1 Sprechweisen und Symbole der Mathematik

1 Sprechweisen und Symbole der
Mathematik
Übersicht
1.1
Junktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Summen- und Produktzeichen
... ... .. ... .. ... ... .. ... .. ... .. ... ... ..
4
1.4
Symbole der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
In der Mathematik werden Aussagen formuliert und auf ihren Wahrheitsgehalt hin
Aussage stellen wir uns hierbei vereinfacht einen feststellenden
untersucht. Unter einer
Satz vor, dem eindeutig einer beider Wahrheitswerte FALSCH oder WAHR zugeordnet
werden kann.
1.1 Junktoren
Mit Junktoren werden
einfache
Aussagen zu einer
komplexen
Aussage verknüpft. Wir
betrachten die fünf (wichtigsten) Junktoren
N ICHT
UND
ODER
IM P LIKAT ION
1.1.1 Negation
Ist
A
eine Aussage, so ist
¬A
die
Negation von A.
Beispiele.
¬(Heute regnet es) heiÿt: Heute regnet es nicht.
¬(x ≥ 5) heiÿt: x < 5.
¬(Für alle x, y ∈ M gilt f (x + y) = f (x) + f (y)
Es gibt x, y ∈ M mit f (x + y) ̸= f (x) + f (y).
heiÿt:
ÄQU IV ALEN Z .
1 Sprechweisen und Symbole der Mathematik
2
1.1.2 UND
Sind
A
und
B
Aussagen, so kann man
A∧B
betrachten; man nennt
∧
den
UND-
Junktor. Es gilt
Der UND-Junktor
A∧B
A∧B
ist wahr, wenn beide Aussagen erfüllt sind.
ist falsch, wenn eine der beiden Aussagen falsch ist.
Beispiele.
A : Die Sonne scheint und B : Wir haben frei ist nur dann wahr, wenn A
B erfüllt sind.
Sind A : x ≤ 5, B : x ∈ N x < 5, so heiÿt A ∧ B : x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}.
und
1.1.3 Oder
Sind
A
und
B
Aussagen, so kann man
A∨B
betrachten; man nennt
∨
den
ODER-
Junktor. Es gilt
Der ODER-Junktor
A∨B
A∨B
Vorsicht.
ist wahr, wenn eine der Aussagen erfüllt ist.
ist falsch, wenn beide Aussagen falsch sind.
Das ODER ist nicht ausschlieÿend es dürfen auch beide Aussagen erfüllt
sein. Ausschlieÿend ist ENTWEDER-ODER.
Beispiele.
Gesucht ist jemand mit Englisch- oder Französischkenntnissen.
Sind
A : x ∈ R ∧ x ≥ 2 ∧ x ≤ 4, B : x ∈ {2, 3, 7},
1.1.4 Implikation
Wenn A gilt, dann gilt auch B , kurz A ⇒ B .
so heiÿt
A ∨ B : x ∈ [2, 4] ∪ {7}.
1.1 Junktoren
3
Beispiele.
Wenn es regnet, dann ist die Straÿe naÿ; kurz:
Es regnet
⇒
Die Straÿe ist naÿ.
Wenn m eine gerade natürliche Zahl ist, dann ist m · n eine gerade natürliche Zahl
(
n ∈ N);
kurz:
m
gerade
⇒ m·n
gerade (
n ∈ N).
Denn: m gerade ⇒ m = 2 · m′ , m′ ∈ N ⇒ m · n = 2 · m′ · n, m′ ∈ N ⇒ m · n gerade.
Vorsicht. A ⇒ B ̸⇒ B ⇒ A:
regent. Wie sieht es mit den
Die Straÿe kann auch dann naÿ sein, wenn es nicht
Umkehrungen
beim zweiten Beispiel aus?
1.1.5 Äquivalenz
Genau dann gilt A, wenn B gilt, kurz: A ⇒ B und B ⇒ A, noch kürzer: A ⇔ B .
Beispiele.
Genau dann ist die Straÿe naÿ, wenn
es regnet,
die Straÿe gereinigt wird,
Schnee schmilzt,
ein Eimer Wasser verschüttet wurde,
...
Für
x∈R
gilt:
x ≤ 5 ∧ x ∈ N ⇔ x ∈ {1, 2, 3, 4, 5} .
Für
x∈R
gilt:
x∈Q ⇔
Denn: x ∈ Q
⇔ x=
Wähle etwa n = q .
Sind m, n ∈ N, so gilt:
m·n
p
q mit
es gibt ein
p∈Z
ist gerade
und
⇔ m
n∈N
mit
n · x ∈ Z.
q ∈ N ⇔ q·x = p
ist gerade
∨ n
mit
p∈Z
ist gerade
und
q ∈ N.
.
Denn: ⇐: m gerade oder n gerade ⇒ m · n gerade (siehe oben).
⇒: m · n
gerade
⇔ m·n = 2·q
mit einem
q ∈ N.
Angenommen, weder
m
noch
n
sind gerade. Dann gilt
m = 2 · m′ + 1
und
n = 2 · n′ + 1
m′ , n′ ∈ N. Es folgt m · n = 4 · m′ · n′ + 2 · (m′ + n′ ) + 1 = 2 · k + 1
k ∈ N. Das ist ein Widerspruch zu m · n ist gerade.
mit
mit einem
1 Sprechweisen und Symbole der Mathematik
4
1.2 Quantoren
Quantoren
erfassen
Variable
mengenmäÿig; was da heiÿt, versteht man erst später.
Wir betrachten vier Quantoren:
∀ zu jedem bzw. für alle.
