k - TU Chemnitz

1 Klassische Finanzmathematik
1.1 Einfache Verzinsung
Aufzinsen (auf Kt)
Kt = K0 (1 + i * t )
Abzinsen (auf K0)
K0 =
(= Diskontieren)
t = Zeitpunkt; kann
auch gebrochene Zahl
sein
Kt
1+ i * t
Endwert – monatliche vor- E = r (12 + 6,5i )
schüssige Rente – nach 1
Jahr
r = mtl. Rentenzahlung
E = r (12 + 5,5i )
r = mtl. Rentenzahlung
Endwert – monatliche
nachschüssige Rente –
nach 1 Jahr
i = Zinssatz p.a. (Absolutzahl)
i = Zinssatz p.a. (Absolutzahl)
1.2 Zinseszinsrechnung
Endwert
Kn = K0 (1 + i )
Kn = K0 * q
n
i=
n
p
100
q = 1+ i
i = interrest = Zinsrate (Absolutzahl)
n = (ganze) Perioden
Barwert
Endwert bei gemischter,
taggenauer Verzinsung
K0 =
Kn
(1 + i )
n
=
v=1/q
Kn
= Kn * v n
qn
K E = K A (1 + i * t 1 )(1 + i )
n− 2
(Abzinsungsfaktor)
(1 + i * t )
2
t1 / t2 = gebrochene Per.
am LFZ Anfang/ Ende
n = ganze Perioden
KA = Anfangskapital
EW bei relativer unteri
jähriger Verzinsung
m
Endwert bei Augenblicksverzinsung
K
( m)
E
i

= K 0 1 + 

m
KE = K0 * e i
m
m = Anzahl der unterjährigen
Perioden (Subperioden)
wenn m ∞
Effektivverzinsung
( = Jahresrendite) bei
unterjähriger Verzinsung
m
i eff
i

= 1 +  − 1

m
ieff > i
i m << i
Umrechnung unterjähriger
m
i p.a. = (1 + i m ) − 1
Zins ↔ Jahreszins
(äquivalente unterjährige
Zinsrate im zu ip.a. ; mit
Zinseszinseffekt)
i m = m 1 + i p .a . − 1
Zinsintensität i ∗
i * = ln( 1 + i )
im - Zinssatz bezogen
auf Subperiode
ip.a. - Jahreszinssatz
m - Subperioden
i* < i
i - Periodenverzinsung
(= kontinuierliche Verzinsung)
i*
i = e −1
i* - kontinuierliche
Verzinsung
K E − K0
(
1
)
→
=
i
eff
folg. unterjährigen Verzinsungen
K0
(1) unterjähriger Verzinsg.
(2) Augenblicksverzinsung
(2) → i eff = e i − 1
Effektivverzinsung (p.a.) bei
Durchschnittsrendite
(1.)
Kn = F × K0 = K0 × q n
(2.)
F = qn
(3.)
q=n F
(1) 1 < m < ∞
(2) m = ∞
m - Subperioden
F = (Wachstums-) Faktor
1.3 Rentenrechnung
Endwert – nachschüssige
Rente
E
nach
n
qn − 1
=r*
q−1
r - Rentenzahlungen
i - Marktzinssatz (Absolutzahl)
mit q = 1 + i
n - Perioden
Endwert – vorschüssige
Rente
E nvor = r * q *
Barwert (allg.)
B=
Barwert – nachschüssige
Rente
B
qn − 1
q −1
E
qn
nach
n
qn − 1
=r* n
q (q − 1)
qn − 1
= r * n −1
q ( q − 1)
Barwert – vorschüssige
Rente
B
Barwert – ewige Rente
- nachschüssig -
B∞nach =
Barwert – ewige Rente
- vorschüssig -
B∞vor =
vor
n
r
r
=
q−1 i
r *q r *q
=
q −1
i
2 Gegenwartswerte (= Barwert = Present Value = Kurs = Price)
2.1 Gegenwartswerte und Opportunitätskosten
DCF method
(discounted cash flow)
IRR method
(Internal Rate of Return)
(interner Zinsfuss)
Gegenwartswerte von
konstanten Annuitäten
Gegenwartswerte von
Annuitäten mit
Dynamisierungsfaktor
Gegenwartswerte von
Annuitäten mit
n
Investition durchführen wenn B > 0
Zk
k
k =1 q
B=∑
n
Zk
∑q
k =1
k
= !0
q = 1+ i
B=
Investition durchführen, wenn
i > (Marktverzinsung +
Risikoprämie) (= Opportunitäts
kosten)
Ann.: nur Zinszahlung; keine
Rückzahlung
Z
Z
=
q−1 i
Z = Zinszahlung
n
 s
  −1
Z  q
Bn = ×
s
q
−1
q
s = 1 + g Dynamisierungsfaktor
q=1+i
nur für i > g sinnvoll
Z
B∞ =
i−g
bei i < g nur sinnvoll für
endliche Reihe
Dynamisierungsfaktor
Z = Zahlung (Annuität;
Zinsen bzw. Rente)
- unendliche Reihe -
B bei nachschüssigem Z
2.2 Gegenwartswerte von Anleihen (Bewertung von Anleihen)
N - Nominalbetrag der Anleihe
n
allgemein:
Z
N
B=∑ k + n
q
k =1 q
Z - (period.) Zahlungen
n - Perioden
T - Rückzahlung (meist zu 100)

