Formelsammlung

Ökonometrie
Formeln und Tabellen
Formelsammlung
1
1.1
Lineares Modell und KQ-Schätzung
Einfachregression
Lineares Modell:
Yi = β0 + β1 xi + Ui ,
i = 1, 2, . . . , n
Annahmen des linearen Modells:
A1:
E[Ui ] = 0 für alle i = 1, 2, . . . , n
A2:
V AR[Ui ] = σ 2 für alle i = 1, 2, . . . , n
A3:
COV [Ui Uj ] = 0 für alle i, j = 1, 2, . . . , n mit i 6= j
A4:
E[xi Ui ] = 0 für alle i = 1, 2, . . . , n
A5:
Sx2 =
1
n
P
i (xi
− x)2 > 0
Einfaches Gauß–Modell: Zusätzliche Annahme:
Ui ∼ N (0, σ 2 ) für alle i = 1, 2, . . . , n
A6:
1.2
Kleinst–Quadrat–Schätzer
β̂0 und β̂1 werden als KQ–Schätzfunktionen bezeichnet, wenn sie unter allen
PnSchätzfunktionen
β̃0 und β̃1 diejenigen sind, die die Residuenquadratsumme RSS(β̃0 , β̃1 ) = i=1 (Yi − β̃0 − β̃1 xi )2
minimieren.
Zur Berechnung der KQ–Schätzer benötigte Momente:
n
Sx2 =
1X
(xi − x)2 ,
n i=1
n
SY2 =
1X
(Yi − Y )2 ,
n i=1
1
n
Sx,Y =
1X
(xi − x)(Yi − Y )
n i=1
Ökonometrie
2
Sx,Y
,
Sx2
KQ–Schätzer für β0 und β1 :
β̂1 =
β̂0 = Y − β̂1 x
KQ–Prognose–Schätzer für β0 + β1 x = E[Y |x]:
Ŷ (x) = β̂0 + β̂1 x
Schätzer für σ 2 :
c2 =
σ
n
1 X 2
Û
n − 2 i=1 i
mit
Ûi = Yi − β̂0 − β̂1 xi
Streuungszerlegung:
SY2 = SŶ2 + SÛ2
Bestimmtheitsmaß:
RY2 |x =
RY2 |x
1.3
SŶ2
SY2
=1−
SÛ2
SY2
2
Sx,Y
Sx,Y
= (rXY )2 = 2 2 = β̂1 2
Sx SY
SY
Eigenschaften der Schätzfunktionen
Linearität von β̂0 und β̂1 :
β̂1 = β1 +
n
X
wi Ui
mit wi =
i=1
xi − x
,
nSx2
β̂0 = β0 +
n
X
vi Ui
mit vi = 1/n − wi x
i=1
Erwartungswerte, Varianzen und Schätzer für die Varianzen der Schätzfunktionen
Schätzer
E[•]
V AR[•]
β̂0
β0
σ2
β̂1
β1
σ2
Ŷ (x)
c2
σ
1.4
β0 + β1 x
σ2
Vd
AR[•]
x2
nSx2
1
nSx2
"
2 #
σ2
x−x
1+
n
Sx
σ4
2
n−2
2
c2 x
σ
nSx2
c2 1
σ
nSx2
"
2 #
c2
σ
x−x
1+
n
Sx
c2 )2
(σ
2
n−2
Zweifachregression
Lineares Modell:
Yi = β0 + β1 x1i + β2 x2i + Ui ,
i = 1, 2, . . . , n
β̂0 , β̂1 und β̂2 werden als KQ–Schätzfunktionen bezeichnet, wenn sie unter allen Schätzfunktionen
Pn
β̃0 , β̃1 und β̃2 diejenigen sind, die die Residuenquadratsumme RSS(β̃0 , β̃1 , β̃2 ) = i=1 (Yi − β̃0 −
β̃1 x1i − β̃2 x2i )2 minimieren.
KQ-Koeffizienten: β̂0 = y − β̂1 x1 − β̂2 x2 ,
bzw.
β̂1 =
Sx1 y Sx22 − Sx2 y Sx1 x2
,
Sx21 Sx22 − (Sx1 x2 )2
β̂2 =
Sx21 Sx2 y − Sx1 y Sx1 x2
Sx21 Sx22 − (Sx1 x2 )2
Formelsammlung


