartesisches Koordinatensystem , also ein Inertialsystem mit Koordinaten
einführen. In diesem Koordinatensystem gilt dann
, und folglich verschwinden auch die Christoffel-Symbole
. Aber das ist natürlich nicht das Bezugsystem eines beschleunigten Beobachters.
Um ein gleichmäßig beschleunigtes Bezugsystem zu definieren, erinnern wir uns an Kapitel 5.5, in der wir die Weltlinie eines gleichmäßig beschleunigten Beobachters im MinkowskiRaum bestimmt haben. Die Lösung sah wie folgt aus. Wenn wir die Eigenzeit auf der Weltlinie
des Beobachters mit bezeichnen, und er eine Beschleunigung von Betrag in -Richtung erfährt,
so wird seine Weltlinie im Inertialsystem wie folgt beschrieben,
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Jetzt haben wir eine ungefähre Vorstellung davon, wie sich die Physik in einer gekrümmten Raumzeit abspielt und wie die Gravitation in die Bewegungsgleichungen von Punktteilchen eingreift.
Was wir allerdings immer noch nicht wissen, ist, wie denn nun ein konkretes Gravitationsfeld
durch eine bestimmte gekrümmte Raumzeit, also ein bestimmte Metrik dargestellt wird. Um diese Frage zu beantworten, werden wir noch einmal vom Äquivalenzprinzip Gebrauch machen, um
daraus zumindest einen Ansatz abzuleiten.
Das Äquivalenzprinzip besagt, dass sich in beiden Raketen in Abbildung 13.3 die gleiche Physik abspielt. Insbesondere folgt daraus, dass beide Astronauten in ihrem Labor die gleiche Metrik messen. In eine mathematische Sprache übersetzt heißt das, die jeweiligen Ausschnitte der
Raumzeit, die das Labor repräsentieren, sind isometrisch. Wir können also etwas über die Metrik
in einem Gravitationsfeld lernen, indem wir uns zunächst die Metrik in einem beschleunigten
Bezugsystem anschauen.
In Abbildung 13.5 sind die entsprechenden Situationen (a) und (b) in einem RaumzeitDiagramm dargestellt. In der Abbildung 13.5(a) befindet sich die Rakete in Ruhe über einem
Planeten. Der Planet ist durch den dunkel unterlegten Bereich links dargestellt, das Labor in der
Rakete durch den hell unterlegten Bereich in der Mitte. Die Koordinatenlinien sind die eines rela. Die
tiv zur Rakete, und damit auch relativ zum Planeten ruhenden Koordinatensystem
-Achse ist nach oben hin ausgerichtet, und die Zeit wird von einer Uhr gemessen, die sich am
räumlichen Koordinatenursprung in der Mitte des Labors befindet.
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157
^
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Er bewegt sich auf einer Hyperbel in der - -Ebene, die sich asymptotisch für
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ƒ0
die eine der Erdbeschleunigung vergleichbare Beschleunigung erfährt, ist also noch um mehr als
.
zehn Größenordnungen kleiner als
Was uns jetzt natürlich interessiert ist die Raumzeit-Metrik im Bereich des Labors, ausgedrückt
, also in dem relativ zur Rakete ruhenden Bezugsystem. Die können
in den Koordinaten
wir sehr leicht ausrechnen. Wir müssen dazu nur von der Lorentz-Metrik im Inertialsystem
ausgehen,
(13.40)
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[ d
[ d
[ Dc
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[ D
Ÿ
nem Lichtstrahl nähert. Dies ist also die Weltlinie der Rakete, oder genauer die des räumlichen
Mittelpunktes des Labors. Sie ist in Abbildung 13.5(b) als durchgezogenen Linie dargestellt. Es
ist diejenige Hyperbel in der - -Ebene, die vom Schnittpunkt der beiden asymptotischen Lichtstrahlen den Abstand
hat.
Um für den mitbewegten Beobachter ein Koordinatensystem einzuführen, in dem er ruht, gehen
wir wie folgt vor. Wir definieren zuerst einen zeitartigen Vektor als Tangentenvektor an seine
Weltlinie,
(13.37)
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transformieren. Das Ergebnis ist
‘
und diese gemäß (13.39) ins krummlinige Koordinatensystem
[ ‘
ƒ0
’ƒ.
Hier sind
die üblichen orthogonalen Einheitsvektoren im Inertialsystem . Offenbar ist
ein zeitartiger Einheitsvektor, so dass tatsächlich die Eigenzeit des Beobachters ist. Dann definieren wir zusätzlich drei raumartige Einheitsvektoren ,
und , die zueinander und zu
orthogonal sind,
d
Dc
D
D
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dU
D
(13.41)
Ÿ
ƒ0
ƒf
ƒœ
ƒ›
Das ist also die Metrik, die ein beschleunigter Astronaut in seiner Rakete “sieht”. Da wir im
Bereich des Labors
annehmen können, werden wir von nun an alle Terme der Ordnung
und höher vernachlässigen. Für die Metrik (13.41) ergibt das
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(13.38)
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Dc
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W
D
(13.42)
Ÿ
Diese Vektoren spannen für jedes eine raumartige Hyperfläche auf. Für den beschleunigten
Beobachter ist dies der Raum zur Zeit . Auf dieser Hyperfläche führen wir ein räumliches Koorso ein, dass sich der Beobachter am Ursprung befindet, und die Vektoren
dinatensystem
,
und die zu diesem Koordinatensystem gehörende lokale Basis bilden.
Auf diese Weise erhalten wir ein krummliniges Koordinatensystem
mit Koordinaten
auf dem Minkowski-Raum. Die entsprechenden Koordinatenlinien in der - -Ebene
sind in Abbildung 13.5(b) dargestellt. Zwischen dem krummlinigen Koordinatensystem und
dem Inertialsystem besteht dann der Zusammenhang
oder in Komponenten,
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d c
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00 U
0U
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W
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(13.44)
Ÿ
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c
D
D
D
!
W
D
Offenbar wird diese Transformation für
singulär. Außerdem sehen wir in Abbildung 13.5(a), dass das krummlinige Koordinatensystem nur einen Teil des Minkowksi-Raumes
abdeckt, nämlich das Viertel rechts der beiden lichtartigen Hyperflächen
. Aber das ist
im folgenden nicht weiter von Belang, denn uns interessiert nur die unmittelbare Umgebung des
.
Beobachters, also der Bereich kleiner räumlicher Koordinaten
Tatsächlich gilt im Bereich des Labors, der in Abbildung 13.5(b) wieder hell unterlegt ist, auf
. Wäre dem nicht so, dann würde ein von der Decke des Labors fallen
jeden Fall
gelassener Körper am Boden eine Geschwindigkeit erreichen, die von der Größenordnung der
Lichtgeschwindigkeit ist. Das wäre natürlich unrealistisch. Wir werden deshalb im folgenden
stets annehmen, dass die Abmessungen des Labors klein sind im Vergleich zu
.
Dass
eine Länge ist, ergibt sich aus der Tatsache, dass eine Beschleunigung die Einheit
Zeit oder Länge hat, wenn die Lichtgeschwindigkeit gleich Eins gesetzt ist. Um die Größenordnungen deutlich zu machen, wählen wir als Beispiel
m sec , also
sec m.
m, also
m. Selbst eine mehrere Kilometer große Raumstation,
Nun ist sec
5
!
d c
(13.39)
über die drei räumlichen Koordinaten
laufen.
wobei die Indizes
Aus dem Äquivalenzprinzip können wir jetzt folgende Aussage über die Metrik in einem Gravitationsfeld ableiten. In einem beschränkten Bereich der Raumzeit, in dem das Gravitationsfeld
als homogen betrachtet werden kann, zum Beispiel im Labor der Rakete in Abbildung 13.3(a),
gilt ebenfalls die Metrik (13.43). Das ist genau die weiter oben gemachte Aussage, wonach die
hell unterlegten Bereiche der Raumzeit in Abbildung 13.5(a) und (b) isometrisch sind.
Wie würden wir dieselbe Situation in der Newtonschen Theorie beschreiben? Dort würden wir
gegeein Gravitationspotential einführen, und im Bereich des Labors wäre es durch
ben. Interessanterweise tritt genau dieser Term in der -Komponente der Metrik auf. Offenbar
besteht eine Beziehung zwischen der -Komponente der Metrik in einem irgendwie bevorzugten
Bezugsystem auf der einen Seite, und dem Newtonschen Gravitationspotential auf der anderen
Seite.
Um diesem Zusammenhang nachzugehen, machen wir folgenden Ansatz. Wir betrachten eine
Raumzeit-Mannigfaltigkeit, auf der ein Koordinatensystem
gegeben ist, und in diesem
Koordinatensystem soll die Metrik die folgende Form annehmen,
U
)

I
)
U
)
U
)
I
ž I
U
)
`
I
158
)
)
anDabei ist eine zunächst beliebige Funktion der Koordinaten. Allerdings wollen wir
nehmen, das heißt die Metrik soll nur sehr wenig von der flachen Minkowski-Metrik abweichen.
Für ein typisches Gravitationsfeld, wir wir es kennen, ist ganz sicher der Fall, denn die Metrik
der Raumzeit, die wir zum Beispiel innerhalb unseres Sonnensystems messen, ist in sehr guter
Näherung flach.
Die Metrik der Raumzeit sei also durch (13.44) gegeben. Wir wollen zeigen, dass sich
Testkörper dann tatsächlich genau so bewegen, wie frei fallende Körper in der Newtonschen
Theorie. Dazu schreiben wir zunächst die Metrik in Komponenten auf,
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2
2U
20 U
0U
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W
D
00 U
(13.45)
J
J
J
und bestimmen die inverse Metrik,
!
W
D
ausgewählten Koordinatensystem bewegen. Mehr können wir nicht verlangen, denn für schnell
bewegte Testkörper kann die Newtonschen Theorie ohnehin nicht richtig sein, denn sie beruht auf
der klassischen Mechanik und kennt zum Beispiel nicht die Lichtgeschwindigkeit als Grenzgeschwindigkeit.
Wir wissen also jetzt zumindest, wie wir schwache Gravitationsfelder durch eine gekrümmte Raumzeit beschreiben können. Die Raumzeit ist näherungsweise flach, das heißt die Metrik
weicht nur wenig von der Lorentz-Metrik ab, und es gibt ein ausgezeichnetes Koordinatensystem,
in dem die Zeit-Zeit-Komponente der Metrik im wesentlichen durch das Gravitationspotential ge.
geben ist. Und zwar gilt
Im Unterschied zu der vorher betrachteten Metrik in einem beschleunigten Bezugsystem, ist
das nun eine Aussage über die Raumzeit als ganzes. Wir müssen uns jetzt nicht mehr auf einen
kleinen Ausschnitt der Raumzeit beschränken. Solange das Gravitationsfeld schwach ist, also
überall
gilt, beschreibt die Metrik (13.44) die ganze Raumzeit. Umgekehrt können wir
in einem hinreichend kleinen Ausschnitt der Raumzeit stets ein räumliches Koordinatensystem
so wählen, dass dort
gilt. In diesem Ausschnitt gilt dann wieder dieselbe Metrik
wie in einem beschleunigten Bezugsystem im flachen Minkowski-Raum.
00 U
J
2
'
J
2 U
20 U
J
0 U
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W
00 U
(13.46)


Id
U
d c
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Hier haben wir von unserer Näherung
Gebrauch gemacht, das heißt wir haben Terme
und höher vernachlässigt. Ferner benötigen wir das Christoffel-Symbol, das wir
der Ordnung
leicht mit Hilfe der Formel (10.60) berechnen können. Die einzigen nicht verschwindenden Komponenten sind
J
J?
2
'
2 } 00
? 2!
W
0 } 02
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W
0 } 00
(13.47)
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k
¡m
Aufgabe 13.9 Genau genommen ist das nicht ganz richtig. Wenn wir in der Umgebung eines
ein Koordinatensystem
so wählen wollen, dass der Ursprung
Ereignisses
in diesem Ereignis liegt und
gilt, dann müssen wir zuerst das Potential so einrichten,
dass
ist. In der Newtonschen Theorie ist das möglich, denn wir können eine beliebige
Konstante zu addieren. Können wir auch hier einfach eine Konstante zu addieren?
!
Id
U
¡!
Das müssen wir jetzt in die Bewegungsgleichungen einsetzen, um die Bahn eines Testkörpers zu
ermitteln. Da wir uns nur für einen frei fallenden Testkörper interessieren, können wir natürlich
einfach die Geodätengleichung verwenden,
Die räumlichen Komponenten dieser Gleichung lauten
A6 n
n
>6 !
=
A
. }>
. 6 D n
(13.48)
Aufgabe 13.10 Man führe die entsprechende Rechnung für ein rotierendes Koordinatensystem
durch, das heißt an Stelle der Transformation (13.39) verwende man
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0 6 n
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2 6 D n
A6 n
n
>6
=! A
2 }>
2 6 D n
(13.51)
(13.49)
‘
Man berechne die Metrik im rotierenden Koordinatensystem , und f ühre eine Näherung durch
für
. Warum ist diese Näherung für ein realistisches rotierendes Labor sinnvoll?
Man berechne dann die Christoffel-Symbole, stelle die Bewegungsgleichungen auf, und zeige,
dass sich im Grenzfall langsam bewegter Teilchen die klassischen Ausdr ücke für die Zentrifugalund Coriolis-Kraft ergeben.
¢ )

d c
2 } 00
denn
ist die einzige nicht verschwindende Komponente des Christoffel-Symbols, die in der
Summation auftritt.
Wenn wir jetzt annehmen, dass sich das Teilchen nur sehr langsam bewegt, dann können wir
die Eigenzeit auf der Weltlinie näherungsweise mit der Koordinatenzeit identifizieren. Es gilt
dann
, und wir können statt der Ableitung nach in der Bewegungsgleichung auch
die Ableitung nach schreiben. Es ergibt sich dann näherungsweise die Bewegungsgleichung
n I
n
n
0 6
)
I
J
J?
2
'
2 6 D Aufgabe 13.11 Wir werden später feststellen, dass der sogenannte Newtonschen Grenzfall der
allgemeinen Relativitätstheorie nicht auf die Metrik (13.44) führt, sondern dass auch die räumlichen Komponenten der Metrik eine kleine Korrektur erfahren. Die richtige Ausdruck ist
(13.50)
(13.52)
!
d
c
D
D
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W
D
!
W
D
Ÿ
, auf
159
Man zeige, dass auch diese Metrik für langsam bewegte Testkörper, und natürlich für
die Bewegungsgleichung (13.50) führt.

Das ist aber genau die Bewegungsgleichung (13.15) für einen Testkörper im Gravitationspotential
. Die zeitartigen Geodäten der Metrik (13.44) stimmen also mit den Bahnen von frei fallenden
Körpern in der Newtonschen Theorie überein, sofern sich die Körper nur langsam relativ zu dem
. Wie diese Kurve in der Koordinaten
genau aussieht, ist unerheblich. Wichtig ist nur,
dass die Zeitsignale beim Beobachter im selben Koordinatenabstand
ankommen.
Warum ist das so? Weil die Metrik und damit die Geodätengleichung nicht explizit von
abhängt. Wenn eine lichtartige Geodäte in der - -Ebene bei
und
los läuft und
bei
und
ankommt, dann gibt es eine entsprechende, um
verschobene
und
los läuft und bei
und
ankommt.
Geodäte, die bei
Die Signale kommen beim Beobachter also genau in dem Koordinatenzeit-Abstand an, in dem
die von der Uhr ausgesandt werden.
Der Beobachter sieht die Signale also im Abstand
ankommen. Für ihn ist
aber die Koordinatenzeit auch die Eigenzeit, denn für
ist
. Er hat daher den
Eindruck, dass die Uhr weiter oben bei
um einen Faktor
zu schnell geht.
Entsprechend sieht er eine Uhr, die weiter unten bei
montiert ist, um einen Faktor
zu langsam gehen. In einem Gravitationsfeld, oder auch in einem beschleunigten
Bezugsystem, gibt es eine Zeitdilatation auch dann, wenn zwei Uhren relativ zueinander ruhen.
Im Falle eines beschleunigten Bezugsystems gibt es noch eine andere Erklärung für dieses
Phänomen. Es handelt sich um eine Art Doppler-Effekt. Wenn der Beobachter in der Mitte der
Rakete die Uhr im Abstand weiter oben anschaut, so sieht er sie nicht, wie sie jetzt ist, sondern
wie sie vor einer Zeit war, die das Licht benötigte, um zu ihm zu gelangen. Die Zeit, die das
Licht für diese Strecke braucht, ist . In dieser Zeit wurde die Rakete aber beschleunigt, und zwar
erhöhte sich ihre Geschwindigkeit um
. Der Beobachter sieht also das Bild einer Uhr, die mit
der Geschwindigkeit
auf ihn zu kommt.
Setzen wir das in die Formel (4.89) für den Doppler-Effekt ein, so ergibt sich zwischen der Frequenz eines von der Uhr ausgesandten Signals und der vom Beobachter gemessenen Frequenz
der Zusammenhang
(13.56)
Aufgabe 13.12 Wenn (13.52) der richtige Ausdruck für die Metrik in einem schwachen Gravitationsfeld ist, dann müsste nach dem Äquivalenzprinzip auch ein beschleunigter Beobachter in
,
seinem Labor diese Metrik sehen, und zwar mit
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Aufgabe 13.13 Nehmen wir an, die Metrik der Raumzeit sei durch (13.52) gegeben, und ein
Beobachter befindet sich an einem Ort
in Ruhe relativ zu diesem Koordinatensystem.
Man berechne für diesen Beobachter die 4-Beschleunigung
und deren Betrag
in
der Näherung
.
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Wir hatten aber die Metrik (13.42) gefunden. Wie ist das zu erklären?
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Gravitation und Zeitdilatation
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Um dieses Kapitel abzuschließen, wollen wir ein paar physikalische Effekte beschreiben, die man
in einem Gravitationsfeld beobachten sollte, wenn das Äquivalenzprinzip und das, was wir bis
jetzt daraus abgeleitet haben, tatschlich richtig ist. Der Einfachheit halber ziehen wir uns wieder
auf das kleine Labor in der Rakete zurück, so dass alles, was wir im folgenden sagen, sowohl für
beschleunigte Beobachter, als auch für ruhende Beobachter in einem Gravitationsfeld gilt.
Aber eigentlich wissen wir ja bereits, dass das beides dasselbe ist. Alles, was wir im folgenden
wissen müssen, ist, dass die Raumzeit-Metrik im Bereich des Labors durch (13.42) gegeben ist,
gilt
das heißt für
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(13.55)
Auch hier haben wir wieder Terme der Ordnung
und höher vernachlässigt, da sich alles
innerhalb der Rakete abspielen soll.
Die Uhr bei
sendet also regelmäßige Zeitsignale in einem Koordinatenabstand
aus, behauptet aber, dass zwischen zwei solchen Signalen die physikalische Zeit
vergangen ist. Jedes Signal läuft nun entlang einer lichtartigen Geodäte zum Beobachter bei
Man beachte, dass wir in der Formel (4.89)
setzten müssen, da ein positives dort
bedeutet, dass sich der Beobachter von der Quelle entfernt. Und auch hier haben wir natürlich
wieder
angenommen. Setzen wir für die jeweiligen Frequenzen
und
ein, so ergibt sich wieder der gleiche Zusammenhang zwischen
und
.
Die Zeitdilatation in einem beschleunigten Bezugsystem wird also durch eine Art DopplerEffekt verursacht. Er bewirkt, dass Uhren, die sich weiter oben in der Rakete befinden, scheinbar
schneller gehen als solche, die sich weiter unten befinden, obwohl sie sich relativ zueinander
nicht wirklich bewegen. In einem Gravitationsfeld hört sich eine solche Erklärung wieder etwas
merkwürdig an. Aber wir erinnern uns, dass wir uns auch in diesem Fall in einem, gegenüber
einem frei fallenden Inertialsystem, beschleunigten Bezugsystem befinden.
Es gibt also auch einen Doppler-Effekt im Gravitationsfeld. Befindet sich ein Sender in der
und sendet dort eine Lichtwelle der Frequenz aus, so kommt bei
eine LichtHöhe
an, wobei zwischen und
der Zusammenhang (13.56) besteht. Eine
welle der Frequenz
weiter unten im Gravitationsfeld ruhende Lichtquelle erscheint von oben betrachtet rotverschoben, und eine weiter oben ruhende Lichtquelle erscheint von unten betrachtet blauverschoben.
W
Das erste Phänomen, dass wir beschreiben wollen, ist eine Art Zeitdilatation im Gravitationsfeld.
Der Astronaut in seinem Labor stellt nämlich fest, dass eine Uhr, die er weiter oben in der Rakete
montiert hat, schneller geht als eine Uhr weiter unten. Außerdem beobachtet er eine Art DopplerEffekt bei Strahlungsquellen, die sich ober- bzw. unterhalb von ihm befinden.
Wie kommt das? Nehmen wir an, der Astronaut befindet sich in der Mitte der Rakete bei
und beobachtet von dort aus eine Uhr, die an der Spitze der Rakete bei
in regelmäßigen
ein Lichtsignal aussendet. Zwischen dem Eigenzeit-Intervall
bei
Eigenzeit-Abständen
und dem entsprechenden Koordinatenzeit-Intervall
besteht der Zusammenhang
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Milchstraße
andere Galaxie
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161
LK
K
Theo Mayer-Kuckuk: Kernphysik, oder jedes andere Lehrbuch der Kernphysik.
eine ausführlichere Beschreibung siehe zum Beispiel Misner, Thorne, Wheeler: Gravitation, Kapitel 38.
Dass auch masselose Teilchen das Gravitationsfeld spüren, ergibt sich auch unmittelbar aus
der Vorstellung einer gekrümmten Raumzeit. Analog zu unserer Überlegung für massive Teilchen
weiter oben bewegen sich masselose Teilchen auf lichtartigen Geodäten, und ihr 4-Impuls, dessen
Zeitkomponente die Energie ist, wird dabei parallel transportiert. Auch das erklärt, warum ein
aufsteigendes Photon Energie verliert, denn genau wie auf ein massives Teilchen wirkt auch auf
ein masseloses Teilchen eine Art Scheinkraft.
Und schließlich gibt es auch eine schlüssige Erklärung dieses Phänomens in Rahmen der Newtonschen Theorie, wenn wir dort eine kleine Änderung vornehmen. Offenbar ist die Energie, die
, wobei wir für auch
oder irgendeidas Photon auf dem Weg nach oben verliert,
nen Wert dazwischen einsetzen können, solange wir Terme der Ordnung
vernachlässigen.
Umgekehrt gewinnt ein langsames, massives Teilchen beim Fallen die Energie
.
Die Ähnlichkeit der beiden Formeln legt nun folgenden Schluss nahe. Es ist gar nicht die Masse
des Teilchens, sondern seine Energie, die für das Gewicht, und damit für die im Gravitationsfeld
frei werdende Energie verantwortlich ist. Für das massive Teilchen ergibt das keinen Widerspruch,
denn solange es sich nur langsam bewegt gilt
in der üblichen klassischen Näherung.
Auch diese Erkenntnis ist letztlich nicht weiter verwunderlich, wenn wir uns nochmal an eine
wichtige Aussage der speziellen Relativitätstheorie erinnern. In Kapitel 5 hatten wir festgestellt,
dass die Trägheit eines Körpers gar nicht auf seine Masse, sondern auf seine Energie zurück-
£
K
K
5 Für
O
O
L¢
Abbildung 13.6: Ein Photon verliert beim Aufsteigen im Gravitationsfeld Energie. Das kann
entweder im Wellenbild (a) als Rotverschiebung gedeutet werden, oder im Teilchenbild (b) als
eine auf das Photon einwirkende Scheinkraft.
K
L¢
LK
Das Photon verliert also beim Aufsteigen Energie. Es spürt das Gravitationsfeld sehr wohl, im
Gegensatz zu unserer ursprünglichen Annahme, dass nur massive Teilchen die Gravitation spüren.
Damit löst sich auch der Widerspruch des in Abbildung 13.1 dargestellten Gedankenexperiments auf. Wenn das Photon beim Aufsteigen Energie verliert, müssen wir das Experiment mit
statt im ersten Bild beginnen. Dann kommt das Photon mit der
einem Photon der Energie
verwandelt, dieses fällt herEnergie oben an, wird in ein massives Teilchen der Masse
unter, und wird schließlich wieder in ein Photon der Energie
verwandelt. Der Zusammenhang
(13.57) zwischen und
ist derselbe wie (13.12). Die Energie ist, wie es sein sollte, erhalten.
4 Siehe
(b)
(a)
Dieses Phänomen, die Rot- bzw. Blauverschiebung von elektromagnetischen Wellen im Gravitationsfeld, ist sehr gut geeignet, das Äquivalenzprinzip zu testen. Frequenzen lassen sich zum
Beispiel mit Hilfe des Mößbauer-Effekts4 sehr genau messen. Genau genug, um den durch die
Gravitation der Erde hervorgerufenen Effekt wahrzunehmen. Tatsächlich war der Nachweis dieses
Phänomens im Jahre 1960 der erste im Labor durchgeführte Test 5 der allgemeinen Relativitätstheorie. Allerdings geschah dies lange nachdem astronomische Beobachtungen die neue Theorie
der Gravitation bereits eindrucksvoll bestätigt hatten.
Auf die Einzelheiten des Versuchs wollen wir hier nicht näher eingehen. Was das Phänomen
als solches betrifft, besteht jedoch eine gewisse Ähnlichkeit mit dem Gedankenexperiment in
Abbildung 13.1. Auch dort ging es um Photonen, die sich in einem Gravitationsfeld bewegen.
Wir hatten daraus einen Widerspruch zwischen einer Maxwell-artigen Gravitationstheorie und
der Quantenphysik abgeleitet. Wir wollen nun zeigen, dass die Rot- bzw. Blauverschiebung im
Gravitationsfeld diesen Widerspruch auf eine sehr elegante Weise auflöst. Eine auf dem Äquivalenzprinzip beruhende Gravitationstheorie ist daher mit der Quantenphysik verträglich.
Tatsächlich ist die Auflösung dieses Widerspruchs sehr verblüffend, denn sie beruht gleichzeitig auf der Welle-Teilchen-Dualität der Quantenphysik. Diese besagt, dass wir ein Photon wahlweise als ein masseloses Teilchen, oder als eine elektromagnetische Welle beschreiben können,
wobei die Energie des Teilchens über
mit der Frequenz der Welle zusammenhängt. Betrachten wir also noch einmal die Bewegung eines Photons in einem Gravitationsfeld, benutzen
nun aber die Wellen-Beschreibung.
Wie in Abbildung 13.6(a) dargestellt, verlässt das Photon einen Sender, der sich auf dem Boden
des Labors befindet, mit der Frequenz . Dann läuft es eine Strecke nach oben, wo es von einem
Empfänger absorbiert wird. Es erfährt dabei eine Rotverschiebung, das heißt die Frequenz des
absorbierten Photons ist kleiner als . Zwischen und besteht der Zusammenhang (13.56).
Nun können wir den gleichen Vorgang aber auch im Teilchenbild deuten. Dies ist in Abbil, erreicht
dung 13.6(b) dargestellt. Das Photon verlässt den Sender mit einer Energie
den Empfänger aber mit einer Energie
, wobei zwischen beiden der folgende Zusammenhang besteht,
(13.57)
zuführen ist. Wenn nun aber das Äquivalenzprinzip sagt, Trägheit und Gewicht seien zwei Erscheinungsformen desselben Phänomens, dann muss notwendigerweise auch das Gewicht eines
Körpers eine Eigenschaft seiner Energie sein, und nicht seiner Masse.
In einer relativistischen Gravitationstheorie ist Gewicht eine Eigenschaft der Energie,
nicht der Masse.
Dieser Sachverhalt erklärt, warum auch Photonen das Gravitationsfeld spüren, und er wird im
nächsten Kapitel noch eine zentrale Rolle spielen, wenn wir nach der Quellen des Gravitationsfeldes suchen.
Alle Details, die am Anfang widersprüchlich erschienen, fügen sich jetzt in ein einheitliches
Bild. Zumindest innerhalb eines räumlich begrenzten Labors ergeben sich keine Widersprüche
mehr zwischen Relativitätstheorie und Quantenphysik auf der einen Seite, und der Gravitationstheorie auf der anderen Seite. Das beruht natürlich unmittelbar auf dem Äquivalenzprinzip, denn
die Physik in einem solchen Labor soll ja letztlich dieselbe sein wie im Minkowski-Raum der
speziellen Relativitätstheorie, dargestellt in einem beschleunigten Bezugsystem.
Dichte und Strom
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Um zu verstehen, wie in der allgemeinen Relativitätstheorie die Verteilung der Materie im Raum
beschrieben wird, ist es ganz nützlich, noch einmal die Definition von Dichte und Strom in der
speziellen Relativitätstheorie zu wiederholen.
durch
Als Beispiel betrachten wir ein System von Punktteilchen, die sich auf Bahnen
den Raum bewegen. Der Index nummeriert die Teilchen, und sei die Zeitkoordinate in einem
ausgewählten Inertialsystem. Die räumlichen Koordinaten bezeichnen wir mit
und fassen
für räumliche Indizes und
sie zu einem Ortsvektor zusammen. Wie üblich verwenden wir
für Raumzeit-Indizes.
Für ein solches System können wir eine Teilchendichte
und einen Teilchenstrom
einführen,
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K
Aufgabe 13.14 Man leite die Beziehung (13.57) aus der Bewegungsgleichung (13.6) f ür ein masseloses Teilchen her. Wie hängt die von einem ruhenden Beobachter gemessenen Energie mit
der Zeitkomponente des 4-Impulses
zusammen?
anderen Seite herstellt. Um eine solche Gleichung zu finden, müssen wir zunächst einmal herausfinden, was denn eigentlich genau die Quelle des Gravitationsfeldes ist. Wir haben bereits
gesehen, dass es wohl nicht, wie in der Newtonschen Theorie, die Masse ist. Denn Masse ist erstens keine Erhaltungsgröße, und zweitens spüren auch masselose Teilchen das Gravitationsfeld.
Folglich müssten sie auch selbst eines erzeugen.
Vielmehr liegt die Vermutung nahe, dass die Energie die Quelle des Gravitationsfeldes ist. Da
Energie aber kein Skalar ist, müssen wir uns zuerst überlegen, wie wir dann überhaupt deren Verteilung in der Raumzeit kovariant, also unabhängig vom Bezugsystem beschreiben können. Wenn
wir das aber geschafft haben, ist es nicht mehr schwierig, einen Ansatz für eine Feldgleichung zu
machen, die genau die gewünschte Beziehung zwischen der Metrik und der Materie herstellt.
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(14.1)
Hier sind
die Geschwindigkeiten der Teilchen. Die Teilchendichte ist also ein
skalares Feld, und der Teilchenstrom ein Vektorfeld auf dem dreidimensionalen Raum, und beide
hängen zusätzlich von von der Zeit ab.
Die Teilchendichte
gibt an, wieviele Teilchen sich zu einem Zeitpunkt am Ort aufhalten. Wenn wir die Teilchendichte zu einem Zeitpunkt über ein Volumen integrieren, erhalten
wir die Gesamtzahl
der darin enthaltenen Teilchen,
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Aufgabe 13.16 Welche vergleichbaren Phänomene beobachtet ein Physiker in einem rotierenden
Labor, wie es in Aufgabe 13.10 definiert wurde? Man zeige unter anderem, dass es eine Rot- bzw.
Blauverschiebung gibt, wenn sich Sender und Empfänger verschieden weit von der Drehachse
entfernt befinden. Ist es möglich, durch Versuche innerhalb des Labors festzustellen, in welche
Richtung es sich dreht? Ist es möglich, dass zwei Personen A und B in einem rotierenden Labor
eine Wand zwischen sich aufstellen, und zwar so, dass A B sehen kann, B A aber nicht sehen
kann?
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2 ¬
Aufgabe 13.15 Es sei ein statisches Gravitationsfeld gegeben, dass heißt eine Raumzeit mit der
Metrik (13.52), wobei nicht von abhängt. Welche Beziehung besteht dann zwischen der Frequenz eines Senders und der von einem Empfänger gemessenen Frequenz , wenn sich beide
in Ruhe befinden?
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­ 14 Die Einstein-Gleichung
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162
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Das Integral ist genau dann gleich Eins, wenn sich das Teilchen zur Zeit
im Volumen
aufhält.
gibt an, wieviele Teilchen sich zur Zeit am Ort gerade in RichDer Teilchenstrom
tung des Basisvektors bewegen, oder genauer durch eine dazu senkrechte Fläche. Betrachten
!
2 ¬ e2
In der allgemeinen Relativitätstheorie sagt der Raum der Materie, wie sie sich zu bewegen hat.
Wie das funktioniert, haben wir in groben Zügen im letzten Kapitel beschrieben. Umgekehrt sagt
die Materie dem Raum, wie es sich zu verbiegen hat. Wie das gemeint ist, wollen wir in diesem
Kapitel diskutieren.
Was wir noch immer suchen, ist die Quellengleichung der Gravitation, die ein Beziehung zwischen der Verteilung der Materie in der Raumzeit auf der einen Seite, und der Metrik auf der
(14.2)
passiert, und
, wenn das Teilchen zum Zeitpunkt
die Ebene in
in Richtung
Richtung
passiert.
Das verbleibende Integral in (14.7) ist offenbar genau dann gleich Eins, wenn der Punkt
, also der Schnittpunkt der Bahn des Teilchens mit der Ebene
, innerhalb der
Fläche
liegt. Also zählt
die Teilchen, die im Zeitintervall durch die Fläche
strömen.
Dasselbe gilt natürlich auch für eine Fläche
, die in der Koordinatenebene
von
den Vektoren und aufgespannt wird und einen Normalenvektor
besitzt. Die Anzahl
der Teilchen, die die Fläche
in einem Zeitintervall passieren, ist als Integral über die Komponente des Stromes gegeben,
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wir zum Beispiel eine Fläche
, die sich in der Ebene
befindet und von den Einheitsvektoren
und aufgespannt wird. Dann können wir fragen, wieviele Teilchen in einem
Zeitintervall durch diese Fläche hindurchströmen. Dabei zählen wir ein Teilchen positiv, wenn
es die Fläche in Richtung des Normalenvektors
passiert, und negativ, wenn es in die
Gegenrichtung passiert.
der im Zeitintervall durch die Fläche
strömenden Teilchen
Die Gesamtzahl
ist dann als ein Integral über die -Komponente des Teilchenstromes gegeben,
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Und die -Komponente des Stromes gibt schließlich an, wieviele Teilchen in einem Zeitintervall
durch eine Fläche
in der Ebene
strömen, deren Normalenvektor
ist,
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(14.4)
(14.8)
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œ ¬ Wir wollen kurz zeigen, dass dies tatsächlich aus (14.1) folgt. Eingesetzt ergibt sich
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(14.5)
(14.9)
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wobei
die -Koordinate der Bahnkurve
bezeichnet. Um das Integral auszurechnen,
führen wir zusätzlich eine Integration über ein und setzen mit einer Deltafunktion
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Aufgabe 14.1 Das können wir offenbar verallgemeinern, denn wir müssen uns nicht auf Flächen
beschränken, die in den Koordinatenebenen liegen. Es sei irgendeine, nicht notwendigerweise
ebene Fläche im Raum. Auf der Fläche führen wir Koordinaten
ein, das heißt sie wird durch
eine Abbildung
dargestellt, die jedem Paar
einen Punkt im Raum zuordnet.
Man zeige zunächst, dass durch
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H3 !
H3 b
a!
H3 Die zweite, dreidimensionale Deltafunktion ist nur dann von Null verscheiden, wenn unter anderem
ist. Also können wir im Argument der ersten Deltafunktion
setzen, und
diese dann aus dem Integral über heraus ziehen,
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(14.10)
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ein “Flächenelement”, also ein Integrationsmaß auf definiert wird, mit dem man Vektorfelder
über die Fläche integrieren kann. Mit anderen Worten, das Integral
(14.11)
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¢2
9 ±
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Das Integral über liefert genau an den Stellen innerhalb des Zeitintervalls einen Beitrag, an
denen
ist, das heißt immer dann, wenn das Teilchen die Ebene
passiert.
Nehmen wir an, dass geschehe für
, mit
, wobei
irgendeine Indexmenge ist,
die auch leer sein kann, wenn das Teilchen die Koordinatenebene im Zeitintervall gar nicht
passiert. Dann ist
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(14.6)
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ist von der Wahl der Koordinaten
auf der Fläche unabhängig.
Anschließend zeige man, dass sich die Anzahl der Teilchen, die in einem Zeitintervall
passieren, aus dem folgenden Integral ergibt,
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ist die Anzahl der Teilchen pro Zeit, die sich zum Zeitpunkt durch das
bewegen.
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163
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Das heißt,
Flächenelement
^
Das Vorzeichen
des jeweiligen Beitrags hängt davon ab, in welche Richtung das Teilchen die Ebene passiert. Es ist
, wenn das Teilchen zum Zeitpunkt
die Ebene
(14.12)
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andere Galaxie
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Abbildung 14.1: Die raumartige Hyperfläche
in (a) repräsentiert ein Volumen im Raum
zu einem Zeitpunkt . Die darin enthaltenen Teilchen sind genau die, deren Weltlinien die Hyin (b) repräsentiert eine Fläche
und ein
perfläche schneiden. Die zeitartige Hyperfläche
Zeitintervall . Die in diesem Zeitintervall durch die Fläche strömenden Teilchen sind wieder
genau die, deren Weltlinien die Hyperfläche schneiden.
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Der Punkt bezeichnet jetzt die Ableitung nach dem Kurvenparameter . Um zu zeigen, dass dies
dasselbe ist wie (14.1), zerlegen wir die Weltlinien
, und schreiben die
vierdimensionale Deltafunktion als Produkt einer eindimensionalen und einer dreidimensionalen
Deltafunktion,
Bis jetzt bezieht sich das alles auf ein festgelegtes Inertialsystem, denn nur so können wir von
einem Volumen oder einer Fläche im Raum sprechen. Teilchendichte und Teilchenstrom sind
vom Bezugsystem abhängig. Stellen wir uns einen gleichmäßig mit Teilchen gefüllten Raum vor,
die sich alle in Ruhe befinden. Dann befinden sich in einem Volumen eine bestimmte Menge
Teilchen, und sie verbleiben für alle Zeit in diesem Volumen. Die Teilchendichte ist in Raum und
Zeit konstant, und der Teilchenstrom verschwindet.
Jetzt betrachten wir dieselben Teilchen aus der Sicht eines relativ dazu bewegten Beobachters.
Für ihn erscheinen die Abstände zwischen den Teilchen in Bewegungsrichtung verkürzt, das heißt
für ihn nehmen die gleichen Teilchen ein kleines Volumen ein. Außerdem misst er natürlich einen
Teilchenstrom, den der erste Beobachter nicht sieht. Wir schließen daraus, dass sich Teilchendichte und Teilchenstrom irgendwie ineinander transformieren, wenn wir von einem Bezugsystem
zum anderen übergehen.
Wir wissen natürlich auch schon aus früheren Überlegungen, wie sie das tun. Sie bilden geauf der Raumzeit, dessen Zeitkomponente
die Teilchendichmeinsam ein 4-Vektorfeld
te, und dessen räumlicher Anteil der Teilchenstrom ist. Auch das können wir leicht zeigen. Wir
, wobei irgendein Kurvenparameter
beschreiben die Teilchen jetzt durch ihre Weltlinien
ist. Dann setzen wir
(14.13)
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Außerdem machen wir von der Freiheit Gebrauch, den Kurvenparameter zu wählen. Wir wählen
ihn so, dass
ist, das heißt wir wählen als Parameter die Zeitkoordinate im ausgewählten
Inertialsystem. Dann ist
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164
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Setzen wir
bzw.
, so ergeben sich daraus die Ausdrücke (14.1) für die Teilchendichte
und den Teilchenstrom.
ein 4-Vektor ist, das heißt wir müssen das
Aus (14.13) entnehmen wir außerdem, dass
Transformationsverhalten gar nicht weiter untersuchen. Dichte und Strom transformieren sich
beim Übergang von einem Inertialsystem zum anderen genau wie die Raum- und Zeitkomponenten jedes anderen 4-Vektors.
b
Um die Bezeichnungen im folgenden ein wenig zu vereinheitlichen, nennen wir das Vektorfeld
auf der Raumzeit den Teilchenfluss. Ein Fluss ist stets ein Vektorfeld auf der Raumzeit, dessen
Zeitkomponente eine Dichte, und dessen räumliche Komponenten einen Strom im jeweiligen
Bezugsystem definieren. Der Fluss als solches existiert aber unabhängig vom Bezugsystem.
Damit wir eine anschauliche Vorstellung davon bekommen, wie der Teilchenfluss die Verteilung und die Bewegung der Teilchen in der Raumzeit unabhängig vom Bezugsystem beschreibt,
betrachten wir die Raumzeit-Diagramme in Abbildung 14.1. Dort ist jeweils die Raumzeit dreidimensional dargestellt, das heißt die nach hinten weisende Achse repräsentiert sowohl die - als
auch die -Richtung des Raumes.
Nun erinnern wir uns an die Definition der Teilchendichte. Die Frage lautete, wieviele Teilchen
befinden sich zu einer bestimmten Zeit in einem Volumen ? In der Raumzeit wird ein Voludargestellt.
men zu einer Zeit durch eine raumartige Hyperfläche in der Hyperebene
Eine solche Hyperfläche ist in Abbildung 14.1(a) eingezeichnet. Wir nennen sie
, weil sie
von den Basisvektoren ,
und aufgespannt wird.
Um die Anzahl der Teilchen zu bestimmen, die sich zur Zeit in dem Volumen befinden,
müssen wir offenbar die Schnittpunkte der Weltlinien mit der Hyperfläche
zählen. Wenn wir
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(14.14)
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des Flusses in Richtung eines zeitartidie sich in dem Volumen befinden. Die Komponente
gen Normalenvektors repräsentiert demnach eine Dichte in einem räumlichen Volumen.
Wenn dagegen ein raumartiger Vektor ist, dann gibt es ein Inertialsystem, in dem er in die
Richtung der -Achse zeigt. In diesem Fall repräsentiert die Hyperfläche eine Fläche im Raum,
die sich in einer Ebene
befindet, sowie ein Zeitintervall. Der Fluss, integriert über die
Hyperfläche, ergibt die Anzahl der Teilchen, die die Fläche in dem Zeitintervall passieren. Die
des Flusses in Richtung eines raumartigen Normalenvektors repräsentiert also
Komponente
den Strom durch eine Fläche.
Auch das können wir noch verallgemeinern, um schließlich eine völlig vom Bezugsystem unabhängige Vorstellung von einem Fluss in der Raumzeit zu bekommen. Es sei irgendeine glatte,
aber nicht notwendigerweise ebene Hyperfläche in der der Raumzeit. Wir beschrieben sie durch
eine Abbildung
, das heißt wir ordnen jedem Punkt auf der Hyperfläche drei
Koordinaten
zu. Ferner definieren wir ein Integrationsmaß analog zu (14.10),
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zuordnen, mit den Komponenten
,
der Teilchen, deren Weltlinien die Hyperfläche
der Hyperfläche einen Normalenvektor
, dann können wir die Anzahl
schneiden, offenbar wie folgt schrieben
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Da die Teilchendichte ist, ist das natürlich dasselbe wie (14.2).
Für den Teilchenstrom gilt etwas ganz ähnliches. Hier lautete die Frage, wieviele Teilchen
strömen in einem Zeitintervall durch eine Fläche . Betrachten wir zunächst wieder eine Fläche
in der Koordinatenebene
. In der Raumzeit werden ein Zeitintervall und eine Fläche
gemeinsam durch eine zeitartige Hyperfläche
dargestellt, die von den Basisvektoren
,
und
aufgespannt wird, und die sich in der Hyperebene
befindet. Eine solche
Hyperfläche ist in Abbildung 14.1(b) dargestellt.
strömen,
Um die Zahl der Teilchen zu bestimmen, die im Zeitintervall durch die Fläche
müssen wir offenbar auch hier wieder die Schnittpunkte der Weltlinien mit der Hyperfläche
zählen. Allerdings müssen wir jetzt wieder auf das Vorzeichen der Zählung achten. Ein Teilchen
zählt genau dann positiv, wenn seine Weltlinie die Hyperfläche in Richtung des Normalenvektors
passiert, wobei jetzt
und
ist. Bei der Definition der Dichte war
das unerheblich, denn eine raumartige Hyperfläche wird von allen Weltlinien stets in die gleiche
Richtung durchstoßen, nämlich in Richtung Zukunft.
Wir können die Zählung wieder durch dasselbe Integral über den Fluss ausführen, nämlich
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(14.17)
Auch hier kann man leicht zeigen, dass das Integrationsmaß unabhängig von der Wahl der Koordinaten
ist, solange deren Orientierung erhalten bleibt. Wir können dann den Fluss
über die Hyperfläche integrieren. Das Ergebnis,
ist die Anzahl der Schnittpunkte der Weltlinien mit der Hyperfläche.
Aufgabe 14.2 Der Beweis kann völlig analog zu dem in Aufgabe 14.1 geführt werden, nur dass
der Raum jetzt gewissermaßen eine Dimension mehr hat, und statt der Integration über die Zeit
tritt eine zusätzliche Integration über den Kurvenparameter auf.
:
~
fœ
Â0 f
œ
Das ist wieder dasselbe wie (14.3), das heißt das Integral über die Hyperfläche
in der Raumzeit liefert tatsächlich die Anzahl der Teilchen, die die räumliche Fläche
im Zeitintervall
passieren.
Das erklärt anschaulich, warum Dichte und Strom in der speziellen Relativitätstheorie die Komponenten eines 4-Vektors bilden, den wir Fluss nennen.
genau dann positiv beiträgt, wenn
©
Die Zählung der Schnittpunkte erfolgt so, dass ein Teilchen
am Schnittpunkt der Weltlinie
mit der Hyperfläche
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(14.20)
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Eine Dichte ist ein Fluss durch eine raumartige Hyperfläche, ein Strom ist eine Fluss
durch eine zeitartige Hyperfläche in der Raumzeit.
ist. Die Hyperfläche bekommt also durch die Reihenfolge der Koordinaten
eine Orientierung, und diese bestimmt, in welche Richtung wir den Fluss messen.
Über die Hyperfläche selbst müssen wir an dieser Stelle gar keine Annahmen mehr machen,
außer dass sie hinreichend glatt ist. Sie muss noch nicht einmal überall raumartig oder überall
zeitartig sein. Allerdings hat das Integral (14.19) nur dann, wenn einer dieser beiden Spezialfälle
vorliegt, die übliche Bedeutung einer Teilchenzahl in einem Volumen bzw. eines Stromes durch
eine Fläche.
Ï
H3 Î
ƒ0
Â
165
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Â
in der Raumzeit vor, die zunächst der EinStellen wir uns ganz allgemein eine Hyperfläche
fachheit halber eben sein soll. Wir können ihr dann einen konstanten Normalenvektor zuordnen.
Nehmen wir an, dieser Normalenvektor sei zeitartig. Dann gibt es ein Inertialsystem, in dem er
proportional ist, das heißt er zeigt in Richtung der Zeitachse.
In diesem Inertialsystem repräsentiert die Hyperfläche ein Volumen im Raum zu einer bestimmten Zeit. Der Fluss, integriert über die Hyperfläche, ist demnach die Anzahl der Teilchen,
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K
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(14.25)
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Jetzt wollen wir uns der Frage zuwenden, was denn nun die Quelle des Gravitationsfeldes ist.
Wir vermuten, dass es sich um einen Fluss handelt, der in irgendeiner Weise die Verteilung der
Materie im Raum und ihre Bewegung durch die Raumzeit beschriebt. So ist es jedenfalls in der
Elektrodynamik, wo auf der rechten Seite der Quellengleichung, also der inhomogenen MaxwellGleichung, der elektrische Fluss
steht.
Bisher haben wir nur den Teilchenfluss eingeführt, aber wir können alles, was wir bisher über
Dichten, Ströme und Flüsse gesagt haben, sehr leicht verallgemeinern. Um den elektrischen Fluss
für ein System von Punktteilchen zu definieren, müssen wir in der Summe (14.13) einfach nur alle
Teilchen mit ihrer jeweiligen elektrischen Ladung gewichten, also
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Energie und Impuls
¨,
Ï
H3 wählen, damit sich für die Hyperflächen
Aufgabe 14.4 Wie müssen wir die Koordinaten
bzw.
in Abbildung 14.1 die Integrale (14.16) bzw. (14.17) ergeben?
Wir können auch andere Dichten und Ströme definieren, so zum Beispiel den Massenstrom,
der Teilchen durch deren Massen
ersetzen. Ganz allgeindem wir einfach die Ladung
mein können wir jede Art von Ladung für einsetzen, und erhalten so eine zugeordnete Dichte,
die die Verteilung der Ladung im Raum beschreibt, sowie einen zugeordneten Strom, der deren
Bewegung beschriebt. Beide können wir dann zu einem Fluss in der Raumzeit zusammenfassen.
Es stellt sich also die Frage, welche verallgemeinerte Ladung wir einsetzen müssen, um die
Quelle des Gravitationsfeldes zu bekommen. Im letzten Kapitel haben wir bereits gesehen, dass es
wohl nicht die Masse ist, denn auch masselose Teilchen spüren das Gravitationsfeld. Wir sind statt
dessen zu dem Schluss gekommen, dass es wahrscheinlich die Energie ist, deren Anwesenheit ein
Gravitationsfeld entstehen lässt.
Also sollten wir für die Ladung
die Energie
des Teilchens einsetzen. Dass die Energie
eines Teilchens im allgemeinen von der Zeit abhängt, also keine konstante Ladung ist, ist zunächst
kein Problem. Analog zu (14.23) können wir die Energiedichte wie folgt definieren,
¨,
Aufgabe 14.3 Welche besondere Situation liegt vor, wenn der Ausdruck (14.20) Null ist? Ist das
Integral (14.19) dann noch wohldefiniert?
¨,
wobei wir für
einfach die Energie des Teilchens zur Zeit einsetzen. Wenn wir diese
Energiedichte über ein Volumen zu einer Zeit
integrieren, erhalten wir die gesamte darin
enthaltene Energie,
in der Raumzeit integrieren, so ergibt sich die
Wenn wir diesen Fluss über eine Hyperfläche
, die durch diese Hyperfläche hindurchfließt,
Gesamtladung
(14.26)
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(14.21)
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(14.22)
Entsprechend können wir den Energiestrom definieren,
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(14.27)
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Wenn eine ebene, raumartige Hyperfläche ist, so repräsentiert sie in einem geeignet gewählten
Inertialsystem ein Volumen zu einem Zeitpunkt , und
ist die Ladungsmenge, die sich darin befindet. Die Zeitkomponente
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2 -
bilden daher die Komponenten des elektrischen Stromes im Raum. Soweit ist das natürlich nichts
neues.
(14.28)
Dass dies tatsächlich die im Zeitintervall durch die Fläche strömende Energie ist, zeigt man
genau wie in Aufgabe 14.1. Der einzige Unterschied ist, dass die Teilchen bei der Zählung jetzt
jeweils mit ihrer Energie gewichtet werden, und zwar mit der Energie zu dem Zeitpunkt, in dem
sie die Fläche passieren.
Nun liegt die Vermutung nahe, dass wir die Energiedichte und den Energiestrom wieder zu
einem Energiefluss zusammenfassen können, und dass dies vielleicht die Quelle des Gravitationsfeldes ist. Dabei geht jedoch etwas schief. Energie ist nämlich kein Skalar, sondern die Zeitkomponente eines Vektors, des 4-Impulses.
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(14.24)
im Raum strömt,
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¨
hat deshalb die Bedeutung einer Ladungsdichte im Raum. Umgekehrt, wenn eine ebene, zeitartige Hyperfläche ist, dann repräsentiert sie eine Fläche und ein Zeitintervall in einem geeignet
ist die im Zeitintervall insgesamt durch die
gewählten Inertialsystem, und
Fläche strömende Ladung. Die räumlichen Komponenten
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(14.23)
durch eine Fläche
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Er gibt an, wieviel Energie in einem Zeitintervall
zusammenfassen, und das
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Würden wir einfach
und
zu einem Objekt
Resultat wieder in der üblichen Form aufschreiben,
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(14.29)
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so wäre dies kein Vektorfeld auf der Raumzeit. Denn welchen Wert wir für die Energie
des Teilchens einzusetzen haben, hängt noch immer vom Bezugsystem ab. Das Objekt (14.29)
transformiert sich deshalb nicht wie ein Raumzeit-Vektor beim Übergang von einem Inertialsystem zum anderen. Also kann es auch nicht die Quelle des Gravitationsfeldes sein, wenn die
Quellengleichung eine Tensorgleichung sein soll.
Wir stehen also vor folgendem Dilemma. Einerseits sind wir bei der Suche nach einer relativistischen Gravitationstheorie zu dem Schluss gelangt, dass die Energie die Quelle des Gravitationsfeldes ist. Nur so konnten wir erklären, warum auch masselose Teilchen an dieser Wechselwirkung teilnehmen. Andererseits ist Energie kein Skalar. Sie kann in einer Tensorgleichung nur
gemeinsam mit dem Impuls auftreten.
Was schließen wir daraus? Wenn es eine Gravitationstheorie gibt, die dem Relativitätsprinzip
genügt, und wenn die Anwesenheit von Energie ein Gravitationsfeld entstehen lässt, dann muss es
wohl so sein, dass auch die Anwesenheit von Impuls ein Gravitationsfeld entstehen lässt. Energie
und Impuls bilden gemeinsam die Quelle des Gravitationsfeldes.
Raum, das heißt er gibt an, in welche Richtung die Energie als verallgemeinerte Ladung strömt.
Im zweiten Falle ist die verallgemeinerte Ladung, nämlich der Impuls, selbst ein Vektor, und
deshalb ist eben auch seine Dichte ein Vektor.
Trotzdem besteht ein bemerkenswerter Zusammenhang zwischen Impulsdichte und Energiestrom. Es gilt nämlich für relativistische Teilchen der Zusammenhang (5.77), das heißt zwischen
der Geschwindigkeit, der Energie und dem Impuls besteht die Beziehung
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2%
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2 À
Wir können auch sagen, dass Impuls dasselbe ist wie strömende Energie. Allerdings gilt das nur,
wenn wir für
tatsächlich die relativistische Energie eines Teilchens einsetzen, das heißt dem
Energiestrom muss genau diese Definition der Energie zu Grunde liegen.
Aufgabe 14.5 Man zeige, dass in der klassischen Mechanik die Impulsdichte gleich dem Massenstrom ist.
2¨
Nun haben wir also die Impulsdichte eingeführt, weil wir offenbar nur so einen Raumzeit-Tensor
bilden können, der die Energiedichte als eine Komponente enthält. Aber andererseits können wir
aus einer Dichte keinen Raumzeit-Tensor bilden, wenn wir nicht auch den zugeordneten Strom
mit einbeziehen. Wir müssen also auch noch einen Impulsstrom einführen.
durch die Impulse
Dazu gehen wir wieder von (14.27) aus, und ersetzen die Energien
der Teilchen. Nun steht aber unter der Summe bereits ein Vektorindex, denn ein Strom ist ja
immer ein Vektorfeld im Raum. Der Impulsstrom ist deshalb kein Vektorfeld im Raum, sondern
ein Tensor zweiter Stufe,
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(14.34)
Der erste Index dieses Tensors ist der übliche Strom-Index, der zweite Index gibt an, welche
Komponente des Impulses wir betrachten. Auch hier können wir wieder eine Fläche und ein
Zeitintervall vorgeben und den Strom über das Zeitintervall und die Fläche integrieren. Das
Ergebnis,
9 ¯
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(14.31)
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Dies ist ein räumliches Vektorfeld, aber der Vektorindex hat jetzt nicht die Bedeutung des Vektorindex eines Stromes. Es handelt sich gewissermaßen um drei unabhängige Dichten, nämlich die
der drei Impulskomponenten. Wenn wir sie über ein Volumen integrieren,
(14.33)
¨
!
!
Ñ 2%
Wir müssen also, um die Quelle des Gravitationsfeldes relativistisch zu beschreiben, neben der
Energiedichte
erst noch eine Impulsdichte
einführen. Sie gibt an, wieviel Impuls
sich in einem räumlichen Volumen befindet. Dazu gewichten wir die Teilchen einfach mit ihrem
jeweiligen Impuls
(14.30)
Daraus hatten wir unter anderem den Schluss gezogen, dass Trägheit eine Eigenschaft der Energie
ist und nicht der Masse, und dass demzufolge auch das Gewicht eine Eigenschaft der Energie ist.
Und wenn wir jetzt die Definition (14.27) und (14.30) betrachten, dann stellen wir fest, dass
Energiestrom und Impulsdichte gleich sind,
K
Die Quelle des Gravitationsfeldes ist der 4-Impuls.
(14.32)
~
­
­
+
dann ergibt sich der in zur Zeit
in
insgesamt enthaltene Impuls. Wenn zum Beispiel
einen Körper umfasst, der aus vielen Teilchen besteht, dann ist
einfach der übliche
Gesamtimpuls dieses Körpers zur Zeit .
hat also eine völlig andere Bedeutung als der VektoDer Vektorindex des Energiestromes
rindex der Impulsdichte . Im ersten Fall markiert er gewissermaßen die Lage einer Fläche im
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+
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9 ±
9 °
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J
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(14.35)
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2%
ist der Impuls, der insgesamt im Zeitintervall durch die Fläche
strömt. Das ist natürlich
wieder ein räumlicher Vektor, und deshalb trägt der Impulsstrom
zwei Indizes.
¼
167
Trotz der Tatsache, dass die beiden Indizes ganz unterschiedliche Bedeutungen haben, gibt es
wieder eine Beziehung zwischen ihnen. Der Tensor
ist nämlich symmetrisch, weil Impuls und
Geschwindigkeit zueinander proportional sind,
2
J
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00
Milchstraße
andere Galaxie
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(14.36)
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Es strömt also genau so viel -Impuls durch eine Fläche in -Richtung, wie gleichzeitig Impuls durch eine Fläche in -Richtung strömt. Das folgt aus der Tatsache, dass die Richtung
des Impulsvektors gleichzeitig die Richtung ist, in der dieser Impuls strömt.
Der Impulsstrom
trägt auch den Namen Spannungstensor und ist als solcher aus einem
ganz anderen Bereich der Physik bekannt, nämlich aus der Hydrodynamik. In einer Flüssigkeit
beschreibt er die Druck- und Scherkräfte. Wir werden später noch etwas genauer auf diesen Zusammenhang eingehen. An dieser Stelle wollen wir nur kurz aufzeigen, warum dieser Tensor
etwas mit Kräften zu tun hat, die zwischen den Teilchen wirken.
Stellen wir uns vor, die Fläche trennt zwei räumliche Gebiete voneinander. Was bedeutet
es dann, dass Impuls durch die Fläche von einem Gebiet ins anderen strömt? Dann nimmt der
Gesamtimpuls auf der einen Seite zu, auf der anderen ab. Jedenfalls solange, wie nicht noch von
woanders Impuls hin oder her strömt. Das ist aber nur eine etwas ungewöhnliche Formulierung
dafür, dass die Teilchen auf der einen Seite der Fläche auf die auf der anderen Seite eine Kraft
ausüben. Ein strömender Impuls ist demnach eine Kraft.
2
J
¼
Ã
Abbildung 14.2: Eine raumartige Hyperfläche
repräsentiert ein Volumen im Raum zu einer
bestimmten Zeit. Die Energiedichte
gibt an, wieviel Energie sich darin befindet (a), und die
-Impulsdichte
bestimmt, wieviel -Impuls darin befindet (b). Die jeweiligen Komponenten
der 4-Impulse der Teilchen, über die summiert wird, sind durch Pfeile in - bzw. -Richtung
dargestellt.
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an einer bestimmten Stelle der Weltlinie hängt natürlich nicht von der Parametrisierung ab, und
deshalb ist auch das Integral noch immer von der Parametrisierung unabhängig.
Aus der Tatsache, dass sowohl
als auch
4-Vektoren sind, folgt dann unmittelbar,
dass
ein Tensor zweiter Stufe ist. Dann müssen wir nur noch zeigen, dass seine Komponenten in einem ausgewählten Inertialsystem durch (14.37) gegeben sind. Dazu wählen wir den
ist, und führen analog zu (14.15) eine Zerlegung der
Kurvenparameter wieder so, dass
Deltafunktion durch
~
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Jetzt stellt sich die Frage, wie wir die vier Objekte, nämlich Energiedichte, Energiestrom, Impulsdichte und Impulsstrom, zu einem gemeinsamen Objekt zusammenfassen können. Das ist nicht
schwer, denn wie wir wissen, bilden jeweils Dichte und Strom auf der einen Seite, und Energie
und Impuls auf der anderen Seite einen 4-Vektor.
auf
Es liegt deshalb nahe, dass die vier Objekte gemeinsam ein Tensorfeld zweiter Stufe
der Raumzeit bilden, und zwar so, dass in einem ausgewählten Inertialsystem gilt
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Der Energie-Impuls-Tensor
(b)
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168
Energiedichte Impulsdichte
Energiestrom Impulsstrom
Ö
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Energie-ImpulsTensor
:
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Zuerst stellen wir wieder fest, dass auch dieses Integral unabhängig von der Parametrisierung
der Weltlinie ist, obwohl
jetzt eine Funktion von ist. Aber der Impuls eines Teilchens
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(14.38)
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ª 4
Daraus ergeben sich unmittelbar die Definitionen (14.25), (14.27), (14.30) und (14.34), wenn wir
,
,
bzw.
einsetzen.
Den Tensor
nennen wir den Energie-Impuls-Spannung-Tensor oder, weil das ziemlich lang ist, den Energie-Impuls-Tensor. Er beschreibt den Fluss von Energie und Impuls in der
Raumzeit und zerfällt in einem Inertialsystem in die folgenden Zeit- und Raumkomponenten,
b
Dass dem tatsächlich so ist, können wir leicht verifizieren, indem wir wieder den üblichen Ausdruck (14.21) für einen Fluss verwenden, und als verallgemeinerte Ladung jetzt den 4-Impuls
der Teilchen einsetzen. Dann gilt nämlich
(14.40)
Aufgabe 14.7 Man zeige, dass sich der Energie-Impuls-Tensor f ür ein einzelnes massives Teilchen auch wie folgt schreiben lässt,
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(14.43)
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Milchstraße
andere Galaxie
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die 4-
n !
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die Masse,
eine Eigenzeit-Darstellung der Weltlinie, und
wobei
Geschwindigkeit des Teilchens ist.
Erhaltungssätze
(b)
(a)
(c)
Eine wichtige Eigenschaft von Ladungen ist, dass sie erhalten sind. Jedenfalls gilt das typischerweise für solche Ladungen, die als Quellen von Feldern auftreten, etwa für die elektrische Ladung.
Oder eben für Energie und Impuls, von denen vermuten, dass sie die Quelle des Gravitationsfeldes
sind.
Es sollte bekannt sein, dass die zu einer erhaltenen Ladung gehörenden Dichten und Ströme
eine Kontinuitätsgleichung erfüllen. Wir wollen die Herleitung derselben hier kurz wiederholen.
Am einfachsten ist es, dabei gleich auf den Fluss in der Raumzeit zurück zu greifen. Es sei also
irgendeine Ladung, die wir den einzelnen Teilchen zuordnen können, und diese sei erhalten.
Ferner sei
der zugehörige Fluss.
Dann können wir folgende Überlegung anstellen. Wir betrachten einen Hyperwürfel in der
Raumzeit, also einen vierdimensionalen Würfel
Ã
Abbildung 14.3: Eine zeitartige Hyperfläche
repräsentiert eine Fläche im Raum und ein Zeigibt an, wieviel Energie insgesamt in dem Zeitintervall durch
tintervall. Der -Energiestrom
an, wieviel -Impuls durch
die Fläche strömt (a). Entsprechende gibt der - -Impulsstrom
die Fläche strömt (b), und der - -Impulsstrom
bestimmt, wieviel -Impuls hindurchströmt
(c). Auch hier sind die jeweiligen Komponenten der 4-Impulse der Teilchen, über die summiert
wird, wieder durch entsprechende Pfeile dargestellt.
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(14.44)
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der von insgesamt acht Hyperflächen begrenzt wird. Ein solcher Hyperwürfel ist in Abbildung 14.4 dargestellt, wobei wir wieder eine räumliche Dimension unterdrückt haben.
Wenn die Ladung erhalten ist, dann fließt in den Hyperwürfel gleich viel Ladung hinein wie
hinaus. Wenn wir die Ladungen, die durch die acht Seitenhyperflächen fließen, mit den richtigen
Vorzeichen addieren, dann sollte sich Null ergeben.
und
, also der unteren
Beginnen wir mit den beiden raumartigen Hyperflächen bei
und der oberen Seitenfläche in Abbildung 14.4. Sie sind jeweils von Typ
, und wir können
die gesamte durchfließende Ladung mit Hilfe der Formel (14.22) berechnen, wobei wir die Koordinaten
auf der Hyperfläche verwenden. Was uns interessiert ist die Differenz zwischen
der oben hinaus fließenden und der unten hinein fließenden Ladung. Für die bekommen wir
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(14.42)
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Und schließlich, wenn wir ihn als einen Fluss interpretieren und über eine Hyperfläche
grieren, ergibt sich der durch diese Hyperfläche hindurchfließende 4-Impuls
>
(14.41)
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Aus der Gleichheit von Energiestrom und Impulsdichte sowie der Symmetrie des Impulsstromes
folgt, dass dieser Tensor ebenfalls symmetrisch ist,
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Dies ist ein unabhängig von irgendeinem Bezugsystem definierter 4-Vektor. Das Integral zählt
die Schnittpunkte der Weltlinien mit der Hyperfläche, und gewichtet sie mit dem jeweiligen 4Impuls der Teilchen. Die Bedeutung der einzelnen Komponenten von
ist noch einmal in den
Abbildungen 14.2 und 14.3 veranschaulicht.
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³²
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169
Für einen Beobachter in unserem ausgewählten Inertialsystem ist das die Differenz zwischen den
Ladungen in einem Volumen zu den Zeitpunkten und . Offenbar können wir dafür auch
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2
02
00
Aufgabe 14.6 Alle Teilchen bewegen sich relativ zu einem ausgew ählten Inertialsystem langsam
im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit. Man zeige, dass dann für die Größenordnungen der ein.
zelnen Komponenten des Energie-Impuls-Tensors gilt
(14.45)
Dazu müssen wir einfach nochmal dieselbe Rechnung durchführen, nur dass die Koordinate
durch zu ersetzen ist und umgekehrt. Schließlich fließt auch noch Ladung durch die Hyperbei
und
, sowie durch die des Typs
bei
und
flächen des Typs
. Die Differenz zwischen den jeweiligen hinaus und hinein fließenden Ladungen ist
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andere Galaxie
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Wenn wir das alles addieren, so haben wir gerade argumentiert, muss sich Null ergeben, wenn die
Ladung erhalten ist. Es muss also gelten
(b)
(a)
Á !
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(14.51)
¢
9 Ý
Abbildung 14.4: Wenn eine Ladung erhalten ist, dann fließt in einen Hyperwürfel in der Raumzeit
gleich viel Ladung hinein wie hinaus. Das gilt unabhängig davon, ob die Ladung ein Skalar (a)
oder ein Vektor (b) ist. In jedem Fall addieren sich alle Flüsse durch die Seitenhyperflächen des
Würfels zu Null.
Ø
Und da das für jeden Hyperwürfel
Fluss ,
gelten muss, folgt daraus die Kontinuit ätsgleichung für den
.-
.?.
(14.52)
(14.47)
Soweit ist das natürlich nichts neues. Wir hatten die Kontinuitätsgleichung für den elektrischen
Fluss schon früher verwendet.
Da Energie und Impuls ebenfalls Erhaltungsgrößen sind, sollte eine entsprechende Kontigelten. Nun
nuitätsgleichung auch für zugeordneten Fluss, also den Energie-Impuls-Tensor
erinnern wir uns, dass die beiden Indizes folgende Bedeutung hatten. Der erste Index ist der FlussIndex, das heißt er hat dieselbe Bedeutung wie der Vektorindex des elektrischen Flusses . Der
zweite Index nummeriert die Ladungen durch, also die vier Komponenten des Impulses.
Da alle diese verallgemeinerten Ladungen unabhängig voneinander erhalten sind, sollte auch
die Kontinuitätsgleichung vier unabhängige Komponenten haben. Wir vermuten deshalb, dass sie
so aussieht,
(14.53)
Die gleiche Rechnung führen wir jetzt für die drei anderen Paare von gegenüberliegenden Hybei
und
. Die
perflächen durch. Betrachten wir zum Beispiel die vom Typ
Differenz zwischen der nach rechts hinaus fließenden und der von links in den Hyperwürfel hinein
fließenden Ladung ist
Tatsächlich können wir diese Gleichung genau so herleiten wie eben die Kontinuitätsgleichung
für die elektrische Ladung. Den Index schleppen wir einfach mit. Es ist ganz egal, ob wir eine
skalare oder eine vektorwertige Ladung betrachten, die durch die Seitenflächen des Würfels in
Abbildung 14.4 fließt. Wichtig ist allein, dass alle Impulse, die in den Würfel hinein fließen, auch
wieder hinaus fließen.
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(14.46)
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Das ist ein Integral über den ganzen Hyperwürfel, mit dem gewöhnlichen Integrationsmaß im
Minkowski-Raum,
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(14.48)
Aufgabe 14.8 Man wiederhole die Herleitung der Kontinuitätsgleichung (14.52) wie oben, ersetze jedoch die elektrische Ladung durch den 4-Impuls, und zeige so, dass sich f ür den EnergieImpuls-Tensor tatsächlich die Kontinuitätsgleichung (14.53) ergibt.
170
Vielteilchensysteme
Milchstraße
andere Galaxie
(b)
(a)
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Abbildung 14.5: Wenn alle Teilchen einer Flüssigkeit einem Strömungsfeld
folgen (a),
so herrscht in der Flüssigkeit kein Druck. Im lokalen Ruhesystem eines Flüssigkeitselementes
sind alle Geschwindigkeiten Null, und folglich verschwinden die räumlichen Komponenten des
Energie-Impuls-Tensors. Die Flüssigkeit ist dann eher ein sehr dünnes Gas oder eine Staubwolke. Führen die Teilchen zusätzlich eine zufällige Bewegung aus, während das Flüssigkeitselement
als ganzes dem Strömungsfeld
folgt (b), so herrscht ein nicht verschwindender Druck. Das
hier dargestellte Flüssigkeitselement wird beschleunigt und gleichzeitig komprimiert. Die Hyperflächen repräsentieren jeweils das räumliches Volumen des Flüssigkeitselementes im lokale
Ruhesystem.
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Der nächste Schritt besteht darin, von der Vorstellung eines Systems aus einzelnen, lokalisierten
Teilchen zu abstrahieren, und zu einer Beschreibung der Materie als Kontinuum überzugehen.
Wenn ein System aus sehr vielen Teilchen besteht, ist es sinnvoll, die Dichten und Ströme, die in
einem solchen System auftreten, in einer geeigneten Weise zu mitteln.
Eine andere Motivation besteht darin, dass Teilchen in Wirklichkeit ja gar nicht lokalisiert sind,
sondern gemäß der Quantenphysik über einen kleinen Raumbereich verschmiert sind. Solange wir
nur makroskopische Phänomene beschreiben wollen, spielt es aber keine Rolle, ob wir unter einer
Mittelung im folgenden den quantenmechanischen, einen statistischen, oder einfach das Bilden
eines räumlichen Mittelwerts über eine gewisse Skala verstehen.
Geeignet mitteln heißt, dass die gemittelten Dichten und Ströme glatte Funktionen von Ort und
Zeit sind, die die Verteilung und die Bewegung der Materie auf einer makroskopischen Skala in
sehr guter Näherung beschreiben. Wie diese Mittelung durchzuführen ist, hängt von der Art der
betrachteten Materie ab. Typische Beispiele für Vielteilchensystem, in denen eine solche Näherung sinnvoll ist, sind Flüssigkeiten oder Festkörper, aus denen Sterne oder Planeten bestehen,
oder auch Gas- und Staubwolken, also ganz allgemein die Objekte, die in der Astrophysik von
Interesse sind.
Der Einfachheit halber sprechen wir im folgenden ganz allgemein von Flüssigkeiten. Ein
Festkörper ist in diesem Sinne eine sehr zähe Flüssigkeit, ein Gas ist eine sehr dünne Flüssigkeit, und eine Staubwolke ist, wie wir gleich sehen werden, ein Gas, dessen Druck gleich Null ist.
Alle diese Systemen haben eine gemeinsame Eigenschaft. Man kann ihnen ein Str ömungsfeld
auf der Raumzeit zuordnen. Das Strömungsfeld
ist eine 4-Geschwindigkeit, die angibt, in
welche Richtung sich die Flüssigkeit an einem bestimmten Ereignis gerade bewegt.
Anschaulich können wir uns das Strömungsfeld
wie folgt vorstellen. Wir betrachten ein
Flüssigkeitselement, das aus sehr vielen Teilchen besteht, die ein gewisses Volumen im Raum
annähernd homogen ausfüllen. In der Raumzeit bilden die Weltlinien dieser Teilchen eine Art
Schlauch, dargestellt in Abbildung 14.5. Der Schlauch beschreibt die Bewegung des Flüssigzuordnen. Diese wird
keitselementes als ganzes, und wir können ihm eine 4-Geschwindigkeit
im allgemeinen sowohl entlang des Schlauches variieren, als auch von einem Flüssigkeitselement
zum nächsten, so dass auf diese Weise ein Vektorfeld auf der Raumzeit definiert wird.
hängt wie folgt mit der Teilchenfluss
zusammen. Wir definieren
Das Strömungsfeld
zunächst zu jedem Ereignis ein lokales Ruhesystem. Das ist dasjenige Inertialsystem, in dem
und
ist. Schreiben wir wieder
, dann heißt das, dass die Flüssigkeit in diesem Inertialsystem zur Zeit am Ort ruht. Ruhen bedeutet, dass die mittlere Geschwindigkeit aller Teilchen in einem Flüssigkeitselement zur Zeit am Ort Null ist.
Anders ausgedrückt, wenn wir eine beliebig orientierte Fläche an dieser Stelle im Raum aufstellen, dann strömen in beide Richtungen gleich viele Teilchen hindurch. Das ist genau das, was
wir uns anschaulich unter einer ruhenden Flüssigkeit vorstellen. Wenn wir die Fläche, zum Beispiel in Form eine Folie, in die Flüssigkeit einbringen, dann merkt die Flüssigkeit davon nichts
und die Folie bleibt an Ort und Stelle. Es macht nämlich keinen Unterschied, ob die Teilchen
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tatsächlich die Folie passieren, oder ob sie nur ihre Energie und ihren Impuls an die Teilchen auf
der anderen Seite durch Stöße an der Folie abgeben. Energie und Impuls werden also weiterhin
durch die Folie transportiert, Teilchen aber nicht.
Das lokale Ruhesystem einer Flüssigkeit an einem Ereignis ist also dadurch definiert, dass der
an diesem Ereignis verschwindet. Gemittelt soll im folgenden
gemittelte Teilchenstrom
stets heißen, dass wir über ein geeignet zu wählendes Volumen integrieren und dann durch die
Größe des Volumens teilen. Es gilt also im lokalen Ruhesystem
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(14.54)
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in der Raumzeit fließen, und diese Hyperfläche
, über das wir gemittelt haben, dann gilt auch
fragen, die durch eine bestimmte Hyperfläche
sehr viel größer ist als das typische Volumen
weiterhin die Formel (14.19),
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Umgebung des Ereignisses
aufhalten. Ein verschwindender mittlerer Teilchenstrom
ist also tatsächlich gleichbedeutend mit einer verschwindenden mittleren Geschwindigkeit der
Teilchen.
Wie genau wir das Volumen wählen, ist unwesentlich, solange die oben gestellten Bedingungen für ein Flüssigkeitselement erfüllt sind. Es sollen sich im Volumen einerseits sehr viele
Teilchen aufhalten, andererseits sollen die Teilchen das Volumen annähernd homogen ausfüllen.
Es ist dann nicht von Belang, ob wir die wenigen Teilchen am Rand noch mitzählen oder nicht,
das heißt die genau Form des Volumens spielt keine Rolle.
Das lokale Ruhesystem können wir verwenden, um der Flüssigkeit bestimmte gemittelte
Größen zuzuordnen, die sich genau auf dieses Bezugsystem beziehen und folglich Skalare sind.
Ein Beispiel für einen solchen Skalar ist die mittlere Teilchendichte im Ruhesystem
. Für
jedes Ereignis ist
als die gemittelte Teilchendichte definiert, die ein lokal mitbewegter
, so gilt im lokalen RuhesyBeobachter an diesem Ereignis sieht. Schreiben wir wieder
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(14.59)
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Die Näherung ist umso besser, je größer die Hyperfläche ist. Dann spielt es auch hier keine Rolle mehr, ob wir die wenigen Teilchen am Rand der Hyperfläche noch mitzählen oder nicht. Oder
anders ausgedrückt, die Fehler, die wir machen, weil die Teilchen nicht mehr genau lokalisiert
sind, heben sich im Mittel gegenseitig auf.
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Aufgabe 14.9 Die Teilchenzahl sei eine Erhaltungsgröße, das heißt es sollen keine Prozesse stattfinden, bei denen Teilchen erzeugt oder vernichtet werden. Man zeige, dass dann
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(14.55)
(14.60)
gilt. Man mache sich die Bedeutung dieser Gleichung im lokalen Ruhesystem anschaulich klar.
Genau wie den Teilchenfluss können wir auch jeden anderen Fluss mitteln. Im allgemeinen besteht dann aber kein Zusammenhang der Form (14.57) mehr zwischen dem gemittelten Fluss,
der Dichte der entsprechenden Ladung im Ruhesystem der Flüssigkeit, und dem Strömungsfeld.
Befinden sich zum Beispiel geladene Teilchen in der Flüssigkeit, so ist der gemittelte elektrische
Fluss
(14.61)
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Die mittlere Teilchendichte im Ruhesystem ist also einfach die Anzahl der Teilchen in einem
Volumen geteilt durch die Größe des Volumens. Auch hier ist die Größe und die genau Form
des Volumens wieder unwesentlich, solange es viele Teilchen enthält und diese homogen verteilt
sind.
Wie man nun leicht sieht, lassen sich die Beziehungen (14.54) und (14.55), sowie die Definition
wie folgt zusammenfassen. Im lokalen Ruhesystem gilt
des Strömungsfeldes
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, das wir in jedem Bezugsystem darstellen können.
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ist ein Skalar und
ist ein 4-Vektor. Also
Nun ist dies aber eine Tensorgleichung, denn
ist auch der gemittelte Teilchenfluss
ein 4-Vektor. Es gilt daher in jedem Bezugsystem
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Solange wir nur die makroskopischen Eigenschaften einer Flüssigkeit beschreiben wollen,
reicht der mittlere Teilchenfluss völlig aus. Wenn wir zum Beispiel nach der Zahl der Teilchen
Nun muss
aber keineswegs im Ruhesystem verschwinden. Das wäre nur dann der Fall,
wenn alle Teilchen die gleiche Ladung hätten, oder wenn alle Teilchen die gleiche Geschwindigist also nicht notwendigerweise proportional zum
keit hätten. Der gemittelte Teilchenfluss
Strömungsfeld
. In einer ruhenden Flüssigkeit kann durchaus ein Strom fließen.
Der Teilchenfluss ist insofern ausgezeichnet, als dass er es ist, der das Strömungsfeld und damit
das lokale Ruhesystem der Flüssigkeit definiert. Ein Zusammenhang zwischen dem Strömungsfeld und anderen Flüssen besteht nur dann, wenn die Flüssigkeit spezielle Eigenschaften hat. Das
wollen wir als nächstes näher untersuchen.
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Der mittlere Teilchenfluss ist das Produkt aus der mittleren Teilchendichte im Ruhesystem und
ihrer mittleren 4-Geschwindigkeit. Auch das ist natürlich sehr anschaulich. Umgekehrt können
wir die mittlere Teilchendichte als die Komponente des mittleren Teilchenflusses in Richtung des
Strömungsfeldes ausdrücken,
(14.58)
Aufgabe 14.10 Warum ist jedes auf diese Weise gemittelte Tensorfeld wieder ein Tensorfeld, obwohl die Mittelung in einem bestimmten Inertialsystem durchgeführt wird, das zudem noch vom
jeweiligen Ereignis abhängt, an dem gemittelt wird?
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die mittlere Energiedichte im Ruhesystem. Genau wie die mittlere Teilchendichte
ein skalares Feld auf der Raumzeit. Es ist die mittlere Energiedichte, die ein Beobachter
sieht, der sich am Ereignis mit der Flüssigkeit mitbewegt. Da dies eine eindeutige Messvorschrift ist, hängt das Ergebnis nicht von der willkürlichen Wahl irgendeines Koordinatensystems
ab.
Wichtig ist dabei festzustellen, dass das Ruhesystem der Flüssigkeit nicht das Ruhesystem der
Teilchen ist. Diese können sich sehr wohl bewegen, sogar mit relativistischen Geschwindigkeiten.
Zur Energiedichte im Ruhesystem trägt also nicht nur die Masse der Teilchen, sondern auch deren
kinetische Energie bei.
Für eine nichtrelativistische Flüssigkeit, also für eine Flüssigkeit, deren Teilchen sich relativ
ungefähr gleich der Massendichte im Ruhesyzueinander nur langsam bewegen, ist jedoch
stem, denn die kinetischen Energien der Teilchen sind im Vergleich zu ihrer Masse vernachlässigdiejenige Größe sein, die im sogenannten Newtonschen Grenzfall
bar. Später wird deshalb
der allgemeinen Relativitätstheorie die Quelle des Gravitationsfeldes sein wird.
Betrachten wir als nächstes die räumlichen Komponenten des gemittelten Energie-Impulsim lokalen Ruhesystem. Für sie gilt, wenn wir die Darstellung (14.34) verTensors
wenden,
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Energie
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dessen Energie im Ruhezustand.
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Welche Bedeutung haben nun die einzelnen Komponenten des gemittelten Energie-ImpulsTensors im lokalen Ruhesystem? Die Zeit-Zeit-Komponente
ist natürlich die gemittelte Energiedichte. Es ist einfach die Summe der Energien aller Teilchen in einem Volumen ,
geteilt durch die Größe des Volumens
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(14.62)
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Wir interessieren uns natürlich für den Energie- und Impulsfluss in einer Flüssigkeit. Dazu müssen
wir den Energie-Impuls-Tensor
geeignet mitteln. Das können wir natürlich genau so tun
wie zuvor, das heißt wir integrieren über ein Volumen im lokalen Ruhesystem am Ereignis
,
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Die Summe läuft auch hier wieder über alle Teilchen, die sich zur Zeit im Volumen aufhalten.
Weiter oben hatten wir bereits erwähnt, dass dieser räumliche Tensor als Spannungstensor
aus der Hydrodynamik bekannt ist. Er beschreibt, welche Kräfte auf eine in die Flüssigkeit
eingebrachte Fläche wirken. Stellen wir uns zwei benachbarte Flüssigkeitselemente am Ort vor,
die von eine Grenzfläche der Größe
und mit einem Normalenvektor voneinander getrennt
sind.
Welche Kraft wirkt nun an dieser Grenzfläche? Dazu müssen wir die Komponenten des Impulsstromes in Richtung des Normalenvektors der Fläche bilden, und diesen über die Fläche
integrieren. Nehmen wir an, der gemittelte Impulsstrom sei näherungsweise konstant. Dann ist
die Kraft
, denn das ist der pro Zeiteinheit durch die Fläche strömende Impuls. Es
ist dabei unerheblich, ob der Impuls durch Stöße oder durch das Strömen von Teilchen von der
einen auf die andere Seite übertragen wird. Im Ruhesystem strömen stets gleich viele Teilchen in
beide Richtungen, so dass es, wie schon gesagt, keinen Unterschied macht, ob die Teilchen durch
Stoßen ihre Impulse austauschen, oder ob die Teilchen selbst durch die Fläche strömen.
Eine ideale Flüssigkeit zeichnet sich nun dadurch aus, dass in ihr Kräfte nur senkrecht auf eine
Fläche wirken können, weil die Flüssigkeit keine Viskosität besitzt, also keine innere Reibung
auftritt. Die Kraft , die auf eine Fläche wirkt, ist also stets proportional zum Normalenvektor .
Das ist offenbar genau dann der Fall, wenn der Spannungtensor diagonal ist, also
. Für
, und folglich ist der in der Flüssigkeit
die auf eine Fläche wirkende Kraft gilt dann
herrschende Druck.
Für die räumlichen Komponenten des gemittelten Energie-Impuls-Tensors einer idealen
Flüssigkeit gilt also im lokalen Ruhesystem
Die ideale Flüssigkeit
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(14.65)
der von einem in diesem System ruhenden Beobachter gemessene Druck ist. Das
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dadurch ebenfalls zu einem skalaren Feld auf der Raumzeit
gilt an jedem Ereignis, so dass
wird.
Aufgabe 14.11 Man mache sich, ausgehend von der Darstellung (14.65), anhand der mikroskopischen Vorgänge klar, welche Druck- und Scherkräfte auf eine Fläche wirken, die man in die
ruhende Flüssigkeit einbringt. Man stelle sich vor, dass die Teilchen ihren Impuls zuerst an die
Fläche abgeben, und diese den Impuls dann an die Teilchen auf der anderen Seite weiter gibt.
Es bleiben dann noch die Raum-Zeit-Komponenten des Energie-Impuls-Tensors, die, wie wir
wissen, die Impulsdichte oder den Energiestrom beschreiben. Es liegt nahe, zu vermuten, dass
die Impulsdichte im lokalen Ruhesystem der Flüssigkeit verschwindet. Dem ist aber nicht so,
denn es ist nicht der mittlere Impuls der Teilchen, sondern deren mittlere Geschwindigkeit, die
verschwindet.
Es kann also durchaus einen Energiestrom in einer ruhenden Flüssigkeit geben. Dieses Phänomen kennen wir natürlich auch. Es handelt sich um ganz gewöhnlichen Wärmetransport. Eine
173
ideale Flüssigkeit soll nun zusätzlich die Eigenschaft haben, dass ihre Wärmeleitfähigkeit verschwindet. Das heißt, Wärme kann nur durch Konvektion, also durch die Bewegung von Teilchen
transportiert werden. Im Ruhesystem den Teilchen gilt dann
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(14.67)
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zu übertragen. Es ist nicht schwer zu zeigen, dass alle hier eingeführten Größen auch auf einer
gekrümmten Raumzeit definiert werden können, und dass fast alle Beziehungen zwischen ihnen
weiterhin gelten.
Den Teilchenfluss für ein System von Punktteilchen zum Beispiel können wir wie folgt definie. Dann müssen wir nur in der Formel (14.13)
ren. Die Weltlinien der Teilchen seien wieder
die Deltafunktion auf dem Minkowski-Raum durch die Deltafunktion auf einer metrischen Mannigfaltigkeit ersetzen, die wir in (10.39) eingeführt hatten. Es ist also
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Wir können also die Komponenten des Energie-Impuls-Tensors für eine ideale Flüssigkeit im
lokalen Ruhesystem als Funktion von zwei Größen ausdrücken, nämlich dem Druck und der
Energiedichte . Beides sind, wie wir gesehen haben, skalare Felder auf der Raumzeit. Es sollte
daher möglich sein, unabhängig vom Bezugsystem den Energie-Impuls-Tensor durch diese skalaren Felder und das Strömungsfeld auszudrücken.
Wir benutzen hierfür den gleichen Trick wie vorher für den Teilchenfluss. Wir stellen zunächst
fest, dass sich die Gleichungen (14.64), (14.66) und (14.67) im lokalen Ruhesystem so zusammenfassen lassen,
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Formal ist das einzig neue, dass wir nicht mehr eine Differenz von zwei Punkten auf der
Raumzeit-Mannigfaltigkeit bilden können, und eine solche nicht mehr als Argument in die
gewöhnliche Deltafunktion einsetzen können. Die Deltafunktion auf eine metrischen Mannigfaltigkeit hat deshalb zwei Argumente, aber sonst genau die gleichen Eigenschaften.
Was ebenfalls weiterhin gilt, ist, dass wir die Teilchen, die durch eine Hyperfläche strömen,
als ein Integral (14.19) schreiben können, und dass das ebenso für jede andere Art von Ladung
gilt, jedenfalls solange die Ladung ein Skalar ist, wie Masse oder elektrische Ladung. Auch das
Integrationsmaß ist das gleiche wie vorher, allerdings müssen wir in (14.18) für den Levi-CivitaTensor den entsprechenden Tensor (10.48) einsetzen.
Nur an zwei Stellen müssen wir ein wenig aufpassen. Das eine Problem betrifft die Integration
des Energie-Impuls-Tensors (14.42) über eine Hyperfläche. In einer flachen Raumzeit ergab das
. Er repräsentierte den durch die Hyperfläche fließenden 4-Impuls. Eine soleinen Vektor
che Integration können wir in einer gekrümmten Raumzeit nicht mehr durchführen. Wir können
Vektoren an verschieden Ereignissen nicht einfach addieren.
Es hat deshalb keinen Sinn, über den durch eine Hyperfläche fließenden 4-Impuls zu sprechen, oder speziell zum Beispiel über die in einem räumlichen Volumen enthaltene Energie. Der
Energie-Impuls-Tensor ist nur lokal definiert. In einem lokalen Inertialsystem bestimmten seine
Komponenten die Energiedichte, die Impulsdichte und so weiter, aber es ist sinnlos, diese über
einen größeren Raumbereich zu integrieren.
Das hat die interessante Konsequenz, dass ein in der allgemeinen Relativitätstheorie nur noch
unter ganz bestimmten Umständen möglich sein wird, zum Beispiel über die Gesamtenergie oder
den Gesamtimpuls eines ausgedehnten Systems zu sprechen. Auch Begriffe wie Impuls- oder
Energieerhaltung haben nur noch lokal eine Bedeutung. Nämlich die, dass der Energie-ImpulsTensor die Kontinuitätsgleichung erfüllt, die nun natürlich wie folgt lauten muss,
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Aufgabe 14.13 Man stelle für den gemittelten Energie-Impuls-Tensor einer idealen Flüssigkeit
die Kontinuitätsgleichung auf. Die Flüssigkeit sei nichtrelativistisch und sie ströme auch nur lang, und in einen ausgezeichneten Inertialsystem gelte außerdem
sam. Das heißt, es ist
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. Man zerlege die Kontinuitätsgleichung in diesem Inertialsystem in Raum- und Zeitkomponenten und zeige, dass sich die aus der klassischen Hydrodynamik bekannten Gleichungen
der Massenerhaltung und der Impulserhaltung ergeben.
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Aufgabe 14.12 Wir hatten eine nichtrelativistische Flüssigkeit als eine definiert, in der sich die
Teilchen relativ zueinander nur langsam bewegen. Man zeige, dass f ür eine solche Flüssigkeit
gilt, das heißt der Druck ist klein im Vergleich zur Energiedichte, die in diesem Fall gleich
der gewöhnlichen Dichte, also der Massendichte im Ruhesystem ist. Man setze in die Relation
die Lichtgeschwindigkeit wieder ein und verifiziere, dass Wasser unter allt äglichen Bedingungen eine nichtrelativistische Flüssigkeit ist.
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Das lässt sich ganz einfach Komponentenweise zeigen, das heißt man setzt nacheinander
und verwendet, dass im lokalen Ruhesystem
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Nun ist (14.68) aber wieder eine Tensorgleichung, das heißt sie gilt genau so in jedem Bezugsystem. Eine ideale Flüssigkeit zeichnet sich also genau dadurch aus, dass sich ihr gemittelter
und zweier skalaren
Energie-Impuls-Tensor in dieser Form als Funktion des Strömungsfeldes
Felder und darstellen lässt. Ihnen kommt dann die Bedeutung des Druckes und der Energiedichte im Ruhesystem zu.
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(14.68)
(14.69)
(14.70)
Aufgabe 14.14 Für den Energie-Impuls-Tensor eines einzelnen, massiven Teilchens gilt auch auf
einer gekrümmten Raumzeit die Darstellung (14.43),
Materie in der gekrümmten Raumzeit
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174
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Jetzt müssen wir nur noch einen Schritt tun, nämlich alles, was wir bisher über Dichten, Ströme
und Flüsse gesagt haben, gemäß unserer Übersetzungsvorschrift auf eine gekrümmte Raumzeit
(14.71)
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wobei
eine Eigenzeit-Darstellung der Weltlinie und
die 4-Geschwindigkeit
ist. Welche Bedingung muss diese Weltlinie erfüllen, damit der Energie-Impuls-Tensor die Kontinuitätsgleichung (14.70) erfüllt.
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Doch nun genug der Vorrede, wir wollen uns jetzt ganz konkret überlegen, wie die Feldgleichungen der Gravitation aussehen können. Nach allem, was wir uns bisher überlegt haben, sollte sie
eine Beziehung herstellen zwischen der Krümmung der Raumzeit auf der einen Seite, und der
Verteilung von Energie und Impuls auf der anderen Seite. Ferner sollten sie in einem gewissen
Grenzwert in die Newtonsche Quellengleichung übergehen.
Nehmen wir also einmal an, auf der rechten Seite der Gleichung steht für die Materie der
. Bei Newton steht auf der rechten Seite die Massendichte, und wir
Energie-Impuls-Tensor
wissen bereits, dass für nichtrelativistische Materie die größte Komponente des Energie-ImpulsTensors die
-Komponente ist, und dass diese im wesentlichen die Massendichte ist. Das passt
also schon ganz gut zusammen.
Auf der linken Seite steht bei Newton die zweite räumliche Ableitung des Gravitationspotentials. Andererseits haben wir gesehen, dass das Gravitationspotential im Newtonschen Grenzfall
im wesentlichen die -Komponente der Metrik ist. Also sollte auf der linken Seite der Feldgleichung so etwas wie die zweite Ableitung der Metrik stehen. Und es sollte natürlich ein Tensor
sein.
Nun kennen wir bereits einen Tensor, der aus den zweiten Ableitungen der Metrik gebil. Ihn hatten wir in (10.73) als Funktion der
det wird, nämlich der Krümmungstensor
Christoffel-Symbole und deren Ableitungen dargestellt, und somit als Funktion der Metrik sowie ihrer ersten und zweiten Ableitungen. Wir müssen daraus nur einen Tensor zweiter Stufe
bilden, und ihn dann mit dem Energie-Impuls-Tensor gleichsetzen.
Das ist kein Problem, wir nehmen einfach den Ricci-Tensor (10.84), und machen folgenden
Ansatz für unsere Feldgleichung,
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wobei irgendeine Naturkonstante ist, die in irgendeiner Beziehung zur Newtonschen Konstante
stehen muss. Wir können sie später ermitteln, indem wir einen geeigneten Grenzfall diskutieren
und feststellen, ob die Theorie dann in die Newtonsche Theorie übergeht.
Aber nun gibt es ein Problem. Der Energie-Impuls-Tensor hat zwei Eigenschaften. Er ist erstens symmetrisch. Das ist der Ricci-Tensor auch. Aus dieser Eigenschaft ergibt sich also kein
Problem. Zweitens erfüllt er die Kontinuitätsgleichung (14.70). Das gilt für den Ricci-Tensor im
allgemeinen nicht.
Zunächst ist das auch kein Problem. Dann folgt eben aus der Feldgleichung, dass es es tut. Aber
das führt zu einer zusätzlichen Konsistenzbedingung, die für eine Quellengleichung untypisch ist.
Erinnern wir uns noch einmal an die Maxwell-Gleichung
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(14.73)
Hier war es so, dass die Quellengleichung die Kontinuitätsgleichung für die Quelle quasi erzwungen hat, denn es gilt die Identität
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Die zweite Stelle, an der wir ein wenig aufpassen müssen, ist die Definition von gemittelten,
oder verschmierten Flüssen. Auch dort hatten wir Tensoren über einen gewissen Raumbereich
integriert, und genau genommen ist das in einer gekrümmten Raumzeit nicht möglich.
Wir müssen daher, wenn wir auch in der allgemeinen Relativitätstheorie mit gemittelten
Flüssen arbeiten wollen, entweder voraussetzen, dass wir nur jeweils über ein kleines Volumen
mitteln, in dem wir die Krümmung der Raumzeit vernachlässigen können, oder wir müssen annehmen, dass die kontinuierliche Beschreibung der Materie durch glatte Flüsse in der Raumzeit
bereits die richtige ist, zum Beispiel weil die Materie ja in Wirklichkeit nicht aus lokalisierten
Teilchen sondern aus verschmieren Quanten besteht.
Uns bleibt an dieser Stelle leider nichts anderes übrig als gar nicht erst nach einer Rechtfertigung für diese Annahme zu suchen. Denn tatsächlich erreichen wir hier bereits die Grenzen den
allgemeinen Relativitätstheorie, bevor wir ihre Details überhaupt kennen gelernt haben. Es ist bis
heute nicht gelungen, die allgemeine Relativitätstheorie an dieser Stelle auf eine Basis zu stellen,
die mit der Quantentheorie in Einklang steht.
Mit anderen Worten, wir müssen einfach postulieren, dass die Verteilung der Materie in der
Raumzeit durch einen glatten Energie-Impuls-Tensor beschrieben wird. Für alle praktischen Anwendungen ist das eine gerechtfertigte Annahme, denn alle Objekte, für die die Gravitation als
Wechselwirkung eine Rolle spielt, sind große Vielteilchensystem, die wir in sehr guter Näherung
als klassische, kontinuierliche Materieverteilungen beschreiben können.
Alles, was wir in Kapitel 13 über die Dynamik von Punktteilchen und die Verträglichkeit der
allgemeinen Relativitätstheorie mit der Quantenphysik gesagt haben, müssen wir deshalb an dieser Stelle wieder etwas relativieren. Die Argumente, die wir dort verwendet haben, gelten nur
solange, wie wir von Testteilchen sprechen, also von Teilchen, die so klein sind, oder genauer, die
so wenig Energie und Impuls besitzen, dass sie das Gravitationsfeld nicht nennenswert beeinflussen.
In der Elektrodynamik existiert das Problem zwar auch, aber dort ist es weniger kritisch. Das
liegt daran, dass die Feldgleichungen der Elektrodynamik linear sind. Deshalb ist es durchaus
möglich, punktförmige Ladungen zu betrachten. Wir haben den Feldstärketensor für so eine
Ladung in Kapitel 6 sogar ausgerechnet. Es ist eine der einfachsten Lösungen der MaxwellGleichung. Das einzige Problem ist, dass der Feldstärketensor an der Stelle, an der die Ladungsdichte singulär ist, ebenfalls singulär wird, aber in einer leicht kontrollierbaren Weise.
Wie wir gleich sehen werden, sind die Feldgleichungen der Gravitation jedoch nichtlinear. Deshalb ist es nicht mehr so leicht möglich, die Singularitäten zu kontrollieren, die auftreten würden,
wenn wir eine körnige Quelle betrachten, also eine, die aus punktförmig lokalisierten Teilchen
besteht. Aber wie gesagt, für alle praktischen Anwendungen der allgemeinen Relativitätstheorie
als Theorie der Gravitation ist es ohnehin sinnvoll, von einer kontinuierlichen Materieverteilung
auszugehen.
Die Quellengleichung
(14.74)
Dasselbe sollte auch für die Quellengleichung der Gravitations gelten. Sie sollte die Kontinuitätsgleichung für die Quelle erzwingen. Auf der linken Seite der Gleichung sollte also ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe stehen, den wir aus dem Krümmungstensor ableiten können, und für
den die Gleichung (14.70) als Identität gilt.
Nun haben wir einen solchen Tensor schon einmal gesehen, und zwar in Aufgabe 10.24. Es ist
der Einstein-Tensor
(14.75)
(14.80)
!
00
~
"
Das ist die klassische Massendichte ist. Sie hängt natürlich auch nur vom Ort ab, wenn die Materie
ruht. Also ist die Quellengleichung genau dann erfüllt, wenn
(14.81)
00
ä
~
00 ä
!
!
"
#
W
Y
Damit das in die Newtonschen Quellengleichung (13.3) übergeht, muss offenbar
sein.
Eingesetzt in den Ansatz (14.76), mit dem Ricci-Tensor und dem Krümmungsskalar explizit ausgeschrieben, ergibt sich die Einstein-Gleichung in der traditionellen Form
%i
ä
.> &.
 .>
>U.

