Protokoll E3- Wheatstonesche Messbrücke 1 Aufgabenstellung 2

E3-
Protokoll
Wheatstonesche
Messbrücke
Martin Braunschweig
Andreas Bück
10.06.2004
1 Aufgabenstellung
1. Der ohmsche Widerstand einer Widerstandskombination ist in einer Wheatstoneschen Brückenschaltung mit Gleichstrom zu messen.
2. Der Widerstand ist aus den bekannten Einzelwiderständen zu berechnen
und mit dem Messergebnis von 1.1 zu vergleichen.
3. Die Kapazitäten zweier Kondensatoren sind einzeln sowie in Reihen- und
Parallelschaltung in einer Wechselstrombrücke in Wheatstone-Schaltung
zu messen.
4. Die Induktivität einer Spule ist mit der Wechselstrombrücke zu bestimmen.
5. Der Widerstand der Kombination, die Kapazitäten beider Kondensatoren
und die Induktivität der Spule sind mit Hilfe einer technischen Kleinmessbrücke nach Wheatstone zu überprüfen.
2 Grundlagen des Versuchs
Ziel des Versuches ist es Widerstände, Kapazitäten bzw. Induktivitäten experimentell mit Hilfe einer Wheatstoneschen Messbrücke zu bestimmen . Die
Wheatstonesche Brückenschaltung besteht aus einem Vergleichswiderstand
Zn und dem zu messenden Widerstand Zx . Zu denen wird ein Präzisionswendelpotentiometer (eine veränderbare Widerstandskombination ) bestehend aus
den Widerständen R1 und R2 derart parallel geschaltet, dass sich folgende Gleichung ergibt:
R1
R2
ϕ3
Zx
x
=
Zn
l−x
= ϕ4
=
(1)
Dabei ist x der Ablesewert des Potentiometers (= R1 ), l die Gesamtlänge der
Ableseskala des Potentiometers und l−x ist R2 . Die Schaltung sollte bei x = l/2
abgeglichen sein, weil dort die relative Messunsicherheit am geringsten ist.
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Abbildung 1: Wheatstonesche Messbrücke (allgemein)
Abbildung 2: Wheatstonesche Messbrücke (Versuchsanordnung)
Die in Abb. 2 dargestellte Messbrückenschaltung nach Wheatstone ermöglicht
es Zx aus dem Verhältnis der Widerstände R1/R2 und einem Vergleichsobjekt
Zn zu ermitteln. Zx und Zn sind jeweils ohmsche Widerstände, Induktivitäten
oder Kapazitäten. Zur ohmschen Widerstandsmessung wird die Versuchsanordnung mit Gleichstrom, ansonsten mit Wechselstrom betrieben.
R1 und R2 sind Teil des Präzisionswendelpotentiometers, an dem man deren
Verhältnis beliebig regeln kann. Das sich im Zweig CD bendende Oszilloskop
gibt die Spannung UCD an. Bei abgeglichener Brücke ist diese Null, d.h.:
R1
Zx
=
R2
Zn
Es gilt: UAC = UAD daraus folgt : R1 I1 = Zx I3
ebenso gilt: UCB = UDB und R2 I2 = Zn I4
Die Abgleichbedingung bei Kapazitäten ist:
R1
Cn
=
Cx
R2
und die Bedingung fr Induktivitäten ist:
39
(2)
R1
Lx
=
(3)
Ln
R2
Eine Besonderheit besteht bei der Messung an Induktivitäten. Es ist zu beachten, dass Lx und Ln die Wirkwiderstände Rx und Rn besitzen. Zum Abgleich
der Brücke muss das Verhältnis der Wirkwiderstände gleich dem Verhältnis der
Induktivitäten sein. Deshalb wird zur Messung der Induktivitäten ein veränderbarer Widerstand zu einer der beiden Spulen in Reihe geschaltet, damit ist:
Rx
Zx
R1
=
=
Rn
Zn
R2
(4)
Fr die Widerstandskombination (Widerstandswürfel) gelten folgende Zusammenhänge:
• die 12 Kantenwiderstände sind alle gleich (R = 390Ω)
• Vereinfachungen bei der Widerstandsberechnung sind durch auftretende
Potentialgleichheit zwischen bestimmten Eckpunkten des Würfels bei der
jeweiligen Schaltung möglich
Abbildung 3: Widerstandswürfel
Abbildung 4: Gesamtkantenwiderstand des Würfels
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Abbildung 5: Flächenwiderstand des Würfels
Abbildung 6: Raumdiagonalenwiderstand des Würfels
Eine Gröÿe F , die von n fehlerbehafteten (z. B. durch Messungen gewonnene)
Gröÿen abhängt, ist dadurch auch fehlerbehaftet. Nach dem Fehlerfortpanzungsgesetz (siehe [4], S. 6) erhält man den Fehler der Gröÿe F = f (v1 , . . . , vn )
nach folgender Gleichung:
n
X
∂F
∆F =
|
|∆vi
∂v
i
i=1
(5)
Hierbei ist ∆vi der systematische Fehler der Gröÿe vi . Die Entwicklung des
linearen Fehlerfortanzungsgesetzes für dieses Experiments ist unter Messunsicherheiten zu nden.
