Algebraische Strukturen

Algebraische Strukturen
Eine
kommutative Gruppe (G , ⊕)
ist eine Menge
eine Verknüpfung (ein zweistelliger Operator)
(d. h. zu
a, b ∈ G
I (G1)
I (G2)
I (G3)
I (G4)
a ⊕ b ∈ G deniert),
Gruppenaxiomen):
ist
Regeln genügt (den
⊕
G,
auf der
deniert ist
welche bestimmten
a ⊕ b = b ⊕ a für alle a, b ∈ G ,
(a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c ) für alle a, b, c ∈ G ,
Es gibt ein neutrales Element: n ∈ G mit
n ⊕ a = a ⊕ n = a für alle a ∈ G ,
Zu jedem a gibt es ein Inverses i (a) ∈ G mit
a ⊕ i (a ) = i (a ) ⊕ a = n .
Bemerkung: Allgemein spricht man von einer
Gruppe,
wenn
(G2), (G3) und (G4) erfüllt sind. Ist zusätzlich (G1) erfüllt, so
spricht man von einer
kommutativen
(oder
abelschen)
Gruppe.
algebra.pdf, Seite 1
Beispiele für Gruppen
I
I
(Z, +), (Q, +)
(R, +) sind abelsche Gruppen mit
neutralem Element n = 0 und Inversen i (a) = −a.
(Q \ {0}, ·), (R \ {0}, ·) und ({±1}, ·) sind abelsche
Gruppen mit neutralem Element 1 und Inversen i (a) =
und
1
.
a
I Die Menge aller Drehungen im dreidimesionalen Raum
bildet mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung
eine (nichtkommuatative) Gruppe.
I Ist
M
eine Menge, so bildet die Menge aller bijektiven
Abbildungen von
M
nach
M
bezüglich der Komposition
◦ eine (i. A. nicht abelsche) Gruppe.
Das neutrale Element ist die identische Abbildung
f (x ) = x ,
i (f ) ist die inverse Abbildung f −1 .
m × nMatrizen bildet mit der
das Inverse
I Die Menge aller
Matrizenaddition eine abelsche Gruppe.
I Die Menge aller invertierbaren
n × nMatrizen
bildet mit
der Matrizenmultiplikation eine (nicht abelsche) Gruppe.
algebra.pdf, Seite 2
Zm ist Gruppe
I
Zm
bildet mit der Addition modulo
m
eine abelsche
Gruppe mit neutralem Element 0 und Inversen
I
i (a ) = m − a .
Zu m ≥ 2 bildet
Z∗m = {a ∈ Zm :
teilerfremden Restklassen
ggT(a, m ) = 1} bildet mit der
Multiplikation modulo m als Verknüpfung eine abelsche
Gruppe mit neutralem Element 1. i (a) ist hier das
modulare Inverse von a modulo m .
Die Eulersche PhiFunktion ϕ(m ) gibt die Anzahl der
∗
Elemente von Zm an.
die Menge der
Beispiele
I
Z∗4 = {1, 3} ⇒ ϕ(4) = 2
Für die Verknüpfung gilt beispielsweise
−1
3 · 3 = 9 mod 4 ⇒ 3
= 3.
I
Z∗5 = {1, 2, 3, 4} ⇒ ϕ(5) = 4
und
Z∗6 = {1, 5}.
algebra.pdf, Seite 3
Weitere Beispiele
I
I
Z∗10 = {1, 3, 7, 9} ⇒ ϕ(10) = 4.
Hier gilt beispielsweise 3 · 9 = 7 und 3 · 7 = 1. Es folgt,
−1
dass 3 und 7 zueinander invers sind (d. h. 3
= 7 und
−1
7
= 3).
Man erhält die Multiplikationstabelle · 1 3 7 9
1
1
3
7
9
3
3
9
1
7
7
7
1
9
3
9
9
7
3
1
∗
Z60 =
{1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59}
⇒ ϕ(60) = 16
mit z. B. 11 · 13 = 143 mod 60 = 23.
