V7 Strömungsmechanik, Kreislaufmodell

V7 Strömungsmechanik, Kreislaufmodell
¿
In der Physiologie des Blutkreislaufs spielen die Funktionen des Gefäßsystems eine
sehr wesentliche Rolle. Zu deren Verständnis sind Kenntnisse der physikalischen
Gesetzmäßigkeiten für strömende Flüssigkeiten erforderlich. In diesem Versuch soll
anhand eines vereinfachten Kreislaufmodells die Abhängigkeit der Strömungsgeschwindigkeit von der Druckdifferenz und dem Strömungswiderstand sowie der
Einfluß der Zähigkeit (Viskosität) einer Flüssigkeit veranschaulicht werden. Weiterhin wird das Zusammenwirken von verschiedenen Strömungswiderständen in
verzweigten Rohrsystemen untersucht.
Sieht man von der Wirkung des Gewichts der Flüssigkeit ab, gilt für den Druck in der Flüssigkeit: Er ist überall im Gefäß gleich groß und wirkt nach allen Seiten. Dieses ist eine Folge
der freien Beweglichkeit der Flüssigkeitsmoleküle gegeneinander. Der Druck in der Flüssigkeit bewirkt Druckkräfte senkrecht zu den Gefäßwänden.
Die Druckeinheit 1 Pascal ist eine ziemlich kleine Einheit. Daher sind daneben dezimale Vielfache des Pascal als Druckeinheit gebräuchlich:
1 Hektopascal = 1 hPa = 100 Pa
oder entsprechend der typische Druck der Atmosphäre
1 bar = 1000 mbar = 1000 hPa
1.2. Druck in einer Flüssigkeit; Schweredruck
1. Theoretische Grundlagen
1.1. Druck in einer Flüssigkeit; Kolbendruck
Ein Gefäß mit einer Flüssigkeit ist mit einem Kolben abgeschlossen. Auf den Kolben wird
senkrecht zu seiner Fläche A eine Kraft vom Betrag F ausgeübt, Abb.1.1. Der Quotient aus
dem Betrag der Kraft und der Fläche wird als Druck p bezeichnet, genauer als Kolbendruck:
p =
F
A
(1.1)
Auch ohne die äußere Kraft auf den Kolben herrscht in einer Flüssigkeit ein Druck: Er rührt
vom Gewicht der Flüssigkeit her und wird als Schweredruck oder hydrostatischer Druck bezeichnet. Wir betrachten das linke Gefäß in Abb.1.2. mit einem konstanten Querschnitt A, das
bis zur Höhe h mit einer Flüssigkeit der Dichte ρ gefüllt ist. Die Masse m der Flüssigkeit ist
m = ρ·V, worin V das Gefäßvolumen, V = h ·A, ist:
m = ρ · h · A.
Auf den Gefäßboden wirkt die Gewichtskraft G der Flüssigkeitsmasse m:
G = m · g = ρ · g · h · A.
Da nur der Betrag der Kraft eingeht, ist der Druck eine skalare Größe. Die Einheit des
Drucks ist
Newton
(1.2)
1
= 1 Pascal = 1 Pa .
(Meter )2
Abb.1.1. Zum Kolbendruck einer Flüssigkeit
V 7.1
(1.4)
(1.5)
2
g ist die Schwerebeschleunigung, g = 9,81 m/s .
Abb.1.2. Zum Schweredruck in einer Flüssigkeit. Die beiden rechten Gefäße illustrieren das
sog. hydrostatische Paradoxon, d.h. die Unabhängigkeit des Schweredrucks von der Gefäßform: In allen drei Gefäßen beträgt der Schweredruck am Boden p = ρ · g · h.
V 7.2
Der Druck auf die Bodenfläche ist dann nach Gl.(1.1)
G
p =
= ρ⋅g⋅h
A
1.3. Die innere Reibung in Flüssigkeiten
(1.6)
Gl.(1.6) beschreibt den Schweredruck. Er hängt nur von der Höhe h der Flüssigkeitssäule,
nicht aber von ihrem Querschnitt A ab. Außerdem ist er proportional zur Flüssigkeitsdichte ρ.
Weitere Überlegungen zeigen, daß der Schweredruck auch in Gefäßen mit nicht konstantem
Querschnitt nur von der Höhe der Flüssigkeit abhängt: sog. hydrostatisches Paradoxon,
Abb.1.2. In der Tiefe h' unter der Flüssigkeitsoberfläche ist der Schweredruck entsprechend
ρ . g . h' . Wie der Kolbendruck ist auch der Schweredruck allseitig. Er wirkt nicht nur auf die
Gefäßwände, sondern auch von allen Seiten auf jedes Volumenelement innerhalb der Flüssigkeit. Daß der Schweredruck mit zunehmender Tiefe größer wird, führt zum Auftrieb, den ein
in die Flüssigkeit eintauchender ausgedehnter Körper erfährt.
In Abb.1.4. wird eine dünne ebene Platte mit der Geschwindigkeit v durch eine Flüssigkeit
bewegt. Infolge molekularer Kräfte haften die Flüssigkeitsmoleküle an beiden Seiten der Platte. Sie nehmen an der Bewegung der Platte teil und üben nun ihrerseits auf die angrenzenden
Flüssigkeitsschichten Kräfte aus, so daß diese ebenfalls mitbewegt werden, wenn auch nicht
mehr mit der vollen Geschwindigkeit der Platte. Diese Mitnahme benachbarter Flüssigkeitsschichten mit abnehmender Geschwindigkeit setzt sich fort, bis die Flüssigkeit in einem Abstand D von der Platte ab in Ruhe bleibt.