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3 Versuchsaufbau
Abbildung 7: schematischer Versuchsaufbau
Dabei sind Zx der zu messender Widerstand, Zn der Vergleichswiderstand,
R1 , R2 die Einzelteile des Präzisionswendelpotentiometers, A...D die Knotenpunkte, i1 ...i4 die Zweigströme und OS Oszilloskop
4 Messergebnisse
Tabelle 1: Aufgabe 1.1 & Aufgabe 1.2
Würfelkante
Flächendiagonale
Raumdiagonale
ZN in Ω
200
300
300
x
5,3
4,94
5,18
l-x
4,7
5,06
4,82
Zx
225,53
292,88
322,4
Rber in Ω
227,5
292,5
325,0
l-x
5,89
5,49
6,08
2,13
Cx in µF
2,15
4,02
10,55
1,84
Tabelle 2: Aufgabe 1.3
Einzelmessung von 1
Einzelmessung von 2
Parallelschaltung 1 und 2
Reihenschaltung 1 und 2
CN in µF
1,5
3,3
6,8
6,8
42
x
4,11
4,51
3,92
7,87
Tabelle 3: Aufgabe 1.4
f=430Hz
f=1500Hz
LN in mH
2,86
2,86
R in Ω
0,1
0,1
x
5,31
5,42
l-x
4,69
4,58
Lx
3,23
3,38
Tabelle 4: Aufgabe 1.5 (Kleinmessbrücke)
Ohmscher Widerstand
Würfelkante
Flächendiagonale
Raumdiagonale
Induktivität
Kapazitäten
C1
C2
C1 k C2
C1 C2
Ablesewert
berechneter Wert
Vergleichswert
224 Ω
295 Ω
325 Ω
224 Ω
295 Ω
325 Ω
200 Ω
300 Ω
300 Ω
3,6
3,43 mH
2,86 mH
2,12
1,26
1,88
10
2,12 µF
7,86 µF
10,85 µF
2,04 µF
1,5
3,3
6,8
6,8
5 Messunsicherheiten
Die Gröÿe Zx wurde mit
Zn ∗ x
l−x
berechnet. Mit dem linearen Fehlerfortpanzungsgesetz ergibt sich
¯
¯
¯
¯
¯ ∂Zx ¯
¯
¯
¯ ∆Zn + ¯ ∂Zx ¯ ∆x
∆Zx = ¯¯
¯
¯
∂Zn
∂x ¯
Zx =
Für die einzelnen Fehler ergeben sich folgende Gleichungen:
¯
¯
¯
¯
¯ x ¯
¯
l ¯¯
¯
¯
¯
∆Zn = ¯
∆Zn + ¯Zn ∗
∆x
l − x¯
(l − x) ¯
¯
¯
¯ ¯
¯ Ablesewert ¯
¯ ¯
¯ ∆Ln + ¯ Ln ¯ ∆Ablesewert
∆Lx = ¯¯
¯
¯ 3 ¯
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ −3Cn ¯
3
¯
¯
¯
¯ ∆Ablesewert
∆Cx = ¯
∆Cn + ¯
Ablesewert ¯
Ablesewert ¯
(6)
(7)
(8)
(9)
Alle bekannten Bauteile weisen eine systematische Messunsicherheit von ±5 %.
Die Kleinmessbrücke hat einen Fehler von ±1, 5 %.
43
µF
µF
µF
µF
6 Diskussion
Man kann bemerken, dass die gemessenen Werte keine groben Abweichungen zu
denen mit der technischen Messbrücke ermittelten Werten aufweisen. dies deutet
zumindest darauf hin, dass keine groben Fehler beim Versuch gemacht wurden.
Um die Messwerte noch genauer zu machen, sollte man die Genauigkeit der
Widerstandsnormalen und die des Präzisionswendelpotentiometers verbessern,
da diese die Fehlergrenzen deutlich reduzieren wrden.
7 Zusammenfassung
Aufgabe 1.1:
RW K = (225, 53 ± 11, 28) Ω
RF D = (292, 88 ± 14, 65) Ω
RRD = (322, 40 ± 16, 12) Ω
Aufgabe 1.2:
RbW K = 227, 50 Ω
RbF D = 292, 50 Ω
RbRD = 325, 00 Ω
Aufgabe 1.3
C1 = (2, 15 ± 0, 11) µF
C2 = (4, 02 ± 0, 20) µF
C1 kC2 = (10, 55 ± 0, 53) µF
C1 C2 = (1, 84 ± 0, 09) µF
Aufgabe 1.4
Aufgabe 1.5:
Lx = (3, 38 ± 0, 17) mH
RW K = (224, 00 ± 3, 36) Ω
RF D = (295, 00 ± 4, 43) Ω
RRD = (325, 00 ± 4, 88) Ω
Lx = (3, 43 ± 0, 05) mH
C1 = (2, 12 ± 0, 03) µF
C2 = (7, 86 ± 0, 12) µF
C1 kC2 = (10, 85 ± 0, 16) µF
C1 C2 = (2, 04 ± 0, 03) µF
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Literatur
[1] Wilhelm Walcher, u.a, Praktikum der Physik, Teubner Verlag, 2003, 8.
Auage
[2] Lutz Engelmann u. a., Formeln und Tabellen fr die Sekundarstufen I und
II, paetec Verlag, 1998, 6. Auage
[3] Günther Mhlbach, Repetitorium der Wahrscheinlichkeitsrechnung und
Statistik, Binomi-Verlag, 2002, 2. Auage, S. 112
[4] Helmut Vogel, Gerthsen Physik, Springer Verlag, 1997, 19. Auage, S. 6
[5] Harry A. Watson Jr., Mathematical Approximation and Documentation,
Quality Assessment Directorate, Naval Warfare Assessment Centre, S. 31
(bes. S. 38), http://tex.loria.fr/graph-pack/maad.dvi
[6] Hinweise zum Physik-Praktikum, Messunsicherheiten
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