Aus 13 · 37 = 481 = 1 (mod 60) folgt, dass 13 und 37
zueinander invers sind.
algebra.pdf, Seite 4
Ringaxiome
Ein
Ring (R , +, ∗)
ist eine abelsche Gruppe
(R , +)
mit einer
zweiten Verknüpfung ∗, die folgende Bedingungen erfüllt:
I (M2)
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c )
(Assoziativgesetz der
Multiplikation)
neutrales Element der Multiplikation
∈ G mit 1 ∗ a = a ∗ 1 für alle a ∈ G
(D1) a ∗ (b + c ) = a ∗ b + a ∗ c
(D2) (b + c ) ∗ a = b ∗ a + c ∗ a (Distributivgesetze)
I (M3) Es gibt ein
1
I
I
Gilt zusätzlich das Kommutativgesetz der Multiplikation
I (M1)
a ∗ b = b ∗ a,
so spricht man von einem
kommutativen Ring.
algebra.pdf, Seite 5
Beispiele
I
I
(Z, +, ·), (Q, +, ·) und (R, +, ·) sind kommutative Ringe.
(Zm ) ist mit Addition und Multiplikation mod m ein
kommutativer Ring.
I Die Menge aller
n × nMatrizen
bildet einen (nicht
kommutativen) Ring.
I Die Menge aller Polynome über
R
(oder über
Z2 )
bildet
einen kommutativen Ring.
Fazit
In einem kommutativen Ring können die Grundrechenarten
plus, minus und mal mit den gängigen Rechenregeln
durchgeführt werden.
Division ist jedoch in der Regel nicht allgemein möglich.
algebra.pdf, Seite 6
Körperaxiome
Ein kommutavier Ring
(K, +, ∗)
ist ein
Körper,
wenn
zusätzlich zu (G1)(G4), (D1)(D2) und (M1)(M3) gilt
(M4) Jedes
a∈K
mit
a 6= 0
(wobei 0 das neutrale Element
−1
der Addition bezeichnet) hat ein
mit
multiplikatives Inverses a
a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = 1
Beipsiele
I
Q
und
R
(und die komplexen Zahlen
nicht jedoch
C)
sind Körper,
Z.
I Die Galoiskörper GF(2n ) sind Körper mit endlich vielen
Elementen.
algebra.pdf, Seite 7
Endlicher Körper Zp
p eine Primzahl, so ist ggT(a, p ) = 1
1 ≤ a ≤ p − 1, d. h. es ist
Ist
für jedes
a
mit
Z∗p = Zp \ {0} = {1, 2, ..., p − 1}.
Also hat jedes
ist
Zp
a 6= 0
in
Zp
eine multiplikatives Inverses. Somit
ein Körper.
Beispiel p = 7
Man erhält die Multiplikationstabelle
Daraus können die multiplikativen
Inversen abgelesen werden:
1
−1
= 1,
−1
2
= 4,
3
−1
= 5,
4
−1
·
1
2
3
4
5
6
= 2,
1
1
2
3
4
5
6
−1
5
2
2
4
6
1
3
5
3
3
6
2
5
1
4
= 3,
4
4
1
5
2
6
3
6
5
5
3
1
6
4
2
−1
6
6
5
4
3
2
1
= 6.
algebra.pdf, Seite 8
Lineare Gleichungen
lassen sich in einem Körper durch elementare Umformungen
auösen, z. B.
a ∗ x + b = c ⇔ a ∗ x = c − b ⇔ x = a−1 ∗ (c − b),
wobei
−b
das Inverse von
b
bezüglich der Addition bezeichnet.
Beispiel in Z7
+ 6 = 1 ⇔ 3x = 1 − 6 = 2 ⇔ x = 3−1 · 2 = 5 · 2 = 3
4x + 5 = 2(x + 4) ⇔ 4x + 5 = 2x + 2 · 4 = 2x + 1
⇔ 2x + 4 = 0 ⇔ 2x = 3 ⇔ x = 2−1 · 3 = 4 · 3 = 5
I 3x
I
algebra.pdf, Seite 9
Beispiel in Z17
Gesucht
9(x
x ∈ Z17
mit 9(x
+ 7) = 14x + 16:
+ 7) = 14x + 16 ⇔ 9x + 12 = 14x + 16
⇔ 12 − 16 = (14 − 9)x ⇔ 13 = 5x ⇔ x = 5−1 · 13 = 7 · 13 = 6
Bei der ersten Umformung wurde benutzt
9(x
+ 7) = 9 · x + 9 · 7 = 9x + 12
in
Z17 ,
am Ende wurde benutzt, dass 7 das modulare Inverse zu 5 in
Z17
ist, was beispielsweise mit dem erweiterten euklidischen
Algorithmus bestimmt werden kann (alternativ durch die
Beobachtung 5
· 7 = 35 = 1 + 2 · 17).
algebra.pdf, Seite 10