W
.>
Wenn wir also den folgenden Ansatz für die Feldgleichung machen,
d c
Wir wollen nun zeigen, dass diese Metrik (14.78) die Quellengleichung (14.76) erfüllt, wenn auch
ruht. Was heißt das? Es bedeutet, dass
die Materie relativ zu dem Koordinatensystem
nur eine Komponente des Energie-Impuls-Tensors von Null verschieden ist, nämlich
Aufgabe 14.15 Man zeige, dass diese Schlussfolgerung auch dann noch gilt, wenn man alle Ableitungen durch kovariante Ableitungen ersetzt. Mit anderen Worten, auch auf einer gekr ümmten
Raumzeit folgt die elektrische Ladungserhaltung aus den Maxwell-Gleichungen.
~
(14.76)
ä
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(14.82)
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.>
.> (14.77)
(
~& .
&.
ä
Jetzt sind wir so gut wie am Ziel, denn die Gleichung (14.76) ist die gesuchte Quellengleichung
für die Gravitation. Sie trägt den Namen Einstein-Gleichung. Wir müssen jetzt nur noch die Konstante bestimmen.
Dazu greifen wir noch einmal auf die Newtonsche Theorie zurück. Sie soll sich in einem bestimmten Grenzfall ergeben, und zwar dann, wenn sich die Materie nur langsam bewegt, und die
Gravitationsfelder schwach sind. Wir werden den Grenzfall schwacher Gravitationsfelder später
noch sehr viel genauer untersuchen, daher werden wir jetzt einfach einen sehr gut motivierten
Ansatz machen, der nur dazu dient, die Konstante zu bestimmen.
Wir betrachten eine Raumzeit-Mannigfaltigkeit mit der Metrik
ä
!
d
Dc
D
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W
D
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W
D
Ÿ
(14.78)
wobei wir wieder annehmen, dass
ist. Das heißt, wir werden im folgenden alle Terme der
Ordnung und höher vernachlässigen. Ferner wollen wir annehmen, dass die Metrik statisch ist,
das heißt das Gravitationspotential soll nur von der räumlichen Koordinaten
abhängen.
Wir kennen diese Metrik schon aus dem letzten Kapitel, wo wir sie in (13.52), ebenfalls ohne
weitere Motivation, als Metrik der Raumzeit im Newtonschen Grenzfall der allgemeinen Relativitätstheorie eingeführt haben.

d c
!
#
W
00 #
wobei
der gewöhnliche, aus den Ableitungen ,
und
gebildete Laplace-Operator ist.
Alle anderen Komponenten des Einstein-Tensors verschwinden.
Wir haben also eine Gleichung gefunden, die eine Beziehung herstellt zwischen der Krümmung
der Raumzeit auf der einen Seite, und der Verteilung der Materie auf der anderen Seite. Jetzt
müssen wir diese Gleichung nur noch testen, das heißt wir müssen Lösungen finden und sie mit
der Wirklichkeit vergleichen. Das wird im wesentlichen das Thema der restlichen Vorlesung sein.
15 Die Schwarzschild-Metrik
?f
?œ
?›
Den einzigen Beleg für die Richtigkeit der Feldgleichung (14.82), den wir bis jetzt haben, ist,
dass sie für schwache Gravitationsfelder und langsam bewegte Materie in die Newtonsche Feldgleichung übergeht, so wie die Elektrodynamik im Grenzfall langsam bewegter Ladungen in die
Elektrostatik übergeht. Das ist natürlich zwingend erforderlich, denn in diesem Grenzfall beschreibt die Newtonsche Theorie die Physik sehr genau. Das gilt sowohl für die irdische Physik,
als auch für die Dynamik des Sonnensystems, was ja gerade der große historische Erfolg der
Newtonschen Theorie war.
Doch was passiert, wenn die Gravitationsfelder stark werden, oder die Geschwindigkeiten
groß? Dann bricht die Newtonsche Theorie zusammen, und wir müssen die Einsteinschen Gleichungen exakt, oder zumindest in einer besseren Näherung lösen, um eine Voraussage zu machen.
Wir wollen deshalb in diesem Kapitel die einfachste, nicht triviale Lösung der Einsteinschen Gleichungen herleiten und diskutieren. Sie wurde 1916 von Karl Schwarzschild gefunden, also bereits
ein Jahr nachdem Einstein seine Feldgleichungen in ihrer endgültigen Form publiziert hatte.
Die sogenannte Schwarzschild-Metrik beschreibt das Gravitationsfeld eines nicht rotierenden,
kugelsymmetrischen Himmelskörpers, also das Analogon zum ‘ ’-Potential in der Newtonschen Theorie. Sie ist die Voraussetzung dafür, alle im Sonnensystem relevanten Effekte zu diskutieren, für die die allgemeine Relativitätstheorie vielleicht eine andere Aussage macht als die
Newtonsche Theorie.
176
)
Aufgabe 14.16 Man berechne den Einstein-Tensor für die Metrik (14.78) und zeige, dass bis auf
und höher
Term der Ordnung
(14.79)
.>
~%i
>U.

W
 .>
dann erzwingt diese die Kontinuitätsgleichung für die Materie, genau so wie die MaxwellGleichung die Kontinuitätsgleichung für die Ladung erzwingt,
Statische, kugelsymmetrische Raumzeiten
D
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2
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J
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2U
00 U
é
wobei die Komponenten
und
der Metrik nur von den räumlichen Koordinaten , nicht
aber von der Zeit abhängen. Ferner soll
eine positive Metrik sein, und es muss
gelten. Sonst wäre die Bezeichnung Raum und Zeit nicht sinnvoll.
Mit anderen Worten, eine statische Raumzeit ist eine Mannigfaltigkeit, die sich ähnlich wie
der flache Minkowski-Raum bezüglich eines ausgewählten Inertialsystems in Raum und Zeit zerder Metrik
legen lässt. Der Raum darf jetzt aber gekrümmt sein, und die Zeitkomponente
darf vom Ort abhängen kann. Letzteres bedeutet, dass es eine Zeitdilatation zwischen Uhren an
verschiedenen Orten geben kann. Wir hatten bereits festgestellt, dass dies in Gravitationsfeldern
typischerweise der Fall ist.
(15.3)
¤
00 U
2U
Hier haben wir
gesetzt, denn auch die Zeitkomponente der Metrik darf natürlich nur
vom Radius abhängen, wenn die Raumzeit kugelsymmetrisch sein soll.
Jetzt machen wir noch eine zusätzliche Annahme, die zwar nicht zwingend begründet werden
kann, die sich aber im Nachhinein als richtig erweisen wird. Wir nehmen an, dass der Oberflächenradius der Sphären eine monotone Funktion des Abstandes vom Zentrum ist. Mit
anderen Worten, je weiter wir uns vom Mittelpunkt des Sterns entfernen, desto größer wird die
Oberfläche der Sphäre, auf der wir uns befinden. Das ist natürlich vernünftig.
Dann können wir statt der Koordinate auch den Oberflächenradius als Koordinate verwenden. Dadurch vereinfacht sich der Ausdruck für die Metrik zwar nicht, aber die Rechnung wird
später etwas einfacher. Die Metrik wird dann durch zwei unbekannte Funktionen
und
parametrisiert, und ist von der Form
00 U
2
Wir wollen also das Gravitationsfeld eines statischen, kugelsymmetrischen Himmelskörpers berechnen. Das heißt, wir wollen die Einstein-Gleichung lösen für eine Materieverteilung, die gewisse Symmetrien besitzt. Wir gehen stillschweigend davon aus, dass dann auch das Gravitationsfeld diese Symmetrien besitzt. Das ist eine vernünftige, aber wir wie später sehen werden
durchaus nicht notwendige Bedingung.
Das wichtigste bei einer solchen Aufgabe ist es, die Raumzeit-Koordinaten möglichst geschickt
zu wählen. Beginnen wir mit dem Begriff statisch. Eine Raumzeit-Mannigfaltigkeit soll genau
dann statisch heißen, wenn es eine Koordinate und drei weitere Koordinaten
gibt, mit den
folgenden Eigenschaften. Die Metrik hängt nicht von der Zeit ab, und der Raum ist zur Zeit
orthogonal. Es gilt dann
(15.1)
Durch die spezielle Wahl der Koordinaten nimmt die Metrik einer statischen, kugelsymmetrischen Raumzeit dann die folgende Form an,
J
æ!
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å
D
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é
D
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O
Das ist also der Ansatz für eine statische, kugelsymmetrische Raumzeit.
Aufgabe 15.2 Welche Beziehung besteht zwischen der Funktion
in (15.3)?
!
é
in (15.4) und der Funktion
"!
"
Aufgabe 15.3 Man finde alle Killing-Vektoren der Metrik (15.4).
Der Einstein-Tensor
Jetzt kommen wir zu der schwierigsten Aufgabe. Wir müssen für die Metrik (15.4) den EinsteinTensor berechnen. An dieser Stelle zahlt sich zum ersten Mal das Programm aus Aufgabe 10.16
aus. Aber das Problem lässt sich auch noch recht gut von Hand bewältigen. Wir geben hier die
wesentlichen Zwischenschritte an. Zunächst schreiben wir noch einmal die Metrik
in Komponenten auf,
>U.
Zusätzlich verlangen wir, dass der Raum kugelsymmetrisch ist. Anschaulich heißt das, dass wir
uns den Raum aus einzelnen Sphären bestehend vorstellen können, die wie Zwiebelschalen ineinander liegen. Jede solche Sphäre ist durch ihren metrischen Abstand vom Mittelpunkt des
Sterns eindeutig festgelegt, und auf jeder solchen Sphäre führen wir die üblichen sphärischen
Koordinaten
ein. Und zwar so, dass die auf der Sphäre induzierte Metrik von der Form
Ÿ
00 U
Aufgabe 15.1 Man zeige, dass die Metrik (15.1) eine einparametrige Isometriegruppe besitzt und
bestimme das zugehörige Killing-Vektorfeld.
(15.4)
å
æ
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(15.5)
ë
Uë
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O
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Die Metrik ist diagonal, dass heißt unsere Koordinaten bilden ein orthogonales Koordinatensyangeben,
stem, und wir können sofort die inverse Metrik
.> U
"!
ist. Hier ist
der Oberflächenradius der Sphäre, der in einem gekrümmten Raum nicht mit dem
metrischen Abstand vom Zentrum identisch sein muss. Unsere drei räumlichen Koordinaten
.
sind also
Jetzt haben wir noch die Freiheit, die einzelnen Sphären gegeneinander zu verdrehen, das heißt
unabhängig voneinander festlegen. Wir tun
wir können auf jeder Sphäre die Koordinaten
dies so, dass das Koordinatensystem orthogonal ist, das heißt der Basisvektor
soll zu
und
senkrecht stehen. Anschaulich heißt das, dass wir die einzelnen Schalen so ineinander legen,
dass Punkte mit den gleichen sphärischen Koordinaten jeweils übereinander liegen.
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(15.2)
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(15.6)
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Ein wenig komplizierter ist dann schon die Bestimmung des Christoffel-Symbols, das wir mit
Hilfe der Formel (10.60) berechnen müssen,
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177
(15.7)
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Wir müssen jetzt über die gerade berechneten die Diagonalelemente von
Ergebnis ist ein etwas längerer Ausdruck,
summieren. Das
Man sollte sich zunächst überlegen, welche Komponenten überhaupt von Null verschieden sind.
Da das Christoffel-Symbol im wesentlichen aus den ersten Ableitungen der Metrik besteht, muss
mindestens ein Index auftreten, weil die Komponenten der Metrik nur von abhängen. Bis auf
eine Ausnahme,
hängt nämlich von auch ab. Außerdem müssen die beiden anderen Indizes
gleich sein, denn die Metrik ist diagonal. Es kommen daher nur die Kombinationen - - , wobei
irgendein anderer Index ist, oder die spezielle Kombination - - in Frage. Im einzelnen ergibt
sich
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L
L
L
L
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4
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(15.12)
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Und schließlich können wir daraus den Einstein-Tensor berechnen,
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U
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(15.13)
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W
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Es genügt, die folgenden Komponenten zu kennen,
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é
ê
Aufgabe 15.4 Man prüfe alle hier durchgeführten Rechnungen nach.
å
å
Aufgabe 15.5 Zwischen der - -Komponente und der - -Komponente des Ricci-Tensors
(15.10) besteht derselbe Zusammenhang wie zwischen den entsprechenden Komponenten der Metrik. Außerdem ist
die einzige Komponente, die von abhängt, sonst hängen alle Komponenten des Ricci-Tensors nur von ab. Warum ist das so, und warum gilt das f ür jeden symmetrischen,
aus der Metrik abgeleiteten Tensor zweiter Stufe, zum Beispiel für den Einstein-Tensor?
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(15.9)
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Als nächstes müssen wir den Riemann-Tensor, dann den Ricci-Tensor berechnen. Das ist der
komplizierteste Teil der Rechnung. Da wir den Riemann-Tensor niemals wieder brauchen werden,
ist es am einfachsten, wenn wir direkt den Ricci-Tensor aus dem Christoffel-Symbol ermitteln.
Wir verwenden dazu die Formeln (9.56) und (10.84),
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ë
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(15.8)
(15.14)
.> Aufgabe 15.6 Wie wir wissen, gilt für den Einstein-Tensor die Identität
. Aus der
ist, und dass dies die einzige von
vorherigen Aufgabe folgt außerdem, dass
abhängige Komponente ist. Man benutze diese Eigenschaften des Einstein-Tensors, um
und
als Funktionen von
und
auszudrücken.
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00
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Jetzt bleibt uns nichts anderes übrig als das Christoffel-Symbol einzusetzten. Es stellt sich heraus, dass nur die Diagonalelemente von Null verschieden sind, und für diese ergeben sich die
folgenden Ausdrücke,
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• ”
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W
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LO $ LO $
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LO
Die äußere Metrik
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.> ~ 00
Jetzt können wir daran gehen, die Einstein-Gleichung zu lösen. Wir beginnen mit dem einfacheren Teil, nämlich mit der Metrik außerhalb des Himmelskörpers. Dort befindet sich keine Materie,
das heißt der Energie-Impuls-Tensor
verschwindet. Also muss auch der Einstein-Tensor verschwinden. Aus der Gleichung
ergibt sich eine einfache Differentialgleichung für die
Funktion
,
!
é
D

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(15.10)
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(
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Als nächstes berechnen wir daraus den Krümmungsskalar (10.86),
(15.15)
]
wobei eine Integrationskonstante ist. Die allgemeine Lösung ist also
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.> U

(15.11)
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178
(15.16)
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oder
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] ñ
(15.23)
ð
Die Konstante hat offenbar die Dimension einer Länge, das heißt sie setzt eine räumliche Skala.
Die Frage nach der Bedeutung dieser Skala wird uns noch eine Weile beschäftigen.
Doch zunächst lösen wir die anderen Komponenten der Einstein-Gleichung. Aus der Gleichung
ergibt sich eine Differentialgleichung für die Funktion
,
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O
ê
ê
Das heißt, weit weg vom Zentrum lautet das Linienelement
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LO
(15.17)
] W
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Dc
D
!
(15.24)
g
g
]
]
Das ist das Newtonsche Potential für einen kugelsymmetrischen Himmelskörper der Masse ,
wenn wir
setzen. Die Integrationskonstante definiert demnach die Masse des Himmelskörpers, von dem das Gravitationsfeld erzeugt wird.
Ausgedrückt durch diesen Parameter lauten somit die Komponenten der Metrik (15.4) außerhalb des Himmelskörpers
W
ï
] !
O
ï
wobei eine weitere Integrationskonstante ist.
Damit haben wir die allgemeinste statische, kugelsymmetrische Metrik gefunden, die die
Einstein-Gleichung im Vakuum erfüllt. Sie ist durch das folgende Linienelement gegeben,
Ÿ
(15.18)
W
I
D
!
W
D
O
Diese können wir leicht integrieren, zum Beispiel durch Separation der Variablen. Die allgemeine
Lösung ist
mit
Ö
ð
g W
Õ
(15.25)
g
]
]
Wir sollten jedoch im Auge behalten, dass diese Definition der Masse
noch nichts mit dem
Himmelskörper selbst zu tun hat. Den haben wir uns bis jetzt noch gar nicht angeschaut. Wir
eine sehr
haben nur die Einstein-Gleichung außen herum gelöst. Trotzdem hat der Parameter
anschauliche Bedeutung, und es ist sinnvoll, ihn Masse zu nennen. Weit entfernt vom Zentrum
sieht das Gravitationsfeld so aus wie das eines kugelförmigen Körpers der Masse
in der Newdeshalb als schwere Masse des Objektes einzusetzen,
tonschen Theorie. Auf jeden Fall ist
wenn wir zum Beispiel nach der Anziehungskraft im klassischen Sinne fragen, die es auf einen
weit entfernten Testkörper ausübt.
g
ï
g
Die Integrationskonstante haben wir gleich Eins gesetzt. Wir können sie offenbar durch eine
Reskalierung der Zeitkoordinate auffangen, das heißt sie hat keine physikalische Bedeutung.
Die Metrik besitzt also nur einen einzigen freien Parameter . Welche Bedeutung hat dieser
Parameter? Zunächst stellen wir fest, dass sich für
die Metrik des flachen MinkowskiRaumes ergibt, dargestellt in Kugelkoordinaten,
!
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(15.19)
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] •” ñ
W
(15.26)
Hier haben wir die Newtonsche Konstante in Einheiten angegeben, in denen die Lichtgeschwindigkeit gleich Eins gesetzt ist.
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] )

])
vernachlässigen,
] g
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”
–嘙
] •” ñ
W
ð
, wenn wir Terme der Ordnung
Aber was bedeutet in diesem Zusammenhang eigentlich weit weg? Wir hatten eine Näherung
durchgeführt und dabei angenommen, dass
gilt. Nun haben wir gesehen, dass
ist, das heißt unsere Näherung gilt für
. Offenbar definiert die Masse
des Himmelskörpers eine Skala. Wir bezeichnen sie mit
und nennen sie den Schwarzschild-Radius
des Himmelskörpers,
] g 
× W
×
]
Dann gilt für
(15.21)
Der Schwarzschild-Radius
W
Diese Metrik ist natürlich eine Lösung unseres Problems, denn der Minkowski-Raum erfüllt alle
gestellten Bedingungen. Er ist sicher kugelsymmetrisch und statisch, denn die Zeitverschiebungen und die räumlichen Rotationen sind in der Poincaré-Gruppe enthalten. Ferner ist jede flache
Raumzeit eine Lösung der Einstein-Gleichung, wenn keine Materie vorhanden ist.
Der Fall
entspricht also der trivialen Lösung, bei der überhaupt kein Himmelskörper
vorhanden ist. Wir vermuten daher, dass etwas mit der Masse des Himmelskörpers zu tun hat.
, also weit weg vom Zentrum
Um das heraus zu finden, betrachten wir die Metrik (15.19) für
des Gravitationsfeldes. Dort ist die Metrik beinahe flach, das heißt sie weicht nur sehr wenig
von der Minkowski-Metrik (15.20) ab. Wir können sie auf die Form (14.78) der Newtonschen
Näherung bringen, wenn wir die folgende Koordinatentransformation durchführen,
ò
179
g
W
Aufgabe 15.7 Wo tritt in der Beziehung
nicht gleich Eins gesetzt ist?

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•” D
å
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I
D
ð
D
d
c
D
(15.22)
die Lichtgeschwindigkeit auf, wenn sie
g


ò
+
g


passiert mit dieser Metrik etwas ganz merkwürdiges. Sie ist dort genau
An der Stelle
genommen gar nicht mehr definiert. Dies ist aber nach unserer Herleitung, die einzige Metrik, die
die am Anfang gestellten Bedingungen erfüllt, also kugelsymmetrisch, statisch und eine Lösung
der materiefreien Einstein-Gleichung ist.
Daraus können wir folgenden sehr interessanten Schluss ziehen. Wenn die Metrik weit weg von
beschreibt,
der Quelle das Gravitationsfeld eines kugelsymmetrischen Objektes der Masse
dann kann dieses Objekt nicht kleiner sein als sein Schwarzschild-Radius
. Denn
wenn die Metrik der Raumzeit überall wohldefiniert sein soll, dann muss irgendwo bei
die Materie, sprich der Himmelskörper anfangen.
W
g
Um uns eine Vorstellung von den Größenordnungen zu machen, betrachten wir zwei bekannte
Himmelskörper, die Sonne und die Erde, ein eher handliches Objekt, zum Beispiel eine Eisenkugel, sowie einen großen Atomkern, also ein sehr dichtes aber kleines Objekt. Wir geben jeweils
des Objektes, seinen tatsächlichen Radius , sowie den Schwarzschild-Radius
die Masse
an,
g
ò
+
ò

+
i
Der Oberflächenradius
eines statischen, kugelsymmetrischen Körpers der Masse
kann nicht kleiner sein als sein Schwarzschild-Radius
.
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g
W
g

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fm
g
g Wj
W

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ó
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cm
ó
kg
km
h ö ÷
ô
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km
km
Eisenkugel
Atomkern
kg
õ Erde
kg
+ W
Sonne
(15.27)

ò
g

Wj
Es ist also im Prinzip kein Problem, einen kugelsymmetrischen Himmelskörper herzustellen, der
kleiner ist als sein Schwarzschild-Radius. Aber welche physikalische Konsequenzen das hat, ist
zunächst ein wenig rätselhaft. Ein solcher Körper kann offenbar kein statisches Gravitationsfeld
mehr besitzen. Also kann er selbst offenbar auch nicht mehr statisch sein. Diese Vermutung liegt
zumindest nahe. Es kann für einen solchen Körper keinen Gleichgewichtszustand mehr geben, in
dem sich Druck und Gravitation ausgleichen.
Was das konkret bedeutet, damit werden wir uns in Kapitel 18 genauer auseinandersetzen. Hier
wollen wir zunächst eine etwas realistischere Physik betrieben, das heißt wir wollen annehmen,
dass der Himmelskörper größer ist als sein eigener Schwarzschild-Radius. Die Metrik (15.28) gilt
.
dann außerhalb des Himmelskörpers, das heißt für
j
+
Die innere Metrik
Die Bestimmung der Metrik in Innern des Himmelskörpers ist ein wenig komplizierter, denn
hier müssen wir die Einstein-Gleichung unter Anwesenheit von Materie lösen. Die exakte Metrik
hängt deshalb sehr stark davon ab, aus welcher Art von Materie der Himmelskörper besteht und
Ö
D
Ö
æ!
–å
•”
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g W
Õ
g W
Õ
Ÿ
(15.28)
+
Der Schwarzschild-Radius ist nicht nur im Rahmen der Newtonschen Näherung weit weg von
dem Himmelskörper von Bedeutung. Er tritt auch ganz explizit in der exakten, sogenannten
Schwarzschild-Metrik (15.19) auf,
Aufgabe 15.9 Wieviele Sonnen müsste man dicht an dicht zu einem kugelförmigen Haufen zugleich
sammen packen, damit für den so entstandenen Superstern der Schwarzschild-Radius
dem tatsächlichen Radius
ist?

Aufgabe 15.8 Es gibt Himmelskörper, die die Dichte von Atomkernen haben. Sie bestehen einfach nur aus Neutronen und heißen deshalb Neutronensterne. Sie k önnen entstehen, wenn die
Kernreaktion in einem Stern erlischt und der Stern dann unter seinem eigenen Gewicht kollabiert. Der Druck wird dann so groß, dass Atome ihn nicht mehr stabilisieren k önnen. Welche
Masse, ausgedrückt in Vielfachen der Sonnenmasse, muss ein Neutronenstern etwa haben, damit
sein Schwarzschild-Radius gleich dem tatsächlichen Radius ist?
Das ist zwar eine sehr merkwürdige Schlussfolgerung, aber sie ergibt sich direkt aus unserer
Herleitung. Es würde sich sonst ein Widerspruch zu den Einstein-Gleichungen ergeben.
Aber wie sollen wir uns das praktisch vorstellen? Wer, abgesehen von einem sehr großen
Druck, den wir zu überwinden hätten, hindert uns daran, die Erde auf eine Kugel vom Radius
mm zusammen zu pressen? Oder die Sonne auf eine Radius von km? Je größer das Objekt
wird, desto weniger Druck müssen wir dabei überwinden. Es ist also durchaus vorstellbar, dass
ein sehr großes astronomisches Objekt gerade so groß ist wie sein Schwarzschild-Radius. Als
realistisches Beispiel haben wir schon den Neutronenstern aus Aufgabe 15.8 kennen gelernt.
i
g
g
Der Schwarzschild-Radius der Sonne ist um etwa fünf Größenordnungen kleiner als sie selbst.
Wir können daraus schließen, dass die Newtonsche Näherung in der Nähe der Sonne schon recht
genau ist. Allerdings wurde das Gravitationsfeld der Sonne durch die Beobachtung der Planetenbahnen über die Jahrhunderte auch sehr genau vermessen. Es bestehen also durchaus Chancen,
eine Abweichung von der Newtonschen Theorie anhand der Planetenbahnen nachzuweisen.
Für die Erde liegt das Verhältnis aus dem tatsächlichem Radius und dem Schwarzschild-Radius
schon bei etwa neun Größenordnungen. Die Newtonsche Näherung gilt in der Umgebung der Erde
demnach sehr genau, und wir haben weniger Chancen, einen Effekt der allgemeinen Relativitätstheorie zu sehen, der in der Newtonschen Näherung nicht erklärt werden kann. Noch extremer
sieht es für eine Eisenkugel aus, und jenseits von jeder Vorstellung liegt der Schwarzschild-Radius
für einen Atomkern, obwohl dieser eine sehr große Dichte hat, so dass seine Abmessungen klein
im Vergleich zu seiner Masse sind.
Offenbar erreicht der Schwarzschild-Radius nur für sehr massive astronomische Objekte ein
Größenordnung, die mit der des Objektes vergleichbar ist. Nur für solche Objekte wird die allgemeine Relativitätstheorie praktisch relevant. Das liegt daran, dass der Schwarzschild-Radius mit
zunimmt, die Abmessung des Objektes aber nur ungefähr mit der dritten Wurzel aus .
180
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(15.35)
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~
Diese Gleichung hat eine anschauliche Bedeutung. Sie besagt, dass der Gradient des Druckes
einen ganz bestimmten Wert haben muss, damit der Stern im Gleichgewicht bleibt. In der Newtonschen Näherung ist
, wobei
ein kugelsymmetrisches Potential ist.
Ferner gilt für nichtrelativistische Flüssigkeiten
, und ist die klassische Massendichte. In
diesem Fall reduziert sich die Gleichung (15.35) zu
O
(15.29)
triviale Bedingung, nämlich
L
welche Reaktionen dort ablaufen. Denn das bestimmt letztlich den Energie-Impuls-Tensor der
Materie.
Wir wollen hier die einfachst mögliche Annahme machen. Der Himmelskörper soll aus einer
idealen Flüssigkeit bestehen. Und natürlich soll er, das war ja unsere Annahme ganz am Anfang, kugelsymmetrisch und statisch sein. Im letzten Kapitel haben wir gezeigt, dass der EnergieImpuls-Tensor einer idealen Flüssigkeit von der Form (14.68) ist,
"
.Þ
wobei
das Strömungsfeld, der Druck und die Dichte der Flüssigkeit ist, letzteres jeweils
im lokalen Ruhesystem der Flüssigkeit gemessen.
Für die Metrik machen wir natürlich wieder denselben statischen, kugelsymmetrischen Ansatz,
w
"
"
!
D !
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L
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çU
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é
Was heißt es nun, dass der Körper ebenfalls statisch und kugelsymmetrisch sein soll? Statisch
bedeutet, dass die Flüssigkeit nicht durch den Raum strömt, sondern in Ruhe ist, und dass Druck
und Dichte nicht von der Zeit abhängen. Kugelsymmetrisch heißt, dass Druck und Dichte auch
nicht von und abhängen. Also sind und reine Funktionen von , und die räumlichen
müssen überall verschwinden.
Komponenten des Strömungsfeldes
Da
ein positiv zeitartiger Einheitsvektor ist, also
und
, liegen
seine Komponenten damit eindeutig fest,
w
–å
•”
êê U
!
O
00 U
(15.30)
(15.36)
å
w
"
æ
Das ist genau die Stabilitätsbedingung in der Newtonschen Gravitationstheorie. Die Kraft, die der
Gradient des Druckes auf ein Flüssigkeitselement ausübt, wird gerade durch die Gravitationskraft
ausgeglichen, die proportional zum Gradient des Potentials und der Massendichte ist. Die Gleichung (15.35) gilt nun aber exakt, und auch dann noch, wenn das Gravitationsfeld stark oder der
Druck groß wird.
Als nächstes müssen wir die Einstein-Gleichungen aufstellen. Den Einstein-Tensor haben wir
bereits in (15.14) berechnet. Mit dem Energie-Impuls-Tensor aus (15.32) ergibt sich
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0Þ
(15.31)
(15.37)
ø
Setzen wir das in (15.29) ein, ergeben sich die folgenden Komponenten des Energie-ImpulsTensors,
Aufgabe 15.10 Warum genügt es, diese beiden Komponenten der Einstein-Gleichung zu l ösen?
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çç
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O
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w !
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(15.38)
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w •”
~
(15.32)
heraus, und wir können sie wie folgt umschrei-
!
O
Aus der ersten Gleichung fällt die Funktion
ben,
!
é
durch eine andere unbekannte Funktion
(15.39)
(
é
!
!
Ö
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W
Õ
W
!
é
Dann schreiben wir die Kontinuitätsgleichung in der folgenden Form auf,
, und
!
Wir ersetzen die unbekannte Funktion
zwar so, dass
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w
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w
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!
w
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~
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"
0 0
~
Bevor wir daran gehen, die Einstein-Gleichungen zu lösen, wollen wir zunächst überprüfen, ob
die Kontinuitätsgleichung für diesen Tensor erfüllt ist. Dazu ist es nützlich, den ersten Index des
Energie-Impuls-Tensors nach oben zu ziehen. Dann vereinfacht sich nämlich seine Darstellung
zu
(15.33)
Dann vereinfacht sich die Gleichung (15.38) zu
$%
!
A
A.
,

+
, und eine bei

+
181
!
b
muss zwei Randbedingungen erfüllen, eine bei
Die Funktion
wobei
der Radius des Himmelskörpers ist.
ª
Wenn wir jetzt den Tensor (15.33) und das Christoffel-Symbol (15.8) einsetzen, so finden wir,
dass drei Komponenten dieser Gleichung exakt erfüllt sind. Nur für
ergibt sich eine nicht
(15.40)
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"
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A
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(15.34)
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w
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(15.41)
w
!
"
sein und folglich
!
w
!
!
é
Es muss also
Nehmen wir der Einfachheit halber an, die Dichte sei eine eindeutige Funktion des Druckes
. In diesem Fall erhalten wir ein gekoppeltes System von Differentialgleichungen für die Funkund
, nämlich (15.40) und (15.43), indem wir
als Funktion von
austionen
drücken.
Um diese zu lösen, geben wir als Anfangsbedingung
und
vor, das heißt
wir starten mit irgendeinem Druck im Zentrum des Himmelskörpers. Dann integrieren wir die
Differentialgleichungen nach außen. Der Druck nimmt dabei monoton ab, denn die linke Seite von
wohldefiniert ist, muss nämlich
(15.43) ist stets negativ. Damit die Funktion
sein. Sonst wäre in einer Kugel vom Radius wieder mehr Masse versammelt als erlaubt. Die
Kugel wäre kleiner als der Schwarzschild-Radius der darin enthaltenen Masse.
Die Funktion
nimmt also monoton mit ab. Das entspricht natürlich auch unserer physikalischen Intuition. Sollte der Druck an irgendeiner Stelle
Null werden, so haben wir
die Oberfläche des Planeten erreicht. Wir setzen
, und setzen die Metrik für
durch (15.28) fort. Zum Schluss müssen wir nur noch die Differentialgleichung (15.35) für
lösen. Hier gilt als Anfangsbedingung
, damit auch
bei
stetig ist.
Sollte die Funktion
nie Null werden, dann haben wir keinen richtigen Himmelskörper
vorliegen, sondern einen vollständig mit Materie gefüllten Raum. Auch das ist natürlich möglich.
stellen, dass im räumlich Unendlichen
In diesem Fall können wir als Randbedingung an
für
gelten soll, so dass dort die Zeitkoordinaten wieder mit der physikalischen Zeit übereinstimmt. Aber diesen Fall wollen wir nicht weiter untersuchen, da er nicht sehr
realistisch ist.
"
genau dann ein differenzierbares
auch bei
differenzierbar ist
Aufgabe 15.11 Man zeige, dass die Metrik (15.4) bei
Tensorfeld auf der Raumzeit-Mannigfaltigkeit ist, wenn
.
und
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w

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g
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O
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b
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+
g
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w
W
Aufgabe 15.12 Man leite im Rahmen der Newtonschen Gravitationstheorie die Gleichungen f ür
, den Druck
, und das Potential
im Innern eines Sterns her, und vergleiche
die Dichte
sie mit den hier hergeleiteten relativistischen Gleichungen (15.40) und (15.43).
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D ! !
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eliminieren
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Zusätzlich haben wir noch die Gleichung (15.35), aus der wir die Funktion
können, indem wir (15.42) einsetzen,
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g
(15.42)
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9 +
Das ist genau die gleiche Formel, die auch in der Newtonschen Physik gilt, wenn wir
als die
Masse interpretieren, die in einer Kugel vom Radius enthalten ist, und
als die Massendichte. Dieser Vergleich ist aber mit Vorsicht zu genießen, weil es sich zunächst um rein willkürlich
definierte Funktionen handelt. Außerdem ist das Integrationsmaß in (15.41) eigentlich das falsche.
Der Raum ist schließlich gekrümmt. Das Volumen einer Kugel mit dem Oberflächenradius ist
nicht
, und deshalb ist
auch nicht das richtige Integrationsmaß auf dem Raum.
Die Tatsache, dass genau dieselbe Formel in der Newtonschen Theorie auftritt, ist daher eher
ein Zufall. Trotzdem können wir
als die schwere Masse interpretieren, die sich in einer
Kugel mit Oberflächenradius aufhält, denn das stimmt mit unserer Interpretation des Parameters
in der Metrik (15.28) außerhalb des Himmelskörpers überein. Damit die Funktion
innen
in die entsprechende Funktion für die Metrik außen übergeht, muss offenbar
für
sein. Das ist die zweite Randbedingung, die
erfüllen muss.
Es bleibt dann noch die zweite Gleichung in (15.37), die sich nun wie folgt schreiben lässt,
Exakte Lösungen
! !!
w $% W
D ! (15.43)
L
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"
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w
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w
!
w
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"
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¤
+
+
!
"
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w
!
"
182
!
"
Diese Differentialgleichung heißt Tollman-Oppenheimer-Volkoff-Gleichung. Sie bestimmt in einem relativistischen Modell für einen Stern den Gradient des Druckes. Wenn wir die Funktion
und damit
kennen, können wir diese Differentialgleichung für
lösen. Als Randbedingung gilt hier, dass der Druck an der Oberfläche des Himmelskörpers gleich Null ist, also
.
Nun ist es im allgemeinen aber so, dass in einer idealen Flüssigkeit eine Zustandsgleichung gilt,
das heißt es gibt einen Zusammenhang zwischen Druck und Dichte. Das heißt, wir kennen die
gar nicht, bevor wir die Funktion
kennen. Dann müssen wir anders vorgehen.
Funktion
Um die Metrik im Innern eines Sterns zu bestimmen, müssen wir seine Zustandgleichung kennen,
das heißt wir müssen den Zusammenhang zwischen dem Druck und der Dichte kennen. Es liegt
in der Natur der Sache, insbesondere der Tollman-Oppenheimer-Volkoff-Gleichung (15.43), dass
sich die Differentialgleichungen nur für sehr spezielle Zustandsgleichungen exakt lösen lassen.
Wir wollen uns deshalb mit dem einfachsten Fall begnügen, nämlich dem einer inkompressiblen
Flüssigkeit.
Eine inkompressible Flüssigkeit zeichnet sich dadurch aus, dass ihre Dichte unabhängig vom
Druck ist. Wir können also annehmen, dass die Dichte im Innern des Himmelskörpers konstant
für
, und Null außerhalb,
für
. Das ist zumindest eine
ist,
gute Näherung für Planeten, deren Dichte sich im Innern, bis auf eine dünne Oberflächenschicht,
nur wenig ändert. Für Sterne sieht es schon ein wenig anders aus, aber wir wollen uns hier damit
begnügen, eine qualitative Vorstellung zu bekommen.
ýˆü
Aufgabe 15.13 Warum kann es in der relativistischen Physik eigentlich keine inkompressible
überall
Flüssigkeit geben? Warum muss insbesondere für jede Zustandsgleichung
gelten? Die Dichte eines Himmelskörpers kann also nur dann annähernd konstant
sein, wenn der Druck im Zentrum noch klein ist im Vergleich zur Dichte, das heißt die Fl üssigkeit
dort muss sich noch nichtrelativistisch verhalten.
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"
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Ž
Milchstraße
andere Galaxie
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Ž
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Betrachten wir also die zu lösenden Differentialgleichungen für einen Himmelskörper konstanter
Dichte
. Es ergibt sich dann unmittelbar aus (15.41), dass
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Ž
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(15.44)
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(b)
(a)
wobei
der Radius und
die Masse des Sterns ist. Das setzen wir in (15.43) ein,
und erhalten so eine Differentialgleichung mit Anfangswert für
,
g
+
+!


û ˆü
!
Abbildung 15.1: Die Zeitkomponente
der Metrik, die radiale Komponente
, der
und die Dichte
für einen Sterns, der um ein mehrfaches größer ist als sein
Druck
Schwarzschild-Radius (a), sowie für einen Stern, dessen Größe mit dem Schwarzschild-Radius
vergleichbar ist (b). Je kleiner das Verhältnis
, desto größer ist bei gleicher Dichte der
gibt die Zeitdilatation an, die eine ruhende Uhr im GraDruck im Zentrum. Die Funktion
vitationsfeld des Sterns erfährt. Je näher die Uhr dem Zentrum ist, umso langsamer geht sie im
Vergleich zu einer Uhr weit draußen.
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Ž
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w
(15.45)
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einführen, die wie folgt defi-
Ž
!
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Diese Gleichung lässt sich lösen, wenn wir eine Hilfsfunktion
niert ist,
w
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L + D "!
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W
Lï
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w
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ï
ï+
(
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w +w
+
D" D"
!
ï
(15.46)
ï+
werden wir gleich noch verfügen. Die Differentialgleichung (15.45) mit
Über die Konstante
Anfangsbedingung lautet dann
+
ï +
+!

ï
stetig in die Funktion (15.25)
00 U
!
O
-Komponente der Metrik, die wir aus (15.35)
ú
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L ï  +
ï
!
! L +w
w D"
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W
+
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ï
(15.48)

+ +"
" %i %i
! !
ï
Die Lösung ist
geht
!
é
Auch hier stimmt die Randbedingung. Für
außerhalb des Himmelskörpers über.
, also die
Was noch bleibt ist die Funktion
bestimmen können. Es muss gelten
Lï
(15.47)
(15.51)
ú
W
ist.
ausdrücken. Auflösen von (15.46) nach
!
ï
ï+
Die Konstante haben wir so gewählt haben, dass
Jetzt können wir alle gesuchten Funktion durch
ergibt
Auch diese Gleichung lässt sich leicht lösen. Wir finden
!
ï
!
w
g +

W
w
+!

(
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ï
!
+

ï
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+
(15.52)

+!

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+
g
+
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g
+!

é
(
ï
!

W
!
é
Den Vorfaktor, der sich aus (15.51) nicht ergibt, haben wir so gewählt, dass auch hier die Anerfüllt ist. Der Funktionswert
muss mit dem aus (15.25)
schlussbedingung bei
übereinstimmen.
Damit sind wir fertig. Wir haben die Metrik sowie die Verteilung der Materie innerhalb und
außerhalb des Himmelskörpers bestimmt. Fassen wir das Ergebnis noch einmal zusammen. Es
treten zwei unabhängige Parameter auf, die Masse
des Sterns sowie sein Oberflächenradius
êê U
!
é
(15.50)
+!

O
!
O
+!

ï
!
w
verschwinDie gestellte Randbedingung ist also erfüllt. Der Druck auf der Oberfläche bei
det.
, also die
-Komponente der Metrik, ergibt sich aus (15.39) und (15.44)
Für die Funktion
(
!
!
ï
!
+

ï
$
ï
(15.49)
183

. Die Metrik hat die Form
+
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å
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é
D
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O
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(15.53)
ó

durch (15.50) und (15.52) gegeben,
+
sind für
+
!
é
und
!
O
Die Funktionen
g
W

W¤
Tatsächlich gilt diese Aussage für alle realistischen, kugelförmigen Himmelskörper. Sie ist unter
der Bezeichnung Buchdahls Theorem bekannt. Wir werden sie hier allerdings nicht beweisen.
Man muss dazu geschickte Abschätzungen in der Differentialgleichung (15.43) vornehmen, um
so zu zeigen, dass der Druck stets an irgendeiner Stelle unendlich wird, wenn der
ist.
gesetzt wird, ist ohneDie absolute Grenze, die durch den Schwarzschild-Radius
hin von größerer Bedeutung. Sie ist unabhängig von irgendwelchen Zustandsgleichungen für die
Materie im Stern, denn sie beruht einzig und allein auf der Lösung der Einstein-Gleichung außerhalb des Himmelskörpers. Mit ihr, und wie wir sie in den Bereich
dennoch fortsetzen
können, werden wir uns ausführlich in Kapitel 18 auseinandersetzen.
g
W

ò
g +
W
!
!
é
ï
!
ï
!
!
ï
!
+

ï
$
!
O
mit
(15.54)
ú
g
W¤
Für
schließen sie sich stetig an die Funktionen (15.25) an. Die Dichte ist innerhalb des
Sterns konstant, und der Druck durch (15.49) gegeben,

+

Aufgabe 15.14 Der Parameter
ist der Oberflächenradius des Sterns, das heißt seine Oberfläche ist eine Sphäre mit den Flächeninhalt
. Man berechne den Durchmesser
des
Sterns, also die Länge einer Geodäte, die zwei gegenüberliegende Punkte auf der Oberfläche
miteinander verbindet. Ist der Durchmesser größer oder kleiner als erwartet? Was bedeutet das
anschaulich für die Geometrie des Raumes innerhalb des Sterns? Wie groß ist das Volumen
des Sterns? Ist es größer oder kleiner als das Volumen einer Kugel mir derselben Oberfl äche im
Euklidischen Raum?
+
+"
!
ï
!
+

ï
+" !
w
+ "
+
g 
%
$
+!

ï
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"
(15.55)
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!
+

+
!
ï
j
+!

ï
(15.56)
­
+
+
!
ï
für
Aufgabe 15.15 In der Darstellung der Funktion
in Abbildung 15.1 ist bei
ein Knick
zu sehen. Wodurch ist dieser Knick bedingt? An welcher Stelle muss man das Modell ein wenig
realistischer gestalten, um den Knick zu entfernen?
é
Damit die Funktion
für
definiert ist, muss auch hier wieder
sein.
Es folgt also auch aus der Lösung der Einstein-Gleichung im Innern, dass der Stern größer sein
muss als sein Schwarzschild-Radius.
Es gibt nun aber noch eine weitere, stärkere Einschränkung an die Parameter. Offenbar muss,
damit die Zeitkomponente der Metrik wohldefiniert ist, zusätzlich
$%
+

!
ï
mit
Aufgabe 15.16 Wie groß ist die “Erdbeschleunigung” , die ein ruhender Beobachter auf der
Oberfläche des Himmelskörpers spürt, ausgedrückt durch
und
. Wie groß ist sie in der
mit Hilfe der Newtonschen Formel aus dem
Newtonschen Theorie? Wenn wir die Erdmasse
Radius
und der Erdbeschleunigung bestimmen, wie groß ist dann der Fehler?
U
gelten. Wäre diese Bedingung nicht erfüllt, würde außerdem der Druck an irgendeiner Stelle
unendlich werden. Da
positiv ist, lautet die Bedingung
g

+
!
ï
g

+
U
g +
W
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j
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+

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j

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g
+
6+

i
W¤
g
i
Y
(15.57)

+Ö
Õ
Aufgabe 15.17 Ein sehr weit entfernter Beobachter misst das Spektrum eines leuchtenden Sterns,
der relativ zu ihm ruht. Er findet die typischen Absorptionslinien von Wasserstoff, der sich offenbar in der Sternatmosphäre befindet. Eine Linie, die normalerweise die Wellenlänge
hat, wird
jedoch bei einer Wellenlänge
gemessen. Man bezeichnet das Verhältnis
6+
j
6

erfüllt, wenn
+
6+
6
Diese Bedingung ist genau dann für alle
d
(15.59)
6+
h
(15.58)
g

j
+
$
ó
hat einen Oberfl ächenradi-
g
Ein stabiler, kugelförmiger Himmelskörper der Masse
.
us
Wj
d
g
W
W
Offenbar ist das eine stärkere Einschränkung als die schon bekannte. Es gibt also, jedenfalls in
Rahmen unseres sehr einfachen Modells, keine Lösung der Einstein-Gleichung für einen Him.
melskörper, dessen Radius kleiner ist als
W¤
d
als den Rotverschiebungsfaktor. Man zeige, dass
ist. Wenn man im Universum Sterne mit
sieht, welchen Schluss muss man daraus ziehen?
16 Planetenbahnen und Lichtablenkung
W
g
W

ó
ó
Wj

ò
+
Nachdem wir nun das Gravitationsfeld eines Sterns berechnet haben, wollen wir als nächstes die
Bahnen von anderen Körpern in diesem Feld bestimmen. Ein anderer Körper kann ein Planet
184
k
machen. Wenn wir in der klassischen Mechanik Bewegungsgleichungen lösen, ist das NoetherTheorem oft sehr nützlich. Es besagt, dass zu jeder Symmetrie eines dynamischen Systems eine
Erhaltungsgröße gehört. Ein solches Theorem gilt natürlich auch in der allgemeinen Relativitätstheorie. Wir wollen es hier kurz darstellen und beweisen.
Das mechanische System, dass wir untersuchen wollen, ist ein frei fallendes Testteilchen in
liegt also fest, und wir untersuchen die Geodäten
einer gegebenen Raumzeit . Die Metrik
dieser Metrik, auf denen sich frei fallende Teilchen bewegen. Wie wir wissen, können wir die
Weltlinien solcher Teilchen aus einem Wirkungsprinzip ableiten. Wir stellen die Weltlinie als
eine Funktion
dar, führen eine Hilfsfunktion
ein, die später die Parametrisierung
der Weltlinie bestimmt, und definieren eine Lagrange-Funktion
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j
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‚
W
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; > y.6
; >U.
‚
W
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(16.1)
‚ !
:n
!
Dies ist die Übersetzung der Lagrange-Funktion (5.45) für ein freies Teilchen in einer gekrümmten Raumzeit. Ein freies Teilchen ist demnach in der allgemeinen Relativitätstheorie ein Teilchen,
dass nur das Gravitationsfeld sieht, aber sonst keine Kräfte spürt.
Wir hatten in Kapitel 10 auch schon gezeigt, dass dieses Wirkungsprinzip auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit auf die Geodätengleichung führt, und dass die Hilfsfunktion
, die wir
Einbein genannt haben, genau wie in der flachen Raumzeit angibt, wie schnell die Eigenzeit
als Funktion des Kurvenparameters vergeht.
Es ist an dieser Stelle nützlich, die Bewegungsgleichungen in einer etwas anderen Form zu
des Teilchens als die Ableitung der
schreiben als sonst. Wir definieren zuerst den Impuls
Lagrange-Funktion nach der Geschwindigkeit ,
:‚
L$
:
w
.
;
6.
. 6
; U
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? . 6?
;
(16.2)
w
.
Ló
Dabei wird
offenbar als ein dualer Vektor definiert. Das wollen wir im folgenden auch so
belassen, das heißt wir werden den Index nicht nach oben ziehen. Als Bewegungsgleichung finden
wir dann
(16.3)
w
.
€ 6
; A6
; €U A
?.
.
W
? . 6?
; w
‚
Nun benutzen wir, dass die Metrik kovariant konstant ist, also
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€A
U
?.
W
€A
U
&.
(16.4)
t
sein, der den Stern umkreist, oder ein Komet, der aus dem unendlichen kommt und auf den Stern
zu fällt. Solange ein solcher Körper klein im Vergleich zum Stern ist, können wir ihn als einen
Testkörper betrachten. Seine Weltlinie ist dann eine zeitartige Geodäte in der SchwarzschildMetrik aus dem letzten Kapitel.
Bevor wir die diese Metrik einsetzen, werden noch ein paar allgemeine Überlegungen zur
Geodätengleichung in einer gekrümmten Raumzeit durchführen. Insbesondere werden wir eine
Verallgemeinerung des Noether-Theorems aus der klassischen Mechanik beweisen. Anschließend
können wir mit dessen Hilfe auf einfache Weise die Bewegungsgleichungen für einen Testkörper
in der Schwarzschild-Metrik aufstellen und deren Lösungen diskutieren. Wir werden dabei feststellen, dass die allgemeine Relativitätstheorie an der einen oder anderen Stelle eine Abweichung
von den Keplerschen Gesetzen für die Planetenbahnen voraussagt.
Eine solche Abweichung, für die es keine Erklärung gab, wurde sogar schon lange vor der
Veröffentlichung der allgemeinen Relativitätstheorie beobachtet. Wegen der Störungen durch die
anderen Planeten ist die Bahn eines Planeten normalerweise keine perfekte Ellipse. Statt dessen
kommt es zu einer Perihelverschiebung, das heißt der sonnennächste Punkt einer Planetenbahn
wandert bei jeder Umdrehung um ein kleines Stück weiter. Durch eine Störungsrechnung lässt
sich diese Perihelverschiebung für jeden Planeten im Rahmen der klassischen Mechanik berechnen.
Für den Planeten Merkur fand man eine Abweichung zwischen der berechneten und der beobpro Jahrhundert, also eine sehr kleine, aber durchaus
achteten Perihelverschiebung von etwa
messbare Abweichung. Die einzige Erklärung, die man in der klassischen Mechanik hatte, war
anzunehmen, dass es noch einen weiteren, bisher unbekannten Planeten gibt. Umso erstaunlicher war es, dass die allgemeine Relativitätstheorie genau diesen Wert ohne weitere Annahmen
vorhersagte.
Eine weitere Voraussage der allgemeinen Relativitätstheorie ist, dass ein Lichtstrahl, wenn er
die Sonne nahe der Oberfläche passiert, um einen charakteristischen Winkel abgelenkt wird. Dieser Winkel weicht um einen Faktor zwei von dem Winkel ab, den die Newtonsche Theorie des
sehr
Lichts als Strom von klassischen Teilchen vorhersagt. Auch dieser Winkel ist mit
klein, aber für ein gutes Teleskop lag er auch schon von hundert Jahren im Bereich des messbaren. Man benötigt aber eine Sonnenfinsternis, um einen Lichtstrahl zu fotografieren, der gerade
an der Sonnenoberfläche vorbei gelaufen ist.
Das erste Experiment, oder besser die erste Beobachtung, die zur Bestätigung oder Widerlegung der allgemeinen Relativitätstheorie durchgeführt wurde, war deshalb eine Expedition zu
einer Sonnenfinsternis vor der Westküste Afrikas im Jahre 1919, um dort die Ablenkung des
Lichts von einem fernen Stern an der Sonne nachzuweisen. Auch dieses Experiment bestätigte
die allgemeine Relativitätstheorie in vollem Umfang.
Damit können wir die Ableitung der Metrik durch das Christoffel-Symbol auszudrücken. Das
ergibt
Isometrien und Erhaltungssätze
A 6
;
>
w .A
>}
€6
; A6
; €U
>A
}.
> ‚
.
185
; w
Doch wie gesagt, bevor wir zu diesen ersten Beobachtungen kommen, die die allgemeinen Relativitätstheorie bestätigten, wollen wir ein paar allgemeine Aussagen über Geodätengleichungen
(16.5)
Diese Gleichung können wir auch wie folgt schreiben,
wobei die kovariante Ableitung jetzt einfach die gewöhnliche Ableitung ist, da sie auf einen Skalar wirkt. Setzen wir die Definition von ein, so ergibt sich
&> A
A 6w
; A6
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>
w .A
>}
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(16.6)
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.
(16.12)
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A 6&
; ;
;
A6
wobei
für die kovariante Richtungsableitung entlang der Weltlinie steht. In dieser Form
besagt die Bewegungsgleichung, dass der Impuls kovariant konstant ist.
Schließlich müssen wir die Lagrange-Funktion (16.1) noch nach
ableiten. Das ergibt als
zusätzliche Bewegungsgleichung die Nebenbedingung
&A
w
.
;
:‚
!
Hier haben wir zuerst die Bewegungsgleichungen verwendet, wonach
kovariant konstant und
ist, anschließend die Eigenschaft der kovarianten Ableitung, dass wir darunter
proportional zu
beliebig Indizes hoch und runter ziehen können, und schließlich die Eigenschaft von , ein
Killing-Vektor zu sein. Halten wir also fest:
6.
.
>w
.
.> wU
W
(
W
6D
; > y.6
; >U.
‚
(16.7)
Zu jeder Symmetrie der Raumzeit gehört ein Killing-Vektorfeld , sowie eine Erhal.
tungsgröße
. w
Insgesamt bekommen wir den folgenden Satz von Bewegungsgleichungen,
.
;
;
>w
.
.> wU
.
; & wA
A6
>
.> w‚U
.6
(16.8)
2
!
2
2
:
¤
!
:‚
00 U
:
Aus der ersten Gleichung entnehmen wir, dass das Einbein
, das wir beliebig als Funktion
des Kurvenparameters vorgeben können, die Parametrisierung der Weltlinie bestimmt. Es gibt
an, wie schnell die Kurve als Funktion von durchlaufen wird. Der Impulsvektor gibt an, in
welche Richtung die Weltlinie verläuft, und diese Richtung ist kovariant konstant. Also ist die
Weltlinie ein Geodäte. Und schließlich hängt es von der Masse ab, ob die Weltlinie lichtartig
oder zeitartig ist. Soweit ist das natürlich nichts neues.
Jetzt wollen wir annehmen, dass die Raumzeit eine Symmetrie besitzt, zum Beispiel eine
Translations- oder Rotationssymmetrie. Dargestellt wird eine solche Symmetrie, wie wir aus Kapitel 12 wissen, durch eine Isometrie, also eine Abbildung
, unter der die Metrik
invariant ist. Die Gruppe aller solchen Abbildungen ist die Isometriegruppe
. Sie ist eine
Lie-Gruppe, und die zugehörige Lie-Algebra ist die Algebra der Killing-Vektorfelder.
war durch die Eigenschaft definiert, dass die Lie-Ableitung
Ein Killing-Vektorfeld auf
der Metrik verschwindet,
Das ist das Noether-Theorem für ein Testteilchen in einer gekrümmten Raumzeit.
Als Beispiel wollen wir eine Raumzeit betrachten, in der die Metrik in einem ausgewählten
Koordinatensystem
nicht von der Koordinate abhängt, wohl aber von drei anderen Koordinaten . Wenn wir ferner annehmen, dass
ist, dann ist eine Kurve mit
const
eine zeitartige Weltlinie, und wir können als eine Zeitkoordinate interpretieren. Wir nennen eine
solche Raumzeit dann stationär.
k
b
k
z
!
k
k
Aufgabe 16.2 Die Begriffe “stationär” und “statisch” sind auch aus der Hydrodynamik bekannt.
Wann ist die Strömung einer idealen Flüssigkeit stationär, wann statisch? Was bedeutet das für die
Komponenten des Energie-Impuls-Tensor? Man vergleiche dies mit der entsprechenden Aussage
über die Komponenten der Metrik in einer stationären bzw. statischen Raumzeit.
.
Die Metrik einer stationären Raumzeit hängt also nicht von der Zeit ab. Folglich ist jede Abbilder Raumzeit auf sich selbst eine Isometrie, wenn eine Konstante ist.
dung
Das ist eine einparametrige Gruppe von Diffeomorphismen. Das zugehörige Killing-Vektorfeld
ist
(16.13)
&>
D
&> .
A
A U .
&>
DA
A > U
> U .
&.
D>U .
A
A &
(16.9)
Aufgabe 16.1 Man gebe ein Beispiel für eine stationäre Raumzeit, die aber nicht statisch ist, deren Metrik also nicht von der Form (15.1) ist. Welche zusätzliche Bedingung muss eine stationäre
Raumzeit erfüllen, damit sie auch statisch ist?
2
2
«
!
«
D
b
a!
k
Es sei also ein Killing-Vektorfeld auf , das zu irgendeiner einparametrigen Untergruppe der
Isometriegruppe gehört. Wir wollen zeigen, dass dann der Skalar
.
0
w
Daraus folgt unmittelbar, dass
eine Erhaltungsgröße ist. Die Zeitkomponente des
Impulses ist entlang der Weltlinie konstant ist.
Intuitiv würden wir sagen, dass dies wohl die Energie des Teilchens sein muss. Denn zu einer Zeitverschiebung als Symmetrie gehört die Energie als Erhaltungsgröße. Und war nicht die
Energie die Zeitkomponente des Impulses? Es ist nicht ganz klar, was nun eigentlich die Energie
ist, denn ist nicht dasselbe wie , und letztlich hängt die Energie eines Teilchens ja auch vom
Bewegungszustand des Beobachters ab.
. w
.
:
0
0
A
186
w
w
A 6&
; ;
(16.11)
(
ƒ0
eine Erhaltungsgröße ist. Die Komponente des Impulses in Richtung des Killing-Vektors ist also
entlang der Weltlinie des Teilchens konstant.
Der Beweis ist ganz einfach. Wir müssen nur die Ableitung von entlang der Weltlinie ausrechnen. Wir schreiben die Ableitung nach wieder in der Form
2
0
. w
(16.10)
0
Aufgabe 16.3 Warum ist es in (16.13) wichtig, dass die Indizes oben stehen? Warum ist das
und
kein Killing-Vektorfeld, und folglich keine
Vektorfeld mit den Komponenten
Erhaltungsgröße?
w
2
0
!
d c
K
Eine weitere wichtige Erhaltungsgröße ist der Drehimpuls in einer rotationssymmetrischen
Raumzeit. Betrachten wir eine Raumzeit mit den Koordinaten
, und nehmen wir an,
dass
(16.17)
f
›
0
œ
(
ƒ›
c
ƒœ
c
Erinnern wir uns kurz daran, dass physikalische Größen, die durch eindeutige Messvorschriften
definiert sind, stets Skalare sind. Wir hatten dies im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie
unter anderem bei der Herleitung des Doppler-Effektes und der Aberation von Lichtstrahlen am
Ende von Kapitel 4 verwendet. So war zum Beispiel die Energie, die ein Beobachter, der sich mit
einer 4-Geschwindigkeit durch die Raumzeit bewegt, bei einem Teilchen mit Impuls misst,
gegeben.
durch den Skalar
Dasselbe gilt gemäß unserer Übersetzungsvorschrift auf einer gekrümmten Raumzeit. Allerdings müssen sich Beobachter und Teilchen jetzt an derselben Stelle in der Raumzeit befinden.
Sonst ist einerseits die Messung physikalisch nicht möglich, andererseits aber auch das Skalarprodukt
nicht definiert.
Also nehmen wir an, ein Beobachter ruhe relativ zu dem Koordinatensystem
, und das
Teilchen kommt an dieser Stelle vorbei. Dann gilt für die 4-Geschwindigkeit des Beobachters,
wie man sich leicht überlegt,
> w
H.
>U.
2
!
ein Killing-Vektorfeld ist. Dann können wir sagen, dass die Raumzeit eine Rotationssymmetrie besitzt. Die zugehörige einparametrige Gruppe von Isometrien, also der Fluss des KillingVektorfeldes ist
a
bd
d
«
”
˜™
«D
c
ca
c
Was ist dann die zugehörige Erhaltungsgröße? Es ist offenbar
V
(16.19)
›
c
w
œ
.
const und
w
. w
der Tangentenvektor einer Weltlinie mit
2
Denn dann ist
–
•b”
«
«
”
b˜™
–
•”
a
b
a
2H
(
V
0
0U
0H
ƒ0
0
0U
(16.14)
(16.18)
>U.
also das, was wir normalerweise als die -Komponente des Drehimpulses bezeichnen würden.
und
in (16.19) unten stehen. Sonst
Auch hier ist es wieder wichtig, dass die Indizes bei
ergibt sich keine Erhaltungsgröße. Aus den Komponenten
und
des Impulses können wir
keine Erhaltungsgröße bilden.
Wenn eine solche Rotationssymmetrie vorliegt, können wir stets eine Koordinatentransformation durchführen,
(16.20)
d
>H
.H
(16.15)
œ w
w ›
› w
w
œ
Die Energie, die dieser Beobachter bei dem Teilchen misst, ist demnach
0
U
0 0
w
. Hw
K
(16.16)
.
V
–
•”
”
˜™
0
c
æ
æ
Die gemessene Energie ist weder noch . Die Erhaltungsgröße hat nur mittelbar etwas mit
der physikalischen Energie zu tun, praktisch nichts dagegen mit der Komponente
,
in die durch das Hochheben des Index auch noch die räumlichen Komponenten des Impulses
eingehen.
Wir kennen das auch schon von der Herleitung der Rot- und Blauverschiebung im Gravitationsfeld. Wenn sich ein Photon durch eine statische, oder allgemeiner durch eine stationäre Raumzeit
bewegt, dann messen Beobachter an verschiedenen Orten verschiedene Frequenzen, also verschiedene Energien. Und zwar verhalten sich diese Energien zueinander genau wie die Wurzeln
der Metrik an den jeweiligen Orten. Auch das hatten wir schon früher geaus der Komponente
sehen. Und es passt offenbar mit der Tatsache zusammen, dass die Komponente des Impulses
die eigentliche Erhaltungsgröße ist.
Man muss also mit dem Begriff Energie etwas vorsichtig sein, wenn er in Zusammenhang mit
Erhaltungsgrößen benutzt wird. Wir werden oft eine Größe einfach Energie nennen und mit
bezeichnen, wenn es eine mit der Zeitverschiebung als Symmetrie assoziierte Erhaltungsgröße
ist. Aber diese muss nicht immer mit der gemessenen Energie übereinstimmen, die ein Beobachter sieht, der sozusagen vor Ort ist. Und natürlich erst recht nicht mit der von einem bewegten
Beobachter gemessenen Energie.
0
0
w
w
w
w
0 . wU
0
K
.
ë
w
so dass der Killing-Vektor und folglich auch der Drehimpuls in diesen Koordinaten eine einfache
Darstellung hat,
(16.21)
(
đ
w
ë
0
w
æ
0
w
K
đ
æ
w
ë
187
00 U
Der Drehimpuls ist also einfach die Komponente , so wie die erhaltene Energie in einer stationären Raumzeit die Komponente des Impulses ist. Der Grund ist in beiden Fällen der gleiche.
Eine rotationssymmetrische Metrik hängt nicht von ab, genau wie eine stationäre Metrik nicht
von abhängt, und folglich sind die entsprechenden Komponenten des Impulses mit Index unten
erhalten.
Wir erinnern in diesem Zusammenhang an Aufgabe 12.2, wo wir ganz allgemein bereits auf
den Zusammenhang zwischen Killing-Vektoren und Erhaltungsgrößen auf Geodäten eingegangen waren. Dort und in den folgenden Aufgaben wurde auch gezeigt, dass es stets möglich ist,
ist, woKoordinaten so zu wählen, dass ein gegebenes Killing-Vektorfeld von der Form
bei eine der Koordinaten ist. Die zugehörige Erhaltungsgröße ist dann stets die entsprechende
Komponente
des Impulses.
Aufgabe 16.4 Man zeige, dass die Vektorfelder (16.25) tatsächlich mit (16.22) identisch sind.
!
d c
Was die Rotationssymmetrie betrifft, so können wir das natürlich verallgemeinern. Nehmen
wir an, unsere Raumzeit mit den Koordinaten
habe drei Killing-Vektorfelder, und zwar
eine Weltlinie eines frei fallenden Teilchens in einer kugelsymmetriAufgabe 16.5 Es sei
schen Raumzeit. Man zeige, dass es stets möglich ist, Kugelkoordinaten
so einzuführen,
dass die ganze Weltlinie in der Äquatorebene liegt, also
für alle gilt.
:=
!
ƒ ›
W% )
!
œ
Genau wie in der klassischen Mechanik werden uns die Erhaltungsgrößen behilflich sein, wenn
wir explizit die Geodätengleichung für eine symmetrische Raumzeit lösen wollen. Wenn wir
zum Beispiel die Planetenbahnen im Gravitationsfeld der Sonne berechnen wollen, und für dieses die Schwarzschild-Metrik aus dem letzten Kapitel einsetzen, dann können wir sowohl die
Drehimpuls- als auch die Energieerhaltung verwenden.
In der klassischen Mechanik würden wir diese drei Größen zu einem Drehimpulsvektor zusammenfassen. Die Bezeichung “Vektor” ist jedoch an dieser Stelle nicht ganz zutreffend.
und
bilden keinesfalls die Komponenten eines RaumzeitDie Erhaltungsgrößen ,
Vektors. Der hätte ja auch vier Komponenten. Es sind drei unabhängige skalare Größen, die
entlang der Weltlinie konstant sind. Es ist sinnlos, sich den Drehimpuls als einen Vektor vorzustellen, der lokal an dem Ereignis definiert ist, an dem sich das Teilchen gerade befindet, und dort
in eine bestimmte Richtung im Raum zeigt.
Wenn wir den Drehimpuls als Vektor verstehen wollen, müssen wir anders vorgegen. Wir
müssen dazu die Lie-Algebra betrachten, die von den Killing-Vektorfelder ,
und
aufgespannt wird. Als Lie-Algebra ist natürlich ein dreidimensionaler Vektorraum. Jeder Vektor
repräsentiert ein Killing-Vektorfeld auf , und somit gehört zu jedem Vektor
eine
Erhaltungsgröße
, die entlang einer Geodäte konstant ist.
definiert. Zu
Dadurch wird offenbar für jede Geodäte eine lineare Abbildung
jeder Geodäte gehört also eindeutig ein Vektor
aus dem Dualraum von . Dieser Vektor
ist der Drehimpulsvektor. Es handelt sich also nicht um einen Raumzeit-Vektor in irgendeinem
Tangentenraum, sondern um einen Vektor im Dualraum der Lie-Algebra, die von den KillingVektoren aufgespannt wird.
Im Sinne des Tensorkalküls sind alle Erhaltungsgrößen dieser Art Skalare, also Tensoren nullter
Stufe. Das heißt, sie ändern ihren Wert nicht unter Koordinatentransformationen. Wenn wir zu
Kugelkoordinaten übergehen,
›
œ
w
c
›
c
w
w
f
w
d
w
d
f
w
(16.23)
:å
Dann nennen wir die Raumzeit kugelsymmetrisch. In diesem Fall gibt es zu jedem der drei KillingVektoren eine entsprechende Erhaltungsgröße,
æ!
å
:
c
ƒœ
ƒ f
c
ƒ œ
ƒf
ƒ›
d
d
(16.22)
Lichtartige Geodäten
Genau das wollen wir jetzt tun. Aber zuerst werden wir einen Fall diskutieren, der ein wenig
einfacher ist, nämlich den freien Fall eines masselosen Teilchens. Wir wollen also die Bahn eines
Lichtstrahls zum Beispiel im Gravitationsfeld der Sonne berechnen.
Ausgangspunkt ist die Lagrange-Funktion (16.1) für
,
6
; >. 6
; >U.
‚
W
!
=
; =
k
‚ m
m
(16.27)
. w
!
.
{
z
b
m
æ! ñ
; å
–
•” D
; å ‚ D
; !
é
D
; !
O
ð
‚
W
!
=
; =
Setzen wir hier die Metrik (15.4) für eine statische, kugelsymmetrische Raumzeit ein, so ergibt
sich
(16.28)
:æ
!
!
!
W% )
!
æ
‚ æ
; D
; !
é
D
; !
O
‚
W
!
=
; =
å
˜™”
d
c
æ
–
•”
–å
•”
”
™˜
–å
•”
(16.29)
Jetzt machen wir von den Erhaltungssätzen Gebrauch. Wegen der Zeitsymmetrie hängt die
Lagrange-Funktion nicht explizit von ab, und folglich ist die Energie eine Erhaltungsgröße,
ƒ ë
æ
æ
ƒ ë
–
•ìå”
˜™
č
”
˜™
æ
ƒ ë
æ
”
č
ì嘙
˜™
–
•”
(16.25)
:å
:å
(16.24)
dann ändert sich zwar die Darstellung der Killing-Vektoren. Wir haben diese bereits früher ausgerechnet und das Ergebnis in (12.32) angegeben,
!
:!
:
:=
wird jetzt durch die Koordinatenfunktionen
,
,
und
darDie Weltlinie
gestellt. Aus Aufgabe 16.5 wissen wir, dass es genügt, eine Weltlinie in der Äquatorebene zu
betrachten. Wir setzen also
. Dann hängt die Lagrange-Funktion nur noch von drei
Koordinatenfunktionen und vom Einbein ab,
;
(16.30)
Man beachte, dass wir die Größe jetzt wegen ihre Eigenschaft als Erhaltungsgröße Energie
nennen, obwohl sie nicht mit der lokal gemessenen Energie des Photons übereinstimmt, dessen
Weltlinie wir beschreiben wollen.
K
,
K
!
‚ O ë
æ
Aber dies ist eben nur eine andere Koordinatendarstellung für dieselben drei skalaren Größen
und .
ç
wæ
ë
w
ë
æ
wæ
–w
”
•ìå”
˜™
”
ì嘙
˜™
˜™ ç
–w
•”
(16.26)
(
; ! ‚
O
? ; ?
0
w
K
Es ändert sich auch die entsprechende Darstellung der Erhaltungsgrößen,
188
ab, und folglich ist der Drehimpuls
æ

!
Wie das effektive Potential genau aussieht, hängt davon ab, ob wir uns innerhalb oder außerhalb
, müssen wir für
die Funktion
des Sterns befinden. Außerhalb des Sterns, also für
(15.25) einsetzen. Es gilt also
O
Ferner hängt die Lagrange-Funktion nicht explizit von
ebenfalls eine Erhaltungsgröße
j
+
ë
(16.38)

+
æ
; betrachten, das heißt der Lichtstrahl soll weit vom
Wir wollen zuerst den Fall
Stern entfernt befinden. Dort können wir den zweiten Term, der mit
abfällt, vernachlässigen.
Ferner gilt in (16.35)
und
. Das Problem reduziert sich damit auf die Beschreibung eines freien klassischen Teilchens in einer flachen Ebene, dargestellt in Polarkoordinaten.
Die Lösungen der Bewegungsgleichungen sind
)
D
; !
é
; !
O
(16.32)
für
j
‚
Als nächstes betrachten wir die Nebenbedingung, die sich aus der Ableitung der LagrangeFunktion nach ergibt. Sie besagt, dass die Weltlinie lichtartig ist, und lautet explizit
­ g W
Ö g
g W
W
ò
Õ 
×
W
!
‚ æ
;
(
æ
; ‚
? ; ?
w
(16.31)
I
I
K:
D
K
!
é
:
!
O
Diese Gleichungen genügen bereits, um die Bewegungsgleichungen zu lösen. Wenn wir die Erhaltungsgrößen verwenden, können wir die letzte Gleichung wie folgt umschreiben,
K:
–
ì
˜
!
!
!
W
Ö
D +æ
:æ
+
:
K: D
!
O
W
D
;!
O ‚
!
é W
K
(16.33)
(16.39)
Õ
ú
K
:
:
!
zwei Integrationskonstanten sind. Wir können den Kurvenparameter eliminiewobei und
ren, um zu zeigen, dass sich das Licht tatsächlich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt,
+æ
+
Wenn wir und vorgeben, ist dies eine Differentialgleichung für die gesuchte Funktion
.
Die Lösung können wir in (16.30) und (16.31) einsetzen und erhalten so auch die gesuchten
Funktionen
und
.
Damit die zu lösenden Differentialgleichungen so einfach wie möglich werden, machen wie
beliebig zu wählen, um so die Parametrisierung
von der Freiheit Gebrauch, das Einbein
Dann lautet die von der Funktion
zu
der Weltlinie festzulegen. Wir setzen
erfüllende Differentialgleichung
:æ
:
!
!
+
(16.40)
+
Ö
ì
–
˜
D +æ
æ
!
D +
!
+
!
Õ
+
:
!
O !
! é
:‚ ‚
!
Das ist eine Gerade in einer Ebene, die zum Zeitpunkt durch den Punkt mit den Koordinaten
und
geht, und dort dem Ursprung am nächsten ist. Das ist auch die exakte Lösung
der Bewegungsgleichungen für
, also wenn gar kein Stern vorhanden ist. So sollte es
natürlich auch sein, denn dann ist die Raumzeit ein flacher Minkowski-Raum.
Im allgemeinen erwarten wir ein Verhalten des Lichtstrahls, wie es in Abbildung 16.1 dargestellt ist. Solange der Lichtstrahl weit von dem Stern entfernt ist, bewegt er sich näherungsweise auf einer Geraden im flachen Raum. Wenn er in die Nähe des Sterns kommt, bewirkt die
Krümmung der Raumzeit ein Ablenkung. Wenn er sich dann wieder vom Stern entfernt, wird seine Weltlinie wieder näherungsweise durch eine Gerade im flachen Raum beschrieben. Allerdings
ist die Gerade, auf der der Lichtstrahl ausläuft, nicht die Fortsetzung der Geraden, auf der der
Lichtstrahl eingelaufen ist.
Für einen Beobachter, der sich in großer Entfernung befindet, stellt sich die Situation so dar,
bewirkt
dass das Gravitationsfeld des Sterns eine Ablenkung des Lichtstrahl um einen Winkel
hat. Diese Ablenkung wollen gleich auch explizit berechnen. Doch zuerst werden wir das Verhalten von Lichtstrahlen anhand des effektiven Potentials im allgemeinen diskutieren. Es zeigt sich
nämlich, dass dies nicht das einzig möglich Verhalten eines Lichtstrahls im Gravitationsfeld eines
Sterns ist.
+æ
K)
+
g
!
O
W
W
; D
W
K
(16.34)
und aus (16.30) und (16.31) wird
;
é
!
O ! ;
(16.35)
æ
K
!
é
;
W )
W)
K
K
æ
!
:
Aufgabe 16.6 Man zeige, dass sich die Bewegungsgleichung f ür
plizit aufgestellt haben, tatsächlich wie folgt schreiben lässt,
, die wir bis jetzt nicht ex-
!
O
W
­ !
(16.36)
£
Das Problem stellt sich jetzt genau so dar wie ein bekanntes Problem aus der klassischen Mechanik, nämlich die Bewegung eines Teilchens der Masse Eins in einer Ebene, dargestellt in Polarko. Die Erhaltungsgröße
ist die klassische Energie des Teilchens,
ordinaten
ist die kinetische Energie der Radialbewegung, und der zweite Term in (16.34) ist das effektive
Potential
!
Aufgabe 16.7 Man zeige, dass die Erhaltungsgrößen und mit dem in Abbildung 16.1 definierten Stoßparameter , sowie mit dem minimalen Abstand wie folgt zusammenhängen,
K
Die Radialbewegung des gesuchten Lichtstrahls gleicht also der eines klassischen Teilchens in
einem Potential
.
+
ï
!
L ­ (16.37)
+ W
+
ï
!
­ g
K
+
o
189
(16.41)
scheinbare Position
Ç ('
Ç ('
+
*
)*
&È
+
,
&È
"#
Milchstraße
andere Galaxie
ˆü
È !Ž
Ȋ
È
&È
(a)
%
Š!
ˆü
Ž
Ç ('
Ç ('
Beobachter
(c)
Milchstraße
andere Galaxie
.*
+
,-
.*
&È
+
&È
$
wahre Position
"#
Abbildung 16.1: Durch das Gravitationsfeld der Sonne wird ein Lichtstrahl um einen Winkel
abgelenkt. Ein Beobachter auf der Erde sieht einen Stern, der in Wirklichkeit natürlich sehr viel
weiter von der Sonne entfernt ist als die Erde, um genau diesen Winkel verschoben.
È
È
(d)
(b)
%
+
Abbildung 16.2: Das effektive Potential für einen Lichtstrahl außerhalb und innerhalb eines
Sterns mit fester Masse
und verschiedenen Radien
. Für
weicht das Potential nur wenig von der Drehimpulsbarriere ab (a). Die Abweichung, und damit die Ablenkung
eines Lichtstrahls, der den Stern passiert, wird größer, wenn der Radius die Größenordnung des
Schwarzschild-Radius erreicht (b). Bei
bildet das Potential einen Sattelpunkt, auf dem ein Lichtstrahl auf einer geschlossenen Bahn um den Stern laufen kann (c). Für
gibt es in dem schattierten Bereich gebundene Bahnen, die zumindest teilweise im
Innern des Sterns verlaufen, das heißt das Licht ist im Stern gefangen (d).
/È
È
ï
+
)*
&È
&%
Der Stoßparameter ist der Abstand des Lichtstrahles von einem parallelen Lichtstrahl, der direkt
ins Zentrum des Himmelskörpers trifft, gemessen weit draußen, wo der Raum in ausreichender
Näherung flach ist, so dass die Begriffe “parallel” und “Abstand” wohldefiniert sind und ihre
übliche Bedeutung haben. Der minimale Abstand ist einfach die radiale Koordinate des Umkehrpunktes
, also nicht wirklich der metrische Abstand vom Zentrum.
%
0È
+
!
+æ
+
g
Um das Verhalten des Lichtstrahls im allgemeinen zu untersuchen, müssen wir uns das effektive
Potential
anschauen. Es ist für verschiedene Radien
des Sterns bei fester Masse
in
Abbildung 16.2 dargestellt. Da der Ausdruck (16.38) nur von
abhängt, und nur als Vorfaktor
eingeht, sieht das Potential für
immer gleich aus. Für
müssen wir jedoch in
(16.36) eine andere Funktion
einsetzen. Das Potential im Innern des Sterns hängt deshalb
von seiner Dichte ab.
Wie genau, das ist im folgenden nicht wichtig. Explizite Rechnungen werden wir ohnehin nur
im Außenbereich durchführen. In Abbildung 16.2 ist jeweils das Potential dargestellt, das sich für
einen Stern konstanter Dichte ergibt, für den wir im letzten Kapitel einen expliziten Ausdruck für
gefunden haben. Das qualitative Verhalten des effektiven Potentials ist jedoch
die Funktion
immer dasselbe, und nur darauf kommt es im folgenden an.
an, also die aus der
Die gestrichelte Linie gibt jeweils das effektive Potential für
klassischen Mechanik bekannte Drehimpulsbarriere
. Die Abweichung des tatsächlichen Potentials von dieser Kurve ist dafür verantwortlich, dass der Lichtstrahl eine Ablenkung

+ g
­ 
¤
 ò
¤ j
+

+

j !
O
ò
g
W
ó
ó
ò
1
1 
 ¤
+
+
 
g
!
W)
190
W
W
!
O
erfährt. Die gepunktete Linie ist die Fortsetzung der Funktion (16.38) für
. Sie en, denn die Schwarzschild-Metrik nur für
wohldedet beim Schwarzschild-Radius
finiert. Das ist hier aber nicht weiter von Belang, denn der Stern selbst ist ja stets größer als
.
Wie wir in Abbildung 16.2 sehen, ist die Abweichung des Potentials von der Drehimpulsbarriere klein, wenn der Stern groß ist im Verhältnis zu seinem Schwarzschild-Radius. Die Abweichung
wird umso größer, je kompakter der Stern ist, und bei einem kritischen Radius
passiert
etwas ganz merkwürdiges. Das Potential bildet dort einen Sattelpunkt, und für
sogar
eine Mulde mit einem Minimum im Innern des Sterns.
Wir können diesen kritischen Radius leicht berechnen. Da wir uns dort noch außerhalb des
Sterns befinden, gilt die Formel (16.38), und folglich ist
g

1
g õ
D
!
L ­ für
(16.42)
auf einer Kreisbahn umlaufen. Ein Beobachter, der sich
Offenbar kann ein Lichtstrahl bei
dort befindet, kann seinen eigenen Hinterkopf betrachten, indem der einmal um der Stern herum,
zwar nicht um die Ecke, aber gewissermaßen um die Kurve schaut. Das klingt zunächst ein wenig
merkwürdig. Aber wir werden im nächsten Kapitel versuchen, uns eine anschauliche Vorstellung
davon zu verschaffen, wie so etwas möglich ist.
Auch das werden wir uns im nächsten Kapitel anschaulich klar machen. Wir müssen dazu jedoch erst noch eine spezielle Methode entwickeln, um eine gekrümmte Raumzeit anschaulich
darzustellen. An dieser Stelle bleibt uns nichts anderes übrig als die Lösungen der Bewegungsgleichungen so, wie sie sind, hinzunehmen.

