Liegruppen und Liealgebren

Liegruppen und Liealgebren
Arne Münkel
29. Januar 2013
Inhaltsverzeichnis
1 Motivation und Definition
1
2 Die Adjungierte Darstellung und die Killingform
2
3 Die Cartan Basis
4
4 Eigenschaften der Wurzeln und Wurzelvektoren
5
5 Quantisierung der Wurzeln
7
1 Motivation und Definition
Im Rahmen des Vortrages werden wir den Begriff der Liealgebra einführen. Diese beschäftigt
sich mit den infinitesimalen Erzeugern einer Lie-Gruppe. Beispiele für Liegruppen sind
die Matrixgruppen SU (n), SO(n). Es wird ein Formalismus erarbeitet, der es einem
erlaubt mit wenig Aufwand die Auf- und Absteigeoperatoren eines Systems zu konstruieren. Dann werden noch deren Eigenschaften untersucht.
Wichtig! Im Folgenden wird die Summenkonvention benutzt.
Definition 1.1 (Liealgebra). Eine Liealgebra L ist ein Vektorraum über einen Körper
K mit einer Abbildung: [·, ·] : L × L → L die Lie-Klammer genannt wird. Mit folgenden
Eigenschaften: ∀A, B, C ∈ L; ∀λ, µ ∈ K
Bilinearität: [λA + µB, C] = λ[A, C] + µ[B, C]
Antisymmetrie: [A, B] = −[A, B]
Jacobi-Identität: [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0
(1.1)
Hierbei gehört die Bilinearität zur allgemeinen Defintion einer Algebra, die Antisymmetrie und die Jacobi-Identität sind speziell für die Liealgebra.
Beispiele 1.2.
• Kommutator in der Quantenmechanik
1
• Das Kreuzprodukt im R3
• Die Poissonklammer der klassischen Mechanik
Bemerkungen 1.3. Eine Liealgebra beinhaltet die Infinitesimalen Erzeuger einer Liegruppe.
Die Lie-Klammer zwischen Basisvektoren, auch Erzeuger genannt, der Liealgebra kann
geschrieben werden als:
γ
[Tα , Tβ ] = ifαβ
Tγ
(1.2)
γ
die Strukturkonstante genannt wird. Diese ist antisymmetrisch unter VertauWobei fαβ
schung von α und β, es gibt aber keinen offensichtlichen Zusammenhang mit γ. Wenn
man die Generatoren hermitesch wählt, ist die Strukturkonstante reell.
2 Die Adjungierte Darstellung und die Killingform
Eine Darstellung der Liealgebra ist analog zur Darstellung von Gruppen definiert als
Homomorphismus in die Endomorphismen eines Vektorraums. Genau wie bei Gruppen
erhält man durch Linksmultiplikation eine Darstellung, die adjungierte Darstellung (A)
genannt wird.
Die Matrixelemente auf einer Basis sind:
γ
(DA (Tα ))γβ = ifαβ
(2.1)
Die Matrixelemente sind also die Strukturkonstante.
Um die Strukturkonstante komplett antisymmetrisch zu machen definiert man die Killingform.
Definition 2.1 (Killingform). Die Killingform ist eine symmetrische Bilinearform definiert über die adjungierte Darstellung der Liealgebra:
(A, B) := Tr(DA (A)DA (B)) =: TrA (AB)
(2.2)
Wendet man dies auf die Erzeuger an erhält man die Matrix:
γ
δ
gαβ := TrA (Tα Tβ ) = −fαγ
fβδ
Bemerkungen 2.2.
(2.3)
• gαβ ist symmetrisch
• Diese Matrix wird auch Cartanmetrik genannt
• Die Killingform ist nicht notwendigerweise immer positiv definit
Nun kann man die Strukturkonstante total antisymmetrisch machen:
δ
fαβγ := fαβ
gδγ
2
(2.4)
Lemma 2.3. fαβγ ist total antisymmetrisch
Beweis. Zunächst hat man:
δ
TrA ([Tα , Tβ ]Tγ ) = ifαβ
Tr(Tδ Tγ )
δ
= ifαβ
gδγ
(2.5)
= ifαβγ
Jetzt benutzt man die Zyklizität der Spur:
Tr([A, B]C) = Tr([B, C]A) = Tr([C, A]B)
(2.6)
Aus der Antisymmetrie der Lie-Klammer folgt nun die Antisymmetrie von fαβγ : fαβγ =
fγαβ = −fαγβ usw.
