Folien

Tutorium 4
Diskrete Strukturen
Christopher Lübbemeier
6. Dezember 2016
Section 1
Anmerkungen
Übungsblatt 3
I
Aussagen widerlegen
I
I
Konkretes Gegenbeispiel genügt.
Erfolgloser Versuch, die Aussage zu beweisen, genügt nicht.
ggT
ggT(a, b) = d =⇒ (d | a) ∧ (d | b)
ggT(a, b) = d
(d | a) ∧ (d | b) =⇒
(1 | 5) ∧ (1 | 10), ggT(5, 10) 6= 1
ggT (2)
ggT(a, b) = d ⇐⇒ d = max (T (a) ∩ T (b))
mit T (n) — die Menge der Teiler von n
T (n) = {x | x|n}
Implikation und Iff
Zu zeigen: ggT(a, b) = ggT(b, a)
ggT(a, b) = ggT(b, a) =⇒ . . .
A
falsch
falsch
wahr
wahr
B
falsch
wahr
falsch
wahr
A =⇒ B
wahr
wahr
falsch
wahr
A ⇐⇒ B
wahr
falsch
falsch
wahr
X beweisen:
A =⇒ X ,
A = wahr
X ⇐⇒ B,
B = wahr
Section 2
Latex
Mal
\begin{align*}
a * b
\end{align*}
a∗b
\begin{align*}
a \cdot b
\end{align*}
a·b
ggT
\begin{align*}
ggT(a, b)
\end{align*}
ggT (a, b)
\begin{align*}
\text{ggT}(a, b)
\end{align*}
ggT(a, b)
Max
\begin{align*}
max_{i \in \mathbb N} f(i)
\end{align*}
maxi∈N f (i)
\begin{align*}
\max_{i \in \mathbb N} f(i)
\end{align*}
max f (i)
i∈N
Section 3
Übungen
Übungsblatt 4
I
Taschenrechner bei RSA
I
Python
Chinesischer Restsatz
Seien
m1 , . . . , mk paarweise teilerfremde natürliche Zahlen,
m = m1 · m2 · · · · · mk und
a1 , . . . , ak ganze Zahlen.
Für 1 ≤ i ≤ k gelte Mi =
m
mi
und yi = Mi−1 mod mi .
Dann gilt für
x ≡
X
ai yi Mi
(mod m)
1≤i≤k
x ≡ a1 (mod m1 ), x ≡ a2 (mod m2 ), . . . , x ≡ ak (mod mk ).
Chinesischer Restsatz (2)
Beispiel:
x ≡ 2
(mod 3)
m1 = 3
a1 = 2
M1 = 35
y1 = 2
(mod 5)
m2 = 5
a2 = 0
M2 = 21
y2 = 1
x ≡ 6
(mod 7)
m3 = 7
a3 = 6
M3 = 15
y3 = 1
x ≡ 0
m = 105
x ≡
X
ai y i M i
(mod m)
1≤i≤k
≡ 2 · 2 · 35 + 0 · 1 · 21 + 6 · 1 · 15
≡ 230 ≡ 20
Gruppen
I
I
I
(Z, −)
(N, +)
I
(N0 , +)
I
(Z, +)
I
(Zn , +)
I
(Zn , −)
I
I
I
I
◦:G ×G →G
(N, −)
(N, ·)
Definition 50
I Gilt für alle a, b, c in dem Gruppoid (G, ◦) die Beziehung
a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c,
I
dann heißt ◦ assoziativ, und (G, ◦) ist eine Halbgruppe.
Gibt es in der Halbgruppe G ein e, so dass für alle a ∈ G gilt
e ◦ a = a ◦ e = a,
dann heißt e neutrales Element, und G ist ein Monoid.
I
(Q\{0}, ·)
Gibt es in dem Monoid zu jedem a ∈ G ein Inverses a in G mit
a ◦ a = e,
(Zn , ·)
dann ist G eine Gruppe.
(Zn \{0}, ·)
–135–
S. Lucks
Diskr Strukt. (WS 16/17)
4: Gruppen
Section 4
Python
Docstrings
I
https://www.python.org/dev/peps/pep-0257/