1
Aufgabe 16.8 Man zeige, dass für einen bei

1
umlaufenden Lichtstrahl
(16.43)
Lichtablenkung an der Sonne
g
V
K
£
Wir wollen nun den Fall betrachten, dass der Stern groß ist im Vergleich zu seinem SchwarzschildRadius, und die Bahn eines Lichtstrahls berechnen, der den Stern nahe seiner Oberfläche passiert.
Das ist genau die in Abbildung 16.1 dargestellte Situation.
Wenn der Effekt groß genug ist, dann müsste er sich ganz einfach messen lassen. Ein Beobachter, zum Beispiel auf der Erde, sieht einen Stern, der eigentlich hinter der Sonne steht, wegen der
Lichtablenkung neben ihr am Himmel stehen. Der Stern scheint am Himmel eine andere Position
von der Position abweicht, an der er zu sehen ist, wenn
einzunehmen, die um einen Winkel
die Sonne nicht zwischen ihm und dem Beobachter steht.
zu bestimmen.
Wir müssen nun die Bewegungsgleichungen explizit lösen, um den Winkel
und
zu betrachten, da wir uns nur für die
Es genügt natürlich, nur die Funktionen
Bahnkurve interessieren. Sie müssen die folgenden Differentialgleichungen erfüllen, die sich aus
(16.34) und (16.35) ergeben. Wenn wir die entsprechenden Funktionen
und
einsetzen,
lauten sie
gilt, und dass die Weltlinie
£
!
!
V
:æ
:
K:
D +æ
1

:æ
:
+
K: D
:
(16.44)
!
!
!

1
!
é
!
O
tatsächlich lichtartig ist und die Bewegungsgleichungen löst.
K
Õ
Ö
g W
;
æ
; g
V
ï
auf einen Stern
Aufgabe 16.9 Was tut ein Lichtstrahl, der mit dem Stoßparameter
der Masse
zu läuft, wenn der Radius des Sterns
größer bzw. kleiner als der kritische Radius
ist?
(16.45)
g

ú
+

1
æ
!
ï+
Aufgabe 16.10 Es sei der minimale Stoßparameter für einen Lichtstrahl, der die Oberfläche
des Sterns nicht trifft, sondern den Stern ungehindert passiert. Man berechne als Funktion der
Masse
und des Radius
des Sterns. Welche anschauliche Bedeutung hat die Größe für
einen Beobachter, der den (leuchtenden) Stern aus großer Entfernung betrachtet?
Wenn wir diese beiden Gleichungen durcheinander teilen, bekommen wir eine Differentialgleichung für eine Funktion
, die die Bahnkurve beschreibt,
4
ï+
g
W
K
D
g
æ (16.46)
ï+

+
3
2

ï
1
+
K) Die Bahnkurve des Lichtstrahls hängt also nur vom Verhältnis
ab. Dieses wiederum hängt
über (16.41) mit dem Stoßparameter und dem minimalen Abstand zusammen. Es ist an dieser
Stelle günstig, als Parameter zu verwenden. Die zu lösende Differentialgleichung lautet dann
+
4
3
Ö
+ +
Õ
g +
W
+
2
æ (16.47)
setzen, vereinfacht sie sich noch ein wenig,
+
)
H
Wenn wir
H
H
4
g
+
W
H
æ H
H (16.48)
3
2
Da der bei
umlaufende Lichtstrahl auf einem Potentialmaximum sitzt, ist seine Bahn
offenbar instabil. Eine kleine Abweichung bewirkt, dass der Lichtstrahl entweder nach außen
entkommt oder auf die Sternoberfläche fällt. Nehmen wir einmal an, der Stern sei transparent,
oder es handele sich gar nicht um einen Lichtstrahl, sondern um ein anderes masseloses Teilchen,
das den Stern ungehindert durchdringen kann. Dann passiert mit einem solchen Teilchen etwas
sehr unerwartetes, wenn es von der instabilen Bahn nach innen fällt.
Es wird offenbar von dem Stern eingefangen. Es oszilliert in der Potentialmulde, läuft also auf
einer Bahn um, die teilweise innerhalb und teilweise außerhalb, oder ganz innerhalb des Sterns
liegt. Wie die Bahn konkret aussieht, hängt von der Materieverteilung im Stern ab. Aber in jedem Fall ist kann ein Teilchen, dessen Energie unterhalb der Schwelle in Abbildung 16.2(d)
liegt, dem Stern nicht entkommen. Es gibt also lichtartige Geodäten, die für immer innerhalb des
kritischen Radius
bleiben.
K
g

¤
1
191
×
+
Da wir diese Gleichung nicht exakt lösen können, machen wir folgende Näherung. Für einen
Lichtstrahl, der die Sonne passiert, ist sicher
, denn die Sonne ist sehr viel größer
š
H
%
(16.49)
ï

4
ï
×
4 D

I
4
ï!

für
Denn beide Äste tragen jeweils zur Hälfte zur Ablenkung bei. Dass
positiv ist, bedeutet, dass
das Licht tatsächlich zur Sonne hin abgelenkt wird. Wie man in Abbildung 16.1 sieht, legt der
Lichtstrahl insgesamt einen Winkel zurück, der größer als ist.
£
H
als ihr Schwarzschild-Radius. Da ferner beide Terme in der eckigen Klammer proportional zu
sind und nur Werte zwischen und
annimmt, ist der zweite Term stets sehr viel kleiner als
der erste. Wir verwenden daher die Entwicklung
W
Das ergibt
­ !
Aufgabe 16.11 Auch die Newtonsche Gravitationstheorie besagt, dass Licht von der Sonne abgelenkt wird, wenn man annimmt, dass Licht aus klassischen, massiven Teilchen besteht, die sich
mit Lichtgeschwindigkeit nach den Gesetzen der klassischen Mechanik bewegen. Man setze f ür
in (16.38) das entsprechende effektive Potential ein und führe ansonsten genau die gleiche
Rechnung durch. Man zeige, dass sich dann nur die Hälfte von (16.55) für den Ablenkwinkel
ergibt.
£
4 H
H
H
g +
4 D
H
æ H
H (16.50)
æ
H !
machen. Wir kennen die
Jetzt müssen wir nur noch einen guten Ansatz für die Funktion
Lösung für
, denn dann bewegt sich der Lichtstrahl auf einer Geraden. In diesem Fall ist
die Lösung
. Wir machen daher den Ansatz
1 F.W. Dyson, A.S.E. Eddington, C.R. Davidson: A Determination of the Deflection of Light by the Sun’s Gravitational
Field from Observations Made at the Total Eclipse of May 29, 1919, Phil. Trans. Roy. Soc. A 220 (1920) 291.
g
H!
)
”
˜˜™
D +æ
H !
æ
(16.51)
H !
À
HD !
)
”
˜˜™
D +æ
H !
æ
die Abwei-
+æ
H !
À
wobei
die Winkelkoordinate des Umkehrpunktes in Abbildung 16.1 ist, und
chung der Bahn von einer Geraden im flachen Raum bestimmt. Es ist dann

+
H !
L HÀ
+
4 D
H
æ H
H (16.52)
(16.55)
Damit kennen wir die Funktion
und können somit die Kurve in Abbildung 16.1 analytisch
beschreiben, jedenfalls in der Näherung
, also wenn der Umkehrpunkt des Lichtstrahls
weit außerhalb des Schwarzschild-Radius liegt.
Bevor wir Zahlen einsetzen, noch eine kleine Anmerkung zu den Wurzeln. Als wir die Gleichung (16.45) für aufgestellt haben, haben wir die positive Wurzel gewählt. Das heißt, wir
haben den Ast ausgewählt, auf dem der Lichtstrahl von der Sonne weg läuft. Der andere Ast sieht
natürlich genauso aus, wir müssen nur bei allen Wurzeln die Vorzeichen umkehren.
bestimmen, um den das
Wenn wir das berücksichtigen, können wir aus (16.54) den Winkel
Licht abgelenkt wird. Es ist
Die Lichtablenkung an der Sonne ist somit, wenn sie denn eine messbare Größenordnung erreicht,
ein sehr guter Kandidat für einen Test der allgemeine Relativitätstheorie. Wir haben gewissermaßen drei Theorien zur Auswahl, die alle ein anderes Ergebnis liefern. Die reine Maxwellsche
Wellentheorie im flachen Raum sagt voraus, dass es gar keine Lichtablenkung durch Gravitation
gibt. Die Newtonsche Theorie, wonach Licht aus Teilchen besteht, die sich gemäß der klassischen
Mechanik verhalten, sagt zwar auch eine gewisse Ablenkung voraus. Aber die Einsteinsche Theorie sagt die doppelte Ablenkung voraus.
Jetzt müssen wir nur noch feststellen, wie groß denn die Ablenkung konkret ist. Betrachten
der Radius
wir den Fall, dass der Lichtstrahl die Sonne gerade eben passiert, also
, also etwas weniger als
der Sonne ist. Der Zahlenwert, der sich daraus ergibt, ist
zwei Winkelsekunden. Bei einer Brennweite des Teleskops von einem Meter entspricht das einem
Abstand von einem hundertstel Millimeter in der Brennebene.
Zum Vergleich, der Durchmesser der Sonne oder des Mondes beträgt etwa
, das ist ungefähr das tausendfache. Die erforderliche Auflösung ist die, die man auch benötigen würde, um
auf dem Mond Abstände von etwa einem Kilometer aufzulösen. Mit einem guten Teleskop und
hochwertigen Photoplatten war das am Anfang des letzten Jahrhunderts durchaus möglich.
Das Prinzip der Messung ist in Abbildung 16.3 dargestellt. Die Idee ist denkbar einfach. Man
fotografiert zweimal dasselbe Sternbild, einmal bei Nacht, und einmal, wenn die Sonne gerade
davor steht. Da die Lichtablenkung mit dem Abstand des Lichtstrahls zur Sonne abnimmt, kann
man die weiter weg stehenden Sterne als feste Bezugspunkte verwenden und so durch Vergleich
der beiden Bilder die Verschiebung der Sterne in Sonnennähe bestimmen.
Jetzt gab es nur noch ein Problem. Es ist gar nicht so einfach, tagsüber Sterne zu fotografieren,
noch dazu solche, die unmittelbar neben der Sonne stehen. Das geht nur bei einer totalen Sonnenfinsternis. Der erste experimentelle Test der allgemeinen Relativitätstheorie bestand daher aus
einer Expedition nach Principe Island, einer Insel im Golf von Guinea, wo am 29. Mai 1919 eine
Sonnenfinsternis vor einem sternenreichen Hintergrund zu beobachten war.
oder
der berechneten
Das Ergebnis1 war eindeutig. Mit einer Messgenauigkeit von
Lichtablenkung an der Sonnenoberfläche, also genug, um die Newtonsche Theorie zu widerlegen,
Ló
£
H !
À
Ein Vergleich mit (16.50) liefert die folgende Differentialgleichung mit Anfangsbedingung für
,
H
H
WD g
H !
À
(16.54)
!
À
H
+
Mit ein bisschen Probieren lässt sie sich lösen. Die Lösung ist
L
4 H
H
g
H !
L À
(16.53)
H
Do
+
H !
æ
g
×
+
;
L
W
£
_
g +
$
£
(
g +
W !
š
À
!
À
192
Zeitartige Geodäten
Als nächstes wollen wir die Bahnen von massiven Körpern berechnen, also die zeitartigen
Geodäten der Schwarzschild-Metrik. Wir werden uns jetzt ganz auf den Bereich außerhalb des
Sterns beschränken, denn es ist offenbar sinnlos, von frei fallenden, massiven Körpern im Innern
eines Sterns zu sprechen.
Um die Bewegungsgleichungen zu bestimmen, gehen wir wieder von der Lagrange-Funktion
ist,
(16.1) aus, wobei jetzt aber
"#
Milchstraße
andere Galaxie
5
‚
W
6
; > y.6
; >U.
‚
W
!
=
; =
‚ (16.56)
Wir machen wieder den gleichen Ansatz. Die Weltlinie soll sich in der Äquatorebene befinden. Sie
,
und
beschrieben, während
konstant
wird also durch drei Funktionen
ist. Es gilt dann
(b)
(a)
!
!
W% )
:å
:æ
!
:!
:
(16.57)
‚
Dæ
; D
; !
é
D
; !
O
‚
W
!
=
; =
‚ Abbildung 16.3: Die Lichtablenkung an der Sonne kann man messen, indem man zwei Bilder
desselben Sternbildes anfertigt, einmal bei Nacht (a) und einmal bei einer Sonnenfinsternis (b).
W
An der Definition der Erhaltungsgrößen ändert sich nichts. Die Energie ist analog zu (16.30)
;
K
!
‚ O K
(
; ! ‚
O
? ; ?
0
w
(16.58)
Und dasselbe gilt für den Drehimpuls (16.31),
‚ æ
;
(
æ
; ‚
? ; ? w
(16.59)
ë
Nur die Nebenbedingung (16.32), die sich aus der Ableitung von nach
aus. Sie verlangt jetzt, dass die Weltlinie zeitartig ist, und lautet explizit
‚
ergibt, sieht anders
L
W
wurde die allgemeine Relativitätstheorie bestätigt. Eine sehr viel größere Genauigkeit erreicht
man auch heute nicht. Für optische Teleskope bietet eine Sonnenfinsternis noch immer die einzige
Gelegenheit, eine solche Messung durchzuführen. Aber die besten Teleskope sind fest installiert
und stehen nicht zufällig da, wo gerade eine Sonnenfinsternis stattfindet.
Genauere Messungen lassen sich mit Radioteleskopen durchführen. Tatsächlich hat man eine
Quelle für Radiowellen entdeckt, einen sogenannten Pulsar, der einmal jährlich von der Sonne
verdeckt wird. Da die Radiosignale nicht vom Sonnenlicht gestört werden, kann man die Peilung
jedes Jahr einmal durchführen. Man erreicht hierbei eine Messgenauigkeit von etwa
, also
des Messwertes von
, und auch diese Messungen bestätigen die allgemeine
Relativitätstheorie.
‚
Dæ
; D
; !
é
; !
O
Y
‚
6
; > .y6
; >U .
Ló
£
_
!
é
!
O
Nun gehen wir genau so vor wie zuvor, setzen aber gleich die Funktionen
und
für
den Außenbereich des Sterns explizit ein. Außerdem wählen wir das Einbein so, dass sich eine
ist. Das ist, wie wir bereits wissen oder aus
Eigenzeitdarstellung der Weltlinie ergibt, also
(16.60) ablesen können, für
der Fall. Die Gleichungen (16.58) und (16.59) lauten dann
n
:
)
‚
Aufgabe 16.12 Haben wir nicht etwas vergessen? Wenn wir die Lichtablenkung w ährend einer
Sonnenfinsternis beobachten, dann passiert der Lichtstrahl nicht nur die Sonne, sondern auch
noch den Mond. Man berechne die zusätzliche Ablenkung, die ein Lichtstrahl dadurch erfährt,
dass er auch noch den Mond passiert.
(16.60)
;
;
æ
K (16.61)
Ö
Õ
g W
Aufgabe 16.13 War es das Sternbild in Abbildung 16.3, das auf den Fotoplatten von 1919 zu
sehen war?
Offenbar ist die zweite Gleichung formal mit der gewöhnlichen Beziehung zwischen Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit in der klassischen Mechanik identisch. Die erste Gleichung entzwischen der Koordinatenzeit und der Eigenzeit in der
spricht der Beziehung
speziellen Relativitätstheorie.
K
)
n
)
193
festzuhalten, und nur
Es genügt also, die Masse , und damit den Schwarzschild-Radius
zu variieren. Für verschiedene Werte von , für die sich jeweils ein anderes typisches Verhalten
ergibt, ist das Potential in Aufgabe 16.4 als Funktion von dargestellt. Man beachte, dass nur
der Bereich
relevant ist, denn nur dort ist die Schwarzschild-Metrik wohldefiniert. Es hat
also an dieser Stelle keinen Sinn, das Potential nach
fortzusetzen, obwohl die Funktion
(16.66) dort noch definiert ist.
stets
ist, und für
gilt
.
Zunächst sehen wir, dass bei
Die potentielle Energie eines klassischen Teilchens, das in großer Entfernung ruht, ist demnach
. Laut (16.63) hängt diese klassische Energie über
mit der eigentlichen physikalische Energie des Teilchens in der Raumzeit zusammen, dessen Bewegungsgleichungen wir betrachten. Das ergibt, wie erwartet,
für ein Teilchen, das weit draußen in
Ruhe ist.
g
,
Ÿ

n!
Wenn wir das in (16.60) einsetzen, ergibt sich die folgende Gleichung für die Funktion
ò
Ÿ

j
ò
Ö
Ö
Õ
g W
D K
; D
g W
Õ
(16.62)

¤
ò
Das können wir noch ein wenig umschreiben und erhalten
W )
b
!
­ ò
Õ
K
K
W )
K
!
W)
W
K
K
;
Auch das können wir wieder als die Energie eines hypothetischen klassischen Teilchens mit der
Masse Eins auffassen, welches sich in einem effektiven Potential bewegt. Das Teilchen hat die
kinetische Energie ist
, und seine klassische Gesamtenergie ist
.
des Testkörpers ganz aus den Bewegungsgleichungen eliminieren,
Wir können die Masse
indem wir eine spezifische Energie
und einen spezifischen Drehimpuls
einführen. Es ist dann
š
b

­ !
W
; D
W
Ö
g W
Õ
Ö
D K
(16.63)
!
W)
K
W )
K
Planetenbahnen
K
)
Ÿ
)
Ñ
;
Ÿ ;
Ñ
æ
Ö
Õ
g W
(16.64)
Als erstes wollen wir uns fragen, ob und wo es kreisförmige Umlaufbahnen gibt. Ein Testkörper
läuft genau dann auf einer Kreisbahn um, wenn er auf einem Extremum des effektiven Potentials
sitzt. Es muss also gelten
und aus (16.63) wird
!
L ­ W
g
Ÿ
V
W
Diese Funktion hat nur dann Nullstellen, wenn
Stellen
ist. Sie befinden sich dann an den
Ÿ
W
g
^Ÿ
Ÿ (16.69)
6
Dass die Bewegungsgleichungen nicht von abhängen dürfen ist klar, denn die Weltlinie eines
frei fallenden Testkörpers hängt ja auf Grund des schwachen Äquivalenzprinzips nicht von seiner
Masse ab.
Aus der letzten Gleichung lesen wir jetzt das effektive Potential für die Radialbewegung ab,
(16.68)
!
g
Ÿ
g
õ
gŸ õ D
Ÿ
g Ö
g W
Õ
Ö
D Õ
Ÿ
W
; D
W
Ñ
(16.65)
g
W
š
b
W )
b

! g
­ V
W
ò ¤
!
g ­
V
W¤
W
Ö
Für
haben wir das in Abbildung 16.4(a) dargestellte Verhalten. Das Potential steigt
monoton von
bei
nach
für
. Ein Testkörper, der sich
dem Stern nähert, fällt auf jeden Fall auf den
mit einem spezifischen Drehimpuls
Stern, egal wie klein dieser ist. Es gibt nur drei Typen von Bahnen. Ein Körper kann aus dem
unendlichen kommen und auf den Stern fallen, oder umgekehrt vom Stern aufsteigen und ins
unendliche verschwinden. Oder der Körper steigt vom Stern auf und fällt wieder zurück.
Für
ergibt sich das Bild in Abbildung 16.4(b), (c) oder (d). Das Potential hat
bei
ein Minimum, und bei
ein Maximum. Für kleinere fällt es wieder auf
bei
ab. In diesem Fall gibt es offenbar bei
ein stabile, und bei
ein instabile Kreisbahn. Wir vermuten, dass die stabile Kreisbahn die Kepler-Bahn aus
der klassischen Mechanik ist.
Doch zunächst stellen wir fest, dass es eine untere Grenze für den Radius der stabilen Kreisbahn
. Das ist der Wert für , der sich an der unteren Grenze
gibt, nämlich
ergibt. Wenn genau diesen Wert hat, dann hat das Potential einen Sattelpunkt und folglich ist
Ÿ
gŸ Ÿ W
g D g W
Õ
Ö
D Õ
Ÿ
W
!
­ (16.66)
Ÿ
g
V
Wj 7
Ÿ 
ò
7
! ­ Der erste Term ist eine Konstante, die nicht weiter interessiert. Der zweite Term ist offenbar
das bekannte Newtonsche Potential für ein klassisches Teilchen der Masse Eins. Der dritte Term
ist wieder die ebenfalls aus der klassischen Mechanik bekannte Drehimpulsbarriere. Der letzte
Term ist derselbe, der zuvor auch schon für masselose Teilchen auftrat und für kleine relevant
wird. Ohne den letzten Term würden sich natürlich genau die Keplerschen Bahnen ergeben. Die
Relativitätstheorie sagt also ein Abweichung von den Kepler-Bahnen voraus, wenn der Abstand
zwischen der Sonne und dem Planeten klein ist.
Auch hier wollen wir das Potential zunächst wieder qualitativ diskutieren. Wie man in leicht
ab, denn
sieht, hängen die wesentlichen Eigenschaften des Potentials nur von dem Verhältnis
die folgende Reskalierung der Parameter und der Koordinate lassen es invariant,
g)
Ÿ
Ÿ
V
7
Ÿ
194
g
W
g
j
7
«
b
Ÿ«
b
Ÿ
a
a
b
g
«
ag
(16.67)
bewegt sich dort mit der Winkelgeschwindigkeit
7
Teilchen auf einer Kreisbahn bei
Ç ('
Ç ('
; <
+
:-
&8
*
æ
; <
*
7
7
g
g 7
7
Ÿ ;
¢
+
,-
&8
(16.71)
ú
W
ist somit
¢
>
g
g
7
o
7
%
W
7
% 7
W Ÿ
(c)
ü
ü
=ü
&?
(a)
%)
n7
Die Umlaufzeit
(16.72)
n7
Ç ('
Ç ('
Milchstraße
andere Galaxie
+
:.*
n7 ) 7
&8
+
9*
-)
&8
Die so berechnete Umlaufzeit
ist die von einer mitbewegten Uhr gemessene Zeit, denn wir
hatten für das Einbein
eingesetzt, so dass sich eine Eigenzeitdarstellung der Weltlinie
zu berechnen, die ein weit entfernter Beobachter misst, müssen wir
ergab. Um die Umlaufzeit
wissen, wie schnell die Koordinatenzeit als Funktion der Eigenzeit vergeht.
‚
; <
; <
n
eines Teilchens auf einer stabilen Kreis-
Ñ7
ü
ü
ü
Aufgabe 16.14 Man bestimme die spezifische Energie
und zeige, dass
bahn bei
(d)
=ü
=ü
(b)
È
>
>
7
g
Ö
7
W
Õ
g
7 7
Ñ7
(16.73)
o
+
,
,
0
80
)*
)*
80
:*
+
+
Abbildung 16.4: Das effektive Potential eines massiven Teilchens in der Schwarzschild-Metrik.
Für
(a) steigt das Potential monoton an. Für
(b) bildet
(c) erreicht das Maximum
sich eine Mulde, in der das Teilchen oszillieren kann. Bei
bei
den Wert des Potentials im unendlichen. Für
(d) liegt das Maximum
bei
oberhalb des Wertes im unendlichen. Die gestrichelte Linie ist jeweils das effektive
-Term in (16.66).
Potential in der Newtonschen Theorie, also ohne den
@
@
:*
&8
Daraus leite man den folgenden Zusammenhang zwischen der Eigenzeit
zeit
her,
A
n
und der Koordinaten-
&
+
:*
8
=ü
T
n!
=ü
ü &ü
;
g
7 7
CBü (16.74)
o
hier nicht
und der Koordinatenzeit
n
Warum ist der Zusammenhang zwischen der Eigenzeit
durch
gegeben?
7
00 U
!
g
7
7
Wenn wir diese Formel verwenden und in (16.72) einsetzen, bekommen wir einen Zusammenhang zwischen dem Radius
der Kreisbahn und der Umlaufzeit , gemessen von einem ruhenden Beobachter in großer Entfernung,
7
g
%
$
j
7
(16.75)
die Bahn auch instabil. Es gibt also keine stabilen Kreisbahnen für
. Eine solche
Beschränkung gibt es in der klassischen Mechanik nicht. Der minimale Radius ist gerade doppelt
so groß wie der Radius der Kreisbahn, die ein Lichtstrahl beschreiben kann.
. Wie lange dauert
Nehmen wir also an, wir befinden uns auf einer Kreisbahn mit
eines Körpers auf der Kreisbahn bei
dann ein Umlauf? Dazu müssen wir den Drehimpuls
kennen. Da der Ausdruck (16.68) bei
Null ist, finden wir
7
7
7
7
Ÿ
g
7
7
7
g
g 7
Ÿ
(16.70)
ú
Das ist natürlich genau das Keplersche Gesetz, wonach sich die dritten Potenzen der Bahnradien
wie die Quadrate der Umlaufzeiten verhalten. Für kreisförmige Planetenbahnen gilt also in der
allgemeinen Relativitätstheorie auch das Keplersche Gesetz. Allerdings gibt es eine untere Grenze
für den Radius der Kreisbahn.
Nun hängt der Drehimpuls über (16.64) mit der Winkelgeschwindigkeit zusammen, das heißt ein
g
Stabile Kreisbahnen existieren für Radien
. Die Quadrate der Umlaufzeiten
verhalten sich wie die dritten Potenzen der Radien .
j
7
7
7
195
g
j
¤
, und für das Aphel gilt
$
Für das Perihel einer stabilen Umlaufbahn gilt
.
g
g
Aufgabe 16.15 Die instabilen Kreisbahnen treten für
auf. Man zeige,
dass für diese Bahnen die gleiche Beziehung zwischen Radius um Umlaufzeit besteht. Es ist gilt
also
"
g
j
"7
!
g
g
g
g
g
$
g
$
g
¤
¤
¤
¤
wobei
die von einer mitbewegten Uhr gemessene Umlaufzeit ist, und
die von einem ru?
henden Beobachter in großer Entfernung gemessene. Was passiert im Grenzfall
Warum geht die Eigenzeit
gegen Null, die Koordinatenzeit
aber nicht?
Aufgabe 16.16 Ein Körper befindet sich auf einer instabilen Kreisbahn bei
und erfährt
einen sehr kleinen Stoß nach außen, so dass er die instabile Kreisbahn verl ässt. Was tut er, wenn
ist? Uns was tut er im Fall
?
%
$
%
$
n
(16.76)
n
g
b
7
n7
g
Aufgabe 16.17 Man diskutiere die Bahnen von Kometen, die aus dem unendlichen kommen. Man
zeige, dass jeder Komet, der irgendwann näher als
an den Stern heran kommt, unwiderruflich verloren ist und auf den Stern fällt.
g
Ÿ
V
Wj
Für
gibt es neben den stabilen Kreisbahnen offenbar auch elliptische Bahnen, oder
jedenfalls gebunden Bahnen, auf denen der Radius zwischen zwei Umkehrpunkten oszilliert.
Der Bereich, in dem das Teilchen oszillieren kann, ist in Abbildung 16.4 jeweils hell unterlegt.
für den sonnennächsten und Aphel
Die Umkehrpunkte werden in der Astronomie mit Perihel
für den sonnenfernsten Punkt bezeichnet. Nehmen wir also an, das Teilchen oszilliert zwischen
den Radien
und .
Welche Einschränkungen gelten dann für
und ? Das hängt davon ab, ob sich das Maximum des Potentials bei
oberhalb oder unterhalb des Wertes
befindet. Wie man leicht
feststellt, liegt genau bei
der Fall in Abbildung 16.4(c) vor, das heißt die Potentialbarriere nach innen hat genau die Höhe des Potentials im unendlichen. Wir müssen also nochmal
zwischen zwei Fällen unterscheiden.
ist, dann liegt der Fall in Abbildung 16.4(b) vor. Das Teilchen
Wenn
und einem äußersten Umkehrpunkt oszillieren, der uns hier nicht
kann irgendwo zwischen
weiter interessiert. Für das Perihel gilt also
. Für das Aphel gilt
, weil sich der
äußere Umkehrpunkt immer außerhalb oder, für die Kreisbahn selbst, auf der stabilen Kreisbahn
befinden muss. Nun ist, wie wir wissen,
, und wie man leicht aus (16.69) entnimmt,
ist
, falls
ist, was wir ja hier annehmen. Also ist in jedem Fall
g

"
+
3
"7
«
"
"7
«
"
"7

+
W )
g
$
Ÿ
Aufgabe 16.18 Eine Raumstation befindet sich in großer Entfernung zu einem Stern (Masse ,
Radius ), und ruht relativ zu ihm. Sie möchte ihren Müll entsorgen, indem sie ihn auf den Stern
wirft. Der Müll verlässt die Raumstation mit einer Geschwindigkeit in eine Richtung, die um
einen Winkel von der Verbindungslinie zum Zentrum des Sterns abweicht. Wie genau muss der
Entsorger zielen, das heißt wie groß darf höchstens sein, damit der Müll auch sicher auf dem
Stern landet? Wenn der Radius
des Sterns unbekannt ist, wie genau muss dann gezielt werden,
damit der Müll ganz sicher landet?
Perihelverschiebung
g
k
Ÿ¤
V
$ ¤
W
7
j
"
"7
g
j
7
g
$
g
$
Ÿ
¤
j
g
g
$
(16.77)
j
j
"
"7
£
g
$
Ÿ
n
n
n !
æ
n!
Jetzt betrachten wir den Fall
, also die in Abbildung 16.4(c) und (d) dargestellten
Situationen. Jetzt kann das Teilchen beliebig weit nach außen schwingen, aber der innere Umkehrpunkt ist durch den Punkt
begrenzt, der sich aus der Gleichung
ergibt.
Die Lösung dieser Gleichung ist
Bis auf die Berechnung der Umlaufzeiten waren das alles rein qualitative Betrachtungen. Es ist,
anders als beim klassischen Kepler-Problem, nicht möglich, die Bewegungsgleichungen analytisch zu lösen. Wir wollen aber zum Abschluss noch eine explizite Rechnung durchführen, die
mit der Eingangs erwähnten Beobachtung zu tun hat, dass die Planetenbahnen keine geschlossenen Ellipsen sind, sondern dass sich das Perihel bei jedem Umlauf ein wenig verschiebt.
Abbildung 16.5 zeigt eine schematische Darstellung dieses Vorgangs. Wir betrachten zwei aufeinander folgende äußere Umkehrpunkte. Im allgemeinen liegen sie nicht an derselben Stelle
gegeneinander verschoben. Wenn wir die Koorim Raum, sondern sind um einen Winkel
dinatenfunktionen
und
betrachten, und und die Eigenzeiten der beiden äußeren
Umkehrpunkte sind, so gilt
W )
!
­ +
%D
£
W
!
n !
æ
j
£
g
$
g
g
196
£
g
Ÿ
$
j
+
g
$
g
g $
$ Ÿ +
ist dies auch der Radius der instabilen Kreisbahn, das heißt in diesem Fall ist
. Ansonsten, also für
, ist
. Also gilt auch in diesem Fall
die Einschränkung (16.77) für die Umkehrpunkte eines stabilen Umlaufbahn.
Damit kommen wir zu folgendem Schluss. Es gibt keine stabilen Umlaufbahnen um einen Stern
erreichen, oder ganz innerhalb
mit der Masse , die irgendwo einen Abstand kleiner als
eines Bereiches von
liegen.
nD æ
n!
einmal in der Potentialmulde in Abbildung 16.4 hin und her
Während die radiale Koordinate
mehr als eine Umdrehung.
schwingt, macht die Winkelkoordinate
Der Winkel
wird Perihelverschiebung oder Periheldrehung genannt. In Abbildung 16.5 ist
eigentlich eine Aphelverschiebung dargestellt, aber diese ist natürlich genau so groß wie die Pezu berechnen, müssten wir die Bewegungsgleichungen explizit lösen.
rihelverschiebung. Um
Wir wollen hier nur einen sehr einfachen Fall betrachten, für den wir mit einer Näherung zurecht
kommen.
g
$
Für
!
n
æ
!
n !
n
g
Ÿø
Ÿ
D
Ÿ +
(16.78)
(16.79)
7
eingesetzt. Daraus folgt
g g
7 7
7 g
W
£
n
7
%
n
(16.82)
ú
Eingesetzt in (16.80) ergibt sich
(16.83)
£
W
Ö
g
7 "#
Milchstraße
andere Galaxie
%
7
Õo
g
Die Periheldrehung ist demnach positiv, so wie in Abbildung 16.5 gezeigt, und sie wird im Grenzfall
beliebig groß. Wir erinnern uns, dass dies die untere Schranke für stabile Kreisbahnen ist. Ein Körper, der an einer Stelle
umläuft, umkreist den Sterns sehr oft,
während er einmal zwischen den Umkehrpunkten hin und her schwingt, weil das Potential in
Abbildung 16.4(b) sehr flach wird.
wird
sehr klein. Dort sind die Planetenbahnen näherungsweise
Für große
geschlossenen Ellipsenbahnen. Das sollte natürlich auch so sein, denn dort gilt die Newtonsche
Näherung und damit gelten auch die klassischen Keplerschen Gesetze. Schauen wir jedoch etwas
genauer hin, so finden wir in erster Ordnung in
die folgende Abweichung,
b
7
I
n
g
7
£
g
×
7
g
Abbildung 16.5: Anders als beim klassischen Kepler-Problem sind die Umlaufbahnen der Planeten keine geschlossenen Ellipsen. Perihel und Aphel einer Umlaufbahn verschieben sich bei
.
jedem Umlauf um einen Winkel
7)
"#
4
g
g
g
£
%
I
£
ID
(
W
7
Õ
%
D
(16.84)
7
7
Ö
Für praktische Zwecke ist es nützlich, das in eine Kreisfrequenz
umzurechnen, die angibt, wie
schnell sich das Perihel aus der Sicht eines weit entfernten Beobachters um den Stern dreht. Wir
pro Umlauf durch die Umlaufzeit
teilen, die durch (16.75)
müssen dazu nur den Winkel
gegeben ist,
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n!
7
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7
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4
(16.85)
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D
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n
n
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I
£
¢
Wir wollen den Fall betrachten, dass die Umlaufbahn nur sehr wenig von einer stabilen Kreisbahn bei
abweicht. Wir können dann annehmen, dass die Radialkoordinate
eine
ausführt, während sich
kleine harmonische Schwingung um das Potentialminimum bei
die Winkelkoordinate so verhält wie auf der Kreisbahn. Wir entnehmen dann aus (16.71), dass
der gesamte in der Zeit
zurückgelegte Winkel
wie folgt gegeben ist,
æ
7
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L$
Hier haben wir wieder den Drehimpuls (16.70) für ein Teilchen auf einer stabilen Kreisbahn bei
L$
D
n
£)
%
W
%
(16.81)
¢
Für
müssen wir nun die Periode einer harmonischen Schwingung um das Potentialminimum
bei
einsetzen. Da unser hypothetisches klassisches Teilchen, das dort schwingt, die Masse
Eins hat, ist die Schwingungsfrequenz
einfach durch die zweite Ableitung des Potentials
an dieser Stelle gegeben. Es gilt also
W
Die Winkelgeschwindigkeit, mit der das Perihel rotiert, nimmt also mit
nach außen hin
sehr schnell ab. Das liegt daran, dass die Umlaufzeiten der Planeten bereits mit
abnehmen,
und zusätzlich die Perihelverschiebung pro Umlauf mit
abfällt.
Wenn es eine Möglichkeit gibt, diesen Effekt zu messen, dann wohl eher bei einem Planeten
in der Nähe der Sonne als bei einem weiter entfernten. Setzen wir die Masse der Sonne und den
ein Wert von
pro Jahrhundert. Das ist
Radius der Bahn des Merkur ein, so ergibt sich für
nicht gerade viel. Aber da man die Bahnen der Planeten bereits über einige Jahrhunderte hinweg
sehr genau beobachtet hat, hatte man diesen, und zwar genau diesen Wert bereits gemessen.
Wie Eingangs erwähnt, haben die Beobachtungen nämlich schon lange vor der allgemeinen
Relativitätstheorie gezeigt, dass die Bahn des Merkur eine unerklärliche Perihelverschiebung von
pro Jahrhundert aufwies. Die einzige Erklärung, die die klassische Mechanik bot, war
die Annahme, dass es irgendwo noch einen unentdeckten Planeten gibt.
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4 7
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7
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W
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(16.80)
)
)
verallgemeinern, die wir später noch sehr häufig benötigen. Das wichtigste solche Konzept ist die
kausale Struktur einer Raumzeit, die uns sagt, welche Ereignisse mit welchen anderen Ereignissen
in einer kausalen Beziehung stehen. Wir werden diese Konzepte zum Teil erst im nächsten Kapitel
benötigen, wenn wir uns fragen, was eigentlich jenseits des Schwarzschild-Radius passiert, wenn
der Stern über den letzten stabilen Zustand hinaus weiter schrumpft.
Sie führen uns aber auf eine ganz natürliche Weise zu einer anschaulichen Erklärung der oben
erwähnten Phänomene, also insbesondere zu einer Erklärung des Verhaltens von Lichtstrahlen
und Testkörpern in der Nähe von sehr kompakten Himmelskörpern. Und sie geben Anlass zu
einigen interessanten Spekulation über die Bewohner eines solchen extremen Himmelskörpers,
die die Welt ganz anders sehen würden als wir von der Erde aus.
Zukunft, Vergangenheit und Gegenwart
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E
k
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Das Ziel dieses Kapitels ist es, uns eine anschauliche Vorstellung von einer gekrümmten Raumzeit zu verschaffen. Nachdem wir im letzten Kapitel verschiedene quantitative Aussagen über
das Verhalten von Lichtstrahlen im Gravitationsfeld eines Sterns und über Planetenbahnen gemacht haben, die man auch tatsächlich nachmessen kann, wollen wir jetzt versuchen, einige der
qualitativen Aussagen besser zu verstehen.
einen Lichtstrahl, der den Stern
Warum, zum Beispiel, gibt es gerade bei
umkreist, wenn dieser nur klein genug ist? Und warum kann ein Testkörper, der von außen kommt
und einmal diesen kritischen Radius unterschreitet, nie mehr zurückkommen, sondern muss unweigerlich auf die Oberfläche des Sterns fallen? Alle diese Phänomene haben kein Analogon in
der Newtonschen Gravitationstheorie. Wir wollen hier zeigen, dass sie mit der Kr ümmung des
Raumes zu tun haben.
Zunächst werden wir dazu einige aus der speziellen Relativitätstheorie bekannten Konzepte
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æ
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W
£
17 Kausale Struktur und die Geometrie des Raumes
F
E
7
¢
Aufgabe 16.19 Haben wir nicht in den letzten Schritten etwas falsch gemacht? Als wir die Kreisfrequenz
in (16.85) berechnet haben, haben wir für
die Umlaufzeit eingesetzt. Aber die
Umlaufzeit ist die Zeit, die der Planet benötigt, um einmal um den Stern zu kreisen, also einen
Winkel
zurück zu legen. Es ist nicht die Zeit, die der Planet benötigt, um den Winkel
zwischen zwei Periheldurchgängen zurück zu legen. Eigentlich hätten wir die
dafür benötigte Zeit einsetzen müssen. Warum dürfen wir an dieser Stelle trotzdem
einsetzen?
m
FE Eine wesentliche Eigenschaft des Minkowski-Raumes in der speziellen Relativitätstheorie war
seine kausale Struktur. Wenn wir zwei Ereignisse
gegeben hatten, dann konnten wir
fragen, ob es einen kausalen Zusammenhang zwischen ihnen gibt oder nicht. Wir hatten gesagt,
dass in der Zukunft von liegt, wenn es eine positiv zeitartige Kurve von nach gibt.
Die physikalische Aussage war, dass es dann für einen Beobachter im Prinzip möglich ist, vom
Ereignis zum Ereignis zu gelangen.
der Raumzeit zugeordnet, die aus
Jedem Ereignis wurde so eine Teilmenge
allen Ereignissen bestand, zu denen man von aus auf einer zeitartigen Weltlinie gelangen kann.
Diese Teilmenge hatten wir die Zukunft von genannt. Den Rand dieser Teilmenge bildete der
Vorwärtslichtkegel
, der aus allen von ausgehenden Lichtstrahlen bestand. Entsprechend
hatten wir die Vergangenheit
und den Rückwärtslichtkegel
definiert. Alles, was
. Die Bezeichnungen , , und
standen für zeitartig,
übrig blieb, war die Gegenwart
lichtartig, und raumartig.
Die gleichen Definitionen können wir auch auf eine gekrümmte Raumzeit anwenden. Auch
eine gekrümmte Raumzeit hat eine kausale Struktur. Man kann nicht von jedem Ereignis auf
zeitartigen Kurven zu jedem anderen Ereignis gelangen. Allerdings wird diese Struktur im allgemeinen komplizierter sein als die kausale Struktur des Minkowski-Raumes. Es ist nicht ohne
weiteres möglich, ganz allgemein zu entscheiden, ob ein Ereignis in der Zukunft eines anderen
liegt oder nicht. Im Falle der Schwarzschild-Metrik ist es zum Beispiel nicht sofort offensichtlich, ob zwei Ereignisse in einem kausalen Zusammenhang stehen oder nicht, wenn wir nur deren
Koordinaten kennen.
Betrachten wir deshalb die Definition der kausalen Struktur einer gekrümmten Raumzeit
etwas genauer. Der metrische Tensor
definiert in jedem Ereignis
eine Metrik der
Signatur
auf dem Tangentenraum
. Der Tangentenraum hat also genau die gleiche
Struktur wie der Minkowski-Raumes der speziellen Relativitätstheorie. Wir können an jedem
einen lokalen Lichtkegel einführen. Er besteht aus allen lichtartigen Vektoren
Ereignis
in
mit
.
F
Dass die allgemeine Relativitätstheorie genau diesen Wert lieferte, trug natürlich nicht unerheblich zu ihrer Anerkennung bei. Das erstaunliche an diesem Erfolg ist, dass neue Theorien sonst
meist auch neue Parameter enthalten, die erst angepasst werden müssen, um dann die Phänomene
richtig zu erklären. Man stelle sich zum Beispiel ein modifiziertes Newtonsches Gravitations-Term im Potential vor. In einer solchen Theorie könnte die
gesetz mit einem zusätzlichen
Periheldrehung auch erklärt werden.
Es würde sich sogar genau das gleiche effektive Potential (16.66) ergeben, und damit genau
-Term müsste von Hand so eingestellt
die gleichen Planetenbahnen. Aber der Vorfaktor des
werden, dass die richtige Periheldrehung des Merkur heraus kommt. Man würde sich dann vielleicht wundern, warum der dort einzusetzende Zahlenwert gerade zufällig das Produkt aus der
Gravitationskonstante, der Masse der Sonne, und dem Drehimpuls des Merkur zum Quadrat ist.
Aber man hätte dafür keine Erklärung.
Die allgemeine Relativitätstheorie enthält dagegen nur einen einzigen freien Parameter,
nämlich , und der lässt sich bereits aus den Umlaufzeiten der Planeten ermitteln, so wie in
der klassischen Mechanik auch. Dass sie trotzdem den richtigen Wert für die Periheldrehung des
Merkur liefert, ist deshalb ein Beleg dafür, dass sie der Wirklichkeit wahrscheinlich ein Stück
näher kommt als eine modifizierte die klassische Theorie. Denn sie hat weniger Parameter und
damit braucht sie weniger Daten, um an die Wirklichkeit angepasst zu werden.
>
begrenzt, der aus allen von ausgehenden Lichtstrahlen gebildet wird.
Über die globale Struktur dieses Lichtkegels und damit über die globalen Eigenschaften der
Menge
aller Ereignisse, zu denen man von aus gelangen kann, lässt sich jedoch im
allgemeinen wenig sagen. Es sind viele Situationen denkbar, die im flachen Minkowski-Raum
nicht vorkommen. So könnte es zum Beispiel sein, dass zwei Ereignisse und , wie in Abbildung 17.1(b) dargestellt, zwar eine gemeinsame Vergangenheit haben, aber keine gemeinsame
.
Zukunft, also
Zwei Beobachter, die sich bei und befinden, haben dann keine Möglichkeit mehr, miteinander zu kommunizieren, oder sich zu treffen. Im flachen Minkowski-Raum gibt es eine solche
Situation nicht. Zu zwei vorgegebenen Ereignissen und gibt es dort immer ein Ereignis , so
dass die Vektoren
und
beide positiv zeitartige sind. Ein solches Ereignis existiert in
Abbildung 17.1(b) nicht. Wir werden im nächsten Kapitel sehen, dass genau diese merkwürdige
Situation bereits in der eigentlich sehr einfachen Schwarzschild-Raumzeit auftritt, wenn wir diese
in den Bereich hinter dem Schwarzschild-Radius fortsetzen.
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Abbildung 17.1: Die kausale Struktur einer gekrümmten Raumzeit (a) ergibt sich aus den lokalen Lichtkegel. Der lokale Lichtkegel bestimmt, welche Richtungen in diesem Ereignis zeitartig,
eines Ereignisses ist die Menge aller Erlichtartig bzw. raumartig sind. Die Zukunft
eignisse, die man von aus auf positiv zeitartigen Kurven erreichen kann. Der Vorwärtslichtkebesteht aus den durch laufenden Lichtstrahlen. Entsprechend sind Vergangenheit
gel
und Rückwärtslichtkegel
definiert. Die Gegenwart
besteht aus allen Ereignissen, die zu keinen kausalen Zusammenhang haben. Es kann vorkommen (b), dass zwei
Ereignisse und eine gemeinsame Vergangenheit, aber keine gemeinsame Zukunft haben.
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(b)
(a)
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Milchstraße
andere Galaxie
Aufgabe 17.1 Ein einfaches Beispiel für eine andere Raumzeit, in der dieses Phänomen auftritt,
. Seine Metrik lautet
ist der zweidimensionale deSitter-Raum
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Kˆ
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(17.1)
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die Koordinaten sind und eine Konstante ist. Man betrachte die beiden
und
. Man zeige, dass genau dann
ist, wenn
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wobei
Ereignisse

ist.
E
Es kann auch sein, dass sich Lichtstrahlen, die ein Ereignis in verschiedene Richtungen verlasnicht mehr identisch mit
sen, später wieder schneiden. In diesem Fall ist der Lichtkegel
dem Rand der Zukunft
. Dieses Phänomen beobachtet man sogar. Es gibt Objekte, von
denen sieht man am Himmel zwei oder mehr Bilder. Das Licht hat also verschiedene Wege zur
Auswahl, um von dort hierher zu gelangen. Der Lichtkegel dieses fernen Objektes ist dann kein
einfacher Kegel mehr, sondern eine komplizierte dreidimensionale Hyperfläche in der Raumzeit,
die sich selbst überschneidet.
Und schließlich gibt es noch eine andere sehr merkwürdige Eigenschaft, die die kausalen Struktur einer gekrümmten Raumzeit haben kann. Sie kann zu allerlei physikalischen und anderen Paradoxien führen. Es kann geschlossene zeitartige Kurven geben, also zeitartige Kurven, die von
einem Ereignis wieder zu zurückkehren. Jemand, der sich entlang einer solchen Kurve bewegt, kann in seine eigene Vergangenheit reisen. Eine geschlossene zeitartige Kurve ist demnach
eine Zeitmaschine.
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!
E
7
G
!
E
E
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Am besten stellen wir uns die lokalen Lichtkegel, wie in Abbildung 17.1(a) angedeutet, als
kleine, an den jeweiligen Ereignissen angeheftete Doppelkegel vor. Die Gesamtheit aller dieser
lokalen Lichtkegel bestimmt dann die kausale Struktur der Raumzeit. So ist zum Beispiel eine
zeitartige Kurve eine, die an jedem Ereignis, durch das sie läuft, innerhalb des lokalen Lichtkegels
liegt. Ein raumartige Kurve ist eine, die überall außerhalb des lokalen Lichtkegels liegt, und eine
lichtartige Kurve verläuft überall tangential dazu. Wir können uns die lokalen Lichtkegel auch als
eine Art Wegweiser vorstellen, die uns an jedem Ereignis sagen, in welche Richtung wir gehen
dürfen und in welche nicht, wenn wir uns auf einer zeitartigen Weltlinie durch die Raumzeit
bewegen.
ausgehenden zeitartigen KurBetrachten wir nun die Menge aller von einem Ereignis
, denn es
ven, deren Tangentenvektor bei positiv zeitartig ist. Diese bilden die Zukunft
sind die Kurven, auf denen sich ein Beobachter, der das Ereignis miterlebt hat, bewegen könnte. Lokal, also in der Nähe des Ereignisses , sieht die Teilmenge
so ähnlich aus wie die
entsprechende Teilmenge im Minkowski-Raum. Sie wird durch den Vorwärtslichtkegel
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E
E
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U
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d c
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7
E
Aufgabe 17.2 Dazu bedarf es nicht einmal einer Krümmung der Raumzeit. Man betrachte eine
, also das Produkt aus einem Kreisring und einem dreidimensioMannigfaltigkeit
nalen Raum. Die Koordinaten seien
, wobei die Koordinate auf dem Kreisring ist. Der
>U.
lichtartig ist, ist auch bezüglich
[ >U.
.3
, der bezüglich
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!
d c
Ein Vektor
identisch. Auf dieser Mannigfaltigkeit sei die
d c
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Punkt
sei mit dem Punkt
folgende, flache Metrik gegeben,
(
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G
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E
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Konforme Transformationen
k
8m
Die kausale Struktur einer Raumzeit ist unter konformen Transformationen der Metrik invariant.
Tatsächlich sind die konformen Transformation genau die Transformationen der Metrik, die die
kausale Struktur einer Raumzeit invariant lassen. Wir werden das hier aber nicht explizit beweisen, denn es ist im folgenden unerheblich. Wichtig ist nur, dass die kausale Struktur unter
konformen Transformationen invariant ist.
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>U.
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oder umgekehrt
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[ >U .
>U .
>U .
¢
[ >U .
Aufgabe 17.3 Der Beweis kann zunächst auf einem Vektorraum geführt, und von dort auf die
Tangentenräume einer Mannigfaltigkeit
und
zwei Metriübertragen werden. Es seien
ken der Signatur
auf einem -dimensionalen Vektorraum . Sie sollen die Eigenschaft
haben, dass jeder Vektor
, der bezüglich
lichtartig ist, auch bezüglich
lichtartig ist,
das heißt es gilt (17.5). Man zeige, dass es dann eine positive Zahl gibt, so dass (17.3) gilt.
Daraus folgt, dass sich die kausale Struktur einer Raumzeit nicht ändert, wenn wir die Metrik
in jeden Ereignis
mit einer beliebigen positiven Konstanten multiplizieren. Mit
anderen Worten, wir dürfen die Metrik
durch eine neue Metrik
ersetzen, die wie folgt
gegeben ist,
(17.3)
>U.
7
Die kausale Struktur einer Raumzeit kann also durchaus kompliziert sein. Um sie zu analysieren,
wollen wir jetzt ein paar allgemeine Methoden entwickeln. Der entscheidende Punkt ist, dass wir,
um die kausale Struktur einer Raumzeit zu kennen, nur die lokalen Lichtkegel kennen müssen. Es
ist nicht die volle Kenntnis der Metrik erforderlich. Um eine Kurve als raumartig oder zeitartig
zu klassifizieren, müssen wir nicht deren Länge oder Eigenzeit kennen. Es genügt zu wissen, ob
sie überall innerhalb oder überall außerhalb der Lichtkegel liegt.
Dasselbe gilt für raumartige und zeitartige Vektoren. Wir müssen dazu nur das Gleichheitszeichen
durch ein Größer- bzw. Kleinerzeichen ersetzen. Also definiert die konform transformierte Metrik
dieselben lokalen Lichtkegel, und damit dieselbe kausale Struktur wie die echte Metrik
.
Eine Kurve, die bezüglich der echten Metrik zeitartig, raumartig bzw. lichtartig ist, hat dieselbe
Eigenschaft bezüglich der konform transformierten Metrik. Was sich ändert, sind nur die Längen
der Kurven, bzw. deren Eigenzeiten. Aber solange wir nur fragen, ob es m öglich ist, von einem
Ereignis zu einem anderen zu gelangen, uns aber nicht dafür interessieren, wie lange es dauert,
dorthin zu gelangen, müssen wir die Länge einer Kurve nicht kennen. Wir halten also fest:
[ >U.
Nun sei
irgendein Ereignis. Man zeige, dass
ist. Man kann also von jedem
Ereignis zu jedem anderen auf einer in die Zukunft gerichteten zeitartigen Kurve gelangen. Man
zeige auch, dass man sogar in beliebig kurzer Eigenzeit von jedem Ereignis zu jedem anderen
eines Ereignisses aus?
gelangen kann. Wie sieht der Vorwärtslichtkegel
(17.5)
>
. 33
[ >U.
>
. 33
>U.
D
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D
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(17.2)
lichtartig, denn es gilt
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Durch eine geeignete Koordinatentransformation
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¢
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[ >U .
Aufgabe 17.4 Um die kausale Struktur des zweidimensionalen deSitter-Raumes aus Aufgadurch. Das
be 17.1 zu analysieren, führen wir eine konforme Transformation mit
konform transformierte Linienelement lautet dann
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6
—
”
™˜
[
Ÿ
Der Faktor kann ein beliebiges, positives skalares Feld auf
sein. Wir nennen eine solche Abbildung einer Metrik
auf eine andere Metrik eine konforme Transformation, und das skalare
Feld heißt konformer Faktor.
Wir können uns vorstellen, dass durch eine konforme Transformation die Tangentenräume
einer Mannigfaltigkeit um einen Faktor
gesteckt bzw. gestaucht werden. Es ist dabei
wichtig, festzustellen, dass eine konforme Transformation nichts mit Koordinatentransformationen oder etwas ähnlichem zu tun hat. Es wird wirklich eine Metrik durch eine andere ersetzt, so
dass sich die geometrischen Eigenschaften einer Mannigfaltigkeit verändern. Wir werden uns das
später noch explizit klar machen.
ist unphysikalisch in dem Sinne, dass sie für zeitartige
Die konform transformierte Metrik
eine falsche Länge liefert. Nämlich eine um
und raumartige Vektoren im Tangentenraum
den Faktor
zu kleine oder zu große, je nachdem ob der konforme Faktor an dieser Stelle
größer oder kleiner als Eins ist. Was sich aber nicht ändert, und darauf kommt es im folgenden
an, ist die kausale Struktur der Raumzeit.
Was ist nun der Sinn dieser Überlegung? Nehmen wir an, wir hätten eine Raumzeit mit einer
Metrik
gegeben, und wir wollen deren kausale Struktur analysieren. Dann können wir die
Metrik möglicherweise durch eine einfachere Metrik ersetzen, indem wir ein skalares Feld
geschickt wählen und eine entsprechende konforme Transformation durchführen. Die kausale
Struktur der Raumzeit bleibt davon unberührt. Wir können also ebenso gut die kausale Struktur
gehört. Wir werden später an vielen Beispielen sehen, wie nützlich
analysieren, die zur Metrik
diese Eigenschaft ist.
(17.6)
lässt sich dies auf die Form
(17.7)
bezüglich der Metrik
gilt dann
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Um deutlich zu machen, dass bei einer konformen Transformation nicht alle geometrischen Eigenschaften einer Raumzeit erhalten bleiben, betrachten wir eine Geodäte
bezüglich der
Metrik
, dargestellt als Funktion irgendeines Kurvenparameters . Wir wollen zeigen, dass
diese Kurve im allgemeinen keine Geodäte bezüglich der transformierten Metrik
ist.
Wir schreiben dazu die Geodätengleichung in der Form auf, wie sie sich als Bewegungsgleichung für ein Teilchen der Masse aus der Variation der Lagrange-Funktion (16.1) ergibt,
y.6 D
Lichtartige Geodäten
Für eine Geodäte
bringen. Man finde die Koordinatentransformation, zeichne ein Bild von dieser Raumzeit mit
der konform transformierten Metrik, und erkläre anhand dieser Darstellung, warum es in der
Raumzeit Ereignisse gibt, die keine gemeinsame Zukunft haben.
(17.10)
Um zu sehen, dass das nicht die Geodätengleichung bezüglich
ist, formen wir die Gleichung
noch ein wenig um. Wir schreiben
für die Ableitung des konformen Faktors entlang der Kurve, und bringen diesen Term auf die rechte Seite. Ferner verwenden wir die zweite
Gleichung in (17.8), um den letzten Term auf der linken Seite zu vereinfachen. Es ist nämlich
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>
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(17.11)
Die Gleichung (17.10) lässt sich damit wie folgt schreiben,
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(17.8)
(17.12)
durch
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Da wir das Einbein ohnehin frei wählen können, ersetzen wir die positive Funktion
, und zwar so, dass
eine andere positive Funktion
!
!
[ : ‚
Wir betrachten hier nur zeitartige und lichtartige Geodäten. Für raumartige Kurven müssten wir
durch eine negative Zahl ersetzen, ansonsten gilt für sie das gleiche.
Hier ist
wie üblich das aus der Metrik
gebildete Christoffel-Symbol, welches auch die
bezüglich der Metrik
definiert. Eine Kurve
, die diese Gleichung
kovariante Ableitung
für irgendeine Funktion
erfüllt, ist demnach eine Geodäte bezüglich der Metrik
. Wir
wollen zeigen, dass dies im allgemeinen keine Geodäte bezüglich der Metrik
ist.
Wenn wir die Definition (10.60) des Christoffel-Symbols und die Beziehung (17.4) zwischen
den beiden Metriken verwenden, dann bekommen wir
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¢
‚
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>U . >U .
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(17.13)
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Setzen wir das in (17.12) ein, so ergibt sich
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Ohne den letzten Term auf der rechten Seite wäre dies die Geodätengleichung bezüglich der Metrik
. Er verschwindet nur, wenn der konforme Faktor konstant ist. Also sind die Geodäten
nur dann mit den Geodäten bezüglich der Metrik
identisch, wenn
bezüglich der Metrik
die konforme Transformation eine Streckung der Raumzeit um einen konstanten Faktor ist.
ist, also die Geodäte lichtartig ist, dann ist der
Es gibt aber eine Ausnahme. Wenn
letzte Term gleich Null. Folglich ist jede lichtartige Geodäte bezüglich der Metrik
auch eine
lichtartige Geodäte bezüglich der Metrik
. In einer konform transformierten Raumzeit sehen
also nicht nur die Lichtkegel gleich aus. Es ist darüber hinaus auch so, dass sich jeder einzelne
Lichtstrahl in der transformierten Raumzeit genau so verhält wie in der eigentlichen Raumzeit.
Den Beweis dafür hätten wir übrigens auch einfacher haben können. Wenn wir uns die
Lagrange-Funktion für eine lichtartige Geodäte
bezüglich der Metrik
anschauen,
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¢
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>U.
!
das aus der Metrik
gebildete Christoffel-Symbol, das offenbar nur dann gleich
Hier ist
ist, wenn der konforme Faktor konstant ist.
In diesem Fall ist die konforme Transformation einfach eine gleichmäßige Streckung der gesamten Raumzeit um den Faktor . Es ist klar, dass dann die Geodäten bezüglich der Metrik
auch Geodäten bezüglich der Metrik
sind. Wenn die Längen aller Kurven mit einem konstanten Faktor multipliziert werden, dann ist eine Kurve maximaler Eigenzeit bezüglich der einen
Metrik auch eine Kurve maximaler Eigenzeit bezüglich der anderen Metrik.
Interessant ist eine konforme Transformation also nur, wenn der konforme Faktor nicht konbezüglich der Metrik
unterscheidet sich dann von der
stant ist. Die kovariante Ableitung
bezüglich der Metrik
, und somit definieren beide Metriken unterkovarianten Ableitung
schiedliche Geodäten. Wir sehen das, wenn wir (17.9) in die Geodätengleichung (17.8) einsetzen.
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[ >U .
:=
bezüglich der Metrik
, wobei
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sowie die Lagrange-Funktion für eine lichtartige Geodäte
wir das Einbein jetzt mit
bezeichnen,
>U .
&.
6
; >. 6
; [ >U .
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W
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[ ‚ [ [ >U .
[ &>
201
(17.16)
:‚
[ : ‚
so finden wir, dass die beiden Lagrange-Funktionen identisch sind, wenn wir die Hilfsfunktionen
und
gemäß (17.13) identifizieren,
!
!
¢
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; =
‚ !
=
; =
[ ‚ [ (
[ ‚
‚
(17.17)
8
die gleichen Formeln für die wahrgenommenen Frequenzen und Winkel, also insbesondere f ür die
Geometrie des Bildes, das er sieht.
Man zeige, dass sich bei einer konformen Transformation, wenn dabei die Lichtwellen und die
Weltlinie des Beobachters unverändert bleiben, zwar die wahrgenommenen Frequenzen ändern,
aber nicht die wahrgenommenen Winkel. Der Beobachter am Ereignis sieht das gleiche Bild,
rot- bzw. blauverschoben ist.
nur dass es insgesamt um den Faktor
8
!
Das Verhalten von Lichtstrahlen ist unter konformen Transformationen der Metrik
invariant.
¢
Also liefern beide Lagrange-Funktionen dieselben Bewegungsgleichungen, und somit dieselben
lichtartigen Geodäten.
Wir finden also, dass nicht nur die kausale Struktur einer Raumzeit unter konformen Transformationen invariant ist, sondern sogar jeder einzelne Lichtstrahl in der konform transformierten
Raumzeit das gleiche Verhalten zeigt.
Statische Raumzeiten
Wir wollen nun das Theorem über die Invarianz von lichtartigen Geodäten unter konformen
Transformationen benutzen, um die kausale Struktur und das Verhalten von Lichtstrahlen in einer
statischen Raumzeit zu untersuchen.
Eine statische Raumzeit hatten wir wie folgt definiert. Es gibt eine Zeitkoordinate und drei
Raumkoordinaten , die wir zu einem Vektor zusammenfassen. Für das Linienelement gilt
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O
J
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2U
8
>U .
!
J
2
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Ÿ
(17.20)
O
wobei
eine positiv definite, dreidimensionale Metrik ist, und
eine positive Funktion.
Beide hängen nur von den drei räumlichen Koordinaten , aber nicht von der Zeit ab.
Natürlich ist kein Vektor im mathematischen Sinne, sondern nur ein Tripel von Koordinaten.
Aber diese Schreibweise ist ganz nützlich, weil sie mit der Schreibweise übereinstimmt, die wir
für die Raum-Zeit-Aufspaltung im Minkowski-Raum verwendet haben. Ein Ereignis
ist durch einen Zeitpunkt und einen Ort gegeben. Ferner sind in einer statischen Raumzeit,
genau wie im Minkowski-Raum, Raum und Zeit zueinander orthogonal. Der Raum zu einem
Zeitpunkt ist einfach die Menge aller gleichzeitigen Ereignisse.
2U
!
!
J
Aufgabe 17.5 Im Umkehrschluss heißt das, dass wir allein aus der Kenntnis der lokalen Lichtkegel auf die Weltlinien von Lichtstrahlen, also auf die lichtartigen Geod äten schließen können.
Man mache sich anschaulich klar, woran das liegt, und warum eine solche Schlussfolgerung f ür
raumartige und zeitartige Geodäten nicht gilt.
2
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¢
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(17.19)
Man zeige, dass diese Feldgleichungen unter der folgenden Transformation invariant sind,
8
.> &.
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A
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&.
(17.18)
.>
Aufgabe 17.6 Dass sich Licht auf lichtartigen Geodäten ausbreitet, ist natürlich nur eine idealisierte Vorstellung. Die gemachten Aussagen lassen sich aber pr äzisieren. Licht ist eine elektromagnetische Welle, die durch die Maxwell-Gleichungen im Vakuum beschrieben wird, also durch
mit
ein antisymmetrisches Tensorfeld zweiter Stufe
«
«D
b
b
a
2 c
2a
Aufgabe 17.8 Im Gegensatz zur speziellen Relativitätstheorie hat der Begriff “gleichzeitig” in
einer statischen, gekrümmten Raumzeit eine absolute Bedeutung. Man zeige, dass nur die folgenden Koordinatentransformationen die Form (17.20) der Metrik erhalten: beliebige r äumliche
, sowie lineare Zeittransformationen
, wobei und
Transformationen
Konstanten sind. Keine dieser Koordinatentransformationen hat jedoch Einfluss auf die Definition
der Gleichzeitigkeit.
¬
¬
!
.>
die Maxwellgleichungen erfüllt, dann tut er
Mit anderen Worten, wenn ein Feldstärketensor
dies auch dann noch, wenn wir die Metrik konform transformieren. Licht als elektromagnetische
Welle verhält sich in einer konform transformierten Raumzeit genau so wie in der wirklichen
Raumzeit.
2
In einer statischen Raumzeit ist es daher sinnvoll, unabhängig voneinander von einem Raum und
einer Zeit zu sprechen. Der Raum ist eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit mit den Koordinaten
. Durch die Einbettung in die Raumzeit wird auf dem Raum eine Metrik
induziert. Sie ist
positiv, unabhängig von der Zeit, und definiert den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum, den
wir mit ruhenden Maßstäben messen. Wir sagen, dass die Metrik
die metrische Geometrie des
Raumes bestimmt. Der Grund für diese etwas merkwürdige Formulierung wird uns gleich klar
werden. Die wesentliche Eigenschaft dieser Geometrie ist die folgende.
J
2U
J
202
2U
W
Aufgabe 17.7 Wir hatten am Ende von Kapitel 4 gezeigt, dass man das Bild, das sich einem Beobachter in der Raumzeit darstellt, im Prinzip aus den Wellenvektoren der Lichtwellen, die auf
ihn zu laufen, und seiner 4-Geschwindigkeit rekonstruieren kann. Die entscheidenden Formeln
waren (4.88) für die wahrgenommene Frequenz und (4.93) für den Winkel, den der Beobachter
zwischen zwei einlaufenden Wellen wahrnimmt.
Auch in einer gekrümmten Raumzeit können wir in einer genügend kleinen Umgebung eines Ereignisses die allgemeine Lösung der Maxwell-Gleichungen als eine Überlagerung von ebenen
Wellen schreiben. Befindet sich der Beobachter an einem solchen Ereignis, so gelten demnach
In einer statischen Raumzeit ist die metrische Geometrie des Raumes diejenige Geometrie, bezüglich der die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten eine Geod äte
ist.
inverse Metrik. Es gilt also
[ 2U J
Metrik
O
Die zusätzliche Information, die wir benötigen, um aus dieser Geometrie des Raumes die der
Raumzeit zu rekonstruieren, wird durch die Funktion
gegeben. Sie bestimmt, anschaulich
gesprochen, wie schnell die physikalische Zeit an verschiedenen Orten im Raum vergeht. Die
zwischen zwei Ereignissen am selben Ort hängt mit der Koordinatenphysikalische Zeit
zeitdifferenz
über
(17.21)
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(17.26)
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aufspalten, so ergibt
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Offenbar ist die erste Gleichung nichts anderes als die Geodätengleichung für die dreidimensionale Metrik . Mit anderen Worten, die Bahn
eines Lichtstrahls im Raum ist tatsächlich
eine Geodäte bezüglich der Metrik .
Zusätzlich müssen wir noch die zweite Gleichung in (17.8) berücksichtigen, die dafür sorgt,
dass die Weltlinie des Lichtstrahls in der Raumzeit lichtartig ist. Sie lässt sich jetzt wie folgt
schreiben,
(17.28)
[ 2U J
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.
(17.22)
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[ 2 U J
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durch eine konforme Transformation mit dem Faktor
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2U
[ 2U J
aus
n
wobei
geht,
J
[2 U
£
£
zusammen. Das ist uns schon aus der Diskussion der Rot- und Blauverschiebung von Lichtwellen
in statischen Gravitationsfeld bekannt. In einer statischen Raumzeit können wir demnach die
vierdimensionale Metrik
in eine dreidimensionale, räumliche Metrik
und eine Funktion
zerlegen, die die Zeitdilatation zwischen Uhren an verschiedenen Orten bestimmt.
Es gibt aber noch eine zweite Möglichkeit, eine räumliche Metrik und damit eine Geometrie
des Raumes einzuführen. Wir schreiben dazu das Linienelement (17.20) wie folgt um,
Wenn wir jetzt die Geodätengleichung (17.14) für einen Lichtstrahl
, und diese in einen räumlichen Anteil
und einen Zeitanteil
sich
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J
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2U
[ 2U J
O
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J
2U !
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[ 2U J
Diese Gleichung besagt offenbar, dass sich das Licht mit Lichtgeschwindigkeit im Raum ausbreitet. Allerdings wird diese Geschwindigkeit jetzt bezüglich der konform transformierten Metrik
definiert. Auf der rechten Seite steht der zurückgelegte Weg, definiert durch die räumliche Metrik
, und auf der linken Seite steht die dafür benötigte Zeit, die aber nicht die physikalische Zeit
ist, sondern die Koordinatenzeit.
Dass die Aussage trotzdem die richtige physikalische Bedeutung hat, nämlich die, dass sich
das Licht mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, liegt daran, dass wir auf beiden Seiten der Gleichung
(17.28) gewissermaßen den gleichen Fehler machen. Zwischen der Koordinatenzeit und der physikalischen Zeit besteht der Zusammenhang (17.21). Aber das ist auch genau der Zusammenhang
zwischen dem Abstand zweier Punkte im Raum, gemessen mit der konform transformierten Metrik , und dem wirklichen Abstand, gemessen mit der Metrik .
Wir können das wie folgt zusammenfassen. Um das Verhalten von Lichtstrahlen in einer statischen Raumzeit zu untersuchen, betrachten wir die dreidimensionale Metrik , definiert durch
(17.22). Wir sagen, dass diese Metrik die optische Geometrie des Raumes bestimmt. Ein Lichtstrahl bewegt sich auf einer Geodäten bezüglich dieser Metrik durch den Raum. Er legt dabei in
die Strecke
zurück, wobei auch diese Strecke durch die Metrik
der Koordinatenzeit
definiert wird.
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J
[ 2U
J
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J
[ 2U
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[ 2U J
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(17.24)
[ 2U J
ist eine positiv definite, dreidimensionale Metrik. Sie bestimmt aber keine Abstände
Auch
zwischen Punkten im Raum, und die Geodäten bezüglich dieser Metrik sind folglich auch keine Kurven minimaler Länge. Trotzdem hat auch diese Metrik eine anschauliche physikalische
Bedeutung.
Die Behauptung ist, dass die Geodäten bezüglich der Metrik
die Bahnen von Lichtstrahlen
im Raum sind. Der Beweis ist nicht sehr schwierig. Wir betrachten dazu das konform transformierte, vierdimensionale Linienelement
J
[ 2U
£
£
J
[ >U.
Wie wir wissen, verhalten sich Lichtstrahlen in einer Raumzeit mit dieser Metrik genau wie Lichtstrahlen in der wirklichen Raumzeit, deren Metrik durch (17.22) gegeben ist.
ist aber besonders einfach.
Die Geodätengleichung für die konform transformierte Metrik
Da die Zeitkomponente
konstant ist, die gemischten Komponenten
noch immer
verschwinden, und die räumlichen Komponenten
nur vom Ort abhängen, sind die einzigen
diejenigen mit drei räumlinicht verschwindenden Komponenten des Christoffel-Symbols
chen Indizes,
[ 02 U
[ 00 U
[ 2U
In einer statischen Raumzeit ist die optische Geometrie des Raumes diejenige Geometrie, bezüglich der die Bahn eine Lichtstrahls eine Geodäte ist.
J
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A
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2U
J
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Hier sind
die räumlichen Komponenten der inversen, konform transformierten Metrik
. Da
Raum und Zeit zueinander orthogonal sind, ist
aber auch einfach die zur dreidimensionalen
J
[2 U
J
[2 U
Die optischen Geometrie des Raumes, definiert durch die dreidimensionale Metrik
, unter.
scheidet sich also von der metrischen Geometrie des Raumes, definiert durch die Metrik
Während die Geodäten bezüglich der optischen Geometrie die Bahnen von Lichtstrahlen im
Raum sind, sind die Geodäten bezüglich der metrischen Geometrie die Kurven minimaler Länge.
Das ist im allgemeinen nicht dasselbe.
[ 2U
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[ U
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[ UJ
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(17.25)
203
Die metrische Geometrie des Raumes wird folglich durch das dreidimensionale Linienelement
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2U
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(17.31)
J
beschrieben. Das interessiert uns aber gar nicht, wenn wir das Verhalten von Lichtstrahlen untersuchen wollen. Statt dessen betrachten wir die konform transformierte Metrik
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(17.32)
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und die daraus abgeleitete optische Geometrie des Raumes, definiert durch das dreidimensionale
Linienelement
(17.33)
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O
Welche der beiden Geometrien die richtige oder die wahre Geometrie des Raumes ist, lässt
sich nicht allgemein festlegen, sondern hängt von der Situation ab, die wir konkret beschrieben
wollen. Es ist ebenso natürlich, zu sagen, eine Geodäte sei die Bahn eines Lichtstrahls, wie zu
verlangen, eine Geodäte soll die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten im Raum sein.
Welche der beiden dreidimensionalen Metriken wir jeweils wahrnehmen, hängt davon ab, wie
wir die Geometrie des Raumes vermessen. Wenn wir dies mit Hilfe von ruhenden Maßstäben und
gespannten Seilen tun, von denen wir dann annehmen, dass die Geodäten sind, dann messen wir
die Metrik , also die metrische Geometrie. Wenn wir dagegen, wie ein moderner Landvermesser, optische Peilgeräte verwenden, um die Metrik des Raumes zu vermessen, dann messen wir
die optische Geometrie, also die Metrik .
Oder, um es noch anschaulicher zu formulieren, es ist die Metrik , die wir sehen, wenn wir
uns im wahrsten Sinne des Wortes im Raum umschauen. Wenn wir dagegen den Raum ertasten,
indem die darin herumlaufen und Abstände messen, dann ist es die metrische Geometrie, also
, die wir wahrnehmen. Wenn beide sehr stark voneinander abweichen, das Feld
die Metrik
also stark variiert, dann wird das zu allerhand optischen Täuschungen führen. In starken
Gravitationsfeldern ist geradeaus schauen nicht mehr dasselbe die geradeaus laufen.
2U
J
!
O
Aufgabe 17.9 Im Gravitationsfeld der Erde ist die Abweichung zwischen der optischen und
der metrischen Geometrie natürlich minimal. Aus dem Äquivalenzprinzip hatten wir folgende
Raumzeit-Metrik für ein auf der Erdoberfläche ruhendes Koordinatensystem hergeleitet,
Natürlich ist dieses Linienelement noch immer kugelsymmetrisch. Auch bezüglich der optischen
Geometrie können wir uns den Raum aus ineinander liegenden Kugelschalen zusammengesetzt
vorstellen.
Allerdings ist der Oberflächenradius einer Kugelschale an der Stelle jetzt nicht mehr, wie
in der metrischen Geometrie, durch die Koordinate selbst gegeben, sondern durch die Funktion
. Dasselbe gilt für den Abstand zweier ineinander liegenden Kugelschalen mit den Koordinaten und
. Der metrische Abstand der beiden Kugelschalen, der sich aus (17.31) ergibt,
ist
. Der optische Abstand, der sich aus (17.33) ergibt, ist dagegen
. Die
optische Geometrie unterscheidet sich also von der metrischen Geometrie, wenn
ist.
Wir wollen versuchen, uns von dieser optischen Geometrie eine anschauliche Vorstellung zu
und
aus Kapitel 15 ein, das heißt wir wollen
machen. Dazu setzen wir die Funktionen
ganz konkret das Gravitationsfeld eines kugelsymmetrischen Himmelskörpers mit der Masse
und dem Radius
betrachten. Außerhalb des Himmelskörpers, für
, gilt dann (15.25),
also
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
ø
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O
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Aufgabe 17.10 Man stelle sich den Laser aus Aufgabe 17.9 als einen Strahl von (massiven) Teilchen vor, die sich in einer flachen Newtonschen Raumzeit mit einem Gravitationspotential
nach den Gesetzen den klassischen Mechanik bewegen. Um wieviel weicht der Laserstrahl in der
Mitte der Strecke dann von einer Geraden ab?
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O ) !
! O
é
é
ø
Ein Laserstrahl verbinde zwei Orte auf gleicher Höhe , deren metrischer Abstand km beträgt.
Um wieviel weicht der Laserstrahl in der Mitte der Strecke von der kürzesten Verbindung der
beiden Orte ab?
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(17.29)
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(17.34)
Wenn wir wieder annehmen, dass der Himmelskörper eine konstante Dichte hat, dann können wir
für den Bereich im Innern die Funktionen (15.54) einsetzen. Es gilt also für
Die Schwarzschild-Metrik

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(17.35)
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Damit diese Funktionen wohldefiniert sind, mussten wir voraussetzen, dass
ist, das heißt der Radius des Sterns muss mehr als das
fache seines Schwarzschild-Radius
betragen. Das wollen wir im folgenden natürlich annehmen.
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204
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Um zu zeigen, dass diese bis jetzt etwas abstrakten Überlegungen auch einen praktischen Nutzen
haben, wollen wir nun als konkretes Beispiel das Gravitationsfeld eines kugelförmigen Sterns
betrachten. Viele Ergebnisse aus dem letzten Kapitel lassen sich jetzt nämlich sehr anschaulich
darstellen und erklären. Insbesondere werden wir eine verblüffend einfache Erklärung dafür fineinen Stern umkreisen kann.
den, warum ein Lichtstrahl bei
Betrachten wir zuerst eine statische, kugelsymmetrische Metrik in der allgemeinen Form
(15.4),
(17.30)
Es ist natürlich alles andere als offensichtlich, wie dieser Raum aussieht. Wir können uns aber
auf einfache Weise ein Bild von ihm machen, indem wir ihn in einen höherdimensionalen, Euklidischen Raum einbetten, so dass die Metrik durch die Einbettung induziert wird. Es stellt sich
heraus, dass wir mit einer zusätzlichen Dimension auskommen. Wir werden also versuchen, den
in einen vierdimensionalen Euklidischen
dreidimensionalen Raum mit den Koordinaten
einbetten.
Raum mit den Koordinaten
Wir benötigen dazu eine Einbettungsabbildung
, so dass diese Einbettung die optische Geometrie (17.33) induziert. Es muss also gelten
Milchstraße
andere Galaxie
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Abbildung 17.2: Die optische Geometrie des Raumes für verschiedene Sternradien
bei gleicher Masse . Außerhalb des Sterns ist der Raum negativ gekrümmt, und seine Krümmung
nimmt nach außen hin ab. Innerhalb des Sterns ist die Krümmung positiv. Das Innere eines Sterns
und erscheint in der Einbettung
konstanter Dichte hat die optische Geometrie einer Sphäre
als Ausschnitt aus einer Kugelschale. Ist der Radius
groß im Vergleich zum Schwarzschild, so ist der Raum überall nur schwach gekrümmt. Je kleiner das Verhältnis
Radius
, desto mehr krümmt sich der Raum in der Nähe der Oberfläche und im Innern des Sterns.
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der Oberflächenradius einer Sphäre bei ist, machen wir den Ansatz
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(17.37)
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ist eine zunächst unbekannte Funktion. Wenn wir das in (17.36) einsetzen, dann ergibt
sich nach einer kurzen Rechnung eine Differentialgleichung für
,
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Der Ricci-Tensor ist proportional zur Metrik und dem Krümmungsskalar , und dieser ist konstant. Für einen Himmelskörper, der sehr viel größer ist als sein Schwarzschild-Radius, gilt näherungsweise
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(17.40)
×
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für

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Um eine Vorstellung von der Größenordnung der Krümmung zu bekommen, vergleichen wir das
mit dem Krümmungsskalar eine dreidimensionalen Sphäre .
T
dargestellt. Gezeigt ist
Das Ergebnis ist in Abbildung 17.2 für verschiedene Werte von
, eingebettet in einen dreidimenjeweils die Äquatorebene, also die Koordinatenebene
sionalen Euklidischen Raum mit den Koordinaten
, wobei nach oben aufgetragen ist.
Die Rotationssymmetrie in der horizontalen Ebene ist sofort offensichtlich. Um die dritte Dimension des Raumes zu ergänzen, müssen wir uns eine horizontale Kreislinie in der Abbildung als
Kugelschale vorstellen.
Um den Unterschied zwischen der Geometrie innerhalb und außerhalb des Sterns zu verdeutdurchgeschnitten. Wenn wir die Masse
des
lichen, haben wir den Raum jeweils bei
Sterns festhalten und nur den Radius
variieren, dann sieht der äußere Teil des Raumes immer
gleich aus. Weit draußen ist der Raum fast flach, nur in der Nähe des Sterns wölbt er sich leicht.
[ 2
Aufgabe 17.11 Wir sollten uns jedoch davon überzeugen, dass eine Lösung existiert. Dazu muss
die rechte Seite der Gleichung (17.38) positiv sein. Man setze die Funktionen (17.34) bzw. (17.35)
ein und zeige, dass dies der Fall ist.
T
Diese lässt sich sogar analytisch lösen. Da wir hier aber nur an den qualitativen Eigenschaften
der Einbettungsabbildung interessiert sind, werden wir auf die explizite Lösung nicht näher eingehen. Für die folgenden graphischen Darstellungen genügt es ohnehin, die Differentialgleichung
numerisch zu lösen.
Je kleiner der Stern wird, desto größer wird die Krümmung des Raumes in seiner Nähe, und umso
stärker ist auch der Raum in Innern des Sterns gekrümmt.
Es stellt sich heraus, dass der Raum in Innern des Sterns ein dreidimensionaler symmetrischer
Raum mit positiver Krümmung ist, das heißt es handelt sich um ein Segment einer dreidimensionalen Sphäre , die in Abbildung 17.2 als kreisförmiges Segment einer Kugelschale erscheint.
Um den Krümmungsradius dieser Kugelschale zu bestimmen, betrachten wir den Ricci-Tensor
, der zu der Metrik
im Innern gehört. Man findet, da es sich um einen symmetrischen
Raum handelt,
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+

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S
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205
"
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S
Aufgabe 17.12 Man zeige, als Verallgemeinerung von Aufgabe 10.22, dass der Kr ümmungsskalar für eine -dimensionale Sphäre
mit dem Oberflächenradius durch
Milchstraße
andere Galaxie
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Wenn wir annehmen, dass der Stern sehr viel größer ist als sein Schwarzschild-Radius, also die
Näherung (17.40) benutzen, dann entspricht die Krümmung des Raumes im Innern des Sterns der
Krümmung einer Sphäre
mit dem Oberflächenradius
. Für die Erde ergibt
das
m. Das ist etwa die Entfernung Erde–Sonne.
Der Raum im Innern der Erde hat also die gleiche Krümmung wie eine dreidimensionale
Sphäre, deren Radius etwa von der Größenordnung der Bahn der Erde um die Sonne ist. Wenn
wir uns das Gravitationsfeld der Erde in Abbildung 17.2 dargestellt vorstellen, dann heißt das,
dass das Stück in der Mitte, das die Erde darstellt, ein Segment aus einer Kugelschale ist, deren
Mittelpunkt im Einbettungsraum etwa so weit oberhalb der dargestellten Fläche liegt, wie die
Sonne von der Erde entfernt ist. Daraus sollte klar werden, dass die Krümmung verschwindend
gering ist. Der Raum ist in sehr guter Näherung flach.
Für die Sonne ist das Verhältnis nicht mehr so extrem. Der Krümmungsradius des Raumes
im Innern der Sonne ist nur noch um einen Faktor
größer als sie selbst. Mit anderen Worten,
um das Gravitationsfeld im Innern der Sonne in Abbildung 17.2 darzustellen, müssen wir in die
Mitte ein Segment aus einer Kugelschale einsetzen, dessen Radius etwa ein Winkelgrad auf der
Kugelschale beträgt. Ein solches Segment weist bereits eine merkliche Krümmung auf. Aber
leider ist weder die Erde noch die Sonne transparent, so dass es nur schwer möglich ist, diese
optische Geometrie des Raumes direkt zu sehen.
Aber wir können eine entsprechende Abschätzung natürlich auch für den Außenraum
durchführen. Da der Raum dort nicht mehr symmetrisch ist, also nicht in alle Richtungen
gleichmäßig gekrümmt ist, ist der Ricci-Tensor nicht mehr proportional zur Metrik. Man findet
statt dessen
,*
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gegeben ist.
W
I
(b)
"
(a)
Abbildung 17.3: Durch die Krümmung des Raumes werden Lichtstrahlen, die einen Stern passieren, zum Stern hin abgelenkt. Die Ablenkung ist umso größer, je kompakter der Stern ist, und
sie ist maximal für einen Lichtstrahl, der unmittelbar an der Oberfläche des Sterns passiert.
"
2
Aufgabe 17.14 Die Ricci-Tensoren (17.39) und (17.41) geben die optische Kr ümmung des Raumes an, also diejenige Krümmung, die man mit Hilfe von Lichtstrahlen misst. Man berechne auch
für die metrische Geometrie des Raumes, also für das dreidimensionale
den Ricci-Tensor
Linienelement (17.31). Man zeige, dass
J

¤
+
für
g
+
W

+

j
(17.43)
Die Raum hat also bezüglich der metrischen Geometrie eine andere Krümmung als bezüglich der
optischen Geometrie. Warum macht der vierdimensionale Ricci-Tensor
keine Aussage über
die Krümmung des Raumes?
 .>
×

+
Aufgabe 17.13 Man verifiziere die Formeln (17.39) und (17.41). Dabei ist es wirklich sehr n ützlich, auf ein algebraisches Computerprogramm zurück zu greifen, das für jede Metrik automatisch
alle daraus abgeleiteten Tensoren ausrechnet. Sonst ist die Rechnung sehr lang und m ühsam.
I
Das heißt, die Krümmung nimmt nach außen hin schnell ab. Für
, also in der Nähe der
Oberfläche des Himmelskörpers, sind die Komponenten des Ricci-Tensors jedoch in etwa so groß
wie der Krümmungsskalar (17.40) im Innern. Also gilt das, was wir oben über die Größenordnung
der Raumkrümmung im Innern gesagt haben, auch im Außenraum.