β̂1
β̂2


 = 
3
Sx21
Sx1 x2
Sx1 x2
Sx22

−1 


Sx1 y
Sx2 y

Sx1 y Sx22 − Sx2 y Sx1 x2

 S 2 S 2 − (S
2
x1 x2 )


x1 x2

= 
 2

 Sx1 Sx2 y − Sx1 y Sx1 x2 
Sx21 Sx22 − (Sx1 x2 )2
Varianzen: σβ̂2 =
1
Sx22
σ2
2
2
n Sx1 Sx2 − (Sx1 x2 )2


=

Sx22
−Sx1 x2
−Sx1 x2
Sx21
Sx21 Sx22 − (Sx1 x2 )2



Sx1 y
Sx2 y


.
, σβ̂2 =
2
Sx21
σ2
2
2
n Sx1 Sx2 − (Sx1 x2 )2
bzw.


1.5
σβ̂2
1
σβ̂1 β̂2
σβ̂1 β̂2
σβ̂2
2

 =

2
σ
n

·
Sx21
Sx1 x2
Sx1 x2
Sx22
−1


2
=
σ
n
·

Sx22
−Sx1 x2
−Sx1 x2
Sx21
Sx21 Sx22 − (Sx1 x2 )2
k–fach Regression
Lineares Modell:
Yi = β0 + β1 x1i + β2 x2i + . . . + βk xki + Ui ,
KQ-Koeffizienten:
β̂0 = y − β̂1 x1 − . . . − β̂k xk








β̂1


Sx21





 Sx1 x2
 = 


..


.


Sx1 xk
β̂k
β̂2
..
.
Sx1 x2
···
Sx1 xk
Sx22
..
.
···
..
.
Sx2 xk
..
.
Sx2 xk
···
Sxk xk
−1 







Sx1 y


 Sx2 y

 ..
 .

Sxk Y








z. B. in der Zweifachregression Yi = β0 + β1 x1i + β2 x2i + Ui :
β̂1
=
Sx1 y Sx22 − Sx2 y Sx1 x2
Sx21 Sx22 − (Sx1 x2 )2
,
β̂2
=
Sx21 Sx2 y − Sx1 y Sx1 x2
Sx21 Sx22 − (Sx1 x2 )2
.
i = 1, 2, . . . , n


Ökonometrie
4
Varianzen:

V AR[β̂1 ]
COV [β̂1 β̂2 ]


V AR[β̂2 ]
 COV [β̂1 β̂2 ]


..
..

.
.

COV [β̂1 β̂k ] COV [β̂2 β̂k ]
···
COV [β̂1 β̂k ]
···
..
.
COV [β̂2 β̂k ]
..
.
···
V AR[β̂k ]


Sx21




 σ 2  Sx1 x2
=


..
n 


.


