Loesung_Probeklausur..

Musterlösung zur Probeklausur Lineare Algebra I
Aufgabe 1 (5 Punkte):
Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch? Setzen Sie in jeder Zeile
genau ein Kreuz. Für jede korrekte Antwort erhalten Sie 0,5 Punkte, für jede falsche
0 Punkte. Eine Begründung ist nicht erforderlich.
wahr
falsch
Die leere Menge ist ein R-Untervektorraum von R3 .
¤
X
Die Abbildung C → C, a + bi 7→ a − bi (a, b ∈ R)
ist C-linear.
¤
X
Eine Abbildung f : Z/2Z → Z/2Z ist genau dann
Z/2Z-linear, wenn f (0) = 0 gilt.
X
¤
Eine Abbildung f : M → M ist genau dann injektiv,
wenn f ◦ f injektiv ist.
X
¤
Jede surjektive R-lineare Abbildung R3 → R3 ist bijektiv.
X
¤
Es gibt keinen Körper mit 13 Elementen.
¤
X
Jeder Vektorraum besitzt eine endliche Basis.
¤
X
Es gibt eine R-lineare Abbildung g : R3 → R3
mit Kern(g) = Bild(g).
¤
X
Es existiert keine Matrix M ∈ R2×2 \ {0} mit M 2 = 0.
¤
X
Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung,
so ist es inhomogen.
X
¤
Aufgabe 2 (5 Punkte):
Geben Sie das richtige Ergebnis an. Eine Begründung ist nicht erforderlich.
a) Ergänzen Sie zu einer Basis des C-Vektorraums C3 .

 
  
5
1+i
0

 
  
 6i  ,  4  ,  1 
3i
2
0
(1 P.)
(Es existieren auch andere korrekte Lösungen.)
b) Bestimmen Sie die Matrix von f : R2 → R3 , (x, y) 7→ (−2x − 2y, −y, 2x)
bezüglich der unten angegebenen Basen.
( ) (
)
0
−2
Basis von R2 : X = (
,
)
2
−2
    

1
1
1
    

3
Basis von R : Y = ( 0  ,  2  ,  1 )
1
1
−3


−1 3


(1 P.)
Af,X,Y =  1 −3 
−4 8
c) Geben Sie jeweils eine Basis für Kern(f ) und Bild(f ) an.
( )
(
)
x
2x
−
3y
f : R2 → R2 ,
7→
y
3y − 2x
( )
3
Basis von Kern(f ):
2
(
)
1
Basis von Bild(f ):
−1
(0,5 P.)
(0,5 P.)
(Es existieren auch andere korrekte Lösungen.)
d) Berechnen Sie die Determinante folgender reeller Matrix.