q −1
1 
+ T
n p*
q −1
q 

n
„Kursformel Anleihe“:
- ganzjährige RestLFZ -
B=
B=Z*
q −1
q (q − 1)
n
Anleihe in %; z.B. p = 8 [%])
q - enthält Marktzins :
n
alternative Schreibweise:
p - Kupon (Nominalzins der
+
T
qn
q = 1+
peff
100
peff - Marktzins ( nicht Kupon !)
„Kursformel Anleihe“:
- gebrochene RestLFZ -

qn − 1 T 
B = qa p *
+ n
iq n
q 

Barwert
bei unterjährigen Zinszahlungen
B=
−1
K q
T
*
n *m +
m im * qm
q mn*m
n *m
m
a - gebrochene Periode (gem.
Usance)
im - äquivalente unterjährige
Zinsrate
qm = im + 1
m - Subperioden
K - Kupon pro (Haupt-)Periode
n - (Haupt-)Perioden
2.3 Gegenwartswerte von Aktien (Bewertung von Aktien)
... unendlich viele Perioden P = D1 + D 2 + ... + D n + ...
0
q q2
qn
Pi=Kurse zu Zeitpunkten i
q enthält Kalkulationszinssatz
bei D1 = D2 = ... = Dn : BW unendl. Reihe:
P0 =
(D, P sind geschätzt da
zukünftig)
D
i
... 1 Periode
P0 =
P1 + D1
q
... mit Wachstumsfaktor
P0 =
D1
i−g
Di= Dividenden zu Zeitpunkten i
g = Wachstumsrate (Absolutzahl); g ∈ (0,1)
s = 1 + g (= Wachstumsfaktor)
3 Ermittlung der Effektivverzinsung / Rendite
3.1 Grundbegriffe
Kupon Nom. verzinsung
Laufende Verzinsung
ic =
=
Kurs
Kapitaleinsatz
(current yield, interest
yield, income yield, flat
yield)
R−P
Einfache Verzinsung
Kupon +
n
(simple yield to maturity) i =
sim
P
ic ist Näherung für
Rendite
isim ist Näherung für Rendite
R = Rückzahlung
P = Kurs
n = Restlaufzeit
Rendite (Effektivverzinsung)
(q i)
(1) P = f (q) =
1
qn


qn −1
 p *
+ T 
q −1


P - Kurs (Preis), T - Tilg.
(2) f (q ) = ! 0
p - Kupon
(1) Lösung über numerisches NV möglich
Newton.: Iteration von k = 0, 1, ... :
q k +1 = q k −
f (qk )
f ′(qk )
q0= Startwert
Umrechnung EffZi-Rate
zwischen Basis 365 und
360
i365 =
365
* i360
360
3.2 EffZi von Geldmarktpapieren (Diskontpapieren)
1
* (T − T1 )
360
... von WP mit einmaliger i e =
T1  T − T1

Zinszahlung bei
P + p*
*

360 
360
Fälligkeit (eher selten)
R − P + p*
Effektivzinsrate
P - price
p - Stückzinsen
(T - T1) = Haltedauer
T1 - Bezugszeitpunkt des WP
T - Zinstermin
Effektivzinsrate
i=
R− P
P *t
R - Rückzahlung
P - Price (Kurs)
... von WP ohne Zinszahlung (Diskontpapiere:
R
P=
Handelswechsel, Com1+ i *t
mercial Papers, Treasury
Bills)
t - gebrochene Periode
t ∈(0,1)
gem. Usance: 30/360 od.
act/360
3.3 EffZi von Anleihen bei glatter Restlaufzeit
... bei jährlicher Zinsverrechnung (fiktive Zinszahlung)
... bei halbjährlicher
Zinsverrechnung (fiktive
Zinszahlung)
ie = n
n - ganze Perioden (LFZ)
R
−1
P
R - Rückzahlung
P - Price
P=
R
ie 