Es gibt - wenn auch nicht mehr gesetzlich zugelassen - eine auf Quecksilber bezogene Druckeinheit. Quecksilber hat von allen bei Normaltemperaturen flüssigen Stoffen die größte Dichte und wird daher häufig in Manometern verwendet. In Abb. 1.3. ist das Prinzip eines offenen
Quecksilbermanometers, wie es z.B. zur Blutdruckmessung verwendet wird, dargestellt. Es
besteht aus einem u-förmig gebogenem Glasrohr, das mit Quecksilber gefüllt ist. Durch die
zwischen den beiden Rohrenden bestehende Druckdifferenz ∆p stellt sich eine entsprechende
Höhendifferenz der Flüssigkeitsmenisken ∆h ein, aus der sich ∆p gemäß Gl.(1.6) ableiten
läßt:
∆p = ρ Hg ⋅ g ⋅ ∆h
(1.7)
Abb.1.4. Mitbewegung der Flüssigkeit in der Grenzschicht um eine bewegte Platte. Die Pfeile
stellen die Vektoren der Geschwindigkeit in den einzelnen Flüssigkeitsschichten dar.
Die Größe D heißt Grenzschichtdicke. Außerhalb der Grenzschicht hat Bewegung der Platte
keinen Einfluß mehr auf die Flüssigkeit. D hängt von der Geschwindigkeit der Platte ab und
von einer Eigenschaft der Flüssigkeit, die durch diese Beobachtung als Zähigkeit definiert
wird. In sehr zähen Flüssigkeiten kann D Werte von einigen Zentimetern haben. Man kann
das Experiment von Abb.1.4. qualitativ mit einem Löffel in einem Glas Honig durchführen.
Der Vorgang in Abb.1.4., bei dem bewegte Flüssigkeitsschichten ihre Geschwindigkeit teilweise auf Nachbarschichten übertragen, so daß die einzelnen Schichten mit leicht verschiedenen Geschwindigkeiten aneinander vorbeigleiten, bezeichnet man als innere Reibung. Typisch für diesen Vorgang ist die Ausbildung eines Geschwindigkeitsgefälles senkrecht zur
Fortbewegungsrichtung. Innere Reibung heißt es im Gegensatz zur äußeren Reibung zweier
gegeneinander bewegter fester Körper.
Abb.1.3. Offenes Flüssigkeitsmanometer
3
3
Mit ρHg = 13,59 ·10 kg/m erhält man den Zusammenhang:
1 mm Quecksilbersäule = 1 mm Hg = 1 Torr = 133,3 Pascal.
(1.8)
Die Aussage, der Blutdruck eines Menschen sei 150 zu 90, ist eine Abkürzung dafür, daß der
systolische Druck 150 mm Hg und der diastolische Druck 90 mm Hg beträgt, entsprechend
200 hPa und 120 hPa.
V 7.3
Um eine Stoffkonstante zu finden, durch die man die innere Reibung in einer Flüssigkeit
quantitativ beschreiben kann, führen wir folgendes Experiment durch, dazu Abb.1.5.: Zwischen zwei ebenen Platten Pl1 und Pl2 , deren Abstand 2·x voneinander kleiner sein soll als
die doppelte Grenzschichtdicke 2·D, befindet sich die zu untersuchende Flüssigkeit. Wenn
man in der Mitte zwischen Pl1 und Pl2 eine dünne Platte mit der konstanten Geschwindigkeit
v bewegen will, muß man eine Kraft F aufwenden.
V 7.4
Stoff
o
[ Celsius ]
[Pa·s] = [kg/m·s]
0
12,1
20
1,49
0
1,8 · 10
20
1,0 · 10
Blut
20
3 - 5 · 10
Äthanol
20
1,2 · 10
Äther
20
0,24 · 10
Glyzerin
Wasser
Abb.1.5. Zur Definition der Zähigkeit η einer Flüssigkeit
Messungen der Kraft F in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v, der Plattenoberfläche A
(Summe der Flächen von Unter- und Oberseite) und dem Abstand 2·x der Begrenzungsplatten
ergeben folgende Zusammenhänge: Die erforderliche Kraft ist Geschwindigkeit v und der
Plattenfläche A direkt und dem Abstand x zwischen bewegter und fester Platte umgekehrt
proportional, also:
v
(1.9)
F ~ A⋅
x
Aus der Beziehung (1.9) wird durch Einführung einer Proportionalitätskonstanten eine Gleichung:
v
(1.10)
F = η⋅A⋅
x
Die Konstante η (kleines griechische Eta) ist eine für die Flüssigkeit charakteristische Stoffkonstante. Sie heißt Koeffizient der inneren Reibung oder (dynamische) Zähigkeit oder (dynamische) Viskosität der Flüssigkeit. Die Einheit von η erhält man, indem man Gl.(1.10) nach
η auflöst:
F
x
(1.10a)
η =
⋅
A v
Der Quotient F/A ist ein Druck, x/v eine Zeit. Demnach ist die Einheit der Zähigkeit η :
1 Pascalsekunde = 1 kg / m . s .
(1.11)
(In älteren Tabellen findet man noch die Einheit Poise:
1 Poise = 1 P = 0,1 Pa · s = 0,1 kg / m ·. s )
Die Zähigkeit ist eine Stoffkonstante, die mit steigender Temperatur abnimmt. Blut ist dagegen wegen seiner Zusammensetzung aus Plasma und Hämatokrit eine heterogene Flüssigkeit.
3
3
Es weist je nach Zahl der Erythrozyten eine Zähigkeit von 3 ·10− bis 5 ·10− kg/m · s auf. Einige Werte von η für Blut und andere Flüssigkeiten sind in der folgenden Tabelle angegeben.
η
Temperatur
−3
−3
−3
−3
1.4. Laminare Strömung; Gesetz von HAGEN-POISEUILLE
Eine Strömung, in der die Geschwindigkeitsverhältnisse benachbarter Flüssigkeitsschichten
überwiegend durch innere Reibung bestimmt sind, heißt glatt oder schlicht oder laminar (lamina = dünne Platte). Um eine solche Strömung mit zeitlich konstanter mittlerer Geschwindigkeit aufrechtzuerhalten, muß man gegen die innere Reibung Kraft aufwenden.