1 2 0


det( 0 3 2 ) = 6
2 1 0
e) Bestimmen Sie die inverse Matrix in R2×2 .
(
)−1 (
)
1 − 13
2 1
=
3 3
−1 23
(1 P.)
(1 P.)
Aufgabe 3 (3,5 Punkte):
a) Auf der Menge N × N ist die Relation
(m, n) ∼ (m′ , n′ )
:⇐⇒
m + n′ = m′ + n (m, n, m′ , n′ ∈ N)
gegeben. Zeigen Sie, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
(1,5 P.)
b) Zeigen Sie, dass die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich der Addition
[(m, n)] + [(m′ , n′ )] := [(m + m′ , n + n′ )] (m, n, m′ , n′ ∈ N)
eine Gruppe bildet.
(2 P.)
Lösung:
a) Reflexivität: Für alle m, n ∈ N gilt offensichtlich m + n = m + n und somit
(m, n) ∼ (m, n).
(0,5 P.)
′
′
′
′
′
Symmetrie: (m, n) ∼ (m , n ) =⇒ m + n = m + n =⇒ m + n = m + n′ =⇒
(m′ , n′ ) ∼ (m, n).
(0,5 P.)
′
′
′
′
′′
′′
′
Transitivität: (m, n) ∼ (m , n ) und (m , n ) ∼ (m , n ) =⇒ m + n = m′ +
n und m′ +n′′ = m′′ + n′ =⇒ m +n′ +m′ + n′′ = m′ +n +m′′ +n′ =⇒ m + n′′ =
n + m′′ =⇒ (m, n) ∼ (m′′ , n′′ ).
(0,5 P.)
b) Wohldefiniertheit der Addition: Seien [(m, n)] = [(k, l)] und [(m′ , n′ )] =
[(k ′ , l′ )]. =⇒ (m, n) ∼ (k, l) und (m′ , n′ ) ∼ (k ′ , l′ ) =⇒ m + l = k + n und m′ +
l′ = k ′ + n′ =⇒ m + m′ + l + l′ = k + k ′ + n + n′ =⇒ (m + m′ , n + n′ ) ∼
(k + k ′ , l + l′ ) =⇒ [(m + m′ , n + n′ )] = [(k + k ′ , l + l′ )].
(0,5 P.)
[(0, 0)] ist das neutrale Element wegen [(m, n)] + [(0, 0)] = [(m + 0, n + 0)] =
[(m, n)] und [(0, 0)] + [(m, n)] = [(0 + m, 0 + n)] = [(m, n)].
(0,5 P.)
Das inverse Element von [(m, n)] ist [(n, m)], denn [(m, n)] + [(n, m)] =
[(m + n, n + m)] = [(0, 0)] und [(n, m)] + [(m, n)] = [(n + m, m + n)] = [(0, 0)].
(0,5 P.)
(
)
Assoziativität: [(m, n)] + [(m′ , n′ )] + [(m′′ , n′′ )] =
[(m + m′ , n + n′ )] + [(m′′ , n′′ )] = [(m + m′ + m′′ , n + n′ + n′′ )] =
(
)
[(m, n)] + [(m′ + m′′ , n′ + n′′ )] = [(m, n)] + [(m′ , n′ )] + [(m′′ , n′′ )]
(0,5 P.)
Anmerkung zu Aufgabe 3: Man kann leicht zeigen, dass die Gruppe aus Aufgabenteil b) isomorph zu Z ist. (Der Gruppen-Isomorphismus ist gegeben durch
[(m, n)] 7→ m − n.) Wir haben somit gesehen, wie man aus den natürlichen Zahlen
die ganzen Zahlen konstruieren kann.
Aufgabe 4 (4,5 Punkte):
Sei V ein R-Vektorraum und f : V → V eine R-lineare Abbildung. Für r ∈ R
definieren wir Uf,r := {v ∈ V | f (v) = r · v}.
a) Zeigen Sie, dass Uf,r ein R-Untervektorraum von V ist.
b) Beweisen Sie: Uf,r ∩ Uf,s = {0} für r ̸= s.
(1,5 P.)
(1 P.)
c) Zeigen Sie, dass die Abbildung
(
g : R2 → R2 ,
R-linear ist.
x
y
)
(
7→
x+y
2·y
)
(1 P.)
d) Bestimmen Sie jeweils eine Basis für die R-Untervektorräume Ug,1 , Ug,2 ⊆ R2 .
(1 P.)
Lösung:
a) Wegen f (0) = 0 = r · 0 gilt 0 ∈ Uf,r und somit Uf,r ̸= ∅.
(0,5 P.)
Für v1 , v2 ∈ Uf,r gilt f (v1 ) = rv1 und f (v2 ) = rv2 . Es folgt f (v1 + v2 ) =
f (v1 ) + f (v2 ) = rv1 + rv2 = r(v1 + v2 ) und somit v1 + v2 ∈ Uf,r .
(0,5 P.)
Für s ∈ R und v ∈ Uf,r gilt f (sv) = sf (v) = srv = r(sv) und daher sv ∈ Uf,r .
(0,5 P.)
b) “⊆”: Sei v ∈ Uf,r ∩ Uf,s , wobei r ̸= s. Dann folgt rv = f (v) = sv. Wir erhalten
(r − s)v = 0 und (wegen r − s ̸= 0) v = 0.
(0,5 P.)
“⊇”: Da Uf,r und Uf,s Untervektorräume von V sind, gilt 0 ∈ Uf,r und 0 ∈ Uf,s .
Es folgt 0 ∈ Uf,r ∩ Uf,s .
(0,5 P.)
c) Die Abbildung g ist R-linear, da für alle x1 , x2 , y1 , y2 , r ∈ R gilt:
(
)
(
)
g (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = g(x1 + x2 , y1 + y2 ) = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 ), 2(y1 + y2 ) =
(x1 + y1 , 2y1 ) + (x2 + y2 , 2y2 ) = g(x1 , y1 ) + g(x2 , y2 )
(0,5 P.)
(
)
g r(x1 , y1 ) = g(rx1 , ry1 ) = (rx1 + ry1 , 2ry1 ) = r(x1 + y1 , 2y1 ) = rg(x1 , y1 )
(0,5 P.)
¯
¯
}
} {
{
d) Ug,1 = (x, y) ∈ R2 ¯ (x + y, 2y) = (x, y) = (x, y) ∈ R2 ¯ y = 0 =
¯
}
{
(0,5 P.)
(x, 0) ∈ R2 ¯ x ∈ R . Basis für Ug,1 : (1, 0)
(Korrekte Lösungen sind auch alle anderen Vektoren (x, 0) mit x ̸= 0.)
¯
¯
}
} {
{
Ug,2 = (x, y) ∈ R2 ¯ (x + y, 2y) = (2x, 2y) = (x, y) ∈ R2 ¯ x = y =
¯
}
{
(0,5 P.)
(x, x) ∈ R2 ¯ x ∈ R . Basis für Ug,2 : (1, 1)
(Korrekte Lösungen sind auch alle anderen Vektoren (x, x) mit x ̸= 0.)
Anmerkung zu Aufgabe 4: Die Vektoren aus Uf,r \ {0} werden Eigenvektoren
genannt, die zugehörigen Elemente r ∈ R Eigenwerte. Wir werden in der Vorlesung
Lineare Algebra II ausführlich Eigenwerte und Eigenvektoren behandeln.
Aufgabe 5 (2 Punkte):
Für n ∈ N \ {0} betrachten wir die R-lineare Abbildung τn : Rn×n → Rn×n , A 7→ At .
a) Zeigen Sie: det(τn ) ∈ {±1}.
(1 P.)
b) Berechnen Sie det(τ2 ).
(1 P.)
Lösung:
(
)
a) Wegen τn τn (A) = τn (At ) = A gilt τn ◦ τn = id.
Es folgt det(τn )2 = det(τn ◦ τn ) = det(id) = 1 und det(τn ) ∈ {±1}.
b) Die Matrix

1 0 0
 0 0 1


 0 1 0
0 0 0
(0,5 P.)
(0,5 P.)
zu τ2 : R2×2 → R2×2 bezüglich der Basis E11 , E12 , E21 , E22 lautet:

0
0 

(0,5 P.)

0 
1
Somt erhalten wir

1
 0

det(τ2 ) = det(
 0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1






) = − det(


1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1



) = −1.

(0,5 P.)