1 + 

2
2n

 R
i e p . a . = 2 2 n − 1

 P
ie/m = relat. unterjährige Zinsrate
... allgemein bei
unterjähriger Zinsverrechnung (fiktiv)
... bei kontinuierlicher
Zinsverrechnung


R
= m m*n − 1
P


ie p.a.
i eff
R
ln 
P
= i* =
n
m - Subperioden der fiktiven Zinsverrechnung
n - ganze Perioden (der LFZ)
vgl. Zinsintensität
3.4 EffZi von Anleihen bei gebrochener Restlaufzeit
P - Price (Kurs)
AIBD (ISMA) method
- gebrochene LFZ -
- ganzzahlige LFZ -
P+S=
P=
1
qn

1 1  p q n +1 − 1


+
T
q f q n  m q − 1

n −1

p q 

 T +
m
q
−
1


S - Stückzinsen (Richtung :
1 0 !)
n - Anzahl (ganzer) Perioden
bei m Perioden p.a. : n*m
f - gebrochene Periode
(Richtung : 1 0 !)
m - Anz. der Kupons p.a.
p - Kupon der Periode
ie = (1 + im ) m − 1
… Sonderfall : RLFZ < 1, P + S = ( R + p ) * 1
m qf
d.h. n = 0
SIA method
ie =
R+
C
− ( P + S)
m
P+S
ie = m * im
C - Ganzjahreskupon
1  p q n +1 − 1
R  Umrechnung im (aus q) auf
 *
n + n  Jahreszins:
1 + i * f  m (q − 1)q
q 
ie = m * i m
US Treasury method
P+S =
Moosmüller
wie US Treasury, anders: Umrechnung im (aus q) auf Jahreszins:
i e = (1 + i m ) − 1
m
Stückzinsen
S =t*
p
*N
100
t - Zeitspanne zwischen letzter Kuponzahlung und
Erwerbszeitpunkt
beachte Usance: t = 30/360, t = act/360, t = act/act
N - Nominalbetrag
p - Kupon
3.5 Die Zinsstrukturkurve
3.5.1 Spot Rates und Forward Rates
Anleihenbewertung
(Barwert, Preis)
P=
p
p
p+R
+
2 + ...+
1 + i 1 (1 + i 2 )
(1 + i n ) n
Methode beachtet die
Zinsstrukturkurve
bei unterschiedlichen
Spot Rates
ges.: P ; geg.: p, ij
ij = Spot Rates (= Zinsrate von
heute bis j, angeg. in p.a.)
p = Kupon der zu bewertenden
Anleihe
Spot Rate



(fristigkeitsabhängige Rendite)
K+T
ij = 
j −1
 PV − ∑ K t
t

t = 1 (1 + i )

t
1
j
Iteratives Verfahren : die
Spot Rates für die
verschiedenen Perioden 1
bis j können nur schrittweise ermittelt werden



 −1



i1 i2 ... ij
PV - Present Value (Barwert)
Rendite einer Anleihe
(Effektivverzinsung)
P=
p
p
100 + p
+ 2 + ...+
q q
qn
ges.: q (bzw. i)
Lösung über num. NV
(s.a. 3.1.[3])
Zerozinssatz
(par (yield) rate)
1
t




100 + pt 

it =
−1
t −1


 100 − pt ∑ d k 


k =1
künstlich konstruierter
Zerobond
iteratives Verfahren
dk =
1
(1 + i k ) k
pt - Swap-Satz (Kupon) (der LFZ t)
Summe dk - Summe der Diskontfaktoren über alle Perioden k von 1
bis t-1
Diskontfaktoren
dt =
1
(1 + i t ) t
it - Spot Rate
t - kann ganzzahlig oder gebrochen
sein
Forward-BasedInterpolation
1


k
360


 (1 + i k ) 

i f = 360
− 1
k
−
1


 (1 + i k −1 ) 