Definition 2.4 (Unteralgebra). Eine Unteralgebra von L, ist eine Menge S ⊂ L die
abgeschlossen bezüglich der Verknüpfung ist:
[A, B] ∈ S ∀A, B ∈ S
(2.7)
Die durch die Unteralgebra induzierte Gruppe ist eine Untergruppe der Gruppe induziert durch die gesamte Algebra.
Eine normale Untergruppe wird durch eine invariante Unteralgebra induziert, diese wird
auch Ideal genannt.
Definition 2.5 (Ideal). Ein Ideal I ist eine Untermenge der Algebra L, wobei die Lieklammer mit irgendeinem Element der Algebra in I liegt, man schreibt: [I, L] ⊂ I
Besonders interressante Liealgebren sind einfache Liealgebren. Dies sind Liealgebren,
die nur die Null und die Algebra selbst als Ideal enthalten. Halbeinfache Liealgebren
sind die, die keine abelschen (kommutative) Ideale enthalten. Man kann nun zeigen,
dass folgende Aussagen äquivalent sind
• L ist halbeinfach
• gαβ ist regulär, also det(gαβ ) 6= 0
• die Killingform nicht entartet ist also: (A, X) = 0 ∀X ∈ L ⇒ A = 0
Satz 2.6. Eine halbeinfache Liealgebra L ist das direkte Summe von einfachen Liealgebren.
Beweis. Wir nehmen an L enthalte ein Ideal I. Nun nehmen wir das orthogonale Komplement (P ) bezüglich der Killingform. (Im Folgenden: A, B ∈ I und C, D ∈ P )
TrA (AC) = 0 ∀A, C
(2.8)
TrA ([C, D]A) = TrA ([D, A]C) = TrA (BC) = 0 ⇒ [C, D] ∈ P
(2.9)
P ist auch eine Subalgebra, da:
3
Durch ausnutzen der Zyklizität der Spur und dass I ein Ideal ist.
Außerdem gilt:
TrA ([D, A]B) = TrA ([A, B]D) = 0
(2.10)
Aus den beiden Gleichungen folgt, dass [A, C] ortogonal zu allen Elementen der Liealgebra ist und somit gelten muss [A, C] = 0 ∀A, C. Dies muss gelten, da die Algebra
halbeinfach ist, ist die Killingform nicht entartet. Also gilt: L = I ⊕ P . Wenn I odeer P
nun noch nicht einfach ist, wiederholt man den Prozess. Man kann also eine halbeinfache
Liealgebra als direkte Summe einfacher Liealgebren darstellen.
3 Die Cartan Basis
In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns nun mit halbeinfachen Liealgebren und werden
eine Basis suchen, die besonders für die Quantenmechanik geeignet ist. Für die Algebra
SU (2) kennen wir bereits 2 mögliche Basen:
[Ji , Jj ] = iijk Jk
(3.1)
[J3 , J± ] = ±J±
[J+ , J− ] = 2J3
(3.2)
(3.3)
und
Im Folgenden wird nun die zweite Version verallgemeinert, also eine Basis mit kommutierenden Operatoren und Auf- und Absteigeoperatoren.
Zunächst sucht man die maximale Anzahl an kommutierenden Operatoren einer Liealgebra der Dimension d und findet dabei:
Definition 3.1 (Cartan Unteralgebra). Die Cartan Unteralgebra von Rang r enthält
die r kommutierenden Erzeuger der Algebra, d.h.:
[Hi , Hj ] = 0 ∀i, j ∈ 1, . . . , r
(3.4)
Nun werden die anderen d − r Erzeuger (Eα ) so gewählt, dass sie Auf- und Absteigeoperatoren entsprechen.