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(17.41)
und die gleiche Beziehung gilt wegen der Kugelsymmetrie für
statt
. Alle anderen Komponenten verschwinden. Der Raum hat also in radialer Richtung eine negative Krümmung und
senkrecht dazu eine positive Krümmung. Für große Radien gilt
für
Man zeige außerdem, dass der Raum im Innern nur dann symmetrisch ist, also eine konstante
Krümmung aufweist, wenn die Dichte des Sterns konstant ist. Dass die optische Geometrie im Innern eines Sterns die einer dreidimensionalen Sphäre ist, hat also keine besondere physikalische
Bedeutung, sondern liegt nur an unserem sehr einfachen Modell f ür die Sternmaterie.
Lichtstrahlen und der kritische Radius
Aus der dargestellten optischen Geometrie des Raumes können wir nun unmittelbar einige qualivative Aussagen über das Verhalten von Lichtstrahlen in der Nähe eines kugelförmigen Himmelskörpers machen. Wie wir wissen, bewegen sich Lichtstrahlen auf Geodäten bezüglich der
optischen Geometrie des Raumes. Die Bahn eines Lichtstrahl in der Äquatorebene ist also eine
Geodäte auf der in Abbildung 17.2 dargestellten Fläche.
In Abbildung 17.3 ist jeweils eine Schar solcher Geodäten dargestellt. Wir können uns vorstellen, mit einem Fahrzeug über die dargestellte Fläche zu fahren, ohne dabei die Lenkung zu
206
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Milchstraße
andere Galaxie
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Abbildung 17.4: Die optische Geometrie des Raumes für sehr kompakte Himmelskörper. Ist der
kleiner als der kritische Radius
, so bildet sich bei
ein Hals.
Radius
Ein Lichtstrahl kann dort den Stern umkreisen. Außerdem gibt es Lichtstrahlen, die innerhalb
des Sterns auf geschlossenen Bahnen laufen. Ein von außen kommender Lichtstrahl kann eingefangen werden, den Stern mehrmals durchqueren, und dann wieder durch den Hals nach außen
laufen. Das letzte Szenarium ist allerdings nur für einen nicht exakt kugelsymmetrischen Stern
möglich.
È
g

Wir sehen außerdem in der Aufgabe 17.3, dass ein Lichtstrahl dann am meisten aus seiner scheinbar geraden Bahn abgelenkt wird, wenn er die Oberfläche des Himmelskörpers knapp passiert.
Ein Lichtstrahl, der mitten durch das Zentrum läuft, wenn wir einmal annehmen, dass der Himmelskörper transparent ist, wird gar nicht abgelenkt, und auch ein in großer Entfernung passierenden Lichtstrahl läuft näherungsweise auf einer geraden Linie im Einbettungsraum.
Die Größenordnung dieser Lichtablenkung hatten wir im letzten Kapitel bereits berechnet. Implizit haben wir dabei übrigens genau das Verfahren verwendet, das wir hier allgemein für statische Raumzeiten hergeleitet haben. Wir haben den Lichtstrahl als die Bewegung eines freien,
klassischen Teilchens in einem dreidimensionalen Raum beschrieben. Dieser dreidimensionale
Raum ist genau der, dessen Äquatorebene in Abbildung 17.3 dargestellt ist. Wir werden auf diesen Zusammenhang gleich noch einmal etwas näher eingehen.
Was uns an dieser Stelle noch interessiert, ist, wie es denn nun dazu kommt, dass es einen
gibt, bei dem ein Lichtstrahl auf einer geschlossenen Bahn um den
kritischen Radius
Stern umlaufen kann. Eine solche geschlossene Bahn müsste sich als eine spezielle Geodäte in der
optischen Geometrie des Raumes ergeben. Tatsächlich haben wir uns bisher nur die Räume für
angesehen, das heißt der Sternradius war größer als der kritische Radius, und demnach
gab es diese geschlossene Umlaufbahn nicht.
wird? In Abbildung 17.4 ist noch einmal die Umgebung
Was passiert also, wenn
des Sterns dargestellt, also ein vergrößerter Ausschnitt aus Abbildung 17.2. Offenbar ist es so,
dass der Raum im Innern des Sterns gar nicht immer kleiner und stärker gekrümmt wird, wenn
der Sternradius
kleiner wird, sondern dass die Krümmung an einer bestimmten Stelle ein
Maximum erreicht, und dass die Kugelschale, die das Innere des Sterns repräsentiert, danach
wieder größer wird.
Wie kommt das? Wenn wir uns den Krümmungsskalar (17.39) im Innenraum ansehen, dann
ein Maximum, denn dort ist
hat dieser offenbar an der Stelle
+
Aufgabe 17.15 Man mache sich klar, dass das Fahrzeug nicht deshalb zum Zentrum hin abgelenkt wird, weil es durch eine Kraft in die Mulde gezogen wird, sondern dass die Ablenkung
allein auf der Krümmung der Fläche beruht. Man stelle sich dazu dieselbe Fläche vor, allerdings
mit einem Hügel statt einer Mulde in der Mitte. Auch dann wird das Fahrzeug zum Zentrum hin
abgelenkt.
-)
&È
betätigen. Wegen der Wölbung der Fläche hat das aber zur Folge, dass das Fahrzeug nicht einer geraden Linie im Einbettungsraum folgt, sondern scheinbar in einer Kurve gezwungen wird.
Scheinbar deshalb, weil das Fahrzeug lokal auf der Fläche natürlich immer geradeaus fährt. Die
Ablenkung eines Lichtstrahls zum Zentrum des Himmelskörpers hin ist also eine direkte Konsequenz der Krümmung des Raumes.
1


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1
+
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(17.45)
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+
+
Die optische Geometrie des Raumes hat also in der Nähe eines sehr kompakten Sterns, für
, eine sehr merkwürdige Struktur. Der Stern verschwindet gewissermaßen hinter einem Schlund, und scheinbar wird er auch wieder größer, obwohl sein Oberflächenradius
weiter abnimmt.
Das ist natürlich, im wahrsten Sinne des Worten, nur eine optische T äuschung. Aber das ist
eben, wie wir allgemein gezeigt haben, die Geometrie des Raumes, die ein Lichtstrahl sieht.
nähern, an dem der Stern instabil wird, wird
Wenn wir uns dem Grenzfall
der Raum im Innern des Sterns sogar wieder flach. Der Ausschnitt aus einer Kugelschale, der in
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1
207

Auch die Metrik in Außenraum hat an der Stelle
eine Besonderheit aufzuweisen. Es
bildet sich an dieser Stelle eine Art Hals. Der Oberflächenradius einer Sphäre bei war durch
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(17.44)
, denn dort ist
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1
+
gegeben. Diese Funktion hat ein Minimum bei


die Wurzel aus
auch
Abbildung 17.4 das Innere des Sterns repräsentiert, wird also beliebig groß.
Diese merkwürdige optische Geometrie des Raumes erklärt nun sehr anschaulich die Phänomene, die wir in Abbildung 16.2 aus dem effektiven Potential für Lichtstrahlen im Gravitationsfeld
,
eines kugelsymmetrischen Himmelskörpers abgelesen haben. Offenbar ist der Kreis bei
der in Abbildung 17.4(c) eingezeichnet ist, eine Geodäte auf der dargestellten Fläche. Mit anderen
Worten, ein Lichtstrahl kann dort umlaufen.
Die Bahn ist allerdings instabil, wie wir auch bereits wissen, denn jede kleine Abweichung von
dieser Kreisbahn führt dazu, dass der Lichtstrahl entweder nach außen entkommt oder auf den
Stern fällt. Allerdings finden wir auch stabile Umlaufbahnen. Für
ist das Segment der
Kugelschale, welches das Innere des Sterns repräsentiert, größer als eine Halbkugel. Demnach
gibt es auf der Kugelschale Großkreise, auf denen ein Lichtstrahl innerhalb des Sterns kreisen
kann. Das sind genau die Bahnen, die in Abbildung 16.2(d) in der Potentialmulde pendeln.
Milchstraße
andere Galaxie

1


¤
1
+
(b)
(a)
Abbildung 17.5: Ein Beobachter, der auf der Oberfläche eines Himmelskörpers mit
steht, kann sich selbst unendlich oft sehen, wenn er schräg nach oben schaut. Ein Lichtstrahl (a),
der ihn verlässt, kann den Himmelskörper einmal umkreisen und wieder zu ihm zurückkehren.
Ein anderer Lichtstrahl (b) umkreist den Himmelskörper zweimal und kehrt dann zurück.
I
V
(17.46)
ó
%
g
£
msec
folgen weitere, schnell schwächer werdende Blitze. Wie erklärt sich diese Phänomen? Wie kommt
es zu dieser Frequenz der wiederkehrende Signale? Wie groß ist der Radius der ringf örmigen
Blitze am Himmel?


1
+
1

1

1


¤
1
+
208

Spekulieren wir noch ein wenig weiter, und stellen wir uns vor, wir würden auf einem Planeten
kleiner als der kritische Radius
ist. Die Welt würde für uns völlig
leben, dessen Radius
anders aussehen, als wir dies gewöhnt sind.
Betrachten wir zunächst einen Astronauten in einem Raumschiff, das gerade gestartet ist und
befindet. Was sieht der Astronaut, wenn er in eine horizontale Richtung aus
sich nun bei
den
dem Fenster schaut? Sein Blick würde dem Weg eines Lichtstrahls folgen, der bei
Himmelkörper umkreist. Er würde schließlich, wenn nichts anderes im Weg ist, wieder auf das
Raumschiff treffen. In welche horizontale Richtung er auch schaut, er würde immer sein eigenes
Raumschiff sehen. Er sieht es quasi als Ring in einer gewissen Entfernung.
Wenn er dagegen schräg nach unten schaut, so endet jeder Blick auf der Oberfläche des Planeten, während jeder Blick nach schräg oben im Sternenhimmel endet, oder eben nicht endet. Er
sieht also den Planeten unter sich nicht als Kugel, sondern als eine unendlich ausgedehnte Fläche.
Ein Beobachter auf dem Planeten hat sogar einen noch merkwürdigeren optischen Eindruck. Ein
solcher Beobachter kann sich selbst und jeden anderen Punkt auf der Oberfläche des Planeten
unendlich oft sehen.
1
Aufgabe 17.17 Man stelle sich vor, die Sonne würde zu einem Neutronenstern kollabieren und
erreichen. Wenn man dann einen starken Lichtblitz zur Sonne schickt
einen Radius
(bevor es auf der Erde viel zu kalt wird), dann würde man folgende Beobachtung machen. Nach
etwa 16 Minuten sieht man dort, wo früher die Sonne war, einen Ring am Himmel aufblitzen. Im
Abstand von

Wir erinnern uns, dass für die Sonne das Segment der Kugelschale etwa den Radius von einem
Grad hatte. Der Raum im Innern der Sonne ist also weit davon entfernt ist, eine Halbkugel zu sein.
Ein Stern muss schon sehr kompakt sein, um diese Phänomene zu zeigen. Ein Neutronenstern
kann aber durchaus genau diese Größenordnung haben.
Es stellt sich die Frage, ob man diese Phänomene vielleicht beobachten kann. Das ist nicht
ganz klar, denn dazu müsste man erst einmal klären, was man genau beobachten soll. Sicher sind
Neutronensterne für Licht nicht transparent, so dass es sicher keine im Innern umlaufenden Lichtstrahlen gibt. Gravitationswellen, die wir später genauer untersuchen werden, verhalten sich aber
im wesentlichen so wie Licht und sie dringen fast ungehindert durch jede Materie. Sie könnten in
einem Neutronenstern gefangen werden, und es könnte zu ungewöhnlichen Resonanzen kommen,
wenn solche Wellen im Innern umlaufen.
Es sind aber bis heute aber keine Beobachtungen bekannt, die auf einen Himmelskörper hinist, und die direkt mit dieser sonderbaren
deuten, dessen Radius kleiner als der kritische Radius
Geometrie des Raumes im Innern zu tun haben. Jedoch kann man sich leicht überlegen, wie man
Hals bei
außerhalb eines solchen Himmelskörpers vermessen könnte.
%
0È
Aufgabe 17.16 Wenn der Stern nicht exakt kugelsymmetrisch ist, ist es sogar denkbar, dass ein
Lichtstrahl, der von außen kommt, eingefangen wird, einige Male den Stern durchl äuft, es dabei
aber nicht schafft, durch den Hals wieder heraus zu kommen, um nach einigen Anl äufen aber doch
wieder zu entkommen. Der Weg eines solchen Lichtstrahls ist in Abbildung 17.4(d) dargestellt.
Warum kann es einen solchen Lichtstrahl bei einer exakten Kugelsymmetrie nicht geben? Wir
oft kann ein Lichtstrahl, der von außen kommt, eine exakt kugelsymmetrischen Stern h öchstens
durchdringen?
(a)
Milchstraße
andere Galaxie
(b)
(c)
oben. Auch das ist in Abbildung 17.4(c) und (d), oder in Abbildung 17.5 gut zu erkennen. Ein
Bewohner eines solchen Planeten hätte den Eindruck, in einer Art Hohlwelt zu leben, aus der
es nur einen kleinen, kreisförmigen Ausgang ins Weltall gäbe. Wäre die Erde kleiner als ihr
kritischer Radius, dann hätten wir von Europa aus einen wunderbaren Blick auf Australien, und
wir würden sogar unendliche viele Bilder davon sehen.
Trotzdem könnten wir noch in den Himmel schauen. Wir müssen nur genügend steil nach
oben schauen, dann schafft es der Lichtstrahl, den Hals zu durchqueren und nach außen zu dringen, bzw. umgekehrt schafft es ein Lichtstrahl, von einem fernen Stern durch den Hals auf die
Oberfläche unseres Planeten vorzudringen. Auch jeden solchen Stern sehen wir unendlich oft,
unabhängig davon, ob der Stern auf unserer Seite oder auf der anderen Seite des Planeten steht.
Denn auch ein Lichtstrahl, der von außen kommt, kann sich beliebig oft um den Hals wickeln, bis
er schließlich auf die Oberfläche des Planeten fällt.


Aufgabe 17.18 Wie in Abbildung 17.6(c) dargestellt, konvergieren f ür einen Beobachter auf der
sowohl die Bilder eines bestimmten Punktes auf der
Oberfläche eines Planeten mit
Oberfläche des Planeten, als auch die unendliche vielen Bilder eines weit entfernten Sterns in
seinem Blickfeld gegen einen Punkt auf dem Rand “zwischen Himmel und Erde”. Man mache sich
klar, das dieser Rand kein Horizont im üblichen Sinne ist, also nicht wie in Abbildung 17.6(a).
Was tun die beiden Lichtstrahlen, die in Abbildung 17.6(c) als gestrichelte Linien dargestellt sind,
in der Raumzeit bzw. auf dem in Abbildung 17.5 dargestellen Ausschnitt des Raumes?
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Das klassische Teilchen
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Für jede ganze Zahl gibt es nämlich einen Lichtstrahl, der sich mal um den Stern wickelt,
und dann wieder zum Ausgangspunkt zurückkehrt. Für
und
sind diese Lichtstrahlen in Abbildung 17.5 dargestellt. Auf diese Weise kann man zwar nicht um die Ecke, aber
gewissermaßen um die Kurve schauen. Das hat die sehr merkwürdige Konsequenz, dass es auf
einem solchen Himmelskörper keinen Horizont mehr gibt. Die Oberfläche wölbt sich unter dem
Beobachter nicht nach unten, sondern scheinbar nach oben.
Der optische Eindruck, den ein solcher Beobachter hat, ist in Abbildung 17.6 schematisch dargestellt. Wir müssen uns die Bilder nur noch um die vertikale Achse rotiert denken, um einen
, das ist natürlich
dreidimensionalen Eindruck zu bekommen. Auf einem Planeten mit
der Normalfall, gibt es einen Horizont im üblichen Sinne. Die die Oberfläche des Planeten wölbt
sich nach unten. Der Beobachter kann nur bis zu einer gewissen Entfernung die Oberfläche ansehen, und diese Entfernung hängt von seiner Augenhöhe ab.
erreicht, erscheint die Oberfläche plötzlich
Wenn der Radius den kritischen Radius
flach. Wir sehen das auch in Abbildung 17.4(b). Dort ist die Oberfläche des Himmelskörpers
eine Geodäte, also eine gerade Linie im Raum. Folglich ist die Oberfläche des Planeten, wenn
wir die dritte Dimension wieder hinzunehmen, eine ebene Fläche. Alles das gilt natürlich nur in
der optischen Geometrie. Aber die bestimmt, wie sich Lichtstrahlen verhalten, und somit was ein
sieht aus wie eine Ebene.
Beobachter sieht. Die Oberfläche eines Planeten mit
Wenn der Planet noch keiner wird, dann wölbt sich seine Oberfläche für
sogar nach
1
+
Abbildung 17.6: Eine schematische Darstellung dessen, was ein Beobachter auf der Oberfläche
eines Himmelskörpers sieht, wenn dessen Radius
größer (a), gleich (b) oder kleiner (c) als
ist.
der kritische Radius
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1
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>U .
Nach diesem kleinen Ausflug in die Welt des Science-Fiction wollen wir nun noch einmal auf
den Boden der Tatsachen zurück kommen. Wir wollen zeigen, dass die optische Geometrie des
Raumes nicht nur für das Verhalten von Lichtstrahlen verantwortlich ist, sondern dass wir sie auch
verwenden können, um die Bahnen von frei fallenden, massiven Testkörpern zu beschreiben.
Natürlich sind die Bahnen von frei fallenden Körpern keine Geodäten bezüglich der optischen
Geometrie. Das ergibt sich sofort aus der Tatsache, dass eine Wurfparabel selbst in dem schwachen Gravitationsfeld der Erde alles andere ist als die Bahn eines Lichtstrahls. Trotzdem können
wir die Bewegung eines massiven Teilchens mit Hilfe der optischen Geometrie sehr anschaulich
beschreiben.
Wir beginnen zunächst wieder mit der ursprünglichen Geodätengleichung für ein massives Teil, also mit der Geodätengleichung (17.8),
chen auf einer beliebigen Raumzeit mit der Metrik


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209
(17.48)
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Der letzte Term war dafür verantwortlich, dass sich ein massives Teilchen, im Gegensatz zu einem
Lichtstrahl, nicht auf einer Geodäte bezüglich der konform transformierten Metrik
bewegt.
Trotzdem nimmt auch diese Gleichung eine einfache Form an, wenn wir die Metrik (17.22)
bzw. die konform transformierte Metrik (17.24) für eine statische Raumzeit einsetzen. Wir zerdes Testkörpers wieder in die Zeitkoordinate
und die räumliche
legen die Weltlinie
Bahnkurve
. Außerdem ist
, so dass in der Zeitkomponente der Bewegungsgleichung weder ein Christoffel-Symbol noch der konforme Faktor auftritt,
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in dem sich das Teilchen jetzt bewegt, ein gekrümmter Raum ist. Und zwar ist es genau der
gekrümmte Raum, auf dem Lichtstrahlen sich auf Geodäten bewegen. Ein massives Testkörper
sieht also die gleiche räumliche Geometrie wie ein Lichtstrahl, er sp ürt aber zusätzlich noch des
Newtonsche Gravitationspotential, dass sich aus der Zeitkomponente der Metrik ergibt.
Wir können die Bewegungsgleichungen (17.50) sogar aus einem Wirkungsprinzip ableiten,
das mit der klassischen Wirkung für ein Teilchen im Gravitationspotential identisch ist. Dazu
definieren wir die Lagrange-Funktion
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In den räumlichen Komponenten der Bewegungsgleichungen müssen wir jedoch beides berücksichtigen,
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2 6D
(17.50)
aus der sich die Bewegungsgleichungen (17.52) ergeben.
Wir können demnach die Bewegungsgleichung für einen frei fallenden, massiven Testkörper
auf einer statischen Raumzeit lösen, indem wir das Problem zuerst auf ein äquivalentes klassisches Problem abbilden, nämlich die Bewegung eines klassischen Teilchens auf einem Raum,
ist, und auf das ein Gravitationspotential einwirkt. Wenn wir dieses Problem
dessen Metrik
gelöst haben, kennen wir die Bahnkurven
eines hypothetischen klassischen Teilchens.
Um daraus die Weltlinien unseres Testkörpers auf der Raumzeit zu rekonstruieren, benötigen
. Dazu müssen wir die Nebenbedingung lösen, also sie zweite Gleiwir noch die Funktion
chung in (17.8), die wir bis jetzt ignoriert haben. Sie lautet, wenn wir die Raum- und Zeitkomponenten getrennt schreiben,
[ 2U J
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zu wählen, und
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Um das zu vereinfachen, machen wir von der Freiheit Gebrauch, das Einbein
außerdem führen wir eine Funktion
ein. Wir setzen
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Wenn wir (17.51) und die bekannte Beziehung zwischen den Metriken
das ganze noch ein wenig umformen, so ergibt sich daraus
und
einsetzen, und
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!
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J
Man beachte, dass die Wahl des Einbeins nicht der üblichen Wahl für die Eigenzeitdarstellung der
setzen, sondern
. Das hat zur Folge,
Weltlinie entspricht, da wir nicht
jetzt laut (17.49) eine lineare Funktion von wird. Wir bekommen
dass die Koordinatenzeit
also im wesentlichen eine Beschreibung der Weltlinie als Funktion der Koordinatenzeit.
entspricht bis auf eine Konstante der üblichen Definition des NewtonDie Definition von
schen Potentials in der Näherung (14.78). War benutzen das jetzt aber nur als Analogie. Wir nehmen also nicht an, dass
ist, sondern definieren
einfach gemäß (17.51) für irgendein
. Die einzige Bedingung an
ist, dass es positiv sein muss, damit die Raumzeit-Metrik
wohldefiniert ist. Das Potential ist dann natürlich auch überall positiv.
Die räumlichen Komponenten der Bewegungsgleichung lauten jetzt
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(17.55)
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6
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2 6D ;[ 2
}
Ein frei fallender Testkörper verhält sich in einer statischen Raumzeit genau so wie
sich ein klassisches Teilchen, welches die optische Geometrie der Raumes sieht die
Zeitkomponente der Metrik als Gravitationspotential spürt.
(17.52)
Den Faktor auf beiden Seiten haben wir nur hingeschrieben, um die folgenden Analogie deutlich zu machen. Nehmen wir einmal an, die Metrik
sei flach, also
. Mit anderen
Worten, die optische Geometrie des Raumes ist einfach die eines dreidimensionalen Euklidischen
, und was dort steht ist die klassische
Raumes. Dann verschwinden die Christoffel-Symbole
Bewegungsgleichung für ein Teilchen in einem Gravitationspotential . Wir müssen dazu nur den
Kurvenparameter als klassische “Zeit” interpretieren.
Und wenn die optische Metrik
nicht flach ist? Dann sind das immer noch die klassischen
Bewegungsgleichungen für ein Teilchen in einem Gravitationspotential , nur dass der Raum,
:
:
Das ist genau die klassische Energie für ein Teilchen mit der Lagrange-Funktion (17.53). Es ist
eine lineare Funktion von . Die Bewegungsgleidaher eine Erhaltungsgröße, und somit ist
chung (17.49) ist also ebenfalls erfüllt. Wir können das wie folgt zusammenfassen.
J
:
:
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[ 2U J
[ 2U
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Ganz exakt stimmt die Analogie nicht, denn das, was für das hypothetische klassische Teilchen die
wird
“Zeit” ist, ist für den eigentlichen Testkörper der Kurvenparameter , und die Funktion
erst durch (17.55) bestimmt, hängt also von der Energie
des klassischen Teilchens ab. Ansonsten handelt es sich aber um eine bijektive Abbildung eines physikalischen Problems, nämlich
die Lösung der Geodätengleichung für einen massiven Testkörper auf einer gegebenen statischen
Raumzeit, auf ein anderes physikalisches Problem, nämlich der Lösung der Bewegungsgleichungen für ein klassisches Teilchen auf einem gegebenen Raum und mit einem gegebenen Potential.
Milchstraße
andere Galaxie
+
*
&È
+
,*
&È
:
Aufgabe 17.19 Man zeige, dass aus (17.55) stets folgt, dass sich der Testk örper auf einer zeitartigen Weltlinie bewegt, also langsamer als das Licht ist, auch wenn sich das klassische Teilchen
als Funktion der “Zeit” mit einer Geschwindigkeit bewegt, die größer als Eins ist. Für das
hypothetische klassische Teilchen gilt also wirklich die klassische Physik, nicht etwa die spezielle Relativitätstheorie. Wie hängt die klassische Energie
mit der tatsächlichen Energie des
Testkörpers in der Raumzeit, also der Komponente des Impulses zusammen?
K
(b)
0
(a)
w
Was bedeutet das nun anschaulich? Und hilft es uns, die Bewegung eines frei fallenden Körpers
in einer statischen Raumzeit besser zu verstehen? Betrachten wir wieder den speziellen Fall eines
kugelsymmetrischen Himmelskörpers. Die optische Geometrie des Raumes, oder genauer die der
Äquatorebene, ist dann die in den Abbildungen 17.2 bzw. 17.4 dargestellte.
Wir können uns leicht vorstellen, wie sich ein klassisches Teilchen auf einer solchen Fläche
bewegt. Es handelt sich jetzt aber nicht um ein freies Teilchen, das einfach einer Geodäte folgt,
sondern um ein Teilchen, auf das eine Kraft im klassischen Sinne wirkt. Tatsächlich ist im Fall der
Schwarzschild-Metrik das Gravitationspotential bis auf eine Konstante durch den Newtonschen
Ausdruck gegeben,
Abbildung 17.7: Planetenbahnen (a) und Kometenbahnen (b) im Gravitationsfeld eines Sterns.
Das qualitative Verhalten der Bahnen ergibt sich aus der anschaulichen Vorstellung, dass eine
kleine Kugel über die Fläche rollt, während diese waagerecht in einem homogenen Gravitationsfeld aufgestellt ist.
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(17.56)
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211

Innerhalb des Sterns gilt wieder eine etwas komplizierte Formel, die von der Dichte des Sterns
abhängt. Den qualitativen Verlauf des Potentials können wir aus Abbildung 15.1 entnehmen, wo
unter anderem die Funktion
dargestellt ist. Entscheidend ist hier nur, dass das
gegen eine Konstante geht.
Potential monoton zu kleineren hin abfällt, und dass es für
Das tut auch die Einbettungsfunktion
, also die vertikale Koordinate in den hier gezeigten
Abbildungen. Wir können uns also vorstellen, dass die gezeigten Flächen ganz real in einem
homogenen Gravitationsfeld eingebettet sind, und dass das hypothetische klassische Teilchen in
Gestalt einer kleinen Kugel auf diesen Flächen umher rollt. Die Lagrange-Funktion für ein solches
klassisches Teilchen ist dann genau von der Form (17.53).
Wenn wir für einem Moment ignorieren, dass die Einbettung in den Euklidischen Raum das
Gravitationspotential nur qualitativ, aber nicht exakt simuliert, dann können wir sagen, dass
sich ein Testkörper in der Schwarzschild-Raumzeit genau so verhält wie eine Kugel auf einer entsprechend gewölbten Fläche. Wir könnten also eine Fläche ganz praktisch aus Kunststoff gießen
und dann die Bahnen von Planeten und Kometen im Labor simulieren.
Daraus ergibt sich mit ein wenig Intuition sofort das in Abbildung 17.7 gezeigte typische Verhalten von Planeten- und Kometenbahnen. Ein Planet umkreist das Zentrum auf einer Ellipse, die
aber in allgemeinen nicht geschlossen ist. Denn wir haben ja gesehen, dass es zu einer Perihelverschiebung kommt, die umso größer ist, je kleiner der Radius der Planetenbahn ist. Das hat auch
zur Folge, dass, anders als in der Newtonschen Theorie, ein aus dem unendlichen kommender
Komet auf einer Hyperbelbahn einen sehr kompakten Stern mehrmals umkreisen kann, bevor er
sich wieder entfernt.
Abgesehen davon ist das Verhalten von Planeten und Kometen aber genau so, wie wir es aus
der klassischen Mechanik kennen. Das ergab sich auch aus den Berechnungen im letzten Kapitel.
Jedenfalls gilt das dann, wenn die Bahnen nicht zu nahe an einen sehr kompakten Stern heran
kommen. Anders sieht es aus, wenn wir die Räume in Abbildung 17.4 betrachten. Auch hier wird
das qualitative Verhalten eines Testkörpers noch immer durch das klassische Bild einer kleinen
Kugel beschrieben, die an der Fläche haftet und an ihr entlang rollt. Wir haben schließlich an
keiner Stelle eine Näherung für schwache Gravitationsfelder oder etwas ähnliches durchgeführt.
Stellen wir uns also vor, eine Kugel kommt von oben und rollt durch den Hals in Abbildung 17.4(d). Diese Kugel wird immer auf den Stern fallen, auch wenn sie einen noch so großen
Drehimpuls hat. Das liegt daran, dass auf die Kugel zwei klassische Kräfte einwirken. Einerseits
die Gravitationskraft, gegeben durch den Gradient des Potentials , und andererseits, wenn wir in
ein mit der Kugel mitrotierendes Bezugsystem übergehen, die Zentrifugalkraft. Nun wirken aber
für
, das sehen wir unmittelbar in Abbildung 17.4(d), beide Kräfte in die gleiche Richtung,
nämlich zum Stern hin.
Mit anderen Worten, Die Zentrifugalkraft treibt unser hypothetisches klassisches Teilchen gar
nicht vom Stern weg, sondern zum Stern hin. Das klingt zwar ein wenig merkwürdig, aber wenn
wir die ganze Relativitätstheorie einmal kurz vergessen, und statt dessen nur die Bewegung eines
klassischen Teilchens betrachten, das durch Zwangskräfte auf der Fläche in Abbildung 17.4(d)
gehalten wird, dann widerspricht die Aussage keineswegs unserer physikalischen Intuition.
passiert, den Bereich
Es ist dann völlig klar, dass ein Teilchen, das den Hals bei
dahinter erst wieder verlassen kann, wenn es einmal durch den Stern, also durch den dunkel
markieren Bereich des Raumes, hindurch getaucht ist. Der Hals in der optischen Geometrie bei
erklärt also nicht nur, warum dort ein Lichtstrahl umlaufen kann. Er liefert auch eine
anschauliche Erklärung dafür, warum ein es keine Kometenbahnen gibt, die näher als
an den
Stern heran kommen, ohne auf ihm zu enden.
Und schließlich bekommen wir auch noch eine anschauliche Erklärung dafür, warum die Kreis-
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Geometrische Einheiten



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Wir schreiben noch einmal die Schwarzschild-Metrik auf, die wir in Kapitel 15 als eindeutige Lösung der Einstein-Gleichung im Vakuum für eine statische, kugelsymmetrisch Raumzeit
ab, den wir als die (schwere)
gefunden haben. Sie hing nur von einem einzigen Parameter
Masse eines kugelsymmetrischen Himmelskörpers interpretiert haben. Die Koordinaten waren
, und das Linienelement lautete
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(18.1)
Offenbar haben wir hier die ’s weg gelassen. Das können wir tun, wenn wir, genau wie wir
gesetzt haben, jetzt auch
setzen. Da
früher in der speziellen Relativitätstheorie
eine universelle Naturkonstante ist, können wir dies erreichen, indem wir unsere Einheiten
passend wählen.
Wie wir aus (15.26) entnehmen, definiert die Newtonsche Konstante eine Beziehung zwischen Längen oder Zeiten auf der einen Seite, und Massen auf der anderen Seite. Wir können
dazu übergehen, von nun an Massen nicht mehr in Kilogramm zu messen, sondern in Metern
oder Sekunden, was ja ohnehin schon dasselbe ist. Wir definieren also
]
Bis jetzt haben wir stets nur den Bereich
der Schwarzschild-Metrik betrachtet,
bzw. wir haben angenommen, dass der Stern, der dieses Gravitationsfeld erzeugt, einen Radius
hat, so dass für
eine andere Metrik gilt. War haben aber gesehen, dass ein Stern
nur so lange stabil sein kann, wie sein Radius größer als
ist. Was passiert, wenn dieser
Radius, aus welchen Gründen auch immer, unterschritten wird?
Außerhalb des Sterns ist die Geometrie der Raumzeit dann weiterhin durch die SchwarzschildMetrik gegeben. Dies ist die einzige kugelsymmetrische, statische Lösung der Einstein-Gleichung
im materiefreien Raum. Tatsächlich kann man zeigen, dass es sogar dann die einzige Lösung ist,
wenn man allein die Kugelsymmetrie fordert. Der Grund dafür ist ähnlich wie in der Elektrodynamik. Auch dort genügt bereits die Forderung nach Kugelsymmetrie, um das statische CoulombPotential herzuleiten. Es gilt für jede kugelsymmetrische Ladungsverteilung, unabhängig davon,
ob diese statisch ist oder nicht.
So hat zum Beispiel ein kugelsymmetrisch pulsierender Stern das gleiche Gravitationsfeld wie
ein statischer Stern. Der Grund dafür ist, wie wir im nächsten Kapitel sehen werden, dass es keine
kugelsymmetrischen Gravitationswellen gibt, genau wie es keine kugelsymmetrischen elektromagnetischen Wellen gibt. Deshalb ist es nicht möglich, dass ein Stern Informationen über seine
Veränderung nach außen weiter gibt, solange diese kugelsymmetrisch erfolgt. Egal, was der Stern
tut, solange er kugelsymmetrisch bleibt, gilt außerhalb des Sterns die Schwarzschild-Geometrie.
wohldefiniert ist? Das wollen wir in
Aber wie ist das möglich, wenn diese nur für
diesem Kapitel untersuchen. Wir werden feststellen, dass sehr merkwürdige Dinge geschehen,
wenn der Stern kleiner als sein Schwarzschild-Radius wird. Die Raumzeit, die dabei entsteht,
beschreibt ein sogenanntes schwarzes Loch. Damit wird ein Objekt, oder genauer eine Teilmenge
der Raumzeit bezeichnet, aus der keine Information nach außen dringen kann. Anschaulich beruht
]
18 Schwarze Löcher
der Effekt darauf, dass das Gravitationsfeld dort so stark wird, dass noch nicht einmal Licht
entkommen kann.
Das ist zunächst einmal verblüffend, denn schließlich gibt es so etwas wie die Konstanz der
Lichtgeschwindigkeit. Lokal messen wir an jeder Stelle der Raumzeit und in jede Richtung
.
Wie kann es dann sein, dass Licht aus einem bestimmten Bereich der Raumzeit nicht heraus gelangen kann, wo es sich doch mit einer konstanten Geschwindigkeit in jede Richtung des Raumes
bewegen kann? Die Erklärung ist, in groben Zügen, dass das Licht in einem schwarzen Loch
gefangen ist, weil dort die Begriffe Raum und Zeit nicht mehr ihre übliche Bedeutung haben.
Licht kann sich zwar noch immer in alle Richtungen des Raumes bewegen, aber keine dieser
Richtungen zeigt “nach draußen”.
Schließlich werden wir sehen, dass ein Stern, wenn er einmal den Schwarzschild-Radius unterschritten hat, zu einem punktförmigen Objekt mit ebenfalls sehr merkwürdigen Eigenschaften
kollabiert. Ein Astronaut, der sich unvorsichtigerweise in die Nähe dieses Objektes begibt, kann
nicht verhindern, in dieses Objekt hinein zu stürzen und ebenfalls als punktförmiges Objekt zu enden. In der Nähe dieser Singularität wirken Gravitationskräfte, die stärker sind als jede mögliche
Bindungskraft in einem ausgedehnten Körper. Jeder solche Körper wird dort in seine Bestandteile
zerlegt.
bahnen für
instabil werden, auch wenn wir diesen Zahlenwert hier nicht
auf Anhieb reproduzieren können. Wie wir sehen, ist der Raum oberhalb des Halses in Abbildung 17.4 sehr “steil”, das heißt, der Oberflächenradius einer Kugelschale nimmt mit nur langsam zu, während das Gravitationspotential schnell weiter ansteigt. Wenn wir versuchen würden,
eine Kugel in diesem Bereich zur Rotation auf einer Kreisbahn zu bringen, so ist das ungleich
schwieriger als zum Beispiel weit draußen in Abbildung 17.7.
Die Kugel müsste sehr schnell rotieren, damit die Zentrifugalkraft sie davor bewahrt, durch
müsste sie sogar unendlich schnell rotieren, was natürlich
den Hals zu fallen. Und bei
auch in der klassischen Mechanik nicht möglich ist. Wir können zwar nicht unmittelbar sehen,
dass die letzte stabile Kreisbahn bei
liegt, aber zumindest können wir das Phänomen
als solches qualitativ erklären. Und es ist ebenfalls offensichtlich, dass es für
gar keine
Umlaufbahnen mehr geben kann. Dort fällt jeder Körper auf den Stern, es sei denn er hat genug
Impuls nach oben, um durch den Hals zu entkommen. Auf keinen Fall kann er aber unterhalb des
Halses um den Stern kreisen.

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ò
sec
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ó
m
ž
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W
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$
W
(
kg
(18.2)
212
In der speziellen Relativitätstheorie hatte das zur Folge, dass wir zum Beispiel sagen konnten,
die Entfernung von der Erde zum Mond betrage
sec. Die Aussage war dann die, dass das
Eine einfache Koordinatentransformation gibt in diesem Fall die Antwort. Wir setzen
Licht
sec benötigt, um von der Erde zum Mond zu gelangen. Entsprechend können wir jetzt
sagen, die Masse der Sonne sei
km oder sec. Die erste Angabe ist in diesem Fall der halbe
der Sonne, die zweite Angabe ist die Zeit, die das Licht für
Schwarzschild-Radius
diese Strecke benötigen würde, wenn der Raum flach wäre.
Letztlich lassen sich auf diese Weise alle in der Relativitätstheorie relevanten physikalischen
Größen in geometrischen Einheiten, also in Längeneinheiten ausdrücken. Die geometrischen Einheiten haben den Vorteil, dass wir von nun an nie mehr explizit in die Gleichungen aufnehmen
müssen. Wir benötigen nur die Beziehungen (18.2), um eine gemessene oder zu messende physikalische Größe in der entsprechende Einheit auszudrücken.
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W

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[ laufen jetzt über den ganzen
. Die durch (18.3) definierte LorentzDie Koordinaten
sche Mannigfaltigkeit ist also nur eine etwas ungewöhnliche Darstellung des zweidimensionalen
natürlich keinen wie auch immer definierbaMinkowski-Raumes. Diese Raumzeit hat bei
ren Rand. Dass uns das so erschien, lag nur an der speziellen, etwas ungewöhnlichen Wahl der
Koordinaten.
Wir brauchen aber nur eine kleine Änderung vornehmen, dann sieht das Ergebnis gleich ganz
anders aus. Betrachten wir statt (18.3) die Metrik
{
« D
Ÿ
j
¥
+
÷ (18.5)
W
W
Aufgabe 18.1 Man überlege sich, in welcher geometrischen Einheit die Größen Energie, Leistung, Impuls, Kraft, Energiedichte, Druck, Drehimpuls, Drehmoment, sowie elektrische bzw.
magnetische Feldstärke und elektrische Ladung im hier verwendeten Gaußschen Maßsystem gemessen werden. Man zeige schließlich, dass in geometrischen Einheiten
m
ist.
(18.4)
Eine unvollständige Karte
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213
j
j
« D
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«
jetzt ein anderer. Mit
ist
Allerdings ist der Wertebereich der neuen Koordinaten
nämlich auch
. Durch (18.5) wird daher nur eine Hälfte des Minkowski-Raumes erfasst,
während durch (18.3) der ganze Minkowski-Raum erfasst wird, obwohl in beiden Fällen der Werderselbe ist und beide Metriken flach sind.
tebereich der Koordinaten
hinaus fortgesetzt werDie durch (18.3) definierte Raumzeit kann nicht über die Stelle
den, weil diese Stelle bereits unendlich weit weg ist. Die durch (18.5) definierte Raumzeit kann
aber sehr wohl über die Stelle
hinaus fortgesetzt werden. Es handelt sich bei
nur
um den Rand einer Karte mit willkürlich gewählten Koordinaten. Die Koordinaten
können
über die Stelle
hinaus nicht fortgesetzt werden. Aber daraus folgt nicht, dass die Mannigfaltigkeit nicht die Teilmenge einer größeren Mannigfaltigkeit ist.
Es ist also nicht ohne weiteres möglich, allein aus dem Verhalten der Koordinaten in einer Karte
auf die globale Struktur der Raumzeit zu schließen. Insbesondere lässt sich nicht unmittelbar die
Frage beantworten, ob sich die Raumzeit über die gegebene Karte hinaus fortsetzen lässt oder
nicht. Es ist deshalb auch im Falle der Schwarzschild-Metrik alles andere als offensichtlich, was
wirklich passiert. Allein aus der Tatsache, dass die Koeffizienten der Metrik nicht
für
mehr wohldefiniert sind, dürfen wir keine voreiligen Schlüsse ziehen.
etwas genauer
Wir müssen deshalb die Struktur der Raumzeit in der Umgebung von
analysieren. Dazu haben wir in Abbildung 18.1(a) ein Raum-Zeit-Diagramm der Schwarzschilddargestellt. Es sind nur die Koordinaten
, mit
wiedergegeben. Jeder
Karte
Punkt in dem Diagramm repräsentiert eine Sphäre mit dem Oberflächenradius .
Als erstes interessiert uns die kausale Struktur dieser Raumzeit. Wie sehen die lokalen Licht-Ebene aus? Kein Lichtstrahl, und folglich auch kein massives Teilchen, kann
kegel in der
[
g
W
g
W
ò
wobei eine Konstante ist. Wie verhält sich diese Metrik für
? Sie ist dort, ähnlich wie
, nicht mehr wohldefiniert, denn offenbar divergiert die
die Schwarzschild-Metrik bei
Komponente
.
Heißt das, dass die Raumzeit dort zu Ende ist? Oder deckt die gegebene Karte vielleicht nur
einen Teil der Raumzeit ab? Oder gibt es diesen Rand in Wirklichkeit gar nicht, weil man gar
nicht dort hin gelangen kann? Der Begriff “Rand” ist ohnehin etwas irreführend, denn eine Karte
ist natürlich stets eine offene Teilmenge des
und hat somit keinen Rand.
[
g
W