Ein wichtiges Beispiel für eine laminare Strömung ist die Bewegung einer Flüssigkeit durch
ein Rohr. Die Strömung wird aufrechterhalten durch einen Druckunterschied ∆p = p1 - p2
zwischen den beiden Enden des Rohres. Wir betrachten ein Rohr mit kreisförmigem Querschnitt, Radius r, von der Länge l. Als Stromstärke j der Strömung definieren wir
j=
durch einen Rohrquerschnitt in der Zeit ∆t durchfließendes Volumen ∆V
Durchflußzeit ∆t
j =
3
∆V
,
∆t
(1.12)
3
gemessen in m /s oder cm /s.
Es besteht folgender Zusammenhang zwischen der Volumenstromstärke j und der mittleren
Geschwindigkeit v der Flüssigkeit, dazu Abb.1.6.: In der Zeit ∆t = t1 − t2 bewegt sich ein
Flüssigkeitsteilchen aus der Fläche Aq im Mittel um die Strecke s = v ⋅ ∆t in Strömungsrichtung vorwärts. Das bedeutet: In der Zeit ∆t fließt die gesamte Flüssigkeitsmenge, die sich in
dem Volumen ∆V = s ⋅ π ⋅ r 2 = v ⋅ ∆t ⋅ π ⋅ r 2 vor dem Querschnitt Aq des Rohrs befindet, durch diese Querschnittsfläche. Man erhält so als Stromstärke:
j =
∆V
∆t
= v ⋅ π ⋅ r2 ,
also: Stromstärke = Querschnittsfläche · mittlere Geschwindigkeit.
V 7.5
−3
V 7.6
(1.13)
Im Gegensatz zu Abb.1.5. und der daraus folgenden Gl.(1.10), bei der sich eine Platte durch
eine ruhende Flüssigkeit bewegte, soll jetzt eine Flüssigkeit an einer ruhenden Fläche vorbeiströmen, wobei die ruhende Fläche die Innenwand des zylindrischen Rohrs ist. Die Flüssigkeitsschicht unmittelbar an der Innenwand wird in Ruhe bleiben, während sich zur Achse hin
die Flüssigkeitsschichten mit zunehmender Geschwindigkeit bewegen werden.
Die Flüssigkeitsschichten sind in Abb.1.7. angedeutet. Der Druckgradient ∆p/l längs eines
Rohres der Länge l bewirkt die Geschwindigkeitsverteilung in der Flüssigkeitsströmung, wie
sie in Abb.1.8 skizziert ist.
Zur
Abb.1.6.
Stromstärke durch ein Rohr
Wir fragen jetzt nach der Volumenstromstärke j einer laminaren Strömung durch ein zylindrisches Rohr vom Radius r und der Länge l, wenn ein Druckunterschied ∆p = p1 − p2 zwischen
den Rohrenden eine Kraft auf die Flüssigkeitssäule ausübt.
Abb.1.8. Geschwindigkeitsverteilung der HAGEN-POISEUILLE-Strömung durch ein zylindrisches Rohr (parabolisches Geschwindigkeitsprofil)
Dabei wird im Zentrum des Rohres die Geschwindigkeit vmax erreicht:
v max =
r 2 ∆p
⋅
4η l
,
und als Mittelwert über die parabelförmige Verteilung:
v =
r 2 ⋅ ∆p
1
= ⋅ v max .
8⋅η⋅l
2
(1.14)
Hiermit erhält man für die Volumenstromstärke nach Gl.(1.13):
j =
π ⋅ r4
∆V
=
⋅ ∆p
8⋅η⋅l
∆t
(1.15)
Abb.1.7. Vergröberte Zerlegung der laminaren zylindrischen Strömung in einzelne koaxiale
Schichten mit zunehmender Geschwindigkeit nach innen. Der Hauptteil des transportierten
Flüssigkeitsvolumens erfolgt durch die schnelleren inneren Schichten.
Diese Gleichung wird als das Gesetz von HAGEN und POISEUILLE bezeichnet. Der Name
verweist auch auf den alten Namen für die Einheit der Zähigkeit 'Poise'.
V 7.7
V 7.8
1.6. Reihen- und Parallelschaltung von Strömungswiderständen
1.5. Diskussion des HAGEN-POISEUILLEschen Gesetzes
Wir schreiben das Gesetz von HAGEN-POISOILLE in abgekürzter Form:
1
j =
⋅ ∆p = G ⋅ ∆p ,
R
mit
R =
8⋅η⋅l
1
=
.
G
π ⋅ r4
(1.16)
(1.17)
Wir nennen R den Strömungswiderstand und G den Leitwert des Rohres mit der Länge l und
dem Radius r für eine Flüssigkeit mit der Viskosität η. Wir fassen die Druckdifferenz ∆p als
Ursache der Strömung auf. Die Stromstärke j ist proportional zu ∆p und G sowie umgekehrt
proportional zum Strömungswiderstand R aus Gl.(1.17).
Analogie zur Elektrizitätslehre: Mit Gln.(1.16) und (1.17) liegt das Gesetz von HAGENPOISEUILLE in einer Form vor, die völlig dem Zusammenhang zwischen elektrischer
Stromstärke I und elektrischer Spannung U in einem Stromkreis mit dem elektrischen Widerstand R gleicht. Dort gilt nämlich
∆Q
1
(1.18)
I =
=
⋅U ,
∆t
R
Im Blutkreislauf sind Gefäße mit verschiedenen Durchmessern und Längen, also auch mit unterschiedlichen Strömungswiderständen, hintereinander geschaltet. Zudem verzweigen sich
die Gefäße von der Aorta in die verschiedenen Körperregionen bis hin zu den Kapillargefäßen, wodurch es zur Parallelschaltung entsprechender Strömungswiderstände kommt. Bei der
Berechnung des Gesamtströmungswiderstandes dieses komplexen Netzwerks kann man auf
Überlegungen zurückgreifen, die wiederum in Analogie zum elektrischen Strom zu betrachten
sind. (Vergl. Abschnitte 1.8. und 1.9. von Versuch 3). Dazu betrachtet man zweckmäßigerweise Rohrsysteme, die aus Rohren zusammengesetzt sind, deren Strömungswiderstände einzeln berechnet werden können.