Spot Rates und
Forward Rates
if1
0
,
1
if2
is1
is2
is3
3.5.2 Spot Rates als Bewertungskriterium
,
2
if3
,
3
4 Finanzinnovationen
4.1 Forward Rate Agreement (FRA)
Forward-Zinssatz
… gebrochene Perioden
 1 + i s2 ( s + t )  1
if = 
− 1 *
 1 + i s1 * s
 t
(lineare Verzinsung;
meist bei n < 1)
… ganze Perioden
(geometrische Verzinsung; meist bei n > 1)
… ganze Perioden
(allgemein)
is2
0
if2 =
(1 + i )
2
s2
(1 + i s1 )
i f (n) =
1
is1
−1
(1 + i s ( n ) ) n
(1 + i s ( n −1) )
n −1
s
w
if2
t
is - Spot Rate (der Periode 1 bzw. 2)
−1
if - Forward Zinssatz (gesucht)
s - Vorlaufperiode (gebrochene Per.)
t - Kreditperiode (gebrochene Per.)
w - ganze Periode
Ausgleichszahlung
A=
(
N * t * i libor − i f
)
1 + i libor * t
t - gebrochene Periode (gemäß Usance)
N - Kredit-/ Anlagebetrag
A
s
Kredit
t
4.2 Zinsswaps (Interest Rate Swaps (IRS))
n
Pricing eines Swaps
n
2
i fs
(Festsatz eines Swaps p p * ∑ d 2*k = ! ∑ 100 * * d s
2
k =1
s =1
(Par Rate))
4.3 Futures
auflösen nach p (Swap-Satz)
5 Risikokennzahlen
5.1 Definition und Eigenschaften wichtiger Risikokennzahlen
5.1.1 Basis Point Value (BPV)
BPV
(≈ ∆ P)
(Tangentenverfahren)
1 BP = 0,01% = 1/10.000
∆P ≈ BPV =
BPV =
BPV bei unterjährigen
(gebrochenen) Laufzeiten
∆P mittels BPV
BPV (≈ ∆ P)
(Sekantenverfahren)
BPV eines Portfolios
BPV =
dP
* ∆i
di
Zk - Cash Flow’s (Zahlungsstrom)
k = 1, ..., n (Perioden)
k *Zk
1
−1
*
∑
k
1 + i k =1 (1 + i ) 10000
n
1
− 1 k * T (1 + ik )
*
*
k
1+ i
10.000
(1 + i )
k ∈ (0,1)
∆P ≈ BPV
BPV ≈
P2 − P1
2
BPVPortfolio = ∑ BPVEinzeltitel
5.1.2 Modified Duration
Modified Duration
alternative Form :
∆P
dP 100BP
≈ ModDur =
*
P
P
di
MD[%] =
k * Zk
−1
1
*
∑
k
1 + i k =1 P * (1 + i ) 100
MD[%] =
1 1 n k * Zk
* ∑
q P k =1 q k
n
ModDur in [%]
P - Kurs
k - Zählvariable der
PeriodenLFZ
∆P/P mittels MD
∆P
≈ MD[%] * ∆i
P
Zinselastizität
ε = P ′( i ) *
Umrechnung
i
P
∆P = −ε * ∆i
MD[%] = −
BPV MD[%]
BPV =
MD eines PF
∆i in %
BPV
* 10.000
P
MD (=ModDur) in [%]
P - Ausgangskurs (vor Reaktion
auf Zinsänderung)
− MD[%] * P
10.000
n
MD PF = ∑ w j MD j
j =1
wj =
Pj
P
= Gewichtsfaktoren
MDj - ModDur der Einzeltitel
MD und Elastizität
MD[%] = ε *
∆i
P
5.1.3 Duration
1. Interpretation : Elastizität, Sensibilität
Duration und Elastizität
∆P mittels Duration
Dur = − P ′( i ) *
1+ i
P
=ε *
1+ i
i
∆P ≈
− P * D * ∆i
1+ i
ε - Elastizität
i - urspr. Marktzins
∆i - Zinsänderung
D - Duration
P - urspr. Kurs
2. Interpretation : Zeitaspekt I (Immunitätszeitpunkt)
n
Duration:
Dur =
∑k *
k =1
n
(1 + i ) k
∑ (1 + i )
n
Dur = ∑
k =1
k = 1, ..., n (Zahlungszeitpunkte)
Zk
k =1
alternative Form:
Dur in [Jahren] (genauer: Zinsperioden)
Zk
n - Perioden (Restlaufzeit)
k
i - Marktzinssatz
q=i+1
k * Zk
P * (1 + i )
Z - Zahlungsrückflüsse im Zeitpunkt
t
k
- für ganze Perioden -
Dur =
1 + i np + T (q − ni )
−
i
p q n − 1 + Ti
- für gebrochene Per.-
Dur =
np + (1 + i − in )T a - gebrochene Periode
1+ i
−a−
n
i
p (1 + i ) − 1 + iT
geschlossene Formeln:
(
P - Kurs (Barwert)
)
[
p - Kupon
]
sonstiges...
Umrechnung
MD Dur
Dur = MD[%] * (1 + i )
MD[%] =
Duration eines Portfolios
1
* Dur
1+ i
N
DurPF = ∑ w j Dur j
j =1
wj - Anteil am Portfolio (Gewichte
des Barwertes)
N
∑w
j =1
j
=1
wj > 0
5.1.4 Konvexität
Konvexität (allg.)
Konv =
P ′′( i )
P
1
n
=
k ( k + 1) Z k
∑ (1 + i)
P(1 + i )
2
k =1
Z - Nominalbetrag Floater +
Zinsen für Zeitraum k
k
n(n + 1)
q2
Konv eines Zerobonds
Konv =
Konv eines Floaters
Konv =
Konv einer ewigen Rente
Konv =