(18.3)
[ g
W
Doch nun zum eigentlichen Thema dieses Kapitels. Wir wollen uns fragen, was mit der
Schwarzschild-Metrik bei
geschieht. Wie wir schon früher festgestellt haben,
ist das Linienelement (18.1) dort nicht mehr wohldefiniert, denn die Zeitkomponente geht gegen
Null, während die radiale Komponente divergiert. Wir können die Schwarzschild-Metrik nicht
hinaus fortsetzen.
über die Stelle
Heißt das vielleicht, dass die Raumzeit bei
endet, dass sie dort eine Art Rand hat?
Kann ein Stern, aus welchen Gründen auch immer, doch nicht kleiner als sein Schwarzschildwerden? Oder können wir die Raumzeit dahinter vielleicht doch fortsetzen,
Radius
müssen aber eine andere Karte, also andere Koordinaten verwenden?
Wie betrachten zunächst eine einfache Analogie, um das Problem deutlich zu machen. Nehmen
wir an, wir hätten eine zweidimensionale Lorentzsche Mannigfaltigkeit wie folgt definiert. Sie
wird durch eine einzige Karte abgedeckt, mit den Koordinaten
, wobei
ist. Die Metrik
lautet
Auch dadurch wird eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit definiert. Und auch diesmal können wir die
Metrik durch eine einfache Koordinatentransformation auf die Minkowski-Form bringen. Dazu
setzen wir
(18.6)
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de
fe
n
ñ
g
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wobei die Integrationskonstante
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(18.9)
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Milchstraße
andere Galaxie
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sla
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de
rL
ich
tst
ra
hl
[ H
Entsprechend gilt für einen radial einlaufenden Lichtstrahl
angibt, um welchen einlaufenden Lichtstrahl es sich handelt.
Aufgabe 18.2 Warum sind die lichtartigen Kurven (18.8) und (18.9) Geod äten?
[
3
[ H
Die physikalische Bedeutung der Parameter und ist in Abbildung 18.1(a) dargestellt. Für
große können wir den Logarithmus gegenüber dem linearen Term vernachlässigen. Es gilt dann
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(18.10)
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nd
nd
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,
[
hl
Für große verhalten sich radial ein- und auslaufenden Lichtstrahlten wie im Minkowski-Raum.
Also ist
die Zeit, bei der ein auslaufender Lichtstrahl im flachen Raum bei
losgelaufen
wäre, und
ist die Zeit, bei der ein einlaufender Lichtstrahl im flachen Raum bei
ankommen würde.
(b)
[ H
[ 3 ra
hl
ra
3
(a)
bzw.
A
Abbildung 18.1: Die Schwarzschild-Raumzeit
in der üblichen Darstellung (a), sowie nach
einer einfachen Koordinatentransformation (b), die bewirkt, dass alle radialen Lichtstrahlen auf
Winkelhalbierenden laufen. Die Stelle
im Raum scheint in dieser Darstellung unendlich
weit entfernt und damit unerreichbar zu sein. Trotzdem erreicht ein frei fallender Testkörper die
nach einer endlichen Eigenzeit.
Stelle
`a
&
Aufgabe 18.3 Genau genommen stimmt das nicht ganz, denn der Logarithmus geht nat ürlich für
große nicht gegen Null. Man beweise aber folgende Aussage, die wir sp äter benötigen werden.
Gegeben seien zwei radial auslaufende Lichtstrahlen mit den Parametern
und . Dann ist
die Zeitdifferenz zwischen der Ankunft des einen und der Ankunft des anderen
Lichtstrahls, gemessen von einem Beobachter weit draußen im Bereich
.
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,
ü
3
+
,
ü
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[ 3
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b
g
Wb
zeigen die Lichtstrahlen folgendes Verhalten. Ein radial einlaufender Lichtstrahl erFür
reicht niemals die Stelle
, sondern nähert sich dieser Stelle nur asymptotisch für
.
Das gleiche gilt für einen auslaufenden Lichtstahl, wenn wir ihn in die Vergangenheit verfolgen.
Er nähert sich für
asymptotisch der Stelle
.
Dasselbe gilt für jedes massive Teilchen, wenn es sich der Stelle
nähert. Es kann
sich dieser Stelle nur asymptotisch für
oder
nähern, da es nicht schneller sein
kann als das Licht. Das legt zunächst den Schluss nahe, dass es sich hier wie in unserem ersten
zu erreichen, da sie unendlich weit
Beispiel (18.3) verhält. Es ist unmöglich, die Stelle
keinen Rand, sondern bildet dort einen unendlich
entfernt ist. Die Raumzeit hat bei
langen Schlauch, dessen Querschnitt eine Kugelschale vom Radius
ist. In diesem Tunnel
wäre ein Teilchen unendlich lange unterwegs, bis es bei
ankommt.
Aber dieser Schluss ist falsch, denn er beruht auf dem Verhalten von willkürlich gewählten
nicht unendlich weit entfernt
Koordinaten. Man kann nämlich zeigen, dass die Stelle
ist. Wir können zum Beispiel die Länge einer raumartigen Kurve berechnen, die einen beliebigen Punkt
mit dem Punkt
verbindet. Für das Linienelement auf
dieser Kurve, die wegen der Symmetrie eine raumartige Geodäte ist, gilt
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W
š
b
g
W
š
b
å
æ
g
W
sich schneller nach innen oder außen bewegen als ein radial laufender Lichtstrahl. Daher genügt
es, die radial ein- und auslaufenden Lichtstrahlen zu betrachten. Für das Linienelement auf einer
solchen Kurve gilt
und
, und folglich, da es sich um eine lichtartige Kurve handelt,
š
b
š
b
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Die Lichtkegel verhalten sich weit draußen, für große , genau wie im Minkowski-Raum. Dort
.
ist die Raumzeit näherungsweise flach, und deshalb gilt für radiale Lichtstahlen
Für
sehen die Lichtkegel jedoch ganz anders aus. Dort wird
beliebig klein. Die
Lichtkegel werden sehr spitz, und das Licht wird quasi immer langsamer.
Wir können für radial ein- und auslaufende Lichtstrahlen auch eine explizite Koordinatendarstellung angeben. Dazu müssen wir nur die Differentialgleichung (18.7) lösen. Für einen auslaufenden Lichtstrahl bekommen wir
g
W
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eine Integrationskonstante, die quasi die auslaufenden Lichtstrahlen durchnummeriert.
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Hier ist
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(18.8)
(18.11)
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(18.17)
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W
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für
. Wenn wir den Lichtstrahl in die Vergangenheit
Hier gilt noch immer
verfolgen, dann nähert er sich asymptotisch der Stelle
an. In (18.16) ist das aber
nicht der Fall. Ein einlaufender Lichtstrahl erreicht die Stelle
nach einer endlichen
Koordinatenzeit .
Um zu sehen, dass wir nun die Raumzeit mit Hilfe der neuen Koordinaten in den Bereich
fortsetzen können, berechnen wir die Komponenten der Metrik. Aus (18.15) folgt
7
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[ H [ [ [ [ [
3D
[ g
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7
-Ebene. Ein entsprechendes Raumgilt. Sie laufen also auf den Winkelhalbierenden in der
Zeit-Diagramm ist in Abbildung 18.1(b) dargestellt. Die Karte
hat jetzt keinen Rand mehr.
Warum werden dadurch die gerade beschriebenen Problem trotzdem nicht gel öst?
(18.16)
Ein einlaufender Lichtstrahl bewegt sich also auf einer Winkelhalbierenden in der
Ebene. Für einen auslaufenden Lichtstrahl (18.8) gilt dagegen auch weiterhin ein etwas komund , nämlich
plizierterer Zusammenhang zwischen
(18.13)
wobei als Funktion von durch (18.12) gegeben ist. Dann zeige man, dass f ür radial aus- bzw.
einlaufende Lichtstrahlen
bzw.
(18.14)
ñ
g
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7 !
7 æ
b å
a ! 7
7
Offensichtlich ist diese Transformation
für
bzw.
wohldefiwerden Eddington-Finkelstein-Koordinaten
niert und invertierbar. Die Koordinaten
genannt, oder genauer einlaufende Eddington-Finkelstein-Koordinaten. In diesen Koordinaten
gilt für einen radial einlaufenden Lichtstrahl statt (18.9) die einfache Beziehung
(18.12)
. Man zeige, dass die Metrik
(18.15)
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– W
g[
W
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ñ {
g
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– W [ !
g[ [ W
D
[ g
W
! [ æ
[ å [ der ganze
Dann ist der Wertebereich der neuen Koordinaten
in diesen Koordinaten wie folgt lautet,
k
Aufgabe 18.4 Um noch einmal deutlich zu machen, dass das Verhalten von Koordinaten keine
Auskunft über die globale Struktur einer Raumzeit gibt, wollen wir zeigen, dass man der “Rand”
der Schwarzschild-Karte bei
auch wie folgt “wegtransformieren” kann. Wir definieren
neue Koordinaten
mit
eine Koordinatentransformation (18.6) so durchgeführt, dass die Metrik an der entscheidenden
, nach der Transformation wohldefiniert war. Dann konnten wir
Stelle, in diesem Fall bei
die Karte fortsetzen. Die ursprünglich definierte Mannigfaltigkeit war nur eine Teilmenge einer
größeren Mannigfaltigkeit.
Genau das werden wir hier auch tun. Aber dazu müssen wir erst einmal eine geeignete Koordinatentransformation finden. Was wir suchen, ist eine Karte, in der wir die Weltlinie eines radial
hinaus
einlaufenden Lichtstrahls, oder die eines frei fallenden Teilchens, über die Stelle
fortsetzen können. Nun liegt aber das Ereignis, an dem das Teilchen die Stelle
passiert,
in der Schwarzschild-Karte bei
. Als müssen wir dieses Ereignis erst einmal, bildlich
gesprochen, ins endliche holen.
Dafür gibt es einen einfachen Trick. Wir transformieren die Zeitkoordinate so, dass jeder einlaufende Lichtstrahl auf einer Winkelhalbierenden läuft. Wir behalten aber die radiale Koordinate
. Da wir das Verhalten (18.9) von einlaufenden Lichtstrahlen bereits kennen, können wir die
gesuchte Koordinatentransformation explizit angeben. Wir setzen
Dieses Integral ist endlich, obwohl der Integrand bei
divergiert. Der Rand der Karte
in Abbildung 18.1(a) ist also nur endlich weit von irgendeinem einem Punkt innerhalb der
Karte entfernt.
Eine andere Möglichkeit, zu demselben Ergebnis zu kommen, ist, die Weltlinie eines frei fallenden Teilchens als Funktion der Eigenzeit dieses Teilchens darzustellen. Das hatten wir in Kapitel 16 getan, als wir die zeitartigen Geodäten in der Schwarzschild-Metrik bestimmt haben. Wir
hatten gesehen, dass sich ein frei fallender Testkörper wie ein klassisches Teilchen in einem effektiven Potential verhält. Für einen radial nach innen fallenden Testkörper ist der Drehimpuls
Null, das heißt es gilt das Potential in Abbildung 16.4(a). Daraus lesen wir unmittelbar ab, dass
nach einer endlichen Eigenzeit erreicht.
ein solcher Körper die Stelle
Es ergibt sich also folgende paradoxe Situation. Einerseits kann ein Teilchen niemals den Rand
der Schwarzschild-Karte
in Abbildung 18.1(a) erreichen, denn dazu müsste es das Licht
überholen. Andererseits erreicht das Teilchen aber sehr wohl nach einer endlichen Eigenzeit eine
, also eine Kugelschale, deren Oberflächenradius
ist. Aber wo liegt dieses
Stelle mit
Ereignis in der Raumzeit? Es liegt nicht in der Schwarzschild-Karte. Wir vermuten also, dass
es irgendwo noch eine Fortsetzung der Raumzeit geben muss, ähnlich wie in unserem zweiten
Beispiel (18.5).
ñ
Eddington-Finkelstein-Koordinaten
D
7
7
(18.18)
g
ðW
k
Wir wollen nun versuchen, eine Fortsetzung der Raumzeit über die Schwarzschild-Karte
hinaus zu finden. Erinnern wir uns dazu an das zweite Beispiel (18.5). Dort hatten wir zunächst
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Setzen wir das in (18.1) ein, so ergibt sich nach einer kurzen Rechnung der folgende Ausdruck
215
für das Linienelement,
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(18.19)
Die Koordinate
definiert noch immer den Oberflächenradius einer Kugelschale, und für
ergibt sich noch immer näherungsweise die flache Minkowski-Metrik. Für kleine
sieht die
Metrik jetzt aber ganz anders aus als die Schwarzschild-Metrik. Die Zeit- und Raumkoordinaten
sind nicht mehr zueinander senkrecht. Aber dafür sind jetzt alle Komponenten der Metrik bei
wohldefiniert, insbesondere die Zeit- und Radialkomponenten
!
b
a!
z
~
wurde eine Symmetrie der Raumzeit zerstört, nämlich die Symmetrie unter Zeitspiegelungen
. Die Schwarzschild-Metrik ist invariant unter dieser Abbildung.
Die Metrik (18.19) ist jedoch nicht mehr invariant unter Zeitspiegelungen. Das ist klar, denn wir
haben explizit die einlaufenden Lichtstrahlen ausgewählt und verlangt, dass sie sich auf den Win-Ebene bewegen.
kelhalbierenden in der
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W
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Aufgabe 18.5 Natürlich wird eine Symmetrie der Raumzeit nicht durch eine Koordinatentransformation zerstört. Auch die Metrik (18.19) ist invariant unter der Abbildung , nur hat diese
in den Koordinaten
eine andere Darstellung. Man gebe diese Darstellung explizit
an und zeige, dass es sich um eine Isometrie der Metrik (18.19) handelt. Die Symmetrie wurde
aber durch die Erweiterung der Raumzeit zerstört, denn die Abbildung lässt sich nicht in den
Bereich
fortsetzen. Man zeige auch das explizit.
~
g
W
g
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00 t
7
Ur
Wenn wir statt dessen verlangen, dass die radial auslaufenden Lichtstrahlen entlang der Winkelhalbierenden laufen, müssen wir folgende Transformation durchführen,
(18.22)
Es ist zwar noch immer
für
, aber trotzdem ist die Metrik dort invertierbar, und zwar wegen der nicht verschwindenden Nebendiagonalelemente. Die entsprechenden
Komponenten der inversen Metrik sind, wie man leicht nachrechnet,
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Wir haben also eine Metrik mit den folgenden Eigenschaften gefunden. Sie ist ist für
wohldefiniert, also in einer Karte
, die die Schwarzschild-Karte erweitert. Und
es handelt sich noch immer um eine Lösung der Einstein-Gleichung im Vakuum. Denn daran
ändert sich durch eine Koordinatentransformation natürlich nichts. Wenn wir den Einstein-Tensor
für die Metrik (18.19) ausrechnen, verschwindet dieser für alle
.
Mit anderen Worten, die Metrik (18.19) beschreibt noch immer das Gravitationsfeld eines kugelsymmetrischen Objektes der Masse . Aber dieses Objekt ist jetzt auf den Oberflächenradius
zusammengeschrumpft. Die Raumzeit ist für
frei von Materie. Wir haben also
das vorliegen, was wir in der Elektrodynamik eine Punktladung nennen würden. Die Quelle des
zusammengeschrumpft.
Gravitationsfeldes ist zu einem einzigen Punkt im Raum bei
Doch wir sollten an dieser Stelle etwas vorsichtig sein. Was heißt im Raum? Wir können es
der Metrik (18.19) nicht mehr unmittelbar ansehen, was hier Raum- und Zeitkoordinaten sind.
Insbesondere hat sie nicht mehr die typische Form (15.1) einer statischen Metrik, dass heißt es
liegt nicht mehr eine eindeutige Zerlegung der Raumzeit in einen Raum und eine Zeit vor. Und
für
divergieren die Komponenten der Metrik noch immer.
Das einzige, was wir über die Stelle
sagen können, ist, dass dort die Kugelschale
zu einem Punkt zusammengeschrumpft ist. Aber in welchem Sinne es sich um einen Punkt im
Raum handelt, ist wegen der divergierenden Komponenten der Metrik völlig unklar. Wir werden
sagen, sondern
dashalb an dieser Stelle noch nichts über das Verhalten der Raumzeit bei
erst einmal das Verhalten im Bereich
genauer analysieren.
Bevor wir das tun, sollten wir aber noch folgende wichtige Feststellung machen. Durch
den Übergang von der Schwarzschild-Karte
zur Eddington-Finkelstein-Karte
k
wohldefiniert und invertierbar. Die Koordinaten
Auch diese Transformation ist für
heißen auslaufende Eddington-Finkelstein-Koordinaten. Sie definieren ebenfalls
eine Erweiterung
der Schwarzschild-Karte. Es handelt sich aber, wie wir gleich
und
decken
sehen werden, um eine andere Erweiterung, das heißt die Karten
verschiedene Teilmengen einer größeren Raumzeit ab.
gilt die folgende Darstellung für einen radial auslaufenden Lichtstrahl
In der Karte
(18.8),
(18.23)
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(18.21)
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während für einen einlaufenden Lichtstrahl die komplizierte Koordinatengleichung
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(18.24)
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g
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b
7
gilt. Im Unterschied zu den einlaufenden Eddington-Finkelstein-Koordinaten in der Karte
können wir jetzt einen auslaufenden Lichtstrahl über die Stelle
in die Vergangenheit fortsetzen, während wir für einen einlaufenden Lichtstrahl wieder das asymptotische
Verhalten
für
finden.
g
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Aufgabe 18.6 Man berechne die Komponenten
und
der Metrik und zeige, dass
(18.23) und (18.24) tatsächlich lichtartige Geodäten sind. Man gebe die Koordinatentransformain der Schnittmenge
explizit an und zeige, dass
tion
diese Schnittmenge genau die Schwarzschild-Karte
ist.
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(18.26)
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gilt folglich
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Für einen radial laufenden Lichtstrahl mit
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Milchstraße
andere Galaxie
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(18.25)
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vor sich geht, werden wir jetzt die kausaanalysieren. Dazu ist es nützlich, das
Horizont
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g k
W¤
7
Um zu verstehen, was im Bereich
le Struktur der Raumzeit im Bereich der Karte
Linienelement wie folgt umzuschreiben,
zy
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Der Horizont
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x
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so
(b)
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(a)
(18.27)
also
+
,
Abbildung 18.2: Um die Schwarzschild-Raumzeit in den Bereich
fortzusetzen, führt
man die einlaufenden (a) bzw. auslaufenden (b) Eddington-Finkelstein-Koordinaten ein, die wir
mit
bzw.
bezeichnen. Beide Karten decken jeweils einen anderen Bereich der
, die
Raumzeit ab. Ihre Schnittmenge ist die Schwarzschild-Karte
bzw.
entspricht. In der Karte
können
jeweils dem Bereich
einlaufende lichtartige und zeitartige Geodäten in die Zukunft über die Stelle
hinaus
können auslaufende lichtartige und zeitartige Geodäten
verlängert werden. In der Karte
in die Vergangenheit über die Stelle
hinaus verlängert werden.
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7
Da auch hier wieder gilt, dass sich nichts schneller nach innen oder außen bewegen kann als ein
radialer Lichtstrahl, können wir daraus unmittelbar die lokalen Lichtkegel und damit die kausale
-Ebene ablesen. Sie sind in Abbildung 18.2(a) dargestellt.
Struktur in der
Der nach innen laufende Lichtstrahl zeigt immer im Winkel von
nach links. Der nach außen laufende Lichtstrahl bildet mit der senkrechten Achse einen Winkel, dessen Tangens durch die
zweite Gleichung in (18.28) gegeben ist. Dass die Lichtkegel gekippt sind, während sie in Abbildung 18.1 symmetrisch zur senkrechten Achse nach oben zeigen, liegt daran, dass die EddingtonFinkelstein-Koordinaten
und
im Gegensatz zu den Schwarzschild-Koordinaten und
nicht zueinander senkrecht sind.
Im Bereich
machen wir nun eine sonderbare Beobachtung. Offenbar zeigen dort beide
const ist dort eine raumartige
Arme der Lichtkegel nach innen. Eine Koordinatenlinie
Kurve. Das bedeutet, dass es dort für ein massives Objekt, das sich stets auf einer zeitartigen
Weltlinie bewegt, unmöglich ist, relativ zu dem gegebenen Koordinatensystem still zu stehen.
Das ist an sich nicht weiter schlimm, denn es handelt sich ja nur um ein willkürlich gewähltes
Koordinatensystem.
Es ist aber offenbar so, dass für eine zeitartige oder lichtartige Weltlinie im Bereich
auf jeden Fall
gilt. Alles, was sich in diesem Bereich befindet, sei es ein massives oder masseloses Objekt, ist demnach gezwungen, sich zu kleineren Radien hin zu bewegen.
, etwa das in Abbildung 18.2(a) gezeigBetrachten wir ein spezielles Ereignis mit
te, so liegt die gesamte Zukunft
dieses Ereignisses im Bereich
. Es ist daher
unmöglich, von aus irgendein Signal oder gar ein massives Objekt in den äußeren Bereich
zu schicken.
Da sich die Lichtkegel für kleinere
immer weiter nach innen neigen, endet die Zukunft von
sogar nach einem endlichen Intervall der Koordinate
auf der Achse
. Wir haben also
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die Situation vorliegen, dass es Ereignisse gibt, die keine gemeinsame Zukunft haben. Betrachten
wir nämlich ein zweites Ereignis , das im Bereich
außerhalb der Vergangenheit von
liegt, so ist Beobachter bei nicht mehr in der Lage, mit einem Beobachter bei in irgendeiner
Weise Kontakt aufzunehmen, oder ihn gar zu treffen.
Stellen wir uns vor, ein Astronaut befindet sich mit seinem Raumschiff irgendwo im Bereich
, zum Beispiel in einer stabilen kreisförmigen Umlaufbahn mit
. Er schickt
eine Sonde ab, die den Raum weiter unten erforschen soll. Nehmen wir an, die Sonde fällt entunterschreilang einer radialen Bahn frei nach unten. Irgendwann wird sie den Radius
ten. Ein Signal, das sie danach aussendet, wird das Raumschiff niemals mehr erreichen. Es ist
für den Astronauten im Raumschiff also völlig unmöglich, irgendwelche Informationen über die
zu bekommen.
Vorgänge im Bereich
Eine physikalisch anschauliche Erklärung dafür, warum nichts aus den Bereich
entkommen kann, liefert die folgende Beobachtung. Offenbar gibt es bei
einen radial
auslaufenden Lichtstrahl, der aber in Wirklichkeit gar nicht nach außen läuft, sondern an dieser
,
const und
const bilden eine
Stelle quasi eingefroren ist. Die Kurven mit
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7
Aufgabe 18.7 Ein weiterer wesentlicher Unterschied zwischen der kausalen Struktur des
in Abbildung 18.2(a) ist, dass
Minkowski-Raum und der kausalen Struktur der Karte
k
7
cd r
ist entweder lichtartig, wenn
und
Das heißt, jede Kurve auf der Hyperfläche
ist, oder raumartig.
Wie jede andere lichtartige Hyperfläche hat auch diese Hyperfläche die Eigenschaft, dass wir
sie nur in eine Richtung passieren können, nämlich in Richtung Zukunft. Lokal sieht die Hyperfläche in der Raumzeit genau so aus wie eine lichtartige Hyperebene im Minkowski-Raum,
also so wie die Fläche in Abbildung 4.4. Eine lichtartige Hyperfläche ist eine Wellenfront in der
Raumzeit, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt. Wenn uns eine solche Wellenfront einmal
überrollt hat, dann haben wir keine Möglichkeit mehr, sie wieder einzuholen.
Aber die lichtartige Hyperfläche bei
hat eine weitere Eigenschaft, die eine lichtartige Hyperebene im Minkowski-Raum nicht hat, und die auch sonst für Wellenfronten in der
Raumzeit untypisch ist. Betrachten wir dazu die Situation aus der Sicht eines Beobachters, der
sich sehr weit entfernt im räumlich unendlichen befindet, also da, wo die Raumzeit fast wie der
flache Minkowski-Raum aussieht. Im Unterschied zu einer “normalen” Wellenfront kommt diese
spezielle Wellenfront niemals bei dem Beobachter weit draußen an, egal wie lange er auch wartet.
Die Wellenfront bleibt für immer in einem endlichen Bereich des Raumes eingeschlossen.
Eine lichtartige Hyperfläche mit dieser Eigenschaft heißt Horizont oder Ereignishorizont. Woher kommt diese Bezeichnung? Offenbar ist es so, dass ein weit entfernter Beobachter, von dem
wir annehmen wollen, dass er beliebig viel Zeit zur Verfügung hat, trotzdem nicht von allen
Ereignissen in der Raumzeit erfahren kann. Er kann nicht hinter den Horizont bei
schauen, weil von dort kein Signal nach außen dringen kann. So wie ein Seefahrer nicht hinter
den gewöhnlichen Horizont hinaus übers Meer schauen kann.
Anders als der irdische Horizont, der sich mit der Position des Schiffes, auf dem man sich
garade befindet, mitbewegt, hat der Ereignishorizont bei
jedoch etwas absolutes. Er
ist unabhängig davon, wo genau sich der Beobachter befindet, solange er sich nur selbst von
d c
å
g
W
7
(18.29)
dem Horizont fern hält. Was hinter dem Horizont geschieht, bleibt für einen außenstehenden
Beobachter für immer verborgen. Und wenn sich ein Astronaut dennoch dazu entschließt, mit
seinem Raumschiff nachzusehen, was dort geschieht, dann hat er keine Möglichkeit mehr, zurück
zu kommen und darüber zu berichten.
Tatsächlich hatten wir das Auftreten eines Ereignishorizontes schon an einer anderen Stelle beobachtet, nämlich im Zusammenhang mit einem gleichmäßig beschleunigten Bezugsystem. Betrachten wir dazu noch einmal die Abbildung 13.5(b). Dort hatten wir aus einem kartesischen Koim Minkowski-Raum ein neues Koordinatensystem
konordinatensystem
struiert, das ein beschleunigter Beobachter als sein Ruhesystem interpretiert. Wir hatten dann
aber festgestellt, dass dieses Koordinatensystem nur einen Teil das Minkowski-Raumes abdeckt,
nämlich das Segment zwischen den beiden in Abbildung 13.5(b) als Linien eingezeichneten lichtartigen Hyperflächen
.
Die obere der beiden Hyperebenen bildet für der beschleunigten Beobachter einen Ereignishoin Abbildung 18.2(a). Kein Signal, das von einem
rizont, genau wir die Hyperfläche
Ereignis hinter diesem Horizont ausgeht, wird den beschleunigten Beobachter jemals erreichen.
Ein frei fallender Körper dagegen erreicht und durchquert diesen Horizont nach einer endlichen
Eigenzeit. Für einen mitfallenden Beobachter existiert der Horizont gar nicht. In diesem Fall ist
es wie in der Seefahrt. Der Horizont hängt von jeweiligen Standpunkt des Beobachters ab.
Die Situation ist hier sehr ähnlich. Ein Beobachter, der sich weit draußen in Ruhe befindet, ist
im Sinne des Äquivalenzprinzips ein gleichmäßig beschleunigter Beobachter. Außerdem hängt
auch hier die Lage des Horizontes zunächst vom Bewegungszustand, oder genauer von der gesamten Weltlinie eines Beobachters ab. Für einen Beobachter, der sich in den Bereich
begibt, existiert bei
natürlich kein Horizont, denn er erlebt ja selbst einige Ereignisse
dahinter mit.
Trotzdem gibt es einen ganz wesentlichen Unterschied, und deshalb kommt der Hyperfläche
in Abbildung 18.2(a) eben doch eine absolute Bedeutung zu, im Gegensatz zu der
Hyperfläche
in Abbildung 13.5(b), die nur für den speziellen Beobachter eine Bedeutung
hat. Es ist hier nämlich so, dass es für eine ganze Klasse von Beobachtern ein und denselben
Horizont gibt. Nämlich für alle Beobachter, die sich, in welchem Bewegungszustand auch immer,
im asymptotisch flachen Raum aufhalten, also dort, wo die Raumzeit näherungsweise ein flacher
Minkowski-Raum ist.
Für alle diese Beobachter gilt, dass sie niemals in ihrem Leben etwas über die Vorgänge hinerfahren werden. Einen solchen Bereich der
ter dem Horizont, also aus dem Bereich
Raumzeit nennen wir ein schwarzes Loch. Die Bezeichnung kommt daher, dass aus diesem Bereich nichts, also auch kein Licht, nach außen dringt, so dass man eben nur ein schwarzes Loch
sieht, wenn man in die entsprechende Richtung des Raumes schaut. Wir werden später ein wenig
näher ausführen, was es genau bedeutet, dass ein schwarzes Loch schwarz ist. Es hat letztlich
damit zu tun, wie dies Objekt entsteht.
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[
[ Schar von lichtartigen Geodäten, die wir uns als eine eingefrorene, kugelförmige Wellenfront in
der Raumzeit vorstellen können. Um aus dem Bereich
heraus zu kommen, müssten
wir diese Wellenfront überholen. Aber das geht nicht, denn wir können eine Lichtfront nicht
überholen.
Es ist wichtig, festzustellen, dass diese sonderbaren Lichtstrahlen nichts mit den umlaufenden
gibt. Diese Lichtstrahlen
Lichtstrahlen zu tun haben, die es natürlich immer noch bei
verhalten sich, abgesehen davon, dass sie auf geschlossenen Bahnen laufen, völlig normal. Sie
bewegen sich zwar nicht in radiale Richtung, aber in - und -Richtung. Die Lichtstrahlen bei
dagegen “ruhen” relativ zu dem Koordinatensystem
.
Die Koordinatenfläche
ist eine lichtartige Hyperfläche in der Raumzeit. Der Basisvektor
ist dort lichtartig, weil
ist. Jeder andere Vektor, der zu dieser Hyperfläche tangential ist, also jede andere Linearkombination der Vektoren
,
und
,
ist raumartig. Das folgt sofort aus der Darstellung (18.19) des Linienelementes. Wenn wir dort
const und folglich
setzen, dann ergibt sich
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liegt. Dies
Abbildung 18.2(a) durch das Ereignis läuft, und der ganz im Bereich
ist eigentlich ein auslaufender Lichtstrahl, der aber wegen der nach innen gekippten Lichtkegel
trotzdem nach innen, also zu kleineren Radien hin läuft.
nähert sich dieser Lichtstrahl asymptotisch dem Horizont bei
,
Für
allerdings von innen. Er erreicht also weder den Horizont, noch den Überlappbereich der beiden
gibt. Das gleiche
Karten, so dass es für diesen Lichtstrahl keine Fortsetzung in der Karte
gilt für den Lichtstrahl, der in Abbildung 18.2(b) durch das Ereignis läuft und sich für
asymptotisch dem Horizont bei
von innen nähert.
In der Nähe des Horizontes verhalten sich diese Lichtstrahlen genau so wie die, die sich ihm
von außen asymptotisch nähern. Und wieder gibt es, wie man explizit zeigen kann, auch zeitartige
Geodäten mit diesem Verhalten. Berechnet man dann jedoch die Eigenzeit entlang einer solchen
Kurve, so stellt man fest, dass sie die Stelle
nach einer endlichen Eigenzeit erreicht.
Also muss es auch für diese Geodäten irgendwo eine Fortsetzung geben. Auch die EddingtonFinkelstein-Karten sind in diesem Sinne unvollständig.
Doch bevor wir jetzt versuchen, einen vollständigen Atlas der Raumzeit zu konstruieren, indem
wir immer neue Karten einführen, sollten wir uns erst einmal darüber Gedanken machen, was wir
eigentlich genau suchen. Was genau heißt vollständig? Was bewegt uns überhaupt dazu, zu sagen,
dass die Schwarzschild-Karte
die Raumzeit nicht vollständig erfasst? Durch
ist eine
Lorentzsche Mannigfaltigkeit definiert, auf der der Einstein-Tensor überall verschwindet. Warum
sagen wir nicht einfach, das sei eine Lösung der Einstein-Gleichung ohne Materie, und damit eine
mögliche Raumzeit, wie sie die allgemeine Relativitätstheorie vorhersagt.
Als Analogie können wir wieder die Elektrodynamik betrachten. Jede Lösung der MaxwellGleichungen ist ein möglicher Zustand des elektromagnetischen Feldes. Was ist also falsch daran,
zu sagen, dass die Schwarzschild-Raumzeit eine Lösung der Einstein-Gleichung ist? Formal ist
das sicher richtig. Aber intuitiv ist uns klar, dass da noch irgendetwas fehlt. Es ist nicht so sehr die
fehlende Materie, die vorher in Form eines Sterns vorhanden war. Auch in der Elektrodynamik
können wir elektromagnetische Wellen oder ein homogenes, den ganzen Raum ausfüllendes Feld
betrachten, ohne uns darüber Gedanken machen zu müssen, wo denn die Ladungen, also die
Quellen sind.
Das Problem ist ein anderes, In der Schwarzschild-Raumzeit gehen offenbar Dinge verloren
oder tauchen aus dem Nichts auf. Das widerspricht so ziemlich allem, was wir über die Raumzeit
und die Physik im allgemeinen zu wissen glauben. Es widerspricht einfach unserer physikalischen
Intuition, wenn wir es akzeptieren sollen, dass ein frei fallendes Teilchen nach einer endlich langen Eigenzeit die Raumzeit einfach verlässt. Oder umgekehrt, dass ein solches Teilchen vor einer
endlich langen Eigenzeit plötzlich aufgetaucht sein soll.
Wir wollen versuchen, diesen Begriff der Unvollständigkeit einer Raumzeit-Mannigfaltigkeit
genauer zu erfassen. Dazu betrachten wir noch einmal sehr einfaches Beispiel, an dem sich das
mit den globalen
Problem besser erläutern lässt. Gegeben sei eine Mannigfaltigkeit
Koordinaten
. Die Metrik hat die Signatur
, und sie ist durch das Linienelement
E
es gar keinen Beobachter gibt, der von allen Ereignissen erfahren kann, auch wenn wir annehmen, dass ein Beobachter unendlich lange lebt. Dazu definieren wir die Vergangenheit
einer zeitartigen Weltlinie als die Vereinigung der Vergangenheiten aller Punkte
, also
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Einen Teil des Problems haben wir nun gelöst. Wir haben einen Satz, oder genauer zwei Sätze
hinaus fortvon Koordinaten gefunden, mit deren Hilfe wir die Raumzeit über die Stelle
setzen können. Unsere erweiterte Raumzeit wird jetzt durch zwei Karten
und
beschrieben.
Ein einlaufendes Teilchen, welches wir in der Schwarzschild-Karte
nur bis kurz vor seiverfolgen konnten, können wir nun in der Karte
bis zur Stelle
ne Ankunft bei
weiter verfolgen. Das gleiche gilt für einen einlaufenden Lichtstrahl, und entsprechendes
gilt auch für auslaufende Teilchen oder Lichtstrahlen, wenn wir die Karte
verwenden.
bzw.
Abgesehen von der noch ungeklärten Frage, wie die Raumzeit nun bei
aussieht, haben wir damit das Problem, das Gravitationsfeld einer punktförmigen Masse zu beschreiben, gelöst?
Nicht ganz, denn wir haben jetzt ein neues Problem. Es gibt nämlich in unserer Raumzeit
noch immer zeitartige und lichtartige Geodäten, die wir nicht bis in alle Ewigkeit verfolgen
können, obwohl sie nicht bei
ankommen. Betrachten wir dazu den Lichtstrahl, der in
b
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k
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Geodätische Vollständigkeit
=
=
k
Aufgabe 18.9 In Abbildung 18.2 sind drei Ereignisse , und eingezeichnet. Warum erscheint
nur in der Karte
, nur in der Karte
, dagegen in beiden Karten? Man
zeige, dass in der Zukunft von liegt.
t
cd r
G
=
G
Aufgabe 18.8 Wenn wir statt der Karte
die Karte
mit den auslaufenden
Eddington-Finkelstein-Koordinaten verwenden, ergibt sich das Bild in Abbildung 18.2(b). Die
Vorwärtslichtkegel sind nicht nach innen, sondern nach außen gekippt, und statt der einlaufenden
Lichtstrahlen laufen jetzt die auslaufenden Lichtstrahlen auf Winkelhalbierenden. Man leite das
aus der in Aufgabe 18.6 berechneten Metrik ab und diskutiere die kausale Struktur der Karte
. Gibt es dort Ereignisse, die keine gemeinsame Zukunft haben? Welche Bedeutung hat
dort der Horizont bei
?
R
die Menge aller Ereignisse,
Für einen Beobachter, der sich auf der Weltlinie bewegt, ist
von denen er jemals erfahren kann. Man zeige, dass es in der Karte
keine Weltlinie
gibt mit
. Im Minkowski-Raum ist dies jedoch, zum Beispiel, für jede zeitartige Geodäte der Fall. Wie sieht die Teilmenge
für einen Beobachter aus, der sich stets
im Bereich
aufhält, und wie für einen Beobachter, der in den Bereich
vordringt?
(18.31)
gegeben, wobei eine Konstante ist. Für
handelt es sich offenbar um einen flachen
Minkowski-Raum. Man kann den Einstein-Tensor für diese Metrik ausrechnen und findet, dass er
verschwindet. Es handelt sich also um eine Lösung der Einstein-Gleichung ohne
auch für
Materie.
Man findet sogar, dass der Krümmungstensor identisch verschwindet. Die Raumzeit ist demnach flach. Ist die Metrik (18.31) also nur eine Darstellung der Minkowski-Metrik in ungewöhnlichen Koordinaten, so wie unsere beiden Beispiele von weiter oben? Tatsächlich ist es so, denn
die Transformation
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Im Prinzip haben wir genau diese Vorstellung der Vollständigkeit gerade intuitiv verwendet. Wir
müssen jetzt nur noch klären, was beliebig weit genau heißen soll. Für zeitartige oder raumartige
Geodäten ist das relativ eindeutig. Beliebig weit heißt, dass die Länge bzw. die Eigenzeit der
Geodäte beliebig groß wird.
Aber wir müssen gar nicht auf die Metrik, also auf Längen und Zeiten zurück greifen, um
die geodätische Vollständigkeit zu definieren, und wir können den Begriff der Vollständigkeit
auch auf lichtartige Geodäten anwenden. Es genügt, dass auf der Mannigfaltigkeit ein affiner
Zusammenhang, also ein Christoffel-Symbol existiert. Das ist natürlich die Voraussetzung dafür,
überhaupt von Geodäten sprechen zu können.
einen affinen Parameter genannt,
Wir hatten einen Kurvenparameter einer Geodäten
wenn der Tangentenvektor der Kurve entlang der Kurve parallel transportiert wird, wenn also die
Geodätengleichung mit einer verschwindenden rechten Seite gilt,
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überführt die Metrik (18.31) in die gewöhnliche Minkowski-Metrik
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Für raumartige oder zeitartige Geodäten ist das genau dann der Fall, wenn der Kurvenparameter
eine lineare Funktion der Eigenzeit bzw. der Länge ist. Die Eigenzeit einer zeitartigen Geodäte
ist also ein spezieller affiner Parameter, und jedes Vielfache davon ist auch ein affiner Parameter.
Aber der Begriff des affinen Parameters ist auch für lichtartige Geodäten sinnvoll, obwohl diese
weder eine Länge noch eine Eigenzeit besitzen. Und er ist auch dann noch wohldefiniert, wenn
der affine Zusammenhang
gar nicht aus einer Metrik ableitet ist, wenn die Mannigfaltigkeit
also nur eine affine, aber keine metrische Mannigfaltigkeit ist.
Eine Geodäte soll nun genau dann vollständig heißen, wenn der affine Parameter nicht beschränkt ist, also beliebig große positive und negative Werte annimmt. Anschaulich heißt das,
das die Geodäte nicht irgendwo plötzlich aufhört, und für zeitartige und raumartige Geodäten auf
einer metrischen Mannigfaltigkeit heißt Vollständigkeit in diesem Sinne dasselbe wie unendliche
Länge bzw. Eigenzeit.
ist also genau dann geodätisch vollständig, wenn sich jede Geodäte zu einer
Eine Raumzeit
vollständigen Geodäte erweitern, also gegebenenfalls verlängern lässt. Das können wir auch wie
folgt formulieren. Zu jedem Punkt
und jedem Vektor
muss es eine vollständige
geben, die durch den Punkt geht und dort in die Richtung des Vektors verläuft.
Geodäte
Mit anderen Worten, es muss eine Lösung
der Geodätengleichung (18.34) für alle
geben, mit den Anfangsbedingungen
k
p
ku
Vm
k
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!
{
:
:=
m
!
Wenn wir uns die Transformation (18.32) aber genauer ansehen, dann stellen wir fest, dass das
Bild dieser Abbildung gar nicht der ganze Minkowski-Raum ist, sondern nur das Segment
,
also ein Viertel des Minkowski-Raumes. Es ist genau das Segment, in dem das beschleunigte
Bezugsystem in Abbildung 13.5(b) definiert ist.
Wir haben also genau die Situation vorliegen, die wir bereits aus dem zweiten Beispiel (18.5)
kennen. Wir haben es hier nur ein wenig variiert. Die Mannigfaltigkeit mit der Metrik (18.31)
ist eine Lösung der Einstein-Gleichung, aber sie ist unvollständig. Durch eine Koordinatentransformation ist das sofort offensichtlich. Ein Segment des Minkowski-Raumes ist nicht das, was
wir eine vollständige Raumzeit nennen würden. Im Gegensatz zur Schwarzschild-Metrik sehen
wir es der Metrik (18.31) aber nicht unmittelbar an, dass da irgendetwas fehlt.
Insbesondere hat
keinen Rand. Der Definitionsbereich der Koordinaten
ist der
ganze , und die Komponenten der Metrik sind überall wohldefiniert. Wenn wir nicht die explizite Koordinatentransformation (18.32) gefunden hätten, dann hätten wir womöglich gar nicht
bemerkt, dass die Raumzeit unvollständig ist. Das gleiche gilt übrigens für die SchwarzschildRaumzeit, wenn wir sie in der Form (18.13) darstellen. Die Koordinaten haben dann ebenfalls
einen unbeschränkten Definitionsbereich, und nichts deutet darauf hin, dass etwas fehlt.
Die Vorstellung, die Unvollständigkeit einer Raumzeit hätte etwas mit einem Rand derselben
zu tun, ist deshalb ein wenig irreführend. Eine Karte ist, wie schon gesagt, immer eine offene
, und als solche hat eine Karte keinen Rand. Und eine Mannigfaltigkeit hat
Teilmenge des
folglich auch keinen Rand. Wenn wir über die Vollständigkeit einer Raumzeit reden wollen, dann
müssen ein anderes Kriterium finden, mit dessen Hilfe wir unabhängig von Koordinatensystemen
entscheiden können, ob eine Mannigfaltigkeit vollständig ist oder nicht.
Ein solches Kriterium, oder genauer, eine mögliche Definition der Vollständigkeit einer
Raumzeit-Mannigfaltigkeit, ist die sogenannte geodätische Vollständigkeit.
(18.34)
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(18.33)
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Genau diese Definition der Vollständigkeit einer Raumzeit haben wir am Anfang verwendet, um
zu zeigen, dass die Schwarzschild-Raumzeit
nicht vollständig ist. Wir haben eine spezielle
zeitartige Geodäte betrachtet, nämlich die Weltlinie eines frei nach innen fallenden Teilchens. Wir
haben erstens gezeigt, dass sich diese Geodäte nicht verlängern lässt, denn sie hatte im Bereich der
Schwarzschild-Raumzeit keinen Endpunkt. Und zweitens haben wir aus früheren Überlegungen
über die Bahnen von frei fallenden Körpern in der Schwarzschild-Metrik geschlossen, dass die
ò rt
220
k
Eine metrische (oder affine) Mannigfaltigkeit heißt geodätisch vollständig, wenn man
jede Geodäte beliebig weit verlängern kann.
(18.35)
Eigenzeit auf dieser Weltlinie beschränkt ist. Also ist die Schwarzschild-Raumzeit geodätisch
unvollständig.
:
!!
!
: Aufgabe 18.10 Man finde für den auslaufenden Lichtstrahl (18.8) und für den einlaufenden Lichtstrahl (18.9) in Schwarzschild-Koordinaten jeweils eine affine Parameterdarstellung
. Man zeige, dass diese Lichtstrahlen keine vollständigen Geodäten sind.
,
,
in der Raumzeit mit
Aufgabe 18.11 Man betrachte die lichtartige Kurve
der Metrik (18.31). Man benutze das Noether-Theorem aus Kapitel 16, um zu zeigen, dass es sich
um eine lichtartige Geodäte handelt. Man zeige dann, dass diese Geodäte unvollständig ist. Man
formuliere die Beweise so, dass daraus nicht hervorgeht, dass es sich bei
um eine Teilmenge
des Minkowski-Raumes handelt.
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(18.36)
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und
zusammen immer
Es ist nun ganz leicht, zu zeigen, dass die Karten
noch keine geodätisch vollständige Raumzeit definieren. Wie wir wissen, wird der Horizont bei
in der Karte
durch eine Schar von Lichtstrahlen gebildet, die dort, bildlich
gesprochen, eingefroren sind. Jeder solche Lichtstrahl wird durch die Angabe seiner konstanten
und
eindeutig identifiziert. Eine mögliche Parametersphärischen Koordinaten
darstellung eines solchen Lichtstrahls ist
Nachdem wir nun die Begriffe ein wenig geklärt haben, kommen wir zurück zu unserer eigentlichen, physikalischen Fragestellung. Offenbar muss es zusätzlich zur Einstein-Gleichung noch ein
zweites Kriterium geben, um eine Raumzeit als physikalisch bezeichnen zu können. Es genügt
nicht, dass der Einstein-Tensor proportional zum Energie-Impuls-Tensor ist. Eine beliebig kleine
Teilmenge des Minkowski-Raumes würde diese Bedingung erfüllen, wenn keine Materie vorhanden ist. Aber nur der ganze Minkowski-Raum ist eine physikalisch sinnvolle Raumzeit.
Wir wollen deshalb zusätzlich verlangen, dass eine physikalische Raumzeit geodätisch
vollständig sein soll. Wir können das als eine Art Randbedingung betrachten. Wenn wir eine
Lösung der Einstein-Gleichung haben, und feststellen, dass sie nicht geodätisch vollständig ist,
dann fehlt irgendwo noch etwas. Wir kennen bisher nur einen Teil der Raumzeit. So hatten wir
bereits ganz am Anfang argumentiert, als wir zu dem Schluss kamen, dass es noch mehr geben
für
. Um den Rest der Raumzeit zu finden,
muss als nur die Schwarzschild-Karte
müssen wir versuchen, die Mannigfaltigkeit in einer geeigneten Weise zu erweitern.
Wir suchen also eine maximale Erweiterung der Schwarzschild-Raumzeit, die diese als Teilmenge enthält und geodätisch vollständig ist. Eine mögliche Strategie wäre, zu den EddingtonFinkelstein-Karten weitere hinzuzufügen, in denen wir die jetzt noch unvollständigen Geodäten
fortsetzen können, und immer so weiter zu machen, bis wir schließlich einen kompletten Atlas
einer vollständigen Raumzeit erhalten. Das ist im Prinzip möglich, aber sehr mühsam.
Es ist sinnvoller, mit dem nun klar definierten Ziel noch einmal von vorne zu beginnen. Die Idee
ist im wesentlichen die folgende. Um die Eddington-Finkelstein-Koordinaten einzuführen, hatten
wir verlangt, dass ein- bzw. auslaufende Lichtstrahlen in den neuen Koordinaten jeweils auf einer
Winkelhalbierenden laufen. Auf diese Weise konnten wir die jeweiligen Lichtstrahlen über die
hinaus fortsetzen, aber entweder nur die einlaufenden oder die auslaufenden.
Stelle
Können wir vielleicht beides gleichzeitig erreichen? Tatsächlich haben wir das ja schon getan. In Abbildung 18.1(b) laufen sowohl die einlaufenden, also auch die auslaufenden radianicht mehr,
len Lichtstrahlen auf Winkelhalbierenden. Nur sehen wir dort die Stelle
denn wir haben sie unendlich weit nach links verschoben. Trotzdem bieten diese Koordinaten
einen nützlichen Ausgangspunkt. Wir erinnern uns, dass für radial einlaufende Lichtstrahlen in
Schwarzschild-Koordinaten die Gleichung (18.9) gilt, während für radial auslaufende Lichtstrahlen die Beziehung (18.8) gilt, also
k
k
Aufgabe 18.12 Man könnte vorschlagen, den Begriff der Vollständigkeit einer metrischen Mannigfaltigkeit
zu verschärfen, und zu verlangen, dass nicht nur jede Geodäte, sondern jede
zeitartige und jede raumartige Kurve , die sich in
nicht verlängern lässt, eine unendliche
Eigenzeit bzw. metrische Länge haben muss. Man zeige, dass diese Definition nicht sinnvoll ist.
Es gibt nämlich im Minkowski-Raum zeitartige Kurven, die nirgendwo enden, die aber trotzdem
nur endlich lang sind.
Lichtkegelkoordinaten
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g
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in der Karte
mit
. Das gleiche gilt für den Horizont bei
mögliche Parameterdarstellung eines Lichtstrahls dort ist
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å
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(18.37)
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W
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– W
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W
[ H
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[
(18.38)
Die Parameter und hatten wir verwendet, um die einzelnen Lichtstrahlen durchzunummerieren. Zusätzlich müssen wir dann nur noch die sphärischen Koordinaten
festlegen, um einen
Lichtstrahl eindeutig zu identifizieren.
auf genau einem
Nun ist aus Abbildung 18.1 unmittelbar ersichtlich, dass jeder Punkt
einlaufenden, und auf genau einem auslaufenden Lichtstrahl liegt. Und umgekehrt hat jeder einlaufende mit jedem auslaufenden Lichtstrahl genau einen Schnittpunkt. Folglich wird durch ein
3
[ H
å
æ
!
!
Aufgabe 18.13 Man zeige, dass (18.36) und (18.37) affine Parameterdarstellungen sind.
m
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š
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. In beiden Fällen handelt es sich, wie gleich gezeigt werden soll, um einen
mit
affinen Parameter . Daraus folgt, da nach unten bzw. oben beschränkt ist, dass die Lichtstrahlen, die die beiden Horizonte aufspannen, unvollständig sind. Sie lassen sich nicht in der jeweils
anderen Karte fortsetzen, denn sie erreichen nie den Überlappbereich der beiden Karten. Also ist
die Raumzeit geodätisch unvollständig.
221
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[ H3 Kruskal-Szekeres-Koordinaten
!
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[ H3 [
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(18.39)
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(18.45)
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3
[ H
und
so zu wählen, dass der Vorfaktor in (18.43)
Wir werden versuchen, die Funktionen
entfernt wird, der bei
verschwindet. Wir müssen die Funktionen
und
also so
gerade den Faktor
liefert. Nun folgt aus (18.40)
wählen, dass
(18.40)
g
Der erste Faktor ist genau der gesuchte Vorfaktor aus der Metrik. Die anderen Faktoren sind bei
positiv. Wir machen daher den Ansatz
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W
{
[ m!
[ H3 m !
Wj
{
Wj
g
Dass diese Transformation umkehrbar ist, folgt wieder aus der Tatsache, dass die rechte Seite der
eine monotone, unbeschränkte Funktion von ist. Der Bereich
zweiten Gleichung für
mit
der Schwarzschild-Koordinaten entspricht also dem Bereich
der Lichtkegelkoordinaten.
Und wie lautet die Metrik in den neuen Koordinaten? Dazu lesen wir aus (18.40) ab
3
[ H !
H
[ H
[ H
zusammen. Solche Koordinaten werden Lichtkegelkoordinaten genannt. Eine Koordinatenebene
const ist ein auslaufender Lichtkegel, der im unendlichen so aussieht, als wäre er zur
Schwarzschild-Zeit
am Koordinatenursprung los gelaufen. Und umgekehrt ist eine Koordinatenebene
const ein einlaufender Lichtkegel, der im unendlichen so aussieht, als würde er
zur Schwarzschild-Zeit
bei
ankommen. Das tut er natürlich nicht, denn diesen Punkt
gibt es nicht, aber das spielt hier keine Rolle.
Entscheidend ist nur, dass wir
als alternative Koordinaten in der SchwarzschildKarte verwenden können, indem die (18.38) als Koordinatentransformation auffassen. Ein wenig
übersichtlicher geschrieben ergibt sich
Sehr viel haben wir bis jetzt allerdings noch nicht gewonnen. Die Lichtkegelkoordinaten
decken auch nur den unvollständigen Bereich der Raumzeit ab, den die ursprünglichen Schwarzschild-Koordinaten
abdecken. Und sie nehmen dort bereits beliebige
reelle Werte an. Wie können wir diese Karte dann überhaupt noch erweitern?
Dazu müssen wir nur noch einmal eine relativ einfache Koordinatentransformation
durchführen. Wir erinnern uns, dass die einlaufenden Lichtstrahlen durchnummeriert, während
die auslaufenden Lichtstrahlen durchnummeriert. Wir können diese Nummerierung beliebig
verändern. Die spezielle Form der Metrik (18.43) in Lichtkegelkoordinaten bleibt erhalten, wenn
wir durch eine monotone Funktion
, und durch eine monotone Funktion
ersetzen.
Es gilt dann
(18.44)
æ
[ å
[ 3H Paar
genau ein Punkt in der
-Ebene der Schwarzschild-Karte bezeichnet, wobei und
beliebige reelle Werte annehmen. Wir können also
statt
als Koordinaten verwenden.
in Abbildung 18.1(b) durch die einfache Beziehung
Sie hängen mit den Koordinaten
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3
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Das Produkt
ist dann bis auf einen konstanten Faktor
durch (18.45) gegeben. Wenn wir das in die Metrik (18.43) einsetzen, erhalten wir schließlich
LH
3
Ö
Õ
g
W
W
W
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3
[ HD
[
[ H
(18.41)
(18.46)
Daraus folgt nach einer kurzen Rechnung
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(18.47)
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[
3
[ H
Das sind, bis auf einen gemeinsamen Faktor, die ersten beiden Terme der Schwarzschild-Metrik
(18.1). Wir können die Schwarzschild-Metrik also wie folgt schreiben,
Bis auf das bekannte Linienelement einer Sphäre ähnelt diese Darstellung kaum noch der ursprünglichen Schwarzschild-Metrik. Trotzdem ist es natürlich noch immer dieselbe Metrik.
Um den Zusammenhang zwischen den beiden Darstellung zu verstehen, fassen wir ihn noch
. Die
einmal kurz zusammen. Wir befinden uns noch immer in der Schwarzschild-Karte
Koordinaten und nahmen in dieser Karte beliebige reelle Werte an. Aus der Transformation
(18.46) folgt, dass die Koordinaten und dort beliebige positive Werte annehmen.
Wir haben also in der Karte
ein Koordinatensystem
eingeführt, mit
und
. Diese Koordinaten heißen nach ihren Erfindern Kruskal-Szekeres-Koordinaten. Wir
können direkt den Zusammenhang zwischen und und den Schwarzschild-Koordinaten und
angeben. Aus (18.40) folgt
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3
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wobei als Funktion von und zu verstehen ist, gegeben durch die zweite Gleichung in (18.40).
Diese können wir zwar nicht explizit nach auflösen, aber es genügt im folgenden zu wissen, dass
es zu jedem Paar
eindeutig ein
gibt.
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(18.43)
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222
(18.48)
k
3
H
Für positives und besitzen diese Gleichungen eine eindeutige Lösung für und , mit
. Es handelt sich also um eine umkehrbare Transformation
. Das so definierte
müssen wir auch in das Linienelement (18.47) einsetzen, um die Metrik als Funktion von und
zu schreiben. Es definiert den Oberflächenradius einer räumlichen Sphäre an der Stelle
.
Wir sehen außerdem, dass für
oder
jeweils
geht. Die Karte hat jetzt, um
noch einmal die etwas unsaubere Sprache zu verwenden, zwei “Ränder”, die beide dem Rand der
entsprechen. Jedoch geht für
die Schwarzschild-Zeit
Schwarzschild-Karte bei
, während für
die Schwarzschild-Zeit
geht. Es liegt daher die Vermutung nahe, dass der Rand bei
dem Horizont bei
in der Karte
entspricht,
hinter dem die einlaufenden Lichtstrahlen verschwinden, während der Rand bei
dem Horizont bei
in der Karte
entspricht, aus dem die auslaufenden Lichtstrahlen
hervortreten.
Das ist tatsächlich der Fall. Wir können die Karte jetzt nämlich wieder über den Rand hinaus
erweitern, und so die einlaufenden und die auslaufenden Lichtstrahlen verlängern. Die einzige
Voraussetzung dafür, dass die Metrik (18.47) wohldefiniert und invertierbar ist, ist offenbar, dass
sein muss. Nun ist eine Funktion von und , und wie
der Oberflächenradius der Sphäre
man leicht aus (18.48) entnimmt, ist genau dann positiv, wenn
ist. Wir können also
eine Kruskal-Szekeres-Karte
definieren, die den gesamten Bereich
umfasst.
Das wollen wir uns wieder in einem Raum-Zeit-Diagramm ansehen. In Abbildung 18.3 ist die
-Ebene der Karte
dargestellt. Da es sich um Lichtkegelkoordinaten handelt, sind
die Achsen
und
im Winkel von
dargestellt. Der Bereich
liegt
wird
, das heißt
zwischen zwei Hyperbeln im oberen bzw. unteren Quadranten. Bei
diese Stelle in der Raumzeit müssen wir später noch einmal genauer untersuchen. Es gibt in der
Kruskal-Szekeres-Karte
offenbar zwei solche Orte.
Der Teil der Karte, der auch von den Schwarzschild-Koordinaten abgedeckt wird, also der Beund
, ist der mit bezeichnete rechte Quadrant. Dort sind die Koordinatenlinien
reich
von und eingezeichnet. Laut (18.48) ist eine Linie
const eine Gerade in der
-Ebene,
die sich für
der Achse
nähert, und für
der Achse
. Die Linien
const sind Hyperbeln, die sich für
ebenfalls den beiden Lichtstrahlen
und
nähern.
Das sind, wie wir bereits festgestellt hatten, die beiden aus den Eddington-Finkelstein-Karten
bekannten Horizonte. Tatsächlich finden wir auch die Eddington-Finkelstein-Karten
und
in Abbildung 18.3 wieder. Sie sind Teilmengen der Kruskal-Szekeres-Karte
. Die
Karte
ist der in Abbildung 18.3(a) hell unterlegte Bereich, bestehend aus den Quadranten
und . Ein von rechts, also aus der Schwarzschild-Karte kommender einlaufender Lichtstrahl
const passiert zuerst den Horizont bei
, tritt dann in den Bereich ein, und
mit
endet schließlich bei
auf der Hyperbel im oberen Quadrant.
Das ist genau das Verhalten, das wir von einem einlaufenden Lichtstrahl aus Abbildung 18.2(a)
kennen. Der Quadrant ist also das schwarze Loch. Aus diesem Bereich dringt, wie man leicht
sieht, kein Signal in den Bereich oder in irgendeinen anderen Bereich der Raumzeit. Da wir
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Abbildung 18.3: Die Kruskal-Szekeres-Karte
ist die maximale Erweiterung der
Schwarzschild-Raumzeit. Die Raumzeit zerfällt in vier Quadranten. Der Quadrant ist die ursprünglich Schwarzschild-Karte
. Der Quadrant ist das schwarze Loch, der Quadrant
das weiße Loch. Der Quadrant
repräsentiert ein zweites äußeres Universum, das mit dem im
Quadrant durch ein Wurmloch verbunden ist.
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Lichtkegelkoordinaten verwenden, sehen die lokalen Lichtkegel in Abbildung 18.3 nämlich überal genau so aus wie im Minkowski-Raum. Ein radialer Lichtstrahl läuft entweder in der Winkelhalbierenden nach links oder nach rechts. Folglich endet jede in die Zukunft gerichtete lichtartige
, das heißt bei
.
oder zeitartige Kurve im Bereich zwangsweise auf der Hyperbel
Auch dieses Verhalten kennen wir bereits aus Abbildung 18.2(a).
Die Karte
aus Abbildung 18.2(b) ist in Abbildung 18.3(b) hell unterlegt. Hier sehen
const
, der an der Stelle
im Quadrant
wir einen auslaufenden Lichtstrahl mit
startet, dann den Horizont bei
durchquert, in die Schwarzschild-Karte eintritt, und
schließlich im Quadrant im unendlichen verschwindet. Wie man leicht aus (18.48) abliest, gilt
const
und
stets
und
. Wenn groß wird, gilt außerdem
für
const, so dass sich ein Lichtstrahl dort wieder wie im flachen Raum verhält.
Der Quadrant
ist also der Bereich der Raumzeit, aus dem die Lichtstrahlen und die zeitartigen Geodäten kommen, die wir in der Schwarzschild-Karte nicht beliebig weit in die Vergangenheit fortsetzen konnten. Er hat genau dieselben Eigenschaften wie der Quadrant , nur dass die
Zeitrichtung umgekehrt ist. Eine in die Zukunft gerichtete lichtartige oder zeitartige Kurve kann
verlassen, aber es ist unmöglich, von außen in diesen Bereich hinein zu kommen.
den Bereich
Statt dessen beginnt jede Weltlinie, wenn wir sie in die Vergangenheit verfolgen, auf der unteren
H3
Das Wurmloch
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Was bedeutet dieses Resultat nun physikalisch? Wir haben offenbar eine Raumzeit gefunden,
die der Beschreibung des Gravitationsfeldes einer punktförmigen Massenverteilung am nächsten
kommt. Die materiefreie Einstein-Gleichung ist überall erfüllt, außer bei
. Die Raumzeit
ist asymptotisch flach, das heißt es gibt einen Bereich, wo die Metrik näherungsweise durch die
im Quadrant . Dort sieht die RaumMinkowski-Metrik gegeben ist. Das ist der Bereich
zeit noch immer wie das Newtonsche Gravitationsfeld eines Körpers der Masse
aus.
Aber wo ist jetzt eigentlich die Weltlinie des Objektes, von dem das Gravitationsfeld erzeugt
wird? Sollte diese Weltlinie nicht bei
sein? Die Linie
ist aber gar keine zeitartige
Kurve mehr, sondern, wie man in Abbildung 18.3 unschwer erkennt, eine raumartige Kurve.
Genau genommen sind es zwei raumartige Kurven in der Raumzeit, auf denen
ist. Das
Objekt, das das Gravitationsfeld erzeugt, hat also eine sehr merkwürdige Form angenommen. Es
ist gar nicht mehr klar, ob man überhaupt noch von einem punktf örmigen Körper reden kann.
näher zu unEs wäre also an der Zeit, die Struktur der Raumzeit in der Nähe der Stelle
tersuchen. Wir werden das auch gleich tun. Aber zunächst gibt es noch eine zweite merkwürdige
Beobachtung zu machen. Was bedeutet eigentlich die Existenz des Quadranten ? Wir hatten
bereits gesagt, dass der Quadrant , also das schwarze Loch, ein Bereich der Raumzeit ist, in
den man aus dem Bereich eindringen kann, aus dem man aber nie wieder entkommen kann.
Offensichtlich kann man aber nicht nur aus dem Bereich , sondern auch aus dem Bereich
in
des schwarze Loch gelangen.
Es gibt also ein zweites Außen, und dieses hat genau die gleichen Eigenschaften wie das erste.
Ein Beobachter, der sich im Quadrant
aufhält, macht dieselben Beobachtungen wie einer, der
sich im Quadrant aufhält. Für ihn sieht die Raumzeit weit draußen aus wie das Gravitationsfeld
eines Körpers der Masse . Er stellt fest, dass es einen Horizont gibt, hinter den er nur schauen
kann, wenn er sich selbst dorthin begibt, aber dann kann er von dort nicht zurück. Auch für ihn
gibt es ein schwarzes Loch, und ebenso ein weißes Loch, nämlich den Bereich .
Es gibt aber für die Beobachter in den Bereichen und
keine Möglichkeit, miteinander
Kontakt aufzunehmen, obwohl sie in derselben Raumzeit leben. Die kausale Struktur der Raumkann niemals den Bereich erreichen und
zeit verhindert das. Ein Signal aus dem Bereich
umgekehrt. Die beiden Beobachter können sich nur treffen, wenn sie sich beide entschließen, in
das schwarze Loch zu fallen. Und sie müssen diesen Entschluss rechtzeitig treffen, denn sonst
bevor sie sich getroffen haben.
verpassen sie sich auch dort, das heißt sie enden bei
Um diese merkwürdige globale Struktur der Raumzeit etwas anschaulicher zu machen,
führen wir noch einmal eine Raum-Zeit-Zerlegung durch. Allerdings werden wir nicht die
Schwarzschild-Koordinate verwenden, die ja gar nicht auf der gesamten Raumzeit definiert ist.
Statt dessen verwenden wir eine willkürliche Blätterung, also eine Zerlegung der Raumzeit in eine Schar von raumartigen Hyperflächen, wie sie in Abbildung 18.4(b) dargestellt ist. Die einzige
Forderung, die wir an diese raumartigen Hyperflächen stellen, ist, dass sie in den Bereichen und
für große näherungsweise zu Hyperflächen mit
const werden.
Da wir ohnehin nur an einer qualitativen Beschreibung interessiert sind, spielt die genaue De-
Hyperbel
, also an einer Stelle mit
. Wir nennen diesen Bereich der Raumzeit ein
weißes Loch.
Schließlich finden wir in Abbildung 18.3 noch einen vierten Bereich, nämlich den Quadrant ,
der weder von den einlaufenden noch von den auslaufenden Eddington-Finkelstein-Koordinaten
erfasst wird. Das ist offenbar die gesuchte Erweiterung, durch die die Raumzeit wieder ein Stück
in Abbildung 18.2(a) Lichtvollständiger wird. Wir erinnern uns, dass es in der Karte
strahlen und zeitartige Geodäten gab, die sich nicht beliebig weit in die Vergangenheit fortsetzen ließen, deren Fortsetzung aber auch nicht in der Karte
lag. Sie näherten sich für
dem Horizont bei
von innen an, erreichten ihn aber nie.
Einen solchen Lichtstrahl sehen wir in Abbildung 18.3(a) von links einlaufen. Er tritt an irgendeiner Stelle in den Bereich ein, also in die Karte
, und endet schließlich bei
.
Diesen unvollständigen Abschnitt des Lichtstrahls hatten wir auch in Abbildung 18.2(a) gesehen.
Jetzt können wir ihn beliebig weit in die Vergangenheit fortsetzen. Er kommt offenbar aus dem
Bereich , und dieser Quadrant der Raumzeit sieht genau so aus wie der Bereich . Wir können
dort sogar wieder die üblichen Schwarzschild-Koordinaten und einführen. Wir ändern nur das
Vorzeichen von , damit die Zeitkoordinate dieselbe Richtung hat wie im Bereich ,
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, der jetzt die folgende Darstellung
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Dasselbe gilt für den Lichtstrahl (18.37) in der Karte
hat,
(18.50)
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Aufgabe 18.14 Man zeige, dass der Lichtstrahl (18.36), der in der Karte
den Horizont
definiert und unvollständig ist, in der Kruskal-Szekeres-Karte die folgende affine Parameterdarstellung hat und somit vollständig ist,
‘‘
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eingezeichnet. AusgeDie entsprechenden Koordinatenlinien sind in (18.3) im Bereich
drückt in den Koordinaten
nimmt die Metrik im Bereich
wieder die übliche
Schwarzschild-Form an, und auch dieser Bereich ist durch zwei Horizonte
und
begrenzt.
Und schließlich sehen wir auch noch, warum die Horizonte selbst, wenn wir sie nur mit Hilfe
der Eddington-Finkelstein-Koordinaten beschreiben, unvollständige Lichtstrahlen sind. In Abbilden Horizont
nur
dung 18.3(a) sehen wir, dass die Eddington-Finkelstein-Karte
zur Hälfte erfasst. Die Fortsetzung dieses Lichtstrahls in die Vergangenheit bildet die Begrenzung
und , also den Horizont des weißen Loches aus des Sicht eines
zwischen den Quadranten
Beobachters im Quadrant . Das gleiche gilt für den Horizont
, der von der Karte
nur zur Hälfte erfasst wird.
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224
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andere Galaxie
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(3)
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Regionen “weit draußen”. Die raumartige Hyperfläche (4) hat besteht also aus zwei asymptotisch
flachen Hyperebenen, die in der Mitte durch einen Hals mit dem Radius
miteinder verbunden sind. Eine solche Fläche ist in Abbildung 18.5 dargestellt. Dort ist wieder eine Dimension
unterdrückt, das heißt wir müssen uns den Ring in der Mitte der Fläche (4) als eine Kugelschale
vorstellen, und ebenso alle anderen Kreisringe, die sich aus der Rotationssymmetrie der dargestellten Fläche ergeben.
Die Konstruktion der anderen Flächen in Abbildung 18.5 erfolgt entsprechend. Die Flächen (3)
und (5) unterscheiden sich von der Fläche (4) dardurch, dass der Hals dort etwas enger ist. Ein
Teil der Fläche, nämlich der jeweils dunkel dargestellte Bereich des Halses, liegt in den Bereichen
bzw. . Das ist in Abbildung 18.4(b) erkennbar, und das ist auch der Grund dafür, dass der
Hals enger ist. Der Oberflächenradius der Kugelschalen ist in den Bereichen und
kleiner
als
.
Die Fläche (2) berührt gerade die Stelle
, das heißt dort schnürt sich der Hals in der Mitte
zu einem Punkt zusammen. Die Flächen (1) und (6) liegen schließlich an dem Rand der Karte
an, so dass die beiden Teile des Raumes nur noch an einem unendlich dünnen Faden
bei
zusammen hängen. Wie wir gleich sehen werden, ist dieser Faden sogar unendlich lang, so dass
wir eigentlich von zwei getrennten Räumen sprechen können.
Wenn wir nun die zeitliche Entwicklung des Raumes in Abbildung 18.5 betrachten, so ergibt
sich folgendes Bild. Am Anfang haben wir zwei asymptotisch flache Räume, wobei jeder für
sich für einen Beobachter weit draußen so aussieht wie das gewöhnliche Gravitationsfeld eines
kugelsymmetrischen Sterns. Daran ändert sich auch im Laufe der Zeit nichts, denn für einen
Beobachter weit draußen ist die Welt statisch. Das einzig ungewöhnliche ist, dass es nun zwei
solche Welten gibt, die zunächst nichts voneinender wissen.
Das Objekt, welches offenbar das Gravitationsfeld erzeugt, sitzt in einer Art Spitze in der Mitte
des Raumes. Dort ist die Raumzeit aber nicht statisch. Die Geometrie des Raumes ändert sich mit
der Zeit. Die Spitze verformt sich, und plötzlich öffnet sich ein Durchgang, der eine Verbindung
von einem Universum zu einem anderen Universum herstellt. Das Loch erreicht eine maximale
des Gravitationsfeldes entspricht. Dann schließt
Größe, die gerade dem Schwarzschild-Radius
es sich wieder. Schließlich bleibt in beiden Teilen des Universums wieder eine Spitze im Raum
zurück.
Wir nennen dieses merkwürdige Phänomen ein Wurmloch. Es stellt für eine gewisse Zeit eine
Verbindung zwischen zwei Universen her, die sonst nichts miteinander zu tun haben. Wäre die
ganze Situation statisch, so könnte man durch das Wurmloch von einem Universum ins andere
gelangen. Das geht aber nicht, wie wir aus der Darstellung in Abbildung 18.3 wissen, denn es
gibt keine zeitartige Kurve, die die Quadranten und , also die beiden Seiten des Wurmlochs
miteinander verbindet. Das Öffnen und Zusammenziehen des Wurmlochs geht so schnell, dass es
nicht möglich ist, mit einer Geschwindigkeit kleiner als Eins hindurch zu schlüpfen.
Würden wir versuchen, den Schlund mit einem Raumschiff zu durchqueren, so würde dieser
sich so schnell wieder zusammenziehen, dass wir darin gefangen wären und schließlich in dem
unendlich dünnen Faden enden würden, der die beiden Teile verbindet. Wir werden auch die-
g
W
(b)
(a)
Abbildung 18.4: Die Kruskal-Szekeres-Raumzeit
besitzt zusätzlich zu den drei KillingVektoren der sphärischen Symmetrie ein Killing-Vektorfeld, dessen Fluss (a) in den Bereichen
und zeitartig, auf den Horizonten lichtartig, und in den Bereichen und
raumartig ist.
statisch, während sie in den Bereichen
Folglich ist die Raumzeit in den Bereichen und
und
räumlich homogen ist. Um die globale Struktur der Raumzeit zu verstehen, kann man
eine globale Blätterung (b) einführen, so dass jedes Blatt eine raumartige Hyperfläche ist, die
den Raum zu einem bestimmten Zeitpunkt bezügliche einer willkürlich gewählten Zeitkoordinaten repräsentiert. Die zu den raumartigen Hyperflächen (1–6) gehörenden Geometrien sind in
Abbildung 18.5 dargestellt.
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225

finition dieser Blätterung keine entscheidende Rolle. Wir stellen uns vor, die Hyperflächen seien
die Flächen
const irgendeiner willkürlich gewählten Zeitkoordinate , so dass in den Bereichen und
für
näherungsweise
ist. Sechs solche typischen Hyperflächen sind in
Abbildung 18.4(b) eingezeichnet. Die Flächen (1) und (2) berühren die Stelle
im Bereich
, auf den Flächen (3), (4) und (5) ist überall
, und die Fläche (6) berührt schließlich die
obere Hyperbel
im Bereich , also im schwarzen Loch.
Die Frage ist nun, wie der Raum zu einer Zeit
aussieht. Mit anderen Worten, was
ist die Geometrie der gezeigten Flächen, und wie entwickelt sie sich mit der Zeit? Beginnen
wir mit dem einfachsten Fall, der Hyperfläche (4). Sie verläuft nur durch die Bereiche und
und repräsentiert dort jeweils die Schwarzschild-Koordinatenfläche
. Jeder Punkt auf
der dargestellten Linie repräsentiert eine Kugelschale mit dem Oberflächenradius , wobei von
links nach rechts zuerst auf
abfällt, und dann wieder ansteigt.
Weit draußen handelt es sich einfach um einen flachen Raum. Allerdings gibt es zwei solche
‘›
‘‘
(1)
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‘‘
(2)
fortsetzen und hatten argumentiert, dass sie deshalb das Gravitationsfeld eines Himmelskörpers
beschreibt, der auf einen Oberflächenradius
geschrumpft ist. Nun haben wir festgestellt,
dass ein solches Objekt gar nicht mehr durch eine zeitartige Weltlinie in der Raumzeit beschrieben
werden kann.
Statt dessen ist es offenbar erforderlich ist, einen zweiten asymptotisch flachen Raum einzuführen, und aus dem Objekt wird ein Wurmloch, welches die beiden Teile des Raumes miteinander verbindet. Das klingt alles etwas merkwürdig. Es stellt sich daher die Frage, ob ein solches
Wurmloch wirklich entsteht, wenn ein Stern, aus welchen Gründen auch immer, kleiner als sein
wird. Wir wollen versuchen, einen wenigstens halbwegs realistischen
Schwarzschild-Radius
Prozess zu beschreiben, bei dem ein Stern kollabiert, weil er seiner eigenen Gravitation nicht
mehr widerstehen kann.
Wie wir wissen, ist ein Stern nur so lange stabil, wie der Druck im Innern ausreicht, um die
Gravitation auszugleichen. In einer Newtonschen Sprache muss die Kraft, die durch den Gradienten des Druckes erzeugt wird, die Gravitationskraft ausgleichen. Nun hatten wir in Kapitel 15
bereits gezeigt, dass der Druck im Innern unendlich groß sein müsste, wenn der Radius
des
Sterns kleiner als
ist. Was also passiert mit einem Stern, der kleiner als dieser
kritische Radius wird.
Ein solcher Stern kann offenbar nichts anderes tun als weiter in sich zusammen zu fallen.
Betrachten wir zum Beispiel das folgende, wieder stark vereinfachte Szenario. Der Brennstoff
für die Kernreaktion im Innern des Sterns ist verbraucht. Der Stern kühlt ab, so dass der Druck
nachlässt. Nehmen wir an, dass der Druck im Bereich der Oberfläche praktisch auf Null abfällt.
Dann beginnen die Gase an der Oberfläche des Sterns frei zu fallen. Das heißt, die Oberfläche des
Sterns bewegt sich auf einer zeitartigen Geodäte in Richtung Zentrum, und oberhalb bleibt nur
noch leerer Raum zurück.
Die Geodäte, auf der sich die Sternoberfläche bewegt, ist genau von der Art, wie wir sie am Anfang dieses Kaptitels diskutiert haben. Es ist eine Geodäten, die in der Schwarzschild-Karte
unvollständig ist. Wenn wir auf der Oberfläche des Sterns eine Uhr platzieren, die mit dem Stern
zusammen in die Tiefe fällt, so wird diese Uhr eine endliche Zeit anzeigen, wenn die Oberfläche
den Schwarzschild-Radius erreicht hat, obwohl inzwischen unendlich viel Schwarzschild-Zeit
vergangen ist.
Danach kann es nichts mehr geben, was den Stern von einem weiteren Kollaps abhält, selbst
wenn sich im Stern wieder ein Druck aufbaut. Jedes einzelne Teilchen des Sterns folgt einer
zeitartigen Kurve. Insbesondere gilt das für die Teilchen an der Oberfläche. Diese aber “sehen”
die Metrik, die auch außerhalb des Sterns gilt, wenn wir davon ausgehen, dass die Metrik stetig ist.
. Dort
Also sehen diese Teilchen die Schwarzschild-Metrik, fortgesetzt in den Bereich
hat aber jede zeitartige Kurve, also nicht nur jede Geodäte, die Eigenschaft, dass in Richtung
Zukunft abnimmt.
Ein kugelförmiger Stern, der einmal kleiner als sein Schwarzschild-Radius geworden ist, wird
auf jeden Fall zu einem punktförmigen Objekt kollabieren, völlig unabhängig davon, aus welcher
Art von Materie er besteht. Das ganze geschieht sogar in einer endlichen Eigenzeit, gemessen an

+
(3)
(2)
(4)

(1)
Milchstraße
andere Galaxie
(5)
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(6)

Abbildung 18.5: Die raumartigen Hyperflächen (1–6) aus Abbildung 18.4(b). Der Raum besteht
zunächst aus zwei voneinader getrennten Bereichen, die jeweils für sich das Gravitationsfeld eibeschreiben. Im Zentrum des Gravitationsfeldes öffnet sich dann
ner punktförmigen Masse
ein Wurmloch, welches die beiden Universen miteinander verbindet. Es schließt sich anschließend wieder, und zwar so schnell, dass es unmöglich ist, hindurch zu kommen.
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+
g
k
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Aufgabe 18.15 Die zwei Teile des Raumes müssen nicht zwei verschiedene Universen sein. Sie
können auch in verscheidenden Gegenden eines Universums liegen. Man stelle sich vor, im Zentrum der Milchstraße befände sich der Eingang zu einem Wurmloch, dessen anderer Eingang
sich im Zentrum der Andromeda-Galaxie befindet. Wie weit wäre dann die Andromeda-Galaxie
von hier entfernt? Könnte man auf diese Weise Zeitmaschinen bauen, indem man ein Wurmloch
installiert, dessen Eingang an der eine Stelle es Universums liegt, und dessen Ausgang an einer
anderen Stelle, aber früher in der Zeit liegt?
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sen Vorgang gleich noch etwas genauer diskutieren. Das Wurmloch stellt also eine Verbindung
zwischen zwei sonst unzusammenhängenden Teilen des Raumes dar, aber wir können es nicht benutzen, um Nachrichten hindurch zu schicken, oder um selbst in den anderen Teil zu gelangen. Es
taugt also nicht für Reisen in unbekannte Welten, selbst wenn es uns gelingen würde, ein solches
Wurmloch herzustellen.
g
W¤ Der kollabierende Stern
Angefangen hatten wir unsere Überlegung damit, dass wir das Gravitationsfeld eines kugelsymmetrischen Himmelskörpers berechnet haben. Davon sich wir nun ein wenig abgekommen,
und haben statt dessen die maximale Erweiterung der Schwarzschild-Raumzeit als Lösung der
Einstein-Gleichung ohne Materie diskutiert. Wir konnten sie auf den gesamten Bereich
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Milchstraße
andere Galaxie
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Abbildung 18.6: Der Kollaps eines Sterns, dargestellt in Schwarzschild- (a), einlaufenden
Eddington-Finkelstein- (b) und Kruskal-Szekeres-Koordinaten (c). Die gestrichelten Linien sind
jeweils die Linien eines konstanten Oberflächenradius der Kugelschalen. Die SchwarzschildKarte ist unvollständig. Weder das Ereignis, an dem die Sternoberfläche den Horizont passiert,
noch das Ereignis, bei dem der Stern punktförmig wird, ist in der Karte enthalten. Die beiden
anderen Karten sind vollständig.
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227
der Oberfläche des Sterns, wie wir gleich noch zeigen werden. Nach einer endlichen Eigenzeit ist
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die Oberfläche zu einer unendlich kleinen Fläche geschrumpft. Nichts anderes bedeutet
denn bezeichnet der Oberflächenradius einer Sphäre.
Da außerhalb des Sterns die Metrik eine Lösung der Einstein-Gleichung im Vakuum ist, gilt
dort alles in diesem Kapitel gesagte. Insbesondere gibt es, nachdem der Stern kollabiert ist, ein
schwarzes Loch und einen Horizont, hinter den man von außen nicht schauen kann. Aber bildet
sich dann auch ein weißen Loch? Und was heißt überhaupt nachdem der Stern kollabiert ist? Da
sich unsere bisherigen Betrachtungen stets auf die ganze Raumzeit bezogen haben, sollten wir
etwas vorsichtig sein, wenn wir von zeitlichen Begriffen wie vorher und nachher sprechen.
Tatsächlich bildet sich nämlich beim Kollaps eines Sterns nur ein schwarzes, aber kein weißes
Loch. Und es ist auch kein zweites Universum notwendig, um die Raumzeit als ganzes zu beschreiben. Wir können also kein Wurmloch herstellen, indem wir einfach nur sehr viel Materie
in einem kleine Bereich des Raumes konzentrieren. Die Begründung dafür ist in Abbildung 18.6
dargestellt.
Die Diagramme zeigen jeweils denselben Vorgang, nämlich den Kollaps eines Sterns unter seiner eigenen Gravitation, und zwar von einem Stadium beginnend, in dem der Radius des Sterns
noch etwas größer als der Schwarzschild-Radius ist. Betrachten wir zuerst die Darstellung in
Schwarzschild-Koordinaten in Abbildung 18.6(a). Wir können uns das Diagramm nach unten
fortgesetzt denken, und dabei annehmen, dass der Stern vorher stabil war. Außerhalb des Sterns
gilt die Schwarzschild-Metrik, innerhalb des Sterns im wesentlichen die Metrik, die wir in Abbildung 15 für einen Stern konstanter Dichte hergeleitet haben.
Nun beginnt der Stern, in sich zusammen zu fallen, wobei die Oberfläche entlang einer zeitartigen Geodäte radial nach innen fällt. Da wir diese Geodäte in der Schwarzschild-Karte nicht bis zu
passiert, sehen wir diesen Vorgang
dem Ereignis verfolgen können, in dem sie die Stelle
nur unvollständig. Der Stern scheint bei
einzufrieren und nicht weiter zu schrumpfen.
Genau dieses Verhalten hatten wir auch für ein frei fallendes Teilchen gefunden. Es dauert, gemessen in der Schwarzschild-Zeit , unendlich lange, bis der Stern den Oberflächenradius
erreicht hat.
Wenn wir jedoch den gleichen Vorgang in Abbildung 18.6(b) betrachten, dargestellt in einlaufenden Eddington-Finkelstein-Koordinaten, dann sehen wir dieses Ereignis und damit auch den
vollständigen Vorgang. Nach einer endlich langen Zeit erreicht die Oberfläche des Sterns den
. Ein Lichtstrahl, der die Oberfläche in diesem Moment radial
Schwarzschild-Radius
nach außen verlässt, kann nicht mehr entkommen. Er wird an dieser Stelle eingefroren. Zusammen mit allen anderen Lichtstrahlen, die die Sternoberfläche in diesem Moment verlassen, bildet
er den Horizont.
Der Horizont entspringt aber schon früher. Verfolgen wir diese Lichtstrahlen nämlich in die
Vergangenheit, so haben sie einen gemeinsamen Ursprung im Mittelpunkt des noch existierenden
Sterns. Ein masseloses Teilchen, das sein Leben in diesem speziellen Ereignis im Mittelpunkt des
Sterns beginnt, schafft es gerade noch an die Oberfläche, um dann aber festzustellen, dass es quasi
zu spät ist, um dem schwarzen Loch zu entkommen, das sich gerade bildet.
An diesem Ereignis kann zum letzten Mal ein Beobachter von außen mit einer Station auf der
Sternoberfläche Kontakt aufnehmen. Zwar erreicht auch ein später ankommendes Signal noch die
Station, aber sie könnte keine Antwort mehr nach außen abschicken. Die Sternmaterie selbst ist
von diesem Moment an gezwungen, einer zeitartigen Kurve zu folgen, und wird schließlich bei
enden.
Ein Beobachter, der außerhalb des Horizontes bleibt, bekommt davon aber nichts mit. Er sieht
in etwa folgendes. Nehmen wir an, der Stern leuchtet noch immer, oder sendet zumindest revon
gelmäßig ein paar Photonen aus. Regelmäßig heißt, dass in gleichen Eigenzeitabständen
emittiert wird. Es ist klar,
der Oberfläche des Sterns ein Photon einer bestimmten Frequenz
dass nur die Photonen den Beobachter erreichen können, die abgeschickt werden, bevor der Stern
hinter dem Horizont verschwindet.
Nun treten aber zwei Phänomene auf, die dazu führen, dass der Stern von außen betrachtet praktisch schwarz wird. Zum einen wird die Koordinatenzeit immer größer, die das Photon benötigt,
um von der Sternoberfläche zum Beobachter zu gelangen. Sie divergiert schließlich, wenn die
Oberfläche den Horizont erreicht, denn von dort braucht ein Photon unendlich lange, um nach
draußen zu gelangen. Die Zeitdifferenz , die ein ruhender Beobachter weit draußen zwischen
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Horizont
Horizont
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Wb
konnten jede lichtartige und jede zeitartige Geodäte beliebig weit in die Vergangenheit oder in die
Zukunft verlängern. Das Problem tritt erst auf, wenn es einen Horizont gibt. Aber der entsteht ja
erst beim Kollaps des Sterns.
Aufgabe 18.16 Wir nehmen an, dass der Stern, während er durch den Horizont fällt, ein bestimmtes Spektrum von elektromagnetischen Wellen radial nach außen sendet. Ein Astronom weit
draußen beobachtet dieses und stellt fest, dass sich das Spektrum mit der Schwarzschild-Zeit
verändert. Und zwar findet er einen exponentiell ansteigenden Rotverschiebungsfaktor (15.59)
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sowie eine exponentiell abfallende Strahlungsleistung des Sterns
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und der Masse
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Man zeige, dass zwischen der “ -wertszeit”
Zusammenhang
besteht.
des kollabierenden Sterns der
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W
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zwei ankommenden Photonen misst, wird also immer größer.
Gleichzeitig divergiert aber auch der Rotverschiebungsfaktor, denn für
geht die Zeitkomponente der Metrik gegen Null. Ein später ausgesandtes Photon gleicher Frequenz kommt
beim Beobachter mit einer niedrigeren Frequenz an als ein früher ausgesandtes. Ein Astronom,
der den Stern beobachtet, wird also feststellen, dass sein Spektrum immer weiter ins Rote verschoben wird, und dass gleichzeitig seine Intensität sehr schnell abnimmt. Irgendwann wird ihn
das letzte Photon erreichen, und dann ist der Stern schwarz.
Dort, wo vorher der Stern war, ist jetzt nur noch ein schwarzes Loch. Der Stern ist selbst nicht
mehr in der Lage, zu leuchten. Die Rotverschiebung ist sehr groß, und zudem hat er kurz vor
dem Passieren des Horizontes einfach zu wenig Zeit, um noch genug Strahlung auf den Weg
zu schicken, um seine Umgebung wie bisher zu beleuchten. Er kann auch kein Licht mehr reflektieren, denn ein Lichtstrahl von außen, der nach dem letzten Kontakt eintrifft, verschwindet
ebenfalls unwiderruflich hinter dem Horizont. Aus der Richtung des ehemaligen Sterns dringt
also kein Licht zu uns.
Und wo ist nun das weiße Loch und das Wurmloch? Es ist, wie schon erwähnt, gar nicht
da. Betrachten wir dieselbe Situation noch einmal in Abbildung 18.6(c), dargestellt in KruskalSzekeres-Koordinaten. Auch diese können wir innerhalb des Sterns so fortsetzen, dass alle radialen Lichtstrahlen auf Winkelhalbierenden laufen. Wir müssen dazu nur die ein- und auslaufenden
const bzw.
const bis zum Mittelpunkt des Sterns verlängern, und diese
Lichtstrahlen mit
Linien zu Koordinatenlinien erklären. Die Oberfläche des Sterns wird dann, während des Kollaps,
durch eine zeitartige Geodäte beschrieben, die aus dem Quadrant in den Quadrant fällt und
auf der oberen Hyperbel
endet.
schließlich bei
Nun ist es aber so, dass die Kruskal-Szekeres-Metrik nur rechts von dieser Linie gilt, während
sich links die Sternmaterie befindet. Es gibt also gar keine Quadranten
und , und damit
und
auch kein weißes Loch, kein Wurmloch und kein zweites Universum. Die Bereiche
existieren nur in einer formalen Lösung der Einstein-Gleichung im Vakuum, aber sie können nicht
dynamisch aus einer realistischen Anfangsbedingung erzeugt werden. Wenn wir viel Masse in
einem kleinen Bereich des Raumes konzentrieren, können wir zwar ein schwarzes Loch erzeugen,
aber wir können kein Wurmloch herstellen, das uns den Zugang zu irgendeiner anderen Seite
ermöglicht.
In diesem Fall ist der Übergang zu Kruskal-Szekeres-Koordinaten sogar überflüssig, denn die
Eddington-Finkelstein-Karte
in Abbildung 18.6(b) ist bereits vollständig. Der Grund
dafür ist ganz einfach. Als wir uns die Lösung der Einstein-Gleichung im Vakuum angeschaut
Geodäten gibt, die wir nicht behaben, mussten wir feststellen, dass es in der Karte
liebig weit in die Vergangenheit verlängern konnten. Das waren zum Beispiel die auslaufenden
Lichtstrahlen in Abbildung 18.2(a).
Nun gibt es dieses Problem nicht mehr. Wenn wir nämlich die auslaufenden Lichtstrahlen in
die Vergangenheit verfolgen, dann werden sie alle irgendwann auf den Stern treffen, zu einer Zeit,
als dieser noch vorhanden war. Davor verhalten sich die Lichtstrahlen so, wie wir dies ausführlich
in Kapitel 17 diskutiert haben. Dort gab es keine Probleme mit unvollständigen Geodäten. Wir
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Aufgabe 18.17 Die Sonne kollabiert zu einem schwarzen Loch. Gerade sehen wir sie noch mit
ihrer gewohnten Leistung stahlen. Wie lange dauert es, bis sie nur noch die Strahlungsleistung
einer W-Glühbirne aufbringt?
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Aufgabe 18.18 Natürlich wird die Strahlung eines Sterns nicht nur radial nach außen emittiert,
sondern von der Oberfläche in alle Richtungen des Raumes. Was bedeutet das für das gemessene
Spektrum in Aufgabe 18.16?
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Aufgabe 18.19 Das letzte Photon, das ein Astronom von einem kollabierenden Stern auff ängt,
wurde sehr wahrscheinlich nicht bei
emittiert, sondern bei
. Warum?
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Aufgabe 18.20 Wenn ein schwarzes Loch vor einem leuchtenden Hintergrund steht, zum Beispiel
vor einem dichten Feld von Sternen oder einem Gasnebel, dann sieht man es als schwarze Scheibe
vor dem leuchtenden Hintergrund. Wenn
die Masse des schwarzen Loches und
der
Abstand des Beobachters ist, wie groß ist dann die schwarze Scheibe, die der Beobachter am
Himmel sieht?
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Symmetrien und Killing-Vektoren
Wir wissen also jetzt, dass ein schwarzes Loch durch den Kollaps eines Sterns entstehen kann,
dass dabei aber kein weißes Loch und kein Wurmloch entsteht. Die einzige Frage, die noch offen
. Dazu ist es sinnvoll, doch noch einmal die
ist, ist die nach der Struktur der Raumzeit bei
maximal erweiterte Kruskal-Szekeres-Raumzeit
zu betrachten, und ihre Symmetrien zu
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228
analysieren. Sie werden uns später helfen, zu verstehen, was mit einem Testkörper passiert, der
sich der Stelle
nähert.
Ausgangspunkt von allem war der Versuch, eine Raumzeit zu konstruieren, die frei von Materie, kugelsymmetrisch und statisch ist. Nun haben wir mit der Kruskal-Szekeres-Raumzeit
eine Lösung der Einstein-Gleichung ohne Materie, die offensichtlich noch immer kugelsymmetrisch ist. Wir können das dadurch zum Ausdruck bringen, dass wir die folgenden drei KillingVektoren angeben,
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(18.54)
Die Flusslinien dieses Vektorfeldes sind in Abbildung 18.4(a) dargestellt. Es sind genau die
Linien, auf denen der Oberflächenradius der dort sitzenden Kugelschalen konstant ist. In den
haben sie die gleiche Struktur wie die Flusslinien einer zweidimenLichtkegelkoordinaten
sionalen Lorentz-Transformation in Abbildung 11.3(b). Aber natürlich ist unsere Raumzeit alles
andere als ein flacher Minkowski-Raum. Die Ähnlichkeit ist allein durch die spezielle Wahl der
Koordinaten bedingt und daher eher ein Zufall.
? Im Bereich der
Welche physikalische Bedeutung hat nun das Killing-Vektorfeld
Schwarzschild-Karte ist die Raumzeit stationär, und
ist der Erzeuger einer Zeitverschiebung.
Wir könnten das, wenn wir es nicht schon wüssten, aus der Tatsache ablesen, dass
dort
ein zeitartiges Vektorfeld ist,
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H3 in Abbildung 18.3
Sie erzeugen die Drehungen der Kugelschalen, die an jedem Punkt
sitzen. Dass es sich dabei um Killing-Vektoren, also um die Erzeuger von Isometrien handelt,
folgt unmittelbar aus der Form der Metrik, die noch immer das sphärische Linienelement
enthält, und ansonsten nicht von und abhängt. Deshalb ist eine simultane Rotation
aller dieser Kugelschalen ein Symmetrie der Raumzeit.
Aber wie sieht es mit der zweiten Eigenschaft aus? Ist die Raumzeit noch statisch? Wir hatten
schon bei der Einführung der Eddington-Finkelstein-Koordinaten festgestellt, dass dies nicht der
Fall ist. In einer statischen Raumzeit muss es möglich sein, an einem Ort im Raum still zu stehen,
während sich der Raum in nicht verändert. Es sollte als möglich sein, auf einer Kugelschale mit
, nicht möglich. Also ist die
einem konstanten Radius zu bleiben. Das ist aber für
Raumzeit dort sicher nicht statisch.
Heißt das nun, dass die Raumzeit im Bereich weniger Symmetrien hat als im Bereich , wo
die Schwarzschild-Metrik gilt? Um das festzustellen, betrachten wir das zu den Zeitverschiebungehörende Killing-Vektorfeld, das in der Schwarzschild-Metrik die einfache Form
gen
annimmt. Natürlich ist der Vektor nur im Bereich der Kruskal-Szekeres-Raumzeit
definiert, denn nur dort gibt es die Koordinate .
Aber das heißt nicht, dass wir das Killing-Vektorfeld nicht in die anderen Bereiche fortsetzen
können. Wir müssen es nur durch die Basisvektoren
und
ausdrücken,
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Um festzustellen, welcher Art das Killing-Vektorfeld in den anderen Bereichen der Raumzeit ist,
berechnen wir die Norm von (18.57),
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ist, denn die Koordinatenlinien von und
Hier haben wir verwendet, dass
sind lichtartig. Ferner haben wir die Metrik (18.47) benutzt, sowie die Beziehung (18.48).
Natürlich ist das Ergebnis das gleiche wie vorher, schließlich haben wir nur die Norm eines
Vektorfeldes in zwei verschiedenen Koordinatensystemen ausgerechnet. Die zweite Rechnung
. Daraus folgt, dass das Killing-Vektorfeld
in den Bereichen und
gilt aber für alle
der Raumzeit zeitartig ist, während es in den Bereichen und , also innerhalb des schwarzen
und des weißen Lochs, raumartig ist. Und auf den Horizonten, also den Rändern dieser Bereiche,
ist es lichtartig.
Was heißt das nun für den Bereich , der uns besonders interessiert, und somit für die Umgebung der Stelle
? Offenbar ist dort das Killing-Vektorfeld
raumartig, genau wie die
und
auch. Daher ist die Raumzeit dort nicht symdrei anderen Killing-Vektorfelder ,
metrische unter Drehungen und Zeitverschiebungen, sondern unter Drehungen und räumlichen
Verschiebungen. Sie ist dort nicht statisch, sondern räumlich homogen.
Um das etwas deutlicher zu machen, führen wir noch ein letztes Mal ein neues Koordinatensystem ein. Diesmal eins, das nur den Bereich innerhalb des schwarzen Loches abdeckt. Wir
nennen die Koordinaten
, wobei die Zeit- und
die Ortskoordinaten sein sollen. Im Prinzip definieren wir diese Koordinaten genau wie die Schwarzschild-Koordinaten im
Bereich , nur dass wir die jetzt Orts- und Zeitkoordinate miteinander vertauschen und ein paar
Vorzeichen ändern. Wir setzen
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Dazu brauchen wir die Koordinatentransformation (18.48). Leiten wir diese Gleichungen jeweils
nach ab, so ergibt sich
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Formal geht diese Transformation aus (18.48) hervor, wenn wir dort durch und durch
ersetzen. Da im Bereich
gilt, folgt daraus für den Definitionsbereich der neuen
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, also auf der ganzen Kruskal-Szekeres-Raumzeit
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Dieses Vektorfeld ist offenbar für
wohldefiniert.
(18.57)
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Koordinaten
und
. Der Grund für diese etwas merkwürdige Wahl
des Definitionsbereiches wird gleich klar werden.
darzustellen, müssen wir die Schritte
Um die Metrik in den neuen Koordinaten
von den Kruskal-Szekeres-Koordinaten zurück zu den Schwarzschild-Koordinaten gehen. Das
Ergebnis bekommen wir natürlich am einfachsten, indem wir auch in der Schwarzschild-Metrik
ersetzen. Das ergibt
formal durch und durch
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n Die Betragsstriche haben wir deshalb eingesetzt, damit aus der Darstellung unmittelbar deutlich
wird, dass eine Zeitkoordinate ist, während eine räumliche Koordinate ist. Der Ausdruck
ist für
positiv.
Das Vorzeichen von haben wir so gewählt, dass die Zeit in die richtige Richtung läuft. Da
wir uns in Bereich stets zu kleineren Radien hin bewegen, stimmt das mit der Richtung der
Zeitkoordinate
überein. Mit anderen Worten, auf einer in die Zukunft gerichteten Kurve
nimmt monoton zu, wie es für eine Zeitkoordinate sein sollte.
In Abbildung 18.7 ist die Metrik (18.61) in einem Raum-Zeit-Diagramm dargestellt. Da
auf einen endlichen Bereich beschränkt ist, ergibt sich ein in -Richtung unendlich ausgedehnter
Streifen endlicher Breite. Der obere Rand dieses Streifens bei
entspricht der Hyperbel
in der Kruskal-Szekeres-Karte, und der untere Rand entspricht dem Horizont bei
oder
. Das Verhalten der lokalen Lichtkegel entnehmen wir aus der Metrik (18.61). Für
radiale Lichtstrahlen, also für solche mit
und
, gilt
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Abbildung 18.7: Der Bereich
innerhalb des schwarzen Loches ist räumlich homogen, aber
nicht statisch. Die lokalen Lichtkegel werden für
flach, so dass ein Lichtstrahl dort
fast waagerecht verläuft. Ein von links einlaufender Lichtstrahl kommt in Abbildung 18.3 aus
, ein von rechts einlaufender Lichtstrahl kommt dort aus dem Bereich . Für
dem Bereich
werden die Lichtkegel sehr spitz, so dass dort praktisch jede zeitartige zu einer Kurve mit
const wird.
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so beschreibt diese einen in -Richtung unendlich ausgedehnten Zylinder, dessen Querschnitt
eine Kugeloberfläche mit dem Oberflächenradius
ist.
Ein solcher Raum hat als Isometrien die Drehungen der Sphäre und die Verschiebungen entlang
. Damit können wir jeden Punkt des Raumder Zylinderachse, also die Abbildungen
es auf jeden anderen abbilden. Der Raum sieht somit an allen Orten gleich aus. Die zu diesen
Symmetrien gehörenden Killing-Vektorfelder sind die Vektoren , und für die Drehungen,
und der Vektor
für die Verschiebungen, der in den neuen Koordinaten wieder eine sehr
einfache Darstellung hat.
Wir stellen also fest, dass die Raumzeit hinter dem Horizont noch immer die gleiche Anzahl
an Symmetrien hat, dass sich deren physikalische Interpretation dort aber ändert. Außerhalb des
Horizontes ist die Raumzeit statisch und kugelsymmetrisch. Hinter der Horizont ist sie dagegen
kugelsymmetrisch und räumlich homogen. Dass sie nicht mehr statisch ist, folgt unmittelbar aus
der Tatsache, dass der Raum zu jeder Zeit eine andere Geometrie hat. Der Oberflächenradius
der Sphäre, die den Querschnitt des Zylinders definiert, nimmt nämlich mit
ab.
+
(18.62)
Für
gilt
, das heißt dort werden die Lichtkegel sehr flach. Im unteren
haben wir
Teil des Diagramms verlaufen die Lichtstrahlen also fast waagerecht. Für
, das heißt dort werden die Lichtkegel sehr spitz, so dass die Lichtstrahlen im oberen
Teil des Diagramms sehr steil verlaufen.
Das hat unter anderem zur Folge, dass es wieder Ereignisse und gibt, die keine gemeinsame
Zukunft haben. Die von ihnen ausgehenden Lichtstrahlen treffen sich nicht, bevor sie bei
ankommen. Dieses Verhalten kennen wir schon aus Abbildung 18.2(b). Der dortige Bereich
hinter dem Horizont ist natürlich genau der Bereich , also der mit der neuen Karte erfasste
Teil der Raumzeit in Abbildung 18.7.
Wir können jetzt die Symmetrien der Raumzeit in diesem Bereich unmittelbar aus der Metrik
const homogen. Wenn wir
ablesen. Tatsächlich ist der Raum zu einem bestimmten Zeitpunkt
nämlich die induzierte dreidimensionale Metrik auf einer solchen Hyperfläche betrachten,
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(18.63)
Milchstraße
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Aufgabe 18.21 Man führe ähnliche Koordinaten im Bereich
ein und diskutiere die kausale
Struktur dieses Bereiches der Raumzeit, sowie dessen Symmetrien.
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Die Singularität
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Jetzt können wir endlich zu der schon mehrmals aufgeschobenen Frage kommen, was denn nun
bei
, bzw. in unseren neuen Koordinaten bei
passiert. Können wir die Raumzeit
vielleicht doch noch einmal fortsetzen, oder müssen wir dort mit ihrer Unvollständigkeit leben?
Ist sie überhaupt unvollständig?
Wir betrachten dazu die räumliche Metrik (18.63) im Grenzfall
. Wir hatten gesagt, dass
der Raum ein unendlich ausgedehnter Zylinder ist, dessen Querschnitt eine Sphäre vom Radius
ist. Offenbar geht der Querschnitt dieses Zylinders für
gegen Null, während der Zylinder
gleichzeitig in die Länge gezogen wird. Der metrische Abstand zweier Punkte im Raum mit
dem Koordinatenabstand
ist
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n Abbildung 18.8: Der Raum zu verschiedenen Zeiten vor der Singularität bei
. Er hat die
Form eines unendlich ausgedehnten Zylinders, dessen Querschnitt schrumpft, während er gleichzeitig in die Länge gezogen wird.
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%
n
£d
g
%
n
I
d
n
n
n
n
n
n
n
n
4 n n 4n n
‘‘
231
b
n
d
Also ist jede zeitartige Kurve, die ganz im Bereich der Raumzeit liegt, kürzer als
. Wenn
sich ein Astronaut unvorsichtigerweise in den Bereich hinter dem Horizont begibt, dann bleibt
ihm höchstens noch diese Zeit zu leben, bevor er sich der Stelle
nähert und dort auf die
gerade beschriebene Weise zerlegt wird. Und das ist natürlich auch die maximale Zeit, die ein
Stern noch existieren kann, nachdem er seinen eigenen Horizont durchquert hat, und bevor er zu
einem Punkt geschrumpft ist.
Wir schließen daraus, dass kein realistisches Objekt eine Annäherung an die Singularit ät der
bzw.
überleben kann. Jedes solche Objekt wird in seine Bestandteile
Metrik bei
zerlegt. Wir werden diesen Vorgang gleich noch etwas genauer beschreiben. Für jeden praktischen
Zweck erübrigt sich damit die Frage, ob die Raumzeit dahinter noch weiter geht oder nicht. Denn
allein aus der kausalen Struktur der Raumzeit in der Umgebung von
folgt bereits, dass kein
räumlich ausgedehntes Objekt eine Annäherung an diese Stelle überleben kann.
Aber heißt das, dass die Raumzeit dort wirklich endet? Wenn ein ausgedehnter Körper eine
nicht übersteht, heißt das noch nicht, dass wir eine Geodäte das
Annäherung an die Stelle
mathematisches Konzept nicht vielleicht doch fortsetzen können. Das ist wäre zwar ein naheliegender Schluss, aber streng genommen haben wir noch nicht bewiesen, dass das nicht geht. Wir
können es aber beweisen. Allerdings müssen wir dazu ganz anders vorgehen als bisher.
Bisher haben wir immer nur bewiesen, dass sich die Raumzeit an der einen oder anderen Stelle
fortsetzen lässt. Das konnten wir tun, indem wir geeignete Koordinaten eingeführt haben, aus
denen das unmittelbar und explizit hervor geht. Ungleich schwieriger ist es jedoch, zu beweisen,
dass es solche Koordinaten nicht gibt. Wir werden deshalb den Beweis, dass es keine Fortsetzung
‘‘
b b
n n
Aufgabe 18.22 Gegeben sei eine in die Zukunft gerichtete zeitartige Kurve im schwarzen Loch,
also im Bereich der Raumzeit, der durch die Karte in Abbildung 18.7 abgedeckt wird. Es muss
sich dabei nicht um eine Geodäte handeln. Man zeige, dass die Eigenzeit dieser Kurve kleiner als
ist.
g
Dieser Abstand divergiert für
wie
. Eine anschauliche Darstellung dieses Vorgangs
ist in Abbildung 18.8 gegeben. Es ist jeweils ein Teil des Raumes, der einem festen Koordinatenentspricht, zu verschiedenen Zeiten dargestellt. Wie üblich fehlt eine Dimension,
abstand
so dass der Querschnitt des Zylinders nicht als Kugelschale, sondern als Kreisring erscheint. Für
wird das Stück des Raumes, das wir betrachten, immer enger und dafür immer länger. Für
zieht sich der Zylinder schließlich zu einer unendlich langen Linie zusammen.
Für einen massiven Testkörper, der sich der Stelle
nähert, hat dieses Verhalten der
Geometrie des Raumes dramatische Konsequenzen. Aus der Struktur der lokalen Lichtkegel in
jede zeitartige Geodäte zu einer Kurve
const
Abbildung 18.7 entnehmen wir, dass für
wird, denn die Lichtkegel werden dort sehr spitz. Daraus folgt, dass sich jedes einzelne Atom
eines massiven Körpers in der letzten Phase vor der Ankunft bei
praktisch auf einer Kurve
mit
const bewegen muss.
Zwei unmittelbar benachbarte Atome, die sich zu einem Zeitpunkt
im Abstand von
einem Ångström befinden, haben zu einem späteren Zeitpunkt einen Abstand von einem Meter,
und zu einem noch späteren Zeitpunkt
beträgt der Abstand schon ein Lichtjahr. Schließlich
weiter zu. Gleichzeitig nimmt die Oberfläche des sphärischen
nimmt dieser Abstand mit
Querschnitts des Raumes mit
ab, so dass das Volumen des Körpers mit
gegen Null geht.
Der Körper wird also in eine Richtung gestreckt, während er in die beiden anderen Richtungen
des Raumes gestaucht wird, und sein Volumen wird dabei immer kleiner.
Jetzt müssen wir nur noch zeigen, dass das alles in einer endlich langen Eigenzeit passiert, um
die Dramatik der Ereignisse in der Nähe von
oder
deutlich zu machen.
n
k
e
k
òt
r
n
n
k
òt
r
n
e
k n
:=
!
:=
!!
!
é
:é
k
! {
é8 {b
k
Da es bis heute keine konsistente Quantentheorie der Gravitation gibt, können wir diese Fragen
nicht beantworten. Wir wissen also nicht, was wirklich am Ende des Kollaps eines Sterns passiert.
Wir wissen auch nicht, ob die Raumzeit wirklich irgendwo endet. Wir wissen nur, dass die allgemeinen Relativitätstheorie uns nicht sagt, was passiert, nachdem ein punktförmiges Teilchen
bei
angekommen ist, oder was mit der Wellenfunktion eines quantisierten Teilchens dort
.
passiert. Es gibt im Rahmen dieser Theorie gar kein danach. Die Zeit endet bei
Dass wir eigentlich eine Quantentheorie zur Beschreibung heranziehen müssten, wenn wir uns
der Singularität nähern, zeigt folgende Überlegung. Quanteneffekte können in der Gravitationstheorie meist vernachlässigt werden, weil das Plancksche Wirkungsquantum aus Aufgabe 18.1
mit
m sehr klein ist im Vergleich zu den Skalen, mit denen wir es in der
Astronomie zu tun haben. Das ist aber offensichtlich dann nicht mehr der Fall, wenn wir uns in
unmittelbarer Nähe der Singularität in einem schwarzen Loch befinden. Dort wird der Querschnitt
des in Abbildung 18.8 gezeigten Raumes beliebig klein, also auch kleiner als die durch
der Raumzeit bei
gibt, in einer koordinatenunabhängigen Weise führen. Was wir zeigen
wollen, ist, dass es keine metrische Mannigfaltigkeit
gibt, die die Kruskal-Szekereshinaus
Raumzeit als echte Teilmenge enthält, und in der wir Geodäten über die Stelle
fortsetzen können.
Dazu folgende Vorüberlegung. Nehmen wir an, es gäbe eine solche Raumzeit
,
sei eine Geodäte, oder irgendeine andere glatte Kurve, die die Stelle
passiert.
und
Ferner sei
ein glattes skalares Feld auf . Dann ist
natürlich eine glatte
Funktion
. Daraus wollen wir einen Widerspruch konstruieren. Sei also
eine Mannigfaltigkeit mit den genannten Eigenschaften. Dann setzen wir
+
÷ ¥
€A
é
:=
Das ist ein skalares Feld, das auf jeder wohldefinierten metrischen Mannigfaltigkeit glatt ist,
eine glatte
denn es handelt sich um eine Funktion der Metrik und ihrer Ableitungen. Nun sei
Kurve auf , die an irgendeiner Stelle, sagen wir
, bei
ankommt. Dann sollte
zumindest stetig sein, und
sollte eine reelle Zahl sein.
W
W
 .>
€A .> 
(18.65)
!
:
n
:
k
!
¥
V
»
!
ö
¥ ]
Ÿ
m
(18.67)
o
Aufgabe 18.23 Man berechne der Krümmungstensor zur Metrik (18.61), und zeige, dass
ž
g
$i
€A
.> 
 .>
€A
(18.66)
n b
:
š
b
é
:é
!
k
ò
g
W
I
g
+
$ !)
h

232

n
In einem gewissen Sinne sagt hier die allgemeine Relativitätstheorie die Grenzen ihrer eigenen
Gültigkeit voraus. Es ist völlig offen, was in der Nähe einer Krümmungssingularität wirklich
passiert. Vielleicht gilt die allgemeine Relativitätstheorie nicht mehr, wenn die Krümmung sehr
groß wird. Vielleicht spielen Quanteneffekte, die sonst im Rahmen der Gravitationstheorie völlig
ausgeblendet werden, dort eine entscheidende Rolle, so dass die Physik eine völlig andere ist.
»
b
n
çf
çf