Sx1 xk
Sx1 x2
···
SX1 Xk
Sx22
..
.
···
..
.
Sx2 xk
..
.
Sx2 xk
···
Sxk xk
−1







.
Für die Zweifachregression Yi = β0 + β1 x1i + β2 x2i + Ui erhält man daraus
V AR[β̂1 ] =
Sx22
σ2
n Sx21 Sx22 − (Sx1 x2 )2
,
V AR[β̂2 ] =
Sx21
σ2
2
2
n Sx1 Sx2 − (Sx1 x2 )2
.
Korrigiertes Bestimmtheitsmaß:
2
Pn
û2 /(n − k − 1)
R = 1 − Pi=1 i 2
(yi − y) /(n − 1)
2
Statistische Inferenz bei normalverteilten Schätzparametern
2.1
Konfidenzintervalle
Bei normalverteilten Schätzern gilt im Linearen Modell mit k Regressoren
β̂ − βj
q j
∼ t(n − k − 1)
Vd
AR[β̂j ]
und man erhält als ein (1 − α)–Konfidenzintervall
2.2
β̂j − t
1− α
2 ;n−k−1
q
Vd
AR[β̂j ] ; β̂j + t1− α2 ;n−k−1
q
d
V AR[β̂j ]
.
Prognoseintervall in der Einfachregression
In der Einfachregression (bivariates Lineares Modell) gilt bei normalverteilten Schätzparametern
Ŷ (x) − (β̂0 + β̂1 x)
q
∼ t(n − 2)
Vd
AR[Ŷ (x)]
und man erhält als ein (1 − α)–Prognoseintervall
Ŷ (x) − t
1− α
2 ;n−2
q
Vd
AR[Ŷ (x)] ; Ŷ (x) + t1− α2 ;n−2
q
Vd
AR[Ŷ (x)]
.
Formelsammlung
2.3
2.3.1
5
Hypothesentests
t–Tests
Bei normalverteilten Schätzern gilt im Linearen Modell mit k Regressoren
unter H0 : βj = βj0 :
β̂j − βj0
T =q
∼ t(n − k − 1)
Vd
AR[β̂j ]
.
Anhand dieser Teststatistik ergeben sich für alternative Gegenhypothesen folgende kritischen Bereiche (Ablehnungsbereiche für H0 ):
Hypothesen
Kritischer Bereich
H0 : βj = βj0 (bzw. H0 : βj ≥ βj0 )
gegen H1 : βj < βj0
tn < −t1−α;n−k−1
H0 : βj = βj0 (bzw. H0 : βj ≤ βj0 )
gegen H1 : βj > βj0
tn > t1−α;n−k−1
H0 : βj = β00
gegen H1 : βj 6= βj0
|tn | > t1−α/2;n−k−1
Empirische t–Werte
tβ̂j = q
2.3.2
β̂j
Vd
AR[β̂j ]
F-Test linearer Restriktionen
m: Anzahl der Restriktionen
RSSr : Residuenquadratsumme im restringierten Modell
RSS: Residuenquadratsumme bei freier Schätzung
H0 : Restriktionen gelten
Teststatistik: F =
H1 : Restriktionen gelten nicht
(RSSr − RSS)/m
RSS/(n − k − 1)
Verteilung unter H0 : F ist F –verteilt mit m Zähler– und n − k − 1 Nennerfreiheitsgraden
3
3.1
Tests der Annahmen des Linearen Modells
Tests auf Autokorrelation der Störgrößen
Zeitreihenmodell
yt = β0 + β1 x1t + . . . + βk xkt + ut
t = 1, . . . , n
Ökonometrie
6
Autoregressiver Prozess der Störgrößen der Ordnung m (AR(m)):
ut = ρ1 ut−1 + . . . + ρm ut−m + ǫt
Spezialfall: Autoregressiver Prozess der der Ordnung 1 (AR(1)):
Annahmen: E[ǫt ] = 0,
V AR[ǫt ] = σǫ2 für alle t = 1, . . . , n,
Daraus folgt: E[ut ] = 0,
V AR[ut ] =
1, . . . t − 1.
ut = ρut−1 + ǫt
COV [ǫt , ǫτ ] = 0 für t 6= τ
σǫ2
für alle t = 1, . . . , n,
1 − ρ2
COV [ut , ut−j ] =
ρj σǫ2
für j =
1 − ρ2
Theoretische Korrelationskoeffizienten:
Korrellationskoeffizient ρ im AR(1) Prozess: ρ =
E[ut ut−1 ]
COV [ut , ut−1 ]
=
V AR[ut ]
E[u2t ]
Korrelationskoeffizient ρj im AR(m)-Prozess: ρj =
COV [ut , ut−j ]
E[ut ut−j ]
=
für j = 1, . . . , m
V AR[ut ]
E[u2t ]
Empirische Korrelationskoeffizienten:
Pn
Sû ,û
t=2 ût ût−1
ρ̂ im AR(1) Prozess: ρ̂ = t t−1 = P
n
2
Sût
t=1 ût
ρ̂j im AR(m) Prozess: ρ̂j =
3.1.1
Sût ,ût−j
=
Sût
Pn
t=j+1 ût ût−j
Pn
2
t=1 ût
für j = 1, . . . , m