... Näherungsformel
Konv ≈ 10 *
∆P mittels Konvexität
k - bei unterjähriger Anleihe (z.B.
Floater) : k ∈ (0,1)
1
P(1 + i )
2
*
k (k + 1)Z k
(1 + i )k
2
i2
6
P(i * + 10BP) + P(i * − 10BP) − 2 P(i * )
P (i * )
∆P = P(i * + BP) − P(i * )
≈ BPV * BP +
P
2
* Konv * ( ∆i )
2
P - urspr. Kurs
BP - Basispunkte (∆i in BP)
BPV - Basis Point Value
(∆i) - Absolutzahl
Konvexität eines Portfolios
N
Konv PF = ∑ w j Konv j
j =1
5.1.5 Theta
Theta
(BW-Änderung in Abhängigkeit von Restlaufzeit)
∆P mittels Theta
Θ = P ′(T )* ∆T
P
Θ = ln (1 + i )*
360
∆P = Θ * T
T - RestLFZ [Jahre, 30/360]
P - urspr. BW
∆P - absoluter Zuwachs an GE
T - LFZ [30/360 Tage]
„Zeitrisiko“
5.1.6 Delta-Plus-Ansatz
∆P mittels
Delta-Plus-Ansatz
...
∆P ≈ BPV * ∆i +
1
2
Konv * P * ( ∆i ) − Θ * 360 * ∆T
2
Delta-Plus-Ansatz liefert beste Approximation für ∆P
∆T - RLFZ [gebrochene Periode gem. Usance]
∆i - Zinsänderung in [BP]
∆P - absolute Kursänderung
5.1.7 Value at Risk (VaR)
6 Optionstheorie
6.1 Grundlagen
6.1.1 Grundbegriffe
6.1.2 Intuitive Prämienerklärung
6.1.3 Bewertung nach Cox / Ross / Rubinstein
Innerer Wert der Option
∆=K−X
X - strike (Ausübungspreis,
Basis-preis)
(Wert des Call im Zeitpunkt t)
Erwartungswert der
Optionsprämie (Call)
in T=0
K - aktueller Aktienkurs
C0 =
(Formel ohne Pseudo-WK)
...
(Formel mit Pseudo-WK)
∆ (1 + i )K 0 − K 1d
1 + i K 1u − K 1d
p * ∆ 1u + (1 − p ) * ∆ 1d
C0 =
1+ i
Ku - Aktienkurs im Fall (up)
Kd - Aktienkurs im Fall (down)
K0 - Aktienkurs in T=0
∆1u - (innerer) Wert der Option
im Zustand up des
Zeitpunktes 1
(Bernoulli Prinzip)
p=
Pseudowahrscheinlichkeit für up :
für down :
i−d
u−d
(1- p)
u - upside change ∈ (0,1)
d - downside change ∈ (0,1);
negatives Vorzeichen !
i - Marktzins ∈ (0,1)
SD → u
SD → d
(grober) Hedge-Ratio
u=e
δ n
−1
n - Anteil des Jahres, n ∈ (0,1)
δ - SD (bezogen auf 1 Jahr)
d = e −δ
−1
u, d : für unterjährigen
Zeitraum n
Pt o − Pt u
∆= o
K t − K tu
Po, Pu - oberster bzw. unterster Optionspreis
(innerer Wert) in t
n
Ko, Ku - oberster bzw. unterster Aktienkurs in t
t - beliebiger (diskreter) Zeitpunkt (t > 0)
6.1.4 Bewertung nach Black / Scholes
Optionsprämie (Call)
C0 = K * Φ( d 1 ) − X * e − it * Φ( d 2 )
d1 =
d2 =
1  K
t
 ln + it + σ 2 
2
σ t X
1  K
t
 ln + it − σ 2 
2
σ t X
Φ (d) - Verteilungsfunktion der
Normalverteilung
Werte des Φ zwischen
0,5 bis 1!
Φ( − x) = 1 − Φ( x)
i - kontinuierlicher Zins
(eigentlich i* als Symbol)
t - RestLFZ der Option
6.2 Abhängigkeit des Optionspreises P von verschiedenen Einflussgrößen
(The Greeks)
6.2.1 Delta
Delta
∆=
∂P
= Φ(d 1 )
∂K
Γ=
∂ 2 P ϕ (d1 )
=
∂K 2 Kσ t
Abhängigkeit P vom
Aktienkurs K
6.2.2 Gamma
Gamma
= Veränderung des Delta
ϕ ( d ) = Φ ′( d )
6.2.3 Theta
Theta
Θ=
∂P Kσϕ ( d 1 )
=
+ iXe − it Φ( d 2 )
∂t
2 t
Λ=
∂P
= Kϕ ( d 1 ) t
∂σ
6.2.4 Lambda (Vega)
Lambda (Vega)
6.2.5 Omega
Ω=∆
Omega
K
K
= Φ( d 1 )
P
P
6.2.6 Weitere Größen
Abhängigkeit P vom
Strike-Preis X
∂P
= − e − it Φ( d 2 )
∂X
Abhängigkeit P vom
Zinssatz i
∂P
= tXΦ( d 2 )e − it
∂i
6.2.7 Hedge Strategie
x=∆+
1
Γ * ∆K
2
6.3 Put-Call-Parität
PPut = PCall + Xe − it − K
i - kontinuierlicher Zinssatz
6.4 Bewertungsprobleme bei American Style Options
6.5 Anwendungen der Optionspreistheorie
6.5.1 Aktienoptionen
6.5.2 Devisenoptionen und Optionen auf Futures
Devisenoption
E0 - Kassakurs einer Devise
Pc = E 0 e − ia t Φ (d 1 ) − Xe − it Φ(d 2 )
i - inländischer Zinssatz
... mit Kassakurs
d1 =
σ
1  E0
 ln
+ (i − i a )t +
2
σ t X
2
ia - ausländischer Zinssatz