In Abb. 1.9. ist diese Situation für zwei hintereinander geschaltete Rohre mit verschiedener
Länge und verschiedenem Querschnitt dargestellt, d.h. die damit verknüpften Strömungswiderstände R1 und R2 sind in Reihe geschaltet. Die Druckdifferenz an den Enden des gesamten
Rohrsystem sei ∆p, die Druckdifferenzen an den Teilrohren ∆p1 bzw. ∆p2 . Dabei ist:
∆p = ∆p1 + ∆p2
(1.20a)
wobei ∆Q die elektrische Ladung ist, die in der Zeit ∆t durch einen Querschnitt des elektrischen Leiters des Widerstands R fließt. Wenn der Leiter einen kreisförmigen Querschnitt π ·
2
r und eine Länge l hat, so ist sein Widerstand R gegeben durch
ρ⋅l
,
(1.19)
π ⋅ r2
worin ρ der spezifische Widerstand oder die Resistivität, die Stoffkonstante für elektrische
Leiter, ist.
R =
Vergleich von Gl.(1.16) mit Gl.(1.18): Der elektrischen Spannung U als Ursache für das Fließen eines elektrischen Stroms entspricht beim HAGEN-POISEUILLE-Gesetz die Druckdifferenz ∆p. Dem Transport einer Ladung ∆Q entspricht das durch die Strömung transportierte
Flüssigkeitsvolumen ∆V. Vergleich von Gl.(1.17) mit Gl.(1.19): Der elektrische Widerstand
ist ebenso proportional zur Leiterlänge l wie der Strömungswiderstand zur Rohrlänge l. Je2
doch ist der elektrische Widerstand umgekehrt proportional zu 1/r , während der Strömungs4
widerstand mit 1/r abnimmt. Dies resultiert aus der unterschiedlichen Verteilung der Strömungsgeschwindigkeit. In einem elektrischen Leiter erhält man eine über den Leiterquerschnitt konstante Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger, während sich in einer Flüssigkeit
die in Abb. 1.8. dargestellte parabelförmige Verteilung einstellt.
Das Gesetz von HAGEN-POISEUILLE ist für die Beschreibung des Blutkreislaufs von Bedeutung: Da die Stromstärke bei konstantem Druck ∆p mit der vierten Potenz des Radius zunimmt, genügt eine Erweiterung des Durchmessers der Arterien um 20% - also um den Faktor
4
1,2 - um bei gleichem Blutdruck die doppelte Blutmenge zu transportieren ((1,2) | 2).
Nimmt andererseits der Arteriendurchmesser, etwa durch Ablagerungen, um 10% ab, so muß
der Blutdruck um ca. 50%, also um den Faktor 1,5, zunehmen, damit in der gleichen Zeit die
gleiche Blutmenge transportiert werden kann. Man muß allerdings bei solchen Überlegungen
bedenken, daß das HAGEN-POISEUILLE-Gesetz für starre Röhren gilt, während die Arterien elastische Schläuche sind.
V 7.9
Abb. 1.9. Reihenschaltung von Strömungswiderständen
Da durch beide Rohre derselbe Strom j fließt, gilt nach Gl. 1.16:
j . R = j . R1 + j . R2
(1.20b)
wobei R den Gesamtwiderstand kennzeichnen soll. Daraus folgt, daß sich die Strömungswiderstände bei der Reihenschaltung zum Gesamtwiderstand addieren:
R = R1 + R2
(1.20c)
Bei einer Rohrverzweigung gemäß Abb. 1.10. kommt es zu einer Aufteilung des Gesamtstroms j in die Teilströme j1 und j2 :
j = j1 + j2 .
(1.21a)
Die Strömungswiderstände der Zweigleitungen seien wieder mit R1 und R2 , der Gesamtwiderstand mit R bezeichnet. Da über beiden Widerständen dieselbe Druckdifferenz ∆p besteht,
kann man unter Anwendung von Gl. 1.16 auch schreiben:
∆p
∆p
∆p
.
=
+
R
R1
R2
V 7.10
(1.21b)
1.8. Medizinischer Bezug
Im Blutkreislauf übernimmt das Blut als strömendes Medium Transportfunktionen für Sauerstoff, Kohlendioxid und andere Stoffe. Beim Menschen besteht das Kreislaufsystem aus dem
kleinen Lungen- und dem großen Körperkreislauf, die ab der Geburt hintereinander geschaltet
sind. In Abb. 1.11 ist der Verlauf des Blutstroms schematisch dargestellt. Im Lungenkreislauf
wird von der rechten Herzkammer sauerstoffarmes Blut durch die Lunge gepumpt. Hier wird
Kohlendioxid abgegeben und Sauerstoff aufgenommen. Das sauerstoffreiche Blut gelangt
dann in den linken Vorhof, bevor es im Körperkreislauf von der linken Herzkammer durch
den Körper gepumpt wird. Dort versorgt es die Organe mit Sauerstoff und übernimmt den
Abtransport von Kohlendioxid zurück über den rechten Vorhof in den Lungenkreislauf.
Abb. 1.10. Parallelschaltung von Strömungswiderständen
Daraus folgt die Regel: Bei der Parallelschaltung von Strömungswiderständen addieren sich
deren Kehrwerte zum Kehrwert des Gesamtwiderstands:
1
1
1
=
+
R
R1
R2
.