[Hi , Eα ] = αi Eα
α = (1, . . . , d − r)
(3.5)
Das ist genau das Gleiche, wie wenn wir die adjungierte Darstellung der Cartan Unteralgebra diagonalisieren. [Hi , X] = λX mit λ = 0 für X in der Cartan Unteralgebra. In
Matrixform sieht das dann so aus:
(DA (Hi ))γα − λδαγ = 0
γ
ifiα
− λδαγ = 0
ifiαβ − λgαβ = 0
⇒ det(Cαβ − λgαβ ) = 0
4
(3.6)
Wobei Cαβ = ifiαβ ist. Wichtig ist, dass die Eigenwerte (6= 0) nicht entartet sind, man
findet also zu jedem Eigenwert einen eindeutigen Operator Eα . Da man in der Physik
hermitesche Operatoren benutzt, sind die Strukturkonstanten reell. Also ist C rein imaginär, antisymmetrisch, damit hermitesch und hat damit reelle Eigenwerte. r davon sind
null und d − r nicht null.
Man hat nun Eα gefunden mit [Hi , Eα ] = αi Eα . Man kann jetzt die anderen Kommutatoren von Eα berechen. Mit der Jacobi-Identität erhält man für j 6= i:
[Hi , [Hj , Eα ]] = [Hj , [Hi , Eα ]] − [Eα , [Hi , Hj ]] = [Hj , [Hi , Eα ]]
| {z }
(3.7)
=0
Daraus erhält man:
[Hi , [Hj , Eα ]] = αi [Hj , Eα ]
(3.8)
Also ist [Hj , Eα ] auch Leiteroperator zu Hi . Da die Eigenwerte nicht entartet sind muss
folgen:
[Hj , Eα ] = αj Eα
(3.9)
Dies gilt für alle Erzeuger Hj . Es gibt also einen r-dimensionalen Vektor, genannt Wurzel,
α = (α1 , . . . , αr ) für jeden Operator Eα , auch Wurzelvektor genannt.
4 Eigenschaften der Wurzeln und Wurzelvektoren
Als nächstes untersuchen wir die Kommutatorrelationen der Wurzelvektoren. Dazu benutzen wir den Kommutator [Hi , [Eα , Eβ ]] und die Jacobi-Identität und erhalten:
[Hi , [Eα , Eβ ]] = −[Eα , [Eβ , Hi ]] − [Eβ , [Hi , Eα ]] = −αi + βi [Eα , Eβ ]
(4.1)
Also gibt es drei Möglichkeiten:
1. [Eα , Eβ ] ist ein Wurzelvektor
2. α + β = 0 ⇒ β = −α
3. [Eα , Eβ ] = 0
Bei 2. ist [Eα , Eβ ] in der Cartan Subalgebra, da es mit Hi kommutiert. Man hat demnach:
[Eα , E−α ] = λi Hi
[Eα , Eβ ] = Nαβ Eα+β (β 6= −α)
(4.2)
(4.3)
Mit Nαβ = 0, wenn α + β keine Wurzel ist. Für die erste Gleichung brauchen wir noch:
Lemma 4.1. Wenn α eine Wurzel ist, so ist −α auch eine und es gilt: E−α = Eα† .
5
Beweis. Zunächst betrachtet man die Eigenwertgleichung (3.6). Wir transponieren diese
Gleichung. Die Determinante ist invariant unter Transposition. Nun ist Cαβ antisymmetrisch und gαβ symmetrisch. Man bekommt:
t
t
det(Cαβ
− λgαβ
) = det(−Cαβ − λgαβ )
(4.4)
Somit ist −α auch eine Wurzel.
Für E−α = Eα† hat man:
(αEα )† = αEα† = [Hi , Eα ]† = −[Hi , Eα† ]
(4.5)
Hierbei wird benutzt, dass Hi hermitesch ist.
Jetzt untersucht man die Killingform der gewählten Basis.
αj TrA (Eα Hi ) = TrA ([Hj , Eα ]Hi ) = −TrA ([Hj , Hi ]Eα ) = 0
(4.6)
Da αj 6= 0 erhält man (Hi , Eα ) = 0
Ähnlich findet man:
(Eα , Eβ ) = 0
(4.7)
Für eine nicht entartete Killingform darf (Eα , E−α ) nicht null sein, mit geeigneter Normalisierung bekommt man (E−α , Eα ) = 1.
