Eigenwerte und Eigenvektoren

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Eigenwerte und Eigenvektoren
Eigenwerte und Eigenvektoren
Eigenwerte
Für eine gegebene quadratische Matrix A ∈ Rn×n , (oder A ∈ Cn×n )
suchen wir Skalare λ (reell oder komplex) so dass
A − λI
nicht bijektiv ist
Wir nennen solche Zahlen Eigenwerte der Matrix A
Beispiel

1
A= 1
0
0
2
0

0
1 
1
Offenbar ist A regulär, d.h. 0 ist kein Eigenwert von A.
Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
WS 2012
374 / 415
Eigenvektoren
Jedes nichtverschwindende Element des Kerns von A − λI wird Eigenvektor
der Matrix A zum Eigenwert λ genannt.
Bemerkung: Wir bezeichnen mit I die Einheitsmatrix – wenn wir eine andere
Matrix verwenden, sprechen wir von einem verallgemeinerten
Eigenwertproblem.
Wenn v Eigenvektor ist, so ist offenbar auch κv Eigenvektor für jeden von
Null verschiedenen Skalar κ.
Mit λ = 1 und der Matrix A aus dem Beispiel ergibt sich


0 0 0
A − λI =  1 1 1 
0 0 0
dies ist offensichtlich eine singuläre Matrix, sie bildet z.B. (1, −1, 0)T und
(0, 1, −1)T auf den Nullvektor (0, 0, 0)T ab.
Ebenso ist λ = 2 Eigenwert, A − 2I bildet (0, 1, 0)T auf den Nullvektor in R3
ab.
Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
WS 2012
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Charakteristische Gleichung
Wenn wir die Bedingung, dass A − λI singulär sei, mittels
Determinante ausdrücken, erhalten wir die sogenannte
charakteristische Gleichung
|A − λI| = det (A − λI) = 0 .
Die linke Seite dieser Gleichung ist ein Polynom nten Grades in λ.
Für die Matrix aus dem Beispiel ergibt sich
det (A − λI) = (1 − λ)2 (2 − λ) .
Damit sind λ1 = 1 und λ2 = 2 die einzigen Eigenwerte von A.
Beachte, dass λ1 ein mehrfacher Eigenwert der Vielfachheit 2 ist.
Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
WS 2012
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Existenz
Aus dem Hauptsatz der Algebra wissen wir, dass ein Polynom nten
Grades genau n Wurzeln hat – wobei Vielfachheiten zu zählen sind.
Für n paarweise verschiedene Wurzeln – alle Eigenwerte sind also
einfach – erhalten wir auch n unabhängige Eigenvektoren.
Bemerkung: Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear
unabhängig.
Wenn eine Basis aus Eigenvektoren v1 . . . vn existiert, dann
diagonalisiert diese die Matrix A
diag (λ1 . . . λn ) = V −1 AV
maple worksheet zu Eigenvektoren
Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
WS 2012
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Symmetrie
Unter der Voraussetzung, dass A ∈ Rn symmetrisch ist, also A = AT ,
existiert ein komplettes System reeller Eigenvektoren, d.h. in gewissen
Basen ist A diagonal.
Wir nennen solche Systeme eine Eigenbasis von A.
Bemerkung: Asymmetrische Matrizen können n verschienene
Eigenwerte und somit eine Eigenbasis haben, für multiple Eigenwerte
gibt es jedoch Beispiele, wo dies nicht der Fall ist.
Die Eigenwerte bzw. -vektoren können komplex sein, auch wenn die
Matrix reell ist.
Wenn die Matrix A symmetrisch ist, dann sind Eigenvektoren zu
verschiedenen Eigenwerten orthogonal, man kann also immer n
orthogonale Eigenvektoren mit Länge Eins wählen
orthogonale Matrix V , VV T = V T V = I.
Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
WS 2012
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Potenzmethode
Es gibt keine Formel zur Lösung von Polynomgleichungen höheren als
vierten Grades. Damit ist das Finden von Eigenwerten und
Eigenvektoren im Allgemeinen sehr diffizil.
Ein relativ leichter Weg zum Bestimmen des betragsmäßig größten
Eigenwertes einer symmetrischen Matrix besteht in der folgenden
iterativen Prozedur:
1
wähle Anfangsvektor v
2
bilde ihn ab auf Av
3
normiere (Norm beliebig, z.B. l 2 oder l ∞ )
4
wenn die Ergebnisse sich stabilisieren, stop, sonst wiederholen
...
Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
WS 2012
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Eigenwertproblem – Zusammenfassung
Definition
Der Skalar λ heißt Eigenwert, der Vektor x 6= Θ Eigenvektor der Matrix
A ∈ Rn×n , wenn gilt
Ax = λx
Bemerkung: Die Matrix A − λI ist für Eigenwerte λ singulär
→ kanonische Gleichung
|A − λI| = det (A − λI) = 0
Polynomgleichung n-ten Grades
→ ∃n Lösungen (in C), aber i.a. nur numerisch lösbar
Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
WS 2012
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Beispiel


3
0
0
1 −1 
A =  0
0 −1
1
0 = |A − λI| = λ(3 − λ)(λ − 2)
A hat also die EW 0, 2, und 3.
EV hierzu sind z. B. (0, 1, 1)T , (0, 1, −1)T sowie (1, 0, 0)T .
Weil 0 EW ist, ist A singulär.
Weil alle EW nichtnegativ sind, ist A positiv semidefinit.
Kurt Frischmuth (IfM)
Mathe4WiWi
WS 2012
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