Test nach Breusch und Godfrey auf Autokorrelation bis zur Ordnung m:
Grundlage: ût aus
yt = β0 + β1 x1t + . . . + βk xkt + ut
Testregression: ût = α0 + α1 x1t + . . . + αk xkt + ρ1 ût−1 + . . . ρm ût−m + ǫt
Überprüfung von H0 : ρ1 = ρ2 = . . . = ρm = 0 gegen H1: H0 gilt nicht“ mit Hilfe eines F –Tests.
”
Man kann zeigen, dass folgender Test asymptotisch äquivalent zum F -Test: Die Teststatistik Q(m) = n·R2
ist unter H0 asymptotisch χ2 –verteilt mit m Freiheitsgraden. R2 bezeichnet das multiple Bestimmtheitsmaß der Testregression. H0 ist dann zugunsten von H1 abzulehnen, wenn Q(m) den entsprechenden
kritischen Wert ((1 − α-Quantil) der χ2 (m)-Verteilung überschreitet.
3.1.2
Test nach Box und Pierce auf Autokorrelation bis zur Ordnung m:
Grundlage: Empirische Autokorrelationskoeffizienten ρ̂j =
Pn
t=j+1 ût ût−j
Pn
2
t=1 ût
Hypothesen: H0 : ρ1 = ρ2 = . . . = ρm = 0,
H1: H0 gilt nicht“
”
Pm 2
Teststatistik: Q(m) = n · j=1 ρ̂j ist asymptotisch χ2 (m)-verteilt.
für j = 1, . . . , m
Formelsammlung
3.1.3
7
Test nach Ljung und Box auf Autokorrelation bis zur Ordnung m:
Grundlage und Hypothesen wie bei Box und Pierce.
Teststatistik: Q(m) = n(n − 2) ·
Pm
j=1
ρ̂2j
ist asymptotisch χ2 (m)-verteilt.
n−j
In kleinen Stichproben liefert der Ljung-Box–Test zuverlässigere Ergebnisse als der Test nach Box und
Pierce.
3.1.4
Durbin-Watson-Test auf Autokorrelation ersten Grades:
Grundlage: Quadrierte Abweichungen aufeinanderfolgender KQ-Residuen (ût − ût−1 )2
Hypothesen: H0 : ρ = 0 gegen H1 : ρ > 0
Pn
(ût − ût−1 )2
≈ 2(1 − ρ̂)
Teststatistik: D = t=2Pn
2
t=1 ût
Die Verteilung der Teststatistik ist tabelliert. Der kritische Wert hängt ab von den Ausprägungen der
Regressoren xit . Für beliebige Regressorwerte existieren eine Obergrenze dO und eine Untergrenze dU für
den kritischen Wert. Fällt die Teststatistik zwischen diese Grenzen ist keine Testentscheidung möglich.
Testentscheidung: d < dU : H0 verwerfen.
Testentscheidung möglich.
d > dO : H0 nicht verwerfen.
dU < d < dO : keine
Linksseitiger Test: H0 : ρ = 0 gegen H1 : ρ < 0 kann anhand der Teststatistik D̃ = 4 − D überprüft
werden.
3.2
3.2.1
Tests auf Heteroskedastie der Störgrößen
Park–Test
Grundlage: KQ–Residuern ûi , potenziell Heteroskedastie–erzeugende Variable z
Testregression: ln û2i = α0 + α1 ln zi + ǫi
Testentscheidung: t–Test auf Signifikanz von α1
3.2.2
White–Test
Grundlage: KQ–Residuern ûi , Regressoren x1i , x2i , . . . , xki
Testregression: Regression von û2i auf alle k Regressoren x1i , x2i , . . . , xki , i = 1, . . . , n deren Quadrate
x2j,i und die Kreuzprodukte xm,i xl,i , m =
6 l. Im Fall von k = 2 Regressoren lautet die Testgleichung also
û2i = α0 + α1 x1i + α2 x2i + α3 x21i + α4 x22i + α5 x1i x2i + ǫi
.
Testentscheidung: H0 : α1 = α2 = . . . = αk(k+3)/2 = 0 F –Test auf Signifikanz aller k(k + 3)/2
Steigungsparameter in der Testgleichung. Der Test ist asymptotisch äquivalent zu folgendem Test: Die
Ökonometrie
8