(1.21c)
1.7. Gültigkeitsgrenzen des Gesetzes von HAGEN-POISEUILLE;
die REYNOLDSsche Zahl
Mit zunehmendem Druck ∆p nimmt die mittlere Geschwindigkeit v der laminaren Strömung
zu. Überschreitet v eine kritische Größe, schlägt die laminare Strömung um in eine turbulente Strömung. Eine turbulente Strömung ist gekennzeichnet durch das Auftreten von Wirbeln
und einer damit verbundenen Vermischung benachbarter Flüssigkeitsschichten. Dann gilt das
HAGEN-POISEUILLE-Gesetz nicht mehr. Der Strömungswiderstand, der bei gegebenem
Druck die Stromstärke bestimmt, steigt bei Turbulenz gegenüber dem für laminare Strömungen gültigen Wert von Gl.(1.17) stark an. Das Umschlagen einer laminaren in eine turbulente
Strömung kann aber auch auftreten, wenn bei konstantem Druck ∆p der Rohrradius vergrößert wird. Während die Blutströmung im arteriellen und venösen Gefäßsystem weitgehend
laminar ist, kann es in der Aorta in unmittelbarer Nähe der linken Herzkammer zu Turbulenzen kommen.
Wann es in einem starren Rohr zum Umschlagen von laminarer in turbulente Strömung
kommt, kann ziemlich genau angegeben werden. Solange die dimensionslose Zahl
Re =
r ⋅ v ⋅ρ
,
η
(1.22)
die sog. REYNOLDSsche Zahl, den Wert 1200 nicht übersteigt, ist die Strömung laminar. Bei
Werten über 1200 kann Turbulenz auftreten.
Dabei bedeuten in Gl.(1.22):
r = Rohrradius in m ,
v = mittlere Strömungsgeschwindigkeit in m/s ,
3
ρ = Dichte der Flüssigkeit in kg/m und
η = ihre Zähigkeit in kg/m · s.
V 7.11
Abb.1.11. Schematische Darstellung des menschlichen Blutkreislaufs
Im Gefäßsystem des Körperkreislaufs liegen Arterien, Arteriolen, Kapillaren, Venolen und
Venen hintereinander (Reihenschaltung). Zur Versorgung der einzelnen Organe dient eine
sehr verzweigte Parallelschaltung von Blutgefäßen. Das dehnbare venöse System und der
rechte Vorhof bilden ein Blutreservoir, aus dem das Blut zum Herzen zurückströmt.
Ventilklappen am Herzen sorgen dafür, daß sich eine gerichtete Strömung ausbildet. Wie bei
jeder periodisch arbeitenden Pumpe erfolgt der Bluttransport dabei nicht kontinuierlich sondern stoßweise. Um einen gleichmäßigeren Blutstrom zu gewährleisten, haben die großen Arterien mit ihren elastischen Gefäßwänden die Fähigkeit sich bei jeder Systole um das Herzschlagvolumen auszudehnen, um das gespeicherte Blut dann während der Diastolen unter geringem Druckabfall weiter in die nachgeschalteten Gefäße abzugeben.
V 7.12
Für dieses Prinzip zur Verringerung von Druckstößen hat man den in der Technik geprägten
Begriff der Windkesselfunktion übernommen. Im engeren Sinne beschreibt man damit ein mit
der Druckseite einer Kolbenpumpe verbundenes größeres Gasvolumen, das durch sein kompressibles Verhalten in gleicher Weise druckausgleichend wirken kann: Während der Ausstoßphase der Pumpe wird ein Teil der Flüssigkeit in den Windkessel gedrückt. Durch Kompression des Gasvolumens wird der Druckanstieg erheblich reduziert. In der nachfolgenden
Ansaugphase der Pumpe würde der Druck ohne Windkessel auf Null absinken und damit der
Volumenstrom unterbrochen sein. Stattdessen hält nun das komprimierte Gas die Strömung
weiter aufrecht, indem es die Flüssigkeit aus dem Windkessel herausdrückt.
2. Der Versuch
2.1. Aufgabenstellung
An dem im Abschnitt 2.2. näher beschriebenen Kreislaufmodell sind folgende Messungen
durchzuführen:
1.) Durch Untersuchung des Zusammenhangs zwischen Druckdifferenz und Volumenstromstärke sollen die Strömungswiderstände von drei Rohren bestimmt werden, die sich in ihrer
Länge bzw. ihrem Radius unterscheiden.
2.) In gleicher Weise ist der Strömungswiderstand zweier parallel geschalteter Rohre zu
bestimmen und mit dem nach Gl. 1.21 zu erwartendem Resultat zu vergleichen.
3.) Durch Messung der Stromstärke als Funktion der Druckdifferenz soll der Einfluß von Turbulenzen auf das Strömungsverhalten untersucht werden.
4.) Durch Beobachtungen des Druckverlaufs am Kreislaufmodell im periodischen Pumpbetrieb ist der Einfluß eines sog. Windkessels zu untersuchen.
2.2. Versuchsaufbau
Abb. 2.1. zeigt den Aufbau des Kreislaufmodells mit den für die Versuchsdurchführung erforderlichen Komponenten. Die Konstruktion ist als Modell für den Körperkreislauf zu
betrachten. Als Flüssigkeit dient Paraffinöl mit einer für die Versuchsbedingungen geeigneten
Viskosität*. Mit einer Pumpe (9), bestehend aus einem im Zylinder beweglichen Kolben und
zwei Ventilklappen (8), läßt sich zwischen dem rechten und linken Teil des Rohrsystems (im
folgenden als Hoch- bzw. Niederdruckbereich bezeichnet) eine Druckdifferenz erzeugen. Dabei wird der Kolben entweder mit verschiedenen Massestücken belastet oder für den periodischen Betrieb mit einem Kurbelaufsatz (11) bewegt. Die Position des Kolbens läßt sich an einer auf der Kolbenstange angebrachten Millimeterskala ablesen.