∃ es gibt,
∃1 es gibt genau ein,
@ es gibt kein.
Beispiele.
Für Zu jeder reellen Zahl
x gibt es eine natürliche Zahl n, die gröÿer als x ist
kann
man kurz schreiben:
∀x ∈ R ∃n ∈ N : n ≥ x.
Man beachte die Reihenfolge:
∃n ∈ N : n ≥ x ∀x ∈ R
ist Quatsch.
Sind
A = {1, 2, 3}
und
B = {1, 4, 9},
so gilt:
∀ b ∈ B ∃ 1 a ∈ A : a2 = b .
1.3 Summen- und Produktzeichen
Das Summenzeichen
∑
und das Produktzeichen
setzt:
a 1 + a2 + · · · + a n =
n
∑
i=1
ai
und
∏
sind nützliche Abkürzungen, man
a1 · a 2 · · · an =
n
∏
ai .
i=1
Beispiele.
100
∑
2i = 2 + 22 + 23 + · · · + 2100 .
i=1
100
∏
1
i2 =
i=1
10 ∏
5
∑
1·
1
4
·
1
9
1
· · · 10000
.
i · j = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 + 2 · 4 · 6 · 8 · 10 + · · · + 10 · 20 · 30 · 40 · 50.
i=1 j=1
n
∑
n−1
∑
i=0
l=1
a i = a0 +
+al .
1.4 Symbole der Mengenlehre
5
1.4 Symbole der Mengenlehre
Den Begri
Menge denieren wir nicht. Wir stellen uns das richtige darunter vor. Tatnaive Auassung kann schnell zu
führen. Wir hantieren nur mit kleinen Mengen, da ist alles unproblema-
sächlich ist der Mengenbegri sehr kompliziert, eine
Problemen
tisch.
Die Elemente einer Menge können explizit angegeben sein, wie etwa
A = {1,
√
2, 13, Angela
Merkel
},
oder durch Eigenschaften erklärt werden
A = {n ∈ N | n
ist gerade
} = 2N − 1.
Bekannt bzw. selbsterklärend sind:
a ∈ A a ist Element von A.
a ̸∈ A a ist kein Element von A.
A ⊆ B A ist eine Teilmenge von B : a ∈ A ⇒ a ∈ B .
A * B A ist keine Teilmenge von B : ∃ a ∈ A : a ̸∈ B .
A ( B A ist eine echte Teilmenge von B : (a ∈ A ⇒ a ∈ B) ∧ (∃ b ∈ B : b ̸∈ A).
A = B Gleichheit von A und B : A ⊆ B ∧ B ⊆ A.
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} die Vereinigung von A und B .
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} der Durchschnitt von A und B .
A \ B = {x ∈ A | x ̸∈ B} die Mengendierenz: A ohne B .
CB (A) = B \ A, falls A ⊆ B das Komplement von A in B .
|A| die Mächtigkeit oder Kardinalität von A, d. h. die Anzahl der Elemente von
A, falls A endlich, bzw. ∞ sonst.
A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} das kartesische Produkt von A und B .
∅ die leere Menge.
Beispiel 1.1
Gegeben sind die Mengen
A = {1, 2, 5, 7} , B = {n ∈ N | n
Es gilt z. B.:
D ⊆ A,
D ( A,
D ⊆ B,
D ( B,
C * B,
B * C,
ist ungerade
} C = {2,
√
2, B}, D = {1, 5, 7} .
1 Sprechweisen und Symbole der Mathematik
6
B ∈ C,
A ∩ D = D,
C ∩ D = ∅,
C ∩ B = ∅,
B\C =B
B \ A = B \ D = {n ∈ N | n ist ungerade und n ≥ 7} ∪ {3} = CB (D),
A ∩ B = D,
√
√
√
C × D = {(B, 1), (B, 5), (B, 7), (2, 1), (2, 5), (2, 7), ( 2, 1), ( 2, 5), ( 2, 7)},
|C × D| = 9 = |C| · |D|.
Übrigens nennt man zwei Mengen
fremd.
A
und
B
mit
A∩B = ∅
disjunkt oder element-
Das letzte Beispiel läÿt sich verallgemeinern, es gilt oenbar:
Lemma 1.1
Sind A und B endliche Mengen so gilt
|A × B| = |A| · |B| .
Nicht ganz so oensichtlich ist:
Satz 1.2
Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. Anders ausgedrückt:
∀ Menge B : ∅ ⊆ B .
Beweis:
von
Angenommen, es gibt eine Menge B mit ∅ * B . Dann gibt es laut Denition
* ein a ∈ ∅ mit a ̸∈ B . Dies ist ein Widerspruch, es gibt nämlich kein a ∈ ∅.
Der Beweis in Kurzform:
Angenommen,
∃B
mit
∅ * B ⇒ ∃a ∈ ∅
mit
a ̸∈ B ⇒
Widerspruch.
Jetzt Unterlagen zumachen bzw. umdrehen und den Beweis noch einmal selber führen.
Aufgaben
1.1 Drücken Sie folgende Sachverhalte mit mathematischen Symbolen aus: Es gibt eine Menge,
die enthält keine geraden Zahlen. Diese Menge hat drei Elemente ...
1.2 Formulieren Sie mit Symbolen und negieren Sie dann die Aussage: Jede Menge hat eine
Teilmenge, die
0
Elemente hat ...
1.3 Wenn es einen Studenten gibt, der zugleich Maschinenwesen und Architektur studiert,
dann studiert dieser auch Mathematik ...