Teststatistik Q(k(k + 3)/2) = n · R2 ist unter H0 asymptotisch χ2 –verteilt mit k(k + 3)/2 Freiheitsgraden. R2 bezeichnet das multiple Bestimmtheitsmaß der Testregression. H0 ist dann zugunsten von H1
abzulehnen, wenn Q(k(k + 3)/2) den entsprechenden kritischen Wert ((1 − α-Quantil) der χ2 (k(k + 3)/2)Verteilung überschreitet.
3.3
3.3.1
Tests bei stochastischen Regressoren
Hausmann–Wu–Test auf Endogenität der Regressoren
Grundlage: Potenziell endogener Regressor x2 , Instrumentengleichung x2i = α0 + α1 z1i + α2 z2i + vi
Testregression: yi = β0 + β1 x1i + β2 x2i + γv̂i + ui
Testentscheidung: t–Test auf Signifikanz von γ, bei Signifikanz von γ wird die Annahme endogener
Regressoren akzeptiert, eine Instrumentvariablenschätzung ist dann zweckmäßig.
3.3.2
J–Test auf Exogenität der Instrumente
Grundlage: l potenziell endogene Regressoren, k − l exogene Regressoren, m Instrumente, m > l. ûi :
Residuen der zweistufigen KQ–Schätzung.
Testregression: Regression der ûi auf alle m Instrumente und alle k − l exogenenen Regressoren:
ûi = γ0 + γ1 z1i + . . . + γm zmi + α1 x1i + . . . αk−l xk−l,i + ηi
Testentscheidung: F : Teststatistik des F –Tests auf gemeinsame Signifikanz der m Instrumente in
der Testregression. J = mF ist asymptotisch χ2 –verteilt mit m − l Freiheitsgraden. Die Nullhypothese
exogener Instrumente wird abgelehnt, wenn J das 1 − α-Quantil der χ2 (m − l)-Verteilung überschreitet.
Tabellen
9
Tabellen
1
Verteilungsfunktion Φ(x) der Standardnormalverteilung
Ablesebeispiele:
6(x)
......................
......
.....
....
.....
....
....
....
....
.
.
.
.
....
....
...
.
...
...
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.
.
.
.
...
.
.......
.......
..........
.
.
.
.
.
.
.
...
.
..............................................................
...............................................................
.
(z ) = FX (z )
.
z = z1 +z2
z2→
↓z1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
-
.
z
a) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine
standardnormalverteilte Zufallsvariable
eine Ausprägung kleiner als 0,44 aufweist, beträgt 67%:
Φ(0, 44) = Φ(0, 40 + 0, 04) = 0, 6700.
b) Das Quantil λp zur Ordnung p = 0, 975
der Standardnormalverteilung beträgt
1,96:
x Φ(z) = 0, 9750 = Φ(λ0,975 )
=⇒ z = λ0,975 = 1, 90 + 0, 06 = 1, 96.
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
.5000
.5398
.5793
.6179
.6554
.6915
.7257
.7580
.7881
.8159
.8413
.8643
.8849
.9032
.9192
.9332
.9452
.9554
.9641
.9713
.9772
.9821
.9861
.9893
.9918
.9938
.9953
.9965
.9974
.9981
.9987
.9990
.9993
.9995
.9997
.9998
.9998
.5040
.5438
.5832
.6217
.6591
.6950
.7291
.7611
.7910
.8186
.8438
.8665
.8869
.9049
.9207
.9345
.9463
.9564
.9649
.9719
.9778
.9826
.9864
.9896
.9920
.9940
.9955
.9966
.9975
.9982
.9987
.9991
.9993
.9995
.9997
.9998
.9998
.5080
.5478
.5871
.6255
.6628
.6985
.7324
.7642
.7939
.8212
.8461
.8686
.8888
.9066
.9222
.9357
.9474
.9573
.9656
.9726
.9783
.9830
.9868
.9898
.9922
.9941
.9956
.9967
.9976
.9982
.9987
.9991
.9994
.9995
.9997
.9998
.9999
.5120
.5517
.5910
.6293
.6664
.7019
.7357
.7673
.7967
.8238