Bei Aufwärtsbewegung des Kolbens wird die Flüssigkeit aus dem Vorratsgefäß (7) angesaugt. Dabei öffnet sich die linke Ventilklappe, während die rechte Ventilklappe geschlossen
bleibt. Umgekehrt schließt sich die linke Ventilklappe, wenn der Kolben nach unten bewegt
wird, während nun die Flüssigkeit durch die rechte Ventilklappe in den Hochdruckbereich des
Rohrsystems ausströmen kann. Vier verschiedene Strömungsrohre (1 - 4) , die sich einzeln
durch Ventile (10) verschließen lassen, stellen von hier aus die Verbindung mit dem Niederdruckbereich des Kreislaufmodells her. Hier kann die Flüssigkeit in das Vorratsgefäß zurückströmen, bevor sie wieder von der Pumpe angesaugt wird.
Der Differenzdruck über den Strömungsrohren wird durch einen elektrischen Drucksensor registriert und über ein Zeigerinstrument (5) angezeigt. Die Skala zeigt den Druck in hPa an
(Vollausschlag 100hPa). Für die Untersuchungen mit periodischem Betrieb der Pumpe kann
man im Hochdruckbereich des Kreislaufmodells ein Luftpolster (6) dazuschalten, um die
Funktion eines Windkessels zu beobachten. Für alle anderen Messungen bleibt das Ventil
zum Windkessel geschlossen.
*Paraffinöldaten (bei 20° C):
V 7.13
Dichte:
Dyn. Viskosität:
V 7.14
3
3
0,865 ... 0,890 ·10 kg/m
−3
110 ... 230 · 10 Pa · s
Die Stromstärke j berechnet sich dann gemäß Gl. 1.12. als:
j =
A ⋅ ∆x
∆V
=
∆t
∆t
,
(2.1)
2
worin A = 5027 mm die Fläche des Pumpenkolbens darstellt.
Da im Verlaufe des Absinkens des Kolbens die Höhe der Flüssigkeitssäule im Pumpenzylinder abnimmt, verringert sich entsprechend der Schweredruck, der sich unvermeidlich zum
Kolbendruck addiert. Infolgedessen ist die Druckdifferenz während der Messungen nicht konstant, sondern nimmt stetig ab. Dieser Einfluß des Schweredrucks auf die Druckmessung läßt
sich jedoch in guter Näherung kompensieren, indem man die Sinkstrecke symmetrisch um die
rote Ablesemarke bei 100 mm wählt und die Druckdifferenz immer dann am Zeigerinstrument abliest, wenn sich der Kolben in der entsprechenden Position befindet.
Der Meßvorgang läuft also nach folgendem Schema ab:
1. Alle bis auf die beiden mit dem Druckmeßgerät verbundenen Ventile schließen.
2. Die Kolbenstange etwas weiter als bis zum vorgegebenen Startpunkt x1 nach oben ziehen.
3. Massestück(e) auflegen, anschließend Ventil des zu untersuchenden Strömungsrohrs
öffnen.
4. Stoppuhr beim Erreichen des Startpunkts x1 starten.
5. Druckdifferenz ∆p ablesen, wenn der Kolben die rote Ablesemarke passiert (diese Aufgabe
übernimmt zweckmäßigerweise der Versuchspartner).
6. Stoppuhr beim Erreichen des Endpunkts x2 anhalten.
Abb.2.1. Skizze des Kreislaufmodells mit Kurbelaufsatz
2.3. Durchführung der Messungen
Durch Messung der Volumenstrom- stärke in Abhängigkeit von der Druckdifferenz soll zunächst die Abhängigkeit des Strömungswiderstandes von der Rohrlänge und dem Rohrradius
untersucht werden. Anschließend ist in gleicher Weise der Strömungswiderstand zweier
parallel geschalteter Rohre zu bestimmen und mit dem aus den gemessenen
Einzelwiderständen berechnetem Wert zu vergleichen. Der Einfluß von Turbulenzen auf das
Strömungsverhalten wird in einem weiteren Versuchsteil untersucht.
Die Strömungsrohre sind mit den Ziffern 1 bis 4 gekennzeichnet und lassen sich einzeln
durch Ventile verschließen. Rohr 1 und Rohr 2 haben gleiche Längen, jedoch verschiedene
Radien. Angestrebt wurde ein Verhältnis der Radien von 1 : 2, was jedoch durch unvermeidliche Fertigungstoleranzen nur näherungsweise gelungen ist. Hingegen ist Rohr 3 gegenüber
Rohr 2 bei gleichem Radius etwa doppelt so lang. Im Rohr 4, dem sog. Turbulenzrohr, ist in
der Mitte eine Folie eingesetzt, die nur ein kleines Loch besitzt. Die gleichmäßige Strömung
des Parafinöls reißt hinter dem Loch plötzlich ab, wodurch sich Turbulenzen ausbilden können.
Durch Belastung des Pumpenkolben mit verschiedenen Massestücken lassen sich zwischen
dem Hoch- und Niederdruckbereich entsprechende Druckdifferenzen ∆p erzeugen. Der dadurch hervorgerufene Volumenstrom j wird bestimmt, indem man den Kolben um eine vorgegebene Strecke ∆x absinken läßt und mit einer Stoppuhr die dafür benötigte Zeit ∆t mißt.
V 7.15
7. Ventil schließen, Kolben entlasten, nach oben ziehen und bis zur nächsten Messung mit
der Klammer arretieren.
Achtung:
Der Kolben darf niemals gewaltsam von Hand heruntergedrückt und nicht
gewaltsam nach oben gezogen werden, da die Apparatur sonst undicht wird.
Aus gleichem Grund sollten die Massestücke nur während der Messung auf
dem Kolben liegen und während der Meßpausen abgenommen werden.
2.3.1. Messungen zur Bestimmung der Strömungswiderstände
Für die Protokollierung der Meßwerte sind fünf Tabellen nach vorgegebenem Muster vorzubereiten. Diese Tabellen enthalten die Vorgabewerte für die Belastung des Kolbens sowie die
zugehörigen Start- und Endpositionen für die Sinkstrecke ∆x.