Die Untermatrix (Hi , Hj ) darf nicht entartet sein. Mit geeigneter Wahl erhält man ebenfalls:
(Hi , Hj ) = δij
(4.8)
Aus der Gleichung folgt sofort ([Eα , E−α ], Hj ) = λj . Mit der Zyklizität der Spur erhält
man:
TrA ([Eα , E−α ]Hj ) = TrA ([Hj , Eα ]E−α ) = αj TrA (Eα E−α ) = αj
(4.9)
Damit gilt λj = αj . Die so erarbeitete Basis heißt Cartan-Weyl-Basis. Zum Schluss
kommt noch eine Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften dieser Basis.
[Hi , Hj ] = 0
[Hi , Eα ] = αi Eα
[Eα , E−α ] = αi Hi
[Eα , Eβ ] = Nαβ α + β 6= 0
(4.10)
(Hi , Hj ) = δij
(Hi , Eα ) = 0
(Eα , E−α ) = 1
(Eα , Eβ ) = 0 α + β 6= 0
(4.11)
6
5 Quantisierung der Wurzeln
Jede Wurzel stellt einen r−dimensionalen Vektor da. Man definiert das Skalarprodukt
wie üblich α · β = αi βi und α · H = αi Hi .
Nun definiert man sich die neuen Operatoren:
2
Hα := 2 α · H
(5.1)
α
Die Kommutatoren zwischen diesen Operatoren verschwinden, da sie Linearkombinationen der Hi sind. Von der zweiten Gleichung von (4.10) erhält man
[Hα , Eβ ] =
2α · β
Eβ
α2
(5.2)
Die dritte Gleichung gibt
1
[Eα , E−α ] = α2 Hα
2
Als Spezialfall von (5.2) bekommt man
(5.3)
[Hα , E±α ] = ±2E±α
(5.4)
Die letzten beiden Gleichungen haben die gleiche Struktur, wie die Drehimpulsalgebra.
q
2
Dies erkennt man durch die Identifizierung von J3 = 21 Hα und J± =
E . Die
α2 ±α
Drehimpulsalgebra kann durch die SU (2)-Algebra dargestellt werden. Es gibt also für
jede Wurzel α eine zugehörige SU (2)-Algebra Sα . Da J3 halbzahlige Eigenwerte hat, muss
Hα ganzzahlige haben. Die Operatoren E±α erhöhen bzw. erniedrigen den Eigenwert um
,
2. Die Wirkung eines Operators Eβ auf Hα ist eine Erhöhung oder Erniedrigung um 2α·β
α2
welches also ganzzahlig sein muss:
2α · β
=n n∈Z
(5.5)
α2
Mit Hilfe der Cauchy-Schwartz-Ungleichung erhält man
α · β ≤ |α|2 |β|2
2α · β 2β · α
⇒
≤4
α2
β2
Man kann nun einen allgemeinen Winkel zwischen den Wurzeln definieren
α·β
cos θ :=
|α||β|
Drückt man diese Gleichungen über Quantenzahlen aus, erhält man mit n1 =
n2 = 2β·α
β2
(5.6)
(5.7)
2α·β
α2
und
n1 n2 ≤ 4
(5.8)
1√
cos θ =
n1 n2
2
Im Folgenden wird benutzt 0 ≤ n2 ≤ n1 außerdem 0 ≤ θ ≤ π2 . Die anderen Möglichkeiten
erhält man, indem man das Vorzeichen von α oder β ändert, oder diese austauscht.
7
Lemma 5.1. Wenn α eine Wurzel ist, dann ist λα nur Wurzel für λ = ±1.