.8485
.8708
.8907
.9082
.9236
.9370
.9484
.9582
.9664
.9732
.9788
.9834
.9871
.9901
.9925
.9943
.9957
.9968
.9977
.9983
.9988
.9991
.9994
.9996
.9997
.9998
.9999
.5160
.5557
.5948
.6331
.6700
.7054
.7389
.7704
.7995
.8264
.8508
.8729
.8925
.9099
.9251
.9382
.9495
.9591
.9671
.9738
.9793
.9838
.9875
.9904
.9927
.9945
.9959
.9969
.9977
.9984
.9988
.9992
.9994
.9996
.9997
.9998
.9999
.5199
.5596
.5987
.6368
.6736
.7088
.7422
.7734
.8023
.8289
.8531
.8749
.8944
.9115
.9265
.9394
.9505
.9599
.9678
.9744
.9798
.9842
.9878
.9906
.9929
.9946
.9960
.9970
.9978
.9984
.9989
.9992
.9994
.9996
.9997
.9998
.9999
.5239
.5636
.6026
.6406
.6772
.7123
.7454
.7764
.8051
.8315
.8554
.8770
.8962
.9131
.9279
.9406
.9515
.9608
.9686
.9750
.9803
.9846
.9881
.9909
.9931
.9948
.9961
.9971
.9979
.9985
.9989
.9992
.9994
.9996
.9997
.9998
.9999
.5279
.5675
.6064
.6443
.6808
.7157
.7486
.7794
.8078
.8340
.8577
.8790
.8980
.9147
.9292
.9418
.9525
.9616
.9693
.9756
.9808
.9850
.9884
.9911
.9932
.9949
.9962
.9972
.9979
.9985
.9989
.9992
.9995
.9996
.9997
.9998
.9999
.5319
.5714
.6103
.6480
.6844
.7190
.7517
.7823
.8106
.8365
.8599
.8810
.8997
.9162
.9306
.9429
.9535
.9625
.9699
.9761
.9812
.9854
.9887
.9913
.9934
.9951
.9963
.9973
.9980
.9986
.9990
.9993
.9995
.9996
.9997
.9998
.9999
.5359
.5753
.6141
.6517
.6879
.7224
.7549
.7852
.8133
.8389
.8621
.8830
.9015
.9177
.9319
.9441
.9545
.9633
.9706
.9767
.9817
.9857
.9890
.9916
.9936
.9952
.9964
.9974
.9981
.9986
.9990
.9993
.9995
.9997
.9998
.9998
.9999
Ökonometrie
10
2
p–Quantile tp;k der t– Verteilung mit k Freiheitsgraden
6ft x k
( ; )
..........
....... ..........
.....
....
....
...
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....
...
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;
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.
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.
0
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
50
60
70
80
90
100
∞
p = FX (tp k )
.
.
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.
tp k
-x
Ablesebeispiel:
Das Quantil zur Ordnung p = 0, 90 einer
t–Verteilung mit 10 Freiheitsgraden lautet
1,372 (d.h. dieser Wert wird von einer entsprechend verteilten Zufallsvariable mit einer
Wkt. von 90% nicht überschritten):
p = 0, 900 ; k = 10 =⇒ t0,9 ; 10 = 1, 372.
;
p
0.600 0.750 0.900 0.930 0.950 0.960 0.975 0.985 0.990 0.995 0.999
.3
1.0
3.1
4.5
6.3
7.9 12.7 21.2 31.8 63.7 318.3
.29
.82 1.89 2.38 2.92 3.32 4.30 5.64 6.96 9.92 22.33
.28
.76 1.64 2.00 2.35 2.61 3.18 3.90 4.54 5.84 10.21
.271 .741 1.533 1.838 2.132 2.333 2.776 3.298 3.747 4.604 7.173
.267 .727 1.476 1.753 2.015 2.191 2.571 3.003 3.365 4.032 5.893
.265 .718 1.440 1.700 1.943 2.104 2.447 2.829 3.143 3.707 5.208
.263 .711 1.415 1.664 1.895 2.046 2.365 2.715 2.998 3.499 4.785
.262 .706 1.397 1.638 1.860 2.004 2.306 2.634 2.896 3.355 4.501
.261 .703 1.383 1.619 1.833 1.973 2.262 2.574 2.821 3.250 4.297
.260 .700 1.372 1.603 1.812 1.948 2.228 2.527 2.764 3.169 4.144
.260 .697 1.363 1.591 1.796 1.928 2.201 2.491 2.718 3.106 4.025