Einzutragen sind die Meßergebnisse für die Druckdifferenz ∆p und die gestoppte Zeit ∆t
(zwei Nachkommastellen!). Die letzte Zeile der Tabellen nimmt die gemäß Gl.2.1. zu berechnenden Volumenstromstärken j auf (Rundung auf ganzzahlige Werte).
V 7.16
Beginnen Sie mit den Messungen an Rohr 2. Die den Strömungswiderstand nach Gl. 1.17. bestimmenden Abmessungen betragen hier: r2 = 6,2 mm ; l2 = 388 mm.
2.3.2. Parallelschaltung von Strömungswiderständen
Bei den folgenden Messungen sind die Ventile von Rohr 1 und Rohr 3 gleichzeitig zu öffnen.
Messungen an Rohr 2
Messungen an der Parallelschaltung von Rohr 1 und Rohr 3
m [kg]
2,0
1,5
1,0
0,5
x1 [mm]
60
70
80
90
x2 [mm]
140
130
120
110
x1 [mm]
64
73
82
91
∆x [mm]
80
20
x2 [mm]
136
127
118
109
∆x [mm]
72
54
36
18
60
40
∆p [hPa]
2,0
1,5
1,0
0,5
∆p [hPa]
∆t [s]
∆t [s]
3 −1
j [mm ·s ]
3 −1
j [mm ·s ]
Die folgenden Messungen an Rohr 3 sollen die Abhängigkeit des Strömungswiderstandes von
der Rohrlänge zeigen. Bei gleichem Radius r3 = 6,2 mm ist dieses Rohr mit l3 = 831 mm etwa
doppelt so lang wie Rohr 2.
Messungen an Rohr 3
m [kg]
m [kg]
2,0
1,5
1,0
0,5
x1 [mm]
68
76
84
92
x2 [mm]
132
124
116
108
∆x [mm]
64
48
32
16
∆p [hPa]
∆t [s]
3 −1
j [mm ·s ]
Es folgen die Messungen an Rohr 1, um die Abhängigkeit des Strömungswiderstands vom
Rohrradius zu untersuchen. Verglichen mit Rohr 2 weist dieses Rohr bei gleicher Länge nur
etwa den halben Radius auf (r1 = 3,2 mm ; l1 = 388 mm)
2.3.3. Auswertung
Das zur grafischen Auswertung notwendige Diagrammpapier wird Ihnen zur Verfügung gestellt. Sie erhalten je ein Blatt mit den vorbereiteten Achsenmaßstäben für die Messungen an
Rohren 2, 3 und 1||3 (Abb. 2.2.) sowie für die Messungen an Rohr 1 und dem Turbulenzrohr.
1.) Tragen Sie darin die Volumenstromstärke gegen die Druckdifferenz auf und verbinden Sie
die Meßpunkte mit einer bestangepaßten Geraden.
2.) Bestimmen Sie dann wie üblich die Steigung G der Geraden mit Hilfe eines möglichst
großen Steigungsdreiecks und runden Sie das Ergebnis auf drei signifikante Stellen. Achten
Sie dabei auf die Einheiten (die in der Einheit hPa gemessenen Druckwerte in Pa umrechnen).
Der vollständige Rechengang gehört ins Protokollheft!
3.) Wie man am Gesetz von HAGEN-POISEUILLE in Form von Gl. 1.16 erkennt, sind die so
gewonnenen Steigungswerte G gerade die Kehrwerte der zu bestimmenden Strömungswiderstände. Berechnen Sie also:
1  Pa ⋅ s 
,
(2.2)
R =
G  mm 3 
und runden Sie die Zahlenwerte wieder auf drei signifikante Stellen. Rechnen Sie schließlich
 Pa ⋅ s 
die Strömungswiderstände in die gebräuchlichere Einheit  3  um.
 m 
Messungen an Rohr 1
m [kg]
3,5
3,0
2,5
2,0
x1 [mm]
86
88
90
92
x2 [mm]
114
112
110
108
∆x [mm]
28
24
20
16
∆p [hPa]
∆t [s]
G2 =
. . . ⋅ 10 3 mm 3 / s
. . . hPa
 mm3 


 Pa ⋅ s 
R2 =
...
Rohr 3: abgelesene Steigung:
G3 =
. . . ⋅ 10 3 mm 3 / s
. . . hPa
 mm3 


 Pa ⋅ s 
R3 =
4.) Rohr 2: abgelesene Steigung:
G2 =
...
3 −1
j [mm ·s ]
G3 =
V 7.17
...
...
V 7.18
 Pa ⋅ s 
 mm 3  =


 Pa ⋅ s 
 mm 3  =


 Pa ⋅ s 
. . . ⋅ 10 6  3 
 m 
 Pa ⋅ s 
. . . ⋅ 10 6  3 
 m 
Rohr 1: abgelesene Steigung:
G1 =
 mm3 


 Pa ⋅ s 
...
Rohre 1 || 3: abgelesene Steigung:
G 1|| 3 =
...
 mm3 


 Pa ⋅ s 
G1 =
. . . ⋅ 10 3 mm 3 / s
. . . hPa
R1 =
...
 Pa ⋅ s 
 mm 3  =


G 1 || 3 =
. . . ⋅ 10 3 mm 3 / s
. . . hPa
R 1 || 3 =
...
 Pa ⋅ s 
 mm 3  =


 Pa ⋅ s 
. . . ⋅ 10 6  3 
 m 
 Pa ⋅ s 
. . . ⋅ 10 6  3 
 m 
5. Zeigen Sie, daß sich die Strömungswiderstände zweier Rohre wie 1 : 2 verhalten, wenn
sich ihre Längen wie 1 : 2 verhalten. Vergleichen Sie das aus den angegebenen Abmessungen
der Rohre 2 und 3 berechnete Widerstandsverhältnis mit dem Verhältnis der tatsächlich gemessenen Widerstände.