Aufgabe 18.24 Warum ist es unbedingt notwendig, eine skalare Funktion des Kr ümmungstensors
zu betrachten? Warum genügt es nicht, zu zeigen, dass eine bestimmte Komponente, zum Beispiel
, für
divergiert, wenn man zeigen will, dass es dort keine Fortsetzung der Raumzeit
gibt?
Ÿ
Es gilt also
für
. Das ist ein Widerspruch zur Stetigkeit von , also kann es die
gesuchte Mannigfaltigkeit
nicht geben. Die Kruskal-Szekeres-Raumzeit ist zwar geodätisch
unvollständig, aber es ist die maximale Erweiterung der Schwarzschild-Raumzeit als Lösung der
Einstein-Gleichung im materiefreien Raum.
Wir sagen, dass an der Stelle
oder
eine Krümmungssingularität vorliegt. Im
Gegensatz zu einer Koordinatensingularität, wie sie bei
in der Schwarzschild-Metrik
vorliegt, ist an einer Krümmungssingularität die Raumzeit wirklich zu Ende. Dort enden Geodäten
nach einer endlichen affinen Länge, aber trotzdem können wir die Raumzeit nicht fortsetzen, weil
dort eine skalare Funktion des Krümmungstensors divergiert.
gesetzte, sogenannte Planck-Länge. Es ist deshalb völlig unklar, was passiert, wenn ein Stern
bei seinem Kollaps diese Ausdehnung erreicht, und die Krümmung in seiner Umgebung von der
Größenordnung der Planck-Länge wird.
Wir sollten aber feststellen, dass daraus nicht etwa folgt, dass es vielleicht keine schwarzen
Löcher gibt. Der Horizont entsteht nämlich lange bevor die Krümmung diese Größenordnung
erreicht, bei der wir der allgemeinen Relativitätstheorie nicht mehr ohne weiteres trauen können.
So ist zum Beispiel der Schwarzschild-Radius
eines gewöhnlichen Sterns sehr viel größer als
die Planck-Länge , das heißt dort gilt die klassische Physik noch in sehr guter Näherung. Lokal
sieht die Raumzeit dort ganz normal aus. Ein frei fallender Beobachter, der den SchwarzschildRadius passiert, macht an dieser Stelle keine besonders ausfälligen Beobachtungen.
Es sind also nur die Vorgänge in der unmittelbaren Nähe der Singularität, die sehr wahrscheinlich nicht korrekt durch die allgemeine Relativitätstheorie beschrieben werden. Aber dorthin
können wir ohnehin nicht schauen, wenn wir ein schwarzes Loch von außen betrachten. Alles,
was wir sonst über schwarze Löcher gesagt haben, folgt allein aus der Einstein-Gleichung, die
wir solange als gültig akzeptieren können, wie die Krümmung klein ist im Vergleich zur PlanckSkala (18.67), und aus dem Äquivalenzprinzip, wonach alle Naturgesetze als Tensorgleichungen
formuliert werden können.
Es gibt also keinen Grund, an der Existenz von schwarzen Löchern mit den hier beschriebenen Eigenschaften zu zweifeln, wenn man nicht die allgemeine Relativitätstheorie als ganzes in
Zweifel ziehen will. Einige Beobachtungen deuten darauf hin, dass es solche Objekte wirklich
gibt. Allerdings ist bisher noch kein schwarzes Loch wirklich als solches nachgewiesen worden.
Jedes in Frage kommende Objekt könnte im Prinzip ein dunkler, aber stabiler Stern mit einem
sein. Einzig ein sehr großes schwarzes Loch, dessen Masse ein vielfaches
Radius
einer typischen Sternmasse ist, ließe sich direkt nachweisen. Möglicherweise befindet sich ein
̀˵g
Aufgabe 18.25 Welche Masse
muss ein schwarzes Loch haben, damit seine Oberfl äche
ist? Man verschaffe sich eine anschauliche Vorstellung von dieser Masse.
Á £
Â
À ¿
à Æ
Å Àµ¿
É Ê
Ë
solches schwarzes Loch im Zentrum der Milchstraße, wo es ständig größere Mengen von Sternen
verschluckt.
¾
½
¥
ò
$
%
Milchstraße
andere Galaxie
Gezeitenkräfte
¾
¼
Ç
È
½
Zum Schluss wollen wir noch einmal einen etwas allgemeineren Aspekt diskutieren, der im Zuals physikalische Frage auftaucht.
sammenhang mit der Annäherung an die Singularität bei
Wir hatten gesehen, dass allein auf Grund der kausalen Struktur der Raumzeit in der Umgebung
von
ein ausgedehnter Körper, aus welchem Material er auch besteht, in seine Bestandteile
zerlegt wird. Das gilt letztlich auch für die Atome, aus denen er besteht, für die Nukleonen, die
Quarks, und was auch immer danach folgen mag, jedenfalls solange wir die allgemeine Relativitätstheorie als gültig akzeptieren.
Aber wie sollen wir uns diesen Vorgang genau vorstellen? Offenbar muss es eine Kraft geben,
die größer ist jede denkbare Bindungskraft zwischen den Komponenten eines zusammengesetzten Objektes. Sie bewirkt, dass jedes Objekt schließlich in seine Bestandteile zerlegt wird. Oder
andersherum formuliert, die Bindungskräfte zwischen der Teilen eines zusammengesetzten Objektes müssten beliebig groß werden, wenn sie verhindern sollen, dass das Objekt zerlegt wird.
Wir wollen versuchen, zunächst ganz allgemein die Bewegung eines ausgedehnten Körpers in
einer gekrümmten Raumzeit zu beschreiben, um zu sehen, wie diese Kräfte entstehen. Stellen wir
uns dazu die in Abbildung 18.9(a) dargestellte, vereinfachte Situation vor. Ein Testkörper bewegt
sich frei fallend durch die Raumzeit. Er besteht aus zwei Teilchen der Masse , die sich in einem
voneinander befinden, wobei dieser Abstand im lokalen Ruhesystem des Körpers
Abstand
gemessen wurde. Jeder Körper hat also einen Abstand vom Schwerpunkt.
Wenn wir die beiden Teilchen nicht aneinander koppeln, dann läuft jedes für sich auf einer
zeitartigen Geodäte. Das hat im allgemeinen zur Folge, dass sich ihr Abstand ändert, denn nur
im flachen Raum sind Geodäten zueinander parallel. Der Körper wird sich also verformen. Der
Abstand der Teilchen ändert sich, und wenn wir noch mehr Teilchen hinzu nehmen würden,
würden sich auch deren relative Positionen zueinander verändern. Um den Körper “in Form” zu
halten, müssen auf die einzelnen Teilchen Kräfte wirken.
Diese Kräfte werden Gezeitenkräfte genannt. In der Newtonschen Gravitationstheorie tritt eine
Gezeitenkraft immer dann auf, wenn das Gravitationsfeld inhomogen ist. Dann wirken auf die
verschiedenen Teilchen in einem ausgedehnten Körper verschiedene Kräfte, so dass selbst dann
noch Kräfte übrig bleiben, wenn wir die Schwerpunktbewegung des Körpers durch den Übergang
zu einem frei fallenden Bezugsystem eliminieren. Die Kraft , die auf ein Teilchen wirkt, ist dann
in erster Näherung, das heißt für kleine Abstände , eine lineare Funktion des Abstandsvektors
vom Schwerpunkt. Die Matrixdarstellung dieser Abbildung ist im wesentlichen die zweite Ableitung des Gravitationspotentials, also dessen Inhomogenität.
É Ê
¼
(b)
(a)
Ì
Q
Abbildung 18.9: In einen inhomogenen Gravitationsfeld treten Gezeitenkräfte auf. Besteht ein
ausgedehnter, frei fallender Körper aus zwei Teilchen (a), so müssen auf die beiden Teilchen,
wenn der Körper sich nicht verformen soll, entgegengesetzte Kräfte wirken. Die Kräfte sind proportional zur Masse der Teilchen und zu ihrem Abstand vom Schwerpunkt. In einem Raumvon parallelen,
Zeit-Diagramm (b) erscheinen die Weltlinien der Teilchen als eine Schar
zeitartigen Kurven. Ein Parameter bestimmt die Weltlinie, und repräsentiert die Eigenzeit auf
jeder Weltlinie. Für jedes und jedes gibt es eine 4-Geschwindigkeit und einen Abstandsvektor zur infinitesimal benachbarten Weltlinie. Nur die Weltlinie des Schwerpunktes bei
ist eine Geodäte. Alle anderen Weltlinien sind beschleunigt.
Ί
Ž
žˆ
Í
ž
Î
Ï
Î
ž
&
Î
Ð
W
S
S
S
Ñ©
Aufgabe 18.26 Wir betrachten die Situation in Abbildung 18.9(a) im Rahmen der klassischen
Mechanik. Wir wählen ein (beschleunigtes, nicht rotierendes) Bezugsystem, in dem der Schwerpunkt des Körpers in Ruhe ist. Man zeige, dass dann auf ein Teilchen der Masse am Ort
(relativ zum Schwerpunkt) die Kraft
Ñ
Ñ!
2
?D J
J ©? 2
Ñ
(18.68)
?J
?2
wirkt, wobei
am Schwerpunkt des Körpers auszuwerten ist. Die Kraft setzt sich aus der
Gravitationskraft und der Scheinkraft im beschleunigten Bezugsystem zusammen. Der K örper
muss diese Kraft durch Bindungskräfte ausgleichen, damit er seine Form behält.
S
Aufgabe 18.27 Warum heißen diese Kräfte Gezeitenkräfte?
In der allgemeinen Relativitätstheorie müssen wir die Situation ein wenig anders beschreiben,
weil es dort den Begriff der Gravitationskraft nicht gibt. Nehmen wir zunächst wieder an, wir
233
Ñ!
n Î
wird entlang der Weltlinien der Teilchen parallel transportiert. Das
Der Abstandsvektor
ist nur eine andere Formulierung derselben physikalischen Aussage, dass zwei infinitesimal benachbarte Teilchen relativ zueinander ruhen.
Zusätzlich zu der Differentialgleichung (18.71) können wir noch eine Anfangsbedingung vor. Wir wollen verlangen, dass die Weltlinie
eine zeitartige
geben, zum Beispiel bei
Geodäte ist. Das heißt, es soll gelten
!
n =
Ñ
A
Ò+
´A ´ ´
H
> H!
=
. }>
. H? D n?
(18.74)
!
n Î
ein räumlicher Einheitsvektor im Ruhesystem des TeilFerner soll der Abstandsvektor
chens mit
sein. Er soll also senkrecht zu
stehen und den Betrag Eins haben,
!
n Ñ
Ò+
´ ´ ´
k
(18.75)
Î
Î
Î
{
Ñ!
n =
Ò+
´ ´ ´
n Ñ
hätten zwei nicht aneinander gekoppelte Teilchen, die sich dicht nebeneinander und relativ zueinander in Ruhe befinden. Wenn beide frei fallen, werden sie beginnen, sich relativ zueinander zu
bewegen. Denn die Weltlinie jedes Teilchens ist eine zeitartige Geodäte, und Geodäten sind im
gekrümmten Raum im allgemeinen nicht zueinander parallel.
Das ist also in der allgemeinen Relativitätstheorie der Grund dafür, dass Gezeitenkräfte auftreten. Wenn die Teilchen ihren Abstand beibehalten sollen, dann muss auf sie eine zusätzliche
Kraft wirken, das heißt die Teilchen müssen beschleunigt werden. Was wir im folgenden berechnen werden, ist deshalb nicht die Gravitationskraft, die es nicht gibt, sondern die ausgleichende
Bindungskraft, die nötig ist, um einen Körper in Form zu halten.
Wir betrachten dazu das in Abbildung 18.9(b) dargestellte Raum-Zeit-Diagramm. Dort ist eine
Schar von zeitartigen Weltlinien dargestellt. Jede Weltlinie wird eindeutig durch eine reelle Zahl
identifiziert, und auf jeder Weltlinie führen wir die Eigenzeit als Parameter ein. Wir können
die Schar von Weltlinien daher als eine Funktion
von
in die Raumzeit
auffassen.
Wir stellen uns vor, dass jedes ein Teilchen repräsentiert. Wir können dann, wie üblich, die
4-Geschwindigkeit
des Teilchens zur Zeit definieren,
Ñ
n
Ñ
Ñ!
n y.6?
Î
!
!
!
n?
!
n !
n =
n
!
!
n Î
Î
Ñ
Ñ
n
=
!
Da die Eigenzeit entlang der Weltlinie ist, ist dies ein zeitartiger Einheitsvektor.
Wir wollen ferner verlangen, dass die Teilchen relativ zueinander ruhen. Das soll heißen,
dass die 4-Geschwindigkeiten zweier infinitesimal benachbarter Teilchen gleich sind. Allerdings
müssen wir, bevor wir zwei Vektoren an verschiedenen Orten vergleichen können, diese erst parallel verschieben. Gleichheit der 4-Geschwindigkeiten bedeutet also, dass die kovariante Ableitung
nach verschwindet,
von
=
.H
(18.69)
Ñ
Ñ!
n Das ist mit der Forderung (18.73) verträglich, denn die Skalarprodukte von parallel transportierten
Vektoren sind konstant.
als Anfangspunkt,
als zeitartigen Einheitsvektor, und
Wir können also
als dazu senkrechten raumartigen Einheitsvektor beliebig vorgeben. Die Geodätengleichung bestimmt dann die Weltlinie
und die Funktion
als deren Ableitung. Dann können wir
entlang dieser Kurve parallel transportieren und erhalten die Funktion
.
den Vektor
Diese Funktionen setzen wir als Anfangsbedingungen bei
in (18.71) ein, und erhalten so
eine eindeutige Lösung dieser Differentialgleichung, zumindest für einen endlichen Bereich der
Variablen und .
In eine physikalische Sprache übersetzt haben wir folgendes getan. Wir haben den Ort
und die 4-Geschwindigkeit
eines (in eine Dimension) ausgedehnten Testkörpers vorgegeben. Ferner haben wir seine Lage im Raum durch den Vektor
festgelegt. Dann haben
wir verlangt, dass sich ein bestimmter Punkt innerhalb des Testkörpers, nämlich das Teilchen
, auf einer zeitartigen Geodäte bewegt, also frei fällt. Nennen wir diesen Punkt der
mit
Schwerpunkt des Körpers.
Ferner haben wir verlangt, dass der Testkörper nicht rotiert. Der Vektor
, der seine Lage
im Raum zur Zeit beschreibt, soll kovariant konstant bezüglich sein. Als Ergebnis haben wir
eine Funktion
bekommen. Sie liefert für jedes Teilchen die Weltlinie als Funktion der
Eigenzeit . Jetzt müssen wir nur noch ausrechnen, welche Kraft auf das Teilchen wirken muss,
damit es genau dieser Weltlinie folgt.
zusammen. Die AbleitunDazu fassen wir noch einmal die Eigenschaften der Funktion
gen definieren die 4-Geschwindigkeit
und den Abstandsvektor
,
!
Î
!
A6
?
. H?
> H!
=
. }>
A
Ñ?
D Ñ?
(18.70)
Ñ
!
n n Ñ
!
n nÑ
=
A Ñ
?6 ?
n
> 6? ?
!
=
A
. }>
Ñ
. 6? D n??
(18.71)
Î
Ñ!
n =
Wenn wir (18.69) einsetzen, können wir das als eine Differentialgleichung zweiter Ordnung
zu erfüllen hat,
schreiben, die die Funktion
Ñ
n
einführen, der den Abstand zwischen zwei infinitesimal
Ñ!
n Î
n =
Ñ!
Wenn wir einen Abstandvektor
benachbarten Teilchen misst,
Ñ!
n Î
Ñ!
n . 6? Ñ?
.©
(18.72)
. 6?
Ñ
?
n
Ñ!
n Î
Ñ
Ñ!
n?
234
n ?
A
Für diese gilt, dass
in -Richtung parallel transportiert wird, während
in Richtung parallel transportiert wird. Das können wir wie folgt mit Hilfe von kovarianten Rich
A6
> ©!
=
. }>
. ©? D n?
(18.73)
(18.76)
.©
. 6? n?
.H
dann können wir (18.71) auch wie folgt schreiben,
>©
.H
> H.
&
.©
(18.77)
ÑÎ
&.
!
n =
Ñ
. H A
A H&
.
Wir wollen diese näherungsweise für kleine berechnen. Natürlich ist
, denn die
Kurve mit
ist eine Geodäte. Was uns interessiert, ist demnach die Ableitung von nach
bei
. Wir berechnen also die kovariante Richtungsableitung
E
Ñ
Ñ!
n E
n
(18.78)
Ñ!
n n
Ñ!
Jetzt ist es nicht mehr schwierig, die Beschleunigung
zu berechnen, die das Teilchen zu
Zeit erfährt. Es ist die kovariante Ableitung der 4-Geschwindigkeit nach der Eigenzeit, also
Ñ!
n Ñ
Ñ!
n !
n Ñ
n Aufgabe 18.28 Warum gelten die Beziehungen (18.75) im allgemeinen nicht f ür alle ?
Ó
Da wir als Anfangsbedingung vorgegeben haben, dass
eine zeitartige Geodäte ist und
somit
ein zeitartiger Einheitsvektor ist, folgt aus der ersten Gleichung dass auch
für alle ein zeitartiger Einheitsvektor ist. Denn
wird in -Richtung parallel transportiert,
also ist die Länge von
konstant. Daraus folgt unter anderem, dass für alle Weltlinien
der Parameter die Eigenzeit ist.
=
In führender Ordnung ist die Beschleunigung , die ein Teilchen in einem frei fallenden, aber
ausgedehnten Testkörper erfährt, demnach proportional zum Krümmungstensor und zum Abdes Teilchens vom Schwerpunkt. Der Schwerpunkt ist dabei als derjenige Punkt
standsvektor
im Testkörper definiert, der sich auf einer zeitartigen Geodäte bewegt. Die Kraft, die auf das
Teilchen wirkt, ist dann natürlich
.
Damit haben wir eine physikalisch sehr anschauliche Bedeutung des Krümmungstensors gefunden. Er bestimmt die Druck- und Scherkräfte, die in einem ausgedehnten Körper auf Grund
der Inhomogenität des Gravitationsfeldes entstehen. Solche Kräfte treten nur dann auf, wenn die
Raumzeit tatsächlich gekrümmt ist. Wenn der Krümmungstensor verschwindet, so entspricht das
im klassischen Bild einem homogenen Gravitationsfeld. In diesem Fall treten keine Gezeitenkräfte auf, da wir das Gravitationsfeld laut Äquivalenzprinzip durch den Übergang zu einem frei
fallenden Bezugsystem wegtransformieren können.
Wie groß sind diese Kräfte? Betrachten wir dazu die folgende, spezielle Situation. Ein
Testkörper fällt aus dem unendlichen auf ein kugelsymmetrisches Gravitationszentrum zu. Er
folgt also einer radialen, zeitartigen Geodäte in der Schwarzschild-Metrik. Der Einfachheit halber wollen wir annehmen, dass der Drehimpuls Null ist, und die Energie des Körpers soll gerade
so bemessen sein, dass er im unendlichen in Ruhe ist. Für die Komponenten seines Impulses,
dargestellt in Schwarzschild-Koordinaten, gilt dann an jeder Stelle der Weltlinie
E
tungsableitungen schreiben,
!
n E
Ñ
Ñ
E
Ñ
Ñ
ç
w
w
w
ë
Õ
ê
0
g w
(18.85)
o
Ö
konstant ist, also
Î
in Richtung
W
g
&>
&>
Nun gilt laut (18.77), dass
W
©
!
.HA
A H&
>
.
>©
(18.79)
b
š
ë w ç w
&A
&>
&>
Das folgt allein aus den folgenden Tatsachen. Erstens ist
eine Erhaltungsgröße, die für
gleich der Energie des ruhenden Teilchens ist, also . Zweitens sind
und
gleich Null,
weil sich das Teilchen auf einer radialen Bahn bewegt. Und drittens ist
, wodurch
bis auf das Vorzeichen bestimmt ist, Das Vorzeichen wählen wir so, dass das Teilchen nach innen
fällt. Es ist also gar nicht nötig, die Geodätengleichung näher zu untersuchen.
teilen, können wir aus (18.85) die 4Indem wir den Index nach oben ziehen und durch
Geschwindigkeit des Teilchens als Funktion des Ortes bestimmen. In Vektorschreibweise gilt
dann
0
w
. H
©
AH
>
.
>©
(18.80)
w
€ H
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.>
A H
>©
€
A
. HD
&>
&A
©
AH
>
.
>©
(18.81)
ê
Wir vertauschen die kovarianten Ableitungen und erhalten
Der erste Term verschwindet, denn aus (18.77) folgt
Õ
ƒ ê
g W o
ƒ0
g
W
!
.H
&>
> © A
A H&
.H
&> A
A H&
>©
(18.82)
(18.86)
Ö
Also ist
und
gilt.
A
Ñ
Ñ
Diese Beziehung gilt für alle . Wenn wir sie für
auswerten, ergibt sich
. ?
Ñ
Ñ !
€
A HH D
> ©!
€
=
. >
Ñ
.
€
=
(
€
A HH
> ©!
. >
(18.84)
A
A
Ñ?
Ñ
Î
einzusetzen, und dort ist auch der Krümmungstensor
Für und sind jetzt die Werte bei
auszuwerten.
Aufgabe 18.29 Man zeige, dass
€
A HH
> ©!
=
€
. >
A©
!. 
=
A
. }>
Ñ
?.  D ?
> &
>
>©
(18.83)
Auf den Testkörper wirken jetzt zwei Arten von Gezeitenkräfte. Das vordere Ende des Körpers,
also der Teil, der näher am Gravitationszentrum ist, will schneller fallen als der hintere Teil.
Es muss also eine Kraft in vertikale Richtung wirken, die den Körper zusammen hält, damit
er nicht länger wird. Außerdem wollen alle Teile des Körpers auf das Gravitationszentrum zu
fallen, so dass der Körper in horizontale Richtung eine Gegenkraft ausüben muss, damit er nicht
zusammengedrückt wird.
235
, und insbesondere bei
Was daran zunächst auffällt, ist, dass diese Größen für alle
wohldefiniert sind. Das muss natürlich so sein, denn der Körper passiert diese Stelle in der Raumzeit, ohne dass dort etwas besonderes passiert. Nur die Herleitung mit Hilfe der SchwarzschildKoordinaten versagt an dieser Stelle.
g
W
Um diese Kräfte zu berechnen, definieren wir zwei raumartige Abstandsvektoren
in radiale,
also vertikale Richtung, und
senkrecht dazu, also in horizontale Richtung. Welche horizontale
Richtung wir wählen, ist wegen der Kugelsymmetrie egal. Wir nehmen an, dass sich der Körper
ist, und wählen die -Richtung. Die beiden Vektoren
in der Äquatorebene befindet, also
sind dann wie folgt gegeben,
Î
j
ÔÔ
Î
Õ
æ
W% )
å
Aufgabe 18.32 Man führe dieselbe Herleitung mit Hilfe der einlaufenden Eddington-Finkelsteinrichtig ist. Warum ist es
Koordinaten durch und zeige, dass das Ergebnis auch für
dazu nicht nötig, den Krümmungstensor nochmal als Funktion der Metrik und ihrer Ableitungen
auszurechnen?
g
W¤
g
W
(18.87)
g
W
ƒ ë
Î
Õ
ƒ 0
Ô
o
Ö
Õ
ƒD ê
Ô
Î
Î
Î
Õ
ÔÔ
Um die Größenordnung der Kräfte abzuschätzen, genügt es, nur die radiale Kraft
zu betrachten, die sich von der senkrecht dazu wirkenden Kraft
nur um einen Faktor unterscheimm und den Radius
km der Erde
det. Setzen wir zum Beispiel die Masse
ein, sowie
kg und
m, so ergibt sich
kg m. Das ist eine etwas
merkwürdige Einheit für eine Kraft. Wir müssen sie noch mit multiplizieren, dann ergibt sich
N. Auf einen Körper mit einer Ausdehnung von einem Meter und einer Masse von
einem Kilogramm wirkt auf der Erdoberfläche eine zwar kleine, aber nicht unvorstellbar kleine
Gezeitenkraft.
Nun betrachten wir einen Astronauten, der in ein schwarzes Loch fällt. Nehmen wir an, er ist
kg
etwa zwei Meter groß und fällt mit den Füßen voran, für die wir eine Masse von jeweils
annehmen, und die sich
m von seinem Schwerpunkt entfernt befinden. Welche Kräfte
müssen seine Beine aufbringen, um die Füße fest zu halten, während er gerade den Schwarzschildund folglich
. Wenn das schwarze
Radius passiert? Es ist dann
Loch die Masse der Sonne
m hat, ergibt sich
N. Es ist also sehr
unwahrscheinlich, dass der Astronaut es schafft, seine Füße solange bei sich zu behalten, bis er
den Schwarzschild-Radius erreicht hat. Da dasselbe für seinen Kopf gilt, wird er den Sturz bis
dahin sicher nicht überleben.
Ô
Ô
W $
Aufgabe 18.30 Man zeige, dass die Vektoren
und
zueinander und zu senkrecht sind,
und dass es sich um raumartige Einheitsvektoren handelt. Sie bilden also im lokalen Ruhesystem
des Körpers die Basis eines zweidimensionalen Unterraumes des Raumes, wobei ein Vektor “nach
oben” und des andere “zur Seite” zeigt.
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ÔÔ
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Jetzt können wir die Kraft berechnen, die auf ein Teilchen wirkt, das sich innerhalb des
befindet.
Testkörpers im Abstand oberhalb vom Schwerpunkt, also in Richtung des Vektors
Wir benötigen dazu die Formel (18.84), und natürlich die Komponenten des Krümmungstensors
in Schwarzschild-Koordinaten. Eine etwas längere Rechnung ergibt
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(18.88)
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Aufgabe 18.33 Wie groß muss ein schwarzes Loch etwa sein, damit ein Astronaut zumindest die
Passage des Schwarzschild-Radius überleben kann? Wie viele Sonnenmassen sind dafür erforderlich?
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236
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zunehmen, ist jetzt auch klar, was für
passiert, also in der
Da die Gezeitenkräfte mit
Nähe der Singularität. Im letzten Stadium des Falls eines ausgedehnten Körpers in ein schwarzes
Loch müssten die Gezeitenkräfte immer größer werden, um den Körper in Form zu halten. Da
dafür aber nur begrenzte Bindungskräfte zur Verfügung stehen, wird er irgendwann nachgeben.
.
Dann fallen seine Bestandteile, jedes für sich, auf Geodäten in Richtung
aus
Wir können zur Beschreibung dieses Vorgangs auch das Koordinatensystem
Abbildung (18.7) verwenden, das durch die formale Ersetzung
und
aus
den Schwarzschild-Koordinaten hervorgeht. Kurz vor dem Fall in die Singularität bei
muss dann auf ein Teilchen der Masse
im Abstand
vom Schwerpunkt eine Kraft
wirken, um zu verhindern, dass der Körper so wie der Zylinder in Abbildung 18.8
in die Länge gezogen wird.
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Da
und
räumliche Einheitsvektoren im Ruhesystem des Körpers sind, können wir die
Ausdrücke (18.88) und (18.89) unmittelbar als die klassischen Kräfte interpretieren, die auf die
Teilchen im Körper einwirken. Wir finden also, dass auf ein Teilchen der Masse im Abstand
oberhalb des Schwerpunktes, bzw. im Abstand
neben dem Schwerpunkt, die folgenden
klassischen Kräfte wirken,
g
Ñ
Ñ!
Î
Aufgabe 18.31 Man verifiziere die Ergebnisse (18.88) und (18.89). Welche Gezeitenkr äfte ergeben sich in der Newtonschen Theorie?
g ó
Õ
€
, das heißt der Körper wird durch sie auseinander
Diese Kraft wirkt in Richtung des Vektors
gedrückt. Ein Teilchen, dass sich seitlich im Körper befindet, erfährt eine Beschleunigung vom
Schwerpunkt weg, damit der Körper nicht kleiner wird.
W g
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> ©Õ!
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Ñ
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G
(18.89)
. Ein Teilchen der Masse
Es wirkt also, wie erwartet, für positives eine Kraft in Richtung
oberhalb des Schwerpunktes wird zusätzlich nach unten beschleunigt, damit es mit dem fallenden
Körper Schritt halten kann. Ein Teilchen unterhalb des Schwerpunktes, mit negativem , wird
entsprechend abgebremst, damit es nicht zu schnell fällt.
Die gleiche Rechnung für den Vektor
ergibt
g
S
Õ
Õ
Das linearisierte Gravitationsfeld
)
n
Gleichzeitig muss senkrecht dazu eine Kraft
wirken, die verhindert, dass
der Körper zusammengequetscht wird, weil sich der Zylinder, der den Raum repräsentiert, immer mehr verengt. Dass das nicht endlos so gehen kann, ist klar, denn irgendwann übersteigen
diese Kräfte die möglichen Bindungskräfte, und dann wird der Körper eben doch verformt. Das
passiert sogar lange bevor die kausale Struktur bewirkt, dass die einzelnen Teile gar nicht mehr
miteinender kommunizieren können.
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>l.
>U .
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Aufgabe 18.34 Ein Körper stürzt in ein schwarzes Loch, welches die Masse der Sonne hat, also
km. Bei welchem Radius werden die Atome des Körpers in Kerne und Elektronen
zerlegt? Bei welchem Radius werden die Kerne in Protonen und Neutronen zerlegt? Wieviel Zeit
vergeht von diesem Moment noch bis zur Ankunft bei
, wenn wir annehmen, dass sich die
Teilchen dann bereits auf Kurven
const in dem Diagramm in Abbildung 18.7 bewegen?
Wir nennen eine Raumzeit leicht gekrümmt, wenn ihre Metrik nur wenig von der des flachen
Minkowski-Raumes abweicht. Um das etwas genauer zu formulieren, betrachten wir zunächst
eine Raumzeit mit einer flachen Metrik
, also den Minkowski-Raum der speziellen Relativitätstheorie. Wir bezeichnen die flache Metrik
als Hintergrundmetrik. Sie hat zunächst keine
besondere physikalische Bedeutung.
soll von dieser Metrik jedoch nur wenig abweichen.
Die eigentliche, physikalische Metrik
Um die Abweichung zu messen, führen wir ein symmetrisches Tensorfeld
der Stufe
ein, sowie ein ebenfalls symmetrisches Tensorfeld
der Stufe
, welches die Abweichung
der inversen Metrik
von der inversen Hintergrundmetrik
misst,
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(19.2)
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Wir sagen, dass die Abweichung der Metrik von der Hintergrundmetrik klein und somit die Raumzeit nur leicht gekrümmt ist, wenn die Komponenten von
bzw.
in einem geeignet gewählten Koordinatensystem so klein sind, dass wir alle quadratischen Terme vernachlässigen können.
und
dann so wählen, dass
Offenbar können wir die Tensoren
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O .>
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(19.3)
O.>
O. >
O .>
Mit anderen Worten, die Abweichung der Metrik von der Hintergrundmetrik verhält sich n äherungsweise wie ein symmetrisches Tensorfeld zweiter Stufe auf dem flachen Minkowski-Raum.
Die Indizes dieses Tensors werden mit der flachen Hintergrundmetrik nach oben bzw. unten ge,
oder
darstellen. Es ist dann jedoch klar,
zogen, und wir können ihn wahlweise als
dass höchstens eine der beiden Gleichungen (19.1) exakt gelten kann. Deshalb haben wir sie als
Näherungen geschrieben.
In eine physikalische Sprache übersetzt können wir das wie folgt formulieren.
Ein schwaches Gravitationsfeld wird durch ein symmetrisches Tensorfeld im Sinne
der speziellen Relativitätstheorie beschrieben.
>U.
237
>l.
definiert,
Die Raumzeit der speziellen Relativitätstheorie wird durch die Hintergrundmetrik
und das Tensorfeld
gibt an, in welche Richtung wir diese Metrik deformieren müssen, um die
eigentliche, physikalische Metrik
der Raumzeit zu bekommen. Das ist im wesentlichen die
Idee der linearisierten Gravitationstheorie. Ein schwaches Gravitationsfeld kann als Tensorfeld
auf einer flachen Raumzeit dargestellt werden.
O .>
Bis jetzt kennen wir im wesentlichen nur eine einzige Lösung der Einstein-Gleichung, nämlich
die Schwarzschild-Metrik mitsamt ihrer Fortsetzung ins Innere eines kugelförmigen Sterns, bzw.
die Kruskal-Metrik als maximale Fortsetzung der Schwarzschild-Metrik in einem materiefreien
Raum. Das ist natürlich nicht gerade viel. Tatsächlich sind auch nur sehr wenige andere exakte
Lösungen der Einstein-Gleichung bekannt.1
Um die ganze Vielfalt der Phänomene der allgemeinen Relativitätstheorie zu beschreiben, kommen wir deshalb nicht umhin, geeignete Näherungsverfahren zu entwickeln. Es gibt im wesentlichen zwei Klassen von Näherungsverfahren. Man kann entweder die Einstein-Gleichung direkt
durch ein numerisches Verfahren lösen, also eine Simulation auf einem Rechner durchführen.
Oder man führt zunächst eine analytische Näherung durch, um auf diese Weise eine Näherung
der Einstein-Gleichung herzuleiten, die man dann exakt lösen kann.
Auf die zweite Methode wollen wir in diesem Kapitel etwas näher eingehen. Wir wollen eine
Theorie der schwachen Gravitationsfelder formulieren. Ein Gravitationsfeld schwach, wenn die
Geometrie der Raumzeit nur wenig von der des flachen Minkowski-Raumes abweicht. Was das
genau bedeutet, müssen wir natürlich noch erklären. Es zeigt sich, dass sich die allgemeinen
Relativitätstheorie in diesem Fall auch eine sehr viel einfachere, lineare Feldtheorie reduzieren
lässt, die im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie formuliert werden kann.
Mit anderen Worten, das Gravitationsfeld kann durch ein Tensorfeld auf dem Minkowski-Raum
beschrieben werden. Eine solche Theorie hatten wir in Kapitel 13 gesucht, waren aber daran
gescheitert, dass sie nicht mit gewissen Erhaltungssätzen und dem Relativitätsprinzip vereinbar
war. Die lineare Näherung der allgemeinen Relativitätstheorie, die wir im folgenden herleiten
wollen, beruht daher im wesentlichen darauf, dass wir diese Verletzungen von Erhaltungssätzen
vernachlässigen können. Was das genau heißt, werden wir im Laufe dieses Kapitels sehen.
>U .
Wir haben diese Gleichungen als Näherungen geschrieben, weil wir gleich noch Korrekturen
hinzufügen werden. Aus der Tatsache, dass
und
zueinander invers sind, ergibt sich
19 Schwache Gravitationsfelder
1 Die wichtigsten bekannten exakten Lösungen werden im Buch von S.W. Hawking und G.F.R. Ellis: The large scale
Structure of space-time, Cambridge University Press, 1973, ausführlich diskutiert.
(19.1)
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Um diese Darstellung eines schwachen Gravitationsfeldes etwas besser zu verstehen, ist es nützlich, den Begriff der Deformation einer Metrik etwas genauer zu erfassen. Eine Deformation wird
durch eine Schar von Metriken
dargestellt, die von einem Parameters
abhängen.
Der Index in Klammern steht hier also ausnahmsweise nicht für ein Koordinatensystem, sondern
für einen Deformationsparameter.
Im vorliegenden Fall wird die flache Hintergrundmetrik in eine leicht gekrümmte Metrik desoll sich die Minkowski-Metrik ergeben,
formiert. Das heißt, für
Wir können die Deformation einer Metrik so ähnlich verstehen wie den Fluss eines Vektorfeldes,
nur dass dieser Fluss nicht in der Raumzeit, sondern im Raum aller Metriken stattfindet. Das
gibt die Richtung vor, in die die Metrik
bzw. die inverse Metrik
“fließt”.
Tensorfeld
Wenn wir annehmen, dass
hinreichend klein ist, so dass wir die quadratischen und höheren
Ordnungen vernachlässigen können, ergibt sich aus (19.7) wieder die ursprüngliche Darstellung
(19.1) einer leicht gekrümmten Metrik. Die Näherung in (19.1) ist daher so zu verstehen, dass
bzw.
zwar die Richtung der Deformation vorgegeben ist, die Gleidurch das Tensorfeld
chungen aber nur bis auf Terme der Ordnung
und höher gelten.
Das ist unabhängig davon, wie genau wir die Deformation durchführen, solange die in (19.6)
definierte Ableitung
hinreichend klein ist. Es gilt nämlich stets
O. >
Aufgabe 19.1 Wir nennen ein Koordinatensystem kartesisch, wenn die Hintergrundmetrik
die übliche Diagonaldarstellung besitzt. Ein solches Koordinatensystem repr äsentiert ein Inertialsystem im Sinne der speziellen Relativitätstheorie. Angenommen, die Komponenten von
bzw.
sind in einem Inertialsystem hinreichend klein, so dass wir quadratische Terme vernachlässigen können. Sind sie dann in jedem anderen Inertialsystem auch hinreichend klein? Was
bedeutet das für das Konzept einer leicht gekrümmten Raumzeit?
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und
, durch das folgende
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(19.5)
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die deformierte Metrik
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und für
(19.4)
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wobei die Abweichungen erster Ordnung, also die Tensoren
Integral von
gegeben sind,
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Die Richtung der Deformation ist wie folgt durch die Ableitung der Metrik nach definiert,
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U >Ò Art Ñ
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O
(19.6)
(19.9)
Die Abweichung der Metrik von der Hintergrundmetrik ist in erster Ordnung stets durch die
Richtung der Deformation gegeben. Wie die Terme höherer Ordnung aussehen, hängt jedoch
davon ab, wie wir die Deformation genau durchführen. Als Beispiel haben wir schon den Fall
während der Deformation festhalten. Dies führt zu einer
diskutiert, dass wir den Tensor
symmetrischen Darstellung (19.7) der Metrik und der inversen Metrik als Exponentialreihe. Wir
können aber auch so deformieren, dass eine der beiden Gleichungen (19.1) exakt gilt.
. > Ò rt
O
Ñ
!
Dies ist ein Tensorfeld der Stufe
, welches im allgemeinen von abhängt und davon, wie
wir die Deformation im einzelnen durchführen, das heißt welchen Weg wir nehmen, um die flache
in die leicht gekrümmte Metrik
zu deformieren.
Hintergrundmetrik
Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass die Richtung der Deformation konstant ist, so
von unabhängig ist. Die deformierte Metrik
ist dann eindeutig durch die
dass
Hintergrundmetrik
und die Richtung
der Deformation bestimmt. Wir können in diesem
Fall die Gleichung (19.6) integrieren und das Ergebnis als Potenzreihe darstellen. Es handelt sich
,
im wesentlichen um eine Exponentialreihe für die Matrix
(19.8)
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>l.
Aufgabe 19.3 Man betrachte die folgenden beiden Deformationen, die jeweils eindeutig durch
Vorgabe einer Richtung festgelegt sind. Im ersten Fall führen wir die Deformation so durch, dass
konstant, also von unabhängig ist. Man zeige, dass die deformierte Metrik
dann wie folgt gegeben ist,
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wobei für
und
wieder (19.3) gilt, das heißt die Indizes werden mit der Hintergrundmetrik nach oben gezogen. Im zweiten Fall halten wir
fest und bekommen die
deformierte Metrik
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(19.11)
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Hier haben wir die Indizes wieder mit Hilfe der Hintergrundmetrik nach oben bzw. unten gezogen,
das heißt für die Tensoren
und
gilt wieder die Beziehung (19.3).
O.>
O .>
O. >
. > Ò rt
O
und der AnfangsbedinAufgabe 19.2 Man löse die Differentialgleichung (19.6) mit
gung (19.4). Man zeige, dass sich daraus die deformierte Metrik (19.7) ergibt.
wobei auch hier wieder (19.3) gilt, das heißt die Indizes wurden in diesem Fall mit der Hintergrundmetrik unten gezogen.
238
O.>
O. >
O .>
Aufgabe 19.7 Wenn wir ein schwaches Gravitationsfeld als Tensorfeld im Sinne der speziellen
Relativitätstheorie darstellen, warum ist es dann sinnvoll, von einer Gravitationskraft zu sprechen, während dieser Begriff in der allgemeinen Relativitätstheorie eigentlich keine Bedeutung
hat?
Die linearisierte Einstein-Gleichung
>U .
O .>
Wir können jetzt die Feldgleichung für das linearisierte Gravitationsfeld
herleiten. Dazu
müssen wir die Darstellung (19.8) der Metrik in die Einstein-Gleichung einsetzen,
O .>
Fassen wir das wie folgt zusammen. Eine leicht gekrümmte Raumzeit kann als Deformation einer
flachen Raumzeit dargestellt werden. Die Richtung der Deformation ist durch ein symmetrisches
,
oder
darstellen können.
Tensorfeld zweiter Stufe gegeben, das wir wahlweise als
Da es sich um ein Tensorfeld auf einer flachen Raumzeit handelt, werden die Indizes mit Hilfe
der Hintergrundmetrik nach oben bzw. unten gezogen.
Das ist, wie weiter oben schon angedeutet, die Idee der linearisierten Gravitationstheorie. Um
der Raumzeit
ein schwaches Gravitationsfeld zu beschreiben, betrachten wir nicht die Metrik
als solche, sondern wir geben ein symmetrisches Tensorfeld
auf einer flachen Raumzeit mit
der Hintergrundmetrik
an. Dieses Tensorfeld sagt uns, wie wir die flache Raumzeit deformieren müssen, um die wirkliche Raumzeit zu bekommen.
Solange wir nur hinreichend kleine Deformationen betrachten, ist die Metrik der Raumzeit
dann näherungsweise durch (19.1) gegeben ist. Erst wenn wir größere Deformationen betrachten
oder genauer rechnen wollen, müssen wir die Terme höherer Ordnung in (19.8) einbeziehen. Wie
diese aussehen, hängt davon ab, wie wir die Deformation im einzelnen durchführen. Drei spezielle
Wege haben wir in (19.7) sowie in Aufgabe 19.3 dargestellt. Da wir bis auf weiteres nur bis zur
ersten Ordnung rechnen, müssen wir uns an dieser Stelle jedoch noch nicht auf eine spezielle Art
der Deformation festlegen.
>l.
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~i
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und das Ergebnis wieder in eine Potenzreihe entwickeln. Wir begnügen uns mit der führenden
linear sind.
Ordnung, das heißt wir betrachten nur die Terme, die in
Am besten gehen wir Schritt für Schritt vor. Wir bestimmen erst das Christoffel-Symbol, dann
den Krümmungstensor, den Ricci-Tensor, und schließlich den Einstein-Tensor, jeweils in führender Ordnung in
. Das Christoffel-Symbol ist durch die bekannte Formel (10.60) gegeben,
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Aufgabe 19.4 Ein explizites Beispiel für eine gekrümmte Raumzeit, die sich als Deformation
einer flachen Raumzeit darstellen lässt, ist die Schwarzschild-Metrik mit ihrer Fortsetzung ins Innere eines kugelförmigen Sterns, wie wir sie aus Kapitel 15 kennen. Wenn wir den Radius
des
Sterns festhalten und seine Masse
durch
ersetzen, erhalten wir eine Schar von Metriken
mit den verlangten Eigenschaften. Man berechne für diese Deformation den Tensor
und zeige, dass seine Komponenten genau dann klein sind, wenn
ist.
(19.14)
(19.15)
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Setzen wir die Darstellung (19.8) der Metrik ein, so ergibt sich
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Aufgabe 19.6 Man bestimme die Bewegungsgleichungen für ein Testteilchen der Masse
einem schwachen Gravitationsfeld aus der üblichen Lagrangefunktion
Offenbar können wir auch das wieder als ein Tensorfeld auf dem Minkowski-Raum auffassen.
ein speziell-relativistischer Tensor der
In der linearen Näherung ist das Christoffel-Symbol
Stufe
, der aus den ersten Ableitungen des Gravitationsfeldes
gebildet wird.
Wenn wir von nun an die Konvention verwenden, Indizes grunds ätzlich wie in der speziellen
Relativitätstheorie mit der Hintergrundmetrik nach oben bzw. unten zu ziehen, können wir dafür
auch schreiben
(19.17)
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. > Ò rt
O
Aufgabe 19.5 Ist es möglich, die Schwarzschild-Metrik so als Deformation einer flachen Raumvon unabhängig ist? Mit anderen Worten, kann die
zeit darzustellen, dass
Schwarzschild-Metrik in der Form (19.7) dargestellt werden?
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Aufgabe 19.8 Man zeige, dass die Bewegungsgleichungen (19.13), wenn man dort den Impuls
eliminiert, die bekannte Form der Geodätengleichung annehmen,
.
. Man zeige, dass sie sich wie folgt schreiben
O
unter Vernachlässigung aller Terme der Ordnung
lassen,
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(19.18)
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w
kanonisch konjugierte Impuls ist. Wie lautet die von
w
Als nächstes berechnen wir den Krümmungstensor. Für ihn gilt die Formel (9.56),
zu erfüllende Neben-
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wobei
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(19.13)
(19.19)
ist, können wir die quadratischen Terme ver-
so eine Beziehung zwischen dem linearisierten Gravitationsfeld
Tensor
,
O .>
O .>
Da das Christoffel-Symbol bereits linear in
nachlässigen. Was bleibt, ist
und dem Energie-Impuls-
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(19.26)
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(19.20)
¼
Zwei der sechs Terme, die sich aus (19.17) ergeben, heben sich wegen der Antisymmetrie in den
Indizes und gegenseitig auf. Durch Kontraktion ergibt sich daraus der Ricci-Tensor, dessen
Symmetrie in den beiden Indizes sofort offensichtlich ist,
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ist die Spur von
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Der Skalar
. Umgekehrt gilt, wenn die Raumzeit vierdimensional ist,
Ø
Ø
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W
O .>
Die Materie, die in der linearisierten Einstein-Gleichung als Quelle auftritt, erfüllt also die Kontinuitätsgleichung in einer flachen Raumzeit. Das heißt, sie spürt das Gravitationsfeld nicht.
Das steht zunächst im Widerspruch zum Ergebnis aus Aufgabe 19.6, denn dort hatten wir gesehen, dass ein linearisiertes Gravitationsfeld sehr wohl einen Einfluss auf die Bewegung eines
Teilchens hat. Ein einzelnes Teilchen bewegt sich also nicht auf einer Geodäte bezüglich der Hintergrundmetrik, und somit erfüllt sein Energie-Impuls-Tensor nicht die Kontinuitätsgleichung in
einer flachen Raumzeit.
Der scheinbare Widerspruch löst sich jedoch auf, wenn wir die Theorie der schwachen Gravitationsfelder als eine Art Störungstheorie auffassen und die verschiedenen Ordnungen der Entwicklung beachten. Damit die linearisierte Einstein-Gleichung gilt, muss der Energie-Impuls-Tensor
von derselben Ordnung klein sein wie die Abweichung der Metrik von der Hintergrundmetrik.
ist selbst von der Ordnung
.
Mit anderen Worten,
Andererseits weichen die Bewegungsgleichungen eines Teilchens, oder irgendeiner anderen
Art von Materie, von denen in einer flachen Raumzeit erst in der Ordnung
ab. Die Kor.
rekturen, die der Energie-Impuls-Tensor dadurch erfährt, sind deshalb von der Ordnung
Sie wirken sich in der Einstein-Gleichung erst in der nächsthöheren Ordnung aus. Wenn wir die
linearisierte Einstein-Gleichung lösen, können wir daher so tun, als bewege sich die Materie in
einer flachen Raumzeit.
In eine physikalische Sprache übersetzt bedeutet das, dass die lineare Näherung der EinsteinGleichung immer dann sinnvoll ist, wenn wir die Rückwirkung des Gravitationsfeldes auf die
Materie, die es erzeugt, vernachlässigen können. Auf der gleichen Annahme, nur mit vertauschten Rollen, beruht das Konzept des Testteilchens. Ein Testteilchen ist ein Teilchen, dessen Bewegung zwar durch das Gravitationsfeld bestimmt wird, dessen Rückwirkung auf das Feld jedoch
vernachlässigt werden kann. Hier ist es genau umgekehrt. Das linearisierte Gravitationsfeld wird
durch eine Ansammlung von Materie erzeugt, aber die Rückwirkung des Feldes auf diese Materie
kann vernachlässigt werden.
~
(19.24)
folgt.
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einzuführen, der
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Um schließlich den Einstein-Tensor anzugeben, ist es nützlich, einen Tensor
mit
wie folgt zusammenhängt,
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(19.22)
Aufgabe 19.10 Man zeige, dass aus (19.26) die Kontinuitätsgleichung
~? .
Um den Krümmungsskalar zu bekommen, müssen wir den Ricci-Tensor
mit der Metrik
kontrahieren. Jedoch genügt es auch hier, die Kontraktion mit der flachen Metrik
durchlinear,
zuführen, denn der Ricci-Tensor ist bereits in
Dies ist die linearisierte Einstein-Gleichung. Wir können sie als Quellengleichung einer vereinfachten Gravitationstheorie aufassen. Sie gilt, solange das Gravitationsfeld schwach ist. Das setzt
natürlich voraus, dass auch der Energie-Impuls-Tensor hinreichend klein ist. Es darf sich also, zumindest in dem Bereich der Raumzeit, den wir beschrieben wollen, nicht zu viel Materie befinden.
Sonst wäre die Raumzeit zu stark gekrümmt und folglich die lineare Näherung nicht sinnvoll.
Um zu verstehen, in welchem Sinne die linearisierte Einstein-Gleichung eine Näherung der
vollen Einstein-Gleichung darstellt, betrachten wir die Kontinuitätsgleichung für die Materie, die
sich als Konsistenzbedingung aus der Quellengleichung ergibt.
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Aufgabe 19.9 Man zeige, dass (19.23) und (19.24) äquivalent sind, und
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Die Abbildung
ist folglich eine Involution. Wegen
wird sie manchmal
als Spurinversion bezeichnet. Es ist die gleiche Abbildung, die auch den Ricci-Tensor auf den
Einstein-Tensor abbildet.
Es folgt dann nach einer kurzen Rechnung aus (19.21) und (19.22), dass
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(19.25)
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O .>
bzw.
Der Einstein-Tensor ist in linearer Näherung durch die zweiten Ableitungen von
gegeben. Das können wir unmittelbar in die Einstein-Gleichung (19.14) einsetzen, und erhalten
240
der Metrik gegeben,
AÀ.
? ?
!
8
A .
À
!!
8
À
€A
U!
8
€ >
À!
8
A .
À
8
!
>U .
À
(19.28)
Wenn wir sämtliche physikalischen Objekte entsprechend transformieren, also alle Felder auf
durch
ersetzen und die Weltlinien von Teilchen durch
, ergibt sich eine Konfiguration, die von der ursprünglichen nicht unterscheidbar ist.
Das war im wesentlichen die Aussage des allgemeinen Relativitätsprinzips, wonach den Punkten der Raumzeit-Mannigfaltigkeit keine besondere physikalische Bedeutung zukommt. Ein Diffeomorphismus ist quasi eine Permutation dieser Punkte, und eine solche Permutation ist redundant, das heißt sie bildet zwei physikalische äquivalente Situationen aufeinander ab. Das ist
die Eigenschaft einer Eichtransformation, wie wir sie auch aus der Elektrodynamik kennen. Ein
anderes Beispiel für eine bereits bekannte Eichtransformation ist die Reparametrisierung einer
Weltlinie, die durch eine bijektive Abbildung
dargestellt wird.
Auch in der linearisierten Gravitationstheorie gibt es solche Eichtransformationen. Allerdings
können wir die Diffeomorphismen jetzt nicht mehr beliebig wählen. Sie müssen von derselben
Größenordnung klein sein wie die Abweichung der Metrik von der Hintergrundmetrik, denn sonst
können wir die transformierte Metrik nicht mehr als kleine Deformation der Hintergrundmetrik
auffassen. Es muss also gelten
=
ÙÚ
=
k
À
{
{
b
Ñ
D 8
!
8
!
!
.
.D
.À
(19.29)
.
wobei die Abweichung des Bildpunktes
von von derselben Größenordnung ist wie die
Abweichung
der Metrik von der Hintergrundmetrik. Wir können dies als den Fluss
eines Vektorfeldes schreiben, wenn wir auch hier wieder einen Parameter
einführen. Es gilt dann
8
8
!
×
z Ò rt Ö
O .>
k
Ñm
b
k
Am Beispiel eines kugelförmigen Sterns ist leicht zu erkennen, wann das der Fall ist. Die
Rückwirkung des Gravitationsfeldes auf den Stern bewirkt, dass sich in seinem Innern ein Druck
aufbaut, der ohne das Gravitationsfeld nicht vorhanden wäre. Die linearisierte Theorie ist also so
lange sinnvoll, wie der Druck im Vergleich zur Dichte vernachlässigbar ist, und das ist wiederum genau dann der Fall, wenn der tatsächliche Radius des Sterns groß im Vergleich zu seinem
Schwarzschild-Radius ist. Genau dann ist die Raumzeit in der Umgebung des Sterns nur leicht
gekrümmt.
Die linearisierte Gravitationtheorie können wir immer dann verwenden, wenn eine klare Hierarchie der folgenden Art vorliegt. Es gibt eine Materieansammlung, die ein Gravitationsfeld erzeugt, jedoch ist dieses Gravitationsfeld hinreichend klein, so dass die Rückwirkung auf die erzeugende Materie zunächst vernachlässigt werden kann. Anschließend wirkt das Gravitationsfeld
auf andere Testteilchen, die wiederum so klein sind, dass deren Rückwirkung auf das Gravitationsfeld vernachlässigt werden kann.
Ein typisches Beispiel für ein Anwendungsgebiet der linearisierten Theorie ist die Raumfahrt
in der Nähe der Erde, oder natürlich die Gravitationsphysik in einem irdischen Labor. Die Erde
erzeugt ein schwaches Gravitationsfeld, das heißt die Raumzeit in ihrer Umgebung ist nur leicht
gekrümmt, und die Raumfahrzeuge können als Testteilchen beschrieben werden, da deren Rückwirkung auf das Gravitationsfeld wiederum so klein ist, dass praktische keine Wechselwirkung
mit anderen Raumfahrzeugen stattfindet.
Insbesondere können alle Messungen, die einer Umlaufbahn oder in einem irdischen Labor am
Gravitationsfeld der Erde vorgenommen werden, im Rahmen der linearisierten Theorie beschreiben werden. Das Verständnis der linearisierten Einstein-Gleichung ist daher ein wesentlicher Baustein für das Verständnis derjenigen Phänomene, die sich unmittelbar in unserer Umgebung beobachten lassen. Die wichtigsten dieser Phänomene wollen wir im folgenden beschreiben.
(19.30)
Eichtransformationen
!!
Ò rt
Ò rt
8 !
8
8
Ñ
k
Eine Eichtransformation wird also durch ein Vektorfeld auf der Raumzeit-Mannigfaltigkeit
erzeugt, und wenn es hinreichend klein ist, können wir den Fluss
dieses Vektorfeldes näherungsweise in der Form (19.29) darstellen.
Um heraus zu finden, wie sich eine solche Eichtransformation auf ein schwaches Gravitationauswirkt, betrachten wir zwei physikalische äquivalente Metriken
und
. Die
feld
eine soll sich durch eine Deformation der Hintergrundmetrik
in Richtung
ergeben, die
andere durch eine zusätzliche Eichtransformation, erzeugt durch ein Vektorfeld . Wenn wir
Terme der Ordnung vernachlässigen, folgt aus (19.28) und (19.29)
k
b
k
z
>U.
À
>U.
O .>
O .>
>l.
.
D>U .
!
Ñ
D>U .
!
Ñ
D €U
€ .
?A
DA
A > U
?.
D>U .
D>U .
A
A ?
>U.
À
(19.31)
k
Der Unterschied besteht offenbar darin, dass hier das Feld und die Quelle Vektoren sind, während
es in Falle der Gravitation symmetrische Tensoren sind. Daraus ergibt sich eine etwas andere
Indexstruktur der linken Seite. Ansonsten sind die beiden Feldgleichungen aber sehr ähnlich.
Insbesondere sind beides Differentialgleichungen zweiter Ordnung.
Es gibt sogar noch eine weitere Analogie zur Elektrodynamik. Auch in der Gravitationstheorie
gibt es Eichtransformation. Die Eichtransformationen der allgemeinen Relativitätstheorie sind die
Diffeomorphismen der Raumzeit-Mannigfaltigkeit . Wir erinnern uns, dass ein Diffeomorphismus von
eine bijektive, beidseitig differenzierbare Abbildung
ist. Wenn wir eine
Metrik
auf
gegeben haben, und ersetzen diese durch
, so beschreibt die transformierte Metrik dieselbe Geometrie der Raumzeit. Die Transformation war durch das Zur ückziehen
?í
?.
-.
$%
C.
í?
?í
íC
í .
?
í
(19.27)
!
!
8
rt
8
!
8
+ rt
C.
Die linearisierte Einstein-Gleichung hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der inhomogenen Maxwellschreiben,
Gleichung, wenn wir diese als Quellengleichung für des Vektorpotential
241
k
b
k
z >U .
À
k
k >U .
wobei
die Lie-Ableitung in Richtung des Vektorfeldes ist. Das kennen wir natürlich schon.
Die Lie-Ableitung erzeugt den Fluss eines Vektorfeldes, wenn dieser auf ein beliebiges anderes
Tensorfeld wirkt, und deshalb tritt sie hier als Erzeuger einer Eichtransformation auf.
Milchstraße
andere Galaxie
Û
Þ
ÛÝ
Ü
(
O!
(19.32)
Û
aus einer Deformation der Hintergrundmetrik her-
>U.
Nun wissen wir aber andererseits, dass
vorgeht, das heißt es gilt
{
{
Ñ
.D
U
> .
?>
D
?>.
Ñ
O D .>
D>l.
O !
O
>U .
(b)
Û
Û
(a)
O
Hier haben wir sämtliche Terme vernachlässigt, die in oder quadratisch sind, denn gemäß
unserer Annahme sind beide von der gleichen Größenordnung. Wenn wir Terme der Ordnung
vernachlässigen, müssen wir konsequenterweise auch Terme der Ordnung
und
vernachlässigen. Es gilt also
O
O
Abbildung 19.1: Zwei verschiedene Deformationen sind äquivalent, wenn sie sich nur um den
Fluss eines Vektorfeldes unterscheiden. Die Pfeile deuten jeweils an, in welche Richtung im Einbettungsraum sich ein Punkt während der Deformation bewegt. Die beiden deformierten Räume
haben die gleiche Geometrie. Sie werden durch einen Diffeomorphismus aufeinander abgebildet.
ß
O
O Ñ
D .
?>
D
?> .
O D .>
D> l.
!
>U.
À
(19.33)
O. >
> . Ò rt
O
Aufgabe 19.11 Eine andere Möglichkeit, zum selben Ergebnis zu kommen und dabei gleichzeitig
die Terme höherer Ordnung zu berechnen, besteht darin, eine Deformation (19.6) zu betrachten,
bei festem
, aber zusätzlich, also während der Deformation, noch den Erzeuger eines
Flusses auf die Metrik anzuwenden. Es gilt dann
k
b
k
z
>Ò .rt
U
A OD
>A
Ò . rt
U
>Ò .rt Ñ
U (19.34)
andere Richtung verschieben, ist das Ergebnis, also die deformierte Geometrie in beiden Fällen
dieselbe. Wie man in der Abbildung leicht sieht, werden die beiden deformierten Räume durch
einen Diffeomorphismus
aufeinander abgebildet.
Die beiden durch die Einbettung induzierten Metriken unterscheiden sich also um eine
gegeben ist, ist
Eichtransformation. Während die deformierte Metrik im einen Fall durch
sie im anderen Fall durch
gegeben. Was wir in der Abbildung auch sehr deutlich sehen, ist,
dass die Größenordnung der Eichtransformation, also der Abstand zwischen den jeweils einander
zugeordneten Punkten und
, von der gleichen Größenordnung ist wie die Deformation
selbst. Solange wir nur kleine Deformation betrachten, treten auch kleine Eichtransformation auf.
Jetzt müssen wir nur noch von der Einbettung abstrahieren, um wieder auf das ursprüngliche
Bild einer Deformation der Metrik zurück zu kommen. Durch die Verformung im Einbettungsraum wird die Metrik auf dem eingebetteten Raum verändert. Das heißt, jeder Verformung im
Einbettungsraum entspricht eine Deformation der Metrik. Statt die Richtung der Deformation im
Einbettungsraum anzugeben, können wir daher auch direkt die Deformation der Metrik angeben.
Das ändert aber nichts daran, dass gewisse Deformation physikalisch äquivalent sein können.
Wir können jetzt sogar leicht einsehen, warum zwei Deformation genau dann äquivalent sind,
wenn sie sich durch den Fluss eines Vektorfeldes auf der Raumzeit unterscheiden. Betrachten wir
die beiden in Abbildung 19.1 gezeigten Vektorfelder im Einbettungsraum, so unterschieden sich
diese genau um ein Vektorfeld, welches, zumindest in der linearen Näherung, zu der eingebetteten
Fläche tangential ist. Das heißt, die Richtungen der beiden Deformationen unterscheiden sich um
eine Deformation tangential zur eingebetteten Raumzeit. Eine solche Deformation ändert aber
nicht die Geometrie der Raumzeit, sondern erzeugt nur eine Abbildung der Raumzeit auf sich
selbst.
Wir können also anschaulich verstehen, warum der Parameter der Eichtransformation ein Vekauf der Raumzeit ist. Die Art und Weise, wie ein schwaches Gravitationsfeld transfortorfeld
miert, ergibt sich dann aus dem allgemeinen Transformationsverhalten der Metrik unter Diffeo-
>U.
Man löse diese Differentialgleichung und zeige, dass sich die resultierende Metrik wie (19.33)
schreiben lässt. Man bestimme die Term der nächsthöheren Ordnung.
>U.
À
.
242
!
k
8m
Um uns das anschaulich klar zu machen, betrachten wir die etwas schematische Darstellung einer
Deformation einer flachen Raumzeit in Abbildung 19.1. Die gerade Linie unten soll jeweils den
flachen Minkowski-Raum symbolisieren, den wir uns zu diesem Zweck in einen höherdimenin eine
sionalen Raum eingebettet vorstellen. Durch die Deformation wird jeder Punkt
vorgegebene Richtung im Einbettungsraum verschoben. Die Richtung der Deformation wird also
in diesem Fall durch ein Vektorfeld im Einbettungsraum vorgegeben. Dadurch wird der eingebettete Raum verformt, und somit ändert sich auch seine Geometrie.
Nun kann es sein, dass zwei verschiedene Deformationen zu derselben deformierten Geometrie
führen. Obwohl wir die einzelnen Punkte des Raumes in Abbildung 19.1(a) und (b) jeweils in eine
8
Zwei schwache Gravitationsfelder, die sich nur durch eine Eichtransformation (19.35)
unterscheiden, sind physikalisch äquivalent.
.
?>
D
?>.
O D .>
b
O .>
.
durchführen, wobei irgendein Vektorfeld ist, dessen Index wir mit der Hintergrundmetrik nach
unten ziehen können, so beschreibt dieses Feld, zumindest in der führenden Ordnung der linearen Näherung, eine physikalisch äquivalente Deformation der Hintergrundmetrik. Mit anderen
Worten, die Abbildung (19.35) ist eine Eichtransformation.
8
a
Aus (19.33) ergibt sich nun folgende Aussage über das linearisierte Gravitationsfeld. Wenn wir
eine Transformation
(19.35)
lösen. Es handelt sich um eine Wellengleichung für ein skalares Feld, dessen “Quelle” durch
gegeben ist. Die Lösung ist eindeutig bis auf eine Funktion mit
E
íC
E ?í
für
E
morphismen. Bemerkenswert an diesem Transformationverhalten ist, dass es einer Eichtransformation in der Elektrodynamik sehr ähnlich ist. Der einzige Unterschied ist, dass der Parameter
dort ein skalares Feld ist,
(19.36)
?í
í E?
EF? .
C .D
b
a.
C
(19.41)
Aufgabe 19.12 Wenn eine Eichtransformation physikalisch redundant ist, also eine gegebene Situation auf eine physikalische äquivalente Situation abbildet, dann muss das auch für die Bewegung eines Testteilchens in der Raumzeit gelten. Man zeige, dass die Lagrange-Funktion (19.12)
jedoch nur dann unter der Eichtransformation (19.35) invariant ist, wenn auch die Weltlinie
des Teilchens transformiert wird, und zwar so, dass
(19.42)
C.
-.
D 8
-! .
à!
Á !
0 Á
Á
Á'
9
(19.43)
Ø
Ø
A
a
?A
.
>l.
O D .>
b
O .>
In Abbildung 6.1 ist dieses Integral graphisch dargestellt. Es handelt sich um eine koordinatenunabhängige Formulierung, da sowohl der Lichtkegel, als auch das verwendete Integrationsmaß
und die Deltafunktion invariant unter Poincaré-Transformationen sind. Wir konnten dasselbe aber
auch als räumliches Integral in einem ausgewählten Inertialsystem schreiben. Dann lautet die
Lösung
c! c c
-.
c
9
!
C.
~
Aufgabe 19.14 Wie transformieren sich das Christoffel-Symbol (19.17), der Kr ümmungstensor
(19.20), sowie der Einstein-Tensor (19.25) unter eine Eichtransformation? Wie muss sich folglich
der Energie-Impuls-Tensor
transformieren, und wie passt das mit der Aussage in Aufgabe 19.12 zusammen?
W
O .>
?>
D
?>.
(19.38)
!
8
C.
Ø
unter einer Eichtransformation wie folgt
õ
Wie ist das zu verstehen? Warum erfährt, im Gegensatz zu einer Eichtransformation in der Elektrodynamik, auch die Weltlinie selbst eine Transformation?
Aufgabe 19.13 Man zeige, dass sich der Tensor
verhält,
-.
C.
!
Die Komponente
des Feldes hängt also nur noch von der entsprechenden Komponente
der Quelle ab. Bei vorgegebener Quelle können wir diese Gleichung mit Hilfe einer retardieran
ten Greens-Funktion lösen. Das hatten wir in Kapitel 6 bereits getan. Das Vektorpotential
einem Ereignis ist durch ein Integral (6.62) des elektrischen Flusses
über den Rückwärtslichtkegel von gegeben
8 8
Ñ
=D !
.
.6
b
. a6
(19.37)
-.
$%
C.
í?
?í
Das heißt, es bleibt noch eine eingeschränkte Eichfreiheit übrig, nachdem wir die LorentzEichbedingung gestellt haben.
Entscheidend ist jedoch, dass die inhomogene Maxwell-Gleichung (19.27) nun eine besonders
einfache Form annimmt, nämlich
=
Wie wir gleich sehen werden, können wir auch hier die Eichfreiheit benutzen, um die Feldgleichungen erheblich zu vereinfachen und um sie schließlich ganz allgemein zu lösen. Ein schwaches Gravitationsfeld verhält sich also analog zu einem elektromagnetischen Feld in einer flachen
Raumzeit, nur dass es kein Vektorfeld sondern ein symmetrisches Tensorfeld ist.
(19.44)
.>
)
Hier sehen wir das typische “ ” Verhalten des elektrischen Vektorpotentials, das heißt es fällt
umgekehrt proportional zum Abstand von der Quelle ab. Auf die gleiche Weise können wir übrigens auch die Gleichung für den Eichparameter in Abbildung 19.40 lösen. Das heißt, wir haben
damit auch gezeigt, dass die Lorentz-Eichung stets möglich ist.
Um die vollständige Lösung der Maxwell-Gleichungen bei vorgegebener Quelle zu bekommen, müssen wir zu dieser speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung noch eine allgemeine
Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung addieren, also eine beliebige Überlagerung von elektromagnetischen Wellen.
Genau dieses Verfahren werden wir nun auf die linearisierte Gravitationstheorie anwenden.
Wie wir bereits wissen, ist diese Theorie nur dann anwendbar, wenn die Quelle vorgegeben ist, da
wir die Rückwirkung des Gravitationsfeldes auf die Quelle vernachlässigen. Es ist also sinnvoll,
die Quelle als gegeben zu betrachten.
Der erste Schritt ist, die Einstein-Gleichung durch eine geeignete Eichfixierung zu vereinfachen. Wie man leicht sieht, fallen die ersten drei Terme in (19.26) weg, wenn die folgende, zur
E
Eichfixierung und Greens-Funktion
-.
Nun wollen wir versuchen, die linearisierte Einstein-Gleichung zu lösen. Erinnern wir uns kurz,
wie wir in Kapitel 6 die Maxwell-Gleichung (19.27) bei vorgegebener Quelle
gelöst haben.
Zuerst haben wir die Eichfreiheit verwendet, um die Gleichung zu vereinfachen. Wir haben die
Lorentz-Eichbedingung (6.51) gestellt,
?í
íC
(19.39)
C.
Wenn
genügend glatt ist, ist es stets möglich, eine Eichtransformation zu finden, so dass das
transformierte Feld diese Bedingung erfüllt. Wir müssen dazu nur die Differentialgleichung
?í
?í
í E?
b
í CD
?í
a
íC
(19.40)
243
Lorentz-Eichung analoge Bedingung erfüllt ist,
Ø
?í
í O.
(19.45)
Ø
Wenn es möglich ist, diese Eichbedingung zu stellen, vereinfacht sich die linearisierte EinsteinGleichung zu
(19.46)
.>
%
~
O .>
í?
?í
Ø
Sie nimmt also die gleiche Form an wie die entsprechende Gleichung (19.42) aus der Elektrodynamik, und folglich können wir sie mit der gleichen Methode lösen.
Jetzt müssen wir nur noch zeigen, dass wir die Eichbedingung (19.45) stets erfüllen können.
Nehmen wir an, wir hätten ein Gravitationsfeld
gegeben, welches diese Bedingung nicht
erfüllt. Unter einer Eichtransformation verhält sich
wie (19.38). Daraus folgt
O .> Ø O .>
Ø
Ø
.
í?
?í
í OD .
?í
b
a
í O.
?í
.
Wir müssen also ein Vektorfeld
(19.47)
finden mit
Ø
í?
?í
.
Oí D .
?í
(19.48)
.
Für jede einzelne Komponente von
ist dies eine lineare Differentialgleichung des gleichen
Typs wie (19.40). Es existiert also eine Lösung, und diese ist eindeutig bis auf ein Vektorfeld
mit
(19.49)
Wenn Materie irgendwo im Raum bewegt wird, so erfährt das Gravitationsfeld an einem anderen Ort erst später davon. Im Gegensatz zur Newtonschen Theorie steht die linearisierte Gravitationstheorie daher nicht im Widerspruch zur speziellen Relativitätstheorie und ihrem Kausalitätsprinzip. Die Materieverteilung bestimmt das Gravitationsfeld, aber die Information darüber
breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus, nicht instantan.
Allerdings sehen wir an dieser Stelle recht deutlich, dass es sich bei der linearisierten Theorie
nur um eine Näherung handeln kann. Die Lichtgeschwindigkeit, von der hier die Rede ist, ist
die Lichtgeschwindigkeit im Minkowski-Raum, in dem wir das Integral (19.50) ausführen, also
diejenige Lichtgeschwindigkeit, die durch die Hintergrundmetrik definiert wird. Eigentlich ist es
aber das Gravitationsfeld selbst, welches bestimmt, welche Richtungen in der Raumzeit lichtartig
sind. Das Gravitationsfeld bestimmt quasi selbst, wie schnell es sich in der Raumzeit ausbreitet.
Diesen Aspekt der allgemeinen Relativitätstheorie haben wir in der linearen Näherung ausgeblendet. Wir haben also nicht nur die Rückwirkung des Gravitationsfeldes auf die erzeugende Materie, sondern auch die Rückwirkung des Feldes auf sich selbst vernachlässigt. Anschaulich formuliert besteht diese Rückwirkung darin, dass sich das Gravitationsfeld gewissermaßen selbst die
Wege schafft, auf denen es sich ausbreitet. Wegen dieser Selbstwechselwirkung ist es so schwierig, die Einstein-Gleichung exakt zu lösen. In der linearisierten Theorie sind jedoch die Wege
fest vorgegeben, auf denen sich das Feld ausbreitet. Es sind die Lichtkegel im Minkowski-Raum,
definiert durch die Hintergrundmetrik.
.
?í
í?
Aufgabe 19.15 Man beweise, dass der Tensor (19.50) sowohl die linearisierte EinsteinGleichung (19.46), als auch die Lorentz-Eichbedingung (19.45) erf üllt.
.
~
Auch hier bleibt also noch eine gewisse Eichfreiheit bestehen. Wir werden sie später noch weiter
einschränken, aber an dieser Stelle genügt die Lorentz-Eichung, um die linearisierte EinsteinGleichung ganz allgemein zu lösen.
Wir können dazu einfach die entsprechende Lösung aus der Elektrodynamik übernehmen. Der
an einem Ereignis ist durch ein Integral des Energie-Impuls-Tensors
über den
Tensor
Rückwärtslichtkegel von gegeben,
Der klassische Grenzfall
8
O .>
.>
8
%i
Wir können nun eine seit einiger Zeit aufgeschobene Frage beantworten, nämlich die nach einer systematischen Beschreibung des Newtonschen oder klassischen Grenzfalls der allgemeinen
Relativitätstheorie. Wir hatten diesen schon mehrmals kurz diskutiert, zum Beispiel um die Bewegungsgleichungen eines Teilchens in einer leicht gekrümmten Raumzeit mit denen in einem
in der Einsteinklassischen Gravitationsfeld zu vergleichen, oder um den richtigen Faktor
Gleichung zu finden.
Um den klassischen Grenzfall zu bekommen, müssen wir neben der Annahme, dass das Gravitationsfeld schwach ist, noch eine zusätzliche Annahme machen. Die Materie muss im Sinne der
Aufgabe 14.6 nichtrelativistsich sein. Sie darf sich nur langsam relativ zu einem ausgezeichneten
bewegen. Für die Komponenten des Energie-Impuls-Tensors gilt dann
Inertialsystem
Ø
õ
Á !
D 8
! .>
!
0 ~
8
à!
Á
Á'
i
9
Á
O .>
(19.50)
!
Alternativ können wir uns auch hier in ein bestimmtes Bezugsystem, also ein Inertialsystem im
Minkowski-Raum begeben, und das Ergebnis als dreidimensionales, räumliches Integral schreiben,
$
J
2
02
00
8
Wir schließen daraus, dass sich ein schwaches Gravitationsfeld in der Raumzeit genauso ausbreitet wie ein elektromagnetisches Feld. An einem Ereignis im Minkowski-Raum sieht das Feld
quasi die Materie, die sich auf dem Rückwärtslichtkegel von befindet. Das Gravitationsfeld
breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit von der Quelle aus.
~×
~×
!
O .>
~
c! c c
.>
c
~
9
Ø
(19.51)
(19.52)
8
Die Energiedichte ist groß im Vergleich zur Impulsdichte bzw. zum Energiestrom, und dieser
ist wiederum groß im Vergleich zum Spannungstensor. Das ist genau dann der Fall, wenn die
Geschwindigkeiten aller beteiligten Materieteilchen klein sind im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit.
244
~
Aufgabe 19.16 Man setze diese spezielle Metrik in (19.12) ein und zeige, dass sich f ür langsam
in einem
bewegte Testteilchen die klassische Wirkungsfunktion für ein Teilchen der Masse
Gravitationspotential ergibt.
00
00
~ Aufgabe 19.17 Welche Eichtransformationen sind mit der Darstellung (19.56) vertr äglich, und
wie wirken diese Eichtransformationen auf das Gravitationspotential ?
Zusätzlich müssen natürlich alle Komponenten des Energie-Impuls-Tensors, also insbesondere
hinreichend klein sein, damit die lineare Näherung der Einstein-Gleichung gilt. Es handelt
sich also um zwei unabhängig voneinder zu stellende Bedingungen an die Materie. Es darf nicht
zu viel Materie vorhanden sein, und sie darf sich nicht zu schnell bewegen.
als von Null verschieden zu betrachten. Die
Es genügt folglich, allein die Komponente
, das heißt die Materieverteilung kann außerdem als
Kontinuitätsgleichung lautet dann
statisch angenommen werden. Das ist klar, denn wenn sich die Materie nur sehr langsam bewegt,
dann verändert sich auch ihre Verteilung im Raum nur sehr langsam. Es gilt also
00
~? 0
~
~
~
2
"
!
02
00
(19.53)
J
!
"
die räumliche Energiedichte ist, die in diesem Fall der klassischen Massendichte
wobei
entspricht. Setzen wir das in die linearisierte Einstein-Gleichung ein und schreiben sie komponentenweise auf, so ergibt sich
Masse und Drehimpuls
Um zu zeigen, dass die lineare Näherung der allgemeinen Relativitätstheorie über die klassische
Näherung, also die Newtonsche Theorie hinaus geht, wollen wir das Gravitationsfeld eines rotierenden Himmelskörpers berechnen. In der linearen Näherung müssen wir diesen Körper zunächst
durch einen geeignet gewählten Energie-Impuls-Tensor im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie beschreiben. Wir setzen
2
~
~
!
!
!
"
!
"
!
J ¢
2*
02
00
!
"
wobei die Energiedichte nur vom Abstand
vom Zentrum des Himmelskörpers abhängen
soll. Der Himmelskörper soll also kugelförmig sind, kann aber rotieren. Der Vektor ist offenbar
seine Winkelgeschwindigkeit, denn
ist das Verhältnis aus Impulsdichte und Energiedichte am Ort , und wie wir wissen ist dieses Verhältnis gerade die Strömungsgeschwindigkeit
der Materie.
"
¢
Zusätzlich müssen wir noch die Lorentz-Eichbedingung erfüllen. Auch diese können wir komponentenweise aufschreiben,
~
J
O2
í?
?í
O 02
í?
?í
%
O 00
í?
(19.61)
Ø
Ø
Ø
?í
(19.54)
¢
2*
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
O 20
0?
J O? D 2
O 2í
í?
O 00
0?
J O? D 0
O 0í
í?
(19.55)
J
J
Eine Lösung dieser Gleichungen ist offenbar wie folgt gegeben,
.>
ist, das heißt der so gegeben Energie-Impuls-Tensor
Aufgabe 19.18 Man zeige, dass
erfüllt die Kontinuitätsgleichung im Minkowski-Raum.
~? .
Ø
Ø
Ø
$
O2
!
O 02
O 00
(19.56)
J
nicht von der Zeit abhängt und die Newtonsche Quellenglei-
Aufgabe 19.19 Warum erfüllt der Energie-Impuls-Tensor für eine rotierende Staubwolke,
wobei das Gravitationspotential
chung erfüllt,
.H
!
!
"
(19.62)
!
> H!
.>
~
(19.57)
!
"
!
$%
#
N
?2
wenn wir für die Strömungsgeschwindigkeit
und
setzen, wobei
der relativistische Gammafaktor ist, für den
wird, nicht die Kontinuitätsgleichung?
Warum weicht (19.61) davon ab, und welche physikalische Erkl ärung gibt es dafür?
¢
2*
N
!
2H
N !
H.
0 H H.
#
2?
wieder der räumliche Laplace-Operator.
Hier ist
Jetzt müssen wie nur noch die deformierte Metrik ausrechnen. Dazu verwenden wir zunächst
die Formel (19.24). Es ist
(19.58)
Ø
Ø
A
$
!
OA
O
und daraus folgt
Um die linearisierte Einstein-Gleichung für den Energie-Impuls-Tensor (19.61) zu lösen, machen
wir den Ansatz
J
á
(19.63)
!
!
!
!
!
J 2O
$
¢
2 $*
02 O
00 O
Ø
?.
J
Wie man leicht sieht, erfüllt dieser Ansatz die Lorentz-Eichbedingung
, denn die
Struktur des Tensors ist fast dieselbe wie die des Energie-Impuls-Tensors, der die Kontinuitätserfüllt. Wir müssen also die linearisierte Einstein-Gleichung
gleichung
O.>
J
2
2
' !
W
Ÿ
D
!
W
D
Da dies die Abweichung der Metrik von der Minkowski-Metrik ist, ergibt sich das folgende Linienelement,
(19.60)
Ø
Ø
Ø
!
J
2
O2
!
O 02
W'
W
O 00
(19.59)
.>
~? .
Ø
.>
%
~
.> O
í?
?í
Das ist genau der bekannte Ausdruck (13.52), den wir bereits früher als Beschreibung eines klassischen Gravitationsfeldes im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie gefunden hatten.
245
(19.64)
lösen. Einsetzen des Ansatzes und der Darstellung des Energie-Impuls-Tensors von oben ergibt
die Differentialgleichungen
Offenbar bewirkt die Rotation des Himmelskörpers einen Term in der Metrik, der die Ortskoordinaten mir der Zeitkoordinaten mischt. Dieser Term ist proportional zum Drehimpuls
des Körpers und fällt mit
ab. Besonders deutlich wird die Auswirkung diese Terms auf die
Metrik, wenn wie sie als Linienelement in Kugelkoordinaten aufschreiben.
â¢
)
$
W
L
L
!
"
$%
!
L !
"
$%
á
!
D !
á
D !
L (19.65)
Aufgabe 19.21 Wir wählen das Koordinatensystem so, dass
ist. Man zeige, dass die deformierte Metrik
dann wie folgt geschrieben werden kann,
â¢
–
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D
å
D
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(19.71)
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L
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L D Õ
D
Ö
•” $
æ
g
W
g
W
Ÿ
(19.66)
æ
–å Wir können die Gleichung ein wenig umschreiben, und bekommen dann
ef
ef
D> l.
und
mit
außerhalb des Himmelskörpers
¢
>U.
¢ O .>
aus der linearisierten
á
und
Aufgabe 19.20 Man leite diese Differentialgleichungen für
Einstein-Gleichung her.
L
æ
!
á
â
g
!
á
! õ W
L
! !
L (19.67)
Für
ist das natürlich die linearisierte Form der Schwarzschild-Metrik. Der zusätzliche Term
proportional zu
bewirkt, dass der “Raum”, also die Koordinatenflächen
const, nicht
mehr zur “Zeit”, also zu den Koordinatenlinien von orthogonal ist. Die Raumzeit bekommt
gewissermaßen einen Drall. Sie rotiert mit dem Himmelskörper mit, wobei die Rotation umso
größer ist, je näher wir uns am Himmelskörper befinden.
!
L Diese Gleichungen können wir integrieren, wobei wir als Randbedingung verwenden, dass
und
bei
endlich bleiben. Das muss natürlich der Fall sein, damit das Gravitationsfeld
(19.63) wohldefiniert ist. Wir finden dann
Der Mitführungseffekt
mit
ê
ê
%i
(19.68)
!
"
õ:
!
:: 9 +
â
:: 9 +
$%
!
!
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g
g
!
â
g
! g
!
â
!
w
.
g
š
b
«
w
ë
â
â
g
g
!
!
š
ë Dæ b
w aæ ë
Diese Ausdrücke sind aus der klassischen Mechanik bekannt. Die Funktion
definiert die in
einer Kugel vom Radius enthaltene Masse, und
ist das Trägheitsmoment dieser Kugel. Wir
übernehmen diese Definitionen einfach und nennen
die “Masse” einer Kugel vom Radius
und
das “Trägheitsmoment” dieser Kugel. Wie wir gleich sehen werden, stimmt die erste
aus Kapitel 15 überein.
Definition mit der Schwarzschild-Masse
Wir können jetzt das Gravitationsfeld außerhalb des Himmelskörpers sehr leicht berechnen.
Wir integrieren dazu einfach die Differentialgleichungen (19.67) nochmals, diesmal jedoch von
bis . Da wir uns außerhalb der Materie befinden, ist
und
konstant, also
Dieser Effekt ist natürlich in der Newtonschen Gravitationstheorie unbekannt. Er bewirkt, dass
ein Testkörper quasi zum Mitrotieren gezwungen wird, wenn er sich in der Nähe eines schnell
rotierenden Himmelskörpers befinden.
Um das anschaulich zu beschreiben, betrachten wir den freien Fall eines Testteilchens aus dem
Unendlichen aus einen Himmelskörper mit Masse
und Drehimpuls . Der Einfachheit halber
soll sich das Teilchen in der Äquatorebene befinden und im Unendlichen einfach fallen gelassen
werden. Der Impuls des Teilchens sei . Da wir uns im Unendlichen in einer flachen Raumzeit
zur Ruhe kommt, alle räumlichen
befinden, verschwinden dort für ein Teilchen, dass für
Komponenten des Impulses, insbesondere die Komponente .
Wegen der Symmetrie der Raumzeit unter Drehungen
ist
aber eine Erhaltungsgröße. Also gilt auf der gesamten Bahn des Teilchens
. Interessanterweise folgt daraus
aber nicht, dass sich das Teilchen auf einer radialen Bahn nach innen bewegt. Seine Winkelgeschwindigkeit , gemessen im Koordinatensystem
, ist nämlich
w
â
!
æ
å
á
!
[ ¢
W
g !
(19.69)
ë 0
w w
Hë 0 H
æ [ ¢
(19.72)
g
Der erste Ausdruck ist natürlich nichts anderes als das Newtonsche Potential eines Himmelskörpers mit der Masse . Das entspricht ja auch des Definition von in (19.63), die mit
(19.57) übereinstimmt.
? Wenn wir die Lösung in (19.63) einsetzen, und
Aber welche Bedeutung hat die Funktion
wieder von
zu
übergehen, bekommen wir
H.
á
!
Ø
w
ë
O .>
O .>
wobei
die 4-Geschwindigkeit des Teilchens ist. Wichtig ist hier, dass die Indizes alle oben
stehen. Die Erhaltungsgröße trägt ihren Index jedoch unten. Es ist eine Komponente des dualen
Vektors . Daraus folgt
w
.
(
w
0 wU
ë
ë
ë ë
0U U ë
[ ¢
0
ëD
J
246
wU ëë
O2
*2
g '
W J
2
â¢
W
O 02
g W O 00
(19.70)
(19.73)
g
Aus (19.71) lesen wir ab, dass
haben. Es ist dann
g
(19.76)

+!
$%

(
0U ë
Õ
D
ë
'+
!
"
W [ ¢
W
g
W
Uë
(19.74)
g
â
W
und das Trägheitsmoment einer solchen Kugelschale ist
.
Außerhalb der Kugelschale ergibt sich natürlich wieder dieselbe Darstellung der Funktionen
(19.69) und der Metrik (19.71) in Kugelkoordinaten. Interessant ist jetzt aber die Metrik in Innern
und
konstant sind, und
der Kugelschale. Dort folgt aus (19.67), dass die Funktionen
aus der Stetigkeit an der Stelle
folgt dann, dass innerhalb der Kugelschale
Ö
+)

O !
Ñ
O0
0U
ë
ë
D
g
W
)
!
Uë
Oë
O
Ñ
ë
ë
á
!
!

+

+
)
W
[ ¢
+
Da
bereits von der Ordnung
im Sinne der linearen Näherung ist, können wir die
Korrektur der Ordnung
in
, also den Terme
vernachlässigen.
hat, trifft der fallende Körper also nicht
Wenn der rotierende Himmelskörper einen Radius
senkrecht auf seine Oberfläche, sondern mit einer Winkelgeschwindigkeit
. Um eine
Vorstellung von der Größenordnung zu bekommen, setzen wir die Werte für die Erde ein. Ganz
, also
allgemein gilt für das Trägheitsmoment einer Kugel konstanter Dichte
+
g 
+
â
W
á
!
!