.259 .695 1.356 1.580 1.782 1.912 2.179 2.461 2.681 3.055 3.930
.259 .694 1.350 1.572 1.771 1.899 2.160 2.436 2.650 3.012 3.852
.258 .692 1.345 1.565 1.761 1.887 2.145 2.415 2.624 2.977 3.787
.258 .691 1.341 1.558 1.753 1.878 2.131 2.397 2.602 2.947 3.733
.258 .690 1.337 1.553 1.746 1.869 2.120 2.382 2.583 2.921 3.686
.257 .689 1.333 1.548 1.740 1.862 2.110 2.368 2.567 2.898 3.646
.257 .688 1.330 1.544 1.734 1.855 2.101 2.356 2.552 2.878 3.610
.257 .688 1.328 1.540 1.729 1.850 2.093 2.346 2.539 2.861 3.579
.257 .687 1.325 1.537 1.725 1.844 2.086 2.336 2.528 2.845 3.552
.257 .686 1.323 1.534 1.721 1.840 2.080 2.328 2.518 2.831 3.527
.256 .686 1.321 1.531 1.717 1.835 2.074 2.320 2.508 2.819 3.505
.256 .685 1.319 1.529 1.714 1.832 2.069 2.313 2.500 2.807 3.485
.256 .685 1.318 1.526 1.711 1.828 2.064 2.307 2.492 2.797 3.467
.256 .684 1.316 1.524 1.708 1.825 2.060 2.301 2.485 2.787 3.450
.256 .684 1.315 1.522 1.706 1.822 2.056 2.296 2.479 2.779 3.435
.256 .684 1.314 1.521 1.703 1.819 2.052 2.291 2.473 2.771 3.421
.256 .683 1.313 1.519 1.701 1.817 2.048 2.286 2.467 2.763 3.408
.256 .683 1.311 1.517 1.699 1.814 2.045 2.282 2.462 2.756 3.396
.256 .683 1.310 1.516 1.697 1.812 2.042 2.278 2.457 2.750 3.385
.255 .681 1.303 1.506 1.684 1.796 2.021 2.250 2.423 2.704 3.307
.255 .679 1.299 1.500 1.676 1.787 2.009 2.234 2.403 2.678 3.261
.254 .679 1.296 1.496 1.671 1.781 2.000 2.223 2.390 2.660 3.232
.254 .678 1.294 1.493 1.667 1.776 1.994 2.215 2.381 2.648 3.211
.254 .678 1.292 1.491 1.664 1.773 1.990 2.209 2.374 2.639 3.195
.254 .677 1.291 1.489 1.662 1.771 1.987 2.205 2.368 2.632 3.183
.254 .677 1.290 1.488 1.660 1.769 1.984 2.201 2.364 2.626 3.174
.254 .674 1.282 1.476 1.645 1.751 1.960 2.107 2.326 2.576 3.100
Tabellen
11
p–Quantile χ2p;k der χ2 – Verteilung mit k Freiheitsgraden
3
Ablesebeispiel:
6fChi x k
p = FX (2p;k )
( ; )
......
.......
................................
.....
................
............
.....
............
.......
......... ...........
......
..........
.......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.......
....
.......
.......
....
.........
......
....
.........
......
....
........
.......
...
...........
.....
....
..........
......
....
..............
.
.
.
...............
..
..................
...
.
.
.
..........................
.
....
.
.
...........................
.
.
...
.
...
..
.......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
50
60
70
80
90
100
.
2
0
k
.
p;k
-x
Das Quantil zur Ordnung p = 0, 90 einer χ2 –Verteilung mit 10 Freiheitsgraden lautet 15,99 (d.h. dieser Wert wird
von einer entsprechend verteilten Zufallsvariable mit einer Wkt. von 90%
nicht überschritten):
p = 0, 900 ; k = 10 =⇒ χ20,9 ; 10 = 15, 99.
p
0.005
.000
.01
.07
.21
.41
.68
.99
1.34
1.73
2.16
2.60
3.07
3.56
4.07
4.60
5.14
5.70
6.26
6.84
7.43
8.03
8.64
9.26
9.89
10.52
11.16
11.81
12.46
13.12
13.79
20.70
27.99
35.53
43.3
51.2
59.2
67.3
0.01
.000
.02
.11
.30
.55
.87
1.24
1.65
2.09
2.56
3.05
3.57