6. Zeigen Sie, daß sich die Strömungswiderstände zweier Rohre wie 1 : 16 verhalten, wenn
sich ihre Radien wie 2 : 1 verhalten. Vergleichen Sie das aus den angegebenen Abmessungen
der Rohre 2 und 1 berechnete Widerstandsverhältnis mit dem Verhältnis der tatsächlich gemessenen Widerstände.
7. Berechnen Sie aus den angegebenen Abmessungen des Rohres 2 und der mittleren dynamischen Viskosität des verwendeten Paraffinöls den zu erwartenden Widerstand und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem experimentellen Wert.
8. Berechnen Sie gemäß Gl. 2.3. aus den für Rohr 1 und Rohr 3 gemessenen Strömungswiderständen den zu erwartenden Gesamtwiderstand und bestimmen Sie die prozentuale Abweichung δ von dem gemessenen Wert nach Gl. 2.4.
R 13 =
δ =
R1 ⋅ R3
R1 + R3
R 1|| 3 − R 13
R 1|| 3
=
...
 Pa ⋅ s 
⋅ 10 6  3 
 m 
⋅ 100 %
(2.3)
(2.4)
2.3.4. Turbulente Strömung
In der folgenden Meßreihe soll der Einfluß von Turbulenzen auf das Strömungsverhalten beobachtet werden. Dazu kommt Rohr 4, das sog. Turbulenzrohr, zum Einsatz.
Tragen Sie wie bisher die Volumenstromstärke gegen die Druckdifferenz in das Diagramm
ein und verbinden Sie die Meßpunkte mit Hilfe eines Kurvenlineals.
Fragen:
Wie unterscheidet sich der Kurvenverlauf von den bisherigen Messungen?
Abb. 2.2. Musterdiagramm für die grafische Auswertung
In welchem Druckbereich macht sich der Einfluß der Turbulenzen am stärksten bemerkbar?
Warum ist das so? (kurze Erklärung ins Protokoll)
V 7.19
V 7.20
m [kg]
1,0
Messungen am Turbulenzrohr
1,5
2,0
2,5
3. Übungsfragen
3,0
3,5
1. Wie ist die Größe Druck definiert; in welchen Einheiten wird sie gemessen?
2. Wie berechnet man den Schweredruck in einer Flüssigkeit?
x1 [mm]
95
92
89
85
82
79
x2 [mm]
105
108
111
115
118
121
∆x [mm]
10
16
22
30
36
42
∆p [hPa]
3. Eine dünne Platte der Fläche A wird mitten durch einen Flüssigkeitskanal gezogen,
der von zwei großen ebenen Platten im Abstand 2·x begrenzt ist. Dieser Abstand sei
kleiner als die Grenzschichtdicke D (siehe Abb.1.5.).
Welche Kraft F muß man aufwenden, um die Platte mit konstanter Geschwindigkeit v
durch den Flüssigkeitskanal zu ziehen?
∆t [s]
3 −1
j [mm ·s ]
4. Wie heißt die stoffabhängige Größe der inneren Reibung, und welches ist die zugehörige
Maßeinheit?
2.4. Beobachtungen bei periodischem Betrieb
5. Wie nennt man Flüssigkeitsströmungen, bei denen die Geschwindigkeitsverhältnisse
vorwiegend durch die innere Reibung benachbarter Schichten bestimmt wird?
Der für diesen Ver- suchsteil benötigte Kurbelaufsatz wird vom Assistenten montiert. Öffnen
Sie die Ventile aller vier Strömungsrohre. Der Windkessel bleibt zunächst geschlossen.
6. Welche Form hat die Geschwindigkeitsverteilung einer laminar durch ein zylindrisches
Rohr strömenden Flüssigkeit?
Betrieb ohne Windkessel: Betätigen Sie nun langsam und gleichmäßig die Kurbel (etwa ein
bis zwei Umdrehungen pro Sekunde). Beobachten Sie dabei die Druckanzeige, die Funktion
der Ventilklappen sowie den Flüssigkeitsstand im Vorratsgefäß. Protokollieren Sie Ihre Beobachtungen und notieren Sie die maximale und minimale Anzeige des Druckinstruments:
7. Man betrachte eine durch ein zylindrisches Rohr laminar strömende Flüssigkeit. Das
HAGEN-POISEUILLEsche Gesetz liefert hierfür den Zusammenhang zwischen der
Stromstärke I und der Druckdifferenz ∆p an den Rohrenden.
Ohne Windkessel:
∆pmax = ... hPa
∆pmin = ... hPa .
Betrieb mit Windkessel: Öffnen Sie nun das Ventil zum Windkessel und drehen Sie wieder
die Kurbel in gleicher Weise wie vorher. Achten Sie nun auch auf das Verhalten des Flüssigkeitsstands im Windkessel. Am Manometer auf dem Windkessel kann dabei auch der Luftdruck über der Flüssigkeit abgelesen werden. Messen Sie erneut die maximale und minimale
Druckdifferenz, wobei darauf zu achten ist, daß man die Kurbel möglichst im gleichen Rhythmus betätigt wie bei der Messung ohne Windkessel:
Mit Windkessel:
∆pmax = ... hPa
Welche Abhängigkeiten ergeben sich daraus vom Rohrradius r, der Rohrlänge l und der
Viskosität der Flüssigkeit η ?
8. Auf welche Weise kann man eine Analogie zu den Gesetzmäßigkeiten in elektrischen
Stromkreisen herstellen?
9. Welchen Einfluß hat ein Windkessel auf die Strömungsverhältnisse hinter einer periodisch
arbeitenden Pumpe?
∆pmin = ... hPa .
Frage:
Wie beeinflußt der Windkessel die auftretenden Druckschwankungen?
(kurze Erklärung ins Protokoll)
V 7.21
V 7.22