3

(
¢ +

ó
gilt. Wählen wie auch hier wieder die Koordinaten wie in Aufgabe 19.21, so ergibt sich die folgende Metrik im Innern der Kugelschale,
g
W
g
å

+
+
Ö
Õ
D
D
Ö

Õ
Ÿ
æ
–å
[ •¢”
W
æ
–
•”
D
å
D
W
3
Die tangentiale Geschwindigkeit , mit der der Testkörper auf die Oberfläche auftrifft, hängt also
nur von der Masse und der Winkelgeschwindigkeit des rotierenden Himmelskörpers ab. Setzen
wir für die Erde
mm und
Tag, ergibt sich
cm Tag. Das ist nicht gerade
eine hohe Geschwindigkeit, im Vergleich zu den km sec der vertikalen Geschwindigkeit beim
Aufprall. Aber immerhin ist es keine unvorstellbar kleine Geschwindigkeit.
Das Teilchen wird also auf seinem Weg nach unten durch die rotierende Erde mitgenommen. Es
weicht von seiner radialen Bahn ab, und zwar in Richtung der Rotation der Erde. Unter extremen
Bedingungen, zum Beispiel in der Nähe eines rotierenden Schwarzen Loches, kann dieser Effekt
sogar so groß werden, dass es für einen Testkörper in der Nähe gar nicht mehr möglich ist, nicht
mitzurotieren. Das können wir im Rahmen der linearen Näherung zwar nicht sehen, aber wir
kennen bereits eine analoge Situation aus Kapitel 18.
Dort hatten wir gesehen, dass es für einen Beobachter, der sich in das Innere eines schwarzen
Loches begibt, nicht mehr möglich ist, still zu stehen. Er ist gezwungen, sich immer weiter nach
Innen zu bewegen, weil die Lichtkegel dorthin zeigen. Durch die Rotation werden ebenfalls die
-Term in (19.71) bewirkt, dass die Lichtkegel in -Richtung geneigt
Lichtkegel gekippt. Der
sind, also eine Art Wirbel um den Himmelskörper bilden. Wenn die Neigung der Lichtkegel sehr
groß wird, hat das zur Folge, dass jeder Beobachter gezwungen wird, mitzurotieren. 2
+
g 
ó
+)
g
â
W
[
¢ + [

+

¢
g
$ ó
[ ¢
+
g
$
â
W W [ ¢
(19.75)
(19.77)
[
(19.78)
g
IW
W
I
3
%)
¢
ó
ó
)
mit
)
g
$
¢

[ ¢
(19.79)
+
Auch diese Größe hat wieder die Bedeutung einer Winkelgeschwindigkeit. Wir können nämlich
jetzt eine Koordinatentransformation durchführen, um die Metrik in die eines flachen MinkowskiRaumes zu überführen.
Aufgabe 19.22 Man zeige, dass die Metrik (19.78) die Form
[ æ
–å
[ •”
[ åD
[ [ D
[ D
Ÿ
(19.80)
annimmt, wenn wir
[
¢
æ
[ æ
+Ö
g 
Õ
[ å
[ å
Ö
g +
D Õ
[ æ
æ
zu vernachlässigen
!
+
)
g
setzen. Man beachte, dass auch hierbei alle Terme der Ordnung
sind, denn die lineare Näherung gilt nur für
.
(19.81)
g
Der Lense-Thirring-Effekt

+
)
!
[ æ
[ å
[ [ +
[ æ!
[ å
[ [ 2 Die Metrik eines rotierenden schwarzen Loches kann explizit angegeben werden und gehört zu den wenigen bekannten exakten Lösungen der Einstein-Gleichung. Eine ausführliche Diskussion dieser Reißner-Nordström-Metrik findet man
in S.W. Hawking und G.F.R. Ellis: The large scale Structure of space-time.
Die Koordinatentransformation besteht neben einer nicht weiter relevanten Zeitdilatation und einer räumlichen Streckung in wesentlichen aus einer gleichmäßigen Rotation des Koordinatenrotiert
systems mit der Winkelgeschwindigkeit . Das heißt, das Koordinatensystem
.
relativ zu dem Koordinatensystem
Für einen Beobachter im Innern der Kugelschale ist das Koordinatensystem
jedoch
ein nichtrotierendes Koordinatensystem, also ein Inertialsystem, denn in diesem Koordinatensystem nimmt die Metrik die gewöhnliche Form der Minkowski-Metrik an. Was heißt das? Wenn
æ!
¢[ å 
Es gibt noch eine andere Möglichkeit, den Mitführungseffekt einer rotierenden Materieverteilung zu beschreiben. Besonders anschaulich wird diese Beschreibung, wenn wir statt eines Himund die Masse
melskörpers eine rotierende Kugelschale betrachten. Die Schale soll den Radius
247
[ ¢
schwindigkeit von der Quelle aus, wobei die Lichtgeschwindigkeit durch die Hintergrundmetrik,
also durch die Metrik der flachen Raumzeit vorgegeben ist. Nun wollen wir zeigen, wie diese
Ausbreitung des Gravitationsfeldes stattfindet.
Allgemeine Lösung der linearisierten Einstein-Gleichung
Um die linearisierte Einstein-Gleichung bei vorgegebener Quelle zu lösen, hatten wir die retardierte Greens-Funktion (19.50) verwendet. Diese Methode liefert uns aber nur eine spezielle
Lösung einer inhomogenen, linearen Differentialgleichung. Um die vollständige Lösungsmenge
zu bekommen, müssen wir noch eine allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung addieren.
Gesucht ist also die allgemeine Lösung der linearisierten Einstein-Gleichung im materiefreien
Raum, die zusätzlich noch die Lorentz-Eichbedingung erfüllt,
Ø
Ø
í O.
?í
O .>
í?
?í
(20.1)
Ø
Die erste Gleichung ist natürlich eine Wellengleichung. Die allgemeine Lösung ist eine Superposition von ebenen Wellen. Betrachten wir der Einfachheit halber zunächst eine einzelne solche
Welle, zum Beispiel
(20.2)
8
!
!
W
”
 .>
8
O .>
W
wobei
ein symmetrischer Tensor ist, der die Amplitude der Welle darstellt, und der Wellenvektor. Da sich alles in flachen Minkowski-Raum abspielt, können wir wie in der speziellen Relabilden, wenn wir willkürlich einen Ursprung der Raumzeit
tivitätstheorie das Skalarprodukt
festlegen.
Damit die Wellengleichung erfüllt ist, muss der Wellenvektor lichtartig sein,
ï .>
W
8
W
Ø
í\
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W
(
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8
”
 .>
í\
\
í
O .>
í?
?í
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass
weitere Bedingung ergibt sich aus der Lorentz-Eichung,
W
wir annehmen, dass der Beobachter durch die Kugelschale hindurch nach draußen schauen kann,
so wird er feststellen, dass sein Ruhesystem relativ zum Ruhesystem eines Beobachters draußen,
weit weg von der Kugelschale, mit der Winkelgeschwindigkeit rotiert.
Beide Beobachter behaupten jedoch, dass ihr Bezugsystem nicht rotiert. Sie können das ganz
einfach feststellen, indem sie zum Beispiel ein Gyroskop betrachten, also einen frei schwebenden
Kreisel, oder die Corioliskraft messen, die auf eine bewegte Testmasse wirkt. Ein Bezugsystem
rotiert nicht, wenn die Kreiselachse stabil ist bzw. keine Corioliskraft auftritt. Die rotierende
Kugelschale bewirkt also, dass ein Inertialsystem im Innern relativ zu einem Inertialsystem außen
in großer Entfernung rotiert.
Dieser Effekt wird als Lense-Thirring-Effekt bezeichnet. Er gab Anlass zu einer Diskussion
darüber, was denn “rotieren” eigentlich bedeutet. Bereits von Newton wurde das Eimer-Paradox
diskutiert. Man stelle sich einen mit Wasser gefüllten Eimer im Schwerefeld der Erde vor. Wenn
der Eimer mitsamt dem Wasser rotiert, wölbt sich die Wasseroberfläche zu einer Parabel. Aber
woher weiß das Wasser, dass es rotiert? Es ist sicher nicht die Rotation des Wassers relativ zum
Eimer, die die Wölbung hervorruft.
Es ist auch nicht die Rotation relativ zur Erde, denn auch in einem am Nordpol aufgestellten Eimer, der sich mit derselben Winkelgeschwindigkeit dreht wie die Erde, würde eine leicht
Wölbung auftreten. Es ist statt dessen die Drehung des Wassers relativ zu einer wie auch immer
definierten, absoluten Klasse von Inertialsystemen. Das ist jedenfalls die Sichtweise der klassischen Mechanik.
Der Lense-Thirring-Effekt zeigt, dass das in der allgemeinen Relativitätstheorie nicht mehr uneingeschränkt gilt. Eine rotierende Masse hat einen Einfluss darauf, welche Bezugsysteme in ihrer
Umgebung und insbesondere in ihrem Innern als rotierend anzusehen sind und welche nicht. Ersetzen wir den Eimer durch ein Gyroskop und stellen ihm in Innern einer rotierende Kugelschale
auf, so hängt das Verhalten des Gyroskops, und damit die Definition eines nicht rotierenden Bezugsystems davon ab, wie schnell die Kugelschale rotiert.
Wir sehen wir an dieser Stelle sehr deutlich, was es bedeutet, dass in der allgemeinen Relativitätstheorie ein Inertialsystem immer nur lokal definiert ist. Zwei Inertialsysteme an verschiedenen Orten im Raum können nicht nur relativ zueinander nur beschleunigt sein, sondern auch
relativ zueinander rotieren.
(20.3)
positiv lichtartig ist. Eine
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(
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8
W
–
•”
í ï.
\
í
Oí .
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(20.4)
W
Wir können also einen beliebigen, lichtartigen Wellenvektor vorgeben, sowie eine symmetrische
Matrix
, die
als Null-Eigenvektor hat. Außerdem muss die Amplitude hinreichend klein
sein, damit die lineare Näherung sinnvoll ist. In einem geeignet gewählten Koordinatensystem
sein.
muss
Eine solche Lösung der linearisierten Einstein-Gleichung beschreibt eine ebene Gravitationswelle im materiefreien Raum. Sie breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus, und es handelt sich
ist zum Wellenvektor
senkrecht, wooffenbar um eine transversale Welle. Die Amplitude
bei “senkrecht” so zu verstehen ist, dass alle Komponenten von
in Richtung des Vektors
verschwinden.
>\
ï .>
Aufgabe 19.23 Im Mittelpunkt der Erde befindet sich ein Gyroskop, dessen Achse in der Äquatorebene liegt. Durch den Lense-Thirring-Effekt führt es relativ zum Fixsternhimmel eine Präzession in östlicher Richtung aus. Man bestimmt die Winkelgeschwindigkeit dieser Pr äzession und
die Periode eines Umlaufs.

ï .>
20 Gravitationswellen
>\
>\
ï .>
248
ï .>
Im letzten Kapitel haben wir gezeigt, dass sich ein schwaches Gravitationsfeld im wesentlichen
wie ein elektromagnetisches Feld in einer flachen Raumzeit verhält. Es breitet sich mit Lichtge-
.H
und damit die Eichung zu fixieren, wählt man einen beliebigen zeitartigen Einheitsvektor
und verlangt, dass
(20.12)
]
.H
]\ .
. HD
ï.
b
. aH
ï.
.
í?
?í
¢
.
Dadurch ist der Parameter und damit die Eichung vollständig fixiert, denn das Skalarprodukt
eines zeitartigen Vektors mit einem positiv lichtartigen Vektor ist stets von Null
bewegten Beobachter gemessene
verschieden. Es ist die von einem mit der Geschwindigkeit
Frequenz der Welle.
noch die Bedingung
.
Wir stellen also zusätzlich zur Lorentz-Eichbedingung
Wenn wir ein Inertialsystem so wählen, dass
ist, so verschwinden in diesem Inertialsystem
sowohl die Zeitkomponente als auch die Komponente des räumlichen Anteils in Richtung
und
für eine Welle in des Wellenvektors . Ist zum Beispiel
Richtung, so gilt in dieser Eichung
und die Amplitude
wird durch zwei freie
Parameter
und
festgelegt. Dies entspricht den beiden transversalen Polarisationen einer
elektromagnetischen Wellen.
in (20.8) festzulegen und so die EiSo ähnlich gehen wir jetzt vor, um den Eichparameter
chung einer Gravitationswelle vollständig zu fixieren. Auch hier wählen wir zunächst einen zeitartigen Einheitsvektor , den wir als 4-Geschwindigkeit eines Beobachters in einem ausgewähltren Inertialsystem interpretieren können. Wir können dann den Parameter
der Eichtransformation so wählen, dass
]
Einige dieser Lösungen sind jedoch physikalisch äquivalent. Wie wir wissen, verbleibt noch
eine gewisse Eichfreiheit, nachdem wir die Lorentz-Eichbedingung gestellt haben. Wir können
noch immer eine Eichtransformation durchführen, wenn wir den Parameter, also das Vektorfeld
so wählen, dass
(20.5)
H.
\.
weiter einzuschränken. Wir
.H
ï .>
Diese Eichfreiheit können wir verwenden, um die Amplitude
kennen bereits das Transformationsverhalten (19.38) von
,
Ø
¢
O .>
íH
ïí
ïí
í\
Ø
Ø
A
a
?A
.
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?>
D
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O D .>
b
O .>
(20.6)
ƒ0
ï2
ï0
Wie müssen wir wählen, damit die Darstellung (20.2) einer ebenen Welle erhalten bleibt? Das
ist offenbar dann der Fall, wenn wir
.
ï.
f\
ïf
].
H.
>l.
].
\>
]D
\>.
ï D .>
b
A
A \]
a
ï .>
].
ï .>
Aufgabe 20.1 Man zeige, dass dies tatsächlich aus (20.6) und (20.2) folgt, und dass die transformierte Amplitude
noch immer die Lorentz-Eichbedingung (20.4) erfüllt.
œ\
¢
›\ ï›
0\
ï0
\2
].
setzen, wobei
ein beliebiger Vektor ist. Es ergibt sich dann das folgende Transformationverhalten der Amplitude,
(20.8)
ïœ
!
•”] .
!
8
W
–
8
.
(20.7)
>
]>
H.
\
].
\>
>H
]D>
>H
\.
> HD
ï .>
b
ï .>
a
>H
(20.13)
Eichfixierung
. Man zeige,
].
Aufgabe 20.2 Dies ist ein lineares Gleichungssystem für die Komponenten von
dass es eine eindimensionale Lösungsmenge besitzt, wenn
ist.
ï .>
>\
].
ï .>
Wir können also, in Analogie zur Elektrodynamik, zusätzlich zur Lorentz Eichung noch verlangen, dass alle Komponenten von
in Richtung eines beliebig vorgegebenen zeitartigen Einverschwinden. In einem geeignet gewählten Inertialsystem bedeutet das, dass die
heitsvektors
Zeitkomponenten von
verschwinden. Zusammen mit der Lorentz-Eichung haben wir also die
folgenden Eichbedingungen,
(20.14)
ï .>
Wir werden nun weitere Eichbedingungen an die Amplitude
stellen, um so den Vektor und
damit die Eichung vollständig zu fixieren. Dazu ist es sinnvoll, noch einmal die Analogie zum
elektromagnetischen Feld zu betrachten. Wie beschreiben wir gewöhnlich eine elektromagnetische Welle? Das Vektorpotential ist durch
H.
í\
(20.9)
\.
>H
ï .>
!
!
Jedoch wird dadurch die Eichung noch immer nicht vollständig fixiert, denn die Lösung des
Gleichungssystems (20.13) ist nicht eindeutig. Wie man leicht sieht, bleibt die Eichung (20.14)
erhalten, wenn wir
(20.15)
!
H. H> > \ \.
W \.
\ .D
 ]. H.
8
setzen und verwenden, dass
und
ist. Es bleibt also, anders als in der
Elektrodynamik, noch ein Eichfreiheitsgrad übrig, parametrisiert durch eine reelle Zahl .
Um diese zu fixieren, stellen wir noch eine weitere Eichbedingung. Wir verlangen, dass die
verschwindet. Für die Spur folgt aus (20.8), dass sie wie folgt transformiert,
Spur
H.
wählen, so transformiert sich die Amplitude wie folgt,
ï .>
í E?
(
?í
8
W
–
]
•”
E
(20.10)
>\
ï.
gegeben, wobei
ein positiv zeitartiger Wellenvektor ist und die Amplitude der Welle. Dass
die beiden Vektoren zueinander senkrecht stehen und die Welle somit transversal ist, folgt auch
hier aus der Lorentz-Eichbedingung. Und auch hier gibt es eine verbleibende Eichfreiheit. Wenn
wir als Parameter der Eichtransformation
ï .>
ïí
\í
í\
!
8
W
”
˜™ï .
!
8
C.
mit

\ .
]
ï .D
b
aï .
(
EF? .
C .D
b
a.
C
(20.11)
.ï.
\.
Die Lorentz-Eichbedingung bleibt dabei erhalten, weil
lichtartig ist. Dies ist das elektromagnetische Analogon zu der Eichtransformation (20.8) einer Gravitationswelle. Um den Parameter
] .
.\
W
.ï.
b
a
.ï.
249
(20.16)
¢
\!
b
aW
2H
und
. Den Wellenvektor zerlegen wir wie üblich in
,
die Komponenten
wobei dann
gilt.
Wie lauten dann die Eichbedingungen (20.18) an
? Aus der zweiten Gleichung ergibt sich,
dass alle Zeitkomponenten, also
und
verschwinden. Benutzen wir das, so bleiben von der
ersten und der dritten Gleichung jeweils nur die räumlichen Komponenten übrig. Die Eichbedingungen lauten also
0H
(20.15) ein, ergibt das die folgende Gleichung, aus der wir den Parameter

].
Setzen wir für
ablesen können,
ï .>
ï 02
ï 00

Da auch hier wieder das Skalarprodukt
von Null verschieden ist, ergibt sich
eindeutig aus der Bedingung, dass die Spur
verschwinden soll.
Wir haben somit die Eichung einer Gravitationswelle der Form (20.2) eindeutig fixiert, indem
wir die folgenden Eichbedingungen gestellt haben,
\ ¢
!
H. ¢
.\  W H. .ï.
\.
.ï.
b
a
.ï.
(20.17)
2 ï2
J\
ï2J
ï 02
Ø
.ï.
O. .
O
Ø
¢
!
8 J
!
!
8
!
\
”
8
 2 J
O2
O 02
O .>
O .>
In unserem ausgewählten Inertialsystem können wir eine Gravitationswelle dann wie folgt schreiben,
(20.23)
O 00
Da mit der Spur
der Amplitude auch die Spur
des Gravitationsfeldes verschwindet,
müssen wir nicht mehr zwischen
und
unterscheiden, das heißt wir können die Lösung
der linearisierten Einstein-Gleichung wie folgt schreiben,
ï 00
.ï.
>H
ï .>
>\
ï .>
(20.18)
(20.22)
ï2
wobei die räumliche Matrix
spurlos und transversal ist, das heißt ihre Komponenten in Richtung des Wellenvektors verschwinden. Die gewählte Eichung nennt sich deshalb auch die spurlose transversale Eichung.
Genau wie bei einer elektromagnetischen Welle erfolgt die Oszillation senkrecht zur Ausbreitungsrichtung im Raum. Um etwas genauer zu analysieren, was das bedeutet, wählen wir das
ist. Die Welle breitet sich also in -Richtung
räumliche Koordinatensystem so, dass
aus. Aus (20.22) folgt dann, wenn wir die einzelnen Komponenten der Gleichungen aufschreiben,
J
!
W
”
 .>
8
Wir können die Eichbedingungen (20.18) natürlich auch unmittelbar als Einschränkungen an das
Gravitationsfeld stellen. Sie lauten dann
2\
!
8
O .>
(20.19)
Ø
Ø
Ø
schreiben könnten.
f
, und nur
nennen,
und
und
œ
ïf
œ
œ
f
ïœ
f
ïf
, ,
Es bleiben nur vier Komponenten übrig, die nicht Null sind, nämlich
zwei davon sind unabhängig. Wir führen daher zwei Parameter ein, die wir
und setzen
ïœ
ã
ã
å
ä
õ
W
Ž•‹
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
!
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W
ï
\ .>
8
9
8
O .>
(20.25)
ïf
ä
œ
œ
f
ïœ
f
ïf
å
ã
W
ã
W
ïœ
Der Grund für diese Notation wird gleich klar werden. Wenn wir das in (20.23) einsetzen, ergeben
,
sich die folgenden nicht verschwindenden Komponenten von
O .>
löse damit die linearisierte Einstein-Gleichung in der Lorentz-Eichung und zeige, dass durch die
zusätzlichen Bedingungen in (20.20) die Eichung eindeutig fixiert ist, und dass sich die allgemeine
Lösung folglich als Superposition von ebenen Wellen der Form (20.19) schreiben l ässt.
ïf
›
ïD œ
ïD ›
›
ïf
›
œ
›
ïœ
ï›
f
ï0
›
ï0
ï0
Ø
Ø
(20.21)
(20.24)
ï 00
Aufgabe 20.3 Wir haben hier nur eine sehr spezielle Lösung der linearen Einstein-Gleichung im
materiefreien Raum diskutiert. Die allgemeinste Lösung ist eine Superposition von ebenen Wellen.
Man führe eine Fourier-Transformation des Gravitationsfeldes durch,
e›
O .>
O .>
auch
¢
Ø
wobei wir statt
\
.áO .
>H
O .>
O .>
>?
(20.20)
ã
W
¢
!
!
”
˜™ ä
!
f
Of
!
œ
Oœ
Polarisationen
(20.26)
”
˜™ å
¢
!
!
Of
!
ã
W
!
f
Oœ
œ
W
O .>
ã
¢
D
d ! !
”
˜™ ä
¢
!
”
˜™ ä
W
c
D
!
ã
W
D D
D
ã
$
d c
¢
!
!
”
˜™ å
D
!
b
a8
ƒ0
.H
250
D>l.
>U .
ï .>
Um uns von dieser Welle ein anschauliches Bild zu machen, schreiben wir die deformierte Metrik
, und daraus ergibt sich das Linienelement
auf. Es ist
Ÿ
Interessant ist nun die Frage, wieviele unabhängige Freiheitsgrade eine Gravitationswelle mit
einem gegebenen Wellenvektor hat. Mit anderen Worten, wieviele der insgesamt zehn Kompokönnen wir noch frei wählen, wenn wir die Eichbedinnenten des symmetrischen Tensors
gungen (20.18) stellen? Bei einer elektromagnetischen Welle sind es zwei unabhängige Freiheitsgrade, entsprechend den beiden möglichen Polarisationen.
Um diese Frage zu beantworten, ist es sinnvoll, von nun an ein festes Inertialsystem zu wählen
durchzuführen. Natürlich wählen wir das Bezugund eine Raum-Zeit-Aufspaltung
system so, dass
ist, das heißt der zuvor schon gewählte zeitartige Einheitsvektor
hat
(20.27)
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5
ã
Betrachten wir zuerst den Fall
und
natenflächen
const und
const, also die
sind. Die auf diesen Flächen induzierte Metrik ist
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Milchstraße
andere Galaxie
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d c . Zunächst stellen wir fest, dass die Koordi-Ebenen im Raum tatsächlich auch Ebenen
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(20.28)
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wobei wir wegen der linearen Näherung annehmen können, dass
ist, das heißt wir
. Für festes und ist dies eine positive, flache Metrik.
vernachlässigen Terme der Ordnung
Sie ist aber in Zeit und Raum nicht konstant, das heißt sie hängt von und ab.
Stellen wir uns einen “Einheitskreis”
in einer solchen Koordinatenebene vor.
Wir werden gleich zeigen, dass die Weltlinien mit
const zeitartige Geodäten sind, das
heißt wir können uns einen solchen Kreis als eine Schar von frei fallenden Teilchen vorstellen.
Was passiert dann mit den Abständen zwischen diesen Teilchen, wenn eine Gravitationswelle
durch sie hindurch läuft?
nicht wirklich ein Kreis, sondern eine Ellipse,
Offenbar ist die Koordinatenlinie
deren große Halbachse abwechselnd in -Richtung und in -Richtung zeigt. Das folgt aus (20.28),
wonach der in -Richtung gemessene Radius der Ellipse
ist, während
der in -Richtung gemessene Radius
beträgt. Beide oszillieren mit einer
Phasenverschiebung von , das heißt es ist abwechselnd die -Achse und die -Achse die lange
Achse der Ellipse. Nur für
, also zweimal pro Schwingungsperiode, ist die
Koordinatenlinie
ein Kreis.
Ein Kreis, den wir senkrecht zur -Achse, also zur Ausbreitungsrichtung der Welle aufstellen, wird beim Durchlauf der Welle abwechselnd in Richtung der - und -Achse gestreckt und
gestaucht. Stellen wir viele solche Kreise hintereinander auf, so bilden diese einen Zylinder. Es
ergibt sich dann das Bild in Abbildung 20.1(a). Der Zylinder, dessen Längsachse mit der Ausbreitungsrichtung der Wellen übereinstimmt, wird abwechselnd einmal in die eine, einmal in die
andere Richtung verformt, wobei diese Verformung als Welle mit Lichtgeschwindigkeit über den
Zylinder hinweg rollt.
Damit haben wir eine anschauliche Vorstellung von einer Gravitationswelle. Sie bewirkt, dass
sich die Ebenen senkrecht zu ihrer Ausbreitungrichtung periodisch verformen, und zwar so, dass
Abstände in zwei senkrecht zueinander stehenden Richtungen abwechselnd gestreckt und gestaucht werden. Sie sind in diesem Sinne transversal. Die Streckung und Stauchung von Längen
erfolgt senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Wellen. Die Phasen gleicher Verformung bewegen
sich dabei mit Lichtgeschwindigkeit durch den Raum.
und
aus? Um das zu sehen, führen wir
Und wie sieht nun eine Welle mit
einfach eine Koordinatentransformation durch. Wir setzen
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(b)
(a)
(d)
(c)
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dD c
d
dD c c
Abbildung 20.1: Linear (a,b) und zirkular (c,d) polarisierte Gravitationswellen verformen einen
aus frei fallenden Teilchen gebildeten Zylinder, dessen Längsachse in die Ausbreitungsrichtung
der Welle zeigt. Die Abstände zwischen Punkten in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung werden durch die Welle abwechselnd gestreckt und gestaucht, so dass ein Kreis zu einer
Ellipse verformt wird. Bei linear polarisierten Wellen zeigt die große Hauptachse der Ellipse
abwechselnd in zwei zueinander senkrechte Richtungen. Bei zirkular polarisierten Wellen dreht
sich die große Hauptachse der Ellipse.
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(20.31)
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gesetzt. Eine Rotation der
-Ebene um
entspricht im wesentlichen dem Vertauschen von
und
. Eine Welle mit
und
sieht daher genauso aus wie die zuvor
diskutierte Welle mit
und
, jedoch ist sie um
gedreht.
-Ebene
Eine entsprechende Darstellung ist in Abbildung 20.1(b) gezeigt. Ein Kreis in der
wird auch hier abwechselnd in zwei zueinander senkrecht stehende Richtungen zu einer Ellipse
verformt. Jedoch zeigen die Hauptachsen dieser Ellipse jetzt nicht mehr in Richtung der Koordinatenachsen, sondern entlang der Winkelhalbierenden. Genau das soll durch die Bezeichnungen
und
angedeutet werden.
Eine Gravitationswelle hat also, genau wie eine elektromagnetische Welle, zwei verschiedene
Polarisationen. Es gibt jedoch einen wesentlichen Unterschied. Die beiden Polarisationen einer
ineinander über. Hier jedoch wird eielektromagnetischen Welle gehen bei einer Drehung um
ne Welle mit der Polarisation durch Drehung um
in eine Welle der Polarisation überführt.
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-Ebene. Eine kurze Rechnung liefert dann die folgende
Das ist formal mit (20.27) identisch, jedoch haben wir
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[ Das ist eine Drehung um
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(20.30)
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251
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Würden wir den schwingenden Zylinder in Abbildung 20.1(a) um
drehen, so bekämen
wir wieder eine Welle derselben Polarisation , die gegenüber der ersten lediglich um phasenverschoben ist. Bei einer elektromagnetischen Welle gilt das gleiche, wenn wir die Welle um
drehen. In beiden Fällen entspricht das einer Multiplikation aller Felder mit
, also einer
Phasenverschiebung um .
ein Tensor zweiter Stufe ist,
Dieser Unterschied rührt daher, dass das Gravitationsfeld
während das elektromagnetische Feld
ein Vektor ist. Ein Tensor zweiter Stufe reagiert, etwas
vereinfacht ausgedrückt, doppelt so empfindlich auf eine Drehung wie ein Vektor, also ein Tensor erster Stufe. Abgesehen von dieser etwas gewöhnungsbedürftigen Eigenschaft verhalten sich
Gravitationswellen jedoch ansonsten wie ihre elektromagnetischen Vorbilder.
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Gravitationswellen breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus und besitzen zwei unabhängige Polarisationen, die durch eine Drehung um
ineinander übergehen.
Aufgabe 20.4 In Abbildung 20.1(c) und (d) sind zwei zirkular polarisierte Gravitationswellen
dargestellt. Man zeige, dass sich diese wie folgt schreiben lassen,
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(20.32)
Entstehung von Gravitationswellen
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(20.33)
Man beachte, dass der Strich auch die Ableitung nach bezeichnet, was im folgenden sehr
nützlich ist. Die beiden um einander rotierenden Körper befinden sich zur Zeit an den Orten
æ
Bis heute wurden keine Gravitationswellen direkt nachgewiesen. Es fehlt also noch ein ganz
wesentlicher experimenteller Beleg für die allgemeine Relativitätstheorie, vergleichbar mit dem
Nachweis von elektromagnetischen Wellen als Beleg für die Richtigkeit der Maxwellschen Elektrodynamik.
Woran liegt es, dass es bis heute nicht gelungen ist, Gravitationswellen nachzuweisen? Wenn
wir einmal von der Möglichkeit absehen, dass es sie vielleicht gar nicht gibt, die Einsteinsche Gravitationstheorie also falsch ist, kann die Ursache eigentlich nur darin liegen, dass sie zu schwach
sind, um gemessen zu werden. Die vorhandenen Quellen von Gravitationswellen emittieren einfach nicht genug Strahlung, um sie auf der Erde nachzuweisen, und an das Erzeugen von Gravitationswellen im Labormaßstab wäre dann ohnehin nicht zu denken.
Wie können Gravitationswellen überhaupt entstehen? Elektromagnetische Wellen werden von
beschleunigten Ladungen erzeugt. Aus der im letzten Kapitel bereits ausgiebig diskutierten Analogie zwischen elektromagnetischen Feldern und schwachen Gravitationsfeldern, insbesondere
der Ähnlichkeit der Greens-Funktion, schließen wir, dass Gravitationswellen von beschleunigten
Massen erzeugt werden. Beschleunigt ist hier im Sinne der linearen Näherung, also im Sinne der
speziellen Relativitätstheorie zu verstehen.
Als Quellen kommen also vor allem Systeme in Frage, in denen große Massen große Beschleunigungen erfahren. Man kann zwischen Quellen unterscheiden, die über lange Zeit stabil sind und
Wellen einer konstanten Frequenz emittieren, und solchen, die während eines plötzlichen Ereignisses eine Art Schockwelle emittieren. Ein typisches Beispiel für eine über lange Zeit stabile
Quelle ist ein Doppelsternsystem, also zwei einander umkreisende Sterne. Die Analogie zu zwei
einander umkreisenden Ladungen, die eine elektromagnetische Welle aussenden, ist sofort offensichtlich.
Ein typisches einmaliges Ereignis ist der Kollaps eines ausgebrannten Sterns zu einem Neutronenstern oder einem schwarzen Loch. Natürlich können wir, um einen solchen Vorgang zu
beschrieben, nicht die lineare Näherung verwenden. Jedoch werden bei einem solchen Ereignis
sehr große Massen sehr stark beschleunigt, und in der Realität wird dies nicht, wie wir in Kapitel 18 angenommen haben, kugelsymmetrisch geschehen. Das Gravitationsfeld in der Nähe dieses
Ereignisses wird als sehr starken Oszillationen ausgesetzt sein, so dass wir in einer größeren Entfernung erwarten können, Spuren des Ereignisses in Form von Gravitationswellen zu sehen.
Da sich solche Einzelereignisse nur sehr schwer analytisch beschreiben lassen, 1 wollen wir
hier ein einfaches Modell für ein Doppelsternsystem beschreiben. Ziel dieser Rechnung soll es
sein, die Größenordnung der Amplitude einer auf der Erde gemessenen Gravitationswelle abzuschätzen, die von einem solchen System emittiert wird. Natürlich müssen wir dazu an der einen
oder anderen Stelle ein paar vereinfachende Annahmen machen, aber solange uns nur die Größenordnungen interessieren, ist das gerechtfertigt.
Das erste Problem ergibt sich bereits aus der Tatsache, dass wir ein Doppelsternsystem im Rahmen der linearisierten Gravitationstheorie nicht konsistent beschreiben können. Wie wir gesehen
haben, vernachlässigen wir in der linearen Näherung die Rückwirkung des Gravitationsfeldes auf
die erzeugende Materie. Nun ist es aber genau diese Rückwirkung, die ein Doppelsternsystem
überhaupt zu einem solchen macht, also die beiden Sterne aneinander koppelt.
Der Ausweg besteht darin, dass wir ein gekoppeltes System von zwei Körpern der Masse
betrachten, die nicht durch Gravitation, sondern durch eine feste Stange der Länge
miteinander verbunden sind. Diese “Hantel” soll mit einer Kreisfrequenz rotieren. Ein solches System
können wir im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie beschreiben. Wir müssen dazu nur einen
geeigneten Energie-Impuls-Tensor angeben, der die Kontinuitätsgleichung im Minkowski-Raum
erfüllt. Diesen werden wir dann als Quelle eines schwachen Gravitationsfeldes betrachten und in
die linearisierte Einstein-Gleichung einsetzen.
Wir machen den folgenden Ansatz. Um alles so einfach wie möglich zu machen, betrachten
wir die beiden Körper als punktförmig. Um die Kreisbewegung zu beschreiben, führen wir einen
sowie einen dazu orthogonalen Einheitsvektor
ein, wobei
räumlichen Einheitsvektor
ein Winkel in der
-Ebene ist,
1 Sehr eindrucksvolle numerische Simulationen solcher Ereignisse und der sich daraus ergebenen Gravitationswellen
werden unter anderem am MPI für Gravitationsphysik durchgeführt, http://www.aei-potsdam.mpg.de.
252
^
setzen wir daher
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. Für die Energiedichte
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(20.34)
Aufgabe 20.6 Die Kraft, die zwischen den beiden Körpern wirkt, ist der Impulsstrom durch eine
Fläche, die die Verbindungsstange genau einmal schneidet. Man zeige, dass dieser Impulsstrom
und damit die Kraft durch
gegeben ist. Das ist genau der nichtrelativistische
Ausdruck für die Kraft, die nötig ist, um die Körper auf ihrer Kreisbahn zu halten. Er enthält
jedoch implizit eine “relativistische Korrektur”, weil
nicht die Masse, sondern die Energie der
beiden Körper ist.
g
g
Der Parameter
ist also genau genommen nicht die Masse, sondern die Energie der beiden
Körper. Wie wir gleich sehen werden, ist dies jedoch die “Masse” im Sinne der Newtonschen
Näherung, das heißt in großer Entfernung werden wir neben den Gravitationswellen ein statisches Feld sehen, das von einer Masse
erzeugt wird. Der Begriff “Masse” ist hier also so zu
verstehen wie in Kapitel 15 bei der Diskussion der Schwarzschild-Metrik.
Um zu sehen, wie die anderen Komponenten des Energie-Impuls-Tensors aussehen, müssen
wir die Kontinuitätsgleichung lösen und zusätzlich noch ein paar vernünftige Annahmen machen.
Zunächst bestimmen wir die Komponenten , also den Energiestrom. Es muss gelten
g
W
~
02
Wir haben also jetzt im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie eine rotierende Hantel beschrieben, die aus zwei gleich großen Massepunkten und einer Stange besteht, deren eigene Masse wir
vernachlässigen. Jetzt wollen wir, unter der Annahme dass die beiden Massen hinreichend klein
sind, das linearisierte Gravitationsfeld ausrechnen. Dazu benutzen wir die retardierte GreensFunktion (19.51),
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(20.39)
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Auch hier wollen wir alles so einfach wie möglich machen. Wir betrachten daher nur die führende
Ordnung für große Abstände von der Quelle, das heißt wir nehmen an, dass
ist. Wir
können dann
setzen, wobei der Abstand des Beobachters von der Quelle ist.
Das ergibt
c ×
Diese Gleichung können wir leicht lösen, denn auf der rechten Seite steht bereits eine räumliche
Divergenz. Es ist also
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Das Ergebnis ist auch vernünftig, denn
sind die Impulse der beiden Körper, so
dass
auch, wie es sein sollte, die Impulsdichte darstellt.
. Da die beiden
Etwas komplizierter ist die Bestimmung der räumlichen Komponenten
Körper durch eine Stange aneinander gekoppelt sind, treten in dieser Stange Spannungen auf,
das heißt es fließt Impuls durch die Stange. Wir erwarten daher, dass
nicht nur an der Orten der beiden Körper von Null verschieden ist, sondern auch entlang der Verbindunglinie. Die
Kontinuitätsgleichung verlangt
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Der mit
abfallende Anteil des Gravitationsfeldes
ergibt sich folglich als Integration des
Energie-Impuls-Tensors
über die ganze Quelle, wobei wir aber die Retardierung beachten
müssen, das heißt wir “sehen” quasi die Quelle zur Zeit
. Auch das ist aus der Elektrodynamik
abfallende Anteil des Vektorpotentials genauso.
bekannt. Dort verhält sich der mit
Das Integral (20.40) können wir sofort auswerten, da der Energie-Impuls-Tensor durch einfache
Kombinationen von Deltafunktionen gegeben ist. Aus (20.34) und (20.36) folgt
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Das kennen wir bereits als das Newtonsche Gravitationspotential eines Materieansammlung mit
. Es entspricht genau dem Ausdruck (19.56), wenn wir dort für das Potential
der Gesamtmasse
setzen.
Allerdings gibt es jetzt auch nicht verschwindende räumlichen Anteile des Gravitationsfeldes.
Die Integration von (20.38) ergibt
W
~
(20.37)
Die erste Zeile ist wieder ein Divergenz, die zweite Zeile aber nicht. Wir können sie aber als
schreiben, wenn wir diesen wie folgt definieren,
Divergenz eines symmetrischen Tensors
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Eigentlich müssten wir jetzt noch eine Eichtransformation durchführen, denn das so definiererfüllt nicht die an eine Gravitationswelle gestellten Eichbedingungen (20.20). Das
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Aufgabe 20.5 Man zeige, dass dieser Tensor die Kontinuitätsgleichung (20.37) erfüllt.
(20.38)
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253
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Für unser Beispiel ergibt das
sec. Die Umlaufzeit der Sterne beträgt etwa fünf
Tage. Das ist für ein typisches Doppelsternsystem nicht ungewöhnlich.
mm
Die Amplitude der Gravitationswelle ergibt sich aus Aufgabe 20.7 zu
ly . In der Milchstraße finden wir Doppelsternsystem dieser Art im Abstand von einigen tausend Lichtjahren. Setzen wir also
ly, dann ergibt sich eine Amplitude der
Gravitationswelle von
.
Das ist eine unvorstellbar kleine Amplitude. Um uns die Größenordnung klar zu machen, stellen wir uns noch einmal den Zylinder in Abbildung 20.1 vor. Nehmen wir an, er hat einen Radius
von einem Meter. Dann beträgt die Längenänderung, die durch eine solche Gravitationswelle erzeugt wird, weniger als der zehnmillionste Teil des Durchmessers eines Atomkerns. Der Abstand
um gerade
zwischen Erde und Sonne ändert sich bei einer Gravitationswelle der Amplitude
mal ein Ångström.
Damit ist klar, warum Gravitationswellen nicht unbedingt zu unserer täglichen Erfahrung
gehören, und warum auch ein Nachweis im Labor sehr schwierig ist. Es gibt einfach keine Quellen, die eine ausreichend starke Welle erzeugen. Jedenfalls keine stabilen Quellen, die über einen
längeren Zeitraum hinweg eine Welle konstanter Frequenz abstrahlen.
g
g
I
(20.43)
I
+ I
õ I
õ Wir wollen die Details dieser Lösung nicht weiter diskutieren, sondern zu unserer ursprünglichen
Frage zurück kommen. Wir hatten uns gefragt, warum wir bis heute keine Gravitationswellen
gemessen haben, und wir hatten vermutet, dass diese, wenn es sie denn gibt, einfach zu schwach
sind, um nachgewiesen zu werden.
Um die Größenordnung der Amplitude einer Gravitationswelle für ein realistisches Doppelsternsystem zu berechnen, setzen wir folgende Zahlenwerte ein. Wir nehmen an, dass beide Sterm. Der Abstand der beiden Sterne
ne eine Masse von einigen Sonnen haben, also
soll
m betragen. Das ist etwa der zehnfache Radius der Sterne, das heißt sie sind sehr
dicht beieinander. Wie groß ist dann die Umlauffrequenz ? Hier benutzen wir die Newtonsche
Näherung, das heißt wir setzen die Anziehungskraft aus Aufgabe 20.6 gleich der Newtonschen
Gravitationskraft
g
ã
)
Aufgabe 20.7 Man zeige, dass ein Beobachter auf der -Achse, der das rotierende System “von
oben” sieht, eine zirkular polarisierte Welle mit der Amplitude
wahrnimmt.
Welche Polarisation sieht ein Beobachter in der
-Ebene? Warum ist die Frequenz der Gravitationwelle nicht , sondern ?
Wenn wir einmalige Ereignisse betrachten, wie zum Beispiel den Kollaps eines Sterns, so
ändern sich die Größenordnungen nicht wesentlich. Wir wollen auch hier eine sehr einfache
Abschätzung vornehmen. Die Prozesse, die sich beim Kollaps eines Sterns abspielen, finden in
einem Raumgebiet statt, dessen Ausdehnung von der Größenordnung des Schwarzschild-Radius
.
des Sterns ist, also
In diesem Raumgebiet sind die Oszillationen des Gravitationsfeldes sehr stark. Die lineare
Näherung gilt dort natürlich nicht mehr, aber für eine einfache Abschätzung der Größenordnung
können wir annehmen, dass die Abweichung Metrik von einer flachen Hintergrundmetrik dort
mindestens von der Größenordnung
ist. Wenn wir jetzt annehmen, dass diese Amplitude
mit
abfällt, dann hat die bei uns ankommende Welle eine Amplitude
. Setzen
wir für die Masse wieder
m, und für in Falle eines Ereignisses in der Milchstraße
ly
m ein, so ergibt sich diesmal eine Amplitude
.
Das ist zwar schon etwas mehr als
, aber solche Ereignisse sind erstens sehr selten, und
zweitens treten diese Wellen in Form von Schockwellen auf, deren Nachweis wesentlich schwieriger ist als der von stabilen Wellen einer Frequenz. Die typischen Zeitskalen, auf denen sich der
Kollaps eines Sterns abspielt, sind, wie wir aus Kapitel 18 wissen, ebenfalls von der Größenordnung . Für einen Stern von einigen Sonnenmassen hat die Wellenfront also eine Breite von
weniger als einer Millisekunde.
Ein anderes typisches Ereignis, von dem eine Gravitationswelle ausgeht, ist der Kollaps eines
Doppelsternsystems. Was wir bei der obigen Rechnung nicht berücksichtigt haben, ist, dass das
Doppelsternsystem durch die Abstrahlung der Gravitationswelle Energie und Drehimpuls verliert.
Das führt dazu, dass der Abstand der Sterne kleiner und die Umlauffrequenz größer wird. Wir sehen diesen Effekt in unserer Rechnung nicht, weil wir in der linearen Näherung die Rückwirkung
des Gravitationsfeldes auf die Massen nicht berücksichtigen.
Wir können daher an dieser Stelle nichts über die Dynamik dieses Prozesses sagen. Aber wir
können etwas über das Endstadium sagen. Nehmen wir einmal an, beide Sterne seien selbst schon
zu Neutronensternen oder sogar zu schwarzen Löchern kollabiert. Dann werden sie sich solange
umkreisen, bis der Abstand von derselben Größenordnung ist wie der Radius der Sterne bzw. der
ist. Dann wird etwas dramatisches geschehen, vergleichbar
schwarzen Löcher, also bis
mit dem Kollaps eines einzelnen Sterns, denn die beiden Objekte werden kollidieren und zu einem
verschmelzen.
Betrachten wir den Zustand kurz davor. Wenn wir in der obigen Formel für die Umlauffrequenz
setzen und
m, dann ergibt sich
sec. Kurz vor dem Zusammenstoß
liegt die Umlauffrequenz im Bereich von einigen Kilohertz. Die beiden Neutronensterne oder
schwarzen Löcher umkreisen einander etwa tausend mal pro Sekunde. Die lineare Näherung der
Gravitationstheorie ist natürlich auch hier nicht mehr anwendbar, aber mit dem gleichen Argument wir eben können wir eine grobe Abschätzung der Größenordnung vornehmen.
, wenn das Ereignis in einer Entfernung
Es ergibt sich auch hier ein Amplitude von etwa
von einigen tausend Lichtjahren stattfindet. Findet es außerhalb unserer Galaxis statt, in einer der
Galaxien in der Nähe, so reduziert sich die Amplitude noch um ein bis zwei Größenordnungen,
W
können wir uns aber sparen, da wir auch so die wesentlichen Eigenschaften des Gravitationsfeldes
ablesen können.
Es besteht aus einem statischen Anteil (20.41), der von den Massen selbst erzeugt wird. Er
. Der osentspricht genau dem Newtonschen Gravitationsfeld eines Körpers mit der Masse
zillierende, räumlichen Anteil (20.42) beschreibt offenbar eine Kugelförmige Gravitationswelle.
Ihre Polarisation hängt von der Blickrichtung, also dem Winkel zwischen dem Ortsvektor des
ab.
Beobachters und der Drehachse der Hantel ab, und ihre Amplitude fällt mit
ð
Das ist genau dann der Fall, wenn
(20.45)
2 } 00
0 } 00
Da sämtliche Komponenten des linearisierten Gravitationsfeldes
, die mindestens einen Index
haben, verschwinden, folgt aus der Darstellung (19.17), dass diese Bedingungen erfüllt sind.
Das folgt sogar allein aus den Eichbedingungen (20.20). Die Aussage gilt daher nicht nur für
eine einzelne ebene Gravitationswelle, sondern auch für eine beliebige Überlagerung solcher Wellen, also für jede Lösung der linearisierten Einstein-Gleichung in der gewählten Eichung. Ein
ruhendes, frei fallendes Teilchen bleibt in Ruhe, auch
relativ zum Koordinatensystem
dann, wenn eine Gravitationswelle durchläuft.
Nun könnte man argumentieren, dass die Teilchen die Gravitationswelle deshalb gar nicht
spüren? Ist das vielleicht der Grund, dass wir noch keine Gravitationswellen gesehen haben?
Man kann sich gar nicht nachweisen, da es sich um Oszillationen der Metrik handelt, die gar nicht
messbar sind, weil sie sich auf die Bewegungsgleichungen der Materie nicht auswirken. Wie soll
man ein Nachweisgerät bauen, wenn nicht aus einzelnen Testteilchen, die das Gravitationsfeld
vermessen, indem sie frei fallen?
Das ist zwar ein naheliegender Schluss, aber er ist falsch. Bereits die erste Schlussfolgerung
ist falsch. Aus der Tatsache, dass alle Teilchen, die relativ zu dem gewählten Koordinatensystem
ruhen, dies auch dann noch tun, wenn eine Gravitationswelle durch sie hindurchläuft, folgt gar
nichts. Wir können nämlich immer ein Koordinatensystem so wählen, dass eine gegebene Schar
von Teilchen relativ zu diesem Koordinatensystem ruht, und zwar für alle Zeiten, oder wenigstens
für ein endliches Zeitintervall.
um
Wir definieren das Koordinatensystem einfach so, dass jedes Teilchen einen Ort
Raum markiert, und die Zeitkoordinate wählen wir so, dass die auf jeder Weltlinie eines Teilchens die Eigenzeit repräsentiert. Schlimmstenfalls werden einige Teilchen nach einer gewissen
Zeit kollidieren, so dass eine Koordinatensingularität vorliegt. Es ist also nicht immer möglich,
die gesamte Raumzeit auf diese Weise mit einer einziger Karte abzudecken.
Aus der Tatsache, dass irgendwelche frei fallenden Teilchen relativ zu ein Koordinatensystem
ruhen, folgt als gar nichts über die Geometrie der Raumzeit. Es ist lediglich eine Aussage über die
Eigenschaften des gewählten Koordinatensystems. Mit anderen Worten, die spurlose transversale
Eichung des Gravitationsfeldes ist gerade so gewählt, dass das Koordinatensystem
durch eine Schar von frei fallenden Teilchen definiert wird.
Aber wie können wir denn jetzt das Gravitationfeld messen? Offenbar brauchen wir dazu mehrere Teilchen. Das können entweder mehrere frei fallende Teilchen sein, oder mehrere Teilchen,
die einen ausgedehnten Körper bilden. Genau darauf beruhen die zwei Strategien, mit denen man
im Prinzip Gravitationswellen nachweisen kann. Wir wollen sie hier kurz diskutieren, und eine
grobe Abschätzung der Größenordnungen durchführen, das heißt wie wollen uns fragen, wie groß
die Amplitude einer Gravitationswelle sein muss, damit man sie in einem Labor auf der Erde oder
im Weltraum nachweisen kann.
O .>
das heißt wir sind bei
. Es scheint. dass alle typischen Vorgänge im Kosmos, jedenfalls in
unserer näheren Umgebung, Gravitationswellen dieser Größenordnung erzeugen. Nur das Frequenzspektrum ist sehr verschieden. Es reicht von einigen Millihertz für stabile Doppelsternsysteme, bis zu Wellen von einigen Kilohertz, die typischerweise beim Kollaps von Sternen und
Sternsystemen entstehen.
Nachweis von Gravitationswellen
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(20.44)
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Da wir die Gravitationswellen nicht unmittelbar sehen können, oder wegen des typischen Frequenzbereichs sollten wir vielleicht besser hören sagen, müssen wir uns ein paar Tricks einfallen
lassen, mit denen wir die minimalen Längenänderungen vielleicht doch wahrnehmen können.
Zunächst müssen wir uns darüber klar werden, wie wir Gravitationswellen prinzipiell messen
können. Bisher haben wir nur die anschauliche Vorstellung eine Welle aus Abbildung 20.1.
Daraus geht hervor, dass eine Gravitationswelle irgendwelche Längenänderungen im Raum
bewirkt. Aber was heißt das konkret? Was in Abbildung 20.1 dargestellt ist, ist die wellenartige
Verformung, die ein Zylinder erfährt, dessen Längsachse in der Ausbreitungsrichtung der Welle
definiert. Aber eine
liegt. Den Zylinder hatten wir durch die Koordinatengleichung
Koordinatengleichung ist nicht unmittelbar als Definition eines geometrischen Objektes interpretierbar.
Was heißt überhaupt “Zylinder”? Wie wir gesehen haben, wird durch die Koordinatengleichung
im geometrischen Sinne gerade kein Zylinder definiert, sondern eine Fläche, deren
Geometrie im wesentlichen die in Abbildung 20.1 dargestellte ist, die sich mit der Zeit auch
noch ändert. Was ist dann eigentlich damit gemeint, wenn wir sagen, dass ein Zylinder durch die
Gravitationswelle in einer bestimmten Art und Weise verformt wird?
Um zu verstehen, wie eine Gravitationswellen Längenänderungen und Verformungen bewirkt,
müssen wir uns erst einmal klar machen, welche physikalische Situation wir eigentlich konkret
beschreiben wollen. Mit anderen Worten, wir müssen ein konkretes Modell eines Zylinders, oder
irgendeines anderen Objektes aus Materie betrachten, und dann die Wirkung des Gravitationsfeldes auf diese Materie beschreiben. Solange wir uns nur auf die Darstellung der Metrik in
irgendwelchen Koordinatensystem beziehen, können wir keine sinnvollen physikalischen Aussagen machen.
Wir machen zunächst die folgende wichtige Beobachtung. Die Weltlinie eines Teilchens, welruht, ist eine zeitartige Geodäte. Dass es eine
ches relativ zu dem Koordinatensystem
zeitartige Kurve ist, ist unmittelbar klar. Es ist auch offensichtlich, dass die Eigenzeit auf jeder
solchen Weltlinie repräsentiert. Beides können wir unmittelbar aus dem Linienelement (20.27)
ablesen.
Um zu beweisen, dass es sich um eine Geodäte handelt, müssen wir zeigen, dass für eine
mit
und
die Geodätengleichung gilt, also
Weltlinie
Milchstraße
andere Galaxie
Ankopplung an einen Festkörper
2H
0H
d
Wir betrachten zuerst den Fall, dass eine Gravitationswelle durch einen Festkörper hindurchläuft.
Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass der Körper frei fällt, so dass sein Schwerpunkt einer
zeitartigen Geodäte in der Raumzeit folgt. Wir wählen unser Koordinatensystem so, dass er sich
an der Stelle
befindet, und seine 4-Geschwindigkeit durch
und
gegeben ist. Dann betrachten wir ein Teilchen der Masse in diesem Körper, welches sich am Ort
relativ zu Schwerpunkt befindet. Wie wir wissen, wirkt auf dieses Teilchen eine Gezeitenkraft
c
S
Ç
yò
Ç
ô
ñ
yò
ô
ñ
ö
yò
yò
ô
ñ
ñ
ó
õ
õ
2H
J S
0J
2 0 0H
2
(20.46)
Abbildung 20.2: Ankopplung einer Gravitationswelle an einen Festkörper durch Gezeitenkräfte.
Dargestellt ist jeweils die Verformung des Körpers und die dadurch auftretenden Rückstellkräfte
während der verschiedenen Phasen der Welle. Stimmt die Frequenz der Welle mit der Resonanzfrequenz des Körpers überein, so kommt es zu einer Anregung.
> Ñ©
und
setzen, für
den räumlichen
Das ergibt sich aus (18.84), wenn wir dort
Abstandsvektor einsetzen, und schließlich die ganze Gleichung mit multiplizieren. Genauer
gesagt ist dies die Rückstellkraft, die der Festkörper aufbringen muss, um seine Form zu behalten.
Um die Kraft zu berechnen, müssen wir also den Krümmungstensor ausrechnen. Dazu ververschwinden, bleibt nur ein
wenden wir die Formel (19.20). Da alle Zeitkomponenten von
einziger Term übrig, nämlich
2S
O .>
2 O J
?0
?0
W
0J
2 0
(20.47)
beschrieben. Hier ist auf der linken Seite die Eigenfrequenz der Schwingungsmode, während
es auf der rechten Seite die Frequenz der Gravitationswelle repräsentiert.
schreiben, wobei die G üte des
Für den Dämpfungskoeffizient können wir auch
Oszillators ist. Die Güte, oder genauer deren -faches, ist der inverse Anteil der Schwingungsenergie, die pro Oszillation durch Dissipation verloren geht. Auf der rechten Seite haben wir
als antreibende Kraft den Ausdruck (20.49) eingesetzt, wobei für die typische Abmessung des
schwingenden Festkörpers einzusetzten ist. Um eine grobe Abschätzung zu bekommen, setzen
wir einfach den mittleren Radius des Körpers ein.
Wir können dann die Differentialgleichung lösen und erhalten, wenn wir nur die angeregte,
zeitlich konstante Schwingung betrachten und die überlagerte, exponentiell gedämpfte Schwingung ignorieren,
ã
ã
ä
¢
!
!
D (20.50)
!
¢
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˜™S
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S
¢
W
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¢
”
˜™
ãd
¢
W
›
(20.49)
des Festkörpers wird dann durch eine Bewe-
!
Da wir den Krümmungstensor zur Berechnung der Gezeitenkraft im Schwerpunkt des Körpers
auswerten müssen, haben wir
gesetzt. Folglich muss auf einen Massepunkt
in
befindet, eine Rückstellkraft mit den folgenden KompoFestkörper, der sich am Ort
nenten wirken,

Die betrachtete, spezielle Schwingungsmode
gungsgleichung der Form
Als spezielles Beispiel wählen wir die Gravitationswelle (20.26), wobei nur
von Null
verschieden sein soll. Die einzigen nicht verschwindenden Komponenten des Krümmungstensors
sind dann
(20.48)
!
d c (20.51)
!
– ¢
•”S Ð
ã
W
!

Da sich die Oszillator mit der Anregung in Resonanz befindet, ist seine Schwingung genau um
gegenüber der Anregung phasenverschoben.
mal der SchwingungsamDie in dieser Oszillation enthaltene Schwingungsenergie ist
plitude zum Quadrat, also
W% )
W)
¢
In Abbildung 20.2 sind diese Kräfte in der
-Ebene während der verschiedenen Phasen der
Welle veranschaulicht. Der Festkörper soll klein im Vergleich zur Wellenlänge der Gravitationswelle sein, so dass wir davon ausgehen können, dass sich der gesamte Körper praktische in einer
Phasenebene befindet. Nur dann gilt die Formel (20.46) für die Gezeitenkraft, die wir in Kapitel 18 aus einer Entwicklung der Geodätengleichung um den Schwerpunkt des Körpers abgeleitet
hatten. Offenbar wird der Festkörper durch die oszillierenden Anregungen in Abbildung 20.2 in
eine bestimmte Schwingungsmode versetzt. Um diese Anregung quantitativ zu beschreiben, betrachten wir den Festkörper als einen gedämpften harmonischen Oszillator. Um das ganze wieder
so einfach wie möglich zu machen, denn es geht hier nur um eine grobe Abschätzung der Größenordnungen, nehmen wir ferner an, dass die Eigenfrequenz der angeregten Schwingungsmode genau der Frequenz der Gravitationswelle entspricht. Das heißt, unsere Antenne soll genau auf
die ankommende Welle abgestimmt sein.
¢
ã
K
S
Ð
¢
256
(20.52)
Um die Empfindlichkeit einer solcher Antenne abzuschätzen, betrachten wir den Fall, dass eine
genügend lange, resonante Welle durch den Festkörper läuft, so dass eine stabile Schwingung
entsteht. Diese Schwingung ist messbar, wenn sie merklich größer ist als die durch thermisches
Rauschen angeregte Schwingung der gleichen Mode. Da jede Schwingungsmode in einem Körper
erfährt, wobei die Boltzmann-Konstante
der Temperatur eine thermische Anregung
ist, ergibt sich die Bedingung
(20.53)
ó
ó
ú
ó
ø
ùó
÷
òÈ
m
~
K
~
\
\
S
¢
\
~
ã
Ð
Milchstraße
andere Galaxie
×
I
S
ž
ö
) Ð
I õ I
¢
Jetzt setzen wir ein paar Zahlen ein. Wir betrachten eine Kugel aus Kupfer mit einem Durchmesser von etwa drei Meter.2 Wir setzen für den mittleren Abstand der schwingenden Masse vom
Schwerpunkt
m. Die schwingende Masse selbst ist
kg, und die Resonanzfrequenz
der in Abbildung 20.2 gezeigten Mode liegt bei etwa
sec. Die Güte eine solchen Kugel
beträgt, wenn sie aus sehr reinem Kupfer hergestellt ist, etwa
, das heißt eine Schwingung von einigen Kilohertz klingt erst nach einigen Minuten ab. Kühlen wir diese Kugel auf
mK, was auch ein nicht ganz unerhebliches Problem ist, so ergibt sich die Abschätzung
m
þ ý
ÿ
ü û
L
(a)
(b)
~
õ ã
Abbildung 20.3: Die Projekte GEO 600 und LISA. GEO 600 ist ein zweiarmiges MichelsonMorley-Interferometer (a). LISA besteht aus drei Satelliten, die in einem gleichseitigen Dreieck
angeordnet sind (b).
(20.54)
×
Geben wir zur Sicherheit noch einen Faktor
hinzu, so folgt daraus, dass wir mit einer solchen
Antenne in der Lage sein sollten, Gravitationswellen zu messen, deren Frequenz im Bereich von
einigen Kilohertz liegt, und deren die Amplitude größer als
ist.
Das war auch die Größenordnung der Amplitude eine Gravitationswelle, die von einem Doppelsternsystem ausgesandt wird. Allerdings ist der Frequenzbereich ein ganz anderer, so dass
die Kupferkugel sicher nicht in der Lage ist, eine solche Welle zu empfangen. Die Wellen, die
beim Kollaps von Sternen oder anderen einmaligen Ereignissen entstehen, sind aber durchaus im
Frequenzbereich von einigen Kilohertz zu finden.
Der Kollaps eines Doppelsternsystems irgendwo in der Milchstraße oder in einer Nachbargalaxie sollte also in der Lage sein, die Kugel wie eine Glocke zu einer Schwingung anzuregen.
Dasselbe gilt für den Kollaps eines Sterns zu einem schwarzen Loch. Wenn man dann noch das
Glück hat, dasselbe Ereignis mit optischen Teleskopen zu beobachten, hätte man einen sicheren
Beleg dafür, dass es sich tatsächlich um eine Gravitationswelle von diesem Ereignis handelt. Sie
müsste gleichzeitig mit den elektromagnetischen Wellen ankommen, denn beide breiten sich mit
Lichtgeschwindigkeit aus.
Aufgabe 20.8 Wenn die Amplitude einer Gravitationswelle groß genug w äre, konnte man sie mit
“bloßen Ohren” hören. Wie würde sich der Kollaps eines Doppelsternsystems, wie wir ihn am
Ende des letzten Abschnitts beschrieben haben, anhören?
2 Ein
solches Projekt wurde tatsächlich geplant,
(http://www.nikhef.nl/pub/projects/grail/)
wird
jedoch
vorerst
wohl
nicht
verwirklicht
Interferometer
Die zweite und vielleicht etwas elegantere Möglichkeit, Gravitationswellen zu messen, beruht
unmittelbar auf einer Längenmessung. Da die Längenänderungen in zwei zueinander zur Ausbreitungsrichtung der Welle senkrechte Richtungen erfolgen, lassen sie sich sehr geschickt mit
Hilfe eines Interferometers messen.
Man verwendet dazu im wesentlich das gleiche Gerät, mit dem Michelson und Morley der
Nachweis der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit gelang. Wir kennen dieses Interferometer bereits aus Abbildung 2.1. Wie kann man damit eine Gravitationswelle nachweisen? Die Voraussetzung ist, dass man die optische Apparatur und die Spiegel so aufh ängt, dass die frei fallen. Das
ist natürlich ein Widerspruch in sich, aber wir können das aufh ängen so interpretieren, dass damit
nur das statische Gravitationsfeld der Erde kompensiert wird.
Nehmen wir also an, wir hätten ein Interferometer wie das in Abbildung 20.3(a) gezeigte.
Ein Laserstrahl läuft durch einen Strahlteiler, dann entlang der beiden Arme, an deren Ende sich
jeweils ein Spiegel befindet, und schließlich zurück zum Strahlteiler, wo er mit sich selbst zur
Interferenz gebracht wird. Wenn wir die Armlängen so einstellen, dass sich am Ausgang gerade
eine destruktive Interferenz einstellt, dann können wir eine Längenänderung in einem der beiden
Arme dadurch nachweisen, dass die destruktive Interferenz aufgehoben wird, also ein Signal am
Ausgang nachgewiesen wird.
257
!
d c
g
rendes statisches Gravitationsfeld. Außerdem können die Armlängen fast beliebig lang sein. Es
ist nicht erforderlich, ein Vakuumröhre für die Laserstahlen zu installieren. Tatsächlich soll das
Weltrauminterferometer nicht in einer Erdumlaufbahn stationiert werden, sondern in einer Sonnenumlaufbahn.
auf ihrer Bahn folgen, und die Armlänge soll etwa
Es soll der Erde im Abstand von etwa
m betragen, also fünf Millionen Kilometer oder
des Abstandes von der Erde zur Sonne.
In jedem der drei Satelliten befindet sich ein Laser und ein Strahlteiler, sowie die Spiegel, die die
Enden der von der anderen beiden Satelliten ausgehenden Arme bilden. Mit ähnlichen optischen
und elektronischen Tricks soll es mit diesem Interferometer möglich sein, Wellen mit Amplituden
von bis zu
im Frequenzbereich von einigen hundertstel Hertz, also Schwingungen im Minutenbereich zu messen. Das sind die Wellen, die von typischen Doppelsternsystemen emittiert
werden, wie wir sie weiter oben beschreiben haben.
W
ð
)
ó
C
Aufgabe 20.9 Um sich die Größenordnungen des geplanten Weltrauminterferometers klar zu machen, berechne man die Zeit, die ein Photon benötigt, um einmal vom Satelliten zum Satelliten
und wieder zurück zu laufen, um mit seinen quantenmechanischen Zwilling, der inzwischen
zum Satelliten und zurück gelaufen ist, zu interferieren. Man vergleiche diese Laufzeit mit der
zu erwartenden Schwingungsperiode einer Gravitationswelle.
ã
Wenn sowohl die beiden Spiegel als auch der Strahlteiler mit der gesamten optischen Apparatur
frei fallen, so befinden sie sich sich an in Ruhe relativ zu einem geeignet gewählten Koordina, so wie wir dies weiter oben diskutiert haben. Beim Durchlauf einer Gravitensystem
tationswellen mit der richtigen Polarisation ändern sich dann die metrischen Abstände zwischen
den Spiegeln und dem Strahlteiler. Und zwar wird einmal pro Schwingungsperiode der eine und
einmal der andere Arm länger.
Das Durchlaufen einer Gravitationswelle bewirkt am Ausgang des Interferometers ein periodisches Signal. Dieses Signal kann unmittelbar gemessen werden. Anders als bei einem Festkörper
ist es hier kein Resonanzeffekt, der die Ankopplung an die Gravitationswelle bewirkt. Die Interferometerantenne ist nicht auf eine bestimmte Frequenz abgestimmt. Es ist mit ihr im Prinzip
möglich, den Phasenverlauf einer Welle direkt zu messen. Dafür entfällt der nützliche Effekt, dass
sich eine resonante Schwingung “aufschaukeln” kann, was bei einem Festkörper die Empfindlichkeit bei der Resonanzfrequenz deutlich erhöht.
Zur Zeit sind mehrere solcher Geräte in Bau, zum Teil sogar schon im Probebetrieb. 3 Wir
wollen auch hier eine Abschätzung der Empfindlichkeit vornehmen. Allerdings beruht diese zu
einem nicht unerheblichen Teil auf diversen optischen und elektronischen Tricks, auf die wir hier
nicht eingehen können. Wir können also hier nur sehr grob die Größenordnung ermitteln.
Das Projekt GEO 600, das in der Nähe von Hannover gebaut wird, hat eine Armlänge von
m. Allerdings läuft der Laserstahl nicht nur einmal hin und zurück, sondern wird etwa
Mal reflektiert, so dass sich eine effektive Armlänge von
m ergibt. Für die Wellenlänge
des Laserlichts setzen wir
nm
m. Wenn wir annehmen, dass bereits eine Phasenverschiebung von einer tausendstel Wellenlänge nachweisbar ist, so entspricht das eine relativen
.
Längenänderung der beiden Arme von
Offenbar genügt das noch nicht, um die zu erwartenden Gravitationswellen mit Amplituden um
zu messen. Wie gesagt, lässt sich die Empfindlichkeit jedoch durch verschiedene optische
und elektronische Tricks erhöhen. Im wesentlichen wird dabei die Bandbreite des Interferometers eingeschränkt, indem man durch eine geschickte Rückkopplung des Signals eine Resonanz
erzeugt. Damit soll es möglich sein, Signale bis zu Amplituden von
zu messen, und bei
stabilen Quellen konstanter Frequenz sogar bis
. Allerdings geht dadurch der Vorteil eines
Interferometers, die Phase der Welle direkt zu messen, wieder verloren.
Zwei weitere solche Projekte werden in Italien und in der USA gebaut. Ein weiteres, ganz anderes Projekt ist im Weltraum geplant.4. Es handelt sich ebenfalls um ein Interferometer, jedoch
nicht mit zwei, sondern mit drei Armen, die ein gleichseitiges Dreieck bilden, wie es in Abbildung 20.3 dargestellt ist. Der Vorteil dieses Anordnung ist, dass dieses Interferometer für jede
mögliche Polarisation einer Gravitationswelle ist.
Außerdem liegen zwei weitere Vorteile eines Weltrauminterferometer auf der Hand. Hier sind
die Spiegel und die optischen Instrumente tatsächlich im freien Fall. Es gibt kein zu eliminie-
ó
ž
I
S
÷ I
6
ž
ž
3 Aktuelle
Informationen gibt es auf den Webseiten
http://www.geo600.uni-hannover.de.
4 Siehe http://sci.esa.int/home/lisa/.
der
einzelnen
Projekte,
zum
Beispiel
bei
Exakte Lösungen
æ
Zum Abschluss dieses Kapitels wollen wir zeigen, dass es auch exakte Lösungen der EinsteinGleichung gibt, die wir als Gravitationswellen interpretieren können. Die Amplituden solcher
Wellen können beliebig groß werden. Gravitationswellen existieren also nicht nur als Lösungen der linearisierten Theorie, sondern auch als Lösungen der vollen, nichtlinearen EinsteinGleichung. Es handelt sich dabei um eine der wenigen bekannten exakten Lösungen der EinsteinGleichung, von denen wir bisher nur die Schwarzschild-Metrik kennen.
Da wir an dieser Stelle allerdings die lineare Näherung verlassen, gilt für diese Lösungen kein
Superpositionsprinzip mehr. Es ist daher nicht mehr möglich, Wellen verschiedener Frequenz
und Ausbreitungsrichtung zu überlagern. Solche Wellen würden, anders als elektromagnetische
Wellen, miteinander wechselwirken. Nur solange ihre Amplituden hinreichend klein sind, durchdringen sich Gravitationswellen ohne einander merklich zu beeinflussen.
Anschaulich können wir uns das so vorstellen, dass eine Gravitationswelle selbst Energie und
Impuls trägt, so dass sie wiederum ein eigenes Gravitationsfeld erzeugt bzw. das Feld einer anderen Welle spürt. Es sind sogar sehr extreme Situationen denkbar, in denen mehrere “kollidierende” Gravitationswellen ein schwarzes Loch oder eine andere singuläre Struktur bilden. Auf
solche Phänomene werden wir hier allerdings nicht eingehen.
Wir werden hier nur das einfachste Beispiel diskutieren, nämlich eine einzelne, ebene Welle, deren Profil jedoch beliebig vorgegeben werden kann. Um einen geeigneten Ansatz für die
Metrik zu finden, betrachten wir zunächst eine entsprechende Lösung der linearisierten EinsteinGleichung, nämlich eine ebene Welle der Polarisation , die sich in -Richtung ausbreitet. Die
258
allgemeinste Welle dieser Art ist durch
!
d c
H3 Aufgabe 20.10 Man zeige, dass nur die folgenden Christoffel-Symbole, dargestellt in Lichtkegel, von Null verschieden sind,
koordinaten

Ñ
!
!
Ñ
f
Of
W
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(20.55)
œ
¸
é
œ
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(20.60)
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H !
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L é é L U U
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W
}
H !
L é!
H
¹
! Ñ
Ñ
O .>
gegeben. Alle anderen Komponenten von
verschwinden. Die Funktion
kann beliebig
vorgegeben werden. Sie bestimmt das Profil der Welle. Zum Beispiel können wir
setzen für
außerhalb eines bestimmten, endlichen Intervalls, um eine Stoßwelle endlicher
für eine Welle fester Frequenz.
Ausdehnung zu beschreiben, oder
Wenn wir die zugehörige Metrik als Linienelement schreiben, so ergibt sich unter Vernachlässigung von Termen der Ordnung
O
!
d c
d !
D
U
é
c
D
!
D
Ÿ
(20.56)
Daraus ergibt sich unmittelbar, dass für die angegebene Weltlinie die Geodätengleichung (20.59)
tatsächlich erfüllt ist.
Das Koordinatensystem
hat also eine unmittelbare physikalische Interpretation. Es
ist durch eine Schar von frei fallenden Testteilchen definiert, und die Funktionen
und
bestimmen die Abstände zwischen Teilchen in der
-Ebenen, die sich beim Durchlauf einer
Welle periodisch ändern.
Um die Einstein-Gleichung zu lösen, benötigen wir den Einstein-Tensor.
H !
U
H!
é
!
d c mit
!
Ñ
!
U
!
Ñ
D
!
é
(20.57)
d c U
é
!
Aufgabe 20.11 Man berechne aus (20.60) den Krümmungstensor, den Ricci-Tensor und schließlich den Einstein-Tensor. Dieser hat nur eine einzige nicht verschwindende Komponente, n ämlich
Ö
H ! H !
L U U
¸
¸
U
é
H ! D H !
L é éÕ
Die “Wellengleichung”, die die Funktionen
erfüllen müssen, lautet also
U
é
H!
U ! H
H ! L U
é
und
(20.61)
H ! D H !
L é é
(20.62)
H !
U
!
d c
H!
Ñ
!
d c
H!
\
Als Test kann man leicht nachprüfen wir, dass die bereits bekannte Lösung (20.57) diese Gleichung tatsächlich für hinreichend kleine
löst. Aber wie sehen die exakten Lösungen aus?
parametrisiert
Die Allgemeine Lösung von (20.62) kann offenbar durch eine dritte Funktion
werden, so dass
(20.63)
H !
é
H!
\
H !
L é
H !
U
H!
\
H !
L U
Die Funktionen und geben an, wie sich die Abstände zwischen Punkten in der
-Ebenen
beim Durchlauf der Welle ändern. Im Prinzip sind das genau die Funktionen, die wir mit dem
Interferometer in Abbildung 20.3(a) messen würden.
Diese Metrik werden wir jetzt als Ansatz in die Einstein-Gleichung einsetzen. Jedoch werden
wir dabei nicht mehr die Annahme machen, dass die Funktionen und nur wenig von Eins abweichen. Wir suchen also eine Lösung der Einstein-Gleichung, die die typischen Eigenschaften
einer Gravitationswelle hat, deren Amplitude aber beliebig groß sein kann. Die einzige Bedingung, die wir an die Funktionen und stellen müssen, ist, dass beide positiv sind. Sonst liegt,
wie wir gleich sehen werden, eine Koordinatensingularität vor.
Bevor wir die Einstein-Gleichung lösen, wollen wir jedoch eine wichtige Eigenschaften der
diskutieren. Es hat genau die gleiche EiMetrik (20.56), bzw. des Koordinatensystems
genschaft wie das entsprechende Koordinatensystem in der linearisierten Theorie. Es wird durch
eine Schar von frei fallenden Teilchen definiert, das heißt die Weltlinien
const sind
zeitartige Geodäten und ist die Eigenzeit auf diesen Weltlinien.
Um das zu zeigen, schreiben wir die Metrik zunächst ein wenig um, indem wir Lichtkegelkound
einführen,
ordinaten
D
H
3
H!
\
Wie können also das Profil
der Welle, und zusätzlich noch je zwei Anfangsbedingungen für
und
vorgeben.
Doch bevor wir die allgemeine Lösung diskutieren, betrachten wir erst ein paar Spezialfälle.
und
. Dann ist die Raumzeit flach, das heißt
Die einfachste Lösung ist offenbar
es ist gar keine Gravitationswelle vorhanden. Eine weiter Schar von einfachen Lösungen ergibt
sich, wenn wir
setzen. Es ist dann
H!
H !
U
H !
é
6
6
¹
¸
; ;
und
U
é
Die 4-Geschwindigkeit eines ruhenden Teilchens hat dann die Komponenten
. Um zu zeigen, dass dann die Geodätengleichung
H !
é
d
D
H !
U
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c
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H
Ÿ
(20.58)
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; œ6
;
H!
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A6
; 6
;> A
. }>
(20.59)
S
]H D
H !
U
ï
H
D
H !
é
erfüllt ist, brauchen wir die Christoffel-Symbole.
(20.64)
S
259
]
ï

wobei , , , und Konstanten sind. Die Raumzeit ist dann auch flach, jedoch handelt es sich um
ein etwas ungewöhnliches Koordinatensystem auf dem Minkowski-Raum.
H !
é
Aufgabe 20.12 Man zeige, dass die Metrik
3
H
S
d !
H
D
D H3
]H D c
D
!
ï
Ÿ
(20.65)
H+
in die gewöhnliche Minkowski-Metrik übergeht,
H
Milchstraße
andere Galaxie
H
[ d
[ Dc
[
[ H3 D
(20.66)
Ÿ
H+
H
H
flach
H !
U
wenn wir die folgende Koordinatentransformation durchführen,
H
(20.67)
S !
]H D
]
! d !
Sd
ï
]H D H D c
[