t 

X - Strike (gewünschter
Ausübungskurs)
d 2 = d1 − σ t
Devisenoption
Pc = e − it (ETer min Φ(d 1 ) − XΦ(d 2 ))
... mit Terminkurs
(Black-Modell)
1  ETer min σ 2 
 ln
+
d1 =
t
2 
X
σ t 
d 2 = d1 − σ t
erwarteter Termindevisenkurs
kontinuierliche Verzinsung
einfache Verzinsung
E1 - Termindevisenkurs
E0 - Devisenkurs (Preis der
Fremdwährung in
heimischer Währung
ausgedrückt) in t = 0
E1 = E 0 e (i −ia )t
E1 = E 0 (1 + (i − i a )t )
6.5.3 Zinsoptionen
6.5.4 Caps and Floors
Cap Bewertung
[
]
PCap = e −it Z i f Φ(d1 ) − i sc Φ(d 2 )
Z - Ausgleichsbetrag
N *τ
Z=
1+ if +τ
if - Forward-Zinssatz
d1 =
1
σf
 if
t
 ln
+ σ 2f 

2
t  i sc
isc - Strike Cap (Cap Satz)
i - risikoloser Zins
τ - abzusichernder Zeitraum
(= Zeitraum der Forward
Rate)
t - Optionsfrist des Caps
σf2, σf - Volatilität des
Forward-Satzes
6.5.5 Swaptions
6.5.6 Strukturierte Produkte: Floored and Collared Floater, Super Floater, Reverse
Floater, Step-Up-Bond, Callable and Putable Bond
6.5.7 Schätzung der Volatilität