4.11
4.66
5.23
5.81
6.41
7.01
7.63
8.26
8.90
9.54
10.20
10.86
11.52
12.20
12.88
13.56
14.26
14.95
22.16
29.71
37.48
45.4
53.5
61.8
70.0
0.025
.001
.05
.22
.48
.83
1.24
1.69
2.18
2.70
3.25
3.82
4.40
5.01
5.63
6.26
6.91
7.56
8.23
8.91
9.59
10.28
10.98
11.69
12.40
13.12
13.84
14.57
15.31
16.05
16.79
24.43
32.36
40.48
48.8
57.2
65.6
74.2
0.05
.004
.10
.35
.71
1.15
1.64
2.17
2.73
3.33
3.94
4.57
5.23
5.89
6.57
7.26
7.96
8.67
9.39
10.12
10.85
11.59
12.34
13.09
13.85
14.61
15.38
16.15
16.93
17.71
18.49
26.51
34.77
43.19
51.7
60.4
69.1
77.9
0.100
.016
.21
.58
1.06
1.61
2.20
2.83
3.49
4.17
4.87
5.58
6.30
7.04
7.79
8.55
9.31
10.09
10.86
11.65
12.44
13.24
14.04
14.85
15.66
16.47
17.29
18.11
18.94
19.77
20.60
29.05
37.69
46.46
55.3
64.3
73.3
82.4
0.250
.102
.58
1.21
1.92
2.67
3.45
4.25
5.07
5.90
6.74
7.58
8.44
9.30
10.17
11.04
11.91
12.79
13.68
14.56
15.45
16.34
17.24
18.14
19.04
19.94
20.84
21.75
22.66
23.57
24.48
33.66
42.94
52.29
61.7
71.1
80.6
90.1
0.500
.455
1.39
2.37
3.36
4.35
5.35
6.35
7.34
8.34
9.34
10.34
11.34
12.34
13.34
14.34
15.34
16.34
17.34
18.34
19.34
20.34
21.34
22.34
23.34
24.34
25.34
26.34
27.34
28.34
29.34
39.33
49.33
59.33
69.3
79.3
89.3
99.3
0.750
1.323
2.77
4.11
5.39
6.63
7.84
9.04
10.22
11.39
12.55
13.70
14.85
15.98
17.12
18.25
19.37
20.49
21.60
22.72
23.83
24.93
26.04
27.14
28.24
29.34
30.43
31.53
32.62
33.71
34.80
45.62
56.33
66.98
77.6
88.1
98.6
109.1
0.900
2.706
4.61
6.25
7.78
9.24
10.64
12.02
13.36
14.68
15.99
17.28
18.55
19.81
21.06
22.31
23.54
24.77
25.99
27.20
28.41
29.62
30.81
32.01
33.20
34.38
35.56
36.74
37.92
39.09
40.26
51.80
63.17
74.40
85.5
96.6
107.6
118.5
0.950
3.841
5.99
7.81
9.49
11.07
12.59
14.07
15.51
16.92
18.31
19.68
21.03
22.36
23.68
25.00
26.30
27.59
28.87
30.14
31.41
32.67
33.92
35.17
36.42
37.65
38.89
40.11
41.34
42.56
43.77
55.76
67.50
79.08
90.5
101.9
113.1
124.3
0.975
5.024
7.38
9.35
11.14
12.83
14.45
16.01
17.53
19.02
20.48
21.92
23.34
24.74
26.12
27.49
28.85
30.19
31.53
32.85
34.17
35.48
36.78
38.08
39.36
40.65
41.92
43.19
44.46
45.72
46.98
59.34
71.42
83.30
95.0
106.6
118.1
129.6
0.990
6.635
9.21
11.34
13.28
15.09
16.81
18.48
20.09
21.67
23.21
24.73
26.22
27.69
29.14
30.58
32.00
33.41
34.81
36.19
37.57
38.93
40.29
41.64
42.98
44.31
45.64
46.96
48.28
49.59
50.89
63.69
76.15
88.38
100.4
112.3
124.1
135.8
0.995
7.880
10.60
12.84
14.86
16.75
18.55
20.28
21.96
23.59
25.19
26.76
28.30
29.82
31.32
32.80
34.27
35.72
37.16
38.58
40.00
41.40
42.80
44.18
45.56
46.93
48.29
49.64
50.99
52.34
53.67
66.76
79.49
91.95
104.2
116.3
128.3
140.2
Ökonometrie
12
4
0,95– und 0,99–Quantile der F – Verteilung
ν1 : Anzahl der Zählerfreiheitsgrade (Anzahl der Restriktionen, m)
ν2 : Anzahl der Nennerfreiheitsgrade (Anzahl der Freiheitsgrade
der unrestringierten Regression, n − k − 1)
Quelle: Eckey/Kosfeld/Dreger (1995): Ökonometrie
Tabellen
5
13
Kritische Werte der Durbin-Watson–Statistik, α = 0, 05
n: Beobachtungsumfang
k: Anzahl der Regressoren einschließlich des Absolutglieds
Quelle: Eckey/Kosfeld/Dreger (1995): Ökonometrie