d c 3
ï! [ 3
H
D H [ c [ H
Welle
H
flach
(b)
H+
H
(a)
H
Wie können wir das verstehen? Betrachten wir die Weltlinie eines Teilchens, das relativ zu dem
ruht. Wir wissen, dass seine Weltlinie eine zeitartige Geodäte ist.
Koordinatensystem
Wenn die Eigenzeit des Teilchens ist, wird ist die Weltlinie in Lichtkegelkoordinaten durch
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d c
n
d
d
3
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H
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[ d c
+ [ 3 [ H c
+ c
+
+
, so ergibt sich
—0
—
n
D
&
gegeben. Transformieren wir diese Weltlinie in das Koordinatensystem
Abbildung 20.4: Eine Stoßwelle läuft durch eine ansonsten flache Raumzeit. Die Welle nimmt
der Lichtkegelkoordinate ein. Die Funktionen
einen hell unterlegten Bereich
und
bestimmen das Profil der Welle. Im allgemeinen wird die Raumzeit nicht durch
ein einziges Koordinatensystem abgedeckt, da an einer Stelle
nach dem Durchlauf der
Welle eine Koordinatensingularität auftritt.
(20.68)
—
—
È
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
+
c
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D
3
n
[ H
(20.69)
n
Entscheidend ist hier nur, dass alle Koordinaten lineare Funktionen von sind. Das muss natürlich
so sein, denn die Weltlinie ist eine zeitartige Geodäte und
ist ein kartesisches Koordinatensystem. Die Weltlinie ist eine zeitartige Gerade im Minkowski-Raum.
Betrachten wir jedoch die 4-Geschwindigkeiten der einzelnen Teilchen, so sind diese nicht
gleich. Das heißt, die Teilchen bewegen sich relativ zueinander. Das Koordinatensystem
wird noch immer durch eine Schar von frei fallenden Teilchen definiert. Aber da diese
nicht relativ zueinander in Ruhe sind, ergibt sich kein gewöhnliches, kartesisches Koordinatensystem im Minkowski-Raum. Statt dessen nimmt die Metrik die etwas ungewöhnliche Form (20.65)
an.
Offenbar ist diese Metrik an den Stellen
und
nicht mehr wohldefiniert. Dort liegt eine Koordinatensingularität vor, denn an diesen Stellen in der Raumzeit stoßen die Teilchen zusammen. Das so definierte Koordinatensystem deckt also nur einen Teil des
Minkowski-Raumes ab. Wir hatten dieses Problem bereits weiter oben angesprochen. Wenn ein
Koordinatensystem durch frei fallen Teilchen aufgespannt wird, kann es passieren, dass eine Koordinatensingularität auftritt, weil die Teilchen zusammenstoßen. Ein Punkt in Raum ist dann
nicht mehr eindeutig durch ein bestimmtes Teilchen definiert.
Aber was hat das alles mit Gravitationswellen zu tun? Noch nichts, aber wir werden gleich
sehen, dass dieses Problem typischerweise auftreten wird, wenn wir eine allgemeine Lösung der
Gleichung (20.62) betrachten, die eine Gravitationswelle beschreibt.
[ !
[ c
[ d
[ 3H d c
H3 !
!
H3 !
])
S
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H
H
¤
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\
¤
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H
H !
U
H !
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H
¤
H
260
Es ist leider nicht möglich, die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung explizit durch
einfache Funktionen auszudrücken. Trotzdem können wir deren Verhalten leicht verstehen. Wir
wollen versuchen, eine möglichst realistische Situation zu beschreiben. Wir nehmen an, dass wir
zunächst eine flache Raumzeit vorliegen haben. Durch diese läuft dann eine Gravitationswelle
mit einem beliebig vorgegeben Profil, aber mit einer endlichen Breite. Danach ist die Raumzeit
wieder flach.
In Abbildung 20.4(a) ist ein solcher Vorgang in einem Raum-Zeit-Diagramm in der
-Ebene dargestellt. Die Welle läuft mit Lichtgeschwindigkeit von links nach rechts.
bzw.
Sie nimmt einen endlich breiten Streifen
ein. Außerhalb dieses Streifens ist die
-Ebene steht in jedem Punkt dieses Diagramms zur
-Ebene senkRaumzeit flach. Die
recht. Außerhalb des hell unterlegten Streifens hat sie die gewöhnliche Geometrie, innerhalb des
Streifens wird sie durch die Gravitationswelle deformiert.
Wie müssen wir nun die Funktionen
und
, bzw. die Funktion
in (20.63) wählen?
Für
soll die Raumzeit flach sein. Dort setzen wir
und fixieren die Anfangsbedingungen so, dass
und
ist. Unser Koordinatensystem im flachen Raum wird also
durch eine Schar von relativ zueinander ruhenden, frei fallenden Teilchen definiert.
für
Nun kommt die Gravitationswelle. Wir geben ihr Profil beliebig vor, indem wir eine Funktion
[
d
d
Milchstraße
andere Galaxie
[ c
c
H!
U +
H
H ! H
é
Relativ zu diesem Koordinatensystem bewegen sich jedoch die Teilchen, so dass sich für den
Beobachter das Bild in Abbildung 20.5(b) ergibt. Für ihn stellt sich die Situation so dar, als hätte
die Gravitationswelle auf die Teilchen einen Impuls übertragen, der umso größer ist, je weiter
sich das Teilchen von ihm entfernt befindet. In Wirklichkeit hat sich aber nur die Geometrie der
Raumzeit geändert. Die Gravitationswelle ist eine Art Knick in der ansonsten flachen Raumzeit.
Er bewirkt, dass sich Teilchen, die vorher relativ zueinander ruhten, nun plötzlich bewegen, obwohl jedes einzelne Teilchen auf einer Geodäten läuft.
Wenn eine der beiden Funktion, also
oder
, nach dem Durchlauf der Welle monoton
fällt, erreichen wir irgendwann eine Stelle
, an der diese Funktion Null wird. Das ist die
Stelle, an der die Teilchen zusammenstoßen. Dort liegt dann eine Koordinatensingularität vor, das
heißt über diese Stelle hinaus können wir das ursprüngliche Koordinatensystem nicht fortsetzen.
Jedoch ist diese Singularität völlig harmlos, denn in dem Bereich
können wir
bereits zu dem neuen Koordinatensystem
übergehen, und das können wir zu beliebig
großen fortsetzen. Die gesamte Raumzeit wird also in jedem Fall durch zwei Karten vollständig
abgedeckt.
Einen solchen Effekt sehen wir in der linearisierten Theorie nicht, denn dort kehrt das Gravitationsfeld nach dem Durchlauf einer Welle stets auf den Wert
zurück, ohne dass wir das
Koordinatensystem wechseln müssen. Das liegt daran, dass die Abweichung der Metrik (20.65)
nicht mehr als leicht gekrümmt betrachtet werden kann, obwohl sie ja tatsächlich sogar flach ist.
Sie weicht aber stark von der Hintergrundmetrik ab, und repräsentiert deshalb in diesem Sinne
kein schwaches Gravitationsfeld.
Was wir hier sehen, und was in der linearisierten Theorie nicht beschrieben werden kann, ist,
wie eine Gravitationswelle ganz explizit die Information über die sich ändernde die Geometrie der
Raumzeit transportiert. Nehmen wir an, wir befinden uns in einem kleinen Raumschiff, das wir
als lokales Inertialsystem betrachten können, in der Nähe einer sehr großen stabilen Materieansammlung. Plötzlich wird dies Materieansammlung instabil und ändert ihre Konfiguration. Dann
wird die Information über das sich ändernde Gravitationsfeld in Form einer Gravitationswelle,
die wir uns in diesem Fall als ein Schockwelle vorstellen können, nach außen transportiert.
Wenn die Schockwelle unser Raumschiff erreicht, können wir sie näherungsweise als ebene
Welle betrachten, denn unser Raumschiff ist klein im Vergleich zu den typischen Längenskalen
der Materieansammlung. Aber irgendwie bekommt unser Raumschiff die Änderung der Geometrie der Raumzeit mit. Es knarrt möglicherweise ein wenig wegen der Spannung, die entsteht, weil
sich seine Wände plötzlich nicht mehr relativ zueinander in Ruhe befinden. So, als hätte jemand
plötzlich gegen das Raumschiff gedrückt oder an ihm gezogen. Nach dem Durchlauf der Welle
muss sich das Raumschiff erst mit neuen Geometrie der Raumzeit arrangieren. Wir können auch
etwas anschaulicher sagen, dass es sich ein neues lokales Inertialsystem suchen muss.
Eine Gravitationswelle tut also genau das, was auch eine elektromagnetische Welle tut. Sie
transportiert die Information darüber, dass sich das Feld ändert, und dieser Transport geschieht
mit Lichtgeschwindigkeit.
(b)
(a)
H+
¤
H
¤
H
Š Œ
[ !
[ d c
[
[ Abbildung 20.5: Eine Ansammlung von Teilchen in der
-Ebene, die vor dem Durchlauf
einer Gravitationswelle relativ zueinander ruhen (a). Nachdem die Welle durchgelaufen ist, bewegen sich die Teilchen relativ zueinander (b).
Ž
ˆ
H
O .>
H
¤
H
¤
H
H!
\
wählen, die für
von Null verscheiden ist. Es ergibt sich dann das in Abbildung 20.4(b) gezeigte Verhalten der Funktionen
und
. Im Bereich
sind beide
oszillieren sie gegeneinander, aber nicht exakt
Funktionen gleich Eins. Im Intervall
gegeneinander, denn die zu integrierenden Differentialgleichungen (20.63) sind nicht linear.
Für
soll die Raumzeit wieder flach sein, das heißt dort setzen wir wieder
.
Nun wird es aber im allgemeinen nicht so sein, dass dort wieder
und
ist.
Im allgemeinen haben die Funktionen
und
an der Stelle
irgendeinen Wert
und irgendeine erste Ableitung. Wenn wir sie dann linear fortsetzen, ergibt sich typischerweise
der Verlauf in Abbildung 20.4(b). Wegen der gegenläufigen Oszillation wird in der Regel eine
Funktion steigen, die andere fallen.
Es liegt also genau der Fall vor, den wir gerade diskutiert haben. Nach dem Durchlauf der
ist nicht
Gravitationswelle ist die Raumzeit wieder flach, aber das Koordinatensystem
mehr kartesisch. Da es durch eine Schar von frei fallenden Teilchen aufgespannt wird, heißt das,
dass sich diese Teilchen jetzt relativ zueinander bewegen.
Für einen ruhenden Beobachter stellt sich das Bild zunächst wie in Abbildung 20.5(a). Vor dem
Durchlauf der Welle sieht er eine Schar von ruhenden Teilchen in der
-Ebene. Nach dem
Durchlauf der Welle sind die Teilchen noch immer relativ zum Koordinatensystem
in Ruhe, aber dieses ist keine kartesisches Koordinatensystem mehr und somit nicht das Bezugsystem des Beobachters. Stattdessen müssen wir zu einem neuen Inertialsystem
übergehen, welches sich aus der Koordinatentransformation (20.67) ergibt. Dies ist jetzt das Inertialsystem eines ruhenden Beobachters.
H
¤
H
H !
U
H!
é H
¤
H
¤
H
H !
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é
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H
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j
H
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d c
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d c H d
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[ c
[ d
[ Aufgabe 20.13 Man zeige, dass die letzte Aussage nicht nur im Rahmen der linearen N äherung
261
H
; d
;
;
gilt, sondern auch für die hier konstruierte exakte Lösung. Man betrachte dazu ein masseloses
Testteilchen, dass die mit der Welle mitbewegt, also auf einer Weltlinie mit
und
, so dass es stets die gleiche Phase der Welle sieht. Man zeige, dass dies eine lichtartige
Geodäte ist.
c
Die Motivation für diese zunächst etwas merkwürdige Definition einer Längeneinheit ergibt sich
aus einer Methode zur Entfernungsbestimmung von Sternen in unserer Nähe.
; 3
a
—
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”
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”
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b˜™
a
Aufgabe 20.14 Wie ändert sich das Profil einer Gravitationswelle unter der Koordinatentransformation
(20.70)
À
DÀ
À
DÀ
Welche physikalische Interpretation hat diese Transformation?
262
ó
ó
W
ž i
Um ein möglichst einfaches Modell für das Universum als Ganzes zu entwerfen, müssen wir uns
zunächst überlegen, welche grundsätzlichen Eigenschaften die Raumzeit hat, wenn wir über ihre
Struktur im Detail hinwegsehen. In unserer nähere Umgebung finden wir allerlei Strukturen: die
Planeten, das Sonnensystem, die Milchstraße, ihre Nachbargalaxien, schließlich weitere Galaxien, die sich wieder zu größeren Strukturen gruppieren, den sogenannten Galaxienhaufen.
Um die Größenordnung dieser Strukturen zu beschreiben, führen wir eine in der Kosmologie
gebräuchlich Längeneinheit ein, die Paralaxensekunde. Eine Paralaxensekunde, abgekürzt “pc”,
ist die Entfernung, aus der der Abstand zwischen Erde und Sonne gerade eine Bogensekunde
beträgt. Das sind etwa
pc
m
ly
(21.1)
÷ Das kosmologische Prinzip
ž
Was sagt die allgemeine Relativitätstheorie über das Universum als Ganzes aus? Bisher haben
wir nur einzelne Objekte wie Sterne oder schwarze Löcher, sowie die Bahnen von Testkörpern in
deren Nähe betrachtet. Wir sind dabei stets davon ausgegangen, dass die Raumzeit in genügend
großer Entfernung von solchen Objekten flach wird, weil sich dort keine Materie mehr befindet.
Die schwache Krümmung, die dort vorliegt, können wir durch ein linearisiertes Gravitationsfeld
beschreiben. Wir sehen dort im wesentlichen nur noch ein Newtonsches Gravitationspotential,
und möglicherweise ein paar auslaufende Gravitationswellen.
Aber wie sieht das Weltall auf einer sehr viel größeren Skala aus, wenn wir alle diese “Details”
ignorieren, also die einzelnen Sterne und Galaxien übersehen? Dies ist die Frage, mit der sich die
Kosmologie beschäftigt. Sie ist das dritte wichtige Standbein der allgemeinen Relativitätstheorie,
neben den Beobachtungen im Sonnensystem und den Laborversuchen, die wir in den vorangegangenen Kapiteln ausführlich beschrieben haben. Auch über das Weltall im großen Maßstab macht
die allgemeine Relativitätstheorie Aussagen, die sich durch Beobachtungen bestätigen oder widerlegen lassen sollten.
óó
Da drei Paralaxensekunden etwa zehn Lichtjahre sind, gäbe es eigentlich keinen Grund, eine
solche Einheit einzuführen. Aber sie ist eben sehr gebräuchlich, und deshalb werden wir sie hier
auch verwenden.
Unsere nächsten Nachbarsterne haben Entfernungen von einigen pc. Der Durchmesser der
kpc von uns entfernt. GaMilchstraße beträgt etwa kpc. Die Andromeda-Galaxie ist etwa
laxienhaufen enthalten einige hundertausend Galaxien und erreichen Abmessungen von einigen
Mpc, also
bis
Lichtjahren. Das sind die Größenordnungen, in denen die Materie in sehr
inhomogener Form auftritt.
Anders als Galaxien sind Galaxienhaufen aber keine deutlich voneinander abgegrenzten Objekte mehr. Es handelt sich eher um lokale Dichteschwankungen in einer ansonsten homogenen
“Staubwolke”, deren “Staubteilchen” die Galaxien sind. Darüber hinaus findet man keine weiteren Strukturen mehr. Wenn wir das Weltall auf einer Skala von mehreren
Mpc anschauen, so
sehen wir im wesentlichen einen gleichmäßig mit Materie gefüllten Raum.
Um das Universum als Ganzes zu beschreiben, werden wir deshalb annehmen, dass es sich um
einen gleichmäßig mit Materie gefüllten Raum handelt. Es gibt keinen besonders ausgezeichneten
Ort, insbesondere kein Zentrum, um das alles kreist, oder etwas derartiges. Wenn wir über eine
hinreichend große Skala mitteln, sieht das Universum überall gleich aus.
Eine weitere wichtige Beobachtung, die wir von der Erde aus machen können, ist, dass es auch
keine besonders ausgezeichneten Richtungen gibt. Der Himmel ist zwar nicht gleichmäßig mit
Sternen gefüllt, aber auch das ist wieder nur eine lokale Dichteschwankung. Nur die Sterne in der
Milchstraße und die Galaxien in ihrer Nähe häufen sich in bestimmten Arealen am Nachthimmel.
Wenn wir die weiter entfernten Galaxien betrachten und sorgfältig zählen, so finden wir, dass
diese gleichmäßig über alle “Himmelsrichtungen” verteilt sind.
Der Raum ist also nicht nur homogen, sondern auch isotrop. Er ist dann sogar isotrop bezüglich
aller Orte. Auch auf einem Planeten in einer fernen Galaxie würden wir, wie auf der Erde, einen
gleichmäßig mit anderen Galaxien gefüllten Himmel sehen. Wäre dem nicht so, gäbe es nämlich,
im Widerspruch zu der ersten Annahme, doch ausgezeichnete Orte im Weltall. Nämlich die, von
denen aus das Weltall isotrop erscheint.
Die Annahme, dass der Raum homogen und isotrop ist, wird meist als das kosmologische Prinzip bezeichnet, manchmal auch als Kopernikanisches Prinzip. Es besagt im wesentlichen, dass
es reiner Zufall ist, dass wir gerade auf der Erde leben, in diesem Sonnensystem und in dieser
Galaxie. Genauso gut könnten wir irgendwo anders leben, ohne dass wir wesentlich andere Beobachtungen machen würden, solange wir nur das Universum im Großen anschauen.
$
21 Kosmologie
Aufgabe 21.1 Wie kann man den Abstand zu einem Stern in der Nachbarschaft der Sonne bestimmen, wenn man zwei Bilder derselben Himmelsregion vorliegen hat, aufgenommen im Abstand
von einem halben Jahr, wobei der Stern jeweils im rechten Winkel zur Sonne stand? Bis zu welcher
Entfernung, in etwa, liefert dieses Verfahren ein einigermaßen genaues Ergebnis?
const sind
wählen wir so, dass die Materie relativ zum Koordinatensystem ruht. Die Kurven
also die Weltlinien von Beobachtern, die sich mit der Materie mitbewegen. Jede solche Kurve
repräsentiert im Sinne des kosmologischen Prinzips einen Ort im Raum.
Nun besagt das kosmologische Prinzip, dass alle Orte gleichberechtigt sind, das heißt jeder
const bewegt, macht die gleichen BeobachtunBeobachter, der sich entlang einer Weltlinie
gen. Er sieht insbesondere die gleichen Prozesse in seiner Umgebung ablaufen, also die gleiche
zeitliche Entwicklung des Universums. Daraus folgt, dass wir jedem solchen Beobachter eine
Uhr zuordnen können, und dass wir alle diese Uhren miteinander synchronisieren können. Und
zwar so, dass die verschiedenen Beobachter jeweils zur selben Uhrzeit denselben Zustand des
Universums in ihrer Umgebung sehen.
Mit anderen Worten, wir können die Zeitkoordinate so wählen, dass sie auf jeder Weltlinie
const die Eigenzeit eines ruhenden Beobachters repräsentiert, und dass die Hyperflächen
const jeweils den Raum zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Entwicklung des Universums
darstellen. Diese Hyperflächen sind es dann, von denen wir verlangen müssen, dass sie homogen
und isotrop sind, und zwar zu allen Zeiten.
Jetzt müssen wir diese Schlussfolgerungen nur noch in einen konkreten Ansatz für die Metrik
übersetzen. Da sich das Koordinatensystem mit der Materie mitbewegt, und da die Eigenzeit
eines ebenfalls mitbewegten Beobachters ist, ist die 4-Geschwindigkeit der Materie durch
gegeben. Da dies ein positiv zeitartiger Einheitsvektor ist, gilt
. Das ergibt sich
natürlich auch direkt aus der Tatsache, dass die Eigenzeit eines relativ zum Koordinatensystem
ruhenden Beobachters ist.
Der Raum wird in jedem Ereignis durch die Basisvektoren aufgespannt, die zur Hyperfläche
const tangential sind. Da andererseits im lokalen Bezugsystem des mitbewegten Beobachters
der Raum zur Zeit orthogonal sein muss, ergibt sich
. Folglich gilt für das
Linienelement
(21.2)
Kosmologisches Prinzip: Das Universum ist räumlich homogen und isotrop. Es gibt
weder ausgezeichnete Orte noch ausgezeichnete Richtungen im Raum.
Aus dieser Annahme werden wir im nächsten Abschnitt einen Ansatz für die Geometrie der
Raumzeit ableiten. Allerdings ergibt sich zuvor noch ein Problem. Was bedeutet eigentlich Raum?
A priori gibt es nur eine Raumzeit, und was unter dem Raum zu verstehen ist, hängt vom gewählten Bezugsystem ab, also vom jeweiligen Bewegungszustand des Beobachters.
Ist das kosmologische Prinzip so überhaupt sinnvoll? Müssten wir nicht verlangen, dass nicht
nur der Raum, sondern die Raumzeit als Ganzes homogen und isotrop ist, damit es sich um eine
vom Bezugsystem unabhängige Aussage handelt? Diese Vermutung liegt zunächst nahe. Dem ist
aber nicht so. Es gibt nämlich ein bevorzugtes Bezugsystem, und dieses definiert, was Raum und
Zeit ist. Da wie annehmen, dass die Raumzeit mit Materie gefüllt ist, existiert in jedem Ereignis
ein lokales Ruhesystem der Materie, also ein besonderes lokales Inertialsystem.
Wenn wir über Raum und Zeit sprechen, ist stets der Raum und die Zeit aus der Sicht eines lokal
mit der Materie mitbewegten Beobachters gemeint. Nur ein solcher Beobachter sieht einen homogenen und isotropen Raum. Für einen relativ zur Materie bewegten Beobachter muss das nicht
der Fall sein. Es kann gar nicht der Fall sein, dass zwei relativ zueinander bewegte Beobachter
beide einen isotropen Raum sehen.
ƒ0
ƒ0
ƒ0
00 U
ƒ2
Aufgabe 21.2 Zwei Raumschiffe begegnen sich im intergalaktischen Raum. Das eine befindet sich
gerade im lokalen Ruhesystem der Materie, gemittelt über eine sehr große Skala. Ein Astronaut in
diesem Raumschiff sieht deshalb einen gleichmäßig mit Galaxien gefüllten Himmel. Warum sieht
seine Kollegin im anderen Raumschiff keinen gleichmäßig mit Galaxien gefüllten Himmel?
ƒ0
!
J
2U
J
2
D
Ÿ
Aus dieser Darstellung wird noch einmal deutlich, dass wir uns die Raumzeit als einen dreidimensionalen Raum vorstellen können, dessen Geometrie sich jedoch im Laufe der Zeit ändern
kann.
Die Metrik hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der statischen Metrik (15.1). Anders als in einer
statischen Raumzeit ist die räumliche Metrik
jetzt aber von der Zeit abhängig. Dagegen
vergeht die physikalische Zeit wegen der Homogenität des Raumes überall gleich schnell. Im
der Metrik deshalb nicht vom Ort
Gegensatz zu einer statischen Metrik hängt die Komponente
ab. Sie kann durch eine geeignete Wahl der Zeitkoordinate überall gleich
gesetzt werden.
aber nicht beliebig. Sie wird durch das kosmologische Prinzip
Nun ist die räumliche Metrik
sehr stark eingeschränkt. Aus der Isotropie des Raumes folgt zunächst, dass die Ableitung der
räumlichen Metrik nach der Zeit, also
, proportional zu
sein muss. Warum ist das so?
Stellen wir uns vor, ein ruhender Beobachter vermisst in seiner Umgebung die räumliche Metrik
zu verschiedenen Zeiten. Dann kennt er auch die Zeitableitung
und kann daraus einen
der Stufe
bilden.
räumlichen Tensor
2U
J
Aus dem kosmologischen Prinzip ergibt sich also folgendes Bild der Raumzeit. Es gibt in jedem Ereignis ein ausgezeichnetes Bezugsystem, und somit eine wohldefinierte Aufspaltung der
Raumzeit in Raum und Zeit. Die Materie ruht relativ zu diesem Bezugsystem. Wie wir gleich
sehen werden, können wir diese Aufspaltung dann sogar global vornehmen. Wir können uns die
Raumzeit als einen Raum vorstellen, der zu jedem Zeitpunkt homogen und isotrop ist, dessen
Geometrie sich aber im Laufe der Zeit ändern kann.
ƒ2
02 U
Aufgabe 21.3 Wie können wir auf der Erde feststellen, ob wir uns im lokalen Ruhesystem der
Materie befinden oder nicht?
00 U
Die Robertson-Walker-Metrik
2U
J
;
2U
2U
J
J
;
2
J
J
!
J
U
2; U
2 UJ
;
263
2U
2U
Nun wollen wir das kosmologische Prinzip in einen Ansatz für eine Metrik umsetzen. Der erste
Schritt ist wie immer die Wahl eines geeigneten Koordinatensystems. Da es an jedem Ereignis ein
ausgezeichnetes lokales Bezugsystem gibt, nämlich das lokale Ruhesystem der Materie, wollen
wir unser Koordinatensystem natürlich daran anpassen.
Wir zerlegen die Koordinaten daher in drei räumliche Koordinaten , die wir wie üblich zu
einem “Vektor” zusammenfassen, sowie eine Zeitkoordinate . Die räumlichen Koordinaten
'
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2 J
2 UJ
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J
2U
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J
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J
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J
2U
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[ J
2 U!
;
(21.3)
j
!

für eine geeignet gewählte Funktion
. Die räumliche Metrik ist konstant bis auf eine
Skalierung. Daraus folgt eine sehr starke Einschränkung an die mögliche Zeitentwicklung des
Universums, wenn das kosmologische Prinzip erfüllt sein soll.
2 J
'
J

2 U
2 J
;
Eine notwendige Bedingung dafür, dass der Raum homogen und überall isotrop ist, ergibt sich
wie folgt. Das gleiche Argument, das wir gerade auf die Zeitableitung der Metrik angewandt
, den wir aus
haben, wenden wir jetzt auf einen anderen Tensor an, nämlich den Ricci-Tensor
der Metrik
bilden können.
Auch hier gilt, dass
proportional zur Einheitsmatrix
sein muss, und dass
die Proportionalitätskonstante an jeder Stelle im Raum gleich sein muss. Sonst gäbe es wieder
ausgezeichnete Richtungen, nämlich die Eigenvektoren dieser Matrix, oder ausgezeichnete Orte,
an deren die Krümmung des Raumes besonders groß oder besonders klein ist.
Die Proportionalitätskonstante ist in diesem Fall der Krümmungsskalar, denn es gilt
[ 2U J
Wenn dieser Tensor nicht proportional zu
ist, dann gibt es im Raum ausgezeichnete Richtungen, zum Beispiel die Eigenvektoren der Matrix , aufgefasst als eine Abbildung des Tangentenraumes auf sich selbst. Anschaulich würde das bedeuten, dass der Beobachter in verschiedene
Richtungen im Raum unterschiedliche Zeitentwicklungen sieht, das heißt irgendwelche Prozesse würden an einer Stelle am Himmel schneller, an einer anderen langsamer ablaufen. Das ist
natürlich nicht mit der Isotropie des Raumes vereinbar.
proportional zu
sein, wegen der Isotropie des Raumes zu allen Zeiten. Wegen
Also muss
der Homogenität des Raumes muss außerderdem die Proportionalitätskonstante an jedem Ort
gleich sein. Denn sonst gäbe es ausgezeichnete Orte im Raum, an deren die Zeitentwicklung
schneller oder langsamer vonstatten geht als anderswo. Es gilt also
(21.5)
Der Ricci-Tensor muss als proportional zur Metrik und zum Krümmungsskalar sein, und der
Krümmungsskalar muss konstant sein. Die Bestimmung des Ricci-Tensors ist wieder eine etwas
längere Rechnung, die wir hier nicht explizit ausführen.
Aufgabe 21.5 Man zeige, dass der Ricci-Tensor
verschwindenden Komponenten hat,
Jetzt müssen wir nur noch die möglichen räumlichen Metriken
finden, die homogene und isotrope Geometrien beschreiben. Eine Skalierung ändert daran nichts. Wir können daher den Skalenfaktor
bis auf weiteres ignorieren, solange wir nur den Raum zu einem festen Zeitpunkt,
const und die darauf indizierte Metrik betrachten.
also eine Hyperfläche
Fragen wir uns zuerst, wie die Metrik beschaffen sein muss, damit der Raum isotrop bezüglich
eines Punktes ist. Diese Symmetrie lässt sich am einfachsten realisieren. Isotropie bezüglich eines
Punktes bedeutet nichts anderes als Kugelsymmetrie. Kugelsymmetrische Raumzeiten hatten wir
schon in Kapitel 15 ausführlich diskutiert. Dort hatten wir gezeigt, dass wir uns einen kugelsymmetrischen Raum aus ineinander liegenden Kugelschalen aufgebaut vorstellen können.
Als Koordinaten können wir den Oberflächenradius der jeweiligen Kugelschale benutzen, und
dann auf jeder Kugelschale die üblichen sphärischen Koordinaten
einführen. Die räumliche
Metrik nimmt dann die folgende Form an,
! L é
[ ê ê
für die Metrik (21.4) die folgenden nicht
2 J
Die einzig mögliche Zeitentwicklung des Universums ist eine gleichmäßige Expansion oder Kontraktion des Raumes.
J
é
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L é W
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é
ë
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ç
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[ 2U
(21.6)
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, nämlich
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é
Es ergeben sich also zwei Bedingungen an die Funktion
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W
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L é W
D !
é
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L é é
(21.7)
ä
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wobei wir
sich
gesetzt haben. Wenn wir die erste Gleichung in die zweite Einsetzen, ergibt
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é
å
ä
(
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(21.8)
Offenbar erfüllt diese Funktion die Randbedingung
, und wie man leicht nachrechnen
kann, sind sogar beide Gleichungen (21.7) erfüllt. Damit haben wir gezeigt, dass die Metrik eines
homogenen und isotropen dreidimensionalen Raumes stets die folgende Form annimmt,
!
é
æ!
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åD D
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[ 2U J
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(21.4)
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é
müssen wir jetzt allerdings so bestimmen, dass der Raum nicht nur isotrop
Die Funktion
bezüglich des Koordinatenursprungs ist, sondern homogen und folglich auch isotrop bezügliche
verlangen, denn sonst wäre der
aller Punkte. Ferner müssen wir als Randbedingung
nicht genügend glatt, das heißt die Metrik wäre dort nicht wohldefiniert.
Raum an der Stelle
[
æ!
–å
•”
åD D
Ÿ
(21.9)
!
é
ä
Aufgabe 21.4 Eine ähnliche Überlegung hatten wir schon einmal bei der Herleitung der Metrik
im Innern eines kugelsymmetrischen Sterns benutzt. Man zeige auch hier, dass die Metrik genau
dann bei
wohldefiniert und differenzierbar ist, wenn
differenzierbar und
ist.
!
é
!
é
Da wir bisher aber nur eine notwendige Bedingung berücksichtigt haben, müssen wir noch zeigen,
dass die so definierte räumliche Geometrie tatsächlich homogen und isotrop ist. Bisher haben wir
nur gezeigt, dass der Ricci-Tensor überall proportional zur Metrik ist, und dass der Krümmungsskalar konstant ist.
264
Milchstraße
andere Galaxie
ä
¤
ä
ä
j
b
ä
a
Aufgabe 21.6 Es sei
. Man führe eine Koordinatentransformation
die Metrik (21.9) die Form
j
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durch, so dass
æ
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–•” À
•” D
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(21.11)
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(b)
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•”6
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Abbildung 21.1: In einem positiv gekrümmten Raum (a) nimmt der metrische Radius einer Kugelschale, die hier als Kreislinie erscheint, schneller zu als der Oberflächenradius. In einem flachen Raum (b) sind beide gleich. In einem negativ gekrümmten Raum (c) nimmt der Oberflächenradius schneller zu als der metrische Radius.
T
ä
)
6
. Man zeige, dass dies die Metrik einer dreidimensionalen Sph äre
ist,
annimmt, mit
die sich wie folgt in den vierdimensionalen Euklidischen Raum mit den kartesischen Koordinaten
einbetten lässt,
À
”
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Ø
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–•”
•”6
(21.12)
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æ
Was ist der maximale Wertebereich von , und was ist der maximale Wertebereich von ? Welche
Teilmenge der Sphäre
wird durch das Koordinatensystem
abgedeckt? Welche geometrische Bedeutung hat bzw. ? Warum ist die Sphäre
homogen und isotrop? Was ist die
Isometriegruppe
?
À
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S
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Der Raum in Abbildung 21.1(b) ist ein flacher Euklidischer Raum . Hier ist der Oberflächenradius stets gleich dem metrischen Radius einer Kugelschale. Diesen Fall müssen wir nicht weiter
diskutieren, denn es ist, wie schon gesagt, unmittelbar klar, dass dieser Raum homogen und iso, bestehend aus den dreidimensionalen Drehungen und
trop ist. Seine Isometriegruppe ist
Verschiebungen.
Wenn der Oberflächenradius schneller wächst als der metrische Radius, dann ergibt sich der
in Abbildung 21.1(c) dargestellte negativ gekrümmte Raum. Es ist jetzt gar nicht mehr so einfach, diesen Raum in einen höherdimensionalen Euklidischen Raum einzubetten. Denn in einem
Euklidischen Raum ist, anschaulich gesprochen, gar nicht genug Platz, um die immer größer
werdenen Kugelschalen unterzubringen. Sie erscheinen deshalb in der Abbildung als leicht verbogene Kreisringe. Wir müssen die Äquatorebene ein wenig falten, um sie im Einbettungsraum
darzustellen.
Es ist deshalb nicht sofort offensichtlich, dass auch dieser Raum homogen und isotrop ist. Er ist
es aber, und es handelt sich sogar um einen Raum, den wir schon kennen. Es ist die Pseudosph äre
, also die in Abbildung 4.1 dargestellte, verallgemeinerte Einheitskugel im vierdimensionalen Minkowski-Raum. Sie besteht aus allen Ereignissen, die von einem gegebenen Ereignis den
gleichen zeitlichen Abstand haben.
S
+
+
.
Abbildung 21.1 veranschaulicht die drei Typen von Räumen. Dargestellt ist jeweils die Äquamit den Koordinatenlinien von und , eingebettet in den dreidimensionalen
torebene
Euklidischen Raum. Da der Raum überall gleich aussieht, genügt es, jeweils eine kleine Umgebung des Koordinatenursprungs bei
zu betrachten.
In Abbildung 21.1(a) sehen wir einen Raum, in dem der metrische Radius einer Kugelschale
schneller wächst als der Oberflächenradius. Ein solcher Raum ist positiv gekrümmt. Es handelt
sich offenbar um einen Ausschnitt aus einer Kugeloberfläche. Tatsächlich ist der Raum in diesem
Fall eine dreidimensionale Sphäre.
S
nimmt der metrische Radius schneller zu als der Oberflächenradius , während für
der Oberflächenradius einer Kugelschale schneller zunimmt als der metrische Radius
T
ä
+
Für
(21.10)
ä
ä
[ 
Es ist nützlich, zunächst eine Fallunterscheidung vorzunehmen, und zwar nach dem Vorzeichen
von , also dem Vorzeichen des Krümmungsskalars
. Betrachten wir zunächst den ein. In diesem Fall ist (21.9) das übliche Linienelement eines flachen,
fachsten Fall, nämlich
Euklidischen Raumes, dargestellt in Kugelkoordinaten. Dieser Raum ist natürlich homogen und
isotrop.
Der Euklidische Raum ist im wesentlichen dadurch charakterisiert, dass der Oberflächenradius
einer Kugelschale
gleich dem metrischen Radius
ist, also dem Abstand der Kugelist, ist das nicht mehr der Fall. Der metrische Radius
schale von ihrem Mittelpunkt. Wenn
einer Kugelschale mit dem Oberflächenradius ist dann durch die Länge einer Geodäte gegeben, die den Mittelpunkt mit der Kugelschale verbindet,
W% )
å
æ
b
a
ä
¤
durch, so dass
À
. Man führe eine Koordinatentransformation
Aufgabe 21.7 Es sei
die Metrik (21.9) die Form
æ!
–å
•” À
–—
•” D
å
À
–—
•”
D À
6
[
Ÿ
(21.13)
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)
6
. Man zeige, dass dies die Metrik einer dreidimensionalen Pseudosph äre
annimmt, mit
ist, die sich wie folgt in den vierdimensionalen Minkowski-Raum mit den kartesischen Koor-
265
!
Aufgabe 21.10 Man berechne den räumlichen Krümmungsskalar und, für einen positiv geund
krümmten Raum, das Volumen des Weltalls zur Zeit und zeige, dass
gilt.
!
 einbetten lässt,
~
dinaten

ä
!

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˜™ À
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”
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–•å”
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•”6
æ
À
!

Aufgabe 21.11 Man zeige, dass die Robertson-Walker-Metrik (21.15) unter der folgenden Transformation invariant ist, die sich aus einer Redefinition des Parameters und des Skalenfaktor
, sowie einer Koordinatentransformation zusammensetzt,
ä
Was ist der maximale Wertebereich von , und was ist der maximale Wertebereich von ? Welche
Teilmenge der Pseudosphäre
wird durch das Koordinatensystem
abgedeckt? Welche
geometrische Bedeutung hat bzw. ? Warum ist die Pseudosphäre
homogen und isotrop?
Was ist die Isometriegruppe
?
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(21.14)
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6
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(21.16)
!
eine Konstante ist. Wir können dies verwenden, um eine zusätzliche Bedingung an
wobei
die Parameter zu stellen. Wir können zum Beispiel verlangen, dass der Skalenfaktor
zu einem
bestimmten Zeitpunkt
(“heute”) gleich Eins ist, so dass zu diesem Zeitpunkt die Koordinate
tatsächlich den Oberflächenradius der entsprechenden Kugelschale repräsentiert.
j
¬
!

Es gibt also drei Typen von räumlichen Geometrien, die ein homogenes und isotropes Universum
beschreiben.
+
Der Raum hat entweder eine konstante positive, oder eine verschwindende, oder eine
konstante negative Krümmung.
Aufgabe 21.12 Man berechne der Einstein-Tensor für die Robertson-Walker-Metrik, und zeige,
dass er sich wie folgt schreiben lässt,
J
J
2U
2
(21.17)
ä
02
ä D 

D 
W

D
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00
2U
J
J
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W
­
wieder proportional zur Metrik
, wegen
Auch hier sind die räumlichen Komponenten
der Homogenität und der Isotropie des Raumes. Der Einstein-Tensor ist also eine Funktion des
und seiner Ableitungen. Der Punkt steht im folgenden für die Ableitung nach
Skalenfaktors
der Zeitkoordinate . Wir erinnern noch einmal daran, dass diese Koordinate die Eigenzeit eines
mit der Materie mitbewegten Beobachters repräsentiert.
Nun müssen wir noch einen Ansatz für den Energie-Impuls-Tensor machen. Es bleibt hier nicht
viel Freiheit, denn wenn die Einstein-Gleichung
2
mit der Metrik
T
Aufgabe 21.9 Man zeige, dass das Volumen einer dreidimensionalen Sph äre
(21.11) durch
gegeben ist.
Nun wollen wir die Einstein-Gleichung aufstellen und daraus eine Bewegungsgleichung für den
Skalenfaktor
ableiten. Dazu müssen wir zunächst den Einstein-Tensor für die RobertsonWalker-Metrik bestimmen. Auch das ist wieder eine etwas längere Rechnung, von der wir nur
das Ergebnis angeben. Die Kenntnis des räumlichen Ricci-Tensors (21.6) nützt uns leider nichts,
denn dort hatten wir die Zeitabhängigkeit der Metrik völlig ignoriert.
!
{
T
ein endliches Volumen hat, während der Euklidische Raum
Aufgabe 21.8 Da eine Sphäre
und die Pseudosphäre
ein unendliches Volumen haben, liegt die Vermutung nahe, dass ein
positiv gekrümmtes Universum stets räumlich geschlossen ist, während ein flaches oder negativ
gekrümmtes Universum räumlich offen ist. Das ist aber nicht ganz richtig. Auch ein flaches oder
negativ gekrümmtes Universum kann räumlich geschlossen sein. Warum? Kann umgekehrt ein
positiv gekrümmtes Universum räumlich offen sein?
Die Friedmann-Gleichung

In der Umgebung eines beliebigen Ortes sehen diese Räume stets so aus wie in Abbildung 21.1
dargestellt. Darüber hinaus gibt es noch ein zweites Unterscheidungskriterium zwischen verschiedenen räumlichen Geometrien. Das Universum kann räumlich offen oder geschlossen sein. Ein
räumlich geschlossenes Universum hat ein endliches Volumen, während das Volumen eines räumlich offenen Universums unendlich ist.
!

!

Damit kennen wir die möglichen räumlichen Geometrien eines homogenen und isotropen Universums. Das müssen wir jetzt nur noch in den Ansatz (21.2) für die Raumzeit-Metrik einsetzen, das
wieder hinzunehmen und die Zeitkoordinate ergänzen,
heißt wir müssen den Skalenfaktor
(21.18)
æ!
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•” D
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D
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
D
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(21.15)
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Ö
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erfüllt sein soll, muss offenbar für den Energie-Impuls-Tensor gelten
~
~
2
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00
J
J
266
~
Dies ist die allgemeinste Metrik einer Raumzeit, die ein sich in der Zeit veränderndes, aber räumlich homogenes und isotropes Universum beschreibt. Sie trägt den Namen Robertson-WalkerMetrik. Wir werden im folgenden annehmen, dass dies die Geometrie unseres Universum auf
einer hinreichend großen Skala ist.
(21.19)
w
"
w
Betrachten wir also zunächst den Fall, dass das Universum nur aus nichtrelativistischer Materie
lautet die Kontinuitätsgleichung (21.22)
besteht. Für
w
wobei und Funktionen von der Zeit , nicht aber vom Ort sind. Das ist der Energie-ImpulsTensor einer idealen Flüssigkeit mit Dichte und Druck , die relativ zum Koordinatensystem
, so dass für den Energie-Impuls-Tensor
ruht. Das Strömungsfeld dieser Flüssigkeit ist
"
ƒ0
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(21.23)
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(21.20)
~
w
D "
wobei
eine Konstante ist. Der Index “
” steht im folgenden für nichtrelativistische Materie.
Dass sich die Energiedichte von gewöhnlicher, nichtrelativistischer Materie genau so verhält,
ist eigentlich unmittelbar klar. Die Energiemenge in einem Raumelement ist konstant, denn wegen
des verschwindenden Druckes wird keine Arbeit geleistet, wenn sich das Raumelement ausdehnt
oder zusammenzieht. Die Energiedichte verhält sich wie das inverse Volumen des Raumelementes, also wie
. Die Kontinuitätsgleichung besagt einfach, dass sich durch die Skalierung des
Raumes die Gesamtenergie einer bestimmten Ansammlung von Galaxien nicht ändert.
Um ein möglichst allgemeines Modell des Universums zu bekommen, wollen wir neben der
nichtrelativistischen Materie auch noch eine zweite Form von Materie mit einbeziehen, nämlich
extrem relativistische Materie. Die Teilchen dieser Materie bewegen sich relativ zum lokalen Ruhesystem exakt oder näherungsweise mit Lichtgeschwindigkeit. Es handelt sich im wesentlichen
um Photonen, also elektromagnetische Wellen, oder um andere masselose oder sehr leichte Elementarteilchen. Zwar machen diese Teilchen heute nur einen kleinen Teil der Energiedichte im
Universum aus. Aber erstens könnte das zu früheren Zeiten anders gewesen sein, und zweitens
könnte es noch unbekannte solche Teilchen geben, die wir noch gar nicht wahrgenommen haben.
Letzteres gilt natürlich auch für die nichtrelativistische Materie.
Extrem relativistische Teilchen können wir im weitesten Sinne auch als Strahlung bezeichnen.
Wie sieht der Zusammenhang zwischen Energiedichte und dem Druck dann aus? Mit anderen
Worten, wie sieht der Energie-Impuls-Tensor einer idealen Flüssigkeit aus, die nur aus Photonen
oder anderen masselosen Teilchen besteht? Gibt es so etwas überhaupt?
Ein typisches Beispiel für eine solche “Flüssigkeit” befindet sich in einem Hohlraum, in dem
sich die Strahlung mit den Wänden im thermischen Gleichgewicht befindet. Im Innern bildet sich
dann das typische Spektrum eines schwarzen Körpers aus. Es fliegen ständig gleich viele Photonen in jede Richtung, so dass der Energie-Impuls-Tensor im Innern des Hohlraumes homogen
und isotrop ist, also von der Form (21.19) im Ruhesystem des Hohlraumes. Aber wie groß ist der
Druck und die Energiedichte, bzw. wie hängen die beiden Größen miteinander zusammen?
Die Zustandsgleichung lässt leicht aus einer allgemeinen Eigenschaft des Energie-ImpulsTensors von masselosen Teilchen herleiten. Sie gilt universell, das heißt völlig unabhängig vom
Spektrum der Strahlung. Der Energie-Impuls-Tensor eines einzelnen Teilchens auf einer Weltlinie
lässt sich wie folgt schreiben,
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"
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(21.21)
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
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ä

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D
;
;
Wenn wir die erste Gleichung nach ableiten und in die zweite einsetzen, können wir diese ein
wenig vereinfachen und insbesondere die zweite Ableitung eliminieren. Es ergibt sich dann
"
w
D "
D
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(21.22)
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.>
~
(21.24)
der 4-Impuls des Teilchens, der stets zum Tangentenvektor
proportional.
Hier ist
Daraus folgt, dass die Spur
des Energie-Impuls-Tensors für ein masseloses Teilchen ver-
.
w
Wir haben also zwei Bewegungsgleichungen für drei Funktion
,
und
. Ohne eine
zusätzliche Annahme über die Struktur der Materie kommen wir nicht weiter. Wir brauchen noch
eine Zustandsgleichung, die eine Beziehung zwischen und herstellt.
Wir schon erwähnt, können wir im heutigen Stadium des Universums davon ausgehen, dass
sich die einzelnen Galaxien relativ zueinander, oder relativ zum lokalen Ruhesystem der Materie,
nur sehr langsam, also mit nichtrelativistischen Geschwindigkeiten bewegen. Daher verschwindet
der Druck. Das stimmt mit der üblichen Definition von nichtrelativistischer Materie überein, bei
der wir die räumlichen Komponenten des Energie-Impuls-Tensors gegenüber der Zeitkomponente
vernachlässigen können.
"
Aufgabe 21.13 Man zeige, dass (21.22) die Zeitkomponente der Kontinuit ätsgleichung
für den Energie-Impuls-Tensor (21.19) ist, und dass die räumlichen Komponenten wegen der
Homogenität und Isotropie identisch erfüllt sind. Die Kontinuitätsgleichung ergibt sich, wie wir
wissen, aus der Einstein-Gleichung. Sie liefert also keine zusätzliche Bewegungsgleichung. Man
schreiben lässt, wobei die in einem mitbewegzeige, dass sie sich in der Form
ten Raumelement enthaltene Energie, und das Volumen dieses Raumelementes ist. Die Kontinuitätsgleichung beschreibt also die durch das Ausdehnen bzw. Schrumpfen des Raumes an der
Materie geleistete mechanische Arbeit.

!
w
!
"
!

gilt. Wie man leicht nachrechnet, stimmt das mit (21.19) überein.
Wir müssen also annehmen, dass das Universum mit einer idealen Flüssigkeit gefüllt ist, die den
Raum zu jedem Zeitpunkt gleichmäßig ausfüllt. Dichte und Druck sind räumlich konstant, können
sich aber mit der Zeit verändern. Das ist natürlich genau das, was wir von einem homogenen und
isotropen Universum erwarten. Wie diese Flüssigkeit im einzelnen aussieht, werden wir gleich
noch etwas genauer untersuchen.
Zunächst schreiben wir die Komponenten der Einstein-Gleichung auf. Dazu müssen wir nur
den Einstein-Tensor (21.17) mit dem Energie-Impuls-Tensor (21.19) vergleichen. Wir bekommen
zwei unabhängige Gleichungen für die drei Funktionen
,
und
, nämlich
..
~
267
.w
w
.
w
õ
D

"

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"
"
"
Im allgemeinen befindet sich im Universum sowohl gewöhnliche Materie als auch Strahlung.
Wenn wir vernachlässigen, dass diese beiden Komponenten auch miteinander wechselwirken,
dass also ständig Strahlung von der Materie emittiert und absorbiert wird, dann können wir folgenden Ansatz für die Dichte und den Druck machen, der sich einfach aus der Summe der beiden
Anteile ergibt,
(21.27)
"
!
+
! 
Die Größen
und
sind Konstanten. Aus Aufgabe 21.11 wissen wir, dass wir den Skalenfaktor
so wählen können, dass zu einer festlegten Zeit
, zum Beispiel heute, der
Skalenfaktor
ist. Dann sind
und
die Energiedichten der Materie und der
, also heute. Diese Konvention wollen wir im folgenden stets
Strahlung zum Zeitpunkt
verwenden.
Es bleibt dann nur noch die erste Gleichung in (21.21) zu lösen. Ein wenig umgeschrieben
lautet sie
(21.28)
"
schwindet. Denn es gilt an jeder Stelle der Weltlinie
.
Da sich die Energie-Impuls-Tensoren für mehrere Teilchen, die nicht miteinander wechselwirken, einfach nur additiv verhalten, folgt daraus, dass die Spur auch dann noch verschwindet, wenn
wir eine beliebige Ansammlung von masselosen Teilchen vorliegen haben. Nun nehmen wir an,
dass die Teilchen homogen und isotrop im Raum verteilt sind. Das heißt, es befinden sich an
jedem Ort gleich viele Teilchen, und es fliegen auch in alle Richtungen gleich viele Teilchen.
Dann ist der Energie-Impuls-Tensor aller Teilchen zusammen von der Form (21.19), und aus dem
Verschwinden der Spur ergibt sich
+

"
"
~
"
w
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w
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D
. .
(21.25)
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D 
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
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W
Aufgabe 21.14 Man mache sich klar, dass auch eine ideale Fl üssigkeit, die aus masselosen Teilchen besteht, in jedem Ereignis ein lokales Ruhesystem besitzt, also ein zeitartiges Str ömungsfeld
, obwohl die einzelnen Teilchen natürlich kein lokales Ruhesystem besitzen.
+
Der Druck einer homogenen und isotropen Ansammlung von masselosen Teilchen ist also stets
ein Drittel der Energiedichte.
!

Dies ist die gesuchte Bewegungsgleichung für den Skalenfaktor
, die sogenannte FriedmannGleichung. Aus ihr können wir die zeitliche Entwicklung des Universums ableiten. Sie hat offenbar die Form eine Energiegleichung für ein klassisches Teilchen in einem effektiven Potential.
Wenn wir sie noch einmal nach ableiten und durch teilen, ergibt sich
;

Falls also die Energiedichte des Universum im wesentlichen aus Strahlungsenergie besteht, oder
anders formuliert, wenn sich die einzelnen Teilchen extrem relativistisch verhalten, dann müssen
setzen. Aus der Kontinuitätsgleichung (21.22) ergibt sich dann
wir
")
w
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+

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+
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+

!
+

Â

+
S

Wir können zu einem beliebigen Zeitpunkt als Anfangswert
und
vorgeben, also die
absolute Größe des Raumes und die Rate, mit der der Raum gerade expandiert. Legen wir, wie
bereits vereinbart,
fest, so genügt die Angabe der Ausdehnungsrate
.
Die Größe
wird als Hubble-Konstante bezeichnet. Sie hat folgende Bedeutung. Betrachten
. Da sich die Galaxie auf einer Weltlinie
const
wir eine Galaxie mit einer Koordinate
bewegt, ist diese Koordinate zeitlich konstant. Der metrische Abstand zu der Galaxie ist jedoch
von der Zeit abhängig. Es ist die Länge einer raumartigen Geodäte vom Koordinatenursprung bei
, den wir in die Milchstraße legen, zu der Galaxie bei
,
+
"
!
+
ñ 
;
D 
ð

wobei
wieder eine Integrationskonstante ist. Der Index “ ” steht für radiation.
Auch das können wir anschaulich verstehen. Wenn das Universum mit Photonen gefüllt ist,
passieren zwei Dinge gleichzeitig, wenn sich der Raum ausdehnt oder zusammenzieht. Einerseits
, denn die Anzahl der
ändert sich die Zahl der Photonen pro Volumen, und zwar wieder mit
Photonen bleibt gleich, während sich das Volumen ändert. Zusätzlich erfahren die Photonen aber
, das
eine Rot- bzw. Blauverschiebung. Die Energie eines einzelnen Photons verhält sich wie
heißt das Photon erfährt eine Rotverschiebung, wenn sich der Raum ausdehnt, und eine Blauverschiebung, wenn er sich zusammenzieht. Beides zusammen bewirkt, dass sich die Energiedichte
wie
verhält.
(21.29)
"
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(21.26)
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[
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[
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!
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!

K)
K
Hier haben wir verwendet, dass das räumliche Linienelement
, wenn wir den Skalenfaktor
, mit der sich die
abspalten, von der Zeit unabhängig ist. Folglich ist die Geschwindigkeit
andere Galaxie heute von uns entfernt oder auf uns zu kommt, proportional zu deren Abstand
, und die Proportionalitätskonstante ist
.
!
+
S
Â
!
+
S
268
+
eine Energie
Aufgabe 21.15 Ein frei fallendes Photon habe auf der Hyperfl äche
und auf einer anderen Hyperfläche
die Energie
, jeweils gemessen von einem Beobachter im lokalen Ruhesystem der Materie. Man leite aus der LagrangeFunktion (16.1) für ein masseloses Teilchen in der Metrik (21.15) die Bewegungsgleichungen
gilt. Anschaulich können wir uns diese Rot- bzw.
her, um zu zeigen, dass
Blauverschiebung so vorstellen, dass elektromagnetische Wellen mit der genau der Rate auseinander gezogen werden, mit der sich der Raum ausdehnt. Die Wellenl änge verhält sich also wie
der Skalenfaktor, und somit die Frequenz wie der inverse Skalenfaktor.
Milchstraße
andere Galaxie
Ç ('
Ç ('
Ç ('
Dann können zunächst etwas über die Vergangenheit des Universums sagen, unabhängig von dem
und unabhängig von der Materiedichte
und der Strahlungsdichte
.
Wert von
vor einer
Da das effektive Potential stets zu kleineren hin abfällt, muss die Funktion
endlich langen Zeit, sagen wir zum Zeitpunkt
, gleich Null gewesenen sein. Für
ist
die Robertson-Walker-Metrik (21.15) aber nicht mehr invertierbar, das heißt dort liegt zumindest
eine Koordinatensingularität vor. Es stellt sich wieder die übliche Frage, ob wir die Raumzeit über
hinaus fortsetzen können oder nicht.
die Stelle
Diesmal ist die Frage sehr leicht zu beantworten. Für
wird nämlich nicht nur die Metrik
singulär, sondern es divergieren auch die Energiedichte (21.27) und der räumliche Krümmungsskalar aus Aufgabe 21.10. Beides sind Skalare. Es liegt also eine Krümmungssingularität vor.
Wir können die Raumzeit nicht über die Stelle
hinaus in die Vergangenheit fortsetzen. Die
zeitartigen Geodäten
const, also die Weltlinien der Materieteilchen enden dort, oder genauer
gesagt, sie beginnen dort.
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¤
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(b)
(a)
(c)
b

Abbildung 21.2: Das effektive Potential der Friedmann-Gleichung für eine verschwindende, ein
negative und eine positive kosmologische Konstante.
Aufgabe 21.16 Warum sind die Kurven
const Geodäten, und warum folgt daraus, dass die
hinaus in die VergangenRaumzeit geodätisch unvollständig ist, wenn sie sich nicht über
heit fortsetzen lässt?
Lösungen der Friedmann-Gleichung
Wir müssen daraus den Schluss ziehen, dass das Universum bei
einen Anfang hatte. Es
ist sinnlos zu fragen, was davor war, denn es gibt keine früheren Ereignisse in der Raumzeit.
Wir können sogar eine obere Grenze für das Alter des Universums angeben. Da wegen des anist, gilt
für alle
, und
steigenden effektiven Potentials stets
somit
(21.31)
In einem expandierenden Universum würden wir also beobachten, dass sich sämtliche Galaxien
von uns entfernen, und zwar mit einer Geschwindigkeit, die proportional zu deren Abstand ist.
Das ergibt sich aus der Tatsache, dass sich der Raum gleichmäßig ausdehnt.
;
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+
+
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
Das Universum ist also vor einer endlich langen Zeit aus einer Singularität in der Raumzeit entstanden. Wie diese Singularität aussieht und was in ihrer Nähe geschieht, werden wir gleich noch
ausführlicher diskutieren.
Und wie sieht die Zukunft des Universums aus? Das hängt offenbar davon ab, wieviel kinetische Energie das klassische Teilchen hat, das sich in dem effektiven Potential in Abbilgegeben ist, hängt davon
dung 21.2(a) bewegt. Da seine Gesamtenergie laut (21.28) durch
auch die räumliche Krümmung das Universums ab. Wir können aus der Hubble-Konstante
und der Energiedichte
zum Zeitpunkt
bestimmt. Aus (21.28) ergibt sich
Â
ä
+
"
"
D +"
+
Wir wollen zuerst die Lösungen der Friedmann-Gleichung ganz allgemein diskutieren. Zusätzund
müssen wir noch die Dichte der
lich zu den Anfangsbedingungen
nichtrelativistischen Materie
und die Strahlungsdichte
zum Zeitpunkt
vorgeben.
Dann können wir die Bewegungsgleichung (21.29) integrieren und so die weitere Entwicklung
des Universums vorhersagen bzw. seine vergangene Entwicklung rekonstruieren. Zusätzlich liefert die Gleichung (21.28) den Wert für , das heißt wir können daraus ableiten, ob das Universum
positiv gekrümmt, flach, oder negativ gekrümmt ist.
Um einen qualitativen Überblick über die Lösungen zu erhalten, ist in Abbildung 21.2(a) das
effektive Potential (21.29) dargestellt. Die anderen beiden Potentiale sind Verallgemeinerungen,
, für große
die wie später diskutieren werden. Das Potential verhält sich für kleine wie
wie
. Für das qualitative Verhalten der Funktion
macht es daher kaum einen Unterschied, wieviel Energie in Form von Materie und wieviel in Form von Strahlung vorliegt.
Es gibt offenbar drei verschiedene Typen von Bahnen, die ein klassisches Teilchen in diesem
Potential beschrieben kann. Das Teilchen kann, aus dem Unendlichen kommend, bis nach
“abfallen”, oder umgekehrt von
“aufsteigen” und im Unendlichen verschwinden. Oder
es kann aufsteigen, an einer Stelle mit maximalem umkehren, und dann wieder abfallen. Es
gibt jedoch keine Bahn, auf der das Teilchen nicht irgendwann bei
startet oder endet, und
konstant ist.
folglich auch keine Bahn, auf der
Welcher dieser Bahnen das Teilchen folgt, hängt von den Anfangswerten
und
ab, und
dem sich daraus ergebenden Wert von . Betrachten wir zunächst den Fall, dass wir bei
mit einer Ausdehnungsrate
starten, also mit einem expandierenden Universum.

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
+
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(21.32)


ä
j
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
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ist, liegt ein räumlich geschlossenes, positiv gekrümmtes Universum vor. Offenbar
Wenn
ist das der Fall, wenn die Energiedichte größer ist als die kritische Dichte
+"
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+
!
+
! 

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
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1 "
Â
j
+
!

%i
269
(21.33)
Milchstraße
andere Galaxie
und
setzen, lässt sich die
Aufgabe 21.18 Wenn wir auch hier wieder
Friedmann-Gleichung sogar exakt lösen. Man berechne in diesem Fall das Alter des Universums
.
als Funktion von und
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

"
+"
"
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¤
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j
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+"
+"
Schließlich bleibt noch der Fall, dass die Energiedichte
kleiner ist als die kritische Dichte
. In diesem Fall ist
, das heißt der Raum ist negativ gekrümmt. Das klassische Teilchen im effektiven Potential von Abbildung 21.2 hat in diesem Fall genug Energie, um sich auch
im Unendlichen noch mit einer konstanten Geschwindigkeit zu bewegen. Für große gilt jetzt
const, also
. Das Universum expandiert linear, mit einer asymptotisch konstanten
Geschwindigkeit.
ä
(c)
¤
+
+
1 "
(b)
7
+
(a)

;
Abbildung 21.3: Die typischen Lösungen der Friedmann-Gleichung (21.29). Als Anfangsbedingung ist jeweils
und
vorgegeben. Alle Raumzeiten beginnen mit
in der Vergangenheit. Für
ist
,
einer Singularität zu einem Zeitpunkt
das heißt der Raum ist positiv gekrümmt (a). In diesem Fall endet die Raumzeit an einer zweiten
in der Zukunft. Für
ist
, das heißt der Raum ist flach bzw.
Singularität bei
negativ gekrümmt (b,c). Die Expansion geht dann für immer weiter.
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"
"
”
Aufgabe 21.19 Auch in diesem Fall lässt sich die Friedmann-Gleichung implizit lösen, wenn
und
setzten. Man verfahre wie in Aufgabe 21.17, ersetze jedoch die
wir
Funktionen
und
durch
und
.
+"
Das unterschiedliche Verhalten in der Zukunft, das offenbar von der Energiedichte
und der
Ausdehnungsrate
zum Zeitpunkt
abhängt, lässt sich auch anschaulich sehr gut erklären.
Zwischen den Galaxien wirkt die Gravitation, wenn wir das klassische Bild verwenden, als Anziehungskraft. Diese Anziehungskraft bremst die Expansion. Je mehr Materie sich im Universum
befindet, desto stärker ist die Bremswirkung. Es ist sogar möglich, dass die Gravitation die Expansion ganz abbremst und in eine Kontraktion umkehrt. Das gelingt aber nur, wenn sich genug
Materie im Universum befindet, also dann, wenn die Energiedichte größer ist als eine kritische
, die wiederum von der momentanen Expansionsrate
abhängt.
Dichte
Â
+
+
!

Â
7
+" +
7
"
;
Aufgabe 21.20 Man diskutiere die Lösungen den Friedmann-Gleichung, die sich aus der Zeitumkehr
ergeben, oder, was damit gleichbedeutend ist, aus einer Anfangsbedingung mit
.
j
!
+

ä
¤
b +
a Â
Aufgabe 21.17 Der Einfachheit nehmen wir an, dass die Energiedichte w ährend der ganzen Lebenszeit des Universums von der nichtrelativistischen Materie dominiert wird, also
gesetzt werden kann. Man zeige, dass für
die Friedmann-Gleichung wie folgt durch eine
implizite Darstellung der Funktion
gelöst wird,
1 "
Die Gesamtenergie das klassischen Teilchens im effektiven Potential ist dann negativ. Folglich
wird das Teilchen irgendwo umkehren. Der Skalenfaktor
wird ein Maximum erreichen. Danach wird das Universum wieder schrumpfen, um schließlich an einer anderen Singularität bei
zu enden. Ein räumlich geschlossenes Universum mit positiver Krümmung ist demnach
auch zeitlich geschlossen. Es lebt nur eine endliche Zeitspanne von
bis .
!

Aufgabe 21.21 Man diskutiere den Fall
, also ein Universum, das gar keine Materie
enthält. Man unterscheide die Fälle
und
. Man zeige, dass in beiden Fällen die
Raumzeit ein flacher Minkowski-Raum ist. Für
deckt die Robertson-Walker-Metrik allernicht m öglich?
dings nur eine Teilmenge davon ab. Welche Teilmenge ist das? Warum ist
N
¤ ä ä¤
+" ä
W
%
ä
j
wobei und Konstanten sind und eine Hilfsvariable ist, die von bis
l äuft. Man bestimme
und aus
und , sowie die Lebensdauer
und das maximale Volumen
des Universums. Man zeige, dass die Geometrie der Raumzeit, also die gesamte Entwicklung des
Universums vom Anfang bis zum Ende, nur durch einen einzigen Parameter bestimmt wird, und
zwar durch die gesamte im Universum enthaltene Energie .
(21.34)
l!
–
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l
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”
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mit
l
N +"
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270
!

;
Offenbar folgt aus der Einstein-Gleichung und der Annahme eines auf einer hinreichend großen
Skala homogenen und isotropen Raumes, dass das Universum nicht statisch sein kann. Es gibt keine Lösung der Friedmann-Gleichung, für die der Skalenfaktor
zeitlich konstant ist. Darüber
hinaus gibt es noch nicht einmal eine Lösung, die für beliebige Zeiten existiert. Es gibt immer
entweder einen Anfang oder ein Ende des Universums, oder beides.
Als das Modell entwickelt wurde, also unmittelbar nach der Veröffentlichung der allgemeinen
Relativitätstheorie und somit noch mehr als zehn Jahre vor Hubble’s Entdeckung, widersprach

Falls die Energiedichte gleich der kritischen Dichte
ist, gilt
, das heißt der Raum ist
flach. In diesem Fall ergibt sich die in Abbildung 21.3(b) dargestellte Zeitentwicklung des Skalenfaktors. Das Universum dehnt sich immer weiter aus. Für große ergibt sich aus der EnergieGleichung (21.28)
, also
. Das Universum expandiert also immer weiter,
allerdings nimmt die Expansionsgeschwindigkeit ab.
Die kosmologische Konstante
Milchstraße
andere Galaxie



ä
¤
ä
ä
j
7
+
(b)
7
+
7
+
(a)
(c)
Abbildung 21.4: ...
!

jedoch die Vorstellung eines Universums, das sich mit der Zeit verändert oder sogar nur eine
endliche Zeit existiert, der bis dahin üblichen Annahmen eines statischen, schon immer und für
immer existierenden Weltalls. Zwar war diese Annahme nicht wirklich auf exakte Beobachtungen
gestützt und zum Teil sogar rein philosophischer Natur, aber trotzdem zog sogar Einstein selbst
aus diesem Ergebnis den Schluss, dass mit seiner Theorie etwas noch nicht ganz stimmen konnte.
Gab es vielleicht eine Möglichkeit, die Einstein-Gleichung so zu modifizieren, dass sich auf
kleinen Skalen nichts wesentliches ändert, die Dynamik des Sonnensystems also die gleiche
bleibt, dass sich aber auf großen Skalen eine Änderung ergibt, so dass ein statisches, immer
währendes Universum möglich wird? Anschaulich formuliert müsste eine solche Modifikation
eine abstoßende Wirkung der Gravitation bei sehr großen Abständen bewirken, so dass die negative Beschleunigung, die der Skalenfaktor
durch die Anziehungskraft der Galaxien erfährt,
irgendwie ausgeglichen wird.
Erinnern wir uns kurz, wie wir die Einstein-Gleichung hergeleitet haben. Wir haben einen
und ihren ersten und zweiten Ableitungen gebildet wird,
Tensor gesucht, der aus der Metrik
und der die Kontinuitätsgleichung
erfüllt, damit wir ihn mit dem Energie-ImpulsTensor
als Quelle des Gravitationsfeldes gleichsetzen können. Außerdem sollte der Tensor
in einer flachen Raumzeit verschwinden, so dass der Minkowski-Raum eine Lösung der EinsteinGleichung ohne Materie ist. Dann mussten wir nur noch eine Proportionalitätskonstante so bestimmen, dass sich im klassischen Grenzfall die Newtonsche Gravitationstheorie ergab.
Was ist, wenn wir die letzte Bedingung fallen lassen, also nicht mehr verlangen, dass die Raumzeit in Abwesenheit von Materie flach ist? Vielleicht hat eine leere Raumzeit eine sehr schwache,
auf kleinen Skalen nicht nachweisbare Krümmung, die sich erst auf großen, kosmologischen Skalen bemerkbar macht. Wenn wir das zulassen, gibt es noch einen Tensor zweiter Stufe, der alle
.
geforderten Eigenschaften hat. Das ist die Metrik selbst, denn es gilt natürlich stets
Wir könnten also versuchen, die Einstein-Gleichung wie folgt zu modifizieren,
J .> 2U & .
"
"
.>
~
Natürlich ist die Kontinuitätsgleichung (21.22) unverändert, denn diese ergibt sich allein aus der
Geometrie der Raumzeit. Wir nehmen also wieder an, dass sich die Energiedichte aus einem
und einen Strahlungsanteil
zusammensetzt, wobei dies jenichtrelativistischen Anteil
weils die Energiedichten zum heutigen Zeitpunkt
mit
sind. Dann ergibt sich die
folgende modifizierte Friedmann-Gleichung (21.28)
!
+

+
"
"
ð
ñ
D 

W
ä W

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;
(21.37)

Auch dies können wir wieder als Energiegleichung für ein klassisches Teilchen in einem effektiven Potential auffassen. Allerdings hat dieses Potential jetzt einen zusätzlichen Beitrag, der der
proportional zu ist,
.> U
&.
"
"
(21.38)
ñ
ð
D 
 !

­  !
L ­ 
E W
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%
~i
E
.>
>U.
D
.>
(21.35)
mit
E
ist dieses Potential in Abbildung 21.2(b) dargestellt. Das Verhalten für kleine ist unFür
verändert, allerdings steigt das Potential jetzt für Große wie das eines harmonischen Oszillators
an. Es ist deshalb für das klassische Teilchen nicht mehr möglich, ins Unendliche zu entkommen.

¤
(21.36)
, die darüber entscheiden,
Es sind also auch hier die Energiedichte und die Expansionsrate
ob der Raum positiv oder negativ gekrümmt ist, aber die kosmologische Konstante bewirkt ge-

sind in Abbildung 21.4 dargestellt. Unabhängig vom VorzeiDie typischen Lösungen für
chen von hat das Universum jetzt stets einen Anfang bei
und ein Ende bei
. Sowohl ein räumlich offenes, negativ gekrümmtes Universum als auch ein räumlich geschlossenes,
positiv gekrümmtes Universum beginnt und endet in einer Singularität. Den Wert von können
wir wieder aus der Materiedichte
und der Hubble-Konstante
berechnen,
allerdings hängt das Ergebnis jetzt auch von der kosmologischen Konstante ab,
E
wobei eine zusätzliche Naturkonstante ist, deren Wert wir mit Hilfe von Beobachtungen und
Messungen bestimmen müssen. Sie wird als kosmologische Konstante bezeichnet. Sie hat die
Dimension Länge , denn der Einstein-Tensor ist aus den zweiten Ableitungen der Metrik gebildet.
Die kosmologische Konstante macht sich erst dann bemerkbar, wenn wir die Raumzeit auf
ist. Sie hat daher auf lokale Phänoeiner Skala beschreiben, die von der Größenordnung
mene, wie zum Beispiel die Planetenbahnen im Sonnensystem oder die Lichtablenkung an der
Sonnenoberfläche, so gut wie keine Auswirkungen, wenn sie genügend klein ist.
Auf die Entwicklung des Universums als Ganzes hat sie jedoch einen Einfluss. Wenn wir denselben Ansatz (21.15) für die Metrik der Raumzeit machen, und denselben Ansatz (21.19) für
den Energie-Impuls-Tensor, dann ergibt sich die folgende Modifikation der Einstein-Gleichungen
(21.21)
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7
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(21.39)
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D
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
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D
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271
Milchstraße
andere Galaxie
E
kosmologische Konstante . Es gibt dann einen kritischen Wert für , der sich aus der Bedingung
ä


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!
 1 ­ !
 1 L ­ ä 1
(21.41)
ä 1
ä
j
ä 1
ä
¤
ä 1
ä
bestimmt. Wenn
ist, nähert sich die Funktion
für
der statischen Lösung,
das heißt das Universum expandiert noch ein wenig und friert dann quasi ein. Diese Lösung ist in
Abbildung 21.5(b) dargestellt.
Liegt der aus (21.39) ermittelte Wert von jedoch nur ein klein wenig neben dem kritischen
Wert
, dann bricht die Funktion
in die eine oder andere Richtung aus. Ist
,
so ist die Energie des klassischen Teilchens kleiner als die Potentialbarriere. Es fällt zurück, das
heißt das Universum kontrahiert wieder und endet in einer Singularität genau wie es begonnen
hat. Diese Lösung ist in Abbildung 21.5(a) dargestellt.
Für
überwindet das Teilchen die Potentialbarriere und fällt dann auf der anderen
Seite hinunter. In diesem Fall expandiert das Universum wieder bis in alle Ewigkeit, wobei der
Skalenfaktor
nun sogar exponentiell mit der Zeit zunimmt. Hier wird deutlich, dass eine positive kosmologische Konstante effektiv eine Art abstoßende Gravitationskraft auf großen
Skalen bewirkt. Ist die anziehende Wirkung der Galaxien bei kleinen Entfernungen erst einmal
überwunden, wir die Expansion durch die Abstoßung sogar noch beschleunigt.
š
b
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
ä 1
ä
+
(c)
+
(b)
7
+
(a)
ä
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j
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Abbildung 21.5: ...
¤
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!
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 Ô
Ž‹
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!  1

das Universum exponentiell expandiert, wenn es erst
Aufgabe 21.22 Man zeige, dass für
einmal die Potentialbarriere überwunden hat und die Abstoßung einsetzt, das heißt für große
gilt
.

wissermaßen eine zusätzliche Krümmung des Raumes. Eine negative kosmologische Konstante
wird sich auf die Krümmung des Raumes genauso aus wie eine kleinere Energiedichte.
Der interessantere Fall ist jedoch der einer positiven kosmologischen Konstante. Das effektive
Potential nimmt dann den in Abbildung 21.2(c) dargestellten Verlauf. Es steigt für kleine wie
gewohnt an, erreicht dann aber ein Maximum und fällt für große wieder mit ab. Es gibt jetzt
viele neue Typen von Lösungen, darunter auch die gesuchte statische Lösung.
mit einer beliebigen Konstante
Natürlich können wir auch hier wieder den Skalenfaktor
multiplizieren. Wir können also jede statische Lösung so reskalieren, dass
ist. Es ergibt
liegt, und
sich dann aus (21.38) die Bedingung, dass das Maximum des Potentials bei
dass der Wert des Potentials an dieser Stelle gerade
ist. Beides zusammen führt auf die
Bedingungen
Wä )
"
!
"
!
$
W
"
D D "
$% ä
$%
E
(21.40)
;
In Abbildung 21.6 sind schließlich noch ein paar exotische Lösungen der Friedmann-Gleichung
mit positiver kosmologischer Konstante dargestellt. Sie ergeben sich, wenn wir als Anfangsbeund
. Einidingung ein kontrahierendes Universum vorgeben, also
ge davon kommen offenbar ganz ohne Singularitäten aus, entsprechen aber ganz und gar nicht
den Beobachtungen, die wir im nächsten Abschnitt diskutieren werden. Sie sind deshalb nur der
Vollständigkeit halber angegeben.
Â
¤
+
!
+

!
+

Ein statisches Universum liegt also genau dann vor, wenn die kosmologische Konstante eine kritischen Wert hat, der sich aus der Energiedichte der nichtrelativistischen Materie und der Strahlung
ergibt. Der Raum ist dann positiv gekrümmt, das heißt es liegt ein räumlich geschlossenes Universum vor.
Allerdings ist diese Lösung der Friedmann-Gleichung nur eine sehr unbefriedigende Antwort
auf Einsteins Frage, ob es möglich ist, durch eine Modifikation der seiner Feldgleichungen ein
statisches Universum zu beschreiben. Die Lösung ist nämlich instabil. Das ist unmittelbar aus
dem Verlauf des effektiven Potentials erkennbar, das an der Stelle
ein Maximum hat.
Die Bedingungen (21.40) müssen also exakt erfüllt sein, damit das Universum tatsächlich statisch
ist. Das kann aber in der Realität nicht der Fall sein, schon weil die Annahme der Homogenität
des Raumes darauf beruht, dass wir kleinen Dichteschwankungen vernachlässigen können.
dargestellt,
In Abbildung 21.5 sind drei typische Lösungen der Friedmann-Gleichung für
die in der “Nähe” der statischen Lösung liegen. In allen drei Fällen ist als Anfangsbedingung wie
immer
und
vorgegeben, sowie die Materiedichte
und natürlich die
Aufgabe 21.23 Sind die Universen, die in Abbildung 21.5 dargestellt sind, r äumlich offen oder
geschlossen?
 1

Aufgabe 21.24 Man zeige, dass auch im Falle einer nicht verschwindenden kosmologischen Konstante stets eine Singularität am Anfang oder am Ende des Universums vorliegt, wenn dieses
räumlich offen ist.
Die Hubble-Konstante
E
j
;
Â
j
+"
+
!

!
+

Nachdem wir nun ausführlich die verschiedenen Lösungen der Friedmann-Gleichung diskutiert
haben, stellt sich die Frage, welche dieser Lösungen denn nun diejenige ist, die tatsächlich verwirklicht ist. Können wir durch geeignete Beobachtungen die Werte der verschiedenen Parameter
ermitteln, von denen die Lösungen abhängen?
272
Milchstraße
andere Galaxie
Milchstraße
andere Galaxie

+


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(b)
(a)
Abbildung 21.6: ...
Abbildung 21.7: ...
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S
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+
S
;
S
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+
!
+
S
(21.42)
In Abbildung 21.7(a) ist ein Raum-Zeit-Diagramm dargestellt, wobei als Koordinaten die Zeit
und die radiale Koordinate aus der Robertson-Walker-Metrik (21.15) aufgetragen sind. Die
Galaxien bewegen sich in diesem Bild auf senkrechten Weltlinien. Der Ursprung befindet sich
in der Milchstraße und soll unser Beobachtungsort sein. Alle unsere Beobachtungen finden an
einem einzigen Ereignis bei
und
statt. Das Problem besteht also darin, allein aus
den Beobachtungen auf diesem Lichtkegel genug Informationen zu bekommen, um daraus die
Parameter des Friedmann-Universums zu rekonstruieren.
befindet. Wie wir in
Betrachten wir zum Beispiel eine Galaxie, die sich an einem Ort
der Abbildung sehen, ist weder der heutige Abstand
dieser Galaxie einer direkten Messung
zu einen anderen Zeit, etwa zu der Zeit
, als das
zugänglich, noch der Abstand
Licht ausgesandt wurde, das uns heute erreicht. Alles, was wir sehen, ist der Zustand der Galaxie
zu diesem Zeitpunkt. Wir müssen versuchen, allein daraus die Expansionsrate zu ermitteln.
Das Licht, das uns von der fernen Galaxie erreicht, enthält ein paar Informationen, die wir
geschickt ausnutzen müssen. Da sowohl wir als auch der Stern relativ zum kosmischen Koordinatensystem ruht, gilt für die Frequenz des Lichtes die Beziehung aus Aufgabe 21.15. Das Licht
erfährt eine Rotverschiebung mit
Â
Das ist ein sehr weites Feld, und viele Fragen sind bis heute offen. Es ist zum Beispiel noch
immer ungeklärt, ob wir in einem räumlich offenen oder in einem geschlossenen Universum
leben, ob die kosmologische Konstante verschwindet oder nicht, und viele Rätsel, die mit dem
Anfang des Universums zusammenhängen, sind auch noch immer ungelöst. Darauf werden wir
am Schluss dieses Kapitels noch etwas näher eingehen.
Wir wollen zunächst an einem Beispiel deutlich machen, mit welchen prinzipiellen Schwierigkeiten Astronomen konfrontiert sind, wenn es darum geht, kosmologisch relevante Messungen zu
dienen, die die Geburtsstunde
machen. Als Beispiel soll die Messung der Hubble-Konstante
der modernen Kosmologie markiert.1 Damit verbunden war nämlich die Entdeckung, dass sich
das Weltall überhaupt mit der Zeit verändert, dass also Einsteins Vorschlag, eine kosmologische
Konstante einzuführen, um ein statisches Weltall zu ermöglichen, völlig unnötig war.
Die physikalische Bedeutung der Hubble-Konstante hatten wir bereits kurz angesprochen. Es
ist die heutige Ausdehnungsrate des Universums, also das Verhältnis aus der Geschwindigkeit
, mit der sich eine Galaxie von uns entfernt, und ihrem metrischen Abstand
,
d
(21.43)
!
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+  +

D
+
¢
n
Wenn wir diese Relation bis zur zweiten Ordnung in entwickeln und verwenden, dass gemäß
ist, dann ergibt sich
unserer Konvention stets
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,
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+
+!

+
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wobei
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D ð
nD +
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nD
Â
+, ñ
d
(21.44)
W
Der dimensionslose Parameter wird als Bremsparameter bezeichnet. Er gibt an, die stark momentan die Expansion des Universums durch die Gravitation abgebremst wird.
Es gibt also eine Beziehung zwischen der Rotverschiebung und der Zeit , die ein Lichtstrahl
von einer anderen Galaxie zu uns benötigt. Sie gilt in dieser Form für nicht allzu ferne Galaxien,
+,
273
n
d
1 E.P. Hubble: “A relation between distance and radial velocity among extragalactic nebulae”, Proc. Nat. Acad. Sci.
U.S. 15 (1929) 169.
¢
6 6 d
Â
Wir müssen also “nur” die Abstände und die Geschwindigkeiten genügend vieler Galaxien hinreichend genau messen, dann können wir den Wert von
ermitteln.
Das ist allerdings leichter gesagt als getan. Es gibt nämlich ein Problem. Wir können weder den
heutigen Abstand einer Galaxie direkt messen, noch deren Geschwindigkeit. Der Grund dafür ist,
dass wir nur einen ganz kleinen Ausschnitt aus dem Universum überhaupt wahrnehmen können.
Im kosmischen Maßstab beschränkt sich unser irdisches Dasein im wesentlichen auf ein einziges
Ereignis in der Raumzeit. Das einzige, was wir im wahrsten Sinne des Wortes sehen können,
ist der Rückwärtslichtkegel dieses Ereignisses und eine im kosmischen Maßstab infinitesimale
Umgebung desselben.
für die sich die dritte Ableitung des Skalenfaktors noch nicht bemerkbar macht. Das wird für
unsere Zwecke zunächst genügen.
Die Rotverschiebung lässt sich leicht messen. Wir müssen dazu nur das Spektrum einiger
Sterne oder der ganzen Galaxie aufnehmen, und darin zum Beispiel die typischen Absorptionslinien von Wasserstoff suchen, der sich in jeder Sternatmosphäre befindet. Das einzige Problem ist,
dass wir eventuell kleine Korrekturen berücksichtigen müssen, die durch die Rotverschiebung im
Gravitationsfeld des Sterns oder der Galaxie hervorgerufen werden, oder durch die Bewegung der
Sterne innerhalb der Galaxie. Aber die Unsicherheiten, die dadurch entstehen sind im allgemeinen
klein gegenüber der kosmischen Rotverschiebung durch den Skalenfaktor.
Aber wie können wir die Zeit ermitteln, die das Licht brauchte, um hier anzukommen? Das
Licht führt keine kosmische Uhr mit sich, auch nicht in irgendeiner verschlüsselten Form, denn
es bewegt sich auf einer lichtartigen Geodäte, auf der keine Zeit vergeht. Es gibt daher keine
Möglichkeit, direkt die Zeit zu messen, die seit der Emission des Lichtes vergangen ist. Aber wir
kennen die Beziehung zwischen dem Koordinatenabstand zu der Galaxie und der Zeit , die das
Licht dafür benötigt, diese Strecke zurück zu legen.
Dieser Zusammenhang ergibt sich aus der Tatsache, dass die Weltlinie lichtartig ist. Aus der
Robertson-Walker-Metrik (21.15) lesen wir ab, dass für einen radial einlaufenden Lichtstrahl folgender Zusammenhang zwischen und gilt,
Sind wir jetzt am Ziel? Können wir diese Relation durch Messungen bestätigen? Noch nicht ganz,
denn wie sollen wir den Koordinatenabstand zu einer Galaxie ermitteln? Welchen Unterschied
macht es überhaupt, ob wir den Koordinatenabstand oder die Zeit , die das Licht benötigt, um
zu uns zu kommen, als Referenzvariable verwenden?
Es macht einen Unterschied, denn den Koordinatenabstand können wir unter gewissen
Umständen messen. Der Grund dafür ist, dass die Koordinate in einer speziellen Art und Weise
gewählt wurde. Sie repräsentiert den Oberflächenradius einer Kugelschale, und zwar zum heutigen Zeitpunkt
. Mit anderen Worten, die Oberfläche einer Kugelschale mit den Koordinaten
und
ist
. Diese Oberfläche können wir wie folgt messen.
Nehmen wir an, wir kennen die gesamte Strahlungsleistung eines Sterns. Wenn wir uns dann
in einer gewissen Entfernung von diesem Stern befinden, können wir die bei uns ankommende
Leistung pro Fläche, also die Strahlungsdichte messen. Diese ergibt sich in einer flachen Raumzeit
aus der Strahlungsleistung geteilt durch die Oberfläche der Kugelschale, in deren Mittelpunkt sich
der Stern befindet, und auf deren Oberfläche wir uns befinden.
Nun übertragen wir diese Situation auf ein sich ausdehnendes Universum. Diesmal wählen
wir die Koordinaten ein wenig anders. Wir legen den räumlichen Koordinatenursprung
in die ferne Galaxie, so dass wir uns an der Stelle
befinden. Außerdem betrachten nicht
unseren Rückwärtslichtkegel zum Zeitpunkt
, sondern den Vorwärtslichtkegel der Galaxie
, der in Abbildung 21.7(b) dargestellt ist.
zu Zeitpunkt
n
d
+
$%
+
n
n
+
n
+
der
Aufgabe 21.25 Warum ist nach dieser Koordinatentransformation die radiale Koordinate
Milchstraße dieselbe wie vorher die radiale Koordinate der anderen Galaxie?
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bis , so ergibt sich der
+
n
+
läuft und von
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Ó '
n
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0
¶ (21.46)
. Der Einfachheit halber nehmen
Photonen mit der Frequenz
.
¢
eine Strahlungsleistung
Der Stern habe zur Zeit
wir an, er emittiere in einem Zeitintervall
eine Anzahl
Es gilt dann
n
bis
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 D
Ÿ
Integrieren wir beide Seiten, wobei von
gesuchte Zusammenhang zwischen und ,
(21.45)
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(21.49)
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(21.47)
+
+
!

n
Zur Zeit
sind diese Photonen gleichmäßig (wegen der Isotropie des Raumes) über eine
Kugelschale bei
verteilt. Diese hat die Oberfläche
. Zusätzlich haben die Photonen eine
Rotverschiebung (21.48) erfahren. Wenn wir die Photonen jetzt messen, haben sie eine Frequenz
.
Außerdem wurden nicht nur die Frequenzen der einzelnen Photonen rotverschoben. Es wurde
auch der zeitliche Abstand zwischen den Photonen um den gleichen Faktor gestreckt. Wenn die
emittiert wurden, so werden sie jetzt in einem Zeitintervall
Photonen in einem Zeitintervall
auf der Kugelschale auftreffen. Die Anzahl
der Photonen ist jedoch die
gleiche wie vorher.
Wenn wir alle Photonen auf der Kugelschale bei
und
auffangen würden, ergäbe
sich daraus die Leistung
¢
Auch hier haben wir
wieder an der Stelle
in eine Reihe entwickelt, so dass das
Ergebnis korrekt bis auf Terme der Ordnung
ist. Die Raumkrümmung macht sich in dieser
Ordnung offenbar noch nicht bemerkbar, denn der zusätzliche Term unter dem -Integral ist,
wenn wir die Wurzel entwickeln, von der Ordnung , so dass das Integral von der Ordnung
bzw. ist.
Die Beziehung (21.46) können wir leicht invertieren, wenn wir auch hier wieder Terme der
Ordnung bzw.
vernachlässigen,
+
d
Wenn wir das in Abbildung 21.44 einsetzen, ergibt sich eine Beziehung zwischen der Rotverschiebung und dem Koordinatenabstand einer Galaxie,
Ó d D !
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D +
!
D +
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274
Ó d
D
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(21.48)
(21.50)
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Ó +,
Ó d
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â $%
o
Die Größe wird auch Leuchtkraft-Entfernung genannt. Es ist die Entfernung, die ein gleichartiges Objekt, also ein Stern mit der gleichen Strahlungsleistung, in einer flachen Raumzeit haben
müsste, damit er uns genauso hell erscheinen würde.
+
(21.51)
Die Rotverschiebung steigt zunächst linear mit der Leuchtkraft-Entfernung an. Trägt man die
entsprechenden Daten für genügend viele Galaxien in einem Diagramm auf, lässt sich daraus der
Wert von
ablesen. Bei hinreichend genauer Messung lässt sich sogar die Konstante , also die
zweite Ableitung des Skalenfaktors nach der Zeit bestimmen. Im Prinzip, wenn wir die Rechnung
exakt durchführen statt nur eine Entwicklung in anzugeben, könnten wir aus dem Zusammenhang zwischen Leuchtkraft-Entfernung und Rotverschiebung sogar die gesamte Geschichte des
Universums rekonstruieren.
Allerdings ist die gerade beschriebene Methode der Entfernungsbestimmung von Objekten außerhalb der Milchstraße viel zu ungenau, um aus dieser Beziehung mehr als nur die Konstante
zu ermitteln. Wegen der Unsicherheit, die sich aus der Unkenntnis der genauen Strahlungsleistung
der gemessenen Objekte ergibt, kennt man heute
nur bis auf etwa einen Faktor
Zwei. Der Messwert beträgt
Â
Da sich diese Leistung über eine Fläche
verteilt, ergibt sich der folgende Zusammenhang
zwischen der Strahlungsleistung
des Sterns, der gemessenen Strahlungsdichte
, und dem
Oberflächenradius der Kugelschale ,
Â
+
Â
+
Ó Aufgabe 21.26 Warum stimmt die Formel (21.51) auch dann, wenn der Stern, wie es nat ürlich
in der Realität auf der Fall ist, ein ganzes Spektrum von Photonen emittiert und nicht nur eine
einzige Frequenz?
(
Jahre
ð
W
W
I
$
i
(21.53)
Â
Da das Inverse der Hubble-Konstante eine obere Grenze für das Alter des Universums ist, ergibt
sich daraus unmittelbar, dass unser Weltall nicht älter als etwa Milliarden Jahre sein kann.
ermittelt. Das
Hubble selbst hatte zunächst einen um den Faktor Zehn zu hohen Wert für
stand natürlich im Widerspruch zu dem damals schon bekannten Alter des Sonnensystems und
der Erde von mehr als vier Milliarden Jahren. Der Grund für diesen Messfehler war eine falsche
“Eichung” der Entfernungsskala, also genau der systematische Fehler, der sich einstellt, wenn die
physikalischen Eigenschaften der betrachteten Objekte nicht genau bekannt sind.
Wie sehen also, dass es gar nicht so einfach ist, kosmologische Beobachtungen zu machen,
um daraus die Parameter des Friedmann-Universums zu bestimmen. Die Situation ist völlig anders als im Laborversuch, den wir beliebig oft wiederholen können. Sie ist auch völlig anders
als im Sonnensystem, wo wir zwar keine Experimente machen können, aber dafür auf eine Beobachtungszeit zurück greifen können, die um ein paar Größenordnungen über den typischen
Zeitskalen liegt, nämlich auf ein paar hundert oder sogar tausend Jahre. In der Kosmologie ist
dagegen die zur Verfügung stehende Beobachtungszeit um viele Größenordnungen kleiner als die
typischen Zeitskala.
W
Â
+
Ó Aufgabe 21.27 Gegeben sei ein Katalog von Galaxien, aus dem wir f ür jede Galaxie den Koordinatenabstand ablesen können, ermittelt aus der Leuchtkraft-Entfernung und der Rotverschiebung . Wie lässt sich aus diesen Daten die Raumkrümmung bestimmen?
d
ä
d
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D +
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+, W
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(21.52)
sec
÷ I
$ó
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km
sec Mpc
I
Wir können also aus der Strahlungsleistung des Sterns, der gemessenen Strahlungsdichte und
der Rotverschiebung seine radiale Koordinate bestimmen. Man beachte aber, das dies nicht der
metrische Abstand des Sterns ist, sondern der Oberflächenradius der Kugelschale, auf der sich
der Stern heute befindet. Die Strahlungsdichte, oder der Energiestrom einer sich kugelsymmetrischen ausbreitenden Welle fällt nämlich in einem gekrümmten Raum nicht mit dem Quadrat des
metrischen Abstand ab, sondern mit der Oberfläche der Kugelschalen.
Die Rotverschiebung und die Strahlungsdichte können wir direkt messen. Es bleibt nur noch
des jeweiligen Objektes zu ermitteln. Das ist das größte
das Problem, die Strahlungsleistung
Problem bei der kosmologischen Entfernungsbestimmung. Die Leuchtkraft-Entfernung eines Objektes können wir nur dann bestimmen, wenn wir die Natur dieses Objektes kennen und so auf
dessen Leistung schließen können.
Wir wollen auf die Methoden, die man dabei verwendet, hier nicht im Detail eingehen. Das
Prinzip ist, zunächst in unserer Milchstraße, wo wir Entfernungen relativ leicht messen können,
nach ganz speziellen Sternen oder Gruppen von Sternen zu suchen, die besondere Eigenschaften
haben, zum Beispiel periodische schwankende Strahlungsleistungen oder etwas ähnliches. Meist
besteht dann ein Zusammenhang zwischen solchen leicht wiedererkennbaren Eigenschaften und
der mittleren Strahlungsleistung. Wenn man solche Objekte in fernen Galaxien auch findet, kann
man auf diese Weise etwas über deren Strahlungsleistung sagen.
Nehmen wir also an, wir würden von genügend vielen und genügend weit entfernten Objekten
die Leuchtkraft-Entfernung und die Rotverschiebung messen. Dann sollte zwischen den beiden
ein Zusammenhang bestehen, der sich aus (21.51) und (21.48) ergibt. Wenn wir das ineinander
einsetzen, bekommen wir
Er hängt natürlich mit den anderen Parameters zusammen, das die zweite Ableitung des Skalenfaktors durch die Friedmann-Gleichung bestimmt ist. Es folgt aus (21.38), dass
$%
Die ist schließlich die gesuchte Formel, die einen direkten Zusammenhang zwischen zwei Messgrößen, der Rotverschiebung und der Leuchtkraft-Entfernung eines Objektes herstellt.
"
D E!
W
"
D +
+,
Â
275
(21.54)
+,
Das heißt, aus der Kenntnis von und den Energiedichten könnten wir später die kosmologische
Konstante bestimmen. Aber noch haben wir ja das Problem, überhaupt einen der Parameter durch
Beobachtungen zu bestimmen, noch nicht gelöst.
Tatsächlich hat Edwin Powell Hubble im Jahre 1929 genau diese Beobachtung gemacht 2. Er hat
festgestellt, dass sich die Galaxien von uns entfernen, und dass die Geschwindigkeiten tatsächlich
. Allerdings ist die Messung
proportional zum momentanen Abstand sind. Es ist also
dieses Phänomens weniger einfach als es zunächst erscheint, so dass wir die genauere Diskussion
dieser Beobachtung noch ein wenig verschieben, und den Wert von
noch nicht festlegen.
Es handelt sich um die Messung der heute als Hubble-Konstante bezeichneten Ausdehnungsrate
.
Die entscheidenden Parameter, von denen die Zeitentwicklung des Universums abhängt, sind
die Energiedichten der nichtrelativistischen Materie
und der Strahlung
, die aktuelle
Ausdehnungsrate
, die Krümmung des Raumes und die kosmologische Konstante ,
wenn wir diese mit einbeziehen wollen. Im Prinzip müssten wir alle diese Größen einzeln messen
können. Da sie nicht unabhängig sind, sondern über die Beziehung (21.39) zusammenhängen,
Â
j
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Â
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+
"
"
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E
Â
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+
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+

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E+
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!
"
"
D ä
(21.55)
ergibt sich zusätzliche sogar eine Konsistenzbedingung. Wenn wir alle darin vorkommenden
Größen messen, können wir überprüfen, ob das Friedmann-Modell eine realistische Beschreibung unseres Universums liefert oder nicht.
2 E.P. Hubble: “A relation between distance and radial velocity among extragalactic nebulae”, Proc. Nat. Acad. Sci.
U.S. 15 (1929) 169.
276