Beweis. Für λ > 2 gilt n01 ≥ 3n1 und n02 ≥ 3n2 aus der Ungleichung (5.8) muss gelten:
3n1 3n2 ≤ 4
(5.9)
Da 0 ≤ n1 ≤ n2 , ist dies ein Widerspruch, also λ < 3. Es gilt also [Eα , E2α ] = 0. Wir nehmen jetzt an, 2α sei eine Wurzel. Jetzt betrachtet man [E−α , E2α ]. Dieser Kommutator
ist entweder 0 oder proportional zu Eα . Wir nehmen zunächst an, dass der Kommutator
verschwindet. Dann hat man
[[E−α , Eα ], E2α ] = [Eα , [E2α , E−α ]] + [E−α , [E2α , Eα ]] = 0
(5.10)
Mit der Jacobi-Identität mit (5.3) bekommt man:
1
[[E−α , Eα ], E2α ] = [ α2 Hα , E2α ] ∝ E2α
2
(5.11)
Dies ist ein Widerspruch. Nimmt man an, das [E−α , E2α ] ∝ Eα benutzt man den Kommutator [[E−α , E2α ], Eα ]. Mit der Jacobi-Identität ist dieser ungleich null
[[E−α , E2α ], Eα ] = [E−α , [E2α , Eα ]] + [E2α , [Eα , E−α ]] 6= 0
(5.12)
benutzt man [E−α , E2α ] ∝ Eα ist dieser null. Daraus folgt, dass λ 6= 2 und damit die
Behauptung.
Damit kann n1 nicht vier sein. Die übrigen Werte (außer n1 = n2 = 2, welches bedeutet
α = β) sind:
• n1 = 0 ⇒ n2 = 0 mit θ = π2 , die Wurzeln sind also senkrecht zu einander
• n1 = n2 = 1 mit θ =
π
3
und |α| = |β|
√
• n1 = 2, n2 = 1 mit θ = π4 und |β| = 2|α|
√
• n1 = 3, n2 = 1 mit θ = π6 und |β| = 3|α|
Als nächstes kann man die anderen möglichen Wurzeln konstruieren. Dabei lässt man
einfach einen Leiteroperator E±β auf einen anderen Eα wirken. Dadurch erhält man einen
β-Wurzel-Strang über α, der die Wurzeln von α + pβ bis α − qβ mit p, q ∈ N enthält. Die
Operatoren Eα+kβ bilden eine irreduzible Darstellung von Sβ , der Dimension 2j+1, wobei
j ganz- oder halbzahlig sein kann. Damit sind ±j die betragsmäßig größten Eigenwerte
von 12 Hα . Man hat
(α + pβ) · β
1
jEα+pβ = [ Hβ , Eα+pβ ] =
Eα+pβ
2
β2
8
(5.13)
und damit
(α + pβ) · β
β2
(α − qβ) · β
−j =
β2
j=
(5.14)
(5.15)
Hieraus ergibt sich
q + p = 2j
2α · β
q−p=
= n2
β2
(5.16)
Damit hat man dann alle Wurzeln der Liealgebra konstruiert. Als letztes kann man
zeigen, dass die Wurzeln unter Weyl-Reflektion wieder auf Wurzeln abgebildet werden.
Dies entspricht einer Spiegelung an Hyperebenen im Wurzelraum, die senkrecht zu den
Wurzeln stehen.
Definition 5.2 (Weyl-Reflektion). Unter einer Weyl-Reflektion versteht man die Abbildung
σ :Φ×Φ→Φ
f : (α, β) 7→ σα (β) = β −
2β · α
α
α2
(5.17)
Wobei Φ der durch die Wurzeln aufgespannte Vektorraum ist, also Φ = span{α, β, . . .}.
Satz 5.3. Wurzeln werden unter Weyl-Reflektion wieder auf Wurzeln abgebildet.
Beweis. Wir betrachten den α-Wurzel-Strang über β. Wir wissen aus (5.16), dass p−q =
− 2α·β
. Hierbei ist man q Schritte von der höchsten Wurzel hinunter gegangen. Dreht
α2
man dies nun um und geht p Schritte vom untersten nach oben, erhält man als Wurzel
α. Wendet man also die Weyl-Reflektion auf eine Wurzel an,
β + (−q + p)α = β − 2α·β
α2
erhält man wieder eine Wurzel.
Literatur
[1] Christoph Lüdeling: physics751: Group Theory (for Physicists)
http://www.th.physik.uni-bonn.de/nilles/people/luedeling/grouptheory
[2] HF Jones: Groups, represantation and physics, Adam Hilger
9